Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ С УГЛУБЛЁННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ СРЕДСТВАМИ ЗАДАЧ 13
1. Цели создания классов с углублённым изучением математики в средней школе 13
2. Содержание углублённого изучения алгебры в основной школе 22
3. О понятии математического мышления в психолого-педагогической и методической литературе 31
4. Задачи как средство развития математического мышления учащихся 45
Глава 2. МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СИСТЕМЫ ЗАДАЧ ДЛЯ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКО ГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ 58
5. Требования к системе задач для развития математического мышления учащихся 59
6. Система задач по теме "Функция" 75
7. Особенности методики обучения теме "Функция" с использованием предложенной системы задач 88
8. Основные этапы и результаты экспериментального исследования 108
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 127
БИБЛИОГРАФИЯ 129
ПРИЛОЖЕНИЯ 140
- Цели создания классов с углублённым изучением математики в средней школе
- Содержание углублённого изучения алгебры в основной школе
- Требования к системе задач для развития математического мышления учащихся
Введение к работе
Широкая дифференциация обучения, которая является в настоящее время одной из первоочередных задач развития современной школы ([55]) по-новому поставила вопросы о целях, содержании и методах обучения математике в школе. Дифференцированное обучение - явление для российской школы не новое. Ещё в начале XX столетия на I Всероссийском съезде преподавателей математики обсуждались вопросы "такой организации преподавания в средней школе, которая, сохраняя общеобразовательный её характер, допускала бы специализацию старших классов, приноровленную к индивидуальным способностям учащихся" ([95], с. 210). Термин "дифференциация обучения" появился в дидактике в конце 50-х годов нашего века. Под дифференциацией обучения тогда понимали специализацию учащихся при сохранении общеобразовательного характера школ. В начале 60-х годов разрабатываются программы и учебные пособия для школ и классов с углублённым изучением математики. Определение дифференциации становится значительно шире в конце 80-х годов. На современном этапе под дифференциацией понимают "такую систему обучения, при которой каждый ученик, овладевая некоторым минимумом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначимой и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно изменяющихся жизненных условиях, получает право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонностям." ([55], с. 8). Теперь различают психологический, педагогический и методический подходы к определению дифференциации, выделяют её виды и формы ([92], с. 33).
Проблемам дифференцированного обучения математике в школе посвящены работы А. Н. Колмогорова, В. А. Гусева, С. И. Шварцбурда, Ю. М. Колягина, И. М. Смирновой и др.
В последние десять лет наблюдается проникновение профильной дифференциации обучения в основную школу и организация классов с углублённым изучением математики в её среднем звене (8 - 9 класс). Углублённое изучение математики в таких классах должно, в первую очередь, носить ориентационный характер и призвано помочь учащимся осознать степень своих интересов и способностей к математике, с тем чтобы по окончании девятого класса сделать сознательный выбор дальнейшего образовательного маршрута ([83]). В соответствии с указанными целями должно определяться и содержание обучения математике в этих классах.
Анализ программ и учебных пособий по алгебре для 8-9 классов с углублённым изучением математики ([1], [2], [15], [34], [35], [40], [63], [64], [70],[83]) показал, что имеет место расширение и углубление материала курса (по сравнению с общеобразовательными классами) за счёт включения в программу ряда дополнительных теоретических вопросов, которые, в основном, дублируют курс 10-11 классов или вузовские курсы, а также за счёт решения задач повышенной трудности, которые нередко либо усложнены с технической стороны, либо представляют собой задачи олимпиадного характера. В этом мы усматриваем некоторое несоответствие предлагаемого содержания целям ориентационного этапа профильной дифференциации, что обусловило выбор направления нашего исследования: определение содержания обучения алгебре в 8 - 9 классах с углублённым изучением математики, способствующего математическому развитию учащихся. Под математическим развитием учащихся мы понимаем, прежде всего, осознанное употребление и использование математических понятий, овладение математическим языком для общения с людьми, для познания и описания окружающего мира, умение раскрыть формальное содержание математических понятий прикладными примерами, умение выбирать рациональный способ решения задачи и т.д.
Актуальность выбранного нами направления исследования подтверждается результатами многих исследований (см., например, [38], [44], [57]), в которых указывается на низкие результаты, показанные учащимися при выполнении заданий с практической направленностью ([44], с. 39; [57], с. 43), высказывается беспокойство по поводу состояния интеллектуальных умений учащихся, умений применить известный материал в незнакомой ситуации ([44], с. 39). О. А. Иванов ([38], с. 14, 136) указывает на то, что "даже выпускники ведущих специализированных средних учебных заведений ... не обладают надлежащей культурой использования понятий школьного курса математики...; не видят трудности предлагаемых заданий", не используют метод решения задач конкретного типа, если "такой тип появился в качестве одной из составляющих при решении некоторой другой (объемлющей) задачи". Подобные данные мы получили и в ходе проведения констатирующего эксперимента. Всё вышесказанное подтверждает слова Ю. М. Колягина о том, что "весьма важной является проблема разработки приёмов и методов обучения математике, обеспечивающих не только эффективное усвоение программного материала, но и математическое развитие школьников". ([48], с. 3)
В математическом развитии учащихся мы выделили такую важную, на наш взгляд, составляющую как развитие математического мышления. Под математическим мышлением (основными компонентами которого являются содержательный анализ, планиро вание и рефлексия) мы понимаем проявление теоретического типа мышления (в соответствии с концепцией В. В. Давыдова) на математическом содержании. В тексте диссертации обоснован такой подход к понятию математического мышления и указано на то, что развитое теоретическое мышление характеризуется сформированно-стью общих приёмов мышления, отличающихся универсальностью и возможностью переноса в другие сферы деятельности. Мы считаем, что, обладая развитым математическим мышлением, учащиеся будут осознанно подходить к изучению теоретического материала и решению математических задач. Ниже мы определим понятие "осознанный подход к решению математических задач".
Вышесказанное определило проблему исследования: поиск путей развития математического мышления учащихся в процессе изучения углублённого курса алгебры основной школы.
Исследований уровня кандидатских или докторских, связанных с решением этой проблемы нам обнаружить не удалось, однако на страницах журнала "Математика в школе" в последнее время появились статьи, затрагивающие вопросы математического развития учащихся на первом этапе (в 8 - 9 классах основной школы) углублённого изучения математики.
Анализ литературы по проблеме развития математического мышления учащихся дал положительный ответ на вопрос о возможности его развития в процессе обучения математике, причём первостепенная роль здесь отводится задачам. Об этом в своих работах пишут Ю. М. Колягин, Л. М. Фридман, А. А. Столяр и др. Таким образом определилась цель исследования: разработать систему алгебраических задач и методику работы с ними, которые будут способствовать развитию математического мышления учащихся.
Для решения проблемы исследования нами выделен следующий объект исследования: процесс обучения алгебре учащихся 8 -9 классов с углублённым изучением математики.
А. А. Столяр ([94], с. 6) указывает на то, что достижение необходимого развивающего эффекта обучения математике даже при оптимальном отборе содержания невозможно без обучения деятельности по приобретению математических знаний, способам рассуждений, применяемым в математике, создания "педагогических ситуаций, стимулирующих самостоятельные открытия учащимися математических фактов, их доказательств, решений задач". Поэтому предметом нашего исследования является система задач курса алгебры для 8-9 классов с углублённым изучением математики и деятельность учащихся по их решению.
При решении алгебраических задач учащиеся выполняют различные действия (расчленяют условия задач на существенные и несущественные с точки зрения способа её решения, производят оценку задачи, позволяющую намечать способы её решения, выбирают необходимые знания и приёмы для решения задачи, определяют последовательность действий для решения задачи, осуществляют контроль за выполнением произведённых действий, за соответствием результата решения условиям задачи, обосновывают решение задачи и др.). Умение выполнять эти действия характеризует уровень развития компонентов математического мышления учащихся (содержательного анализа, планирования, рефлексии). Соответствующий набор задач, направленных на формирование и развитие этих действий, а также определённая организация деятельности учащихся по их решению могут способствовать развитию всех компонентов математического мышления. Как уже ранее отмечалось, развитое ма тематическое мышление, по нашему мнению, обеспечит более осознанный подход учащихся к решению математических задач.
Осознанный подход к решению математических задач характеризуется, с точки зрения И. Я. Лернера ([42], с. 27), Л. Л. Гуровой ([19], с. 94) и других авторов пониманием характера (рядоположен-ности и соподчинённости) связей между знаниями, различением существенных и несущественных связей, осмыслением оснований усвоенных знаний, пониманием способов получения знаний, пониманием принципов, лежащих в основе способов применения знаний и др. Это проявляется
- в умении, проанализировав условие и требование задачи увидеть принцип, лежащий в основе её решения;
- в умении выбрать математически грамотный путь решения задачи;
- в умении предвидеть результат решения задачи и с этих позиций проанализировать само решение;
- в умении извлекать необходимые части целостного знания для ответа на изолированные вопросы, группировать знания в зависимости от вопроса, применять всю совокупность знаний в вариативных и нестандартных ситуациях;
- в потребности и умении оценивать свои действия с точки зрения их правильности и целесообразности.
Отмечая выше влияние развитого математического мышления на формирование осознанного подхода учащихся к решению алгебраических задач, мы имели в виду развитие у учащихся перечисленных умений и повышение уровня владения ими.
В связи с высказанными соображениями была сформулирована следующая гипотеза исследования: если в процессе обучения алгебре использовать систему математических задач, которая специально ориентирована на развитие разных компонентов математиче ского мышления, то это позволит создать условия для овладения учащимися осознанным подходом к решению алгебраических задач.
Для достижения цели исследования и проверки выдвинутой гипотезы были поставлены и решены в процессе исследования следующие задачи:
1. выполнен анализ психолого-педагогической и методической литературы с целью изучения
а) состояния проблемы определения содержания обучения алгебре в 8-9 классах с углублённым изучением математики;
б) возможностей и средств развития математического мышления учащихся;
2. выделены действия, в ходе выполнения которых у учащихся развиваются соответствующие компоненты математического мышления (содержательный анализ, планирование, рефлексия);
3. выявлены типы задач, решение которых может способствовать формированию и развитию каждого действия и сформулированы требования к системе задач;
4. разработаны система задач и методика её использования при обучении теме "Функция";
5. экспериментально проверена выдвинутая гипотеза.
В ходе исследования были использованы различные методы:
- теоретический анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования;
- организация и проведение констатирующего, поискового и формирующего экспериментов;
- количественная и качественная обработка результатов эксперимента.
Исследование проводилось с 1995 по 1998 год и включало несколько этапов.
На первом этапе был проведён анализ психолого-педагогической, методической литературы и содержания школьных учебников, определены типы задач, которые целесообразно использовать для развития математического мышления учащихся.
На втором этапе, в рамках поискового эксперимента, определялись принципы организации задач в систему, уточнялись формулировки задач и методика их использования в процессе обучения. Итогом работы на этом этапе было уточнение теоретической концепции исследования.
На третьем этапе была разработана система задач и методика её использования при обучении учащихся 8-9 классов с углублённым изучением математики теме "Функция", осуществлялся формирующий эксперимент.
На четвёртом этапе была проведена количественная и качественная обработка результатов эксперимента, их теоретическое осмысление.
Научная новизна проведённого исследования состоит в следующем:
- определены типы математических задач, решение которых может способствовать развитию выделенных компонентов математического мышления школьников;
- разработаны требования к системе задач для развития математического мышления учащихся;
- разработаны теоретические положения, лежащие в основе методики использования системы задач для развития математического мышления учащихся.
Практическая значимость состоит в разработке системы задач для развития математического мышления учащихся по теме "Функция" и методики её использования при обучении учащихся 8 классов с углублённым изучением математики. Результаты исследования могут быть использованы учителями математики специализированных классов математического профиля основной школы в процессе обучения теме "Функция" и для разработки аналогичных задач по другим темам курса.
Апробация результатов исследования. Экспериментальная проверка разработанных материалов осуществлялась в средней школе с углублённым изучением математики № 308 С-Петербурга и школы-лицея № 8 г. Сосновый Бор. Результаты исследования докладывались на методологических семинарах аспирантов и преподавателей кафедры методики обучения математике РГПУ им. А. И. Герцена (1997, 1998 г.), на Герценовских чтениях в РГПУ им. А. И. Герцена (1998 г.)
На защиту выносятся:
1. Типология, включающая 23 типа математических задач, специально направленных на развитие выделенных компонентов математического мышления: содержательного анализа, планирования, рефлексии.
2. Принципы организации задач в систему, включающие
- выделение подсистем задач, связанных с изучением отдельных блоков теоретического материала;
- наличие в каждой подсистеме задач, направленных на развитие всех компонентов математического мышления (содержательного анализа, планирования, рефлексии), а также традиционных алгоритмических задач для овладения учащимися определёнными умениями и навыками;
- преобладание в начале изучения (раздела, темы, курса) задач для развития содержательного анализа, а по мере изучения учебного
Цели создания классов с углублённым изучением математики в средней школе
В этом параграфе мы рассмотрим вопросы, связанные с целями создания в нашей стране школ и классов с углублённым изучением математики и обратимся к проблеме определения содержания обучения алгебре в них. Анализ особенностей профильной дифференциации в нашей школе в прошедшие десятилетия необходим для того, чтобы верно определить цели и пути её дальнейшего развития. Проводя такой анализ, мы проследим, как изменялись цели организации профильньк классов, а вслед за ними формы и содержание обучения математике в них.
1.1 Дифференциация обучения как общепедагогическая проблема не является новой ни для нашей, ни для зарубежной школы. В работе [53] проведён обзор опыта работы русской, советской и зарубежных школ, связанной с профильной дифференциацией.
Истоком дифференциации обучения для российской школы можно считать "разделение учебных планов с целью специализации учащихся, которая совместима с сохранением общеобразовательного характера школы" ([92], с. 32). Такое разделение наблюдалось уже в XIX веке: учебные заведения разделялись на гимназии и реальные училища. Новое движение за реформу преподавания математики в школе в нашей стране началось только в конце 50-х годов. Проявлением дифференциации тогда стали специализированные школы и классы с углублённым изучением ряда предметов. Анализ процесса развития этих школ проведён в работе [54].
Бурное развитие математики и физики на рубеже 50-х - 60-х годов нашего столетия наложило определенный отпечаток на уровень развития и направление интересов старшеклассников. Тот научно-методический уровень, на котором школьные учителя проводили кружковые занятия, не всегда мог удовлетворить потребности многих учащихся. С другой стороны, в условиях математизации науки и техники актуальной стала задача поиска творческой молодёжи, хорошо подготовленной в области математики. В первую очередь, в высокой математической подготовке своих студентов были заинтересованы вузы. Они и стали первыми организаторами публичных лекций для учащихся, юношеских математических школ, специализированных школ программистов-вычислителей, школ и классов с углублённым изучением математики.
1.2 С целью выявления наиболее способных и одарённых в области математики детей и организации целенаправленных занятий с ними для удовлетворения их интересов и высокой математической подготовки будущих студентов в 1959/60 учебном году были организованы первые юношеские математические школы (ЮМШ) при Ивановском и Кишинёвском пединститутах, затем их число стало увеличиваться (см. [33], [37], [75], [90], [91]).
Основными задачами этих школ являлись:
- повышение общего математического уровня, математической культуры слушателей;
- расширение и углубление знаний учащихся по курсу математики средней школы;
- развитие навыков решения нестандартных задач повышенной трудности;
- приучение учащихся к самостоятельному чтению математической литературы;
- профессиональная ориентация учащихся.
Содержание углублённого изучения алгебры в основной школе
Профильная дифференциация обучения, распространившаяся сейчас на основную школу требует решить вопрос определения содержания обучения алгебре, соответствующего целям углублённого изучения математики на первом (ориентационном) этапе: формированию у учащихся устойчивого интереса к предмету и выявлению и развитию их математических способностей.
В соответствии с Программой ([83]) углублённое изучение математики в 8 - 9 классах проявляется в изменении (по отношению к общеобразовательным классам)
- содержания обучения;
- требований, предъявляемых к математической подготовке учащихся.
Раскроем подробнее, о каких изменениях идёт речь.
Изменить содержание обучения математике в классах математического профиля предлагается следующим образом:
1. включить в программу ряд дополнительных вопросов с целями а) восполнить содержательные пробелы основного курса, углубить его по основным идейным линиям;
б) создать в совокупности с основными разделами курса базу "для удовлетворения интересов и развития способностей учащихся";
в) "способствовать достижению учащимися высокого уровня математической подготовки", который проявляется в комплексном при менении знаний при самостоятельном решении задач;
г) "постановки интересных, красивых задач;"
2. знакомить учащихся с историческими сведениями, уделяя основное внимание "логике развития математики, происхождению математических понятий и теорий, идеям выдающихся математиков";
3. систематически обращаться "к примерам, раскрывающим возможности применения математики к изучению действительности и решению практических задач", реализуя тем самым прикладную направленность курса;
4. включать в процесс обучения занимательные, интересные и сложные задачи.
К математической подготовке учащихся предъявляются следующие требования: учащиеся должны
1. приобрести умения решать задачи повышенной трудности;
2. "точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач и доказательствах теорем";
3. правильно пользоваться математической терминологией и символикой;
4. применять рациональные приёмы решения задач.
Таким образом, углублённое изучение математики осуществляется во-первых, за счёт изменения содержания обучения: включение дополнительных вопросов, исторических сведений, рассмотрение вопросов, связанных с применением математики, наполнение курса занимательными задачами и задачами повышенной трудности; во-вторых, повышаются требования, предъявляемые к учащимся: они должны уметь решать задачи повышенной трудности, уметь правильно пользоваться математической символикой, применять рациональные способы решения задач.
Требования к системе задач для развития математического мышления учащихся
Термин "задача" понимается нами в широком смысле: это и задания, где не указаны действия для достижения цели, а даны только сведения для решения, и упражнения, где указаны и сведения, и действия, которые необходимо выполнить, и "вопросы, требующие не простого воспроизведения хранящейся в памяти математической информации, а некоторой продуктивной работы мышления, связанной с применением знаний" ([71], с. 174).
Отметим, что решение любой задачи предполагает выполнение действий, отвечающих разным компонентам математического мышления. Однако, можно выделить задачи, для решения которых наиболее существенным является умение выполнять одно из них.
Формированию уменш расчленять условия задачи на существенные и несущественные с точки зрения способа её решения могут способствовать задачи, требующие:
а) выделить объекты, обладающие указанным качеством;
б) проанализировать влияние изменения условия задачи на её решение.
Ю. М. Колягин ([48], с. 16) пишет: "Понятно, что школьники, не обладающие высокой культурой математического мышления, вспоминают обычно вместе с существенными свойствами объекта и многие его несущественные свойства, часто не умея отделить одно от другого", поэтому надо учить учащихся отделять существенное от несущественного. Для этого надо, во-первых, научить просто выделять какие-то группы объектов, а во-вторых, проводить анализ решения задачи с целью выявления существенных и несущественных её условий.
Приведём примеры таких задач.
а) В следующих ситуациях выделить два множества и правило, устанавливающее соответствие между элементами этих множеств:
1) Семьи новосёлов получают квартиры.
2) Ученик по таблице Пифагора находит произведение чисел.
3) Врач измеряет температуру больного в течение недели.
4) В гардеробе на крючках висят пальто.
5) В классе вывесили ведомость успеваемости учащихся 8 "А" класса по математике за месяц.
6) Каждый игрок футбольной команды выступает под своим номером.
7) Петя изображает на координатной плоскости точки, симметричные заданным относительно оси ОХ.
8) Ребята играют в города: надо назвать город, начинающийся на последнюю букву предыдущего.
9) Завуч составил расписание уроков.
б) Задать аналитически функцию, если её область определения - промежуток [3; +оо). 1) Как изменится выражение для функции, если её областью определения будет промежуток [5; +оо)? (3; +оо)? 2)Какое выражение к уже написанному вами можно добавить, чтобы при этом не изменилась область определения функции? Какое выражение изменит область определения функции?
Чтобы научить ученика формализации при помощи математических символов ситуаций, заданных текстом, можно предлагать различные задания на перевод математических утверждений с естественного языка на символьный, графический и обратно. Приведём примеры таких заданий:
1. Каждому числу сопоставлен квадрат частного от деления этого числа на 7. Задайте это соответствие формулой.
2. Соответствия между двумя множествами заданы различными способами: двудольной схемой, таблицей, графиком, формулой. Как при каждом способе задания соответствия определить, задаёт оно функцию или нет?
Становлению следующего действия - преобразования условия задачи для выявления существенной связи между рассматриваемыми объектами могут способствовать задачи, предполагающие не только выделение объектов по заданному признаку, но и выделение самого этого признака в соответствии с требованием задачи.
