Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Теоретическое обоснование возможности формирования логической компетентности у учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике 16
1.1. Теоретические и практические предпосылки формирования логической компетентности у школьников 16
1.2. Логическая компетентность учащихся 5-6 классов как составляющая их предметных и надпредметных компетентностей 30
1.3. Критерии сформированности логической компетентности учащихся 5-6 классов и дидактические условия ее формирования в процессе обучения математике 57
ГЛАВА II. Методика формирования логической компетентности у учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике 76
2.1. Цели и содержание формирования логической компетентности . 76
2.2. Методы и организационные формы формирования логической компетентности в процессе обучения математике 87
2.3. Описание опытно-экспериментальной работы 117
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 157
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 159
ПРИЛОЖЕНИЯ 180
- Теоретические и практические предпосылки формирования логической компетентности у школьников
- Критерии сформированности логической компетентности учащихся 5-6 классов и дидактические условия ее формирования в процессе обучения математике
- Цели и содержание формирования логической компетентности
Введение к работе
Начало XXI века ознаменовало переход к постиндустриальному обществу, построенному на небывалом уровне технического прогресса, основывающемуся в первую очередь на знаниях и новых технологиях, которые являются важнейшим фактором социально-экономического развития и определяют весь уклад жизни общества. Происходящие в современном обществе глобальные социально-экономические перемены требуют от человека расширения кругозора, развития его творческих способностей, умения разбираться в возрастающем потоке информации, способности овладеть новыми технологиями, самостоятельно принимать решения и быстро адаптироваться к постоянно изменяющимся социально-экономическим условиям общественной жизни.
Традиционная направленность общего образования на усвоение системы знаний не отвечает современному социальному заказу, требующему воспитания самостоятельных, инициативных и ответственных членов общества, способных взаимодействовать в решении социальных, производственных и экономических задач. Знания и умения как результаты образования необходимы, но недостаточны, чтобы быть успешным в информационном обществе. Сегодня становится объективной необходимостью усиление самостоятельной деятельности школьников, развитие их личностных качеств и творческих способностей, умений самостоятельно приобретать новые знания в условиях быстро меняющегося мира, способности применять усвоенные знания на практике для решения реальных жизненных проблем. Школа должна не только воссоздавать интеллектуальный потенциал страны, но и обеспечивать условия формирования свободной, критически мыслящей личности, осознающей и развивающей свои способности, способной найти свое место в жизни и реализовать себя.
Эти целевые установки на подготовку учащихся общеобразовательной школы заданы в Концепции модернизации российского образования и определены на основе принятого в ней компетентностного подхода к качеству подготовки учащихся как к результату образования.
Компетентностный подход актуализирует общие и специальные умения, непосредственно востребованные в жизни и в последующем профессиональном образовании выпускников школы, задает направление обновления целей и содержания общего образования, усиления его воспитательной, прикладной и практической направленности. Компетентностный подход ориентирует на формирование у учащихся не только знаний и умений, но и опыта деятельности, а также ценностных ориентации. Он предполагает формирование у учащихся ключевых компетентностей. Ключевыми компетентностями называют универсальные компетентности широкого спектра использования. Определения и состав компетентностей описаны в работах отечественных педагогов и психологов Н. Антохиной, М.Ю. Бухаркиной, Т.В. Васильевой, Э.Ф. Зеер, И.А. Зимней, Г.И. Ибрагимова, Т.В. Ивановой, В.А. Кальнёй, A.M. Новикова, О. Лопаткиной, М.В. Пожарской, СЕ. Шишова, А.В. Хуторского и др. Они выделяют различные ключевые компетентности (базовые, межпредметные, метапредметные, надпредметные и др.).
Современная психологическая и педагогическая наука выделяет следующие компоненты компетентности: когнитивный (знания и умения), деятельностный (наличие мотивированной активности), ценностные ориентации (регулятор мотивации личности). Ценностные ориентации -важнейшие элементы структуры личности, закрепленные жизненным опытом индивида и ограничивающие значимое, существенное для данного человека от незначимого, несущественного. Совокупность сложившихся ценностных ориентации обеспечивает устойчивость личности, преемственность определенного типа поведения и деятельности, является важнейшим фактором, регулирующим мотивацию личности (В.А. Адольф, П.Я.Гальперин, И.А. Зимняя, А.Н. Леонтьев, И.Я. Лернер, А.К. Маркова, Н.Х.Розов, С.Л. Рубинштейн, Э.Э Слабунова, Л.В. Шкерина, Д.Б. Эльконин и др.).
Следуя большинству указанных авторов, компетентность будем трактовать как некоторый комплекс личностных качеств учащихся, основанных на синтезе знаний, их мотивированном использовании в деятельности и ценностно-оценочных отношениях.
С этих позиций под логической компетентностью учащихся 5-6 классов будем понимать их логическую грамотность как владение определенными элементами формальной и математической логики, необходимую для развития логического мышления в процессе обучения математике; развитое логическое мышление; способность использовать логическую грамотность, развитое логическое мышление в деятельности для решения проблем, возникающих в обучении и жизни; ценностное отношение к логической грамотности и опыту собственной деятельности на ее основе.
Придерживаясь точек зрения И.А. Зимней, В.А. Кальней и А.В. Хуторского по вопросу классификации компетентностей, логическую компетентность учащихся будем относить к ключевым компетентностям.
Сегодня развитое логической мышление рассматривается не только как важнейшее условие учебной успешности школьника, но и как основа формирования его мотивированной деятельности, умений решать проблемы, возникающие в реальной жизни, и способности оценивать свою деятельность. Велика роль логического мышления в формировании ценностных ориентации личности, обеспечивающих ее устойчивость, преемственность определенного типа поведения и деятельности, регулирующих мотивацию личности и являющихся важнейшим элементом ее структуры.
Многолетний опыт автора и анализ опыта работы других учителей математики показали, что в настоящее время у учащихся 5-6 классов не формируются логическая грамотность и логическое мышление, необходимые для достижения нового качества их логической подготовки с позиций компетентностного подхода.
Для развития логического мышления средствами математики необходимо знание определенных понятий и законов логики, т.е. логическая грамотность. О развитии логического мышления средствами логики и математики писали Н.Я. Виленкин, Ю.М. Колягин, Н.А. Менчинская, Т.Н. Миракова, И.Л.Никольская, Д. Пойа, А.А. Столяр, А.Я. Хинчин и др. Ученые неоднократно подчеркивали важность изучения логики для развития логического мышления. Логической подготовке учащихся в процессе обучения математике посвящены работы В.М. Брадиса, Е.К. Войшвилло, Г.Д. Глейзера, Г.В. Дорофеева, А.Н. Колмогорова, Н.И. Кондакова, П.С. Новикова, Л.Г. Петерсон, Н.Ф. Талызиной, А.И. Фетисова, С.Л. Эдельмана, Е.Н. Юшипициной, Б.В. Яковлева и др. В методической литературе выделяются несколько подходов к решению проблемы логической подготовки учащихся: выделение логики в отдельный предмет, изучаемый в средней школе; включение элементов логики в содержание школьного курса математики в качестве содержательно-методической линии (А.Я. Блох, Г.В. Дорофеев, А.Н. Колмогоров, Л.Г. Петерсон и др.) или факультативного курса (Н.Я. Виленкин, Н.Д. Есипова, И.Л. Никольская и др.).
В отечественной школе в семидесятые годы XX в. были предприняты попытки включения элементов логики в содержание обучения математике. Но вскоре от этой идеи отказались из-за отсутствия необходимой мотивации логических знаний и непонимания учащимися и учителями их практической значимости. В настоящее время элементы логики включены в содержание курса математики общеобразовательной школы. Но анализ современных учебно-методических комплектов по математике показал, что лишь некоторые из учебных пособий для 5-6 классов включают элементы логики. И только учебные пособия Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон учитывают психологический аспект формирования логического мышления у данной возрастной группы учащихся в процессе обучения математике.
Таким образом, констатируем, что в настоящее время отсутствует необходимое методическое сопровождение для формирования логической-компетентности учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике.
Психолого-педагогическая наука отмечает важность того, какой тип логического мышления будет сформирован у учащихся к окончанию ими 6-го класса: теоретический или эмпирический. Сформированный тип мышления и будет использоваться ребенком при решении различных задач и проблемных ситуаций, возникающих в учебном процессе и в жизни. В.В. Давыдов отмечает, что эмпирическое мышление появляется у ребенка вне школы и в определенной степени может развиваться вне школьного обучения, которое лишь оформляет его. Теоретическое мышление формируется только при организации целенаправленной работы для развития соответствующих операций; если, в школе ребенок не научается теоретическому подходу к решению проблемных ситуаций, то качественного изменения в его развитии не происходит. Л.С.Выготский, Ж. Пиаже и др. определили возраст 11-12 лет как наиболее благоприятный для развития логического (теоретического) мышления. О.С. Анисимов, А.В. Брушлинский, В.В. Давыдов, Л.Г. Петерсон, Д.Б. Эльконин и др. считают, что потенциальные умственные, мыслительные способности школьников данного возраста шире и богаче тех, которые задействуются и развиваются традиционным обучением. Традиционное обучение, ориентированное только на пополнение багажа знаний с преобладанием репродуктивных методов, не способно формировать необходимый уровень логического мышления, необходимый для дальнейшего профессионального обучения и жизни в современном мире.
Л.С. Выготский, В.В. Давыдов, Л.Г. Петерсон, Д.Б. Эльконин и другие отмечают необходимость иных подходов, отличных от подходов, используемых в настоящее время общеобразовательной школой.
Анализ специальной литературы показал, что методические аспекты реализации компетентностного подхода в математической подготовке учащихся основной общеобразовательной школы изучены недостаточно, в том числе отсутствуют научнообоснованные методики формирования логической компетентности у учащихся 5-6 классов в процессе обучения их математике.
Тем самым в настоящее время явно обозначились противоречия:
- между современными требованиями к качеству сформированности логического мышления, логической грамотности, умений использовать их не только в учебной деятельности, но и в реальной жизни, к сформированности личностно-ценностного отношения учащихся к этому и реальной образовательной практикой математической подготовки учащихся общеобразовательной школы, направленной в основном на формирование предметных знаний, умений и навыков учащихся;
- между достаточной изученностью вопросов формирования логической компетентности на общем психолого-педагогическом уровне и слабой проработанностью на частно-методическом уровне: отсутствием эффективных методик ее формирования у учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике.
Выделенные противоречия обозначили проблему исследования, которая состоит в разработке эффективной методики формирования логической компетентности учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике.
Актуальность и недостаточная разработанность проблемы послужили основанием выбора темы исследования: «Формирование логической компетентности у учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике».
Цель диссертационного исследования: разработать эффективную методику формирования логической компетентности у учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике.
Объект исследования: процесс обучения математике в основной школе (5-6 классы).
Предмет исследования: формирование логической компетентности у учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике.
Гипотеза исследования: если в обучении математике учащихся 5-6 классов основной общеобразовательной школы использовать специальную методику, все компоненты которой соответствуют целям математической подготовки и структуре логической компетентности учащихся 5-6 классов, ориентированы на обеспечение целенаправленной учебной деятельности ребенка как субъекта учения, то это будет способствовать формированию логической компетентности учащихся 5-6 классов, а именно:
- логической грамотности, то есть владению некоторым комплексом понятий и законов логики, составляющих необходимый базис для развития логического мышления;
- формированию умений использовать логическую грамотность, логическое мышление в учебной деятельности и жизни;
- ценностно-личностному отношению к логической грамотности и опыту собственной учебной и внеучебной деятельности на ее основе.
Для достижения цели исследования и в соответствии с гипотезой исследования необходимо было решить следующие задачи:
1. Выявить теоретические и практические предпосылки формирования логической компетентности у учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике.
2. Выявить структуру логической компетентности учащихся 5-6 классов как составляющей предметных и надпредметных компетентностей.
3. Разработать критерии сформированности логической компетентности учащихся 5-6 классов и определить дидактические условия ее эффективного формирования.
4. Разработать методику формирования логической компетентности у учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике и проверить ее эффективность в опытно-экспериментальной работе. Теоретические основания исследования:
- периодизация развития высших психических функций, развития мышления и деятельности (ІЛ.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, Д.Б. Эльконин и др.);
- психолого-педагогические основы теории проблемного обучения (И.Я. Лернер и др.);
- принципы развивающего обучения (В.В. Давыдов, Л.В. Занков, В.В. Репкин, Д.Б. Эльконин, И.С. Якиманская и др.);
- теория поэтапного формирования умственной деятельности (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина);
- основы теории деятельности и деятельностного подхода в обучении (О.С. Анисимов, П.Я Гальперин, В.В. Давыдов, Н.Ф. Талызина и др.);
- теория учебно-познавательной деятельности (Ю.К. Бабанский, И.Я. Лернер, П.И. Пидкасистый, Л.В. Шкерина и др.);
- обогащающая модель обучения (И.А. Зимняя, М.А. Холодная и др.);
- подходы к отбору содержания (В.В. Давыдов, Л.В. Занков, Л.Г. Петерсон, Д.Б. Эльконин и др.);
- системный подход (В.П. Беспалько, И.Я. Лернер, A.M. Пышкало и др.);
- компетентностный подход в обучении (В.А. Адольф, В.А. Болотов, А.К. Маркова, В.В. Сериков, Т.И. Шамова, Л.В. Шкерина и др.);
- психолого-педагогические основы обучения математике (Л.М.Фридман и др.);
- развитие логического мышления средствами математики (В.М. Брадис, Н.Я. Виленкин, Ю.М. Колягин, Н.А. Менчинская, И.Л. Никольская, А.А. Столяр, А.Я. Хинчин и др.);
- методика подготовки и проведения проблемного урока (В.В. Давыдов, Е.Л. Мельникова и др.);
- интегративная технология деятельностного метода и структура урока «открытия» нового знания (Л.Г. Петерсон и др.).
Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:
- анализ психолого-педагогической, методической литературы по теме исследования, школьных стандартов, программ и учебников по математике;
- выдвижение рабочих гипотез исследования и теоретическая разработка методики формирования логической компетентности у учащихся 5- классов в процессе обучения математике с последующей ее корректировкой на основе практических выводов;
- анализ результатов деятельности; педагогическое наблюдение, анкетирование, беседы с учащимися и учителями математики;
- педагогический эксперимент и обработка его результатов методами математической статистики.
Основные этапы исследования. Исследование проводилось с 1999 по 2005 гг. и состояло из четырех этапов.
/ этап (1999-2001 гг.). В ходе поисково-формирующего этапа проводилось накопление эмпирического опыта по проблеме исследования и определение на основании полученного материала дидактических условий успешного формирования логической компетентности у учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике.
II этап (2001-2002 гг.). Было изучено современное состояние проблемы, проведен анализ психолого-педагогической литературы по проблемам развития логического мышления, развития личности в процессе учебной деятельности, организации педагогического исследования.
Определены предмет и задачи исследования, выдвинута гипотеза, разработана программа педагогического эксперимента. Уточнены дидактические условия формирования логической компетентности; проведено обобщение и систематизация полученных результатов первого этапа исследования. Разработана на основе данных психолого-педагогической науки методика формирования логической компетентности у учащихся 5-6 классов в процессе обучении математике, включающей цели, содержание, методы и организационные формы обучения. Разработаны критерии сформированности логической компетентности как критерии сформированности каждого компонента структуры логической компетентности. Определены методики психолого-педагогической диагностики сформированности каждого компонента структуры логической компетентности у учащихся для отслеживания эффективности реализации специальной методики в опытно экспериментальной работе. Начата экспериментальная проверка методики, ее корректировка и совершенствование в процессе обучения.
III этап (2002-2004 гг.). Уточнена методика формирования логической компетентности, продолжена ее опытно-экспериментальная проверка; разработан тематический модуль и включен в программу курсов повышения квалификации для формирования педагогического актива в школах области по апробации методики формирования логической компетентности. Проверены методика формирования логической компетентности учащихся 5-6 классов и оптимальность логической составляющей содержания в рамках областной экспериментально-инновационной площадки «Обучение в новой образовательной парадигме» Сахалинского областного института переподготовки и повышения квалификации кадров в нескольких районах области под научным руководством диссертанта. В ходе исследования учтен также собственный практический опыт преподавания математики в 5-6 классах экспериментального лицея «Восточный» Сахалинского областного института переподготовки и повышения квалификации кадров.
IV этап (2004-2005 гг.): статистическая обработка результатов мониторинга формирования логической компетентности у учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике с использованием предложенной методики, проверка на их основе выдвинутой гипотезы, оформление результатов исследования и подготовка диссертации.
Отслеживание формирования логической компетентности в течение всех этапов (1999-2005 гг.) проводилось на основе разработанных критериев сформированности логической компетентности у учащихся 5-6 классов.
На различных этапах исследования использовалась следующая экспериментальная база: средние общеобразовательные школы № 8 г. Южно-Сахалинска, № 2 г. Корсакова, поселка Покровка Долинского района, № 1 г. Холмска, гимназия № 1 г. Южно-Сахалинска, экспериментальный лицей «Восточный» областного института переподготовки и повышения квалификации кадров.
Научная новизна исследования состоит в том, что разработана методика формирования логической компетентности у учащихся 5-6 классов основной общеобразовательной школы в процессе их обучения математике.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что разработана структура логической компетентности учащихся 5-6 классов и критерии ее сформированности и выявлены дидактические условия формирования логической компетентности учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике, которые могут составить научные предпосылки для разработки методик формирования логической компетентности учащихся других возрастных групп, а также других надпредметных компетентностеи в процессе обучения учащихся математике.
Практическая значимость исследования состоит в том, что разработаны и изданы методические рекомендации для учителей математики Сахалинской области по формированию логической компетентности у учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике; разработан тематический модуль курсов и сформирован педагогический актив в школах области по внедрению методики формирования логической компетентности.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационном исследовании результатов и выводов обеспечиваются использованием в процессе выполнения работы современных достижений педагогики, психологии и методики обучения математике; многосторонним анализом исследуемой проблемы; последовательностью проведения опытно-экспериментальной работы, рациональным сочетанием теоретических и эмпирических методов исследования, соответствующих его цели и задачам; использованием адекватных методов математической статистики для обработки полученных результатов.
Положения, выносимые на защиту: 1. Для формирования логической компетентности у учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике необходимо создание специальных дидактических условий:
a) включение в содержание курса математики 5-6 классов элементов формальной и математической логики, необходимых для развития логического мышления с помощью математики;
b) уточнение целей учебной деятельности учащихся в процессе обучения математике, ориентация их на развитие личностных качеств ребенка в этом процессе;
c) включение в деятельность, формирование внутренних мотивов учебной деятельности, создание проблемных учебных ситуаций в деятельности учащихся; формирование у учащихся опыта собственной деятельности;
d) использование специального комплекса методов и форм обучения, способствующих формированию ценностного отношения учащихся к логической грамотности и опыту собственной деятельности на ее основе.
2. Для реализации дидактических условий, способствующих формированию логической компетентности у учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике, необходимо использовать специальную методику, разработанную на основе следующих принципов:
a) соответствия целям математической подготовки учащихся 5-6 классов;
b) соответствия структуре логической компетентности учащихся 5-6 классов;
c) комфортности обучения;
d) активизации самоконтроля и самооценки учебно-познавательной деятельности учащихся;
e) обеспечения ценностно-оценочной деятельности.
Апробация результатов исследования осуществлялась в ходе практической работы автора в течение шести лет в школе. Основные положения диссертационного исследования были представлены автором:
- на областных педагогических чтениях и областной научно-практической конференции (2001 г.);
- на областных научно-практических конференциях «Совершенствование содержания и структуры образования в общеобразовательных учреждениях Сахалинской области» и «Одаренные дети: Опыт. Проблемы. Перспективы...» (2003 г.);
- на семинарах и курсах повышения квалификации учителей математики в течение 2001 - 2005 гг.;
- на заседаниях кафедры, на заседаниях методического и ученого советов Сахалинского областного института переподготовки и повышения квалификации кадров;
- на заседании межвузовского научно-методического семинара в г. Красноярске.
Внедрение результатов исследования осуществлялось по следующим направлениям:
- непосредственное преподавание соискателя в экспериментальном лицее «Восточный» Сахалинского областного института переподготовки и повышения квалификации кадров;
- реализация полученных результатов через систему повышения квалификации педагогических кадров;
- руководство областной экспериментально-инновационной площадкой «Обучение в новой образовательной парадигме»;
- разработка методических рекомендаций по результатам исследования для внедрения в общеобразовательных учреждениях области в 2005/06 учебном году.
Публикации. По результатам исследования автором опубликованы 9 работ (2 сборника методических рекомендаций, 4 статьи, 3 тезиса докладов), общим объемом 8,5 п.л.
Структура диссертации: диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка (239 наименований), 13 таблиц, 16 иллюстраций и приложений.
Теоретические и практические предпосылки формирования логической компетентности у школьников
Умение правильно рассуждать необходимо в любой области человеческой деятельности: науке и технике, юстиции и дипломатии, философии, экономике и военном деле. Но, хотя умение это восходит к древнейшим временам, логика, то есть наука о том, какие формы рассуждений правильны, возникла лишь немногим более двух тысяч лет тому назад, в IV веке до новой эры.
Слово «логика» греческого происхождения, ЛоуоЗ (logos) - слово.
Историки считают, что/логика в Древней Греции зародилась с развитием демократии, политического строя, где человека надо убеждать, в отличие от тирании, строя, где человеку достаточно приказывать. Но уважительный диалог возможен, когда люди придерживаются одних и тех же правил, и это, прежде всего, правила логики. Фактически правила логики усваиваются через язык с раннего возраста, но математика учит их применять более осознанно.
Общие правила логических рассуждений впервые описал один из величайших ученых в истории человечества - древнегреческий философ Аристотель. Это было примерно две тысячи пятьсот лет назад. Формулируя эти правила, Аристотель опирался на человеческую практику, на естественный язык. Поэтому историки считают, что логика как наука основана Аристотелем (384 - 322 гг. до н.э.) и получила свое дальнейшее развитие в работах его учеников и последователей.
Аристотель не был математиком в полном смысле этого слова, его логика является, скорее всего, частью философии, но эта часть - основа всех наук. Аристотель исследовал различные формы суждений и их комбинаций. В своем выдающемся произведении «Аналитики» древнегреческий философ создал и проверил около двадцати схем рассуждений, которые назвал силлогизмами. Силлогизмы - это рассуждения, в которых из данных двух суждений выводится третье. Самый известный силлогизм: «Сократ - человек. Все люди смертны. Значит, Сократ смертен». В общем виде все силлогизмы имеют форму: «Все а суть Ь, все b суть с. Следовательно, все а суть с». Аристотель выделил все правильные формы силлогизмов, которые можно составить из суждений вида: «Все а суть Ь», «Некоторые а суть Ь», «Все а не суть Ь» и «Некоторые а не суть Ь». Логика, основанная на теории силлогизмов, называется классической [46].
После Аристотеля силлогизмы и их трансформации стали основой дедуктивных рассуждений. Галилей говорил, что если бы ему пришлось начать вновь свое обучение, то он последовал бы совету Платона и «принялся бы сначала изучать математику как науку, требующую точности и принимающую за верное только то, что вытекает как следствие доказанного» [17].
Доказано, что общее число силлогизмов, которое можно составить из суждений указанного вида, равно двумстам пятидесяти шести. Из них правильными являются лишь двадцать четыре. Для проверки правильности силлогизмов петербургским академиком и великим математиком Л. Эйлером (1707-1783 гг.) был предложен метод геометрической иллюстрации логических рассуждений, который применялся английским математиком Дж. Венном (1834-1923 гг.). Логические рассуждения изображались геометрическими рисунками, которые получили названия диаграмм Эйлера-Венна.
Определенная ступень абстракции любой научной теории требует создания специальной символики для обозначения понятий этой теории и для записи ее общих выводов, чтобы облегчить проверку и преобразование сложных цепочек рассуждений. Необходимость в символике возникла и в логике. Было создано особое буквенное исчисление. Оно получило название алгебры логики или математической логики. Введение в логику специальных символов дало возможность формулировать ее законы в самом общем виде, создало предпосылки для применения в логике математических методов, которые привели к коренной перестройке логических теорий и к возникновению новой области математики, получившей название «Математическая логика».
Впервые в истории идеи о построении логики на математической основе были высказаны немецким математиком Г. Лейбницем (1646-1716 гг.) в конце семнадцатого века. Им были заложены основы для алгебраизации логики и построения логических исчислений, то есть основы математической логики. «Мы употребляем знаки не только для того, чтобы передать наши мысли другим лицам, но и для того, чтобы облегчить сам процесс нашего мышления» [225]. Лейбниц сделал попытку создать формальную логическую систему, введя законы сочетания высказываний. Он высказал идею о том, что рассуждения могут быть сведены к механическому выполнению определенных действий по установленным правилам: «Можно придумать некий алфавит человеческих мыслей, и с помощью комбинаций букв этого алфавита и анализа слов, из них составленных, все может быть открыто и разрешимо» [17]. Но эти работы не были опубликованы, и лишь в девятнадцатом веке ирландский математик и логик Дж. Буль (1815-1864 гг.) своими трудами основал математическую логику как научную дисциплину, независимую от философии.
Известнейшие работы Буля: «Формальная логика» и «Исследование законов мысли». Буль ввел в логику алгебраическую структуру, называемую сегодня «кольцо Буля», две операции, свойства которых в чем-то подобны свойствам операций с числами (например, 1+0=1), а в чем-то расходятся с ними (например, 1+1=1). Это позволило описать логику высказываний как формальную алгебраическую структуру. В обычной алгебре буквы обозначают числа, а операции над ними символизируют операции над числами. В алгебре логики прописными латинскими буквами обозначили высказывания, а операции над ними стали символизировать операции над высказываниями.
Другой английский математик, А. де Морган (1806-1871 гг.), ввел кванторы (не называя их) и сделал попытку формального определения структур, продолжив работу, начатую Булем.
Успехи в развитии математической логики связаны с именами Шредера (1841-1925 гг.), Порецкого (1846-1907 гг.), Фреге (1848-1925 гг.), Пирса (1839-1914 гг.), Пеано (1858-1932 гг.). «Математическая логика как новая область математики была представлена в фундаментальных трудах Уайтхеда и Рассела «Principia mathematic»... Применение математики к логике дало удобные вспомогательные средства для оформления логических теорий и вычислительный аппарат для решения задач, непосильных содержательному мышлению. Были определены принципы построения логических теорий, позволившие выявить новые и важные логические проблемы, а также значительно расширить область логических исследований. Развитие логики определялось потребностями развития самой математики» [225].
На базе математической логики оказалось возможным развитие математических теорий как дедуктивных теорий, при доказательстве гипотез которых использовался метод логического обоснования утверждений - так называемая дедукция, то есть развитие аксиоматических теорий со строго определенными логическими средствами. Вообще аксиоматический метод был гениальным открытием в истории математики, который блестяще осуществил Евклид, живший около двух тысяч трехсот лет назад. В своей книге «Начала» ему удалось свести вместе результаты, полученные многими поколениями ученых: он построил геометрию, в которой любое рассуждение строится как строгая последовательность логически обоснованных выводов.
Сегодня дедуктивный метод используется не только в геометрии, но и во всех разделах математики. С помощью математической логики решаются проблемы, выясняющие общие свойства математических теорий: непротиворечивости, полноты, разрешимости и другие.
Большой вклад в построение математической логики как науки, необходимой для развития математики, внесен трудами Гильберта, Геделя, Колмогорова и другими. На стыке алгебры и математической логики возникла новая математическая теория - теория моделей, развитие которой связано с именами Мальцева, Тарского, Робинсона и др. В теории моделей важные проблемы, относящиеся к алгебраическим системам, формулируются на языке математической логики и решаются также средствами математической логики. В настоящее время «математическая логика - наука, изучающая математические доказательства. Объектами исследования математической логики являются высказывания (суждения), над которыми производятся операции, аналогичные операциям над числами в алгебре» [144].
По своей плодотворности, по силе и важности открытий, по своему значению для всей математики математическая логика занимает одно из важнейших мест в современной математической науке. Современная математическая логика нашла очень широкое применение в различных областях научных исследований: в лингвистике, в экономических исследованиях, в физиологии мозга, психологии, педагогике и др.
О важности математической логики в формировании профессиональной компетентности будущих педагогов писал С. Л. Эдельман следующее: «Математическая логика очень важна для преподавателя математики. Она дает ему возможность вникнуть в сущность понятия доказательства, выяснить смысл понятия логического следования, установить взаимосвязи между различного рода терминами (взаимно обратными и взаимно противоположными). Символика математической логики позволяет производить сжато и точно запись определений математических понятий, запись теорем и их доказательств. Она дает преподавателю новые средства для выработки у учащихся навыков точного мышления» [225].
Критерии сформированности логической компетентности учащихся 5-6 классов и дидактические условия ее формирования в процессе обучения математике
Прежде чем определить дидактические условия формирования логической компетентности у учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике, необходимо решить вопрос оценивания сформированности логической компетентности учащихся.
Компетентность включает в себя знания, умения, учебный и жизненный опыт, ценностное отношение ко всему названному, которое самостоятельно реализуется учеником в конкретных жизненных ситуациях. Основу любой компетентности составляют знания, которые могут применяться в различных ситуациях. Знания могут быть оценены, сформированную способность к деятельности также позволяют измерить методики, разработанные психолого-педагогической наукой. А как оценить компетентность?
В работе, посвященной проблемам компетентностного подхода, А.В. Баранников пишет, что оценкой знаний выпускников может служить оценка их компетентности [16], то есть автор предлагает заменить оценку знаний учащихся оценкой их компетентности, но не поясняет, как же это сделать. Т.В. Иванова отмечает неразработанность системы оценивания компетентностей как одну из современных проблем реализации компетентностного подхода к обучению. «Если компетентность - это способность мобилизовывать полученные знания и умения, то как можно измерить эту «способность», да еще в «конкретной ситуации»? Или как измерить входящие в компетентность жизненный опыт, интересы, ценности?». Для разработки системы оценивания она предлагает учитывать, что «проверяется не компетентность как таковая, а лишь отдельные ее компоненты, лежащие в основе формирования данной компетентности (то есть знания и умения). При этом следует определить круг ситуаций, в которых учащийся способен применить приобретенные знания и умения» [112]. Мы согласны, что для определения сформированности компетентности необходимо отследить сформированность, но не «отдельных компонентов», а сформированность каждого компонента структуры компетентности. И считаем, что логическая компетентность у учащихся будет сформирована к окончанию ими 6 класса, если будет сформирован каждый компонент ее структуры: знания и умения; логическое мышление; деятельностные способности и опыт собственной деятельности; ценностные ориентации.
Следовательно, критерии сформированности логической компетентности у учащихся необходимо рассматривать как критерии сформированности всех выделенных компонентов ее структуры: знаний и умений, деятельности и ценностного отношения. Критериями сформированности знаний и умений (логических и математических) будут сформированные у учащихся уровни обученности. Уровень сформированности у учащихся логического мышления к окончанию ими 6 класса можно проверить, используя известную методику диагностики развития теоретического мышления, дополнительно можно проверить умения рассуждать - составлять обоснованные цепочки логических рассуждений при объяснении правильности своего решения. Для определения сформированности учебной деятельности можно использовать разработанную психологами диагностику сформированности всех ее компонентов: учебно-познавательного интереса, целеполагания, учебных действий, действий контроля и оценки.
Ценностно-личностное отношение учащихся к обладанию знаниями, умениями и опыту собственной деятельности также позволяет измерить современные методы психолого-педагогические диагностики, например, методика исследования уровня субъективного контроля над разнообразными жизненными ситуациями; методика самооценки соответствия личности с самим собой (методика эталонометрии); методика ценностных ориентации М. Рокича и др.
Таким образом, психолого-педагогической наукой разработаны определенные методики, которые мы можем применить для диагностики сформированности каждого компонента структуры логической компетентности учащихся 5-6 классов, отследив сформированность каждого компоненты структуры логической компетентности, мы можем оценить сформированность логической компетентности у учащихся в целом.
Значит, дидактические условия формирования логической компетентности должны способствовать формированию каждого элемента структуры логической компетентности учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике. Первым дидактическим условием формирования логической компетентности, естественно, является включение в содержание курса математики 5-6 классов элементов формальной и математической логики, необходимых для развития логического мышления учащихся с помощью математики. Но включение дополнительных тем в учебный курс увеличит объем материала для изучения и не обеспечит формирование логического мышления, несмотря на то, что логические знания являются основой его развития. Значит, для развития логического мышления необходимо создание специальных условий.
П.Я. Гальперин отмечает, что приобретаемые в процессе обучения в школе знания можно разделить на две неравные части. Одну составляют приемы интеллектуальной деятельности, другую - конкретный материал изучаемого предмета. По общему объему вторая часть намного превышает первую, но в такой же степени уступает ей по значению в развитии мышления [54]. Следовательно, для повышения эффективности обучения необходимо уделять большее внимание формированию логических приемов теоретического мышления у учащихся.
Развитие мышления учащихся в процессе обучения в традиционной системе сталкивается с такой трудностью, как соотнесение процесса усвоения большого объема знаний с овладением детьми приемами интеллектуальной деятельности. Поэтому необходимо создавать условия для развития мышления в процессе усвоения знаний, для развития личности в целом. Таким образом, следующее дидактическое условие формирования логической компетентности - уточнение целей учебной деятельности учащихся в процессе обучения математике, их ориентация на развитие личностных качеств ребенка в этом процессе.
Задачи усвоения учебного материала часто вступают в противоречие с задачами развития ребенка. С одной стороны, приобретаемые учащимися знания выступают как необходимый фактор развития теоретического мышления, но они же могут послужить тормозом или барьером к развитию. Это подтверждают и результаты исследований, проведенных Ю.А. Горяевым, О.П. Гориной, Н.В. Горбачевой, В.В. Давыдовым, Л.В. Занковым, Е.Л. Мельниковой, Л.Г. Петерсон, Д.Б. Элькониным и др. Они подчеркивают, что эффективно развивать личность ребенка позволяет проблемное обучение. Проблемное обучение ориентировано на развитие, а развитие - это не приобретение суммы знаний и навыков, а процесс перестройки ребенка, в ходе которого происходят интеллектуальные, личностные, поведенческие, деятельностные изменения в самом человеке. Не случайно развивающее обучение, цели которого ориентированы на развитие личности ребенка, явилось основой научного обоснования компетентностного подхода зарубежными учеными (Я. Лефстед, Д. Равен, В. Чепанах и др.). Цель развивающего обучения состоит в побуждении у ребенка особой активности и направлении ее на изменение самого себя как субъекта учения. Именно участие ребенка как активного субъекта отличает развивающее обучение от традиционного. Развивающее обучение - это обучение, в котором содержание, методы и формы организации ориентированы на закономерности развития [179].
Цели и содержание формирования логической компетентности
Всякая методика обучения состоит из целей, содержания, методов, форм и средств обучения. На основании дидактических условий формирования логической компетентности и сформулированных на их основе требований к методике определим каждый компонент методики формирования логической компетентности.
Мы считаем, что формирование логической компетентности у учащихся 5-6 классов должно быть направлено на достижение следующих, одинаково значимых для развития личности, целей:
- сформировать у учащихся 5-6 классов объем понятий и законов логики, необходимый для развития их логического мышления и дальнейшего обучения;
- сформировать у учащихся умения использовать логическую грамотность и развитое логическое мышление в решении математических задач и задач других дисциплин, в решении проблемных ситуаций, возникающих в межличностных отношениях;
- сформировать готовность к мотивированной учебной деятельности, ее оценке, умение соотносить предложенную норму деятельности с актуальным уровнем способностей и системой личных ценностей;
- сформировать ценностное отношение учащихся к полученным знаниям, умениям, личностным качествам и опыту собственной деятельности. Важной частью структуры логической компетентности учащихся 5-6 классов является логическая грамотность, то есть знание элементов формальной и математической логики, составляющих необходимый базис для развития логического мышления. Логическая грамотность формируется на определенном логическом содержании, которое мы называем логической составляющей курса математики 5-6 классов. Под логической составляющей мы понимаем содержание, которое состоит из функционально значимых для развития математических знаний элементов логики и необходимых для развития логического мышления учащихся. Содержание логической составляющей математической подготовки учащихся 5-6 классов определено нами на основании вышесформулированных целей и принципов. При конструировании логической составляющей содержания мы учитывали, что вначале новые логические знания выполняют самостоятельную роль как объекты изучения, а затем служебную, подчиненную роль, и получают дальнейшее развитие при рассмотрении чисто математических вопросов. В содержание мы также включили логические задачи, задачи «на смекалку», развитие интеллекта и т.д. При отборе логического содержания мы учитывали принцип соответствия целям математической подготовки учащихся 5-6 классов, принцип соответствия структуре логической компетентности и принцип комфортности обучения. 5 класс (34часа)
Множество и действия над множествами (6 часов)
Понятие множества. Элемент множества. Основные способы задания множества. Пустое множество. Число элементов множества. Объединение и пересечение множеств. Непересекающиеся множества. Подмножество. Связь между объединением множеств и сложением натуральных чисел. Связь между подмножеством и вычитанием натуральных чисел. Взаимнооднозначное соответствие между множествами Математический язык (4 часа)
Переменная. Выражения с переменными. Правила чтения и записи выражений с переменными.
Элементы логики (10 часов)
Высказывания. Истинность и ложность. Тема и рема высказывания (условие и заключение). Противоречие. Общие высказывания и высказывания о существовании в естественном языке. Определение. Называние и описание. Свойства предметов. Существенные свойства. Связь между свойствами объектов. Предложения с переменными.
Решение творческих и логических задач (14 часов)
Занимательные задачи: задачи для проверки сообразительности и внимания. Волшебные квадраты. Задачи, решаемые с конца. Задачи с геометрическим содержанием. Задачи, решаемые почти без вычислений, методом исключения с применением таблиц. Переливания. Взвешивания. Четность. Восстановление чисел: сложение и вычитание, умножение и деление, зашифрованные действия. Числовые ребусы. Составление выражений. Головоломки. 6 класс (34 часа)
Математический язык (6)
Логические символы математического языка. Равносильные предложения. Следствия. Построение моделей текстовых задач.
Элементы логики (12)
Высказывания. Условие и заключение высказывания. Кванторы. Отрицание высказываний. Закон исключения третьего. Противоречие. Общие высказывания и высказывания о существовании в естественном языке. «Сложные» предложения: конъюнкция, дизъюнкция, импликация. Выражение «сложных» предложений с помощью союзов в естественном языке. Связь «сложных» предложений со сложными предложениями естественного языка и предложениями с однородными членами. Теорема. Обратное утверждение. Неопределяемые понятия. Аксиома как высказывание, истинное по определению, как очевидная истина.
Решение логических задач (16)
Логические задачи. Логические задачи с верными утверждениями. Логические задачи, в условиях которых есть верные и неверные утверждения. Задачи-шутки. Использование «худшего случая» при доказательстве утверждений. Принцип Дирихле. Исторические задачи. Мы считаем, что в результате изучения данного содержания образования учащиеся:
будут иметь представления: о логике как науке, истории ее развития и становления, о роли логики в других науках и в развитии мышления человека; множестве, элементе множества, основных способах задания множеств, операциях на множествах, о расширении числовых множеств; о переменной и записи высказываний с помощью переменной; о существенных свойствах предметов; об определении новых понятий на основании уже известных; о способах доказательства общих утверждений, в том числе и с помощью введения переменной; о методе математического моделирования; о творческих и логических задачах и методах их решения;
будут знать комплекс понятий и законов логики, необходимый для развития логического мышления: высказывания, виды высказываний, отрицание высказываний, закон исключения третьего, истинность высказываний, способ построения нового понятия, обратного утверждения; кванторы, способы записи высказываний на математическом языке, понятия равносильности и следования; алгоритм работы с математической моделью; общие приемы решения логических задач;
будут уметь доказывать и опровергать высказывания, строить отрицание общих высказываний и высказываний о существовании, обратные утверждения; выполнять перевод на математический язык и обратно, строить доказательные рассуждения в 3-4 шага, логические цепочки существенных признаков геометрических понятий; рассуждать на математическом и не математическом материале; применять полученные знания при решении творческих, логических заданий, изучении математики, других предметов и разрешении проблем и жизненных ситуаций.
Приведем обоснование важности изучения некоторых тем логического содержания, являющихся необходимой основой для развития логического мышления учащихся, элементом структуры логической компетентности и компонентом методики ее формирования у учащихся 5-6 классов в процессе обучения математике.
