Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Теоретические основы формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек у учащихся классов с углубленным изучением математики .12
1.1. Обоснование-целесообразности формирования у школьников обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек. 12
1.2. Психолого-педагогические основы формированияу школьников обобщённых приёмов решения математических задач ...35
1.3. Состав обобщённого.приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек.. 49
1.4. Модель формированияобобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек у учащихся классов с углубленным изучением.математики 67
Выводы по главе 1 ..78
ГЛАВА 2. Методические аспекты формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек у учащихся классов с углубленным изучением математики ...80
2.1. Формирование обобщённого приёма решения-конструктивных задач методом геометрических мест точек при: изучении планиметрии... 80
2.2. Специфика формирования у школьников обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек в пространстве 100
2.3. Особенности использования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек в задачах сферической геометрии 125
2.4. Постановка педагогического эксперимента и его результаты... 150
Выводы по главе 2.. ...165
Заключение ...167
Список литературы. ...169
Приложение ...187
- Психолого-педагогические основы формированияу школьников обобщённых приёмов решения математических задач
- Модель формированияобобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек у учащихся классов с углубленным изучением.математики
- Специфика формирования у школьников обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек в пространстве
- Особенности использования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек в задачах сферической геометрии
Введение к работе
Актуальность исследования. На всём протяжении истории образования интеллектуальное развитие обучаемых считалось одной из важных целей практической педагогики. Сегодня оно становится приоритетной задачей школьного обучения, а умение учителя грамотно распорядиться развивающим потенциалом учебного содержания - профессиональной компетенцией педагога. В этой связи становится актуальным пересмотр многих ранее принятых установок на дидактическую ценность как отдельных учебных вопросов, так и целых разделов содержания школьной математики, систем математических задач, используемых при их усвоении, методов и способов их решения, методических средств и приёмов обучения им.
Обучение учащихся общим схемам рассуждения, обобщённым приёмам решения задач особенно важно в условиях углубленной подготовки школьников, ориентированной на учащихся с высокими учебными возможностями, устойчивым интересом к математике, обеспеченной достаточным количеством учебных часов и осуществляемой, как правило, опытными, высоко квалифицированными школьными или вузовскими педагогами.
В этих условиях становится актуальным построение учебного процесса, организация учебного познания детей на основе деятель-ностного подхода, научно обоснованного исследованиями многих психологов (П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, Е.Н. Кабанова-Меллер, Н.Ф. Талызина, Д.Б. Эльконин, И.С. Якиманская и др.) и педагогов-математиков (О.Б. Епишева, Т.А. Иванова, Г.И. Саранцев, Л.М. Фридман А.А. Столяр и др.) и позволяющего более эффективно и полноценно усваивать знания, формировать умения, навыки и способы умственной деятельности.
Сказанное выше в полной мере относится к проблеме обучения учащихся решению конструктивных задач методом геометрических мест точек, традиционно трудно усваиваемого школьниками и по этой причине мало используемого в практике математической подготовки. А между тем, развивающая ценность этого метода достаточно высока. Он способствует обогащению пространственных представлений школьников, их геометрической интуиции, развитию визуального мышления, формированию навыков выполнения геометрических построений, преобразования фигур, иссле-
дования их взаимного расположения на плоскости и в пространстве, а, значит, создаёт предпосылки для творческой самореализации ученика в учебной деятельности.
В работах известных зарубежных (Д. Пойа, У. Сойер, М. Клякля и др.) и отечественных педагогов-математиков (Я.И. Груденов, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, П.М. Эрдниев и др.) убедительно показана целесообразность использования в обучении математике различных задачных конструкций с целью обогащения интеллектуальных и личностных качеств ученика. Поэтому реализацию развивающих возможностей метода геометрических мест точек в обучении математике логично осуществлять не посредством решения большого количества разрозненных задач, а с помощью специально созданных задачных конструкций, обеспечивающих целенаправленное формирование обобщённого приёма их решения.
Необходимо учитывать также, что в условиях обучения школьников математике по углубленной программе появляется возможность реализовать преемственность в формировании обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек при изучении различных содержательных областей геометрии (планиметрии, стереометрии, сферической геометрии), что позволит сделать этот приём более действенным и сократить учебное время, затрачиваемое на решение таких задач, в целом.
Несмотря на наличие большого количества ценных рекомендаций и полезных советов разных авторов и исследователей (О.Б. Епишева, А.А. Мазаник, Г.М. Олифер, Д.И. Перепёлкин, Г.П. Сенников и др.), касающихся обучения учащихся решению конструктивных задач методом геометрических мест точек, целостной методики, обеспечивающей преемственность формирования у учащихся обобщённого приёма решения таких задач в различных содержательных областях геометрии, пока ещё не создано.
Изложенное выше определяет противоречия:
- между потребностью практики обучения школьников по программе углубленного изучения математики в проведении целенаправленной работы по формированию способов умственной деятельности, обеспечивающих интенсивное интеллектуальное развитие обучаемых, и недостаточностью имеющихся на сегодняшнее время методик;
- между возможностью формирования обобщённого приёма
решения конструктивных задач методом геометрических мест то
чек на единых идейных, теоретических и методических началах в
различных содержательных областях геометрии (планиметрия,
стереометрия, сферическая геометрия) и отсутствием соответст
вующего методического обеспечения.
Сказанное определяет актуальность темы настоящего исследования, проблема которого сформулирована следующим образом: как осуществлять формирование у школьников обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек на единых идейных, теоретических и методических началах в различных содержательных областях геометрии (планиметрия, стереометрия и сферическая геометрия).
Цель исследования заключается в разработке теоретических основ и методического обеспечения формирования у учащихся классов углубленного изучения математики обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек в различных содержательных областях геометрии (планиметрия, стереометрия, сферическая геометрия) на единых идейных, теоретических и методических началах.
Объектом исследования является процесс обучения школьников решению конструктивных геометрических задач.
Предметом исследования является методика формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек у учащихся классов с углубленным изучением математики в различных содержательных областях геометрии (планиметрия, стереометрия, сферическая геометрия) на единых идейных, теоретических и методических началах.
Гипотеза исследования. Формирование обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек в различных содержательных областях геометрии можно обеспечить, если:
- выделить состав умственных действий, входящих в структу
ру обобщённого приёма решения конструктивных задач методом
геометрических мест точек;
- определить основные этапы формирования обобщённого
приёма на планиметрическом материале;
— определить стратегию изменения состава обобщённого
приёма и этапов его формирования при переходе из одной содер
жательной области геометрии в другую;
- на их основе построить модель процесса формирования
обобщённого приёма и разработать методическое обеспечение
процесса формирования этого приёма, соответствующее ей.
Для достижения поставленной цели и проверки выдвинутой гипотезы потребовалось решить следующие задачи:
-
Раскрыть психолого-педагогические основы формирования у школьников способов умственной деятельности в процессе обучения;
-
Определить состав обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек;
-
Построить модель его формирования у учащихся классов с углубленным изучением математики;
-
Разработать методическое обеспечение процесса формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек на основе построенной модели;
-
Экспериментально проверить эффективность разработанного методического обеспечения.
Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: изучение и анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования; анализ школьных программ, учебников и учебных пособий по геометрии; изучение и анализ опыта обучения решению конструктивных задач методом геометрических мест точек; интервьюирование и анкетирование учителей математики; констатирующий, поисковый, формирующий эксперименты; статистическая обработка и анализ результатов экспериментальной работы.
Методологическую основу исследования составили: фундаментальные труды в области научного познания (В.Ф. Асмус, Г.И. Рузавин, Б. В. Раушенбах, В.И. Вернадский, А.А. Дородницын и др.), исследования крупных учёных прошлого и настоящего в области психологии и педагогики (Ж. Адамар, П.П. Блонский, М. Бунге, Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, Н.А. Менчинская, Ж. Пиаже, С.Л. Рубинштейн, Ю.А. Самарин, М. А. Холодная и др.), основополагающие идеи, принципы и подходы к обучению математике в общеобразовательной школе (В.М. Брадис,
А.Н. Колмогоров, M. Монтессори, А.А. Столяр, Л.Н. Толстой, А.Я. Хинчин и др.).
Теоретической основой исследования являются: теория развивающего обучения (Л.С. Выготский, Л.В. Занков, В.В. Давыдов, Д.Б. Эльконин и др.), теория формирования обобщённых приёмов умственной деятельности (Е.Н. Кабанова-Меллер, И.С. Якиманская и др.) деятельностный подход к обучению математике (Т.А. Иванова, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, В.А. Тестов, СИ. Шорох-Троцкий П.М. Эрдниев и др.) основные положения методической теории математических задач (Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Л.М. Фридман и др.), результаты современных исследований по теории и методике обучения геометрии (Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, В.А. Далингер, Г.И. В.А. Орлов и др.), методические исследования по вопросам обучения школьников решению геометрических задач (А.Д. Александров, В.Г. Болтянский, А.Б. Василевский, Н.И. Мерлина, М.А. Родионов, В.И. Рыжик, СИ. Туманов, И.Ф. Шарыгин и др.).
Исследование проводилось в несколько этапов. На первом этапе осуществлялось изучение и анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования, уточнялась теоретическая база исследования, проводился констатирующий эксперимент. На втором этапе изучался опыт организации обучения решению конструктивных задач методом геометрических мест точек в общеобразовательной школе и классах и школах с углубленным изучением математики. Разрабатывались теоретические основы формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек в различных содержательных областях геометрии и создавалось соответствующее методическое обеспечение. На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности предложенного способа обучения решению задач на построение указанным методом и разработанного методического обеспечения, проводилась статистическая обработка его результатов, уточнялись и формулировались теоретические выводы, оформлялась диссертационная работа.
Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечена опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, теории и методики обучения математике; применением разнообразных методов исследования, адекватных поставленным задачам; опытно-экспериментальной работой.
Научная новизна исследования заключается в том, что в нём научно обоснован подход к обучению учащихся классов с углубленным изучением математики решению конструктивных задач методом геометрических мест точек, обеспечивающий целенаправленное формирование у школьников обобщённого приёма решения таких задач на основе предложенной модели в преемственной взаимосвязи и логике последовательного расширения содержательных областей геометрии (планиметрия - стереометрия -сферическая геометрия).
Теоретическая значимость исследования определяется тем, что теория обучения математике обогащена новыми представлениями о реализации развивающих возможностей задачного подхода к обучению математике в условиях углубленного её изучения школьниками, пополнена моделью целенаправленного формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек в различных содержательных областях геометрии (планиметрия, стереометрия, сферическая геометрия) на единых идейных, теоретических и методических началах.
Практическая ценность результатов исследования состоит в том, что разработанные теоретические положения и методическое обеспечение процесса формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек могут быть использованы учителями в практике обучения геометрии в классах и школах с углубленным изучением математики. Они могут быть также учтены авторами школьных учебников и задачников по геометрии при отборе конструктивных задач и их расположении в учебных пособиях.
На защиту выносятся следующие положения:
-
Формирование обобщённых приёмов решения задач у учащихся классов с углубленным изучением математики способствует реализации деятельностного подхода к обучению математике и соответствует современной развивающей парадигме школьного образования.
-
Процесс формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек у учащихся классов с углубленным изучением математики необходимо осуществлять на единых идейных (деятельностный подход), теоретических (выделение действий, составляющих приём, их формирование, дальнейшее видоизменение) и методических (блоки взаимо-
связанных и упорядоченных задач) началах в различных содержательных областях геометрии (планиметрия, стереометрия, сферическая геометрия).
3. Модель формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек у учащихся классов с углубленным изучением математики включает в качестве основных блоки: целевой (основная и сопутствующие цели), содержательно-структурный (состав действий и их последовательность), процессуально-технологический (этапы формирования и средства обучения, задействуемые на них) и результативно-оценочный (уровни сформированное и способы их определения).
На защиту выносится также методическое обеспечение формирования у школьников обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек у учащихся классов с углубленным изучением математики в виде блоков взаимосвязанных задач по трём основным содержательным областям геометрии: планиметрии, стереометрии и сферической геометрии.
Апробация результатов исследования проводилась в форме докладов на заседании научно-методического семинара кафедры теории и методики обучения математике Арзамасского государственного педагогического института им. А.П. Гайдара, на Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Артёмовские чтения» «Современное образование: научные подходы, опыт, проблемы, перспективы» (Пенза, 2010), на Всероссийских научно-практических конференциях «Преподавание математики в вузах и школах: проблемы содержания, технологии и методики» (Глазов, 2009), «Методическая подготовка студентов математических специальностей педвуза в условиях фун-даментализации образования» (Саранск, 2009), «Проблемы математического образования в вузах и школах России в условиях его модернизации» (Сыктывкар, 2011) и региональных научно-практических конференциях «Преподавание математики в вузах и школах: проблемы содержания, технологии и методики» (Глазов, 2006), «Современные информационно-коммуникационные технологии в дополнительном образовании сельских школьников» (Арзамас, 2007), «Проблемы школьного и дошкольного образования. Достижения науки и практики - в деятельность образовательных учреждений» (Глазов, 2007, 2008, 2011).
Внедрение результатов диссертационного исследования осуществлялось в ходе экспериментальной проверки эффективности разработанного методического обеспечения процесса формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек. В эксперименте наряду с автором участвовали учителя г. Глазова Удмуртской республики и г. Арзамаса Нижегородской области.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.
Психолого-педагогические основы формированияу школьников обобщённых приёмов решения математических задач
Необходимый элемент любого действия — это его ориентировочная основа. Дело в том, что каждое выполняемое нами действие будет протекать успешно только в том случае, если мы учитываем условия, определяющие успешность этого действия. Если человек учитывает всю систему условий, которая объективно необходима, то действие достигает своей цели; если же человек ориентируется лишь на часть этих условий или подменяет их другими, то действие будет приводить к ошибкам. Ориентировочная основа действия — это та система условий, на которую реально опирается человек при выполнении действия [148, с. 96].
Заметим, что одно и то же действие может применяться для осуществления разных деятельностей, может переходить из одной деятельности в другую. В психологии установлено, что ведущей деятельностью в школьном возрасте является учебная деятельность. Основоположником теории учебной деятельности является Л.С. Выготский, который специально ее не разрабатывал, но выдвинул ряд положений, заложивших основы создания такой теории в работах А.Н. Леонтьева, П.ІІ. Гальперина, Д.Б. Эльконина, В.В. Давыдова, Н.Ф. Талызиной и др. [83, с. 28]. Раскроем сущность, содержание и структуру учебной деятельности школьников.
Учебная деятельность — это деятельность, имеющая своим содержанием овладение обобщёнными способами действий в сфере научных понятий. Такая деятельность должна побуждаться мотивами, которые связаны с ее содержанием, т. е. мотивами приобретения обобщённых способов действий или, проще говоря, мотивами собственного роста, собственного совершенствования. Результат учебной деятельности, в которой происходит усвоение научных понятий, — прежде всего изменение самого ученика, его развитие [174, с. 245].
В структуру учебной деятельности входят следующие компоненты: учебно-познавательные мотивы, учебные задачи и составляющие их операторное содержание учебные операции, контроль и оценка. Структурная организация учебной деятельности исследована и описана многими авторами (В.В. Давыдов [59], Г.Н. Ермакова [71], И.И. Ильясов [83], Д.Б. Эльконин [174, 175] и др.) Формирование учебной деятельности есть процесс постепенной передачи выполнения отдельных элементов этой деятельности самому ученику для самостоятельного осуществления без вмешательства учителя [174, с. 250].
В соответствии с научными концепциями Д.Б. Эльконина, В.В. Давыдова и др. можно выделить следующие особенности учебной деятельности и процесса ее формирования: она специально направлена на овладение учебным материалом и решение учебных задач; в ней осваиваются общие способы (приёмы) действий и научные понятия; общие способы действия предваряют решение задач, происходит восхождение от общего к частному; учебная деятельность ведет к изменениям в самом человеке — ученике.
Остановимся более подробно на овладении учащимися общими способами действий (алгоритмами, приёмами), так как, во-первых, с их помощью ученики будут усваивать запланированный учебный материал и, во-вторых, они имеют существенное значение для умственного развития школьников.
Понятие «приём» давно используется в психологии. Например, в психологии памяти широко изучались приёмы запоминания. В психолого-педагогической и методической литературе имеются различные определения понятия «приём».
Д.Н. Богоявленский раскрывает приём как своего рода инструкцию, состоящую из перечня действий, подлежащих выполнению в определенной последовательности и требующих от ученика осуществления определенных умственных операций. Конкретной классификации приёмов автор не даёт, а лишь выделяет признак, характеризующий отличительные черты приёмов — степень их обобщённости. С одной стороны, можно выделить своего рода «узкие» или частные приёмы, которые приспособлены к специфике решения конкретных задач, типичных лишь для определенной области знаний, или даже для определенных типов задач из этой области. С другой стороны, ученику приходится решать задачи, имеющие широкое образовательное значение. В этом случае приёмы мыслительной деятельности приобретают обобщённый характер и могут переноситься в другие области знания, в жизненную и трудовую деятельность учащихся [24, с. 79].
О.Б. Епишева и В.И. Крупич приём учебной деятельности определяют как систему действий, выполняемых в определенном порядке и служащих для решения учебных задач [70, с. 7]. Классификация приёмов проводится по характеру (типу) учебной деятельности учащихся: общеучебные приёмы, не зависящие от специфики предмета математики и используемые в разных учебных предметах, общематемапіические приёмы, используемые во всех математических дисциплинах, специальные приёмы по отдельным математическим дисциплинам (арифметике, алгебре, геометрии, началам анализа), частные приёмы — это такие специальные приёмы, которые конкретизированы для решения более узких задач и используются в определенных темах курса [70, с. 15-16, 68, 69].
Н.Ф. Талызина, определяя приёмы учебной деятельности как некоторые системы действий, выделяет, как и Д.Н. Богоявленский, два класса приёмов: общие и специфические. Но в огличие от Д.И. Богоявленского, выделившего только признак для классификации приёмов, Н.Ф. Талызина подробно описывает каждый из них. Общие приёмы, используемые в разных областях, при работе с разными знаниями, она в свою очередь подразделяет на: приёмы логического мышления (сравнение, подведение под понятие, приёмы доказательства, классификации и др.), приёмы планирования своей деятельности, приёмы контроля, «психологические» приёмы (запоминания, наблюдения и др.). Специфические же приёмы отражают особенности изучаемого предмета и поэтому используются в пределах данной областизнаний [148, с. 56,149,с. 18—19].
Модель формированияобобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек у учащихся классов с углубленным изучением.математики
Описанные в третьем параграфе структурные особенности обобщённого приёма решения математических задач, в нашем случае состав обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек, а также раскрытые в первом параграфе представления о целевой направленности формирования обобщённых приёмов умственной деятельности в обучении школьников и процессуальные аспекты формирования такого рода приёмов, представленные во втором параграфе, позволяют перейти к созданию (конструированию) модели процесса формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек в образовательной практике.
Модель в педагогической и методической литературе определяется обычно как некий объект, исследование которого служит средством для получения новых знаний о другом объекте (оригинале) [159, с. 209]. Поэтому содержание модели процесса формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек определяется целью нашего исследования и даёт возможность проследить основные стороны объекта исследования в их структурной и функциональной взаимосвязи.
Методологической основой модели процесса формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек служат системный, личностно ориентированный, деятельностный и интегративный подходы. Системный подход обеспечивает обоснование компонентного состава модели, раскрывающего специфику процесса формирования обобщённого приёма; установление внутрисистемных связей и характеристику особенностей взаимодействия системы с внешней средой; целостность модели, возможность функционирования и получения запланированных результатов. Иными словами, системный подход обеспечивает комплексное изучение исследуемого процесса и функционирование всех системных блоков модели. Согласно личностно ориентированному подходу цели, содержание и технология обучения решению конструктивных задач методом геометрических мест точек формулируются и отбираются с опорой на индивидуальные способности ребёнка, позволяющие ему быть активным участником процесса формирования обобщённого приёма, и тем самым способствовать его развитию. Деятелъностный подход рассматривает целесообразно организованную деятельность как главный источник целостного развития личности ученика. Данный подход предполагает включение ученика в процесс активной деятельности с целью овладения содержанием математического образования. В нашем случае формирование обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек будет происходить в процессе специально организованной деятельности по решению соответствующих задач. Интегративнът подход позволяет осуществить преемственность содержательных областей планиметрии, стереометрии и сферической геометрии. Изучение метода геометрических мест точек возможно в каждой из указанных областей, поэтому целесообразно формирование обобщённого приёма решения конструктивных задач данным методом на единых идейных, теоретических и методических началах. Для этого необходимо определить стратегию изменения состава обобщённого приёма и этапов его формирования при переходе из одной содержательной области в другую (планиметрия — стереометрия; планиметрия — сферическая геометрия; стереометрия — сферическая геометрия) [150, 151]. Анализ многочисленных научных работ по теории и методике обучения математике (учебных пособий, монографий, диссертаций, авторефератов, статей), в которых авторы рассматривают модели различных аспектов процесса обучения (формирования, развития, изучения, организации и др.), показал, что чаще всего он включает в себя компоненты, отвечающие за постановку целей обучения, определение содержания, процесса или технологии (форм и методов) обучения и диагностику его результатов [13, 20, 82, 132, 150, 151, 159 и др.]. Все сказанное в предыдущих параграфах позволяет констатировать, что указанные компоненты отвечают и задачам нашего исследования, поэтому модель процесса формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек целесообразно представить в виде совокупности четырёх блоков.
Очевидно, первым блоком данной модели должен быть целевой. Он предполагает: определение целей и задач, связанных с формированием обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек у учащихся классов с углубленным изучением математики. Сознательная цель в учебной деятельности определяет содержание (состав обобщённого приёма и методическое обеспечение процесса его формирования), технологию процесса формирования обобщённого приёма (выбор степени самостоятельности «открытия» обобщённого приёма, реализацию преемственности содержательных областей планиметрии, стереометрии и сферической геометрии) и результат этого процесса (уровень сформированности обобщённого приёма).
Целью формирования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек у учащихся является не только умение решать геометрические задачи указанным методом, но и развитие логического и алгоритмического мышления, пространственных представлений, геометрической интуиции, овладение навыками геометрических построений и исследовательской деятельности, умениями анализировать, обобщать, доказывать, ставить и решать (искать пути и способы решения) задачи.
Специфика формирования у школьников обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек в пространстве
Метод геометрических мест точек в пространстве не относится к самостоятельной теме школьного курса стереометрии и не является вопросом обязательного изучения. Однако в школьных учебниках геометрии для 10-11 классов встречаются задачи (например, в теме «Прямые и плоскости в пространстве»), в которых требуется доказать, что фигура является геометрическим местом точек ([119], [167]), или найти множество точек, обладающих указанным свойством (см., напр., [125], [126], [127]). Сфера трактуется как множество точек пространства, обладающих заданным свойством.
В обучении школьников по углубленной программе метод геометрических мест точек может стать предметом самостоятельного изучения ещё и потому, что его использование позволяет эффектно решать содержательные стереометрические задачи, способствует развитию пространственного воображения и формированию исследовательских навыков учащихся.
Геометрические построения в пространстве более трудны, чем геометрические построения на плоскости. Стереометрические задачи на построение решаются либо в воображении, либо на проекционном чертеже при помощи чертежных инструментов (так называемые «эффективные» построения). В первом случае мы ограничиваемся воображаемым построением прямых, плоскостей, сфер, мысленно определяем их взаимное расположение и находим точки и линии их пересечения, так как в действительности не существует реальных инструментов, при помощи которых можно было бы строить сферы, плоскости и прямые в пространстве. Задачи на воображаемое построение в пространстве сводятся фактически к доказательству возможности построения нужной фигуры и сопровождаются примерным рисунком с целью облегчения изложения содержания доказательства. Во втором случае задачи с различными пространственными фигурами решаются на проекционном чертеже почти так же, как это должно было бы осуществляться в самом пространстве с выполнением необходимых операций и фактически построением искомых элементов [71, с. 68,27, с. 386-387].
Любая конструктивная задача в стереометрии может быть решена на проекционном чертеже, но сначала она должна быть решена мысленно, т.е. решающему задачу должно быть ясно, что и как надо сделать, какие геометрические образы использовать, какие операции необходимо проделать, каким преобразованиям следует подвергнуть фигуру, чтобы решить задачу, а затем это решение перенести на чертёж. Таким образом, построения воображаемые и на проекционном чертеже дополняют друг друга, причём первые предшествуют вторым. Во многих случаях можно ограничиться решением задач в воображении, т.е. составлением подробного плана решения и перечислением необходимых для решения задачи операций [71, с. 69].
Возможность мысленного проведения прямых, плоскостей, сфер и т.д. устанавливается постулатами [110, 176, 57, 123]. Когда говорят: «проведём плоскость: 1) через три не лежащие на одной прямой точки, или 2) через две пересекающиеся прямые, или 3) через две параллельные прямые, или 4) через прямую и не лежащую на ней точку», то это значит, что такая плоскость существует. Облегчает понимание и усвоение стереометрического материала использование компьютерных технологий, а именно созданных с их помощью изображений пространственных фигур и их взаимного расположения [32, 46, 144, 180]. Также создание таких изображений может служить заменой мысленных построений в сложных случаях. Если мы имеем две пересекающиеся плоскости в пространстве, то они определяют единственную прямую. Плоскость и сфера определяют окружность, если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса этой сферы. Две сферы также определяют некоторую окружность, если расстояние между их центрами меньше суммы радиусов этих сфер. Вообще две пересекающиеся поверхности в пространстве определяют некоторую линию и в частности при некоторых условиях прямую линию. Конструктивную задачу в стереометрии будем считать решённой, если она сведена к решению конечного числа простейших задач, описываемых постулатами. При решении стереометрических конструктивных задач будем также как в планиметрии придерживаться четырёхэтапной схемы: анализ, построение, доказательство, исследование. Единственное отличие будет состоять в том, что на этапе построения можно ограничиться описанием шагов построения, без непосредственного его выполнения на бумаге. Рассмотрим применение метода геометрических мест точек к решению конструктивных задач в пространстве. В отличие от плоскости, где рассматривается геометрическое место только точек, в пространстве можно рассматривать геометрические места не только точек, но и линий (как прямых, так и кривых) и поэтому можно дать следующее определение геометрического места в пространстве. Геометрическим местом называется некоторая совокупность всех элементов, положение которых удовлетворяет одному или нескольким определённым условиям [110, с. 14-19]. В этой формулировке вместо слова «точка» применён термин «элемент», так как это более широкое понятие и включает в себя не только точки, но и линии (в частности, прямые и окружности). При этом часто один и тот же геометрический образ можно рассматривать и как геометрическое место точек и как геометрическое место линий. Например: плоскость, перпендикулярная к некоторому отрезку MN и проведённая через его середину, есть: 1) геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка MN; 2) геометрическое место прямых, перпендикулярных к этому отрезку и проходящих через его середину; 3) геометрическое место концентрических окружностей с центром в середине отрезка MN, плоскости которых перпендикулярны к этому отрезку. В нашем исследовании ограничимся рассмотрением геометрических мест точек и соответствующего метода.
Геометрические места могут обладать одним, двумя и более свойствами. Пусть мы имеем два геометрических места точек в пространстве. Это могут быть две поверхности, причём все точки одной поверхности обладают одним некоторым свойством, а все точки другой поверхности подчинены какому-то другому условию. Две поверхности в пространстве могут пересечься по некоторой линии, все точки которой, в силу того, что они принадлежат одновременно двум поверхностям, будут обладать уже не одним свойством, а двумя. Следовательно, геометрическое место точек в пространстве может быть как поверхностью, так и линией, рассматриваемой как пересечение двух поверхностей.
Геометрические места точек в пространстве чрезвычайно многообразны; они значительно богаче по своему содержанию, чем геометрические места точек на плоскости. Некоторые из них являются естественным обобщением геометрических мест точек на плоскости, их стереометрическими аналогами (таблица 3), поэтому желательно напомнить учащимся основные множества точек плоскости.
Особенности использования обобщённого приёма решения конструктивных задач методом геометрических мест точек в задачах сферической геометрии
Элементы сферической геометрии согласно стандартам школьного математического образования могут быть включены в содержание обучения 10-11 классов на уровне углубленного изучения математики. Данный уровень предусматривает более глубокое изучение геометрии, включение в содержание некоторых новых тем, имеющих важное значение для математического образования учащихся старших классов, предполагающих связать свою дальнейшую профессиональную деятельность с математикой.
В качестве материала, предназначенного для углубленного изучения геометрии и дополняющего традиционное содержание курса в соответствии с новыми стандартами, выбрана сферическая геометрия — раздел математики, в котором изучаются фигуры, расположенные на сфере. Такой выбор обусловлен наглядностью сферической геометрии, доступностью многих ее понятий и фактов и широтой практического применения (астрономия, мореплавание, география, геодезия, подземное строительство и др.)
При изучении элементов сферической геометрии старшеклассникам вполне доступно перенесение на сферу некоторых понятий и методов евклидовой геометрии, в частности, понятия геометрического места точек и соответствующего метода.
Сферической прямой называют линию пересечения со сферой плоскости, проходящей через центр сферы, а сферической окружностью — линию пересечения со сферой плоскости, удалённой от центра сферы на расстояние 0 h R, где R — радиус сферы. Диаметр, перпендикулярный к плоскости какой-либо сферической прямой (сферической окружности), пересекает сферу в двух диаметрально противоположных точках, которые называются полюсами (центрами) этой сферической прямой (сферической окружности) [2, с. 51, 15, с. 333].
Многие понятия1 сферической геометрии аналогичны соответствующим: понятиям на,плоскости, поэтому определять их здесь не будем. Для выполнения геометрических построений, нщ сфере (на модели сферы) существуют специальные инструменты — сферическая линейка и сферический циркуль. Сферический циркуль представляет собой циркуль с кривыми ножками ограниченного; сферического радиуса, .меньшего — А , сферическая линейка — такой же циркуль, но с неизменным, расстоянием между концами ножек, равным —R. Сферическая линейка, позволяет построить сферическую прямую, один из полюсов которой построен!, а,также отрезок сферической прямой, если построен ее полюс и концы этого отрезка. Сферический циркуль позволяет выполнить построение сферической окружности с центром в построенной точке и сферическим радиусом, равным, построенному сферическому отрезку, а также любую из двух дополнительных дуг сферической окружности, если построены ее центр и концы этих дуг. .. . На бумаге возможно изобразить только приближённый результат построения, т.е. по аналогии с пространством выполнить чертёж-набросок. Поэтому при решении: задач будем: либо ограничиваться мысленным,-воображаемым построением,, либо примерным чертежом-наброском (на бумаге), либо схематичным изображением сфер и плоскостей (особенно на этапе исследования). Решить конструктивную задачу на сфере с помощью сферического циркуля и сферической линейки — значит свести её к выполнению конечного числа следующих построений: 1) Построение сферической прямой с полюсом в, построенной, точке; 2) Построение сферической окружности с центром в построенной точке и сферическим радиусом, равнььм сферическому отрезку с концами в построенных точках; 3) Построение точек пересечения двух построенных сферических прямых; 4) Построение точек пересечения построенных сферической прямой и сферической окружности, если они пересекаются; 5) Построение точек пересечения двух построенных сферических окружностей, если они пересекаются. Однако на практике расчленение каждой задачи на простейшие построения нецелесообразно. Обычно построение искомой фигуры сводят не к простейшим построениям 1 — 5, а к некоторым часто встречающимся комбинациям простейших построений, которые называются основными построениями (ОП). Рассмотрим основные построения на сфере (в некоторых случаях выполнение основного построения совершенно аналогично его выполнению на евклидовой плоскости). ОП1. Отложить на данной сферической прямой от данной точки в данном направлении сферический отрезок, равный данному. ОП2. Отложить от данного сферического отрезка в данную полусферу угол, имеющий своей вершиной один из концов сферического отрезка и равный данному углу между сферическими отрезками. ОПЗ. Построить сферическую прямую, проходящую через две данные точки, не являющиеся диаметрально противоположными. ОП4. Построить точку, диаметрально противоположную данной. ОП5. Построить биссектрису данного неразвернутого угла между сферическими отрезками (иначе говоря, разделить данный угол между сферическими отрезками пополам). ОП6. Построить серединный перпендикуляр данного сферического отрезка. ОП7. Построить середину данного сферического отрезка. ОП8. Построить сферическую прямую, проходящую через данную точку Ми перпендикулярную данной сферической прямой.
