Содержание к диссертации
Введение
Глава I. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ
1. Психологические принципы концепции геометрического моделирования 13
2. Место и роль теории изображений в профессиональной подготовке учителя математики.. 21
3. Концепция геометрического моделирования в комплексе учебных дисциплин, ориентированных на профессионально-геометрическую подготовку учителя математики 31
Глава II. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ОСНОВНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
1. Параллельное проектирование. Аффинные отображения плоскости .. 42
2. Родство плоскости и его свойства 46
3. Конструктивные задачи на преобразование родства 51
4. Эллипс как образ окружности при родстве 55
5. Аффинная модель евклидовой плоскости 60
6. Проекционная модель пространства 65
7. Основные позиционные задачи. Правило видимости 69
8. Проекционные модели пространственных фигур 72
9. Сечения призм и пирамид 76
10. Сечения цилиндров и конусов 80
11. Построение тени многогранника. Пересечение и объединение многогранников 85
12. Аффинные преобразования пространства 89
13. Аффинные отображения пространства на плоскость 92
14. Проекционная модель евклидова пространства. Основные метри ческое задачи... 95
15. Метрические задачи на федоровской модели евклидова простран ства 102
16. Вращение правильных многогранников 106
17. Фронтальные диметрии. Комбинации многогранников с цилинд рами и конусами 114
18. Проекционная модель сферы 123
19. Метрические задачи на проекционной модели сферы 128
20. Виды проекционных моделей евклидова пространства 133
21. Комбинации сферы с многогранниками 141
22. Общие вопросы применения изображений пространственных фигур в преподавании геометрии 147
23. Изображения в систематическом курсе геометрии. Типичные ошибки 151
24. Роль изображений при решении геометрических задач 159
25. Эксперименты на геометрических моделях 171
Глава III. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ СПЕЦИАЛЬНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
1. Аффинные отображения 178
2. Бинарная линейная плоскостная модель четырехмерного аффинного пространства 189
3. Бинарные линейные плоскостные модели трехмерного аффинного пространства 198
4. Евклидовы пространства. Аффинные отображения евклидовых пространств 207
5. Бинарные линейные плоскостные модели трехмерного евклидова пространства 212
6. Методика применения бинарных линейных плоскостных моделей трехмерного пространства в учебном процессе 224
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 230
ЛИТЕРАТУРА 232
- Психологические принципы концепции геометрического моделирования
- Параллельное проектирование. Аффинные отображения плоскости
- Аффинные отображения
Введение к работе
Профессионально-геометрическая подготовка учителя математики немыслима без обучения студентов теории изображений пространственных фигур на плоскости, ибо "геометрия в своей сущности есть такое соединение живого воображения и строгой логики, в котором они взаимно организуют и направляют друг друга" (А.Д. Александров). Проблеме обучения будущих учителей теории изображений посвящены исследования Н.Ф. Четверухина, А.А. Панкратова, Л.Д. Франка, Г.А. Владимирского, Л.И. Бабушкина, Р.А. Вотрогова, В.П. Дрегунаса, С.А. Атрощенко и др.
Развитие пространственных представлений учащихся психологи (И.С. Якиманская, И.Я. Каплунович, Г.И. Лернер, Б.Ф. Ломов, Л.Н. Лицин, Н.П. Линькова и др.) рассматривают как одну из важнейших целей обучения математике. Этому вопросу посвящены и многие научно-методические публикации ( Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, И.Ф. Шарыгин, В.Н. Литвиненко, Л.М. Лоповок, И.А. Лурье, Е.Б. Арутюнян, Г.Г. Левитас, Д.Ф. Изаак, В.Г. Бевз, К.С. Боггушевский, А.С. Борейко и др.). Однако действующие школьные учебники геометрии (А.В. Погорелова, Л.В. Атанасяна и др., В.Н. Руденко и др.) и различные методические издания содержат неверные изображения, не способствующие формированию адекватных пространственных представлений, и уровень пространственного мышления выпускников средней школы, как видно из анализа результатов вступительных экзаменом в вузы, постоянно снижается. Всё это свидетельствует о наличии кризисных явлений в преподавании теории изображений в педагогических вузах.
Суть кризиса в методике преподавания теории изображений будущим учителям математики видится в том, что в научно-методических
исследованиях в этой области, проводившихся в последние сорок лет, совершенствовалась лишь форма, тогда как содержание теории изображений, сложившееся в работах Н.А. Глаголева, Н.Ф. Четверухина, О.В. Вольберга, А.А. Панкратова, Л.И. Бабушкина, осталось неизменным, в значительной степени механически перенесенным в педагогические вузы из технических и ещё мало приспособленным к учебному процессу.
Научно-технический прогресс, компьютеризация всех областей науки, техники и общественной жизни привели к переоценке понимания сущности математики вообще и теории изображений пространственных фигур на плоскости в частности. Математика стала рассматриваться как совокупность знаний о математических моделях (Л.Д. Кудрявцев, В.И. Арнольд, И.М. Яглом), а теория изображений - как геометрическое моделирование (К.И. Вальков, И.И. Котов, Г.С. Иванов, В.Н. Костицын, И.С. Джапаридзе, А.Н. Станков и др.).
Содержание традиционной теории изображений составляют методы изображений; изучается не столько само изображение, сколько методы его построения: аксонометрии, метод проекционного чертежа, метод Монжа — и как следствие дублируется решение одних и тех же задач. Под изображением понимается гомоморфный образ оригинала.
Содержанием геометрического моделирования являются линейные бинарные плоскостные модели трехмерного аффинного пространства и евклидовы метрики на них. Модель геометрической фигуры - это изоморфный образ оригинала. Такое понимание изображения-модели в большей степени, чем традиционное, соответствует психологическому принципу изоморфизма формирования структуры пространственного мышления учащихся (Ж. Пиаже, Л.Б. Ительсон, И.С. Якиманская, И.Я. Каплунович, В.Г. Болтянский), удовлетворяет всем требованиям учебного
процесса и в том числе тем, которые связаны с использованием компьютерных технологий обучения, обладает значительными методическими преимуществами и отражает современное понимание сущности математики как совокупности знаний и математических моделях.
Актуальность диссертационного исследования определена объективной необходимостью разработки содержания и методики преподавания такой теории изображений пространственных фигур на плоскости, которая была бы специально ориентирована на использование её в учебном процессе, способствовала бы повышению эффективности профессиональной подготовки учителя математики и отражала бы результаты современных научных исследований.
Проблема исследования - поиск путей и средств совершенствования подготовки будущих учителей математики на основе новых научных исследований.
Цель исследования - разработка концепции геометрического моделирования и её реализации в комплексе учебных дисциплин педагогического вуза.
Объект исследования - процесс обучения геометрическим дисциплинам студентов педагогического вуза.
Предмет исследования - методика обучения геометрическому моделированию студентов педагогического вуза в рамках основного курса геометрии, спецкурса и практикума по решению задач.
Гипотеза исследования - реализация концепции геометрического моделирования в комплексе учебных дисциплин педагогического вуза позволяет существенно повысить уровень профессиональной подготовки учителя математики.
Проблема, цель, предмет и гипотеза исследования обусловили следующие задачи:
провести анализ психологических исследований в области обучения теории изображений и формирования структуры пространственного мышления учащихся и выявить основополагающие психологические принципы;
изучить опыт преподавания теории изображений в России и за рубежом, сделать соответствующие выводы о роли преподавания теории изображений в профессиональной подготовке учителя математики и экспериментально проверить их справедливость;
разработать концепцию геометрического моделирования в комплексе учебных дисциплин педагогического вуза и экспериментально убедиться в её эффективности;
в соответствии с концепцией геометрического моделирования разработать содержание и методику теории изображений в основном курсе геометрии и специального курса.
Исследование проводилось в полном соответствии с поставленными задачами посредством разработанных в психологии и теории обучения методов.
Научная новизна выполненного исследования состоит в том, что в нем впервые в практике преподавания теории изображений и элементарной геометрии студентам педагогических вузов применена концепция геометрического моделирования и разработан специальный курс геометрического моделирования, в котором проведена классификация всех плоскостных бинарных моделей трехмерного аффинного пространства, позволяющая учителю математики во время учебного процесса выбрать ту
из моделей, которая наиболее подходит для решения требуемой учебной задачи.
Теоретическая значимость исследования состоит в разработанной концепции геометрического моделирования, позволяющей придать новое, современное содержание теории изображений, в большей степени отвечающее требованиям учебного процесса.
Практическая значимость исследования заключается в том, что новая методика преподавания теории изображений пространственных фигур на плоскости и постановки практикума по решению стереометрических задач, основанная на концепции геометрического моделировании, и специальный курс геометрического моделирования позволяют существенно повысить уровень профессионально-геометрической подготовки учителя математики и вооружить его необходимыми знаниями, умениями и методикой применения изображений-моделей в учебном процессе.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются опорой на психологические и научно-методические исследования в области теории обучения и развития пространственного мышления учащихся, научными достижениями в теории изображения пространственных фигур на плоскости и итогами проведенного эксперимента.
Апробация результатов исследования осуществлялась в форме чтения спецкурса и проведения спецсеминара по геометрическому моделированию и во время практикума по решению стереометрических задач в Московском педагогическом государственном университете (МПГУ). Результаты исследования докладывались автором на зональных конференциях преподавателей математики педагогических институтов в Костроме (1981 г.) и в Даугавпилсе (1982 г.), на международной
конференции "Подготовка преподавателя математики и информатики для высшей и средней школы" в Москве (1994 г.), на IV-й международной конференции по геометрическому моделированию в Мелитополе (1997 г.), на кафедре прикладной геометрии МАИ (1997 г.), на ленинских чтениях, научно-практических конференциях и заседаниях научно-методического семинара кафедры геометрии МПГУ (1980-2000 гг.).
На защиту выносятся следующие положения:
совершенствование профессионально-геометрической подготовки учителя математики обусловливает использование в процессе обучения студентов концепции геометрического моделирования;
разработанные в диссертационном исследовании содержание и методика преподавания основного и специального курсов геометрического моделирования, а также основанный на концепции геометрического моделирования практикум по решению стереометрических задач существенно способствуют повышению уровня профессиональной подготовки учителя математики.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Основное содержание изложено на 248 страницах машинописного текста. Библиография составляет 143 наименования.
Первая глава посвящена психолого-педагогическим аспектам профессионально-геометрической подготовки учителя математики. Она состоит из трех параграфов. В первом параграфе проведен анализ психологической и методической литературы, посвященной теории обучения, интеллектуального развития и развития пространственного мышления учащихся, и на его основе сформулированы психологические
принципы, положенные в основу исследования. Во втором параграфе на основе изучения развития преподавания теории изображений в России и за рубежом, анализа уровня пространственного мышления выпускников средней школы в настоящее время и эксперимента, определяющего уровень профессионально-геометрической подготовки учителя математики в педагогических вузах, сделаны выводы о роли теории изображений в профессиональной подготовки учителя математики и необходимости совершенствования её преподавания. В третьем параграфе сформулирована концепция геометрического моделирования в комплексе геометрических дисциплин педагогического вуза и обосновано (экспериментально и теоретически с опорой на приведенные в первом параграфе психологические принципы и анализ методической литературы) её преимущество по сравнению с традиционной теорией изображений в профессиональной подготовке учителя математики.
Вторая глава посвящена изложению содержания и методики основного курса геометрического моделирования и состоит из 25-и параграфов. В ней автор решает две основные и трудно совместимые проблемы: разработать содержание основного курса геометрического моделирования, ориентированного на эффективное использование его в учебном процессе, отражающего современные достижения математики вообще и теории изображений в частности, свободного от недостатков традиционной теории изображений (методов изображений), и разработать такую методику его преподавания, при которой этот курс мог бы быть изложен студентам первого курса, что является целесообразным для развития их пространственного мышления, последующего изучения геометрии и специального курса геометрического моделирования. В 1-5 изложены содержание и методика изучения плоскостных бинарных моделей аффинной и евклидовой плоскости, затем в 5-11
рассматриваются проекционная модель аффинного пространства и модели основных пространственных фигур в нем, а в 12-21 - проекционные модели евклидова пространства, их (инвариантная) классификация и методика применения в учебном процессе. 22-25 посвящены общим вопросам применения изображений в преподавании геометрии в средней школе и анализу причин типичных ошибок при построении изображений.
В третьей главе излагается основное содержание специального курса геометрического моделирования и рассматриваются методические вопросы применения различных моделей трехмерного аффинного пространства в учебном процессе. Она состоит из шести параграфов. В 1 приводятся используемые в работе основные понятия современной линейной алгебры и их применения к решению конструктивных задач на аффинные преобразования плоскости и аффинные отображения плоскости на прямую. В 2 изучается бинарная линейная плоскостная модель четырехмерного аффинного пространства и рассматриваются основные позиционные задачи на этой модели. В 3 проводится классификация бинарных линейных моделей трехмерного аффинного пространства и рассматриваются основные позиционные задачи на каждой из моделей. Основное содержание 4 составляют свойства аффинных отображений евклидовых пространств и обобщение теоремы Польке. В 5 изучаются евклидовы метрики на различных моделях трехмерного аффинного пространства и в том числе монжевы, полуортогональные и косоугольные, рассматриваются основные метрические задачи и выводится основная формула аксонометрии. Шестой параграф посвящен методике применения бинарных линейных плоскостных моделей трехмерного пространства в учебном процессе.
В заключении сформулированы основные результаты проведенного исследования.
Психологические принципы концепции геометрического моделирования
Настоящее исследование основано на следующих психологических принципах.
1. Принцип взаимной обусловленности обучения и интеллектуального развития. Обучение студентов на математическом факультете педагогического вуза имеет своей целью формирование будующего учителя математики, предполагающее и соответствующее интеллектуальное развитие. Вопрос о соотношении развития и обучения в психологии и в дидактике далеко не всегда решается однозначно. Например, Д. Пойа цель обучения математике видит в том, чтобы "научить молодежь ДУМАТЬ" ([102], стр. 287). А Ж. Дьедонне отдает приоритет обучению линейной алгебре современной математики ([38], стр. 16): "Эта дисциплина ... стала одной из центральных и наиболее плодотворных теорий современной математики, причем теорией, богатой самыми разнообразными применениями к теории чисел или к теоретической физике, затрагивая по пути анализ, геометрию и топологию. Мне кажется, что целесообразно как можно раньше ознакомить начинающего с основными понятиями этой дисциплины и научить его "мыслить линейно" ". Полемизируя со сторонниками бурбакизации математического образования, к которым относится и Ж. Дьедонне, Д. Пойа пишет: "А вот еще одно очень похожее мнение: "Современные американские подростки проделывают гораздо больший путь за рулем автомашины, чем проходят пешком. Поэтому мы должны обучать младенца управлению автомобилем до того, как он научится ходить!" " ([102], стр. 326).
Выгодский Л.С., говоря об единстве обучения и развития, отмечает ведущую роль обучения: обучение продвигает развитие вперед (см. [24], стр. 132). Принцип взаимной обусловленности обучения и интеллектуального развития выдвинут Рубинштейном С. Л. (см., например, [107], стр. 177). Он считает, что обучение должно соответствовать развитию; если оно начнет в самом деле "забегать вперед" развития, то такое обучение не приведет к развитию, а даст лишь формальное натаскивание; один уровень развития должен переходить в следующий через совершающуюся в ходе обучения реализацию возможностей предыдущего. 2. Принцип детерминизма. Этот принцип тоже разработан Рубинштейном С.Л. и подтвержден в экспериментальных исследованиях его учеников Анцыферовой Л.И., Славской К.А., Матюхина A.M. и других. В соответствии с ним умение самостоятельно решить данную задачу предполагает умение использовать данные прошлого опыта; в ходе мышления непрерывно те или иные данные, сообщаемые субъекту другими, - сначала внешние по отношению к мыслящему субъекту, к процессу его мышления - становятся звеньями мыслительного процесса; результаты произведенного субъектом анализа этих данных превращаются в средства дальнейшего анализа стоящей перед ним задачи. "Какие данные (подсказки, вспомогательные задачи и т. п.) человек в состоянии использовать, зависит от того, насколько продвинут его собственный анализ задачи" ([108], стр. 83).
Внешние данные, сообщаемые обучаемому, могут быть выражены в наглядной форме. Поэтому рассматриваемый принцип называют также принципом наглядной опоры и подсказки.
3. Генетический принцип. "Основной биогенетический закон", сформулированный немецким биологом Э. Геккелем, гласит: "Онтогенез повторяет филогенез" (онтогенез - индивидуальное развитие каждого животного, филогенез - история развития биологигеских форм). Поскольку наследственны лишь органические предпосылки психических способностей, а не сами способности в их конкретном содержании, то "основной биогенетический закон" в своем прямом смысле не применим к психическому и вчастности к интеллектуальному развитию личности. И все же известное соответствие между развитием отдельного индивида и историческим развитием человечества закономерно, поскольку развитие сознания каждого человека обусловлено освоением продуктов материальной и духовной культуры, создаваемой в процессе историчектого развития человечества. "Так, при овладении математикой -пишет Рубинштейн С.Л. - ход продвижения, последовательность этапов зависят от объктивной логики и последовательности предметного содержания математики. Одно является объективной предпосылкой для другого и потому должно быть освоено раньше; будучи предпосылкой, оно по большей части является при этом более элементарным, простым, а потому могло быть раньше открыто и может быть раньше освоено. ... Последовательность в развитии предмета и последовательность в развитии способностей взаимнообусловливают друг друга" ([107], стр. 183).
Параллельное проектирование. Аффинные отображения плоскости
Пусть Н - плоскость в пространстве, р - прямая, не параллельная плоскости Н. Прямую р и прямые, параллельные ей, будем называть проектирующими.
Проекцией точки М на плоскость Н в направлении прямой р называется точка М пересечения плоскости Н с проектирующей прямой, проходящей через точку М . Отображение пространства на плоскость Н, при котором каждой точке ставится в соответствие её проекция, называется параллельным проектированием на плоскость Н в направлении прямой р.
При параллельном проектировании
непроектирующая прямая переходит в прямую,
параллельные непроектирующие прямые переходят в параллельные (или совпадающие) прямые,
сохраняется отношение отрезков, расположенных на одной непроектирующей прямой или на параллельных непроектирую-щих прямых.
Рассмотрим плоскость П, не параллельную плоскости Н и не параллельную направлению проектирования.
Отображение плоскости П на плоскость Н при котором каждой точке плоскости П ставится в соответствие её проекция на плоскость Н в направлении прямой / , называется перспективно-аффинным.
Отображение плоскости Н (отличной от плоскости Н или совпадающей с ней) на плоскость Н, представимое в виде композиции конечного числа перспективно-аффинных отображений, называется аффинным.
Из свойств параллельного проектирования вытекает, что всякое аффинное отображение одной плоскости на другую взаимно однозначно и каждую прямую переводит в прямую. Можно доказать, что справедливо и обратное: всякое взаимно однозначное отображение одной плоскости на другую, переводящее каждую прямую в прямую, является аффинным.
В частности движение (как отображение одной плоскости на другую, сохраняющее расстояния) и подобие (как отображение одной плоскости на другую, сохраняющее отношение расстояний) являются аффинными отображениям и.
Аффинное отображение плоскости на себя называется аффинным преобразованием этой плоскости.
Пусть s - прямая в плоскости Н. Параллельное проектирование плоскости Н на прямую s в направлении некоторой прямой р, принадлежащей плоскости Н и не параллельной прямой s, удобно называть перспективно-аффинным отображением плоскости Н на прямую s. Тогда по аналогии с аффинным отображением плоскости на плоскость можно определить аффинное отображение плоскости на прямую как композицию конечного числа перспективно-аффинных отображений. Далее под аффинным отображением плоскости будем понимать как аффинное отображение плоскости на плоскость, так и аффинное отображение плоскости на прямую.
Докажем теперь следующую теорему.
ТЕОРЕМА 1. Если А , В , С - три точки плоскости Н , не лежащие на одной прямой, а А, В, С - не все совпадающие друг с другом точки, то существует единственное аффинное отображение f плоскости Н такое, что f(A ) = A, f(B ) = В, f(C ) = С.
Аффинные отображения
Аффинным отображением пространства на плоскость называется композиция аффинного преобразования пространства и параллельного проектирования пространства на плоскость.
Пусть g - аффинное преобразование пространства, а Л - параллельное проектирование пространства на плоскость П в направлении прямой р. Рассмотрим аффинное отображение/= h g. Обозначим через р прямую g l(p). В отображении / образом любой прямой, принадлежащей направлению прямой р , является некоторая точка плоскости П, а образом любой прямой, не принадлежащей направлению прямой р, - некоторая прямая плоскости П. Направление прямой р называется ядром отображения/.
ТЕОРЕМА 6. Если А , В , С, D - четыре точки, не принадлежащие одной плоскости, а А, В, С, D - четыре точки плоскости П, не все лежащие на одной прямой, то существует единственное аффинное отображение пространства на плоскость П такое, что / (А )=А, / (В )=В, / (С )=С, f(Wy=D.
Доказательство существования. Без ограничения общности можно предположить, что точки А и В различны. Через точки С и D проведем две параллельные прямые, не принадлежащие плоскости П, и выберем на них соответственно точки Со и D0 так, чтобы они не лежали в одной плоскости с точками А и В. Обозначим через g аффинное преобразование пространства, переводящее точки А , В , С\ D соответственно в точки А, В, С0, D0, и через А - параллельное проектирование пространства на плоскость П в направлении выбранных параллельных прямых. Отбражение/= h g- искомое.
Единственность отображения /, удовлетворяещего условиям теоремы, доказывается так же , как и в теореме 4.
В 1851 году немецкий математик К. Польке доказал ( в несколько иной формулировке) следующую теорему.
ТЕОРЕМА 7 (К. Польке). Всякое аффинное отображение пространства на плоскость представимо в виде композиции подобия и параллельного проектирования.
Доказательство. Пусть / - аффинное отображение пространства на плоскость Пи П - любая плоскость, перпендикулярная ядру отображения / На множестве точек плоскости П отображение/действует как взаимно однозначное аффинное отображение плоскости П на плоскость П и поэтому представимо в виде композиции отображения подобия плоскости П на плоскость П и родства плоскости П. А всякое родство плоскости имеет по крайней мере два главных направления. Следовательно на плоскости П существуют такие две перпендикулярные прямые а и b , что их образы а и Ъ в отображении/тоже перпендикулярны. Обозначим через О точку пересечения прямых а и Ь и проведем через неё прямую с , перпендикулярную плоскости ГГ.
