Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Теоретические основы обучения моделированию студентов-математиков педвуза. 11
1. Анализ проблемы исследования в научной и учебно-методической литературе 11
2. Понятие модели и классификация моделей ...26
3. Моделирование и его структура ...44
4. Взаимосвязь дисциплин естественнонаучного цикла как условие функционирования процесса моделирования в обучени и математике 63
5. Роль моделирования в формировании естественно-математическою мышления студентов 74
Выводы по главе 1 88
ГЛАВА 2. Методические аспекты обучения методу моделирования студентов-математиков 90
1. Методика решения задач методом моделирования.. . 90
2. Особенности мыслительной деятельности студентов при решении задач методом моделирования 105
3. Формирование действий, адекватных методу моделирования ! 21
4. Организация и результаты педагогического эксперимента 133
Выводы по главе 2 159
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 162
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... 165
ПРИЛОЖЕНИЯ ...186
- Анализ проблемы исследования в научной и учебно-методической литературе
- Понятие модели и классификация моделей
- Методика решения задач методом моделирования..
Введение к работе
На современном этапе развития общества совершенствование многих видов деятельности неразрывно связано с формализацией знаний, одним из ключевых моментов которой является моделирование изучаемых явлений и объектов. Применение метода моделирования позволяет показать универсальность математических уравнений и алгоритмов, дает возможность унифицировать описания разнообразных по своей природе процессов.
Использование понятий, связанных с моделированием, непосредственно в процессе изучения математики позволяет совершенствовать методику ее преподавания, избегать формального подхода к обучению, осуществлять межпредметные связи. Кроме того, у студентов формируется представление о роли математических методов в преобразующей деятельности, соотношение реального и идеального, характере отражения математикой явлений окружающего мира.
В настоящее время в учебный план педвуза введен курс «Математическое моделирование и численные методы». Этот курс построен на основе ранее существующего «Численные методы», дополненного введением моделей, изучаемых в дисциплинах естественнонаучного цикла. Этот курс по самому его содержанию должен быть нацелен на обучение студентов моделированию. Однако необходима соответствующая научно-обоснованная методика.
Философские аспекты моделирования, составляющие его методологическую основу, рассматривались в работах И.Г. Кодряну, Г.И. Рузавина, В.А. Штоффа и других. В исследованиях отмечено, что моделирование может быть аппаратом исследования явлений природы, средством технического расчета объекта, методом научного познания, направленного на развитие теорий, гипотез и их проверку.
Психологические аспекты моделирования рассматривались в работах Н.М Амосова, Э.Ю. Вериик, Н.Г. Салминой и др. В исследованиях отмечено, что моделирование может быть средством активизации мыслительной
деятельности; получения новых знаний в процессе оперирования и преобразования модели, формирования научно-теоретического мышления как метод исследования и как средство усвоения; модель рассматривается как продукт психической деятельности.
В теории и методике обучения математике нет целостной концепции реализации образовательного потенциала моделирования в обучении математике: разработаны лишь отдельные аспекты проблемы моделирования (прикладная и практическая направленность, осуществление межпредметных связей и др.). Рассмотрены аспекты проблемы формирования умений, необходимых при осуществлении процесса математического моделирования (Г.М. Морозов, Н.А. Терешин и др.).
Моделирование в обучении имеет два аспекта: 1) как содержание, которое должно быть усвоено студентами в процессе обучения;; 2) как одно из основных учебных действий, которым они должны овладеть в учебно-познавательной деятельности.
Первый аспект означает обоснование необходимости включения в содержание образования понятий модели и моделирования. Построение и изучение моделей реальных объектов является основным методом научного познания. Модельный характер современной науки показывает, что задача обучения студентов моделированию может быть решена в том случае, когда научные модели изучаемых явлений займут в содержании обучения подобающее им место, и будут изучаться явно, с использованием соответствующей терминологии, с разъяснением студентам сущности понятий модели и моделирования.
Второй аспект состоит в применении моделирования для выявления структуры и существенных связей изучаемых явлений, а также в формировании умений использовать моделирование для построения общих схем действий в процессе изучения сложных абстрактных понятий. Этот аспект можно реализовать в процессе обучения студентов построению, исследованию и применению моделей окружающего мира.
В процессе моделирования объектов, принадлежащих разным формам
движения материи, качественно новый характер приобретают межпредметиые
связи, объединяющие различные отрасли знания посредством общих законов,
понятий, методов исследования.
Проблеме межпредметных связей посвящены исследования
В.Г. Болтянского, В.А. Далингера и др. В нашем исследовании мы
рассматриваем интеграцию дисциплин естественнонаучного цикла в курсе
«Математическое моделирование и численные методы». Это обусловлено
следующими причинами:
- вычислительная математика (численные методы) являются средством реализации математических моделей, представленных в указанном курсе;
- указанный курс строится на принципе изоморфизма математических моделей различной физической природы;
- рассмотрение указанного курса определяет последовательность действий: решение прикладных задач, использование численных методов, построение алгоритма и его компьютерная реализация.
Важнейшим видом математической деятельности, в процессе которой студентами усваивается математическая теория, развиваются их творческие способности, формируется теоретическое мышление, является решение задач.
Проблеме использования задач в обучении математике уделено немало внимания. В исследованиях А.К. Артемова, В.А. Гусева, М.И. Зайкина, Т.А.Ивановой, Ю.М. Колягина, Е.С. Канина, В.И. Крупича, Г.Л. Луканкина, Г.И. Саранцева, ИМ. Смирновой, А.А. Столяра, Н.А. Тсрсшина,
Р.С. Черкасова, П.М, Эрдниева и других отмечено, что решение задач является важным средством формирования у учащихся математических знаний и способов деятельности, основной формой учебной работы учащихся в процессе изучения математики.
Поэтому эффективность обучения во многом зависит от отбора задач, их конструирования и организации. В курсе «Математическое моделирование и численные методы» рассматриваются прикладные задачи. Это обусловлено
следующими причинами: а) прикладные задачи формируют математическую базу для познания, описания, объяснения процессов, протекающих в природе; б) данные задачи представляют собой модели природных явлений. Прикладная задача - это задача, поставленная вне математики и решаемая математическими средствами (Н.А, Терешин и др.).
Проведенный нами анализ задачного материала в сборниках задач по математике физико-математического факультета, методики преподавания математики в вузе позволяет сделать следующие выводы:
- сборники задач содержат незначительное количество прикладных задач, решаемых методом моделирования;
- в сборниках задач не находит отражения прикладная направленность обучения математике;
- в разделах математики перед переходом к изложению новых тем не рассматриваются прикладные задачи и соответствующие конкретные модели;
- при изучении теоретического и практического материала мало времени уделяется этапу интерпретации полученных результатов, при выполнении которого определяются связи математических зависимостей с законами природы.
Результаты проведенного нами констатирующего эксперимента свидетельствуют о том, что студенты не могут должным образом создавать математические модели природных процессов. Это обусловлено тем, что существующая методика направляет деятельность студента, в основном, на получение численного ответа приведенной задачи. Знания, приобретаемые студентами в педвузе, не соотносятся ими с будущей профессией, студенты слабо владеют методами научного познания.
Налицо противоречие между потребностью в научно-обоснованной методике обучения моделированию и недостаточностью существующих методических форм для раскрытия всего многообразия путей реализации моделирования в учебном процессе вуза. Сказанное свидетельствует об
актуальности исследования, проблема которого заключается в разрешении
данного противоречия.
Объектом исследования является процесс преподавания курса «Математическое моделирование и численные методы» на физико-математическом факультете педвуза, а предметом исследования — цели, содержание, формы и методы обучения моделированию студентов в процессе изучения названного курса.
Цель исследования состоит в выявлении закономерностей между целями, содержанием, методами и формами обучения моделированию и условиями их реализации.
Гипотеза настоящего исследования заключается в том, что если выделить действия, адекватные процессу моделирования, разработать соответствующую методику изучения курса «Математическое моделирование и численные методы» с подбором блоков задач, ориентированных на прикладную направленность обучения, и привлечением численных методов и ЭВМ, то это будет способствовать совершенствованию обучения студентов методу моделирования и осознанному его применению при решении прикладных задач.
Для реализации поставленной цели и проверки выдвинутой гипотезы необходимо было решить следующие задачи:
1. Выполнить анализ научной и учебно-методической литературы по проблеме обучения моделированию студентов с целью уточнения сущности понятия модели, структуры процесса моделирования, типологизации моделей; выявления особенностей деятельности моделирования и его роли в формировании естественно-математического мышления студентов.
2. Разработать методику обучения студентов моделированию при изучении курса «Математическое моделирование и численные методы».
3. Экспериментально проверить эффективность использования
предлагаемой методики.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: изучение и анализ психолого-педагогической, методической, математической литературы; анализ программ, учебных пособий, различных учебников по математике и физике, сборников задач для школы и вуза; констатирующий и обучающий эксперимент со студентами физико-математического факультета пединститута.
Исследование проводилось поэтапно.
На первом этапе осуществлялось изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме исследования с целью исследования теоретических основ обучения моделированию, изучалось состояние исследуемой проблемы в практике обучения, проводился констатирующий эксперимент.
На втором этапе составлялись блоки задач по темам курса «Математическое моделирование и численные метолы»; уточнялись этапы процесса моделирования и типологизация моделей; выявлялись особенности деятельности моделирования; проводился поисковый эксперимент.
На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики.
Научная новизна данной работы состоит в том, что решение исследуемой проблемы осуществляется посредством курса «Математическое моделирование и численные методы» в контексте единства целей, содержания, методов и средств обучения моделированию.
Теоретическая значимость диссертационного исследования заключается в уточнении трактовки понятия модели; выделении структуры процесса моделирования; в построении типологизации моделей; определении действий, адекватных деятельности моделирования; выявлении основных черт и особенностей указанной деятельности; выделении умений, характерных для естественно-математического мышления.
Практическая значимость результатов исследования заключается в том.
что разработанная автором методика обучения моделированию может быть
использована преподавателями педвузов в их практической деятельности с целью повышения качества и эффективности обучения студентов в процессе преподавания математики. Результаты исследования могут быть использованы при подготовке лекционных и лабораторных занятий, а также для разработки сборников задач, учебных и методических пособий для студентов физико-математического факультета педвуза.
Методологической основой исследования послужили работы по проблемам диалектического единства теории и практики; теории познания, образования и воспитания; теории развития личности; концепции деятельностного подхода; исследования по проблеме задач в обучении математике.
Достоверность и обоснованность проведенного исследования, vo результатов и выводов обусловлены опорой на теоретические положения в области теории и методики обучения математике, психологии, результатами статистической обработки данных проведенного эксперимента.
Апробация результатов исследования проводилась через публикацию статей и тезисов, в виде докладов и выступлений на заседаниях научно-методического семинара кафедры информатики физико-математического факультета Арзамасского пединститута (1996-2001), на аспирантском и научно-методических семинарах кафедры теории и методики обучения математике и физике Арзамасского пединститута (2001), на Всероссийских научных конференциях (Саранск, 1998; Саранск, 2000; Саранск, 2001; Тобольск, 2001), на региональных научных конференциях (Арзамас, 1998; Н.Новгород, 2001; Пенза, 2001), на научно-методических конференциях профессоре ко-педагогического состава Арзамасского пединститута (1996-2001).
Внедрение результатов исследования осуществлялось путем проведения лекционных и практических занятий на физико-математическом факультете Арзамасского пединститута. По теме исследования имеется 10 публикаций.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Обучение моделированию следует осуществлять в контексте
деятельностной природы модели посредством выделения мотивационных, операциональных компонентов деятельности и действий контроля (самоконтроля).
2. Реализация деятельностной концепции обучения моделированию предполагает:
а) типологизацию моделей, построенную в соответствии с последовательностью действий (изучение свойств объекта, формулирование цели разработки модели и т.д.) при решении прикладных задач;
б) выделение этапов деятельности моделирования: построение предметной модели, построение математической модели, компьютерная реализация модели, исследование компьютерной модели, корректировка модели, работа с моделью изучаемого объекта, интерпретация результата.
3. Курс «Математическое моделирование и численные методы» обладает потенциальной возможностью в овладении студентами действий, адекватных методу , моделирования, реализованных посредством специальных задач.
На защиту также выносятся: содержание программы названного курса по обучению математике, типология задач, методика организации работы студентов посредством разработанных блоков задач.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка используемой литературы, приложений.
Анализ проблемы исследования в научной и учебно-методической литературе
Использование представлений о моделировании непосредственно в процессе изучения математики позволяет совершенствовать методику ее преподавания, избежать формального подхода к обучению, реализовать межпредметные связи. Кроме того, использование представлений о моделировании приобретает большое общекультурное и общеобразовательное значение в связи с широким применением этого понятия в современной науке и производстве, особенно с внедрением и распространением ЭВМ, требующих овладения этапом формализации построения модели.
Еще один важный элемент математической культуры, реализуемый в процессе математического моделирования, заключается в развитии представлений о единстве и целостности математики как науки, о глубине внутренней взаимосвязи ее различных областей. На основе этих представлений формируется понимание того, что для развития математики принципиальное значение имеет использование адекватных математических моделей для обоснования применения хорошо изученных и проверенных методов в различных областях математики.
В процессе обучения математике в сознании человека должна создаваться адекватная, соответствующая реальности, картина состояния и развития математики. Это, в частности, означает, что важным компонентом математического образования является обучение студентов основным понятиям и идеям, связанным с моделированием, поскольку именно моделирование вскрывает реальные связи абстрактных математических понятий с реальностью.
Моделирование, то есть изучение одного объекта с помощью другого, основанное на аналогии этих объектов, по существу всегда присутствовало на уроках математики. Выполнение чертежей и пространственных моделей к геометрическим задачам, исследование свойств функции с помощью графиков - вот далеко не полный перечень тех видов деятельности моделирования, которые стали традиционными в обучении математике.
Однако до недавнего времени метод моделирования использовался в обучении неосознанно был основан на интуиции и здравом смысле (Ф.Е. Егоров, Д.Д. Галанин, СИ. Шорох-Троцкий и др.)- Отсутствие научных оснований и необходимых обобщений ограничивало использование метода моделирования, не позволяло ему стать надежным инструментом в практике учителей. Термины «модель» и «моделирование» используются в педагогической литературе сравнительно давно. Общепризнанной считается роль моделирования как средства наглядности и активизации обучения (Н.Ф. Четверухин, А,И. Фетисов, И.А. Гибш и др.). При этом тогда отмечалось большое значение моделирования для обеспечения связи обучения с трудом и для развития творческих способностей обучаемых.
Вследствие широкого распространения этого метода в научных исследованиях в 60-х годах началась разработка философского, логического и психологического аспектов моделирования (Н.М. Амосов, Б.А. Глинский, А.Н. Кочергин, А.И. Уемов, В.А. Штофф и др.). Это открыло возможность анализа его использования в педагогическом процессе (СЕ. Каменецкий, И. Г. Кулль, А.А. Шибанов и др.). Два направления использования моделирования в дидактике: построение модели процесса обучения; теоретическое обоснование и практическое использование учебных моделей, - определяются А.А. Шибановым в статье «Моделирование в обучении» (журнал «Советская педагогика», № 6, 1967 г.).
Понятие модели и классификация моделей
Изучение проблемы обучения методу моделирования следует начать с исследования вопросов, касающихся понятий модели, классификации моделей, моделирования. Понятию модели и методу моделирования посвящена обширная научная и учебно-методическая литература.
Напомним, что происхождение понятия модели в математике прослежено Н. Бурбаки в «Очерках по истории математики» /19, с.34/. Отмечая заслуги Декарта в разработке идеи согласованности математических наук друг с другом, авторы этой книги указывают, что Лейбниц «первый усмотрел общее понятие изоморфизма (которое он назвал «подобием») и предвидел возможность «отождествлять» изоморфные отношения и операции; в качестве примера он дает сложение и умножение ... Но эти смелые взгляды не получили отклика у его современников, надо было ждать расширения алгебры, которое имело место в середине XIX века, чтобы увидеть начало реализации того, о чем мечтал Лейбниц ... Именно к этому времени начинают умножаться «модели» ... и ученые привыкают переходить от одной теории к другой посредством простого изменения терминологии.»
Идея моделирования нашла отражение в известном высказывании Ф. Энгельса в известной работе «Анти-Дюринг»: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть - весьма реальный материал» /247, с. 37/. В определении Ф. Энгельса содержится утверждение о том, что математические понятия являются абстракциями от некоторых отношений и форм реального мира, т.е. моделями реальных объектов. Они берутся из реального мира и поэтому естественным образом с ними связаны.
Это были лишь первые попытки подхода к анализу понятия модели, метода моделирования и предмета математики в целом. По мере того, как темпы развития техники, технологии, науки стали ускоряться, идея модели получила большое признание.
В настоящее время предмет математики формируется как представленность некоторых качественных систем определенного типа в «своих» собственных, количественных параметрах и соотношениях. Математическое знание представляет собой совокупность математических моделей, в которых представлена информация о качественных сторонах определенных систем через соответствующие им количественные характеристики. Большинством исследователей предмет математики рассматривается как определенное пространство математических моделей.
Широкое распространение моделирования в научном познании и отсутствие общей теории этого метода (она создается лишь в последнее время) привели к большому разнообразию применений термина «модель» в современной науке. Многие исследователи рассматривают моделирование столь широко, считая все формы познавательной деятельности в определенном смысле моделями, т.е. понятия «модель», «моделирование» вводятся им в ранг теоретико-познавательной категорий.
В научной литературе можно встретить и широкое понимание модели как аналогии, которое включает любое сходство между какими-либо предметами или явлениями (Л.П. Крайзмер), и как понятие упрощения и идеализации (А.Н.Тихонов и Д.П.Костомаров) /86, 141, 163, 164, 165, 209, 210, 211/. Трактовки понятия «модель», «математическая модель» различаются как отдельными оттенками значения, так, зачастую, и довольно принципиальными моментами. Главный из них - это отношение к месту, занимаемому моделью в познании или же фундаментальных исследований.
Для определения меры соответствия модели реальному объекту используются понятия изоморфизма и гомоморфизма. Два множества А и В называются изоморфными, если, во-первых, все элементы одного множества могут быть взаимно однозначно сопоставлены с элементами другого множества и, во-вторых, некоторая операция преобразования элемента as из множества А в элемент а2 того же множества может быть взаимно однозначно сопоставлена с такой операцией в множестве В, которая элемент bi преобразует в b2. Чрезвычайно важно, чтобы при установлении изоморфизма каких-либо множеств точно указывались их свойства, относительно которых имеет место изоморфизм.
Если хотя бы часть элементов множества А может быть сопоставлена с элементами множества В, причем это сопоставление не взаимно однозначно, а однозначно хотя бы в одном направлении, и если относительно сопоставляемых элементов сохраняется указанное выше соответствие операций, то множества А и В называется гомоморфным. При этом изоморфизм представляет собой частный случай более общего явления -гомоморфизма.
Если не принимать во внимание те свойства множеств, которые не сохраняются при гомоморфизме, а учитывать только сохраняющиеся, то относительно этих свойств гомоморфные множества будут изоморфны.
Именно изоморфизм создает возможность замены объекта его моделью в целях исследования, поскольку элементы модели и объекта, а также интересующие исследователя операции с ними могут быть, в соответствии с определением изоморфных множеств, а взаимно однозначно сопоставлены.
Методика решения задач методом моделирования
Применение математических методов в различных областях науки и техники сводится, по существу, исследованию математических моделей. С точки зрения современных философских воззрений математическое моделирование играет центральную роль в позитивном подходе к вопросам научного знания и что в схему моделирования укладывается любое проявление точной и познавательной деятельности. Общеизвестно, что современные науки естествознания каждый свой шаг при движении вперед связывают с математикой и, наоборот, многие идеи и понятия включаются в содержание ряда математических наук. Предметы естественнонаучного цикла широко используют математические средства и одновременно выдвигают перед математикой новые вопросы, которые нуждались не только в использовании традиционных методов, но и в развитии новых, таких, как метод математического моделирования, а также в развитии целых областей математики.
Таким образом, обучение методу математического моделирования позволяет показать влияние математики на другие науки и проиллюстрировать влияние задач, возникающих в различных сферах практической деятельности, на развитие самой математики, на расширение множества математических моделей.
Новый подход принято называть интегративным, или междисциплинарным. Суть этого подхода заключается в том, что разобщенные предметы научного познания постепенно становятся общими объектами исследовательской работы в различных областях естествознания. Интеграция научного знания осуществляется в различных формах, начиная от применения понятий, теорий и методов одной науки в другой.
Большую роль в интеграции современного научного естествознания сыграла также математизация наук о природе. В своей монографии М. Г. Чепиков пишет: «Математика распространяется как вширь, захватывая все новые и новые области знания, так и вглубь, интенсивно проникая в затаенные «уголки» наук, помогая решать даже те проблемы, которые прежде казались недоступными. Можно со всей определенностью сказать, что математика ныне становится одним из тех могучих средств, которые объединяют в одно целое весь комплекс знаний во всем их многообразии». /233, с. 69/. Особенно эффективно роль математики может быть реализована в области научного естествознания, поскольку все тела, процессы, явления природы обладают количественными и качественными характеристиками.
Достижения современных наук о природе, имеющие общеобразовательное значение, не могут оставаться достоянием только ученых. Сущность и практическая роль этих достижений должны быть раскрыты на уровне, доступном студентам высших учебных заведений. На первом курсе физико-математического факультета введены такие предметы как химия, биология. Физика, химия, биология являются источниками моделей для математики. Это не означает включения в учебные курсы всего того, что накоплено физическими, химическими и биологическими науками. Их содержание настолько обширно, что не может быть усвоено в полном объеме даже студентами.
Поэтому в программы естественно-математических дисциплин должны быть включены предметы, в содержании которых через построение математических моделей соединены понятия, законы, теории близких отраслей естествознания. Так как математическое моделирование опирается на построение предметных моделей, то его нельзя рассматривать в отрыве от других предметов естественно-математического цикла.
Введение понятий модели, моделирования в содержание естественно-математических дисциплин способствует тому, чтобы: 1) процесс обучения был динамичным и систематизированным; 2) на каждом учебном занятии проходило активизация познавательных действий учащихся; 3) усвоение знаний способствовало всестороннему развитию обучаемых.
Установление межпредметных связей математики с предметами естественнонаучного цикла является проявлением интегративной функции моделирования.
Проблема осуществления межпредметных связей математики разрабатывается в трех направлениях. Первое направление - традиционное, разрабатывающее методы и формы реализации всех видов межпредметных связей математики и смежных дисциплин (Т. А. Иванова /44/, В.Н. Келбакиани /75/, Ю.Ф. Фоминых /216/). Второе направление - совершенствование профессионально-педагогической подготовки будущих учителей при обучении математическим дисциплинам (А.Г. Мордкович /123/, Г.И.Саранцев /184,186/, Г.Г. Хамов /229/). Третье направление - профессионально-педагогическая направленность межпредметных связей (А.Г. Мордкович /123/, В.Н. Келбакиани /75/, Л.А. Пржевалинская /160/).
Выделим среди общих предложенных данными авторами аспектов, направленных на осуществление межпредметных связей математики с другими предметами, наиболее значимые для нашего исследования:
- ориентация на понимание обучаемыми прикладных областей математики;
- преемственность в содержании отдельных предметов и программ;
- привлечение знаний из других учебных предметов и опора на них при изучении нового материала и его закреплении.
Б.С. Каплан, Н.К. Рузин, А.А. Столяр обращают внимание на все большее значение, которое приобретают опосредованные связи математики с практикой через другие естественные науки, непосредственно связанные с техникой и производством. Наиболее существенные связи математики с практикой осуществляются посредством математических моделей, используемых естественными и другими науками.
Отметим, что связи могут быть установлены либо в рамках одного какого-либо предмета, либо в рамках различных предметов. В зависимости от этого различают внутрипредметные и межпредметные связи. Под внутрипредметными связями понимают всевозможные объективные отношения между содержанием одного и того же предмета. Межпредметные связи выражают всевозможные объективно существующие связи между содержанием различных учебных дисциплин (математики и физики, математики и химии и т.д.). Задачи, при решении которых используется метод моделирования, выступают как средство установления межпредметных связей между различными дисциплинами естественнонаучного цикла.
