Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы организации и проведения коллоквиумов 15
1. Процесс обучения математике как методическая система 15
1.1 Компоненты методической системы обучения математике 15
1.2 Цели обучения математике 18
1.3 Роль задач в процессе обучения (как цель и как измеритель стандартов) 22
1.4 Содержание математического образования 27
2. Дифференцированное обучение в средней школе 30
2.1 Дифференцированное обучение (профильное) 30
2.2. Математические способности 34
2.3 Уровневая дифференциация 36
2.4 Цели углубленного изучения математики 40
2.5 Учебные планы и программы в школах с углубленным изучением математики 43
З.Системызадачв процессе обучения 44
3.1 Задача как средство активизации учебной деятельности 44
3.2 Виды задач 46
3.3 Системы задач 49
4. Формы обучения математике, место коллоквиумов среди них 50
5. Методы обучения математике 57
6. Самостоятельная деятельность учащихся 67
6.1 Классификация видов самостоятельной работы 67
6.2 Творческая деятельность школьников 68
7. Средства обучения, используемые в коллоквиумах 72
Заключение к главе 1 74
Глава 2. Методика проведения коллоквиумов и составления задач для них .11
1. Методика проведения коллоквиумов и практические рекомендации ... 77
2 Методика составления задач для коллоквиумов 84
3. Планиметрия 91
3.1 Коллоквиум №1. По следам теоремы Пифагора 91
Методическое описание 98
3.2 Коллоквиум №2. Площадь многоугольника 105
Методическое описание 112
4. Стереометрия 12
4.1. Коллоквиум №3. Сечения многогранников 120
Методическое описание 124
5 Результаты педагогического эксперимента 132
Заключение 145.
Библиография 146
- Роль задач в процессе обучения (как цель и как измеритель стандартов)
- Методика проведения коллоквиумов и практические рекомендации
- Коллоквиум №2. Площадь многоугольника
Введение к работе
Современные реалии таковы, что количества часов, отводимых на преподавание и изз^ение школьниками математики, явно недостаточно для освоения существ)Т01цих школьных программ. Это касается не только обш;еобразова-тельных классов, но и классов с углублеьшым изучением математики. Вместе с тем, в таких классах качество обучершя должно оставаться на высоком уровне, и цели, которые преследуются углубленным обучением, должны достигаться.
Особенностью з^ащихся классов с углублеьшым изучением математики является то, что они уже проявили некоторый интерес, его нужно поддерживать, развивать. Кроме того, многие из таких учеников серьезно занимаются затем самостоятельной и исследовательской деятельностью. Таким образом, встает вопрос об усовершенствовании обучения и разработке специальных форм обучения, которые можно было бы успешно использовать при работе с проявившими интерес учаш;имися, так как стандартные методы и формы преподавания математики не всегда являются оптимальными.
Значительный вклад в исследование вопросов углубленного изучения математики был внесен Н.Я. Виленкиным, А.Н. Колмогоровом, Ю.М. Колягиным, Е.С. Петровой, И.М. Смирновой, В.В. Фирсовым, М.И. Шабуниным, СИ. Шварцбурдом и др., а также нашел отражение в диссертационных исследованиях В.А. Гусева, Г.В. Дидык, Н.Е. Федоровой и др.
Исследование самостоятельной и творческой деятельности рассматривали в своих работах В.В. Афанасьев, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, Л.В. Занков, М. Клякля, Ю.М. Колягин, И.Я. Лернер, Г.И. Саранцев, М.Н. Скаткин, А.А. Столяр, Б.М. Теплов, Г.И. Щукина и др.
Различные формы обучения в школе рассматривались такими авторами, как В.К. Дьяченко, М.И. Махмутов, И.М. Чередов, Н.А. Черникова и др.
Роль задач в обучении изучали Л.Л. Гурова, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, З.А. Скопец, Л.М. Фридман, И Ф. Шарыгин, А.В. Ястребов. Они подчеркивали важность использования задач в учебном процессе.
Системы задач рассматривались учеными и методистами Г.В. Дорофеевым, О. А. Ивановым, Н.С. Мельник, Е.И. Смирновым и др.
Анализ текзоцего состояния системы образования, изучение результатов анкетирования учаш;ихся старших классов СУНЦ МГУ, опрос учителей средних школ показал, что, несмотря на то, что традиционная классно-урочная система отрабатывалась десятилетиями, она не лишена весьма серьезных недостатков в целом, и в частности при ее использовании в процессе углубленного изучения математики. Так выделялись неравномерная загрузка в процессе обучения и урока, когда проверка домашнего задания занимала довольно много времени при том, что большая часть класса не имела вопросов, необъективность выставления итоговой оценки из-за большого влияния на нее одной-двух экзаменационных и контрольных работ. Кроме того, более 70 процентов учаищхся отметили, что в средней ппсоле им казалась недостаточной полнота излагаемого на уроке материала. Также ориентированность на "среднего" ученика и отсутствие достаточного количества интересных задач разного уровня сложности снижало уровень мотивации к изучению математики.
Таким образом, нами были выделены в процессе углубленного изучения математики следующие противоречия между: • уменьшением количества часов, отводимых на изучение математики, и неизменностью содержания учебного материала для классов с углубленным изучением математики. Оно заключается в том, что в год от года уменьшается количество часов, а материал для углубленного изз^ения математики остается тем же самым. При этом на обычном уроке присутствует иногда избыточное количество методов обучения (текупщй опрос, проверка домашнего задания, самостоятельная или контрольная работа); • содержанием обучения математике и недостаточной эффективностью формирования познавательных умений и мыслительных операций на занятиях по математике; в целесообразностью широкого применения продуктивных методов обучения математике и недостаточностью форм обучения в учебном процессе. Из-за трудоемкости использования в процессе обучеьшя эвристических методов, исследовательская деятельность учащихся заменяется репродуктивными метода-ми обучения; • ориентированностью классно-урочной формы обучения на «среднего» ученика и необходимостью личностного развития каждого ученика. В результате мотивация изучершя и интерес к математ1же не поддерживается в течение всего процесса обучения.
На основании вышеизложенного актуальность исследования определяется необходимостью разрешения названных противоречий и обусловила выбор темы «Математические коллоквиумы как форма обучения математике учашцхся старших классов с углубленным изучением предмета общеобразовательных и специализированных школ».
Выявление состояния недостаточного на сегодняшний день уровня разработки методики обучения математике в школах и классах с углубленным изучением предмета определило проблему исследования: какова методика обучения математике с использованием математичесхшх коллоквиумов для учащихся 10-11 классов с углубленным изучением предмета.
Объектом исследования является процесс обз^ения математике в 10-11 классах с углубленным изз^чением математики.
Предметом исследования является методика организации учебной деятельности в форме математических коллоквиумов в старших классах общеобразовательных и специализированных школ с углублеьшым из)^ением математики.
Целью исследования является разработка методики обз^ения математике учащихся 10-11 классов с углубленным изучением математики с использованием системы математических коллоквиумов.
Для осуществления поставленной цели была сформулирована общая гипотеза исследования: если целенаправленно использовать специально разрабо-танщ^ю и обоснованную методику обучения математике с использованием системы математических коллоквиумов, то это приведет к: -повышению уровня понимания теоретического материала, эффективности обучения и повышению успеваемости в старших классах с углубленным изз^е-нием математики, -развитию мотивации, зпу1ению решать задачи различного уровня сложности, а также формированию навыков самостоятельной работы и творческой деятельности.
В соответствии с целью, предметом и гипотезой были поставлены следующие задачи исследования: 1. Выявить на основе анализа психолого-педагогической и методической литературы по данной проблеме сущность, функции и особенности коллоквиума как формы обз^ения математике в старших классах с углубленным изучением математики; 2. Провести систематизацию и конкретизацию целей обучения математики для классов с углубленным изучением математики. Выявить особенности мате-ма-тических коллоквиумов как компоненты в целостной структуре методической системы обучения математике; 3. Разработать и обосновать методшсу обучения математике с использованием математических коллоквиумов, выявить критерии отбора содержания математических коллоквиумов в структуре данной методики; 4. Исследовать возможность формирования творческой и эвристической деятельности учащихся 10-11 классов при реализации методики обучения математике с использованием математических коллоквиумов; 5. Разработать процедуры эффективного формирования познавательных умений учащихся, а также используемых мыслительных операций, в процессе решения задач на математических коллоквиумах; 6. Экспериментально проверить эффективность применения разработанной методической системы проведения математических КОЛЛОКВИЗ^ УЮВ. Теоретико-методологической основой диссертационного исследования послужили: 1) научные исследования по проблеме взаимосвязи обучеьшя и развития (Л.С. ВЫГОТСКИЙ, В.В. Давыдов, А.Л. Жохов, В.А. Крутецкий, Л. Рубинштейн и др.); 2) труды, ориентированные на проблемы обз^ения математике (В.А. Гусев, В.И. Крупич, Ю.М. Колягин, Л.Д. Кудрявцев, Е.И. Смирнов, А.А. Столяр, В.А. Тестов, Л.М. Фридман, А.В. Ястребов и др.); 3) исследования по вопросам углубленного изучения математики (Н.Я, Ви-ленкин, В.А. Гусев, Т.В. Дидык, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, Е.С. Петрова, И.Ф. Тесленко, В.В, Фирсов, М.И. Шабунин, СИ. Шварцбурд и др.); 4) результаты исследования по вопросам творческой деятельности и включения учащихся в активную познавательную деятельность (В.В. Афанасьев, Г.Д. Глейзер, Х.Ш. Танеев, В.А. Гусев, Л.В. Занков, З.И. Калмыкова, М. Клякля, Ю.М. Колягин, А.П. Леонтьев, И.Я. Лернер, Г.Л. Луканкин, Г.И. Саранцев, М.Н. Скаткин, И.М. Смирнова, А.А. Столяр, Б.М. Теплова, Г.И. Щукина и др.); 5) труды, связанные с анализом исследовательской деятельности (Б.В. Гне-денко, А.Н. Колмогоров, В.А. Крутецкий, Д. Пойа, В.М. Тихомиров, А.Я. Хинчин, Г. Фройденталь и др.); 6) исследования по проблеме контроля (Г.И. Александров, Ю.К. Бабанский, В.П. Беспалько, М.И.Зарецкий, И.И. Кулибаба, И.Я. Лернер, Е.И. Перовский, СИ. Руновский, М.Н. Скаткин, В.П. Стрезикозин, Н.Ф. Талызина, Г.И. Щукина и др.)-В ходе решения поставленных задач применялись различные методы исследования: анализ философской, психолого-педагогической, математической и научно-методической литературы, школьных учебников и з^ебных пособий, анализ личного опыта работы в специализированной школе и опыта работы других учителей, сопоставление и об6бщ;ение имеюш,егося педагогического опыта по исследуемой проблеме, наблюдение и эксперимент по проверке» основных положений диссертации.
База исследования: исследование проводилось поэтапно на базе школе имени академика А.Н. Колмогорова СУНЦ МГУ им. М.В. Ломоносова с 2002 по 2008 годы.
В соответствии с выдвинзпгой целью, гипотезой и задачами, исследование проводилось в три этапа.
Этапы исследования: На первом этапе (2002-2003 г.г.) проводился констатирующий эксперимент - осуществлялось практическое обоснование необходимости использования коллоквиумов для учашдхся классов с углубленным изучением математики. Проводились беседы с учителями и учащимися, осуществлялся анализ уроков и учебных программ с целью выделения недостатков имевшейся системы, была выдвинута первоначальная гипотеза об эффективности коллоквиумов: их влияние на формирование знаний, умений, навыков, поддержание мотивации и интереса обучения, формирования навыков математического творчества и, в частности, исследовательской деятельности.
На втором этапе (2003-2004 г.г.) проводился поисковый эксперимент осуществлялась разработка методики проведения коллоквиумов, определение их содержания, апробация коллоквиумов, уточнение и проверка гипотезы исследования, корректировка содержания, проверка на конкретных темах курса математики целесообразности выдвинутой методики. Проводилось анкетирование учапщхся, опрос учителей, анализ контрольных работ, теоретический анализ литературы, составление и использование на практике заданий коллоквиумов для тем из различных разделов математики.
На третьем этапе (2004-2008 г.г.) проводился обучающий эксперимент осуществлялось внедрение методики в учебный процесс учащихся 10-11-х классов. Проводилось подтверждение одного из пунктов выдвинутой гипотезы (о повышении успеваемости, уровня П01шмания теоретического материала и эффективности обучения). Это осуществлялось с помощью анализа результатов контрольных работ и экзаменов, статистики по поступлению в различные вузы учащихся, обучающихся в экспериментальных и контрольных группах, а также с помощью обратной связи от учешпшв и учителей. Также были сделаны заключительные выводы.
Научная новизна исследования заключается в том, что: -разработана и охарактеризована методика обучения математике в старших классах с углубленным изучением предмета с использованием математических коллоквиумов; -выявлена сущность математических колло1свиумов как формы учебной деятельности в методической системе обучения математике в. старших классах с углубленным рвучением предмета, -раскрыто содержание и структура математических коллоквиумов как формы обучения на основе личностно-ориентированного подхода в обучении, развивающего обучения, дифференцированного подхода к обучению, активизации самостоятельной и творческой деятельности учапщхся; -определены, роль и место математических коллоквиумов среди других форм обучения и контроля в методической системе обучения математике в старших классах с углубленным изучением предмета; Теоретическая значимость исследования заключается в том, что: -выявлена возможность и дано научно-методологическое обоснование целесообразности использования коллоквиумов как формы обучения математике в старших классах с углубленным изучением предмета; -разработана методика составления заданий к коллоквиумам, основанная на выявленных критериях отбора задач, целостности знаний по отдельно взятой теме, наличии блоков задач, имеющих единую структуру, и на процедурах выявления познавательных умений и мыслительных операций, проявляющихся при их решении учащимися; - конкретизированы цели проведеш1я коллоквиумов для активизации самостоятельной и творческой деятельности учащихся; -экспериментально исследована эффективность внедрения системы математических коллоквиумов в школе с углубленным изучением математики.
Практическая значимость исследования состоит в том, что • разработана и реализована форма обучения и контроля в специализиро-ваьшой школе, ранее широко не применявшаяся в ппсольнои практике и мало изученная в педагогической и методической литературе; • предложены процедуры и даны рекомендации по самостоятельному созданию тематических заданий коллоквиумов, которые могут быть использованы в преподавательской деятельности в общеобразовательных и специализированных школах, а также при разработке дидактических материалов и учебных пособий; • разработаны и внедрены готовые (и совершенствовавшиеся в течение нескольких лет) задания коллоквиумов по различным темам; • изложен и проанализирован опыт использоваьшя коллоквиумов в школе им. академика А.Н. Колмогорова СУНЦ МГУ им. М.В. Ломоносова.
Обоснование и достоверность результатов исследовании обеспечиваются: системным и целостным подходом к исследуемой проблеме, опорой на основные положения теории познания, исследованиями в области педагоптческой психологии, дидактшси и методики; согласованностью выводов с основными положениями методики преподавания математики и современными тендеьщия-ми развития школьного математического образования, а также подтверждаются результатами опытно-экспериментальной работы.
Личный вклад заключается в том, что разработана методика, лежашая в основе составления и исследования задач для коллоквиумов. Выполнена апробация результатов и эмпирические исследования; выявлены необходимые темы для проведения коллоквиумов; предложены готовые варианты коллоквиумов по различным темам; проведен отбор, обработка и адаптация имеющихся заданий для включения в коллоквиумы, а также составлены новые задачи.
Апробация и внедрение. Такая форма обучения и контроля, как коллоквиум успешно используется в Специализированном Учебном Научном Центре МГУ (школа им. Колмогорова); проводилась соответствующая экспериментальная работа по выяснению отношегшя )^аш,ихся к коллоквиумам и их эффективности. Отметим, что в похожих формах проводится контроль качества обучения в московской «Пятьдесят седьмой школе», в физико-математической школе №27 г. Харькова, в специализированной школе № 239 г. -Петербурга и некоторых ДР5ТИХ. Результаты диссертационного исследования отражены в 8-ми публикациях, в том числе в Вестнике Костромского государственного университета им.
Н.А. Некрасова, в книге «Математические коллоквиумы», а также в приложении «Математика» учебно-методической газеты «Первое сентября». Результаты докладывались на научно-исследовательском семинаре по методике преподавания математики в МГУ, на научно-методической конференции «Современные проблемы преподавания математики и информатики» и Ломоносовских чтениях в МГУ, на научных Кол^югоровских чтениях V в г. Ярославле, на заседании кафедры математического анализа ЯГПУ им. К.Д. Ушинского.
На защиту выносятся следующие положения: 1. Разработка и использование математических коллоквиумов наиболее эффективны, если данную форму обу^юния рассматривать как составляющую методической системы обучения математике в старших классах с углубленным изучением предмета. Такой подход обеспечивает достижение не только лучшего освоения предмета, но и развитие мотивации в обучении.
2. Использование методики обучения математике с включением математических коллоквиумов позволяет: а) оптимизировать учебное время в рамках педагогического процесса, ликвидируя избыточное количество методов обучения, не уменьшая при этом количество изучаемого материала, б) развить у учапщхся навыки ведеьшя дидактического диалога. в) создать возможность для проявивших желание з^апщхся вести научную исследовательскую деятельность на этапе обучения в старших классах школы, то есть еще до поступления в вуз, г) активизировать самостоятельную и творческую деятельность учащихся в процессе обучения.
3. Проведение математических коллоквиумов разбивается на несколько этапов: планирование учебного времени, составление списка задач, уточнение времени проведения, объяснение учащимся требований и мотивировка, организация дидактического диапога, оценивание.
4. Целями проведения математических коллоквиумов являются: • развитие познавательных умений учащихся, • поддержание интереса, развитие мотивации к изучению математики, • активизация самостоятельной деятельности, • формирование навыков творческой и исследовательской деятельности, • построение четкой логической схемы раздела предмета, • овладение приемами и методами решения задач, • 5тлубление поиммания материала, усваиваемого на лекциях и семинарах (в классе), • аккуратность и точность изложения, полнота аргументации.
5. Критерии отбора материала и его организации в рамках проведения математических коллоквиумов задаются следующими условиями: -наличие логической структуры заданий к коллоквиумам, -использование развивающего обучения (сложные задачи разбиваются на подзадачи), -чередование типов задач на вычисление, доказательство, построение, -включение исследовательских проектов, -включение задач, направленных на развитие логических и математических навыков, -включение задач, направленных на активизацию творческой деятельности, -включение задач, направленных на развитие дополнительной мотиващш. -включение задач, иллюстрирующих связи различных областей математики, -включение задач, иллюстрирующих различные методы решения.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка используемой литературы, содержащего 198 наименований и приложений. Объем диссертации составляет 162 страницы, ш них на библиографический список приходится 17 страниц. Приложения занимают 121 страницу.
Роль задач в процессе обучения (как цель и как измеритель стандартов)
Поскольку коллоквиум - это форма обучения, в которой основной деятельностью является решение специально подобранных задач, то в данной работе мы будем подробно рассматривать понятие «задача» с различных точек зрения.
Использование задач в обучении исследовали следующие, ученые и методисты: Болтянский В.Г. [16], Гусев В.А. [45], Дорофеев Г.В. [52], Колягин Ю.М. [78], Потоцкий М.В.[131], Саранцев Г.И. [143], Столяр А.А. [159], Н.Ф. Талызина [160], Шарыгин И.Ф. [184], Шварцбурд СИ. [185] , Эрдниев О.П. [194] Ястребов А.В. [198] и др.
В методической и психологической литературе понятие «задача» употребляется в самых разных значениях. А.Н. Леонтьев [96] под задачей понимает «цель, данную в определенных условиях». С.Л. Рубинштейн [141] рассматривает задачу как «цель для мыслительной деятельности индивида, соотнесенную с условиями, с которыми она задана». Задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения видимой, но непосредственно недоступной цели.
Наиболее полно, на наш взгляд, проблема использования задач в обучении исследована Ю.М. Колягиным [78]. Ю.М.Колягин считает, что «задача является понятием, которое отражает определенное взаимоотношение субъекта с внешним миром (объектом)». По его мнению, самым характерным признаком общего понятия задачи является наличие особого взаимодействия субъекта и объекта, ведущего к образованию некоторой системы. Под «системой» Ю.М.Колягин понимает «нечто целое, абстрактное или реальное, состоящее из взаимодействующих или взаимозависимых частей».
Г.А. Балл [13] отмечает, что термин «задача» в научной литературе определяется для обозначения объектов, относящихся к трем категориям:
1) к категории цели действия субъекта и требования, поставленного перед субъектом;
2) к категории ситуации, включающей наряду с целью - условия, в которых она должна быть достигнута;
3) к категории словесной формулировки данной ситуации из пункта 2.
Г.А.Балл полагает, что в психологической литературе наиболее распространен термин «задача» для обозначения объектов второй категории. Объекты первой категории предлагается обозначить терминами «цель действия» или «требования задачи». Определение задачи, данное А.Н.Леонтьевым, может быть отнесено к этой категории. Для объектов третьей категории подходит термин «формулировка» задачи.
Большое внимание исследователи в своих работах уделяют процессу решения задачи (Г.А.Балл [13], Л.Л.Гурова [43], Ю.М.Колягин [78], А.М.Ма-тюшкин [105], ДЛойа [124], С.Л.Рубинштейн [141], Л.М.Фридман [172] и др.)
Многие из них сходились во мнении, что решение задачи - это важнейший вид учебной деятельности учащихся в процессе обучения математике. В процессе решения задач усваивается математическая теория, развивается мыслительная деятельность, формируется личность обучаемого.
Л.М.Фридман [172] указывает, что решить задачу означает «найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем... .), применяя которые к условиям задачи, получаем то, что требуется в задаче — ее ответ». Таким образом, процесс решения задачи можно представить как нахождение системы преобразований условий задачи, при которой достигается требуемое искомое. Д.Пойа [124] под решением задачи понимает «специфическое достижение разума». Ю.М. Колягин характеризует процесс решения задачи, как «целенаправленную мыслительную или практическую деятельность человека».
В ходе решения задачи целесообразно четко выделять основные этапы (структуру) решения. Многие исследователи предложили свой подход к решению этого вопроса. A.M. Матюшкин считает, что при решении задачи можно выделить четыре основных этапа:
1). «закрытое» решение, т.е. использование известных способов решения;
2) этап «открытого» решения - поиск новых способов решения задачи, принципа действия;
3) реализация данного принципа;
4) проверка правильности полученного решения. П.М. Эрдниев [195] выделяет четыре последовательных и взаимосвязанных этапа:
1) составление математической задачи;
2) выполнение;
3) проверка (контроль) ответа;
4) переход к следующей задаче.
Д.Пойа предлагает свою структуру решения задачи:
1) понять предложенную задачу;
2) найти путь от неизвестного к данным, если нужно, рассмотрев промежуточные задачи (анализ);
3) реализовать найденную идею решения («синтез»);
4) решение проверить и критически оценить.
Сравнивая предложенные этапы решения задачи, можно заметить, что авторы считают принципиальным не только осуществить решение поставленной задачи, но и проверить правильность решения, степень реальности полученного результата. Рассмотрим задачи с точки зрения целей обучения. И.Ф. Шарыгин [184] полагает, что одной из главных задач методики можно считать реализацию основных целей обучения, достигающуюся за счет разработки методов и средств на базе заданного содержания. Поэтому, по его словам, имеет смысл сначала поставить им в соответствие конкретные учебные цели. Исследователь считает целесообразным объявление такой целью математическое развитие учащихся, при этом заменяя ей одной все перечисленные в целях виды развития, и считает такую замену вполне адекватной.
Тогда закономерно поставить вопрос о способах измерения уровня математического развития и методах повышения этого уровня. Отсюда логическим образом возникает такое понятие, как математическая задача.
Методика проведения коллоквиумов и практические рекомендации
Это целесообразно проводить перед началом учебного года. В школе им. Колмогорова за семестр (две четверти) проводится до трех-четырех коллоквиумов. Отметим, что это еще зависит от конкретного класса. В связи со спецификой углубленного обучения математике, у учащихся уже сформировался интерес к изучению предмета. В зависимости от уровня класса, степени заинтересованности учащихся и результата проведения предьідущих коллоквиумов, в течение четверти их число может корректироваться.
Естественно, что, исходя из учебного плана, определяются также темы, по которым будут проводиться коллоквиумы.. Составление листа задач, которые будут предлагаться для решения учащимся. При составлении задач мы предлагаем опираться на разработанную нами методическую систему. Более подробно это будет обсуждаться в следую щем параграфе данной главы. Также можно взять за основу составленные нами варианты, если рассмотренные здесь темы есть в учебном плане. Под словосо четанием «взять за основу» нами подразумевается, что методика и последова тельность изложения материала у каждого преподавателя своя и те, задачи, ко торые органично впіппутся в учебный процесс одного учителя, могут абсолютно выпадать из темы у другого. Кроме того, по отношению к конкрет ной теме, коллоквиумы можно рассматривать с двух разных позиций, характе ризующих изложение материала: \
1) коллоквиум, как дополнение к материалу, изучаемому в классе;
2) коллоквиум, как единственная форма изложения данной темы (в основном, факультативное изучение темы).
Задачи нами подобраны так, что они сами по себе могут использоваться как для дополнения, так и для факультативного обучения. Разница заключается в том, что в первом случае некоторые задачи могут оказаться «лишними» в связи с их рассмотрением в классе.
Однако тут может возникнуть следующий вопрос. В конце первой главы нами заявлялось, что одним из принципов составления задач является принцип систематичности и последовательности. И если какие-то задачи оттуда убрать, то задуманная последовательность может нарушиться. Отвечая на этот вопрос, сразу заметим, что в каждом коллоквиуме имеются методические замечания к нему, в которых анализируется и обосновывается логическая структура коллоквиума и одного из изложений данной темы, (то, которое считается нами наиболее оптимальным). Зная и рассмотрев данную структуру, преподаватель может в соответствии со своими личными потребностями и взглядами, либо убрать некоторые задачи, минимально нарушив логическую цепочку, либо заменить задачи на более оптимальные со своей точки зрения, несущие те же функции в данной цепочке, что и первоначальные.
Подчеркнем еще раз, что все предлагаемые в данном исследовании принципы составления задач будут рассматриваться в параграфе 2 настоящей главы.
3. Уточнение конкретного дня раздачи заданий и беседы учащихся с преподавателями. Обычно срок между первым и вторым событием составляет примерно две недели. То есть именно столько времени дается ученикам на самостоятельную подготовку.
4. Непосредственное объяснение учащимся, что от них требуется, а также раздача заданий.
Этот этап можно разделить на два подэтапа:
1) мотивировка учителем заданий коллоквиумов;
2) объяснение правил выполнения.
Что касается первого пункта, то он, вообще говоря, не является обязательным, так как интерес решать задачи у учащихся все равно будет. Однако он является очень желательным, так как позволяет не только увеличить интерес учащихся, но и лучше представлять им, для чего они все это делают. Здесь помогают средства, рассмотренные в первой главе, с которыми связаны интересы школьников, углубленно шучающих математику. А именно, исторические экскурсы в прошлое, связанные с решениями задач этой темы в прошлом, забавные ситуации и интересные факты, легенды, связанные с этими задачами. Целесообразно также разобрать на уроках и несколько задач из «Арифметики» Магницкого — первого учебника по математике для первой специализированной школы «Математических и навигационных наук школы» (созданной Петром І в Москве). В методических описаниях к конкретным коллоквиумам приводятся некоторые вышеупомянутые факты, мотивирующие в еще большей степени учащихся для решения задач из данного коллоквиума. Также в методических описаниях содержатся иллюстрации к некоторым задачам, которые, во-первых, сами по себе привлекают внимание, а во-вторых, позволяют подключить интуитивно-образную составляющую мышления.
Также бывает полезным и нужным, если позволяет учебное время, выполнить практикум (лабораторную работу), дав в качестве домашней работы заданиє на изготовление чего-либо своими руками, что будет либо служить иллюстрацией к решаемым задачам, либо показывать применение какого-либо мате-матического метода. Например, в коллоквиуме про прогрессии, таким упражнением может быть задание на изготовление полосок (палочек) Непера и проведение с их помощью умножения и деления многозначных целых чисел.
В современном мире калькуляторов и компьютеров на первый взгляд кажется, что такие практикумы устарели и давать их не стоит. Однако это не так, если иметь в виду хотя бы то, что многие из учащихся имеют не очень большие навыки в арифметических вычислениях «руками» и такие упражнения не являются лишними, да еще в игровой форме (а ведь все любят поиграть).
Второй пункт - объяснение правил. В соответствии с рассмотренными в первой главе гфшщипами уровневой дифференциации и проведения контроля, ученикам рассказываются:
требования к количеству решенных задач (так, например, не являются обязательными для решения задачи, выделенные, как исследовательский проект) и к срокам выполнения работы;
критерии выставления оценок;
правила оформления решения задач в тетради.
Остановимся поподробнее на последнем пункте. Одной из характерных черт формы обучения нами представляемой состоит в том, что решение задач записывается в тетрадь. Таким образом, к концу учебного года в классах, где проводятся коллоквиумы, учащийся имеет тетрадь с несколькими сотнями решенных задач. А, как обсуждалось в первой главе, решение задач является одним из самых активных видов мыслительной деятельности в процессе обучения математике.
Коллоквиум №2. Площадь многоугольника
Цели: Изучение метода сравнения площадей при решении ряда важнейших задач и при доказательстве некоторых классических теорем (теоремы о трех параллелограммах, о бабочках, Евклида, Гаусса, Эйлера, Вариньона, Рота, Чевы и др.).
1. (Задачи Евклида.)
а) Докажите, что для того, чтобы выпуклый четырехугольник ABCD был тра пецией необходимо и достаточно, чтобы треугольники AOD и СОВ были равновеликими {О — точка пресечения диагоналей).
б) Через точку О, взятую на диагонали АС параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные его сторонам. Данный параллелограмм делится на четыре параллелограмма. Два из них пересекаются диагональю АС. Докажите, что два других параллелограмма равновелики. Докажите обратное утверждние.
в) Пусть ABCD—трапеция, АВ CD, Е— середина АВ, F— середина DE, G —середина СЕ. Докажите, что треугольники AFD и BCG равновелики.
2. (Теорема о трех.параллелограммах.) Через точку О, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые PR и QS параллельные сторонам АВ и AD соответственно. Докажите, что прямые BS, RD и ОА пересекаются в одной точке.
3. Дан параллелограмм KLMN, у которого KL=6, KN= л[б +у/ї и ZLKN-A5. На стороне KL взята такая точка А, что КА : AL= 1 : 2. Через точку А параллельно LM проведена прямая, на которой внутри параллелограмма выбрана точка В. На стороне KN выбрана точка С, так что КС=АВ. Прямые LC и MB пересекаются в точке D. Найдите величину угла LAD.
4. а) Докажите, что три средние линии треугольника делят его на четыре равных (равновеликих) треугольника.
б) (Теорема Вариньона) Докажите, что середины сторон четырехугольника (не обязательно выпуклого) образуют параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона (рисунок 2.13), в честь французского механика и математика Пьера Вариньона (1654 - 1722); он написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731 году), где и содержалась указанная теорема.
в) Докажите, что площадь параллелограмма Вариньона выпуклого четырехугольника равна половине площади исходного четырехугольника. Верно ли это утверждение для невыпуклого четырехугольника?
5. Середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника попарно соединены (соответствующие отрезки называются средними линиями) и разбивают его на четыре четырехугольника (рисунок 2.14). Докажите, что суммы площадей накрест лежащих четырехугольников равны. (Это утверждение иногда называют 1-ой теоремой о бабочках.)
6. а) Докажите, что средние линии четырехугольника (это отрезки, которые соединяют середины противоположных сторон) и отрезок, соединяющий середины диагоналей пересекаются в одной точке и делят друг друга пополам.
б) Докажите, что если одна диагональ делит четырехугольник (не обязательно выпуклый) на два равновеликих треугольника, то она делит пополам другую диагональ. Докажите обратное утверждение: если одна диагональ делит пополам другую диагональ, то она делит пополам площадь этого четырехугольника
Данный коллоквиум посвящен теме площади многоугольников. Как и коллоквиум №2, он содержит много интересных задач с красивыми картинками, которые связаны друг с другом и образуют вполне последовательную систему. Большинство задач следуют одна из другой, но это не значит, что используются только операции аналогии и умения выводить следствия. Эти задачи рассчитаны на использование разных методов решения и, как следствие, развивают различные умения.
Итак, в чем же состоит систематический подход к построению задач (логическая структура), а также рассмотрим формирующиеся знания, умения, навыки в результате решения задач данного коллоквиума.
Задача №1а). Эта задача выявляет критерий того, что выпуклый четырехугольник является трапецией. Используемые знания: два треугольника с общим основанием равновелики тогда и только тогда, когда они имеют равные высоты (уровень применения). Формируемые умения: задача, как и большинство в этой теме рассчитана на использование приема нахождения неизвестной величины площади, как сумма или разность площадей двух или более фигур. Эта задача служит для демонстрации этих приемов в простейшем случае, так как это будет неоднократно использоваться в дальнейшем. Мыслительные операции при решении: синтез.
б) Эта задача является базовой для задачи №2 и содержит в себе критерий того, что точка внутри параллелограмма лежит на данной диагонали. Знания: диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника (уровень применения). Умения: проводить рассуждения в обратную сторону. Мыслительные операции: синтез.
в) также применение правил из пункта 2. Знания: медиана делит треугольник на равновеликие треугольники (уровень применения), параллелограммы с равными длинами сторон равновелики (уровень применения). Умения: находить на чертеже равновеликие фигуры. Мыслительные операции: синтез.
2. Теорема о трех параллелограммах - следствие задачи 1а. Причем применятьнадо несколько раз — как необходимость, так и достаточность. Это доказательство поражает своей изящностью и может служить отличным примером, показывающим красоту математики.
В чем же заключается метод решения: точку пересечения отрезков BS и KD обозначим через К. Надо доказать, что К лежит на прямой О А. Последовательно два раза применяем критерий принадлежности точки диагонали параллелограммов OPDS и OQBR (необходимое условие). Получаем, что два параллелограмма равновелики одному и тому же параллелограмму. Значит они равновелики между собой. Тогда, применяя критерий еще раз (достаточное условие), получаем, что ОеАК. Другими словами, К лежит на прямой О А. Умения: несколько раз применять одно и то же утверждение, сведение задачи к уже известному, дополнительные построения. Мыслительные операции: анализ через синтез.
3. Эта задача из вступительных экзаменов на ВМК МГУ (№6 2003). Ее официальное решение занимает около двух страниц вычислений. Однако с помощью задачи 2 она решается в одну- две строчки. Для этого достаточно увидеть, как можно применить теорему о трех параллелограммах и доказать, что D є AN. Знания: теорема косинусов (уровень применения), теорема о трех параллелограммах (уровень творческого применения). Мыслительные операции: анализ.
4. С этой задачи начинается цикл задач, содержащий такой объект, как средние линии треугольника и параллелограмма. Задачи, связанные с этим объектом очень разнообразны, имеют стройную структуру, интересные обобщения и могут быть полезными для решения на коллоквиуме.
Сама задача 4а является несложной базовой задачей и ее можно решать различными способами. То есть на этой задаче можно демонстрировать различные методы решений в геометрии. Знания: средняя линия треугольника равна половине основания (уровень применения), площадь треугольника, отсекаемого средней линией равна четверти площади исходного треугольника (применение). Умения: нахождение разных способов решения одной задачи. Мыслительные операции: синтез.
Задача №46 тоже имеет дело со средними линиями, однако, не треугольника, а четырехугольника. Доказывается очень важное свойство, которое будет использоваться много раз — если последовательно соединить середины соседних сторон четырехугольника, то полученный четырехугольник будет являться параллелограммом. Знания: свойства средних линий треугольника (применение), признаки параллелограмма (применение). Мыслительные операции: синтез. Умения: сводить задачу к предыдущему.
Задача №4в показывает связь площади параллелограмма Вариньона и площади исходного четырехугольника. Также в этом пункте стоит вопрос об обобщении утверждения на случай невыпуклого четырехугольника. Оказывается, что для таких четырехугольников этот факт тоже справедлив. В процессе решения задача сводится к случаю выпуклых четырехугольников, уже рассмотренный нами.
Знания: здесь также используется свойство средней линии треугольника (уровень применения). Умения: нахождение неизвестной площади, как разности известных; сведение нерешенной задачи к решенной. Мыслительные операции: синтез через анализ, обобщение.
Задача №5 использует построение параллелограмма Вариньона и метод решения такой же, как в задаче 4в, если принять во внимание, что диагонали делят параллелограмм на четыре равновеликих треугольника. Знания: теорема Вариньона (уровень применения), свойства параллелограмма (применение). Умения: применять доказанные утверждения. Мыслительные операции: синтез через анализ, аналогия
Задача №6а заключается в том, что через точку пересечения диагоналей параллелограмма Вариньона проходит отрезок, соединяющий середины диагоналей исходного четырехугольника, причем этой точкой он делится пополам. Знания: свойство средней линии треугольника (творческое применение), свойства параллелограмма (применение), параллелограмм Вариньона (применение). Умения: дополнительные построения, осознанность действий.
Задача №66 также связана с серединами диагоналей. Она содержит критерий того, что одна диагональ делит пополам другую диагональ. Знания: утверждение о том, что площади треугольников равны и основание общее, то равны и высоты (применение). Умения: проводить рассуждения в обратную сторону. Мыслительные операции: синтез.
Задача №7. Эта задача устанавливает связь длин отрезков диагоналей параллелограмма с его сторонами. Это базовая задача - она будет применяться в дальнейшем. Знания: теорема косинусов, свойство тригонометрических функций, тождественные преобразования (применение). Мыслительные операции: синтез
Задача №8 является обобщением задачи №7 на случай произвольного четырехугольника (действительно, для параллелограмма имеем PQ=0). Вместе с тем для ее доказательства учащимся понадобится применить результаты, полученные в задачах 6 и 7, а также построить параллелограмм Вариньона. А именно, надо рассмотреть четырехугольники LPQN, KPMQ и KLMN (рисунок 2.15). Первые два являются параллелограммами из рассуждений из задачи 6, а третий - параллелограмм Вариньона. Ко всем трем параллелограммам надо применить утверждение из задачи 7. Как следствие этих трех равенств и получается теорема Эйлера. Умения: применение предыдущего. Мыслительные операции: синтез через анализ.
В задаче №9 также рассматриваются середины сторон, но они уже соединяются не друг другом, а с соответствующими вершинами четырехугольника. Знания: свойство медианы (деление треугольника на два равновеликих треугольника; творческое применение). Умения: дополнительные построения (диагональ четырехугольника). Мыслительные операции: синтез через анализ. Задача №9 б) использует результат пункта а). Умения: нахождение площади искомой фигуры, как разность других площадей, тождественные преобразования, применение предыдущего. Мыслительные операции: анализ.
Похожие диссертации на Математические коллоквиумы как форма обучения математике учащихся старших классов с углубленным изучением предмета общеобразовательных и специализированных школ
