Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНТЕГРАЦИИ КУРСОВ АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ ПОСРЕДСТВОМ СОДЕРЖАТЕЛЬНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИНИИ НЕРАВЕНСТВ В КЛАССАХ С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЧЕМ МАТЕМАТИКИ 14
1.1. Интеграция, её сущность, роль и место в обучении математике 14
1.2. Цели и содержание школьного математического образования в классах с углубленным изучением математики 27
1.3. Системы линейных неравенств как системообразующий фактор интеграции курсов алгебры и геометрии- " 44
1.4. Реализация внутрипредметных связей курсов алгебры и геометрии посредством метода аналогии 56
ГЛАВА 2. СОДЕРЖАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ ВНУТРИПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ ПОСРЕДСТВОМ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ 72
2.1. Содержательно-деятельностный аспект реализации внутрипредметных связей курсов алгебры и геометрии посредством линейных неравенств 72
2.2. Методика обучения учащихся геометрической интерпретации систем линейных неравенств с двумя и с тремя неизвестными 89
2.3. Методика обучения учащихся аналитическим методам решения систем линейных неравенств с любым числом неизвестных 118
2.4. Организация и результаты педагогического эксперимента 132
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 145
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 147
ПРИЛОЖЕНИЯ 164
- Интеграция, её сущность, роль и место в обучении математике
- Содержательно-деятельностный аспект реализации внутрипредметных связей курсов алгебры и геометрии посредством линейных неравенств
- Методика обучения учащихся геометрической интерпретации систем линейных неравенств с двумя и с тремя неизвестными
Введение к работе
Последние десятилетия в развитии современной науки как главная тенденция просматривается единство процессов дифференциации и интеграции. С одной стороны, наблюдается все более узкая специализация, рождение новых научных дисциплин, отпочкование отделов науки в качестве самостоятельных наук. С другой стороны, возникновение ценных отраслей знаний на стыке двух и более наук, возрастание числа общенаучных понятий, взаимопроникновение научных методов требует комплексного подхода в научных исследованиях.
Необходимо отметить, что и в сфере образования наметилась похожая тенденция — интеграция различных предметов, входящих в состав школьного образования.
Проблемам интеграции знания, изучению интеграции как общенаучного и педагогического понятия, выявлению ее механизмов, уровней, компонентов, средств, наиболее существенных характеристик и функций в системах разной природы, посвящено большое число работ (В.Н. Акуликин, Н.С. Антонов, B.C. Безрукова, М.Н. Берулава, Б.М. Кедров и др.).
Исследователи, изучающие проблемы интеграции в образовании (Н.С. Антонов, Н.В. Груздева, И.Д. Зверев, П.Г. Кулагин, Н.А. Лошкарева, В.Н. Максимова, Г.Ф. Федорец, В.Н. Федорова и др.), рассматривают интеграцию научных знаний в содержании образования как отражение полного и неполного межнаучного взаимодействия.
Вторая половина прошлого века характеризуется бурной математизацией научного знания и практической деятельности человека. Являясь с давних времен фундаментом естествознания и техники, математика в последнее время расширила сферы своей применимости. «На каждом шагу мы считаем, рассуждаем, измеряем, округляем, прикидываем приближенный результат, оцениваем вероятность, делаем прогноз, взвешиваем и т. д., то есть занимаемся математикой» [179. С. 75].
Математическое образование стало значительным средством повышения уровня подготовки будущих специалистов не только естественнонаучных и технических, но и гуманитарных специальностей. Математическое образование в системе общего среднего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.
В работе рассматривается интеграция как процесс, который имеет свое направление, свой состав и структуру, механизмы интегрирования, формы, виды и уровни развития. В качестве объектов интегрирования целесообразно брать два школьных предмета - алгебру и геометрию, а целевое назначение интеграции определить как ликвидацию многопредметности. Педагогическую форму интеграции целесообразно выбрать в виде интегративных уроков. Вид интеграции - внутрипредметный, уровень - не более, чем модернизация.
Для интеграции курсов необходим отбор содержания материала и обоснование правильности этого выбора в классах с углублённым изучением математики.
Проблемой разработки методологических основ отбора содержания обучения курсу математики в общеобразовательной школе занимались психологи, педагоги Ю.К. Бабанский, В.В. Краевский, И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин и др., а применительно к классам с углублённым изучением математики - М.И. Башмаков, Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцев и др.
Наряду с отбором содержания важнейшее значение для построения школьного курса имеет организация этого содержания. Одним из принципов организации материала в школьном курсе математики является вычленение в нем определенных содержательно-методических линий, развитие которых происходит от класса к классу на протяжении нескольких лет обучения и связано с изучением какого-либо понятия, метода, представления. Интеграция курсов создает особые условия для четкого вычленения и последовательного развития в курсе содержательно-методических линий.
Одной из важных составляющих интеграции является определение её системообразующего фактора - нахождения основания для объединения. В качестве системообразующего фактора интеграции может быть предложена содержательно-методическая линия неравенств. Это обусловлено тем, что одним из стержневых вопросов школьного курса математики является изучение неравенств. Неравенства применяются как в математике, так и в физике. Совокупность знаний, умений и навыков, относящихся к изучению способов решения неравенств, тесно связана с вычислением, алгоритмом, логикой и т. д.
Включение в содержание математического образования сведений о неравенствах играет большую роль в формировании научного мировоззрения учащихся, в реализации прикладной направленности обучения математике. Неравенства являются одной из фундаментальных идей математики. Как отмечает Д.А. Крыжановский « ... в деле изучения реального мира и воздействия на него, неравенства являются по существу столь же важным средством, как и равенства» [94. С. 5]. Он говорит, что в практической жизни человека почти точное равенство тех или иных количеств является сравнительно редким явлением, чаще искусственно созданным, а абсолютно точное равенство и совсем редким или даже неподдающимся констатированию, кроме равенства целых чисел, как результат счета, тогда как с четко выраженным неравенством мы встречаемся постоянно [95].
Интегративную функцию в обучении курсов алгебры и геометрии могут выполнять линейные неравенства. Вопросы, связанные с системой линейных неравенств, неоднократно возникали в связи с чисто математическими проблемами, например, с такими, как проблема наилучшего приближения решения несовместной системы уравнений, проблема фактического построения полиномов наилучшего приближения, в теории выпуклых множеств и т. д. «Одной из характерных черт высших разделов математики является та выдающаяся роль, которую в них играют неравенства. В сущности, любая максимизация проблемы всегда приводит к неравенству, выражающему тот факт, что рассматриваемая переменная величина не превышает некоторого максимального значения, доставляемого решением этой проблемы. Во многих случаях получаемые таким образом неравенства заслуживают внимания независимо от проблем, к ним приводящих» [102. С. 394].
Обучение элементам теории линейных неравенств с двумя и тремя неизвестными способствует реализации внутрипредметных связей курсов алгебры и геометрии, так как, геометрическое тело - многоугольник или многогранник, можно задать аналитическим - в виде системы линейных неравенств.
Проблема внутрипредметных связей исследована в работах В.А. Байдака, В.А. Далингера, В.Ю. Гуревича, Т.А. Ивановой, Л.В. Кузнецовой, Г.Г. Масло-вой, В.М. Монахова, К.С. Муравина, Е.Д. Недошивкина, Л.П. Никитиной, В.Ф. Пуркиной, П.М. Эрдниева и др.
Анализ научно-методической литературы, практики преподавания школьных дисциплин, результатов педагогических исследований показывает, что одним из главных противоречий современного образования остается противоречие между потребностями меняющегося общества и традициями сложившейся концепции преподавания школьных дисциплин. Долгое время совершенствование учебного процесса осуществлялось лишь за счет варьирования содержания учебного материала, а вместе с тем большие резервы лежат в области разработки новых методов обучения. Анализ школьной практики свидетельствует, что приоритет сегодня все еще отдан объяснительно-иллюстративному и репродуктивному методам обучения, которые лишь в незначительной степени формируют умения и навыки деятельности учащихся.
Зарождение, развитие и становление математического знания свидетельствует о том, что математическая деятельность не сводится лишь к воспроизведению полученных кем-то знаний, а включает в себя процесс поиска и открытия новых фактов и закономерностей.
Активная позиция человека в процессе овладения знаниями предполагает использование методов научного познания. Их удачное преломление к процессу обучения в школе находится в центре внимания многих исследователей, поскольку обеспечивает активную позицию школьников в учебном процессе и, как следствие, повышает его эффективность. Опыт показывает, что строгая логика и дедукция не должны являться основополагающими научными методами в школьном обучении, необходимо искать иные по содержанию и назначению методы.
Одним из методов обучения, который может обеспечить активную позицию школьника и способствует реализации внутрипредметных связей, является метод аналогии. Использование в обучении такого метода научного познания, как метод аналогии, предполагает «включённость ученика в процесс добывания знаний и, как следствие этого, более доступное, прочное и осознанное усвоение учебного материала, так как часто обеспечивает мысленный перенос определенной системы знаний и умений от известного объекта к неизвестному» [115. С. 95]. Позволяя осуществлять такой перенос, аналогия приучает учащихся к исследовательской деятельности, содействует появлению новых ситуаций, развивает их.
Различные аспекты использования метода аналогии в обучении рассматривали в своих исследованиях отечественные и зарубежные ученые: Е.А. Беляев, В.Г. Болтянский, С.Ф. Бондарь, В.А. Далингер, А.Л. Жохов, Ю.М. Колягин, Р.Ю. Костюченко, Д. Пойа, Г.И. Саранцев, М.Н. Сизова, А.А. Столяр, А.И. Уемов, П.М. Эрдниев и др. Однако проблема использования метода аналогии до сих пор остается актуальной, и связано это с различной трактовкой понятия аналогии, множественностью ее видов и, как следствие, разными подходами к ее использованию в обучении. Следует отметить значимость проведённых исследований. Однако в большинстве случаев аналогия в них не рассматривается как средство реализации внутрипредметных связей курсов алгебры и геометрии.
Анализ показал, что применение аналогии позволяет решить целый ряд проблем математического образования в школе. При изучении теории систем линейных неравенств с несколькими неизвестными возможно построение аналогии не только между курсами алгебры и геометрии, но и внутри самих этих курсов.
Хотя для технических и естественно-математических профильных классов изучение систем линейных неравенств с двумя переменными входит в учебную программу в качестве обязательного материала, но до сих пор не разработано методическое обеспечение эффективного изучения этого материала, не исследован вопрос о возможности реализации внутрипредметных связей курсов алгебры и геометрии посредством линейных неравенств.
Как показал анализ, строить методику обучения учащихся этому материалу, целесообразно, используя интеграцию курсов алгебры и геометрии, взяв в качестве базисного предмета - геометрию. Так, в теме «Многогранники» предлагается материал, связанный со сложением точек и множеств, выпуклыми телами. В разделе «Координаты и векторы» успешно можно изучать: аналитическую запись отрезка; аналитическую запись плоскости и пространства; аналитическую запись многоугольников и многогранников. В разделе курса алгебры «Повторение решений уравнений, неравенств и их систем» можно с помощью метода аналогии сделать обзор основных понятий линейных неравенств с любым числом неизвестных и обучить методу последовательного исключения неизвестных для решения систем линейных неравенств с любым числом неизвестных, а также провести индивидуальную работу по решению систем линейных неравенств методом построения фундаментального набора решений.
Обучение учащихся линейным неравенствам позволяет решить проблему не только реализации внутрипредметных связей курсов алгебры и геометрии, но и реализацию внутрипредметных связей планиметрии и стереометрии, а также и внутрипредметных связей курса алгебры. Обучение данному материалу способствует более глубокому пониманию и усвоению определенных положений основной школьной программы. Геометрическая интерпретация линейных неравенств помогает учащимся глубже осмыслить такие понятия учебной программы, как плоскость, пространство, вооружить их геометрическим метрдом решения.
Все сказанное определяет актуальность исследования, которое состоит в раскрытии возможных путей интеграции курсов алгебры и геометрии в классах с углублённым изучением математики.
Проблема исследования состоит в разрешении противоречия между имеющимися в структуре обучения математике потенциальными возможностями интеграции курсов алгебры и геометрии посредством линейных неравенств с несколькими неизвестными и реально сложившейся практикой обучения математике в школе.
Объект исследования: процесс обучения математике в классах с углублённым изучением математики.
Предмет исследования: методика обучения учащихся системам линейных неравенств с несколькими неизвестными в классах с углублённым изучением математики на основе интеграции курсов алгебры и геометрии.
Цель исследования: разработка теоретически обоснованной методики обучения учащихся теме «Системы линейных неравенств с несколькими неизвестными» в классах с углублённым изучением математики, позволяющая интегрировать учебный материал курсов алгебры и геометрии на уровне знаний и видов деятельности.
Гипотеза состоит в том, что если при обучении учащихся системам линейных неравенств со многими неизвестными в классах с углублённым изучением математики будем реализовывать интегративную функцию этого материала, то это позволит осуществить внутрипредметные связи курсов алгебры и геометрии, обеспечить системность, прочность и действенность знаний, умений и навыков учащихся.
Исследование проблемы и доказательство выдвинутой гипотезы предполагает решение следующих частных задач:
- определить категориально-понятийный аппарат, связанный с понятием интеграция, и выявить средства интеграции курсов алгебры и геометрии;
- разработать критерии отбора интегрированного содержания школьного математического образования в профильных физико-математических классах;
- отобрать и структурировать содержание учебного материала по содержательно-методической линии неравенств с целью интеграции курсов алгебры и геометрии;
-разработать методику обучения учащихся системам линейных неравенств с несколькими неизвестными и экспериментально проверить ее эффективность.
Цель и задачи исследования обусловили выбор методов исследования:
- анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы, школьных программ по математике, учебных и учебно-методических пособий по математике для средней школы;
- анкетирование, наблюдение, опрос учителей и учащихся;
- экспериментальное обучение на основе разработанной методики;
- статистическая обработка результатов исследования. Теоретико-методологической основой исследования являются:
- теория проблемного обучения (Ю.М. Колягин, И.Я. Лернер и др.);
- теория развивающего обучения (В.И. Занков, В.В. Давыдов, Х.Ж. Танеев, Т.А. Иванова, Л.В. Кузнецова и др.).
В работе также использованы результаты исследований, посвященных проблеме интеграции курсов алгебры и геометрии (М.И. Башмаков, А.Л. Вернер, Л.В. Кузнецова).
Научная новизна проведенного исследования заключается в том, что в нем впервые выявлены особенности интеграции курсов алгебры и геометрии посредством линейных неравенств с несколькими неизвестными в классах с углублённым изучением математики.
Теоретическая значимость работы состоит в следующем:
выявлено содержание понятия «интеграция», определены структура, тип, вид и системообразующий фактор интеграции курсов алгебры и геометрии;
описаны критерии отбора содержания дополнительного материала по теме «Системы линейных неравенств с несколькими неизвестными» для классов с углублённым изучением математики;
раскрыты методические условия, обеспечивающие реализацию интегративной функции линейных неравенств с несколькими неизвестными в обучении курсов алгебры и геометрии.
Практическая значимость исследования определяется тем, что в нем разработана методика обучения учащихся системам линейных неравенств в классах с углублённым изучением математики, реализующая интегративную функцию курсов алгебры и геометрии, также разработан комплекс задач по предлагаемой теме, который может быть использован для реализации внутрипредметных связей. Эти материалы могут быть использованы при составлении учебных и методических пособий по математике как для учащихся, обучающихся в классах с углублённым изучением математики, так и для студентов вузов.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обусловлены, прежде всего, методологическим и методическим инструментарием исследования, адекватным его целям, предмету и задачам; кроме того, они подтверждаются совпадением выводов теоретического анализа проблемы исследования с результатами педагогического эксперимента и статистической обработкой его результатов. Положения, выносимые на защиту.
1. Обучение учащихся описывать выпуклые многогранники и многоугольники аналитической моделью способствует реализации внутрипредметных связей курсов алгебры и геометрии, что позволяет интегрировать эти курсы на содержательном и процессуальном уровнях, а также формированию у учащихся таких качеств знаний, как системность, прочность и действенность.
2. Разработанная методика обучения школьников теории линейных неравенств с несколькими неизвестными в классах с углублённым изучением математики, в основу которой положена аналогия между объектами алгебры, а также между объектами алгебры и геометрии, позволяет экономить учебное время, учит учащихся переносу методов решения задач из одной области в другую, способствует углублённому, более осознанному пониманию материала, качественному обновлению знаний.
3. Обучение учащихся графическому и аналитическому методам решения систем линейных неравенств с несколькими неизвестными служит пропедевтической работой для ознакомления их с задачами линейного программирования и решением их графическими и симплекс методами.
Апробация полученных результатов Основные теоретические положения и результаты диссертационного исследования докладывались автором и обсуждались на заседании кафедры методики преподавания математики ОмГПУ, на Сибирских методических чтениях (г.Омск, 1997 г., 1999 г.), на Международной конференции «Всесибирские чтения по математике и механике» (г. Томск, 1997 г.), на II областной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (г. Томск, 1998 г.), на III Международном Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике (г. Новосибирск, 1998 г.), на региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Сибирская школа молодого ученого» (г. Томск, 1998 г.), на региональной научно-методической конференции «Проблемы учебно-методической работы в школе и вузе» (г. Томск, 1999 г.).
Экспериментальная проверка основных положений диссертации проводилась в три этапа с 1995 по 2001 годы. Обучающий педагогический эксперимент проводился на базе физико-математической школы при Томском государственном университете, к участию в нем привлекались также и студенты механико-математического факультета Томского государственного университета.
Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка литературы и приложений.
Интеграция, её сущность, роль и место в обучении математике
Уже в начале XX века, как заметил Б.М.Кедров, «... в развитии естествознания выступили две прямо противоположные и, казалось бы, взаимоисключающие тенденции: одна состояла в раздроблении и разветвлении наук, их дифференциации, другая, напротив - в стремлении объединить разобщенные науки в общую систему научного знания, т. е. в их интеграции» [84. С. 30].
Сходная тенденция наметилась и в сфере образования, так как «наука -основа формирования содержания образования», - отмечает И.Д. Зверев [76]. В совершенствовании содержания образования в эпоху развития научных знаний, их философского и методологического обобщения, особую роль играют те компоненты, которые способствуют развитию творческого потенциала личности современного школьника, развитию умений самостоятельно пополнять свои знания и ориентироваться в стремительном потоке политической, научной и технической информации. Поэтому, первостепенное значение здесь приобретают такие компоненты содержания образования, которые отражают тенденции интеграции научного знания. Их значимость обусловлена определяющей ролью интеграционных процессов науки в формировании современного стиля научного мышления и мировоззрения человека. В создании теории содержания общего среднего образования важным этапом является выявление дидактических эквивалентов, соответствующих процессу интеграции современной науки. Феномен интеграции в образовании имеет глубокие дидактические корни и вполне развитые исторические традиции. Одна из его исторических форм - межпредметная интеграция (трудовая школа начала XX века - 20-х гг., усиление межпредметных связей в обучении в 50-х - 80-х гг., интегрированные курсы 2-й половины 80-х - 90-х гг.) - представляет собой самое значительное инновационное движение прошлого столетия. Есть основания рассматривать интеграцию как первый, системообразующий принцип дидактики, в целом определяющий организацию образования не только на межпредметной основе, но и в системе традиционного образования. С этой точки зрения история интеграции по сути отождествляется с историей образования. Активное развитие интегративных процессов в современной науке, политике, экономике, существенное ускорение темпов развития социальной жизни в целом и образования в частности, актуализирует задачу перехода от эмпирических обобщений практики построения образования на интегративной основе к опережающему научно-теоретическому осмыслению фундаментальных законов и принципов интеграции образования. Поэтому можно утверждать, что в образовании накоплен достаточный опыт, позволяющий педагогике подняться до системного, концептуального рассмотрения интегративных процессов.
В Большом энциклопедическом словаре раскрывается следующее содержание понятия интеграции [37. С. 452]: интеграция (лат. «integratio» -восстановление, восполнение, от «integer» - целый) - процесс сближения и связи наук, происходящий наряду с процессами их дифференциации.
Г.Ф. Федорец в своей работе отмечает: «Под интеграцией принято понимать объединение в целое, в единство каких-либо элементов, восстановление какого-либо единства» [168. С. 24]. В теории систем интеграцией называют, с одной стороны, состояние взаимосвязей отдельных элементов системы, и с другой, - процесс, обуславливающий такое состояние. Изначально идея интеграции в образовании получила свое обоснование и развитие в трудах классиков педагогической науки - Я.А. Коменского, И.Г. Песталоцци, А. Дистервега, К.Д. Ушинского в виде требования систематичности и последовательности обучения и использования для этих целей внутрипредметных и межпредметных связей.
Содержательно-деятельностный аспект реализации внутрипредметных связей курсов алгебры и геометрии посредством линейных неравенств
Основной задачей данного параграфа является рассмотрение условий, позволяющих проводить интеграцию курсов алгебры и геометрии.
Важнейшей методологической и методической проблемой в этой связи становится проблема взаимосвязи и последовательности изложения курсов алгебры и геометрии. Одним из путей решения данной проблемы, мы уже назвали идею интеграции курсов алгебры и геометрии. Остается вопрос: что взять в качестве базиса интеграции? Учитывая, что исторически геометрия предшествует алгебре, и то, что большинство задач геометрии решается, используя аналитические записи и через алгебраические формулы, целесообразно выбрать в качестве базиса интеграции геометрию.
С целью выяснения вопроса о том, как видят учителя интеграцию курсов алгебры и геометрии, мы провели на этапе констатирующего эксперимента анкетирование группы учителей математики в составе 85 человек.
Анкета
1. Назовите Ваш педагогический стаж.
2. Назовите классы, в которых Вы преподаете.
3. Какие внутрипредметные связи алгебры и геометрии Вы можете назвать.
4. Какой системообразующий фактор можно взять для интеграции двух курсов:
а) содержательно-методическую линию чисел; б) функциональную линию;
в) содержательно-методическую линию неравенств;
г) свой вариант ответа.
5. Интеграция двух курсов, на Ваш взгляд, может быть использована в условиях современного школьного образования:
а) только при освещении специальных вопросов;
б) только в классах с углубленным изучением математики;
в) не может быть использована;
г) свой вариант ответа.
80 % учителей видят связь алгебры и геометрии в том, что большинство геометрических задач решается алгебраическими методами, и что график функции задает какую-нибудь кривую. Отвечая на четвертый вопрос, большинство учителей склонны выбрать в качестве системообразующего фактора функциональную линию, но только проводить интеграцию при освещении специальных вопросов. Интересен тот факт, что ответы учителей не зависят от стажа их педагогической деятельности.
Существует несколько учебных пособий, реализующих идею интеграции. Так, например, одно из них «Математика» М.И. Башмакова предназначено для ПТУ, другой - учебник «Математика» авторов А.Л. Вернера и А.П. Карп - для классов гуманитарного профиля.
Анализ школьной практики и результаты анкетирования учителей показали, что идея интеграции, имея огромный потенциал для своей реализации, остается невостребованной. Объяснение этому явлению очевидно. Дело в том, что курсы алгебры и геометрии играют различную роль в образовательном процессе, посредством их достигаются различные цели, характеризующие алгебру и геометрию как науки.
Как же оптимально можно использовать интеграцию в условиях современного школьного образования? Как уже было отмечено в п. 1.3 главы 1 и как показал эксперимент, в качестве системообразующего фактора интеграции двух школьных курсов алгебры и геометрии в процессе обучения в классах с углубленным изучением математики целесообразно брать содержательно-методическую линию неравенств, а именно линейные неравенства.
Теория систем линейных неравенств - небольшой, но увлекательный раздел математики. Интерес к нему обусловлен в значительной мере красотой геометрического содержания, ибо в переводе на геометрический язык задание систем линейных неравенств с двумя и тремя неизвестными означает задание выпуклой многоугольной области на плоскости или, соответственно, выпуклого многогранного тела в пространстве. Тем самым, учение о выпуклых многогранниках — древняя, как мир, часть геометрии -превращается в одну из глав теории систем линейных неравенств. Интересна также алгебраическая часть данной теории. Например, к ней относится замечательная аналогия между свойствами систем линейных неравенств и свойствами систем линейных уравнений.
Методика обучения учащихся геометрической интерпретации систем линейных неравенств с двумя и с тремя неизвестными
М.Е. Квачко издает учебное пособие [83], в котором рассматривает вопросы теории выпуклых множеств и выпуклых многогранных множеств, являющихся математической основой линейного и нелинейного программирования. В книге рассматриваются выпуклые многогранные множества, заданные системами линейных неравенств; теоремы о представлении таких множеств, примеры, иллюстрирующие эти теоремы.
Линейным неравенствам с несколькими неизвестными были посвящены статьи И.И. Еремина [70], Н.Д. Казаринова [204], В.Г. Кузнецова [96], Д.С. Митровича [205], Г.Н. Нефедьева [123].
Н.Н.Астафьевым [15,16], В.К. Карташовым [82], В.М.Монаховым и О.А. Боковневым [119], В.И.Шевченко [185] рассматривалась теория систем линейных неравенств в основном с двумя переменными, применительно к задачам линейного программирования.
В монографии Н.Н. Астафьева [15] рассматриваются вопросы двойственности и конечномерной аппроксимации для задач бесконечномерного линейного программирования. В работе [16] Н.Н Астафьев рассматривает системы линейных неравенств и их применение в математическом программировании. Автором рассматриваются основные свойства выпуклых фигур с позиции линейных неравенств, применимых в задачах линейного программирования.
В.К. Карташовым [82] излагаются основные факты теории линейных неравенств, необходимых для линейного программирования. Рассматривается R"— га-мерное арифметическое линейное пространство над R; приводится понятие системы линейных неравенств и различные записи этой системы, дается понятие о сопряженной системе линейных неравенств, теорема Минковского, графическое решение системы линейных неравенств с двумя неизвестными.
Видные ученые-методисты В.М. Монахов и О.А. Боковнев в своей работе [119] рассматривают системы линейных неравенств с двумя и тремя неизвестными и геометрическую интерпретацию совместной системы. Ими рассматривается понятие выпуклого многоугольного множества как пересечения замкнутых полуплоскостей, и выпуклого многогранного множества - множества, образованного пересечением конечного числа полупространств. Определяется понятие выпуклого многогранника в и-мерном пространстве.
В учебном пособии по спецкурсу «Бесконечные системы линейных неравенств» [203], разработанном Г.Я. Ярахмедовым, излагается современное состояние теории бесконечных систем линейных неравенств и связанных с ними задач наилучшего приближения функций.
Все перечисленные выше работы являются строго научными. В зарубежной и отечественной литературе практически отсутствуют книги, рассчитанные на первое знакомство учащихся с теорией линейных неравенств. Среди перечисленных выше работ есть ряд изданий, написанных для студентов.
В качестве первого знакомства с понятием систем линейных неравенств с любым числам неизвестных можно выделить пособие Ф.Л. Варпоховского и А.С. Солодовникова «Алгебра» [39]. Авторы пытались провести аналогию между решениями систем линейных уравнений и систем линейных неравенств. В книге компактно описана теория систем линейных неравенств и приведены основные методы решения таких систем.
Наиболее доступными для ознакомления учащихся с теорией систем линейных неравенств можно назвать следующие книги:
1)Е.Н. Скопин «Элементы линейной алгебры и выпуклых множеств» [148]. В этом пособии на «-мерное евклидово пространство переносится такое понятие, известное из обычной трехмерной геометрии, как выпуклое множество и нужное для его определения понятие отрезка. Доказывается теорема о том, что множество точек, координаты которых удовлетворяют системе линейных неравенств с п неизвестными является выпуклым множеством или пустым.
