Содержание к диссертации
Введение
Глава І. Теоретические основы обучения учащихся 1-8 классов решению текстовых задач в условиях преемственности изучения математики 11
Анализ проблемы в педагогической литературе 11
Общие умения решения текстовых задач 32
Действия, адекватные алгебраическому методу решения текстовых задач 45
Действия, адекватные геометрическому методу решения текстовых задач 65
Использование одномерных диаграмм 66
. Использование двумерных диаграмм 72
Использование графиков 78
Формирование действий, адекватные решению текстовых
задач в условиях преемственности изучения математики 89
Глава 2. Методические аспекты обучения решению текстовых задач в условиях преемственности изучения математики 107
Методика формирования общих умений решения текстовых задач 107
Методика формирования алгебраического метода решения текстовш: задач 123
Методика формирования геометрического метода решения текстовые задач 137
Формирование действий, адекватных использованию одномерных диаграмм 137
Формирование действий, адекватных использованию двумерных диаграмм 148
Формирование действий, адекватные использованию графиков ... !55
Педагогический эксперимент І63
Заключение . І73
Литература
Приложения 190
- Анализ проблемы в педагогической литературе
- Общие умения решения текстовых задач
- Методика формирования общих умений решения текстовых задач
Введение к работе
В последнее время в связи.е распространением идей деятельност-ного подхода, проблемного и развивающего обучения, все чаще затрагивается тема обучения через задачи. Текстовые задачи, как никакой другой учебный материал, способны осуществить такое обучение на практике, так как позволяют создавать проблемные ситуации на уроках на протяжении всего 9-летнего курса математики- Изучением роли текстовых задач в обучении математике занимались в разные годы ВЛ-Латышев, М.И. Моро, Г-Б. Поляк, А.С Пчелко, ВЛ.Радченко, И-Н- Семенова, ЯЛ- Шор, СИ- Шорох-Троцкий и др- Авторы считают текстовые задачи прекрасным дидактическим и развивающим средством, указывая, что они осуществляют связь обучения с жизнью, способствуют усвоению математических ПОНЯТИЙ и установлению внутрипред-метных и межпредметных связей, формированию умения решать математические задачи, развивают мышление, память, воображение, смекалку ребенка и т.д. Так как текстовые задачи являются первыми математическими задачами, изучаемыми Е школе, именно с их помощью ученики узнают о структуре задачи, этапах ее решения и используемых при этом математических методах.
Вьшолнение функций задач зависит от умения учащихся решать их. Проблема обучения решению математических задач, в число которых входят и текстовые, освещается в работах МИ. Зайкина, Ю.М-Колягина, В.И-Крупича, Е.И. Лященко, В.И. Мишина, Д-Пойа, ҐЛ1. Саранцева, НА.Терешина, Л.М. Фридмана, П.М.Зрдниева и дрп Авторы исследуют структуру задачи, вьщеляют этапы ее решения, описывают используемые при этом методы и приемы, строят различные классификации математических задач. Большинство текстовых задач методисты относят к нестандартным. Несмотря на отсутствие общих методов решения нестандартных задач, учащихся можно обучать поиску их решения с помощью эвристических приемов. Ряд исследователей (МБ. Балк, Я-И- Груденов, Е.С. Канин, ЮМ. Колягин, Д. Пойа, А.А. Столяр и др.) предлагает использовать для этого следующие эвристические приемы: представление задачи в пространстве состояний; сведение задачи к системе подзадач; переформулировка данной задачи в другую, более знакомую; индуктивные рассуждения; аналогия; обобщение и др. Но эти эвристики не исчерпывают необходимый для решения текстовых задач запас знаний и умений учащихся, важно еще владение специальными действиями (становящимися в результате овладения умениями).
В педагогической литературе традиционно много внимания уделяется обучению решению текстовых задач. В ряде исследований предлагается оптимизировать этот процесс за счет использования различных форм организации учебного процесса: дифференцированной (О.В- Баранова)» коллективной (Е.С.Казько) и др. Значительное число разработок посвящено обучению оїдельньш приемам решения текстовых задач. Предлагается введение удобных единиц измерения величин, фигурирующих в задаче (СЕ. Царева), широкое использование опорных схем (С.Н- Лысенкова), работа с разными формами представления данных (ТА. Селеменева), сближение по времени решений аналогичных текстовых задач, неформальная интерпретация полученных корней уравнений (АД. Цукарь) и т.д. П.М.Эрдннсв в рамках концепции укрупнения дидактических единиц предлагает следующее: - ввести совместное обучение соответствующим видам задач, например, увеличение числа в несколько раз - кратное сравнение; - противопоставлять задачи, например, на разностное и кратное сравнение; - составлять и решать обратные задачи [ 168].
Многие методисты при решении текстовых задач призывают широко использовать наглядные образы. Указываются следующие из них: координатный луч (координатная прямая), трафики равномерных про-цессов8 отрезки (одномерные диаграммы), прямоугольники (двумерные диаграммы), чертежи фигур, о которых идет речь в задаче. Методика работы с ними описывается в работах Н.Я. Вшхенкина, БА. Кордемского, Л.Ш. Левенберга, Л-С-Луниной, А.И. Островского, Л,Г- Петерсон и др Однако практически все эти исследования имеют серьезный недостаток: они распространяются либо на младшие, либо на средние классы в них не всегда учитывается преемственность в обучении решению текстовых задач между начальной и средней шкалой.
Многие авторы исследуют методы решения текстовых задач и методику обучения этим методам- В средних классах основным является алгебраический метод. Ряд исследователей (А.Н - Барсуков, Л.В.Виноградова, Н.Н. Никифоров, ФА-Орехов, В.И. Остакова и др.) предлагают преподносить его учащимся в виде алгоритма или предписания. Безусловно, ученики должны знать этот алгоритм, но с ними необходимо проводить подготовительную работу по формированию действий, на которых он основан- Однако в школьной практике этому практически не уделяется внимания, поэтому учащиеся затрудняются применить подобные предписания из-за отсутствия навыков выполнения отдельных его этапов.
К тому же учащиеся знакомы, в основном, только с двумя мето-дами решения: арифметическим и алгебраическим и не могут выбрать оптимальный для решения данной задачи, например, геометрический, метод подбора и др. В последнее время геометрическому методу решения текстовых задач уделяется все больше внимания. Овладение этим методом расширяет возможности учащихся, облегчает работу над некоторыми сложными задачами; позволяет учитывать индивидуальные осо бенности учащихся, их стиль мышления.
В связи с вышесказанным возникает необходимость в обучении различным методам решения текстовых задач посредством формирова ния умений, составляющих эти методы- Исследователи выделяют отдельные действия, составляющие умение решать простые арифметические задачи (АЛС Артемов, Н.Б. Истомина [145] и др.), адекватные алгебраическому (Л.И. Кузнецова, ЕЛ. Перевощикова [103],ЯЛ- Менцис [90], ПИ.Саранцев [124] и др.) и геометрическому (Л.С.Лунина [78]) методам- Однако выделенные действия авторы соотносят с определенными классами и не указывают возможности их пропедевтики на пред шествующем этапе обучения или развития в дальнейшем.
Публикации последних лет об итогах контрольных работ, выпускных и вступительных экзаменов, результаты проведенного нами констатирующего эксперимента свидетельствуют о том, что учащиеся средней школы испытывают серьезные трудности при решении текстовых задач- Особенно сложное положение складывается в 5-6 классах при переходе от обучения арифметическому мегоэдг к ашгебраическому- Это происходит потому, что в начальной школе практически не уделяется внимания пропедевтике алгебраического метода, а в средней - не нахо-дят продолжения умения, которые формировались в младших классах, а от учащихся требуется решение практически тех же задач новыми средствами.
Таким образом, противоречие между потребностью в научно-обоснованной методике обучения решению текстовых задач, основой которой является формирование действии адекватных различным методам решения и реальным состоянием обучения в школьной праютлке5 потребность в осуществлении преемственности между начальными и
Щ/jc средними классами и определяют актуальность исследования.
Првйлслш исследования заключается в поиске и обосновании путей более эффективного обучения решению текстовых задач в курсе математики 9-леткей школы Объектом исследования выступает процесс обучения решению текстовых задач в младших и средних классах.
Предметояі исследования являются содержание, формы, приемы и средства обучения решению текстовых задач,
Цель исследования состоит в разработке методики формирования умения решать текстовые задачи в условиях преемственности между начальной и средней школой.
К решению указанной проблемы следует подходить комплексно, изучая различные методы решения текстовых задач в динамике их развития в процессе обучения математике- Поэтому в основу исследования положена гипотеза: процесс обучения решению текстовых задач будет более эффективным, если разработать методику, основанную на формировании действий и их совокупностей, адекватных различным методам решения текстовых задач в условиях преемственности изучения математики и взаимосвязи методов решения и внедрить ее в школьную практику. Данная методика благодаря использованию нескольких методов (арифметического, алгебраического и геометрического), позволяет учитывать стиль мышления ученика., дает ему возможность выбора, активизируя тем самым его познавательную деятельность.
Проблема, цель и гипотеза исследования обусловили следующие тдачи:
I _ Изучить состояние проблемы обучения решению текстовых задач в научно-методической литературе и школьной практике.
2- Систематизировать и обосновать действия, составляющие различные методы решения текстовых задач.
3- Выявить возможность обучения этим действиям в рамках дей- стуюищк учебников для начальных и средних классовой Разработать методику обучения решению текстовых задач различными методами на основе формирования составляющих их умений и их совокупностей в условиях преемственности изучения математики и взаимосвязи методов решения.
5- Экспериментально проверить эффективность применения данной методики.
Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: изучение и анализ психолого-педагогической литературы, учебников и учебных пособий по математике дня начальной и средней школы, анкетирование учителей5 анализ посещенных уроковР беседы с учителями и учащимися, педагогический эксперимент и методы математической статистики для обработки его результатов.
Методоявтческ&й основой исследования явились основные положения теории и методики обучения математике, принцип единства и диалектического взаимодействия теории и практики в научном познании; концепция деятельностного подхода в обучении, исследования по проблеме задач в обучении.
Исследоваиие проводилось поэтшшо.
На перв&м этапе осуществлялись изучение и анализ психолого-педагогической литературы по проблеме исследования. С целью изучения состояния обз ения решению текстовых задач в школьной практике проводился констатирующий эксперимент, посещались уроки математики в младших и средних классах.
На втором этапе разрабатывались теоретические основы методики обучения решению текстовых задач,, проверялась возможность обучения действиям, адекватным различным методам решения в курсе математики 9-летней школы, разрабатывалось методическое обеспечение формирования умения решать текстовые задачи в условиях преемственности между начальными и средними классами.
На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности и корректировки предлагаемой методики, были обобщены результаты, полученные в ходе теоретического и эксперимент гального исследования.
Научная новизна исследования заключается в том, что в нем проблема обучения решению текстовых задач решается в условиях преемственности обучения действиям и их совокупностям, адекватным различным методам решения и взаимосвязи этих методов.
Теоретическая значимость исследования заключается в:
- разработанной типологии школьных алгебраических текстовых задач;
- систематизированных и обоснованных общих умениях решать текстовые задачи, а также действиях,, адекватных алгебраическому и геометрическому методам;
-уточненной трактовке понятия «преемственность в обучении»;
- выявленной возможности формирования умения решать текстовые задачи на основе действующих учебников математики для начальных и средних классов в условиях преемственности обучения.
Практическая значшюсть результатов исследования состоит в разработке методического обеспечения формирования у учащихся умения решать текстовые задачи в процессе обучения математике по существующим учебникам. Результаты исследования могут быть использованы при разработке научно-методических пособий для учителей, учащихся, преподавателей вз7зов и студентов.
Обоснованность и достоверность результатов и выводов,, полученных в ходе проведенного исследования, обеспечены опорой на современные положения теории и методики обучения математике с учетом деятелъностнои концепции обучения, применением методов исследования, адекватных его целям, задачам и логике, экспериментальной проверкой выводов с использованием методов математической статистики.
На защиту выносятся следующие положения;
К Обучение решению текстовых задач в курсе математики 9-летней школы будет более эффективным, если школьников учить раз личным методам решения в условиях их взаимосвязи посредством формирования отдельных действий и их совокупностей, составляющих эти методы.
2. Обучение этим действиям необходимо осуществлять в условиях преемственности между начальной и средней школой.
3- Основным средсівом формирования действий, составляющих умение решать текстовые задачи, являются специальные упражнения5 органически связанные с содержанием действующих учебников математики для начальной и средней школы.
Апробация результатов исследования осуществлялась в ходе экс-перимента работы в школе-комплексе № 24 и гимназии № 29 г. Саранска, на педагогическом факультете МГПИ им, М.Е.Евсевьева. Основные ПОЛОЖЕНИЯ и результаты исследования докладывались на ежегодных научно-практических конференциях физико-математического факультета МГПИ им. М.Е. Евссвьева (1996-1999 гг.) и обсуждались на ежемесячных научно-методических семинарах кафедры методики преподавания математики (1996-2000 гг.), Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные проблемы образования учащихся начальных классов» (Саранск, 1998 г.), Всероссийской научной конференции «Гуманизация и гуманитаризация математического образования в школе и вузе» (Саранск, 1998 г.), Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные проблемы образования учащихся начальных классов» Самарского ПГУ (Самара, 1999 г.), научно-практической конференции МГУ нм- НЛ- Огарева «Интеграция региональных систем образования» (Саранск 1999г.).
По теме исследования имеется 7 публикаций.
Структура диссертации- Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.
Анализ проблемы в педагогической литературе
В педагогической литературе традиционно много внимания уделяется текстовым задачам. Это связано с тем что их решению обучают на протяжении всего 9-летнего курса математики средней школы, а в младших классах они занимают одно из основных мест. К тому же текстовые задачи в обучении выполняют важные дидактические и развивающие функции. Анализ литературы показал, что исследования по данной теме ведутся в следующих направлениях:
Текстовые задачи в широком контексте исследования. Представители данной группы исследуют процесс обучения решению математических задач, рассматривают различные эвристические приемы и методы решения. Так как текстовые задачи входят в число математических задач, то необходимо изучать и это направление.
Текстовые задачи как самостоятельный предмет исследования. Название этого компонента говорит само за себя- Подробное его изучение является одной из целей нашего исследования. Анализ методической литературы определил три основных составляющих данного направления:
- обучение использованию отдельных форм и приемов при решении текстовых задач;
- обучение обобщенным способам решения текстовых задач;
- обучение действиям, адекватным методам решения текстовых задач.
Конечно, такое разделение условно потому что в работах некоторых исследователей (Ю.М. Копягина, JLM. Фридмана и др.) освещаются сразу несколько аспектов данной проблемы.
Охарактеризуем каящый из компонентов схемы. Текстовые задачи как средство обучения и развития учащихся. Многие исследователи обращаются к текстовым задачам как к эффективному дидактическому средству видя их важную роль в установлении внутрипредметньїх и межпредметных связей, сближении обучения с практикой, формировании у учащихся математических представлений и умения решать любые математические задачи. Подчеркивается также большое значение текстовых задач в развитии мышления, речи, воображения, способностей детей. Называются следующие функции текстовых задач в обучении математике: развивающая, обучающая, воспитывающая и контролирующая. При этом ведущая функция задачи определена основной целью ее постановки перед учащимися и должна быть реализована в первую очередь» [65, с. 102].
В свое время большой вклад в разработку вопросов обучения решению текстовых задач и их использования на уроках математики внесли работы методистов начала века. Так, СМ. Шорох-Троцкий счи-тает что начальный курс математики должен строиться на системе целесообразных задач, то есть каждое новое математическое понятие усваивается учащимися при решении тех или иных текстовых задач. Большое значение он придает использованию простых задач в обучении математике, полагая, что они «,„ лучше, чем всякие определения и правила, лучше какого бы то ни бьшо изучения чисел пригодны для того, чтобы с их помощью привести учащихся к мысли о необходимости действий над числами, уяснить цель и логический смысл того или иного действия, ознакомить с различными в логическом отношении случаями применения этого действия и сделать понятным различные в словесном отношении способы выражения одного и того же арифметического требования» [166, стр. 98s 99], ВА. Латышев определяет текстовые задачи не только как средство усвоения и закрепления теоретических знаний учащихся, но и как средство развития их сообразительности.
Общие умения решения текстовых задач
В предыдущем параграфе мы охарактеризовали те направления развития, которые получила методика обучения решению текстовых задач, Наибояее эффективным нам представляется обучение действиям, адекватным различным методам решения. Среди всех умений, составляющих различные методы решения текстовых задач можно выделить те, которые выполняются независимо от метода решения, т.е. являются общими, Это умения работать с текстом задачи, приемы поиска плана решения задачи, реализации этого плана и исследования задачи. Выделим общие умения, прорешав задачи тремя методами: арифметическим, алгебраическим и геометрическим. Существуют и другие методы решения текстовых задач, например, метод перебора, практический метод, метод проб и ошибок, по первые гри являются основными. Анализируя решения задач, будем выделять только общие действия, так как о специальных будет сказано в следующих параграфах.
Задача і -Из двух пунктов А и В9 расстояние между которыми І 05 км выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста и, встретившись через І ч 45 мин после начала движения, без остановки продолжали путь - каждый в своем направлении., Через 3 мин после их встречи первый велосипедист, ехавший со скоростью 40 км/ч, повстречал третьего велосипедиста, ехавшего ему навстречу по той же дороге. Третий вело -сипедист после встречи с первым велосипедистом без остановки продолжал ехать в прежнем направлении и догнал второго велосипедиста в пункте С, в котором встретились бы первый и второй велосипедист, если бы скорость первого была бы на 20 км/ч меньше, а второго - на 2 км/ч больше первоначальной. С какой скоростью ехал третий велосипедист?
Данную задачу можно решить арифметическим методом- Проанализируем ее решение с точки зрения использования общих умений.
Проанализируем условие задачи.
В задаче говорится о движении трех велосипедистов. (умение выдепять объекты, о которых идет речь е задаче)
Условием задачи является весь ее текст за исключением последнего предложения.
Вопрос (требование! задачи: С кшсон скоростью ехал III велосипедист? (умение выделять у товие и вопрос (требование) задачи)
Известные (данные) величины:
- расстояние между пунктами А и Б (105 км);
- время движения I и II велосипедистов до момента встречи (1 ч 45 мин);
- скорость I велосипедиста (АО км/ч);
- время движения Ї велосипедиста с момента встречи со И велосипедистом до момента встречи с III (3 мин);
- на сколько меньше должна быть скорость I велосипедиста, чтобы он встретился со II велосипедистом в пункте С (20 км/ч);
- на сколько больше дозтасна быть скорость II велосипедиста, тобы он встретился с I велосипедистом в пункте С (2 км/ч).
Неизвестные величины:
- скорость II и III велосипедистов;
- время движения I и II велосипедистов до момента выхода III велосипе-диета;
- время движения II велосипедиста с момента встречи с I велосипедистом до момента встречи с III велосипедистом;
- время движения Ш велосипедиста с момента встречи с I велосипедистом до момента встречи со II велосипедистом.
Искомая величина:
- скорость III велосипедиста, (умение еыдепять известные (данные), неизвестные и искомые вепмчины)
Задачные ситуации: -встреча I и II велосипедистов;
- встреча I и III велосипедистов;
- встреча II и III велосипедистов; -условная встреча I и II велосипедистов. (ужение выделять ситуации, имеющиеся в задаче)
Методика формирования общих умений решения текстовых задач
Анализ современных учебников, методической литературы и посещенных уроков показывает, что практически все общие умения, указанные нами в 1.2, формируются в начальных классах. Значит в отношении этих умений следует говорить об их совершенствовании при дальнейшем обучении. Однажо в учебниках математики дш средних классов практически не предусмотрено для этого никакой работы. В связи с этим основное внимание в данном параграфе будет делено методике обучения общим умениям именно в средних классах» Само название говорит об универсальности этих умений, поэтому их нужно ох-рабатывать независимо от выбранного метода решения текстовой задачи.
Итак рассмотрим методику формирования общих умений в усло виях преемственности изучения математики.
1 Умение выделять объекты, о которых идет речь в задаче.
В младших классах это умение привлекается в ходе фронтальной работы над условием задачи, когда учащимся задается традиционный вопрос: «О чем идет речь в задаче?». Для формирования данного умения в младших классах предлагаются упражнения на замену одних объектов другими, соотнесение объектов условия и вопроса задачи, соответствие объектов с условием задачи, сравнение и составление задач с решением, аналогичным предложенной, но другим содержанием.
2 Умение выделять уствие и вопрос задачи.
Для формирования этого умения в начальной школе предлагаются упражнения на разделение задачи на условие и вопрос, выбор «подходящего» вопроса из предложенные выбор условия, соответствующего вопросу, постановку вопроса по условию н схеме изменение условия или вопроса задачи для получения составной (или наоборот простой) задачи, задания на самостоятельную постановку и замену вопроса, на сравнение, составление обратных задач.
3. Умение быдешипь известные (данные), неизвестные и жтмые ведичним.
Для формирования этого умения в младших классах утащимся даются задания на дополнение задач недостающими числовыми данными выделение известных и НЄИЗВЄСТНЬЇХ величин в таблицах и на схемах, выбор величин, необходимые для решения задачи, из предложенных. Проводится беседа об известных и неизвестных величинах соотнесение из; с условием и вопросом задачи.
В средних классах нет необходимости отдельно рассматривать каждое из этих трех действий. Они ВЫПОЛНЯЮТСЯ учениками самостоя-тельно «в уме». О результатах такой деятеяьноеш судят по ответам на вопросы: «Что нам известно из условия задачи? Что нужно найти?» Для совершенствования этих трех умений в 5=6 классах предлагаются упражнения на выделение известных и неизвестных величин (при этом лучше использовать задачи, условия которых сформулированы в косвенной форме); на построение схем с выделенными на них известными и неизвестными величинами (самостоятельное или использование недостроенных чертежей); на составление задачи по вопросу (условию); на замену объектов и (или) числовых данных в условии задачи и т.д. К 7 классу указанные умения учащиеся должны свободно применять при решении любой текстовой задачи.
Для примера рассмотрим следующую задачу (3 класс).
Задача t. Туристы бьши в походе три дня. Во второй день они прошли 18 КМР что на 5 км меньше, чем в первый день, а в третий день они прошли на 19 км меньше, чем за два первых дня. Сколько километров прошли туристы за три дня?
