Содержание к диссертации
Введение
1. Современные технические средства обучения и математическое образование 15
1.1. Современные средства обучения математике 21
1.2. Процес обучения математике 34
1.2.1. Формирование математических понятий 34
1.2.2. Развитие умения вести математические рассуждения 40
1.2.3. Обучение решения задач 46
1.2.4. Формирование математического языка 53
1.3. Методы обучения математике 56
2. Методика использования современных технических средств обучения при формировании математических понятий 64
2.1. Методика использования СТСО при формировании математических понятий генетическим путем 69
2.1.1. Методика формирования понятий, при введении которых желательна исследовательская работа учащихся 75
2.1.2. Методика формирования статистических и вероятностных понятий . 81
2.1.3. Методика формирования понятия корня числа с помощью обыкновенного калькулятора 86
2.2. Методика использования СТСО при формировании математических понятий на основе определений 89
2.2.1. Методика формирования понятия сложной функции 93
3. Методика использования современных технических средств обучения при формировании умений вести математические рассуждения 98
3.1. Использование компьютера и графического калькулятора в ходе усвоения теорем 104
3.1.1. Организация знакомства с основными теоремами дифференциального исчисления 105
3.1.2. Исследование свойств определителей ПО
3.2. Использование калькулятора для организации вычислений 120
3.2.1. Калькуляторы в нулевом классе 122
3.2.2. Калькулятор помогает знакомить с некоторыми теоремами . 126
3.2.3. Игры и забавы с калькулятором 127
3.2.4. Заключительные выводы 133
4. Методика использования современных технических средств обучения для формирования умения решать задачи 134
4.1. Методика использования компьютера для формирования умения решать задачи 140
4.2. Методика использования графического калькулятора для формирования умения решать задачи 149
4.3. Методика использования компьютера и видеозаписей в понимании задач по теории вероятностей 158
4.3.1. Что значит понимать содержание вероятностной задачи? 160
4.3.2. Выполнение случайных опытов и понимание задач по теории вероятностей 164
4.3.3. Роль видеозаписей в процессе понимания задач по теории вероятностей 169
4.3.4. Помогает ли компьютер в понимании задач по теории вероятностей? 171
4.3.5. Заключительные выводы 174
4.4. Методика использования магнитофона для формирования умения решать задачи 177
5. Методика использования СТСО для формирования математического языка учащихся 189
Заключение 197
Литература 203
- Современные средства обучения математике
- Методика использования СТСО при формировании математических понятий генетическим путем
- Использование компьютера и графического калькулятора в ходе усвоения теорем
- Методика использования компьютера для формирования умения решать задачи
Современные средства обучения математике
Во введении мы очень кратко и схематично ответили на вопрос, чему следует учить на уроках математики. В этой главе мы переходим к раскрытию темы данной диссертации: начинаем исследование того, с помощью чего надо учить.
Как подчеркнуто в заголовке, речь пойдет о современных средствах обучения (СО), т.е. всех тех материальных средствах, которые используются в настоящее время. Например, мы не будем рассматривать столь эффективные сравнительно недавно СО как розги.
Известно что в условиях основной в настоящее время классно-урочной формы обучения невозможно обойтись без специально приспособленного для этого помещения, удобных ученических мест, классных досок и т.п. Однако, поскольку конструирование и использование аналогичных СО практически не учитывает специфику обучения математике, мы их рассматривать не будем.
В этом параграфе мы остановимся лишь на тех используемых в настоящее время СО, которые помогают повысить эффективность обучения математике. Их мы будем называть дидактическими средствами обучения (ДСО).
Дидактические средства выполняют в процессе обучения математике огромную роль. С одной стороны помогает учителю организовать этот процесс, с другой -ученику позволяют лучше усваивать математические понятия, глубже и более сознательно вести математические рассуждения, решать задачи и математические проблемы, а также формировать у детей умение владеть устным и письменным математическим языком.
Вместе с развитием человечества, включающем развитие и совершенствование техники, сопутствующей человеку в его повседневной жизни, меняется школа и ее оборудование, меняются применяемые учителем методы и дидактические средства. Несомненно самым древним средством было слово, произносимое обучающим. И сегодня слово учителя не утратило своего значения. Уверены, что в обозримом будущем оно останется ведущим, определяющим в большой мере и успешность обучения, и всевозможные сбои.
На первый взгляд, из сказанного следует, что основное внимание следует уделять отбору учителей, их подготовке и переподготовке. В действительности, учитывая массовый характер работы учителя и крайне низкую престижность этой профессии, необходимо сосредоточить все усилия не столько на отборе, сколько на таком "вооружении" каждого учителя ДСО, совокупность которых поможет обеспечить даже рядовому учителю достаточно высокий уровень обучения, который можно и нужно заранее запланировать.
Естественный источник, откуда учитель черпает свое слово к ученику является учебник. Учебники и сборники задач - наиболее старые из ныне существующих ДСО. Разумеется, за долгие годы своего существования они до неузнаваемости изменились. Сегодня можно говорить о новом поколении учебников, которые отличаются от прежних не только содержанием но и принципиально новыми методическими решениями, в частности, связанными с художественным оформлением. Назовем, например, учебники, которые вышли в период т.наз. New mathematics в шестидесятые годы нашего столетия [105], Эти учебники характеризует более строгое и методически грамотное изложение подлежащего усвоению материала, лучшее методическое обеспечение.
Методика использования СТСО при формировании математических понятий генетическим путем
Формирование ПОНЯТИЙ чаще всего начинается с анализа разных примеров, которые в зависимости от уровня обучения, могут представлять собой модели, рисунки, словесные описания. Таким образом в уме изучающего математику накапливаются переживания и опыты, связанные с данным понятием; он постепенно знакомится с разными свойствами формируемого понятия. Процесс этот может (но не обязательно) заканчиваться формулированием корректного определения, которое в дальнейшем применяется при решении задач, при введении математических рассуждений, а также в ходе концтруирования новых понятий и очередных определений.
При этом способе формирования понятий, СТСО может предоставить ученикам, у которых формируется понятие, очень много разнородных; примеров, проиллюстрированных соответствующими рисунками или вычислениями, которые ученики могут увидеть на экране монитора или в окошке графического калькулятора. И, что очень интересно и важно, не только готовых рисунков или вычислений, но и конструируемых самим учеником примеров. Участвовать в конструировании новых примеров ученик может, изменяя в рассматриваемых примерах соответственно данные или параметры, наблюдая, выполняются ли его ожидания, в ходе получения рисунков и вычислений. В этом своеобразном диалоге ученика с компьютером или графическим калькулятором меняется роль учителя. Он перестает быть человеком, который передает ученикам заранее подготовленные примеры анализируемого понятия, корректно сформулированные его свойства, а нередко и готовое определение. Учитель планирует и организует процесс формирования понятия, а в ходе работы ученика с компьютером или графическим калькулятором он является реальным наблюдателем результатов этого диалога, помощником в преодолении хлопот и затруднений, которые на этом пути может встретить ученик можно сформулировать определение анализируемого понятия. Таким классическим способом является образование так наз. понятийного класса. Этот способ, известный в психологической литературе под названием метода новой классификации [269], можно представить в следующих этапах.
Рассматриваем сначала множество Z некоторых математических объектов, которые имеют общий признак W.
Образуем множество Р всех тех объектов,, у которых свойство W.
Каждому элементу множества Р придаем некоторое наименование, зато система: множество Р, свойство W, введенное наименование - становится понятийным классом.
Использование компьютера и графического калькулятора в ходе усвоения теорем
Как уже отмечалось, использование компьютеров и графических калькуляторов в открытии учениками математических теорем связана с возможностью органшовьшать экспериментальную работу. Компьютеры и графические калькуляторы могут генерировать большое количество примеров, которые помогают лучше понять анализируемую проблему.
Следует подчеркнуть, что исследовательская работа в науке-математике и школьном курсе по сути идентичны. И в одном и в другом случае выполняют одни и те же действия - лишь только предмет, средства и глубина рассуждений различны. Следовательно, рассматриваемые нами способы организации обучения могут рассматриваться как профессионально ориентирующие, что важно само по себе.
Исследовательскую работу при решении математических вопросов с помощью рассматриваемых методических средств удобно разделить на четыре этапа. Вот эти этапы.
1. Наблюдение многих случаев (много - может обозначать даже миллионы).
2. Поиски закономерностей.
3. Образование гипотез.
4. Проверка гипотез (проверка обычно обозначает доказательство теорем).
Разумеется, рассмотренная схема организации обучения может быть реализована и при традиционном обучении без каких бы то ни было СТСО. Компьютер или графический калькулятор, позволяя рассмотреть существенно большее количество примеров, делает реализации перечисленных этапов доступной практически любому учителю.
Использование СТСО ходе организации математического эксперимента, позволяющего подметить некоторую закономерность, предусматривает обеспечение учителем: таких условий в классе, чтобы каждый ученик имел возможность экспериментировать или смотреть и записывать результаты испытаний, чтобы у каждого было время на поиски и открытие закономерностей, а также на формулировку соответствующих гипотез. Доказательство гипотез, которое является важной частью решания математических проблем, не обязательно должно быть предназначено для всех учеников. Ученики, менее способные к математике, могут удовлетвориться открытием закономерносгии попыткой ее формулировки. А, если позволяют условия на уроке, проверкой данной закономерности с помощью компьютера или графического калькулятора. Более способные ученики могут пытаться доказать уже сформулированные гипотезы.
Такой подход к проблеме открытия учениками математических теорем позволяет дифференцировать работу в классе.
Методика использования компьютера для формирования умения решать задачи
Необходимо отчетливо сказать, что существуют уже универсальные компьютерные программы, которые позволяют решать почти каждую задачу на уровне школьного обучения. Однако, при обучении математике речь идет не о том, чтобы компьютер решал задачи при пассивном участии учеников. Ученик сам должен решать задачи, знакомиться с соответствующими методами решания и их использованием при решании других задач. Компьютер должен помогать ученику в ситуации, когда он не сумеет решить встреченную проблему, является бессильным перед задачей, ибо приобретенные им математические сведения не достаточны, а изученные методы подводят.
Не для решения каждой задачи с учениками необходимо пользоваться компьютером. Несомненно, мы не должны его применять при вычислении числовых значений алгебраических выражений, при решании уравнений и неравенств и т.п., потому что они являются основными умениями, которыми свободно должен владеть ученик, чтобы изучать математику. Существуют однако классы задач, в которых компьютер может сыграть важную роль, помогая находить замысел решения, устранять отрицательные эмоции, сопутствующие решанию трудных задач, особенно задач-проблем, облегчать отказ от первоначального замысла, не ведущего к цели, наконец, нахождения не стандартного метода решения задачи. В такие классы можно включить, например, задачи, связанные с формированием понятия функции, геометрические задачи и задачи на построение.
Калькулятор вытеснил из программы обучения математике логарифмическую линейку, а компьютер изменяет подход к проблеме обучения функции, в которой уже не ее график является целью обучения, но получение с его помощью различной информации, ее обоснование и интерпретация, особенно в случае, когда график функции описывает какое-то случайное явление. При таком подходе достаточно вписать формулу обсуждаемой функции в соответствующую компьютерную программу и немедленно получаем график даже наиболее сложной функции. Ученику стается установить с помощью этого графика отдельные свойства и, если это требуется, доказать их.
