Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретическое обоснование использования обращения задач в обучении математике с целью развития гибкости мышления школьников 12
1.1. Проблема развития гибкости мышления учащихся в теории и практике школьного обучения 12
1.2. Генезис представлений об использовании обращения задач в качестве средства развития гибкости мышления учащихся 31
1.3. Сущность и дидактическая ценность обращения школьных математических задач 43
1.4. Основные характеристики обращенных задач в контексте анализа возможностей их использования с целью развития гибкости мышления учащихся 59
Выводы по главе 1 70
Глава 2. Методические аспекты использования обращения задач с целью развития гибкости мышления учащихся 5-6 классов при обученииматематике 72
2.1. Модель методической системы обучения математике учащихся 5-6 классов с использованием обращения задач с целью развития гибкости их мышления 72
2.2. Включение обращенных задач в систему упражнений на усвоение учебного материала с целью развития гибкости мышления учащихся 90
2.3. Реализация возможностей обращения задач в целях развития гибкости мышления учащихся при обобщающем повторении
2.4. Методические особенности использования заданий творческого характера на обращение задач в индивидуальной работе со школьниками .. 121
2.5. Организация и результаты педагогического эксперимента 133
Выводы по главе 2 147
Заключение 150
Список литературы 153
- Генезис представлений об использовании обращения задач в качестве средства развития гибкости мышления учащихся
- Основные характеристики обращенных задач в контексте анализа возможностей их использования с целью развития гибкости мышления учащихся
- Включение обращенных задач в систему упражнений на усвоение учебного материала с целью развития гибкости мышления учащихся
- Методические особенности использования заданий творческого характера на обращение задач в индивидуальной работе со школьниками
Введение к работе
Актуальность исследования. В современном информационном обществе полноценно реализовать себя, быть успешными могут люди, не просто обладающие системой предметных знаний, а интеллектуально развитые личности, свободно ориентирующиеся в быстро меняющемся мире, умеющие самостоятельно принимать ответственные решения в ситуации множественности выбора, анализировать причины и прогнозировать возможные последствия тех или иных событий и явлений, способные находить инновационные решения в условиях неопределенности, преодолевать консерватизм и отличающиеся мобильностью, динамизмом, конструктивностью. Всё это требует развития такого важного интеллектуального качества как гибкость мышления.
На протяжении длительного времени проблема развития гибкости мышления учащихся привлекала к себе пристальное внимание представителей самых различных областей научного знания - философии (Демокрит, В.Ф. Асмус, Г.В.Ф. Гегель, П.В. Копнин, А.Н. Лук и др.), психологии (Д.Н. Богоявленский, В.А. Крутецкий, З.И. Калмыкова, Н.А. Менчинская, М.А. Холодная и др.), дидактики (М.А. Данилов, В.И. Загвязинский, И.Я. Лернер, А.В. Хуторской и др.), методики математики (В.А. Гусев, Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцев, Л.М. Фридман, П.М. Эрдниев и др.).
В контексте деятельностного подхода к обучению математике, утвердившегося повсеместно в предметных методиках, существенно возросла роль задач, их значение в достижении как дидактических, так и развивающих и даже воспитательных целей обучения. А потому и проблема развития гибкости мышления учащихся в процессе обучения математике постепенно стала обретать задачный контекст. Один из подходов к её решению связан с составлением и решением в процессе обучения математике обратных задач по отношению к задачам решаемым или решённым ранее. Указания на этот счёт имеются в работах многих современных зарубежных и отечественных педагогов-математиков: К. Гаттеньо, М. Монтессори, Д. Пойа, Г.В. Дорофеева, М.И. Зайкина, Т.А. Ивановой, А.Г. Мордковича, И.М. Смирновой, В.А. Тестова, В.М. Финкелыптейна, А.Я. Цукаря, Б.П. Эрдниева и др.). Многие из них, отмечая продуктивную направленность работы с уже решённой задачей, настоятельно рекомендуют в обучении математике не останавливаться только на решении задачи, а, используя приём обращения, видоизменять её, получать обратные задачи и решать их (Э.Г. Готман, И.Е. Дразнин, Т.М. Калинкина, Е.С. Канин, Ю.М. Куликов, И.Б. Ольбинский и др.).
В целесообразности включения обратных задач в учебный процесс по математике с целью развития гибкости мышления убеждают и следующие соображения.
Во-первых, составление и решение обратных задач способствует лучшему пониманию структуры математической задачи, обеспечивает более глубокое осознание тех взаимосвязей и отношений, которые свойственны задачной ситуации, позволяет школьникам как бы заглянуть внутрь структуры задачи и увидеть взаимосвязи её данных, данных и искомых и тем самым понять её математическую сущность. Во-вторых, такая работа над уже решённой задачей приобщает учащихся к математическому творчеству, способствует развитию их креативности, поскольку
процесс обращения задачи адекватен процессу исследования определенной проблемы и обеспечивает формирование у школьников умений, необходимых для выполнения творческих исследовательских работ. В-третьих, что, на наш взгляд, является исключительно важным в условиях развивающей образовательной парадигмы современной школы, ценность приёма обращения заключается в превращении прямой связи мыслей в обратную, что способствует развитию такого фундаментального умственного качества как дивергентность мышления.
Разделяя мнение о том, что дополнительная работа над задачей, безусловно, содержит в себе значительный дидактический и развивающий потенциал, отметим, что на практике он далеко не полностью реализуется в силу ряда обстоятельств. На это указывают многие педагоги-математики: А.К. Артёмов, В.Г. Болтянский, Г.В. Дорофеев, В.А. Крутецкий, В.В. Репьёв, Г.И. Саранцев, Л.М. Фридман и др.
Причина тому коренится в недостаточной изученности феномена обратных задач и тех приёмов, посредством которых их получают, а также в неразработанности принципов их включения в учебный процесс с целью развития гибкости мышления школьников.
Сказанное выше обуславливает противоречие между потребностью школьной практики обучения математике в использовании в учебном процессе обращения задач с целью развития гибкости мышления школьников и отсутствием необходимого для этого научного обоснования и методического обеспечения.
Необходимость решения этого противоречия определяет актуальность проблемы диссертационного исследования, определяющейся вопросами: «Как осуществлять обращение математической задачи?» и «Как, используя обращения математических задач в процессе обучения математике в 5-6 классах обеспечить развитие гибкости мышления учащихся?».
Объектом исследования является процесс обучения математике учащихся 5-6 классов общеобразовательных школ.
Предмет исследования - обращение математических задач как методический феномен, обеспечивающий развитие гибкости мышления учащихся при обучении математике в 5-6 классах.
Цель исследования заключается в научном обосновании и экспериментальной проверке методического сопровождения обращения математических задач, обеспечивающего развитие гибкости мышления учащихся при обучении математике в 5-6 классах.
Гипотеза исследования заключается в следующем: обращение математических задач в курсе математики 5-6 классов будет обеспечивать развитие гибкости мышления учащихся, если:
целостно описать процедуру обращения математической задачи и определить те характеристики задачи, которые раскрывают её возможности в развитии гибкости мышления учащихся;
определить последовательность включения заданий на обращение задач при изучении учебной темы и формы их выполнения учащимися;
разработать комплекс заданий по всему учебному материалу курса математики 5-6 классов, выполнение которых обеспечит развитие гибкости мышления учащихся, и реализовать этот комплекс в учебном процессе.
Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи:
-
Изучить состояние проблемы развития гибкости мышления учащихся в теории и практике школьного обучения и обосновать целесообразность использования с этой целью в обучении обращения математических задач;
-
Целостно описать процедуру обращения математической задачи и определить те характеристики задачи, которые раскрывают её возможности в развитии гибкости мышления учащихся;
-
Научно обосновать и построить модель методической системы обучения математике учащихся 5-6 классов с использованием обращения задач;
-
Разработать методическое обеспечение к обучению математике учащихся 5- 6 классов с использованием обращения задач;
-
Экспериментально проверить эффективность разработанного методического обеспечения.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы педагогического исследования:
изучение и анализ психолого-педагогической и учебно-методической литературы по математике, касающейся проблемы исследования;
наблюдение за ходом решения учащимися прямых и обратных задач, анализ рассуждений и действий, выполняемых ими;
анкетирование и интервьюирование учителей математики и учащихся общеобразовательных школ;
системный анализ педагогических объектов;
констатирующий, поисковый и формирующий эксперименты;
статистические методы обработки данных, полученных в ходе формирующего эксперимента.
Теоретико-методологическую основу исследования составляют:
психологические теории развития личности в обучении (Л.С. Выготский, В.В. Давыдов, Л.В. Занков, Н.А. Менчинская, Д.Б. Эльконин и др.);
теория упражнений в обучении математике (Г.И. Саранцев); теория укрупнения дидактических единиц в обучении математике (П.М. Эрдниев); теория сюжетных математических задач (Л.М. Фридман); теория организационной структуры учебного процесса (М.И. Зайкин);
работы методистов-математиков, касающиеся методики видоизменения задач в обучении математике (А.А. Аксёнов, В.А. Далингер, СИ. Дорофеев, И.В. Егорченко, Н.Н. Егулемова, Т.А. Иванова, Т.М. Калинкина, Л.С. Капкаева, Е.С. Канин, Ю.М. Куликов, Д. Пойа, М.А. Родионов, Е.И. Санина, В.А. Тестов, Р.А. Утеева, А.Я. Цукарь и др.).
Этапы исследования. Исследование осуществлялось в несколько этапов.
На первом этапе была изучена психолого-педагогическая и учебно-методическая литература, касающаяся использования в курсе математики обратных и обращенных задач с целью развития гибкости мышления школьников. Проанализировано реальное состояние обучения математике учащихся 5-6 классов общеобразовательной школы, проведен констатирующий эксперимент.
На втором этапе определялись концептуальные положения обучения математике учащихся 5-6 классов с использованием обращения задач с целью развития гибкости мышления учащихся, осуществлялась разработка необходимых материалов и их первичная апробация в образовательном процессе, проводился формирующий эксперимент.
На третьем этапе обрабатывались результаты педагогического эксперимента, формулировались положения, выносимые на защиту, систематизировался, обобщался теоретический материал и целостно излагался в виде диссертации и автореферата.
Научная новизна исследования определяется тем, что предложен подход к обучению математике учащихся 5-6 классов, характерной особенностью которого является использование обращения математических задач в процессе их решения, позволяющий обогатить деятельностную основу методики обучения и осуществлять целенаправленное развитие такого важного интеллектуального качества, как гибкость мышления учащихся.
Теоретическая значимость работы заключается в том, что теория обучения математике обогащена:
определением понятия обращенной математической задачи;
модельным представлением процесса обращения математической задачи;
характеристиками обращенной задачи: мерой обращения и мерой обратимости, отражающими её возможности в развитии гибкости мышления учащихся;
моделью методической системы обучения математике в 5-6 классах общеобразовательной школы с использованием обращения задач с целью развития гибкости мышления учащихся, включающей блоки: целевой (главная и сопутствующие цели), содержательный (обращение мыслительных операций, обращение математических действий, обращение математической деятельности), процессуальный (стратегия включения обращения задач в процесс обучения математике; средства реализации обращения задач; виды занятий по обращению задач) и результативно-оценочный (выражение результата обучения с использованием обращения задач, критериев и показателей его оценки).
Практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что разработанная автором методическая система обучения с использованием обращения математических задач с целью развития гибкости мышления учащихся применима к практике обучения математике в 5-6 классах общеобразовательных школ. Описанная процедура и предложенный алгоритм обращения математической задачи могут быть непосредственно задействованы в учебном процессе.
Обоснованность и достоверность выполненного исследования, его результативность и выводы обусловлены опорой на фундаментальные исследования в области философии, психологии, дидактики, теории и методики обучения математике; на исторический опыт обучения математике в общеобразовательной школе; совокупностью применённых методов исследования, а также положительными результатами проведенного эксперимента.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Обращение математической задачи следует понимать как последовательное видоизменение её путём извлечения из условия части или даже всех данных и включения их в требование; при этом из него, соответственно, исключаются несколько
или все найденные искомые и переводятся в условие; обращенная задача станет обратной по отношению к исходной, если все её требования и условия поменяются местами (мера обращенности задачи в этом случае будет равняться 100%).
-
Возможности обращенной задачи в развитии гибкости мышления учащихся определяются мерой её обратимости, определяющейся числом перехода мысли в процессе её решения с прямого хода на обратный по сравнению с решением исходной задачи.
-
Обучение математике в 5-6 классах общеобразовательной школы с использованием обращения задач с целью развития гибкости мышления учащихся целесообразно осуществлять на основе модели, включающей блоки: целевой (главная и сопутствующие цели), содержательный (обращение мыслительных операций, обращение математических действий, обращение математической деятельности), процессуальный (стратегия включения обращения задач в процесс обучения математике; средства реализации обращения задач; виды занятий по обращению задач) и результативно-оценочный (выражение результата обучения с использованием обращения задач, критериев и показателей его оценки).
На защиту выносится также теоретическое описание процедуры обращения математической задачи и сконструированный на её основе алгоритм для самостоятельного осуществления этой деятельности учащимися.
Апробация основных положений и результатов исследования осуществлялась в виде докладов и выступлений:
на заседании научно-методического семинара кафедры теории и методики обучения математике Арзамасского филиала Нижегородского государственного университета им.Н.И. Лобачевского;
на Международных научно-практических конференциях: «Современные проблемы математики и её преподавания» (Курган-Тюбе, 2013), «Педагогические технологии математического творчества» (Арзамас, 2011), «Актуальные вопросы современной науки» (Горловка, 2011), «Aktualni vymozenosti vedy» (Прага, 2011), «Смешанное и корпоративное обучение: проблемы и решения в сфере подготовки выпускников ВУЗов для реального сектора экономики» (Москва, 2009), «Колмого-ровские чтения» (Ярославль, 2010), «Современная наука: теория и практика» (Ставрополь, 2010), «Актуальные вопросы теории и методики обучения» (Москва, 2011);
на Всероссийских научно-практических конференциях: «Современное образование: научные подходы, опыт, проблемы, перспективы. Артемовские чтения» (Пенза, 2009), «Актуальные проблемы и перспективы развития современного образования. Вахтеровские чтения» (Арзамас, 2009), «Современный учитель сельской школы России» (Арзамас, 2010), «Актуальные проблемы современной науки и образования» (Уфа, 2010), «Научное творчество XXI века» (Красноярск, 2011), «Инновационные технологии организации обучения на пути к новому качеству образования» (Арзамас, 2011), «Математическое образование и информационное общество: проблемы и перспективы» (Москва, 2012), «Гуманитарные традиции математического образования в России» (Арзамас, 2012), «Наука молодых» (Арзамас, 2013), «Новые педагогические технологии: содержание, управление, методика» (Нижний Новгород, 2013);
- на межрегиональных научно-практических конференциях: «Нижегородская сессия молодых ученых. Гуманитарные науки» (Нижний Новгород, 2009, 2012), «Актуальные проблемы обучения математике, физике и информатике в школе и вузе» (Пенза, 2011).
Внедрение результатов диссертационного исследования осуществлялось автором в ходе экспериментальной проверки разработанного методического обеспечения в МБОУ СОШ № 2 им. А.С. Пушкина, МБОУ «Лицей», МБОУ СОШ № 14 г. Арзамаса.
Структура диссертации обусловлена логикой исследования и состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 28 статей, из них 3 в изданиях, рекомендованных ВАК.
Генезис представлений об использовании обращения задач в качестве средства развития гибкости мышления учащихся
Так, ряд психологов и педагогов, описывая проявления гибкости мышления, по-разному терминологически её обозначают. Одни авторы называют её «переключаемостью» (Т. В. Кудрявцев [99]), другие - «подвижностью» (В. И. Зыкова [74]), третьи - «отсутствием скованности», «динамичностью» (П. А. Шеварёв [175]). Гибкость можно также определять и через «способность к продуцированию новых идей» (Дж. П. Гилфорд [188]); «отсутствие стереотипности в восприятии» (А. У. Хараш); «возможность перестройки привычных действий в соответствии с меняющейся действительностью», «преодоление барьера прошлого опыта» (З.И.Калмыкова [81]); «способность к перестройке информационной системы человека по мере накопления получаемой информации» (Т. И. Ронгинская) и т.д.
Весомый вклад в решение проблемы развития гибкости мышления внесли зарубежные психологи Дж. Гилфорд [189], К. Дункер [59], О. Зельц [190], Ю. Козелецкий [88], Е. П. Торренс [191] и др.
Для определения гибкости мышления они используют в основном два термина: flexibility - собственно гибкость, трактуемая как быстрый и легкий переход от одного класса предметов или явлений к другому, и variability -вариабельность, многосторонность, способность давать большое количество ответов, принадлежащих к одному или нескольким классам.
Разделение зарубежными психологами способностей на творческие и общие (интеллектуальные) послужило основанием для выделения двух типов мышления: конвергентного (последовательного, логического, однонаправленного) и дивергентного (альтернативного, предполагающего наличие способности мыслить в разных направлениях), показателем последнего стал коэффициент креативности, который включает в себя беглость мышления, его гибкость и оригинальность [188, 189]. Таким образом, гибкость мышления наряду с беглостью и оригинальностью становится «интеллектуальным» показателем креативности, причём стимулом к её проявлению служит не столько многообразие имеющегося знания, сколько восприимчивость к новым идеям, которые в свою очередь ломают устоявшиеся стереотипы [191, 192].
Дж. Гилфорд характеризует гибкость как способность к переосмысливанию функций объекта, использованию его в новом качестве. Более того, он определяет «творческость» мышления, через доминирование в нём четырёх показателей, с приоритетом различных видов гибкости: 1) оригинальность, нетривиальность, необычность высказываемых идей, ярко выраженное стремление к интеллектуальной новизне; 2) семантическая гибкость, то есть способность видеть объект под новым углом зрения, обнаруживать его новое использование, расширять функциональное применение на практике; 3) образная адаптивная гибкость, то есть буквально гибкость вынужденная, вызванная необходимостью адаптироваться к изменившейся ситуации, наблюдается, когда условия задания требуют изменить ход мысли, восприятие объекта таким образом, чтобы видеть его новые, скрытые от наблюдателя стороны; 4) семантическая спонтанная гибкость, то есть гибкость самопроизвольная, не обусловленная внешними стимулами, которая заключается в способности продуцировать разнообразные идеи в неопределенной ситуации, в частности, в такой, которая не содержит ориентиров на эти идеи [188].
Е. Торренс выделяет гибкость в отдельный, независимый показатель когнитивной сферы, характеризуя её как способность к выдвижению разнообразных идей, переходу от одного аспекта проблемы к другому и использованию разнообразных стратегий решения проблем. При этом автор полагает, что низкие показатели гибкости свидетельствуют о ригидности (вязкости) мышления личности, малой информированности, ограниченности интеллектуального развития или низкой мотивации. Вместе с тем, им уточняется, что чрезвычайно высокие показатели гибкости могут отражать метание человека от одного аспекта проблемы к другому и его неспособность придерживаться единой линии в мышлении [192].
Ю. Козелецкий в своих работах отмечает, что проявление гибкости мышления зависит от степени неопределённости проблемы (задачи), требующей решения. В тех случаях, когда исследуемая проблема имеет чёткие опознавательные сигналы, однозначно относящие её к конкретному типу задачи, алгоритмы, решения которых хорошо известны человеку, то весь ход мыслительной деятельности оказывается направлен на применение данного алгоритма к конкретной задаче. Напротив, когда предложенная задача является нестандартной, личность, осуществляя поиск путей и способов её выполнения, попытается применить к её решению как можно более широкий арсенал своих знаний, тем самым проявив гибкость мышления [88].
Одним из наиболее значимых показателей гибкости мышления, по мнению К. Дункера, является многоаспектность в подходе к решению задач. Он отмечает, что человек тем способнее, чем большее число аспектов ситуации он может обозреть одним взглядом без длительной нащупывающей работы, чем разнообразнее эти аспекты. К примеру, у «не математика» математический образ значительно беднее аспектами [59, с. 146-147]. Таким образом, К. Дункер выделяет среди предпосылок успешного решения задач своеобразную гибкость мыслительных процессов.
Основные характеристики обращенных задач в контексте анализа возможностей их использования с целью развития гибкости мышления учащихся
И наконец, в-пятых, подходы к поиску решения обратных задач нередко отличаются от тех, что использовались при поиске решения исходной задачи, а знакомство с ними существенно обогащает математическую культуру и кругозор учащихся.
Напомним, что сущность приёма обращения задачи состоит в следующем: после решения исходной задачи составляется и решается задача, обращенная по отношению к исходной, для чего из условия исходной задачи извлекаются часть или даже все данные, и включаются в её требование, а из него соответственно исключаются несколько или все найденные искомые и переводятся в её условие. После этих преобразований формулируется задача, в которой требуется найти результат, выбранный в качестве искомого, используя остальные данные, в том числе и ответ исходной задачи.
Очевидно, действуя указанным образом, из исходной задачи можно получить не одну, а несколько новых задач, взаимосвязанных друг с другом по условию и требованию. Для их систематического описания процесс обращения исходной задачи можно представить в виде следующей модели (см. рис. 2).
Совокупность условий задачи У представим в виде множества {у,}, а совокупность её требований Г- в виде множества { ,-}. Будем последовательно извлекать из условия исходной задачи часть или даже все данные, и включать их в её требование, а из него соответственно переводить несколько или все найденные искомые в её условие.
Если одно данное из условия (например, у() исходной задачи переводится в искомые и одно найденное значение (например, tj) — в условие, то процесс обращения задачи схематично можно представить так (рис. 2а). Если же таковых элементов будет взято больше, к примеру, у\, у2 и Г], t2, h, то схе матичное представление процесса обращения задачи будет несколько иным (рис. 26). Действуя таким образом, можно перебрать все различные комбинации из элементов условия и требования исходной задачи, включая и тот самый случай, когда вся совокупность {/,-} перейдёт в условие У, а вся совокупность {уі} перейдёт в требование Г (рис. 2в).
Очевидно, мера обращённости исходной задачи в приведённой цепочке случаев а), б), в) последовательно нарастает. Она достигает своего максимума в последнем случае в), когда получается задача, в которой условие и требование полностью поменяны местами по сравнению с исходной задачей.
Естественно возникает вопрос, как же называть задачи, полученные в результате не полного, а частичного обращения элементов условия и требования исходной задачи? Отвечая на этот вопрос, заметим, что в модельном представлении процесса обращения задачи (см. рис. 2) не трудно увидеть своеобразный оборот (обращение) элементов условия и требования прямой задачи, а потому, логично было бы их называть обращенными, а не обратными, как называют их многие авторы.
Обратим внимание также и на то, что среди обращенных задач есть одна, которая занимает особое положение, она соответствует тому случаю, когда все до одного элемента из {у,} перешли в Г, и все до одного элемента из [tj] перешли в У, что, по сути, будет означать, что обращение элементов условия и требования задачи выполнено по максимуму - то, что в исходной задаче было известно (дано), в ней необходимо найти, а то, что требовалось определить, наоборот, - стало известным. Фактически здесь имеет место предельный случай обращения задачи. Он соответствует тем представлени ям, которые утвердились в методике геометрии (У- 7) и (Г— У) о прямых и обратных утверждениях. А потому эту обращенную задачу логично называть обратной по отношению к исходной (прямой).
Причём всякую обратную задачу можно назвать обращенной, но не наоборот, то есть не любая обращенная задача является обратной по отношению к исходной задаче.
Мы уже отмечали, что нередко в научно-методической литературе, в частности, и в учебниках по математике встречаются задания на составление обратных задач, однако при этом подразумевается конструирование обращенных задач. Причины этого мы видим в том, что термин «обратная» задача исторически укоренился в методике преподавания математики.
Комментируя изложенное выше, выскажем мнение о том, что, несмотря на традиционно закрепившееся в методике математики одинаковое название для всех задач, получаемых в результате осуществления частичного или полного обращения элементов условия и требования исходной задачи - «обратная задача», в условиях проектирования высокоэффективных методик обучения современных школьников целесообразнее было бы различать получаемые при этом задачи и употреблять разные термины - «обращенная задача» и «обратная задача».
Включение обращенных задач в систему упражнений на усвоение учебного материала с целью развития гибкости мышления учащихся
Ещё одним важным блоком методической модели является процессуальный. Данный блок отражает процессуальные аспекты обучения учащихся 5-6 классов математике с использованием обращения задач в качестве средства развития гибкости их мышления и предусматривает несколько разноплановых в качественном отношении составляющих, а именно: стратегию включения обращения задач в процесс обучения математике в 5-6 классах, средства реализации обучения учащихся обращению задач, формы проведения занятий дающих возможность полноценно использовать возможности обращения задач.
Первая составляющая - стратегия включения обращения задач в процесс обучения математике.
Учитывая традиционно сложившиеся представления об основных формах организации учебного процесса в школе, а также то, что обращение задач, можно использовать не только в целях развития гибкости мышления учащихся, но и в пропедевтических и дидактических целях, в качестве основных видов заданий, предназначенных для организации усвоения изучаемого материала, и его последующего закрепления, определим следующую стратегию включения обращения задач в процесс обучения математике в 5-6 классе: - использование обращенных задач на начальных этапах усвоения учащимися учебного материала; - использование обращенных задач на заключительных этапах изучения школьниками учебной темы; - использование обращенных задач в процессе итогового обобщающего повторения пройденного материала.
Для реализации процесса обращения задачи необходимо наполнить его конкретным содержанием, в этом будет заключаться вторая составляющая процессуального блока - средства реализации обучения учащихся обращению задач. Задачи подбираются или составляются, исходя из целей каждого этапа, поэтому целесообразно представлять задачи в виде следующих трёх блоков:
1) деформированные упражнения - упражнения с недостающими компонентами, одним или более, в которых требуется восстановить некоторые части или элементы правильно решённых задач;
2) задачи с пропусками в условии, но с ответом - это задачи в которых часть условия скрыта и обозначена точками (пропусками), требуется выяснить, что же было написано в условии, а поскольку однозначно это сделать не возможно, поэтому указан ответ к этой задаче с потерянными условиями.
3) обращенные задачи - задачи, которые возможно получить в результате обращения, для чего из условия прямой задачи извлекаются часть или даже все данные, и включаются в её требование, а из него соответственно исключаются несколько или все найденные искомые и переводятся в её условие, после этих преобразований формулируется задача, в которой требуется найти результат, выбранный в качестве искомого, используя остальные данные, в том числе и ответ исходной задачи.
Применение деформированных упражнений, задач с пропусками в условии, но с ответом и обращенных задач способствует развитию гибкости мышления учащихся, отражает возможность перестройки привычных действий, проявляется также в оригинальности подходов к анализу ситуаций, в возможности их переосмысления, которое происходит путём изменения хода мысли с прямого на обратный.
Наконец, процессуальные аспекты обучения учащихся обращению задач связаны и с формами проведения занятий, дающих возможность полноценно реализовать их возможности. Среди них, в первую очередь, мы выде ляем фронтальные инструктажи по обращению задач и демонстрации процедуры его выполнения, осуществляемые учителем. Они могут осуществляться как на обычных уроках, так и в специально отведённое время, к примеру, на кружках, факультативах и др. Не менее значимой и необходимой формой занятий являются индивидуальные тренинги, в которых, по сути говоря, и происходит освоение учащимися механизма обращения задачи под руководством учителя. Наконец, ещё одним из важных и необходимых мы считаем самостоятельные практикумы, которые реализуются посредством домашнего выполнения обращения задач творческого характера, расширяющие и обогащающие умения учащихся обращать математические задачи.
С учётом выше сказанного процессуальный блок модели схематично может быть представлен следующим образом (см. рис. 17).
Стратегия включения обращения задач в процесс обучения математике 1 1 ҐV на начальных этапах усвоения учащимися учебного материала fна заключительных этапахизучения школьниками учебной темыч. I , в процессе итогового обобщающего повторения пройденного материала Средства реализации обращения задач 1 1 Деформированные упражнения ч Задачи с пропусками в условии, но с ответом Обращенные задачи
Четвёртый блок модели - результативно-оценочный отражает те качественные сдвиги в развитии гибкости мышления учащихся, которые неминуемо должны произойти в процессе обучения математике с использованием обращения задач в 5-6 классах. А оценка уровня его развития может быть выражена уровнями успешного выполнения обращения задач, предполагающих осознанное самостоятельное осуществление обращения задач в самых различных ситуациях.
Методические особенности использования заданий творческого характера на обращение задач в индивидуальной работе со школьниками
Несмотря на количественные различия в числе этапов и терминологические отличия в формулировках их названий, можно заметить то общее, что свойственно практически всем авторам: поиск решения задачи рекомендуется проводить на первых двух - трёх этапах. При этом анализируется текстуальное представление задачи, сюжетная составляющая задачи и логическая (внутренняя) взаимосвязь величин, характеризующих её. Наиболее последовательно этого придерживаются Л. М. Фридман и Е. Н. Турецкий.
Отталкиваясь от представленных точек зрения и учитывая специфику процесса обращения задачи, считаем целесообразным при обращении задачи различать следующие пять этапов: этап анализа содержания прямой задачи; этап решения прямой задачи и его проверки; этап подготовки к обращению задачи; этап осуществления обращения задачи; этап исследования обращенной задачи.
Так, на этапе анализа содержания задачи необходимо обеспечить достижение ясного понимания школьником текста словесной формулировки задачи, установить объекты исследования, выделить процессы, подлежащие рассмотрению. Следующим шагом должно быть осознание структуры задачи, выявление известных и искомых величин, уяснение функциональных зависимостей между величинами. После усвоения условия задачи определяются арифметические действия, которые необходимы для решения исходной задачи, устанавливается их порядок.
Когда способ решения задачи найден, его необходимо осуществить, это будет уже второй этап - этап решения прямой задачи и его проверки. После того, как решение осуществлено и письменно изложено, записан ответ задачи, необходимо убедиться, что это решение верное, т.е. удовлетворяет всем требованиям задачи. Здесь мы не будем останавливаться на возможных способах проверки найденного искомого и перейдём к следующему этапу - этапу подготовки к обращению задачи. На данном этапе следует составить числовую цепочку структурных элементов решённой исходной задачи. Записывая числовую цепочку задачи, учителю следует обращать внимание на то, чтобы ни одно из данных и найденное искомое или искомые не были упущены из её состава учащимися, поскольку такая ошибка нередко встречается в практике обращения задач. Важно также обращать внимание ещё и на то, что зачастую школьники пытаются включить в цепочку результаты промежуточных действий решения задачи. В этом случае учащимся необходимо напомнить основные моменты по составлению числовой цепочки структурных элементов задачи во избежание совершения в дальнейшем подобных ошибок, так как они могут привести впоследствии к неверному составлению числовых цепочек уже обращенных задач. Убедившись в правильности полученной учениками числовой цепочки исходной задачи, учителю рекомендуется вычислить потенциал обращения задачи, т.е. узнать количество возможных обращений данной задачи, для того чтобы не упустить из виду не одной обращенной задачи. Напомним, что обращенных задач можно построить несколько, в зависимости от числа данных и искомых. Причём эта зависимость, как было доказано в параграфе 1.4, определяется формулой: Р = (2" - 1 (2 - 1), где Р - потенциал обращения задачи, п - число данных задачи, к - число искомых задачи.
Дальнейшим этапом в процессе обращения задачи является этап осуществления обращения задачи, на котором составляются и записываются всевозможные числовые цепочки структурных элементов обращенных задач, и этот процесс продолжается до тех пор, пока не дойдём до последней число 106 вой цепочки (поскольку их количество учителю уже известно). Затем происходит формулирование и запись текста новой обращенной задачи по одной из выбранной числовой цепочки. На первых порах учитель может сам озвучивать условие вновь полученной обращенной задачи и требовать от учащихся только придумывания соответствующего вопроса. Только после конструирования таким путём несколько обращенных задач, школьники будут настолько подготовлены к данному этапу, что будут в состоянии сами намечать и формулировать условие и придумывать к задачам надлежащие вопросы. В некоторых случаях при обращении задачи возможно получение не разрешимой, противоречивой или просто тривиальной задачи, поэтому учителю необходимо заглядывать вперёд при выборе комбинации данных и намеченных искомых для той или иной числовой цепочки. Сформулировав чётко и ясно как условие новой задачи, так и её вопрос, надо убедиться, что содержание задачи ясно для всех школьников, а для этого полезно практиковать повторение полного текста задачи кем-либо из учащихся.
И наконец, переходим к заключительному этапу процесса обращения задачи - этапу исследования обращенной задачи.
На данном этапе нужно произвести анализ полученной обращенной задачи, а именно установить, является ли данная задача разрешимой, в противном случае, указать условия, при которых данную задачу возможно будет решить. Акцентируем внимание, что, несмотря на то, что не всякая обращенная задача имеет решение, однако отсюда вовсе не следует, что эти задачи нельзя использовать в обучении. Напротив, разбор некоторых не разрешимых обращенных задач, выявление причин их неразрешимости является весьма поучительным для учащихся. Поэтому использование противоречивых или не разрешимых обращенных задач в обучении математике вполне допустимо, однако при этом предполагается, конечно, что учитель понимает специфику и особенности предлагаемых задач.
