Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ТВОРЧЕСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧАЩИХСЯ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ 18
1 Учебный процесс и творческая деятельность 18
2. Творчество и творческая деятельность с позиции философии и психологии 22
3. Специфика математики как области творческой деятельности 32
4. Элементы творческой математической деятельности во всеобщем математическом образовании 42
Выводы к первой главе 51
ГЛАВА II. КОНЦЕПЦИЯ ФОРМИРОВАНИЯ ТВОРЧЕСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ КЛАССОВ С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛАХ ПОЛЬШИ 53
1. Предварительные замечания к положениям концепции 53
2. Описание концепции формирования творческой математической деятельности учащихся классов с углубленным изучением
математики в школах Польши 56
3. Методология формирования и использования конкретных видов творческой математической деятельности учащихся при решении
многоэтапных заданий 72
4. Формирование различных видов ТМД учащихся и развитие их
математических способностей 75
Выводы ко второй главе 77
ГЛАВА III. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ТВОРЧЕСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ КЛАССОВ С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ ШКОЛ ПОЛЬШИ И ПУТИ ИХ КРИТИЧНОСТЬ МЫШЛЕНИЯ 169
1. Выдвижение гипотез и их проверка 79
1.1. Место гипотез в становлении математики 79
1.2. Гипотезы в математической деятельности учащихся 85
1.3. Оценочный аспект в формировании данного вида ТМД -выдвижение и проверка гипотез 95
1.4. Формулировка проблем и задач, способствующих выдвижению гипотез 105
1.5. Задачи на принуждение 106
Выводы 111
2 Творческое восприятие, обработка и использование математической информации 114
2.1. Описание данного вида ТМД. Вводные примеры
2.2. Общая схема вида ТМД- восприятия, обработки и использования математической информации 123
2.3. Интеллектуальный и оценочный аспекты восприятия, обработки и использования математической информации 124
3 Перенос (трансферт) метода как один из видов творческой
математической деятельности 132
3.1. Характеристика переноса метода с психологической и педагогической точек зрения 132
3.2. Вводные примеры использования переноса метода 138
3.3. Этапы формирования вида ТМД- перенос метода 144
3.4. Дополнительные примеры 148
Выводы 157
4 Дисциплина и критичность мышления 159
4.1. Общая характеристика вида ТМД - дисциплина и критичность мышления 159
4.2. Оценочный аспект использования вида ТМД - дисциплина
ГЛАВА IV. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ МНОГОЭТАПНЫХ ЗАДАНИЙ В КЛАССАХ С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ ШКОЛ ПОЛЬШИ 173
1 Многоэтапное задание «О понятии „среднее"» 173
Карта МЗ «О понятии „среднее"» 191
2 Многоэтапное задание «От основного тригонометрического тождества до тождества Лагранжа и неравенства Коши» 192
2.1. Общая характеристика математической проблематики данного задания 192
2.2. Замечания к реализации (дидактический проект) 199
Карты МЗ «От основного тригонометрического тождества до тождества Лагранжа и неравенства Коши» 206
3 Многоэтапные задания в формировании ТМД учащихся 210
3.1. Подготовка к составлению МЗ 210
3.2. Примечания к проектированию МЗ 212
3.3. МЗ в виде исследовательской задачи 213
3.4. Использование задач «на принуждение» для конструкции МЗ... 224
4 Элементы проверки внедрения в школе концепции формирования творческой математической деятельности учащихся классов с углубленным изучением математики школ Польши 227
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 235
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 238
ФОРМИРОВАНИЯ В ОБУЧЕНИИ 79
- Учебный процесс и творческая деятельность
- Предварительные замечания к положениям концепции
- Выдвижение гипотез и их проверка
Введение к работе
Быстрое развитие современных высоких технологий в развитом
демократическом обществе требует повышения качества подготовки кадров,
способных к творческому развитию, улучшению и внедрению
технологического прогресса. Для этого обществу необходима такая система образования, которая, обеспечивая всестороннее развитие всех членов общества, даст возможности специальной подготовки талантливых, способных и творческих кадров. Проблема подготовки этих кадров в системе математического образования для современной методики преподавания математики является одной из самых важных. Решение этих проблем связано с реализацией идей дифференцированного обучения математики в школах Польши, России и других стран.
Проблемы дифференциации по отношению к обучению математике широко изучены в работах ученых России: И.И. Баврина, В.Г. Болтянского, Г.Д. Глейзера, В.А. Гусева, Г.В. Дорофеева, Ю.М. Колягина, Л.Б. Кузнецовой, Г.Л. Луканкина, В.Л. Матросова, И.М. Смирновой, СБ. Суворовой, М.В. Ткачевой, Н.Е. Федоровой, В.В. Фирсова и др.
Обратим особое внимание на то, что уже в одной из первых публикаций, посвященной проблеме дифференцированного обучения математике в школах России, В.Г. Болтянский и Д.Г. Глейзер [40] выдвинули принципиальное положение о том, что уровень обучения, глубина приобретаемых знаний и формируемых навыков могут быть различными для разных категорий учащихся, сообразно их возможностям, интересам, склонностям. Рассматривая эти разные категории учащихся по отношению к изучению курса математики, авторы предлагают, что учащихся можно разделить на три группы. Первую группу должны составлять школьники, для которых математика является лишь элементом общего развития и в их дальнейшей производственной деятельности она будет использоваться лишь в незначительном объёме. Во вторую группу могут входить учащиеся, для которых математика будет важным инструментом
в их будущей профессиональной деятельности. В третью группу нужно отнести тех учащихся, которые выберут математику в качестве основы своей будущей деятельности.
Работе с учениками этой третьей группы и посвящена наша работа, направленная на формирование и развитие творческой математической деятельности учащихся (в дальнейшем мы будем пользоваться сокращением ТМД) в классах с углубленным изучением математики в школах Польши.
Заметим, что необходимость включения в процесс обучения математике элементов творчества признается всеми. Эта проблема решается на уровне начальных и средних классов массовой школы в рамках включения учащихся в активную, познавательную деятельность, позволяющую развивать их творческие способности, принимая за основу принципы развивающего обучения, разработанные в трудах русских ученых: В.В. Давыдова, Л.В. Занкова, А.Н. Леонтьева, Я.А. Пономарева, СВ. Рубинштейна и других. На Западе этот подход исследуется в работах: X. Аблиего, К. Андерсена и
A. Кропля, Ж.С. Брунера, Ж. Пиаже, 3. Петрасинского, Ж. Тжебинского,
М. Валача и Н. Когана, В. Вар да, П. Виткина и других.
Принимая позицию Л.С Выготского, что обучение ведет за собой развитие, были разработаны различные подходы к развитию ТМД учащихся.
Необходимость включения учащихся в активную познавательную деятельность, способствующую развитию их творческих способностей, была показана в работах известных психологов, педагогов и методистов-математиков: В.В. Афанасьева, Х.Ж. Танеева, Л.В. Занкова, А.З. Крыговской, Л.Д. Кудрявцева, И.Я. Лернера, М.И. Махмутова, В. Новак, Б.Й. Новецкого,
B. Оконя, П.И. Пидкасистого, С. Турнау, X. Фройденталя, СИ. Шварцбурда,
Г.И. Щукиной и др.
Анализируя данные работы, можно сделать вывод о том, что для творческой деятельности учащихся характерной чертой является субъективная новизна результата этой деятельности и процесса ее выполнения. Эта субъективность заключается в том, что результаты этой творческой работы для
7 ученика являются совершенно новыми, хотя управляющий данной деятельностью учитель практически всегда знает ответ.
В процессе обучения математике в начальных и средних классах массовой школы важную роль играет формирование умений и навыков творческой деятельности учащихся, что подчеркивается в работах известных математиков и методистов: В.Г. Болтянского, Б.В. Гнеденко, В.А. Гусева, Г.В. Дорофеева, А.Н. Колмогорова, Ю.М. Колягина, А.З. Крыговской, А.И. Маркушевича, В. Новак, Б.Й. Новецкого, Э. Пехконена, С. Турнау, X. Фройденталя, А.Я. Хинчина, М. Циосек, СИ. Шварцбурда и др.
Эти проблемы решаются прежде всего путем выявления роли задач в процессе развития математического мышления и включения соответственно подобранных задач в разные области школьной программы обучения математике на выше рассматриваемом уровне.
Этому вопросу посвящены работы многих методистов - исследователей: Е.А. Акопяна, С. Алиханова, Д.А. Антонова, В.В. Афанасьева, А. Викола, А. Гуралского, Б.А. Жеромской, Н.Т. Ивановой, Л.Э. Капелин, Й. Килпатрика, Й. Конера, О.С. Кретинина, В.И. Крупича, А.З. Крыговской, М. Легутко, Г. Леншнера, Ц. Мадраимова, В.В. Мерцалова, В. Мниха, А.Х. Назиева, Б.Я. Новецкого, Л.Э. Орлова, А. Плоцкого, Д. Пойа, Л. Прусского, Т.Б. Раджабова, Б.Б. Репьева, Е.В. Силаева, И.М. Смирновой, Е.И. Смирнова, А. Халикова, М. Циосек, С. Турнау, А.Х. Шынфелда и др.
Анализ этих работ показал возможность включения в разные области школьной математики специально подобранных математических задач, способствующих формированию разных приемов творческой математической деятельности и развитию математического мышления. При этом главной заботой исследователей является то, чтобы "включение" этих задач не имело отрицательного влияния на реализацию основной программы и, если это возможно, способствовало успешному изучению рассматриваемого программного курса.
В нашей работе мы находимся в несколько иной ситуации. Ученики
8 лицеев, с которыми нам приходится работать, имеют уже достаточно развитые базовые знания и умения, в том числе и умения ТМД. Для этой группы учащихся, способных, заинтересованных и обладающих достаточным математическим базисом знаний, умений и навыков, надо разработать комплексную и полную систему формирования ТМД, учитывая все существенные для математического творчества, для научной математической деятельности аспекты. Эта концепция должна учитывать также и развитые на предыдущем этапе элементы ТМД.
Формирование ТМД должно готовить учащихся в классах с углубленным изучением математики в средней школе к будущей научной творческой исследовательской деятельности в области математики. Для этого очень важным является анализ этой деятельности творчески работающих математиков, позволяющий выявить все истинные ее черты и используемые процедуры, которые можно было бы в дальнейшем применить при построении концепции формирования ТМД на рассматриваемом уровне.
Одним из фундаментов этого анализа является философская и психологическая точка зрения. Главные аспекты творчества вообще, которые очевидно касаются также математики, выявлены в трудах известных философов и психологов: B.C. Библера, Б.В. Бирюкова, Ж. Брунера, А.В. Брушлинского, Л.С. Выготского, И.Я. Гальперина, И.П. Гильфорда, В.В. Давыдова, Г. Кляуса, Т. Котарбинского, В.А. Крутецкого, Ю.Н. Кулют-кина, Й. Лякатоша, А.Н. Леонтьева, A.M. Матюшкина, Ж. Пиаже, 3. Петрасинс-кого, Я.А. Пономарева, К. Поппера, A.M. Ракитова, С.Л. Рубинштейна, Д.Э. Супера, Н.Ф. Талызиной, O.K. Тихомировой, Т. Томашевского, Л.М. Фридмана, 3. Цацковского, А.Т. Шумлина и др.
Анализ работ этих ученых показывает, что главными признаками творчества являются:
преобразование явлений, вещей, процессов действий или их образов, наглядно-чувственных или мысленных;
новизна и оригинальность продуктов деятельности, процессов, приёмов или
9 орудий и средств, применяемых в этой деятельности;
поиск "неизвестных связей" между рассматриваемыми объектами.
В работах психологов подчеркивается важная роль, которую в творческих процессах играют знания, являющиеся условием и предпосылкой успешной творческой деятельности.
Другим важным направлением анализа математической творческой научной деятельности, имеющей исследовательский характер, является точка зрения самих творчески работающих математиков. Работ, посвященных этой теме, не так много, но они очень интересны, например труды А. Адлера, А.Д. Александрова, И.И. Баврина, Ж.Д. Баррова, А. Вейля, Б.В. Гнеденко, В. Дунхама, А.Н. Колмогорова, Л.Д. Кудрявцева, В.А. Матросова, 3. Погоды, X. Пуанкаре, Д. Пойя, Б. Русселя, Г.И. Рузавина, В.В. Савыера, С.Х. Стейна, Р. Тхома, СМ. Уляма, X. Фройденталя, X. Хадамарда, П.Р. Халмоса, Х.Л. Хаммонда, Г.Х. Хардего, А.Я. Хинчина, Я. Хургина, К. Цесельского, X. Штейнхауса, и других.
Анализируя указанные работы, заметим, что математика как наука существенно отличается от других естественных наук, и поэтому эту специфику надо принять во внимание, если мы хотим охарактеризовать математическое творчество. Особое внимание надо уделить следующим двум аспектам:
Математика как наука, может быть охарактеризована как "готовое знание", то есть готовый набор знаний (определений, теорем, доказательств, примеров, алгоритмов, теорий и т.д.), созданный математиками на определенной основе и с помощью ясно выделенных правил. Такую математику можно найти в любой научной математической работе, в которой вся информация имеет свое, логически обоснованное место.
Но математика является также и областью специфической умственной, интеллектуальной деятельности человека, "продуктом" которой является упоминавшаяся выше "готовая математика", а средством, которой является четкое математическое мышление. Эта деятельность совсем не похожа на то,
10 что находится в ее "готовых продуктах".
К сожалению творчески работающие ученые-математики неохотно пишут о своей сложной, творческой деятельности, внутренняя структура которой, механизмы и условия функционирования нам еще недостаточно известны. Заметим, что труды творчески работающих по данной проблеме математиков, адресованные другим математикам, совершенно не отражают ни путей, ни попыток, ни ошибок и блужданий, которые наверняка имели место во время решения проблемы. Полученный "готовый продукт" работы математика, показывает только "одно лицо" математики, которое важно, но не достаточно для хорошего ее понимания.
Упомянутые выше направления указывают на необходимость более глубокого изучения проблемы формирования ТМД учащихся. Можно утверждать, что существуют реальные неразрешенные противоречия, касающиеся этой проблемы.
Во-первых, противоречия проявляются между тем, что, с одной стороны, обществу нужны творчески работающие кадры, о чем нас убеждают официальные документы и постановления, но, с другой стороны, школа не достаточно готовит молодых людей к творчеству, к развитию креативности, предпочитая "рецептурный подход к обучению".
Во-вторых, хотя одной из важных задач школы является развитие (в том числе и для творчества) всех учеников, но очень много внимания уделяется средним ученикам, что отодвигает на второй план работу с учащимися, имеющими явную склонность к математике. В Польше это часто звучит так: "Школьное сито губит алмазы".
Что касается самой математики, то она возникает как очевидный результат творчества математиков, но до учащихся доходят только "готовые продукты" этой творческой деятельности; пути решения этих проблем и понимание сути дела для нематематиков остаются вне их понимания. К сожалению, для огромной части общества математика, в наилучшем случае, сводится к вычислениям.
Современное обучение математике в Польше на уровне лицейских классов с углубленным изучением математики дает возможность приобщить учащихся этих классов к ТМД. Речь идет о математической деятельности на уровне учащихся, с учетом их возможностей и знаний, учитывая, однако, существенные для математического творчества аспекты. В связи с вышесказанным вытекает необходимость разработки целостной концепции формирования и развития ТМД учащихся на вышеуказанном уровне, учитывая специфику польской программы и традицию преподавания математики в Польше, а также все истинные аспекты математического творчества.
Все вышесказанное обуславливает актуальность проблемы формирования ТМД учащихся классов с углублённым изучением математики школ Польши.
Объектом исследования является процесс изучения математики в классах с углубленным ее изучением в школах Польши.
Предметом исследования является поиск содержания и методики процесса формирования ТМД учащихся классов с углубленным изучением математики в школах Польши, а также создание для этого профиля школ и классов системы многоэтапных математических заданий.
Проблема исследования состоит в разработке научно обоснованной концепции формирования ТМД учащихся классов с углубленным изучением математики в школах Польши.
Целью исследования является анализ теоретических и практических аспектов процесса формирования ТМД учащихся классов с углубленным изучением математики, в частности, теоретическая разработка концепции формирования ТМД учащихся с учетом достижений методико-математических, психолого-педагогических и философских исследований, и построение на основе положений предлагаемой концепции приемов эффективного формирования ТМД учащихся классов с углубленным изучением математики в школах Польши.
Гипотеза исследования заключается в том, что существует реальная
12 возможность эффективного формирования ТМД учащихся классов с углубленным изучением математики в школах Польши в рамках разработанной концепции, если:
в основу разработанной концепции положить понятие ТМД учащихся, которое опирается на методико-математические, психолого-педагогические и философские исследования по проблемам творчества;
разработана теоретическая концепция формирования основных видов ТМД учащихся классов с углубленным изучением математики в школах Польши, соответствующая этому этапу обучения математике;
разработана система дидактических средств, так называемых многоэтапных заданий (МЗ), в форме последовательностей задач, проблем и дидактических ситуаций, позволяющих формировать ТМД учащихся классов с углубленным изучением математики в школах Польши;
разработана система методических рекомендаций для учителей, управляющих реализацией этой концепции в процессе ее внедрения;
разработаны методические рекомендации для подготовки будущих учителей к реализации выработанной концепции формирования ТМД учащихся классов с углубленным изучением математики в школах Польши.
Логика исследования определила необходимость решения ряда задач. Задачи исследования подразделяются на три группы: I. Задачи, связанные с уточнением проблемы творчества и ТМД учащихся:
Рассмотреть современное понимание творчества и творческих действий с философской и психологической точки зрения.
Определить характерные черты творчества и творческой деятельности математиков-профессионалов через анализ самой математической деятельности.
Описать элементы математической деятельности учащихся, типичные для массового обучения математике в польской школе, которые могут служить базисом для формирования ТМД учащихся классов с углубленным изучением математики в школах Польши.
II. Задачи, связанные с разработкой концепции формирования ТМД
учащихся классов с углубленным изучением математики в школах
Польши:
Выделить основные виды ТМД учащихся классов с углубленным изучением математики в школах Польши.
Разработать теоретические основы описания и характеристики этих видов ТМД учащихся классов с углубленным изучением математики в школах Польши.
Разработать теоретические положения конструирования и использования МЗ, выполняющих роль лаборатории ТМД учащихся классов с углубленным изучением математики в школах Польши.
III. Задачи, связанные с разработкой системы методических рекомендаций,
связанных с реализацией и внедрением на практике концепции
формирования ТМД учащихся классов с углубленным изучением
математики в школах Польши:
для учителей, управляющих реализацией процессов формирования основных видов ТМД на рассматриваемом уровне обучения;
для учителей, управляющих процессом решения МЗ учащимися классов с углубленным изучением математики в школах Польши (организация практических занятий, самостоятельной работы учащихся, научно-исследовательской работы, в том числе с использованием информационных технологий);
для подготовки будущих учителей к реализации управления процессом формирования ТМД и решения МЗ учащимися классов с углубленным изучением математики в школах Польши.
Научная новизна исследования заключается в следующем: 1. На основе исследования философских, психолого-педагогических, математических и методических аспектов проблемы творчества разработана концепция формирования ТМД учащихся классов с углубленным изучением математики в школах Польши, включающая в себя два основных блока.
14 Первый блок состоит в описании основных видов ТМД, которые используют математики в своей профессиональной деятельности. В работе выделены следующие виды ТМД:
выдвижение гипотез и их проверка;
творческое восприятие, обработка и использование математической информации;
перенос метода (рассуждения или решения вопроса) на проблему аналогичную, более общую, частный или предельный случай;
дисциплина и критичность мышления.
Второй блок состоит в создании МЗ, которые являются последовательностью задач, проблем и дидактических ситуаций, объединяющих различные разделы школьного курса математики и позволяющие формировать выделенные выше основные виды ТМД учащихся классов с углубленным изучением математики школ Польши.
В диссертации разработаны два больших МЗ: «О понятии "среднее"» и «От основного тригонометрического тождества до тождества Лагранжа и неравенства Коши».
Теоретическая значимость исследования заключается в следующем:
Актуализирована проблема формирования ТМД учащихся классов с углубленным изучением математики в школах Польши и обоснована необходимость ее решения.
Разработана концепция формирования ТМД учащихся классов с углубленным изучением математики в школах Польши, которую можно использовать как на более низких, так и на более высоких уровнях обучения математике.
Разработаны МЗ как новое дидактическое средство формирования разных видов ТМД, выполняющие роль лаборатории ТМД учащихся.
Практическая значимость исследования определяется тем, что в нем:
Разработаны и проверены методические рекомендации для учителей с целью
управления процессами формирования рассматриваемых выше основных
15 видов ТМД учащихся классов с углубленным изучением математики школ Польши.
Разработаны и проверены методические рекомендации для учителей с целью управления процессами формирования ТМД в ходе решения МЗ учащихся в классах с углубленным изучением математики школ Польши.
Разработаны и проверены последовательности задач и примеров, предназначенных для использования с целью управления процессами формирования рассматриваемых выше основных видов ТМД учащихся классов с углубленным изучением математики школ Польши.
Разработаны и проверены МЗ, служащие основой для формирования ТМД, объединяющие различные разделы школьного курса математики классов с углубленным изучением математики школ Польши.
Достоверность результатов исследования обеспечивается следующими основаниями:
опорой на фундаментальные исследования по психологии, педагогике, теории и методики обучения и воспитания (математика), философии математики;
многолетней опытно-экспериментальной деятельностью личного преподавания в классах с углубленным изучением математики школ Польши; анализом этой деятельности;
обобщением большого объема теоретических данных и практических наблюдений ТМД, опыта многих поколений творчески работающих математиков-профессионалов;
научной глубиной, доказательностью и обоснованностью теоретических
положений, на которые опирается данное исследование.
На защиту выносятся:
Теоретическое обоснование понятия творчества и творческой деятельности в области математики с философской, психологической и математической точек зрения.
Теоретические положения концепции формирования ТМД учащихся классов
с углублённым изучением математики школ Польши, состоящей из двух основных блоков.
3. Методология описания и формирования основных видов ТМД, которая рассматривается в трех аспектах:
В отношении описания интеллектуальных процессов, возникающих в ходе проявления данного вида деятельности учащимися (интеллектуальный аспект).
В отношении описания дидактического проекта, целью которого является создание условий для выполнения учащимися данного вида творческой математической деятельности (дидактический аспект).
В отношении вопросов, связанных с проверкой и оценкой умений проявлять данный вид математической деятельности (оценочный аспект).
Апробация работы. Основные теоретические положения и результаты данного исследования докладывались автором и обсуждались на международных конференциях, на организуемых в Польше и России симпозиумах и научных семинарах:
Конференции по методике обучения математики в Польше: 1973 - 1981гг., 1987-1993гг., 1994-1998гг.
Конференции Международной комиссии по изучению и совершенствованию обучения математике (Commission Internationale pour Г Etude et Г Amelioration de TEnseignement des Mathematiques, (CIEAEM)): Щырк (Польша, 1990 г.), Берлин (Германия, 1994 г.), Тулуза (Франция, 1995 г.), Хуельва (Испания, 1996 г.), Сетубаль (Португалия, 1997 г.), Нойшатель (Швейцария, 1998 г.), Чичестер (Англия, 1999 г.), Вербания (Италия, 2001 г.), Виланова (Испания, 2002 г.).
Конференции "Journees Didactiques" - Родос (Греция, 1991, 1992, 1997, 1998 гг.).
Конференции ІСМЕ: Будапешт (Венгрия, 1988 г.), Севилья (Испания, 1996 г.).
Национальные конференции Общества учителей математики Польши и
17 Польского математического общества (1991, 1992, 1994, 1997 гг., 2001г.).
Конференции учителей математики России (1997, 1998 гг.).
Автор выступал с докладами на научных семинарах: семинар проф. 3. Крыговской, 1987 - 2001 г., Краков (Польша); семинар в Institut National de L' Enseignement Superieure, 1981 - 1987 г., Tiaret (Алжир);
семинар в Concordia University, 1993 г., Montreal (Канада); семинар проф. Б.Я. Новецкого, 1994 -1998 г., Бельско-Бяла (Польша).
Результаты исследования докладывались автором на спецкурсах:
1991-1992 гг. в Высшей педагогической школе в Жешуве (Польша),
1993 г. в Университете Concordia в Монреале (Канада),
1990-1997 гг. в Высшей педагогической школе в Кракове (Польша).
1999-2002 гг. в Высшей школе им. Павла Влодковица в Плоцке (Польша).
Внедрение результатов исследования в практику.
Разработанная в исследовании концепция формирования ТМД учащихся внедрена в учебный процесс работы следующих школ Польши:
1966-1975 гг., XII лицей в Кракове;
1987-1989 гг., I лицей в Кракове;
1993-1996 гг., VI лицей в Кракове.
Все рассматриваемые в диссертации задачи и примеры в значительной степени оригинальны. Они опираются на личный опыт автора. Конкретные, разработанные в исследовании разные виды ТМД и МЗ были опробованы в школьной работе, в рамках магистерских диссертаций студентов под руководством автора (более 40 магистерских диссертаций по теме исследования).
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии и приложения.
Учебный процесс и творческая деятельность
Быстрое развитие современных технологий требует подготовки высококвалифицированных кадров, способных к творческому развитию, усовершенствованию и внедрению новых технологических процессов. Для этого необходима такая система обучения, которая смогла бы подготовить талантливые и творческие кадры, обеспечивающие постоянное развитие и прогресс по вопросам управления и развития науки и техники.
Подготовка этих кадров - важнейшая цель общего образования. Поэтому в развитых демократических странах среди задач общего образования имеется постулат обеспечения всем членам этого общества возможности всестороннего развития личности. В этом развитии особенно подчеркивается проблема выработки творческого подхода к жизни, так как теперь он необходим во всех областях жизни. На рынке наемного труда ищут молодых, креативных людей, которые смогли бы решать сложные проблемы, появляющиеся в разных областях человеческой деятельности; ищут людей, имеющих знания и умеющих творчески использовать их в любой ситуации.
Кажется, что современная школа знает, что она несет ответственность за подготовку творчески развитой личности. Это важное дело, так как от того, как сформируется в школе человеческая личность по ходу обучения разным предметам, в том числе и во время обучения математике, зависит его будущая роль в обществе, успехи в дальнейшей жизни. Эту заботу о целостном и гармоничном развитии созидательной личности можно ясно слышать в положениях программ образования, в высказываниях педагогов и методистов.
В педагогике самым главным понятием считается творческий подход, понимаемый как некое умение и готовность личности к созиданию чего-либо нового. Целью школы является выявление творческого подхода к жизни, возникшего в результате целевых попыток побуждения умения и готовности человека к решению различных проблем.
В.А. Гусев [116, с. 5] одним из основных требований общества по отношению к современной школе считает: "формирование личности человека, который сумел бы творчески решать научные или производственные задания, самостоятельно, критически думать, вырабатывать и защищать свои мнения и убеждения, систематически пополнять свои знания путем самообразования, повышения квалификации, творчески пользоваться ими для изменения действительности."
Похожие призывы можно найти в программах обучения, среди сформулированных там целей общего образования в разных странах мира.
Можно сказать, что среди разных школьных предметов, математика, как нельзя лучше способствует выработке образующего креативного, созидательного подхода к жизни ученика. На этот аспект обучения математики уже давно обращали внимание. А.Я. Хинчин предлагал обратить особое внимание на то, чтобы ученик учил математику "в рамках активного труда, при помощи всех возможных средств, насыщая свой труд самостоятельностью, и хотя бы скромными элементами творчества" [443, с. 124].
Пути формирования творческого подхода к жизни, в рамках обучения математике в школе, показаны в трудах, касающихся гуманизации математического образования (Г.Д. Глейзер, Г.Б. Дорофеев, Т.А. Иванова, А.Т. Мордкович, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, Н.А. Терешин, А.Н. Назиев, Б.Й. Новэцки, М. Клякля, А. Жеромская, И.Г. Якиманская и другие).
В английской программе National Curriculum подчеркивается, что математика представляет материалы и средства для создания новых воображаемых для исследования миров. Вследствие исследований внутри самой математики создается новая сущность, модифицирующая и расширяющая злободневные идеи. Математика должна быть источником восхищений и изумлений, приводя учеников в возбуждение, признавая ее саму творческой областью, а когда ее используют, становится живым процессом творческой активности.
В. Новак [302] указывает на необходимость такой организации учебного процесса, чтобы он пробуждал творческую деятельность, ведущую к образованию у ученика творческого подхода к жизни.
Одной из новых авторских программ математического образования в Польше является "Новая Лазурная Математика" [545], где среди явно названных достижений ученика - выпускника гимназии, является умение предпринимать действия творческого характера.
Предварительные замечания к положениям концепции
В этой главе представлено описание концепции формирования творческой математической деятельности (ТМД) учащихся классов с углубленным изучением математики в школах Польши.
A3. Крыговская [218], анализируя цели математического образования, особое внимание уделяла проблемам, которые касаются развития специфической для математической деятельности подходов и приемов. В их развитии она видела один из способов противодействия ухудшающемуся состоянию математического образования молодежи. Это происходит из-за стиля обучения, основанного на восприятии содержания в виде готовой математики, который наносит большой интеллектуальный ущерб и вред состоянию математической культуры общества. Сторонники такого обучения математике опираются на суждение о том, что обучение, направленное на творческое восприятие математических знаний, является для большинства учеников слишком трудным и сложным. Положение о том, что математическое творчество доступно лишь одаренным, талантливым ученикам, вытекает, как утверждала А.З. Крыговская - "из некоторых недоразумений, связанных с самой концепцией математической деятельности, а, может быть, из-за отсутствия такой концепции вообще" [218, с. 26].
Изучим это положение более подробно. Совершенно верно, что способность к творческой деятельности в математике проявляет относительно небольшая группа людей. Находящаяся в основе этого творчества математическая деятельность является сложным действием, ее механизмы еще в достаточной степени не изучены. Именно об этой деятельности пишет А.З. Крыговская: "...она все время остается захватывающим предметом исследований многих философов, методологов, психологов, а также самих математиков, деятельностью, которая на самом деле не подвергается измерениям, не поддается попыткам описания, анализа, моделирования. Самими математиками формулируется предпосылка, что моменту иллюминации предшествует обычно упорная, предварительная работа, в свою очередь, момент иллюминации предшествует следующему этапу работы, организованному сознательно, который состоит из разных процедур, характерных не только для математических исследований, но и для интеллектуальной деятельности как таковой" [218, с. 27].
Кажется, что процедуры, выступающие на начальном этапе, предшествующие самому акту математического открытия, и те, которые касаются следующих этапов, могут и должны стать предметом исследований и анализа. Этот анализ должен стремиться к выявлению их существа, хода и условий, благодаря которым творческая математическая деятельность является полезной, ведет к очевидным результатам. Вместе с тем данный анализ облегчит в значительной степени выработку таких концепций обучения, которые формируют и развивают именно такие элементы математической деятельности. Очевидно, что это довольно сложное задание, тем не менее стоит и надо его решать. По этому поводу А.З. Крыговская пишет: "Каждая попытка выделения основных компонентов математической деятельности даже в условиях, способствующих такому анализу, несомненно ведет к крупным упрощениям действительности. Но для дидактики математики такая попытка, даже при таком риске, кажется необходимой.
Исходя из такой точки зрения, следовало бы сосредоточить внимание на этих компонентах и выполнить следующую работу:
1 - исследовать и проанализировать их функционирование в творческой математической деятельности;
2 - найти средства их возникновения и их развития на разных уровнях обучения;
3 - исследовать условия, способствующие и не способствующие этому развитию, условия, определяемые одновременно содержанием и структурой программ, а также дидактической деятельностью учителя" [218, с. 28].
Обучение математике в классах с углубленным изучением математики в школах Польши должно создавать возможности введения учащихся в элементы математического творчества. Конечно, речь идет о творчестве на уровне ученика, по мере его возможностей и знаний, но с учетом всех аспектов, необходимых для математического творчества на уровне профессиональных математиков. Без элементов соучастия в математической действительности ученики вынесут из школы извращенный, ложный образ математики в виде некого сборища жестких правил поведения в точно определенных стандартных ситуациях. Они не увидят в математике самого важного - живой, развивающейся науки, привлекательного орудия для решения проблем, рожденных человеческим интеллектом.
Важной предпосылкой для творческой математической деятельности учеников является соответствующий уровень их основных математических знаний и умений. Как одаренный молодой артист должен сперва стать хорошим ремесленником, знать основы своего мастерства и уметь пользоваться приборами в мастерской, так и всякое математическое творчество должно опираться на некую базу, содержащую основные (но разные на отдельных уровнях) знания, стандартные умения, навыки и способы поведения.
Выдвижение гипотез и их проверка
Проведем анализ понятия „гипотеза" в рамках различной профессиональной математической деятельности.
Заметим, что понятие гипотезы сформировалось исторически в связи с трудами математиков и появилось при попытках поисков решения некоторых типов задач. Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что математик видвигает гипотезу тогда, когда существует уже некий вопрос и априори имеются различные варианты ответов на него. Тогда ученый приводит аргументы в пользу одного из вариантов решения. Это позволяет ему видвинуть гипотезу, благодаря найденным аргументам, наиболее правдоподобную. Сформулированная таким образом гипотеза подвергается дальнейшим исследованиям, которые могут ее либо подтвердить (благодаря приведенным доводам), либо опровергнуть (благодаря приведению контрпримеров), либо, как увидим в дальнейшем, привести к совсем другому решению.
История математики имеет много примеров проблем, в названиях которых сохранилось слово „гипотеза" (например, гипотеза Гольдбаха, гипотеза континуума, гипотеза Ферма и др.). Некоторые из этих гипотез нашли свое подтверждение и стали теоремами, другие были опровергнуты благодаря приведенным контрпримерам, некоторые оказались такими, для которых в условиях существующих аксиоматических теорий никакой проверки не существует, есть и такие, которые до сих пор остаются гипотезами.
Можно поставить целый ряд вопросов для ситуаций, связанных с выдвижением гипотез:
В каких случаях формулируются гипотезы?
Какими бывают источники гипотез?
Вопросы какого типа и какие рассуждения приводили к формулировке теоремы или лишь к гипотезе?
Если имеется гипотеза, то в чем состоит возможная ее проверка?
Как можно опровергнуть и как доказать гипотезу?
Имеются ли другие возможности проверки гипотез?
Общеизвестны примеры „теорем", которые, по всей вероятности, формулировались в результате действий, которые, с настоящей точки зрения, позволяли бы только выдвинуть гипотезу.
В. Серпиньски [384] обсуждает так называемую теорему китайцев, сформулированную 25 веков тому назад следующим образом:
Если натуральное число п больше 1 является делителем числа 2п - 2, то тогда п является простым числом.
В течение многих веков это утверждение считалось истинным. Предполагалось, что оно возникло в результате проверки всех частных случаев для п 300.
Однако выяснилось, что лишь для n = 341 получаем контрпример, так как число 341 является делителем числа 2341-2, но 341 не является простым числом (341 = 11x31).
Известны умозаключения, получаемые на основе наблюдений за многими отдельными случаями (так называемая неполная индукция), которые не являются достоверным математическим методом доказательства, несмотря на то, что в других областях знаний она применяется успешно. Именно неполная индукция, основанная на наблюдении за многими случаями, была в истории математики, по всей вероятности, источником формулировок многочисленных теорем.
В XVII веке П. Ферма изучал числа вида F = 22A+ 1, где к = 0, 1, 2,... (называемые теперь числами Ферма) и для к = 0,1,2,3,4 получил простые числа. Он предполагал, что все числа такого вида являются простыми. Лишь Л. Эйлер в 1772 году доказал, что F5 = 2 + 1, десятизначное число, является составным числом и делится на 641. В. Серпиньски [384] приводит мнение известного польского астронома, Т. Банахевича, который утверждал, что предположение П. Ферма о том, что числа вида F являются простыми, могло быть основано на вышеупомянутой теореме китайцев (она считалась тогда истинной), из которой уже можно сделать вывод, что числа Ферма являются простыми числами (В. Серпиньски [384], Й. Гуровски, А. Ломницки [108, 109]).
