Содержание к диссертации
Введение
ГЛ. 1. Общеобразовательное значение представлений о матема-ти ческом моделировании и психолого - дидактические основы обучения методу математического моделирования.
1.1. Методологические основы обучения методу математического моделирования 9
1.2. Возможности и перспективы Формирования представлений о математическом моделировании средствами курса геометрии педагогического института 30
1.3.Психолого - педагогические основы обучения методу матетического моделирования 53
ГЛ. 2. Система обучения основным компонентам метода математического моделирования средствами курса геометрии педа-гогического института.
2.4. Пути включения метода математического моделирования в преподавание курса геометрии пединститута 75
2.5. Совершенствование методики преподавания геометрии с точки зрения представлений о математическом модели
2.6. Организация и основные итоги эксперимента по обучению методу математического моделирования 133
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 143
СПИСОК ЛСТ1ЕРАТУРЫ 149
ПРИЛОШЖ 165
- Методологические основы обучения методу математического моделирования
- Пути включения метода математического моделирования в преподавание курса геометрии пединститута
- Совершенствование методики преподавания геометрии с точки зрения представлений о математическом модели
Введение к работе
С древнейших времен осознана огромная роль метода математического моделирования в процессе познания и практического использования окружающего нас мира. Решение любой практической задачи связано с необходимостью перевода ее на язык математических символов и Формул, т.е. с ее Формализацией. Отбрасывая в процессе абстрагирования частные, специфические признаки предмета, переходя от чувственной формы отражения к рациональной, люди обогащали свои знания о предмете.
Непреходящее значение математического моделирования подчеркивалось многими исследователями (Г.Вейль,Г.Кепперс,К.Е.Морозов, Ю. А. гастев), указавшими следующие аспекты его использования:
І.как средства познания и технического расчета объекта,
2. как мощного аппарата исследования явлений природы,
3. как инструмента решения научно-технических задач,
4. как метода научного исследования.
Современные пути экономического развития страны требуют совершенствования системы образования с целью повышения эффективности усвоения знаний, усиления политехнической направленности преподавания. Овладение при этом современными математическими теориями и методами,общими принципами и умениями применять их к решению практических задач способствует воспитанию творческих и познавательных способностей,Формированию научно-теоретического мышления. Поэтому для преподавания математических дисциплин,в частности, геометрии, усиливается актуальность вопросов о роли и месте математического моделирования .
Многочисленные исследования в области педагогики С В. В. Фирсов, Л. М. Фридман, Л. Д. Кудрявцев, А. Н. Колмогоров, А. И. Маркуше-вич, Б.В.Гнеденко,В.Л.Гончаров, С. И. Шварцбурд), психологииС В.В. Давьь
дов, П. Я. Гальперин, JK. Пиаже, С. Л. Рубинштейн, М. В. Гамезо, Н. Г. Салмина), методики преподавания математики (Г. М. Морозов, В. А.Стука-лов, В. С. Былков, А. Я. Блох, Л. Г. Петерсон, Н. Б. Мельникова, И. Я. Мешкова, В. А. Гаранин) свидетельствуют о том, что, во-первых, существующий курс математики школы и педвуза лишь эпизодически показывают процесс применения математики к решению практических задач и, во-вторых, о необходимости более полного включения идей математического моделирования в школьное и вузовское обучение ( Е.С.Муравьев, А. Г. Мордкович, А. С. Раухман, Р. А. Майер, М. Н. Скаткин, Т. А. Арташ-кина).
Использование моделирования в обучении, по мнению психологов, помогает в решении ряда педагогических задач, таких как : активизация мыслительной деятельности, формирование научно-теоретического мышления, повышение эффективности усвоения знаний, соблюдение принципов сознательности обучения, единства теории и практики.
В процессе обучения в сознании обучаемого создается картина, соответствующая уровню передаваемых знаний о математике, т. е. некоторая модель, поэтому важным компонентом математического образования является обучение методу математического моделирования, поскольку именно математическое моделирование позволяет раскрыть связи абстрактных математических понятий с реальностью. Осуществляя в структуре математического моделирования переход от Формальной математической задачи к ее интерпретации, мы осуществляем некоторую наглядность математических средств. Благодаря этому роль математического моделирования как средства наглядности является общепризнанной ( А. И. Фетисов , Н. Ф. Четверухин,
И.А.Гибш).
Представления о структуре математического моделирования, о его компонентах, специфике отдельных его этапов создают базу для
развития общий навыков применения математики к решению практических задач, обеспечивают гиышпяссшгческу нлп аБдекквоть преподавания математики (Л.Д. Кудрявцев, Б.В.Гнеденко, Г. Фройденталь),и,в
ч
частности, геометрии, являясь, следовательно, составной частью птішийдоа калгиіЬаенн сітиі курса математики.
Использование идеи математического моделирования позволяет продвинуть решение еще одной проблемы - усиление межпредметаых связей. Главное, что может быть достигнуто в этом направлении -это показ Ьгалшмь гці»шіска&ения алгебры, геометрии, математического анализа, иллюстрация влияния задач, возникающий в одной области высшей математики, на развитие ДРУГИХ, расширение арсенала математических моделей и средств моделирования.
Целенаправленное обучение математическому моделированию помогает формированию ae iiidSunfiej.biwa (мiJLW(m»яlтleJi kw rrlL студентов педагогического вуза, благоприятно влияет на ее мотивационные, ориентационные , содержательно-операционные, оценочные компоненты.
Анализ теоретических исследований А. Н. Колмогорова, А. Я.Блоха, В. Л. Гончарова, Л.П.Веретенниковой, С. И. Шварцбурда, В. м. Монахова, А. А. Космодемьянской, Ю.М. Колягина убедительно показывают роль представлений о математическом моделировании в развитии мыслительных, творческих и математических способностей учащихся, ускорении умозаключений и процесса решения задач, Формировании науч-ного мышления, повышении эффективности усвоения знаний, обеспечении высокого уровня подготовки специалистов.
Однако, при наличии широкого спектра исследований в рассматриваемом вопросе , естественно, что не все аспекты его изучены в равной степени. Дальнейшего изучения требует выбор эффективных путей включения метода математического моделирования в логическую структуру вузовского образования, направления использования геометрических задач для целенаправленного обучения структуре ма
тематического моделирования. Все вышесказанное говорит об
АКТУАЛЬНОСТИ настоящего исследования.
ПРОБЛЕМА ИСШДОВАНИЯ состоит в поиске методических путей обучения студентов математических специальностей пединститутов основным компонентам структуры метода математического моделирования.
ОБЪЕКТОМ ИССЛЕДОВАНИЯ является процесс обучения геометрии в педагогическом институте.
ПРЕДМЕТОМ ИССЛЕДОВАНИЯ являются методические средства обучения методу математического моделирования.
ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ - выявить пути совершенствования процесса обучения геометрии на основе обучения структуре метода математического моделирования , определить критерии отбора учебного материала (теории и задач), на котором целесообразно обучать математическому моделированию, разработать методику решения геометрических задач с точки зрения модельных представлений.
ГИПОТЕЗА ИССЛЕДОВАНИЯ состоит в том, что : 1). использование в процессе обучения геометрии представлений и идей, связанных с математическим моделированием, способствует Формированию целостных, содержательных представлений о методе математического моделирования, 2). целенаправленное обучение компонентам метода математического моделирования способствует качественному усвоению теоретического материала, помогает в решении ряда педагогических задач.
Для решения проблемы и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие частные задачи:
1. Изучить естественно-научные, философские и психолого-педагогические основы реализации модельного подхода к обучению геометрии в педагогическом вузе.
2. Выявить компонентный состав метода математического модели
рования и возможности его использования для анализа курса геометрии пединститута.
3. Проанализировать состояние, в котором находится отражение
F
структуры метода математического моделирования в курсе геометрии средней школы и вуза.
4. Исследовать возможность обучения студентов педагогического вуза основным компонентам метода математического моделирования .
5. Провести отбор задач, обеспечивающих модельный подход к обучению геометрии в вузе.
6. Разработать методические приемы обучения структуре метода математического моделирования.
7. Провести экспериментальную проверку разработанных материалов.
При решении поставленных задач использовались следующие
МЕГОШ ИОСЛЕФВАНИЯ :
- изучение и анализ математической, психолого-педагогической, философской литературы по проблеме исследования,
_ анкетирование и беседы со студентами с целью отбора и анализа данных по проблеме исследования,
- разработка учебного материала на базе теоретических исследований диссертации,
- организация и проведение обучающего эксперимента,
- количественная и качественная обработка данных, полученных в результате эксперимента.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА работы состоит в определении критериев отбора учебного материала курса геометрии пединститута для обучения математическому моделированию, в разработке методических приемов обучения компонентам метода математического моделирования, в разработке дидактической организации совокупности сюжетных задач курса геометрии на основе модельного подхода к их решению.
ПРАКГИЧЕСКАЯ ЗШИОСТЪ исследования заключается в том, что разработанные по темам "Элементы векторной алгебры", "Метод координат", "Линии в евклидовом пространстве" методические рекомендации могут быть использованы учителями математики при проведении уроков, студентами педвузов для самостоятельной работы и написания курсовых, дипломных работ, преподавателями институтов для
проведения спецсеминаров.
ОСНОВНЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ.
1).Проанализировав естественно-научную, учебно-методическую, Философскую и психолого-педагогическую литературу, мы обосновали роль метода математического моделирования в процессе познания и практического овладения миром и установили необходимость обучения математическому моделированию средствами курса математики школы и вуза.
2). Теоретическое исследование проблемы места метода математического моделирования в практике обучения математике позволило выявить структуру метода, определить компонентный состав основных его этапов и разработать модельный подход к решению геометрических задач.
АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ.
О результатах исследования регулярно докладывалось на методических семинарах и научных конференциях кафедры математики Шадринского государственного педагогического института, на конференциях учителей математики Шадринского района. Основные положения диссертации нашли отражение в 7 публикациях.
Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих 6 параграфов, заключения, приложений и списка литературы, содержащего 210 наименований.
Методологические основы обучения методу математического моделирования
Роль метода математического моделирования в процессе познания и практического овладения миром огромна и осознана с древнейших времен. Корни использования математического моделирования уходят в глубь тысячелетий.
Особые двоичные термины, используемые в некоторых языках (греческом, немецком), указывают на древнее качественное происхождение числовых терминов. Расширение понятия числа привело к тому,что образовались числа с помощью сложения. С развитием ремесла и торговли понятие числа кристаллизировалось; числа группировались в большие единицы, пользуясь пальцами рук, что вело к счету сначала с основанием 5, потом с основанием 10 и 20. Так на определенной ступени общественного развития возник пальцевой счет, появилась возможность выражать числа в системе счисления и возникла примитивная разновидность арифметики.
Такое элементарное и»&мі$яЬа ш& КАММВХХП&О., а затем и логических операций сложения, вычитания, умножения и деления все время усложнялось,сложились системы счисления с разными осно ваниями, затем дробные, иррациональные, комплексные, трансцендентные числа. Философы античного мира, не употребляя термина "модель",из - 10 лагали свои натурфилософские концепции в виде системы утверждений, для иллюстраций которых строились наглядные аналоги из элементов наблюдаемый земнык явлений. Таковы идеи Фалеса о воде и Геракалита о космическом огне, как первоисточниках мира, учения Эпикура и Демокрита об атомах.
По существу первую математическую модель построил в начале нашей эры Птолемей в виде системы циклов и гиперциклов, которая точно описывала движение наблюдаемых ими планет. Аристотель применял метод моделей в естественных работах.
Леонардо да Винчи, И.Кеплер, Г.Галилей и другие ученые эпохи Возрождения обращались к моделям-аналогам, создавали идеальные и графические конструкции из воображаемых элементов реальных вещей, т.е.строили математическую модель, а затем результаты исследований использовали в своих проектах.
Г. Галилей считал, что "великую книгу природы может читать лишь тот, кто сначала научится постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики, и знаки ее-треугольники, круги и другие геометрические Фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни единого словаС 55, стр. 413.
Легко прослеживаются дальнейшие основные этапы развития и разветвления средств математического моделирования действительности:
1) обобщение понятия числа, замена конкретного числа абстрактными знаками а,в,с... и возникновение алгебры;
2) возникновение идеализированных объектов "прямая","плоскость", "линия" и развитие геометрии;
3) описание непрерывных процессов и возникновение дифференциального и интегрального исчисления;
4) открытие универсального метода перевода вопросов геометрий на язык алгебры и анализа и переход к аналитической геометрии ; 5) возникновение и развитие современной математики:теории вероятностей, теории множеств, теории групп, многомерной геометрии.
На протяжении всего развития математики вырабатывалась специальная система знаков, с помощью который можно было моделировать явления, оценивать их, систематизировать знания и Факты о них. Математическая символика выступила как мощное средство моделирования мира. Однако, понадобились многие века, прежде чем появился такой универсальный язык, который позволяет легко и быстро производить арифметические операции. Этим языком вначале явилась "позиционная нумерация", а затем, с развитием алгебры, математики стали отвлекаться не только от качественных особенностей предмета, как это было при возникновении числа, но и от количественного значения символов чисел.
Потребность в такого рода символической записи возникла еще в древнем Вавилоне, Греции, когда были введены знаки, подобные кубу разности. В связи с решением уравнений эта потребность стала насущной необходимостью. Рассмотрим для примера две задачи:
1. Площадь прямоугольника равна 6 квадратных единиц,а одна сторона 2 единицы. Найти вторую сторону.
2. Площадь прямоугольника равна 8 квадратных единиц,а одна
сторона на две единицы больше другой. Найти стороны прямоугольника.
Первая задача сводится к решению уравнения ах=ь и может быть решена на обычном языке. Для решения второй задачи требуется решить уравнение х(х+2)=8 и на естественном языке выразить ее решение затруднительно.
Вообще, решение любой практической задачи было связано с необходимостью перевода ее конкретного содержания на язык символов и формул, т.е. с ее Формализацией.
Отбрасывая в процессе абстрагирования частные и специфические признаки предметов, переходя от чувственных Форм отражения действительности к рациональным , от конкретного к абстрактному, люди не только не обедняли свои знания о природе, а, наоборот, обогащали их.
Пути включения метода математического моделирования в преподавание курса геометрии пединститута
Анализ курса геометрии позволяет сделать вывод о больший его возможностях для обучения учащихся компонентам метода математического моделирования. В то же время уже первые разделы геометрии предполагают введение массы сложных отвлеченных понятий, трудных для понимания (вектор, базис, векторное и смешанное произведения, алгебраическая линия и др.), поэтому остро возникает необходимость перевода сложных геометрических понятий в наглядные образы. Отсюда вытекает и первый способ использования понятия математической модели, а именно для введения нового понятия.
В отношении к математическому моделированию можно выделить два способа введения нового понятия: формальный и модальный. Например, векторное произведение векторов можно ввести Формально, как вектор р, удовлетворяющий соответствующим условиям, но можно и содержательно, например, в связи с задачей нахождения площади параллелограмма.
Модельный способ введения понятий имеет ряд преимуществ по сравнению с Формальным. Во-первых, рассматриваемая задача служит мотивацией для его введения; во-вторых, этот Физический объект, который после соответствующего абстрагирования привел к новому понятию, может в дальнейшем служить моделью-интерпретатором введенного понятия: в-третъик, формируется представление о данном понятии как модели целого класса реальных явлений, что помогает осознать общность математических понятий и увидеть некоторые его конкретизации.
Кроме того, модельный способ введения понятия позволяет организовать диалог учитель-ученик, в процессе которого и происходит Формализация некоторых сторон рассматриваемых явлений, моделью которых является вводимое понятие. При Формальном же способе от учащихся требуется лишь понимание иллюстрирующих новое понятие примеров и контрпримеров.
При решении многих задач, особенно задач на составление уравнений кривых, студенты испытьвают значительные трудности: им трудно представить ситуацию, описываемую условием, увидеть реальные отношения между величинами. Здесь возникает второй спо-соб использования математического моделирования - при решении геометрических задач.
При исследовании методических аспектов вопроса о явном и неявном использовании понятия о математическом моделировании в курсе геометрии необходимо обратить внимание на то, что реально можно рассматривать и внутри-математаческое моделирование, когда строится модель объекта, уже являющегося математическим, и внешне-математическое моделирование, когда строится модель объекта не являющегося математическим. Соответственно в курсе геометрии должны быть использованы два вида перевода: с одного математического языка на другой (языка алгебры, геометрических образов, символов, логического языка) и перевод с языка, не являющегося математическим, на язж математики. Первый тип перевода, названный А. Я. Блохом "внутренним", наиболее часто встречается в практике преподавания геометрии, где используется перевод с языка геометрии на язык алгебры или перевод с "родного" языка на математический. Такие задачи сопровождают курс высшей геометрии от начала до конца. Действительно, уже в первом семестре в разделе "Элементы векторной алгебры" студенты убеждаются в том, что перевод задачи с языка геометрических образов на язык векторной алгебры существенно облегчает их решение. С другой стороны, имея дело с векторами, имеем дело с алгеброй: для векторов, оказывается, существует своя алгебра, похожая на алгебру чисел. Эта векторная алгебра и позволяет сводить решение задач с векторами к автоматическому решению их по готовым правилам векторной алгебры.
Далее, при изучении метода координат на плоскости и в пространстве студенты видят, что кривая и поверхность вполне определяются своим уравнением (системой уравнений и неравенств), то есть уравнение (система уравнений, неравенств) в скрытом виде содержит всю информацию, все свойства кривой (поверхности). Кроме того, уравнение кривой в некотором смысле лучше самой кривой, так как всевозможные расчеты в технике нельзя провести с кривой, но можно - по ее уравнению. При изучении тем "Линии второго порядка", "Прямая и плоскость", "Линии в евклидовом пространстве" основной принцип метода координат: "графиком (моделью) уравнения или неравенства является совокупность точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению или неравенству", получает дальнейшее подтверждение.
Роль координатного метода как средства для развития пространственного мышления, реализации дидактического принципа наглядности, установления межпредметных связей достаточно изучена.
Однако, координатный метод может быть и средством для обучения представлениям о математическом моделировании, поскольку позволяет установить связь образно-зрительной сферы, относящейся к геометрической Фигуре, и сферы, буквенно-числовой, относящейся к алгебраическим преобразованиям. Другими словами, координатный метод позволяет реализовать, в первую очередь, одну из компонент математического моделирования - перевод задачи с одного языка (геометрического) на другой (язык алгебры).
Анализ содержания курса геометрии позволяет сделать вывод о том, что тема "Метод координат" содержит большие потенциальные возможности для обучения тому, как перейти от реальной ситуации к построению математической модели, выделить основные взаимосвязи между компонентами исследуемой проблемы, формализовать условие задачи, отвлекаясь от несущественных деталей, выразить математическими символами основные отношения между данными задачи, выбрать решение внутри построенной модели, интерпретировать результат. Другими словами, решая задачу координатным методом, мы приобретаем опыт построения математической модели.
Раздел "Прямая линия" имеет фундаментальное значение для обучения студентов навжам "внутреннего" перевода. Он содержит массу задач типа "Составить уравнение прямой", "Вычислить угол между прямыми", "Составить уравнения высот, медиан, биссектрисе треугольника, зная координаты его вершин", "Найти расстояние от точки до прямой" и т.д. Они учат, прежде всего, переводу с язжа геометрических образов на алгебраический и обратно. Вслед за ними должны идти задачи на применение полученных знаний к доказательству теорем, исследованию тех или иных геометрических вопросов, то есть содержательные задачи, например, "Найти геометрическое место точек пересечения диагоналей параллелограммов , вписанных в данный четырехугольник так, что стороны этих параллелог-граммов параллельны диагоналям четырехугольника", "Через точку МС4;-3) провести прямую так, чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3", "Вокруг квадрата со стороной 2а описана окружность. Доказать, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до прямых, содержащих стороны квадрата, постоянна и равна 8а " и т. д. Болъшинство заданий в теме "Кривые второго порядка" аналогичны следующим: "Дан эллипс уравнением. Найти расстояние от точ-ки М до директрисы", "Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку С 1,0), асимптотами которой являются прямые х=0, v l" и так далее. Ценность таких задач ограничивается тем, что они лишь учат использовать при решении аналитический аппарат, который почти нигде в дальнейшем не предполагается использовать. Вот примеры содержательных задач: "Доказать, что любая касательная к эллипсу образует равные углы с фокальными радиус-векторами точки прикосновения", "Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы до двух асимптот есть величина постоянная", "Найти стороны равностороннего треугольника, вписанного в параболу у2 =2рх так, что одна из вершин его совпадает с вершиной параболы" и др. Число таких задач в имеющихся задачниках, к сожалению, невелико.
В пространстве задачи типа "Дан куб, ребро которого равно 1. Вычислить расстояние от вершины куба до диагонали, не проходящей через эту вершину", "Проверить, что плоскость, перпендикулярная диагонали куба и проходящая через его центр, пересекает куб по правильному шестиугольнику" и др., являются, очевидно, содержательными, позволяющими вести обучение компонентам метода матема тического моделирования.
Совершенствование методики преподавания геометрии с точки зрения представлений о математическом модели
В процессе теоретического исследования нами были выявлены основные понятия, связанные с представлениями о математическом моделировании - это "задача", "математическая модель", "классы математических моделей", "метод математического моделирования", "структура метода математического моделирования", "компоненты метода математического моделирования", "формализация", "интерпретация".
"Задачей" в нашем исследовании названо описание на неформальном ("естественном") или терминологическом языке математики реальной ситуации (процесса, явления). Причем, терминологический
язык математики мы считаем частью естественного языка.
"Математической моделью" мы назвали особый способ описания
(с помощью Формальных математических средств) предметно-реальной ситуации.
В зависимости от используемых математических средств мы разделили все математические модели на следующие классы:
1) класс алгебраических моделей (числа, величины, алгебраические выражения, функциональные зависимости);
2) класс аналитических моделей (уравнения и их системы, неравенства и их системы);
3) класс графических моделей (диаграммы, чертежи, графики функций) .
Метод математического моделирования нами понимается как способ исследования реальной ситуации (объекта, явления), описываемой в условии задачи.
Мы не ставили целью обучения сообщение студентам перечислен - 98 ных Формальных определений, однако добивались содержательного разъяснения их на конкретных примерах.
Так, раскрывая содержание понятия "математическая модель",
мы выделяем его существенные признаки:
1) математическая модель образуется в сознании человека и является отражением в его сознании реального явления (процесса, объекта);
2) математическая модель замещает в процессе исследования реальный предмет, являясь его упрощенной схемой;
3) математическая модель опирается на владение формально-логическим аппаратом математики.
Мы использовали известную трехэтапную схему метода математического моделирования; 1) Формализация, то есть построение математической модели изучаемого явления; 2) Формально-математическое решение; 3) содержательная интерпретация, то есть перевод полученных математических результатов на язык изучаемой области.
Этапы метода математического моделирования нами детализировались, в результате чего получилась структура, состоящая из компонентов; 1. Формализация.
1.1 Анализируют условие задачи, уточняют смысл входящих в него понятий.
1.2 Выделяют существенные свойства описываемого процесса и отбрасывают несущественные.
1.3 Делают необходимые упрощения и огрубления.
1.4 Уточняют цель изучения объекта.
1.5 Определяют переменные, вводят параметры.
1.6 Заменяют содержательные понятия (объекты и отношения) их Формально - математическими эквивалентами.
1.7 Формулируют содержательную задачу на математическом языке.
.8 Конструируют математическую модель.
2. Формально-математическое решение.
2.1 Проводят Формально-логический анализ построенной математической модели.
2.2 Производят необходимые вычисления, получают математические результаты.
3. Интерпретация.
3.1 Осуществляют переход от информации о математической модели к информации об оригинале.
3.2 Получают новую информацию об исходном явлении.
3.3 Уточняют модель.
Произведя таким образом покомпонентный анализ структуры метода математического моделирования, мы пришли к выводу о том, что для реализации в полной мере его содержания, необходимо у студентов выработать следующие умения:
1) выделять существенные стороны явления и отбрасывать несущественные;
2) делать упрощающие допущения;
3) переформулировать цель изучения объекта;
4) выделять параметры и переменные;
5) отождествлять исходные понятия с выбранными математическими эквивалентами;
6) использовать различные математические языки для описания реального процесса;
7) проводить вычисления внутри построенной модели;
8) выявлять содержательный смысл математической модели;
9) переходить от одной математической модели к другой;
10) корректировать модель в зависимости от результатов интерпретации.
Этапы построения математической модели и решения задач внутри построенной модели тесно связаны с Формальными математическими языками - языками описания модели и языками ее исследования. Это означает, что без развития представлений об этик языках невозможно получить полное представление о математическом моделировании.
