Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Теоретические основы обучения студентов вузов технологического профиля математическому моделированию случайных процессов ... 12
1.1. Ретроспективный анализ вероятностно-статистической подготовки студентов вузов 12
1.2. Цели изучения теории случайных процессов в вузах технологического профиля 28
1.3. Содержание обучения студентов-технологов математическому моделированию случайных процессов 39
1.4. Ряды динамики как основа формирования представлений о случайных процессах 57
Выводы по главе 1 68
Глава II. Методические аспекты обучения студентов технологических вузов математическому моделированию случайных процессов 70
П.1. Изучение статистических методов выявления тенденций развития случайных процессов во времени 70
П.2. Обучение студентов построению вероятностных моделей случайных процессов 86
П.З. Педагогический эксперимент и его результаты 125
Выводы по главе II 143
Заключение 145
Список литературы
- Цели изучения теории случайных процессов в вузах технологического профиля
- Содержание обучения студентов-технологов математическому моделированию случайных процессов
- Обучение студентов построению вероятностных моделей случайных процессов
- Педагогический эксперимент и его результаты
Введение к работе
Актуальность исследования
Условия производства в XXI веке требуют, чтобы выпускник технологического вуза имел необходимые представления о роли вероятностно–статистических методов, владел приемами исследования реальных стохастических процессов, имеющих место в промышленности и сельском хозяйстве. Поэтому естественно, что в Государственные образовательные стандарты высшего профессионального образования для подготовки выпускников вузов технологических направлений вошел раздел «Случайные процессы». Однако преподаватели математики испытывают трудности и в поиске для него резервов учебного времени, и в методическом обеспечении, которое отражало бы важнейшую особенность обучения математике в технологических вузах – его профессиональную направленность.
Результаты проведенных ранее научных исследований (Г.С. Евдокимова, И.В. Корогодина, Е.В. Лебедева, Н.В. Панина, С.А. Самсонова, В.Д.Селютин и др.) охватывают эту проблему в целом, тогда как в содержании обучения они конкретизируются лишь до рассмотрения случайных величин, зависящих от времени или других параметров. Вследствие этого в большинстве учебных пособий изложение данного раздела математики остается в значительной степени абстрагированным.
Однако при изучении специальных дисциплин студенты сталкиваются с необходимостью рассматривать математические модели технологических процессов, тогда как в курсе математики получили о них в лучшем случае поверхностные представления, а с методами построения таких моделей не знакомились вовсе. В условиях сокращения времени, отводимого новыми Государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования на изучение математики, традиционная методика преподавания теории случайных процессов себя исчерпала.
Анализ результатов педагогических исследований, а также опытно-экспериментальная работа в технологическом вузе показали, что возможности активизации внутренних резервов обучения данному разделу следует искать в придании ему прикладной направленности, обеспечивающей освоение методов моделирования реальных случайных процессов современной производственной деятельности.
Таким образом, на нынешнем этапе развития вузовского математического образования возникли противоречия между:
- утвержденным содержанием Государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования и дефицитом аудиторного времени на изучение теории случайных процессов;
- необходимостью организации эффективного обучения математическому моделированию реальных случайных процессов и сформировавшейся традиционной методикой преподавания, недостаточно учитывающей прикладную направленность обучения математике;
- потребностью в использовании будущими инженерами-технологами математических моделей реальных случайных процессов при изучении специальных дисциплин и недостаточной их подготовленностью к этому в результате изучения курса математики.
Выявленные противоречия обусловливают актуальность темы исследования, проблема которого формулируется так: каковы научные основы содержания, методов и средств обучения математическому моделированию случайных процессов в вузах технологического профиля.
Решение данной проблемы составляет цель исследования.
Объект исследования: обучение студентов вузов технологического профиля теории случайных процессов.
Предмет исследования: методика обучения будущих инженеров-технологов математическому моделированию случайных процессов.
Гипотеза исследования: обучение студентов технологических вузов методам математического моделирования случайных процессов, включающее:
последовательное изучение важных для освоения технологических процессов характеристик и свойств случайных функций, опирающееся на рассмотрение реальных объектов познания;
построение математических моделей технологических случайных процессов для формирования важных с профессиональной точки зрения навыков моделирования;
решение специально разработанных задач прикладного характера из будущей профессиональной деятельности студентов технологического профиля
будет способствовать повышению качества знаний по теории случайных процессов и обеспечивать готовность применения их при изучении специальных дисциплин технологического профиля.
В соответствии с объектом, предметом, целью и гипотезой исследования были поставлены следующие задачи:
1. Уточнить цели изучения теории случайных процессов применительно к вузам технологического профиля.
2. Осуществить отбор содержания обучения теории случайных процессов и обосновать последовательность изучения основных ее понятий и методов, ориентируясь на специфику моделирования технологических ситуаций.
3. Разработать специальные задачи прикладного характера, направленные на применение математических моделей реальных случайных процессов в профессиональной деятельности инженеров-технологов.
4. Разработать методику обучения студентов вузов технологического профиля математическому моделированию случайных процессов.
Методологической основой исследования служат философская концепция диалектического единства теории и практики, исследования ведущих ученых-математиков, педагогов, психологов, методистов, основные положения компетентностного подхода в образовании.
Теоретической основой исследования являются:
философские положения о всеобщей связи, целостности и причинной обусловленности явлений, диалектической взаимосвязи случайного и необходимого, синергетический подход (В.С. Анищенко, В.Г. Буданов, Г. Гегель, И.А. Евин, Г.Г. Малинецкий, Н.В. Пилипенко, А.Б. Потапов, М.Н. Руткевич, Д.И. Широканов, О.О. Яхот и др.);
работы по методологии научного исследования (А.Я. Баскаков, Г.И.Андреев, И. Н. Кузнецов);
исследования теории образования и обучения (С.И. Архангельский, Ю.В. Громыко, В.С. Ильин, В.В. Краевский, И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин, О.К. Филатов, Д.В. Чернилевский);
концепции компетентностного и деятельностного подходов в образовании (Г.А. Атанов, В.А. Байдак, В.А. Болотов, М.Г. Мишакина, В.В. Сериков, Ю.Г. Татур, Н.В. Толпекина);
исследования в области прикладной направленности обучения математике студентов технических специальностей высших учебных заведений (Е.А. Василевская, Н.Н.Грушевая, С.А. Татьяненко, А.Н. Буров, Е.М. Григорьева, О.В. Бочкарева, Т.В. Игнатьева, В.Д. Львова);
теория и методика обучения решению математических задач (Р.М.Асланов, Ю.М. Колягин, М.И. Шабунин и др.);
исследования проблем изучения стохастических разделов математики в вузе (С.Н. Бернштейн, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, С.А. Самсонова, В.Д. Селютин и др.).
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:
Эмпирические (интервьюирование и анкетирование преподавателей и обучаемых, обобщение опыта работы преподавателей кафедры высшей математики и системного анализа; экспериментальная работа по проверке положений диссертации);
Теоретические (гипотетико-дедуктивный метод изучения проблемы обучения студентов технологического профиля теории случайных процессов, основанный на анализе и систематизации:
– исторической, философской, психолого-педагогической и методической литературы;
– Государственного образовательного стандарта высшего профессионального обучения студентов технологических специальностей;
– учебных и рабочих программ по циклам общих математических и естественно-научных дисциплин, общепрофессиональных и специальных дисциплин;
– учебных пособий и учебников, диссертаций и авторефератов по исследуемой проблеме;
Общелогические (сравнительный анализ передового педагогического опыта; обобщение сформулированных ранее подходов к изучению стохастических разделов математики в вузе; вероятностно-статистические методы обработки и анализа результатов проведенной экспериментальной работы).
Этапы исследования:
- на первом этапе (2004-2005 гг.) изучалась и анализировалась научная, учебно-методическая и психолого-педагогическая литература по теме диссертации; анализировалось реальное состояние практики обучения студентов технологического профиля теории случайных процессов; разрабатывались теоретические основы обучения будущих инженеров-технологов математическому моделированию случайных процессов; проводился констатирующий этап эксперимента;
- на втором этапе (2005-2007 гг.) формулировались концептуальные положения методики обучения студентов технологического профиля математическому моделированию случайных процессов; отбиралось содержание стохастического материала, которое было бы возможно и целесообразно при использовании математического моделирования реальных технологических процессов; проводился поисковый этап эксперимента; разрабатывались методические материалы и проводилась первичная проверка пригодности составленных задач;
- на третьем этапе (2008-2010 гг.) проводилась экспериментальная работа по проверке эффективности разработанной методики обучения будущих инженеров-технологов математическому моделированию случайных процессов; выполнялись анализ, систематизация и обобщение результатов экспериментальной работы, проверка и уточнение выводов, оформление результатов исследования.
Научная новизна исследования заключается в выдвижении и разработке идеи организации обучения студентов технологического профиля теории случайных процессов посредством приобщения их к математическому моделированию реальных производственных ситуаций. Предложен вариант изучения теории случайных процессов на основе использования эмпирических прототипов ее базовых понятий в процессе моделирования рядами динамики. Пересмотрены цели, содержание и последовательность изучения раздела «Случайные процессы» адекватно специфике профессиональной подготовки студентов технологического профиля в условиях ограниченного аудиторного времени, отводимого вузовскому курсу математики.
Теоретическая значимость исследования заключается:
в обосновании возможности и целесообразности обучения студентов технологических вузов теории случайных процессов в сочетании с широким использованием математического моделирования реальных производственных ситуаций;
в уточнении целей изучения теории случайных процессов применительно к вузам технологического профиля;
в разработке содержания обучения моделированию случайных процессов, ориентированного на специфику профессиональной подготовки студентов технологического профиля;
в доказательстве новой последовательности изучения основных понятий теории случайных функций посредством моделирования технологических случайных процессов;
в теоретическом обосновании методики обучения студентов технологических вузов математическому моделированию случайных процессов.
Практическая значимость исследования определяется тем, что применение преподавателями математики разработанной методики и предлагаемых рекомендаций при подготовке лекционных и практических занятий позволит придать обучению теории случайных процессов профессионально-прикладную направленность. Освоение студентами приемов математического моделирования реальных ситуаций позволит повысить качество математических знаний, усовершенствовать навыки решения задач, будет содействовать осознанному пониманию и активному применению методов количественного анализа технологических процессов при изучении специальных дисциплин, при выполнении курсовых и выпускных квалификационных работ. Сконструированные задачи прикладного характера для организации самостоятельной деятельности студентов и формирования навыков моделирования случайных процессов будут полезны при составлении дидактических материалов, а разработанное учебно-методическое пособие «Ряды динамики» облегчит массовое внедрение результатов исследования в практику вузовского обучения.
Достоверность результатов и обоснованность научных выводов обеспечиваются методическим и методологическим инструментарием исследования, адекватным его цели, предмету и задачам; опорой на современные исследования по педагогике и психологии, теории и методике обучения стохастике; анализом научно-методической литературы по обучению теории случайных процессов; сопоставлением различных взглядов на проблему реализации профессионально направленного вузовского курса математики; положительной оценкой разработанных методических материалов по теории случайных процессов преподавателями математики; данными, полученными в ходе опытно-экспериментальной работы.
Апробация результатов исследования осуществлялась в виде докладов и выступлений на всероссийских, региональных и межвузовских научно-практических конференциях и семинарах в Майкопе (2006-2009), Орле (2007-2009), Пензе (2007, 2008), Саратове (2009, 2010), Астрахани (2010). Тема исследования отражена в 18 публикациях. Основные результаты исследования внедряются в образовательную практику Майкопского государственного технологического университета и Орловского государственного университета.
На защиту выносятся следующие положения:
-
Важным элементом в профессиональной подготовке студентов технологического профиля является умение проводить анализ реального случайного процесса: определять воздействие на входе системы для получения заданного результата на выходе, а также определять выход по заданному входному воздействию, что сводится к составлению математической модели случайного процесса.
-
Изучение теории случайных процессов следует начинать с эмпирических прототипов основных ее понятий. Предварительное изучение рядов динамики способствует формированию у студентов-технологов необходимых представлений о случайных функциях и позволяет им получить первичные навыки математического моделирования технологических случайных процессов.
-
Обучение студентов технологического профиля математическому моделированию случайных процессов будет проходить более эффективно в сочетании с изучением и использованием теоретико-вероятностных понятий. Рассмотрение их физических прообразов делает учебный материал связанным с профессионально значимыми реальными явлениями, в которых статистическое описание становится неизбежным.
-
Созданный набор специальных задач прикладного характера, ориентированных на будущую профессиональную деятельность студентов-технологов, отвечает цели формирования навыков математического моделирования случайных процессов.
-
Разработанная методика способствует повышению качества знаний теории случайных процессов и обеспечивает готовность студентов к применению методов математического моделирования при изучении специальных дисциплин технологического профиля.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, приложений, списка используемой литературы; иллюстрирована таблицами и рисунками.
Цели изучения теории случайных процессов в вузах технологического профиля
Инженерное образование в России имеет продолжительную историю и ведет свое начало от эпохи Петра I. Исследуем в историческом аспекте обучение инженеров основам науки о случайных явлениях. Проанализировав накопленный опыт инженерного образования, мы сможем определить, на какие наиболее эффективные методики профессиональной подготовки студентов следует опираться при построении содержательных основ обучения моделированию случайных процессов и на какие недостатки в истории преподавания следует обратить внимание, чтобы постараться их избежать.
Обратимся к истории высшего образования в России первой половины XIX века. В это время были образованы 6 университетов: Московский, Дерптский, Казанский, Харьковский, Петербургский (преобразован из Главного педагогического института в 1819 г.), Киевский. В этот период Россия вошла в число тех немногих стран, система математического образования которых включала такие базовые разделы стохастики, как статистику и теорию вероятностей [77, С. 158].
В Дерптском университете профессор чистой и прикладной математики И.Ф. Пфафф впервые читает новые курсы - начала комбинаторного анализа и исчисления вероятностей на немецком языке [98, С. 41].
В 1821 г. профессор Харьковского университета А.Ф.Павловский в своем докладе вводит термин «вероятность»: «отношение между числом первых случаев и числом всех возможных есть мера возможности» [146, С. 3]. Но только в 1849/1850 учебном году в Харьковском университете исчисление вероятностей начал читать профессор Фон-Бейер «по 1 часу в неделю в оба полугодия» [189, С. 178]. Известно, что Фон-Бейер был учеником М.В. Остроградского, который популяризировал теорию вероятностей в России и, по-видимому, был вдохновителем организации курса лекций в Харьковском университете. Сам М.В. Остроградский прочитал в 1858 и 1859 г.г. лекции по теории вероятностей перед артиллеристами-офицерами [159, С. 276].
С 1830 г. курс «Исчисление вероятностей» вводится в Виленском университете. Здесь его читает на польском языке выпускник этого университета Зигмунд Ревковский. Он составил программу курса, одобренную М.В. Остроградским. Его перу также принадлежит пособие, которое осталось неопубликованным [98, С. 48].
В Московском университете основные положения теории вероятностей были впервые изложены в 1843 г. на торжественном собрании профессором Н.Е. Зерновым. Он выступил с речью, в которой коснулся актуальных приложений теории вероятностей - «Теория вероятностей с приложениями преимущественно к смертности и страхованию» [98, С. 130].
Теоретико-вероятностные курсы на механико-математическом факультете восходят к деятельности первого заведующего кафедрой Андрея Николаевича Колмогорова. Долгие годы всем студентам-математикам читался курс теории вероятностей с элементами математической статистики. Затем в 60-е годы XX века этот курс был дополнен вводным курсом в теорию случайных процессов, и приблизительно двадцать лет студенты-математики общего потока слушали трехсеместровый курс одного лектора. Он так и назывался: «Теория вероятностей, математическая статистика и введение в теорию случайных процессов». В последнее десятилетие новый учебный план, усовершенствованный Методическим советом факультета под руководством Б.В. Гнеденко, содержит три совершенно самостоятельных курса вероятностного цикла: «Теория вероятностей», «Математическая статистика» и «Теория случайных процессов» [188].
Из истории Петербургского университета известно, что образование в нем осуществлялось в зависимости от практических потребностей общественного развития. «Так, в 1841 г. совет университета пришел к выводу о целесообразности создания межфакультетского учебного подразделения (камерального разряда) для подготовки чиновников административно 14 хозяйственной службы. С этой целью были привлечены специалисты всех факультетов, которые разработали учебный план и лекционные курсы. Камеральный разряд начал готовить студентов с 1843/1844 учебного года по предметам трех факультетов: юридического (государственное право европейских держав, государственные учреждения Российской империи, законы о финансах и государственных повинностях, законы благоустройства и благочиния), историко-филологического (политическая экономия и статистика), физико-математического (естественная история, технология, агрономия и архитектура)» [90, С. 191]. С 1837 г. профессор Петербургского университета В.А. Анкудович начал читать новый курс "Исчисление вероятностей", излагая его по сочинениям Лапласа и Пуассона [98, С. 113]. Рассмотрим, как в XIX веке в России было организовано образование инженеров.
В Институте корпуса военных инженеров горного дела в 1881 году был принят новый устав заведения, согласно которому преподавание теоретических предметов заканчивалось после четвертого года, а пятый курс был посвящен составлению проектов и выполнению практических заданий. В числе других наук в институте преподавались: высшая математика (дифференциальное и интегральное исчисление), аналитическая и начертательная геометрия, сферическая тригонометрия, горная статистика. Окончившие курс получали звание горных инженеров.
В Институте инженеров путей сообщения среди изучаемых дисциплин были: высшая математика, начертательная геометрия с приложениями, теоретическая механика и прикладная физика, электротехника и телеграфия, политическая экономия и статистика, бухгалтерия и техническая отчетность.
В 1841-1843 гг. в программы Геодезического отделения Николаевской академии Генерального штаба был введён особый курс "Приложение теории вероятностей к вычислению астрономических наблюдений", читаемый профессором А.Н. Савичем [98, С. 114].
Содержание обучения студентов-технологов математическому моделированию случайных процессов
Далее можно применить метод сглаживания или укрупнения динамических интервалов, который заключается в механическом выравнивании уровней ряда с использованием соседних уровней. Как отмечает Б.П. Урланис, «при помощи выравнивания определяется плавный уровень, то есть уровень, отражающий общую тенденцию развития и характеризующий как бы основную ось динамики, около которой на протяжении определенного периода времени происходят колебания вверх и вниз» [187, С. 343]. По виду полученных кривых можно сделать предварительное предположение о характере зависимости. С помощью графиков предварительно анализируется поведение динамического ряда: насколько возрос показатель, как это изменение связано со временем, за которое оно произошло. Линейные графики удобны тем, что на один чертеж можно наносить несколько таких графиков и производить их наглядное сравнение.
Результатов подобного экспериментального анализа столбчатых и координатных диаграмм бывает достаточно, чтобы сформулировать предположение о характере зависимости между исследуемыми показателями. Поэтому такие графики по праву можно считать содержательным компонентом формирования первоначальных представлений о реализациях случайных процессов.
Далее при исследовании динамического ряда студенты могут применить элементы описательной статистики.
Такая числовая характеристика, как средний уровень моментного ряда позволяет рассчитать его среднее между начальным и конечным моментами.
Средний абсолютный прирост показывает, насколько в среднем за единицу времени должен измениться уровень ряда, чтобы от начального уровня достигнуть конечного уровня.
Сводной обобщающей характеристикой интенсивности изменения уровней ряда динамики служит средний темп роста, который показывает, во сколько раз в среднем за единицу времени изменился уровень динамического ряда или сколько процентов составил уровень данного периода по сравнению с базисным уровнем. Нахождение среднего темпа роста полезно, в частности, когда темпы роста в каждом году разные.
При изучении двух взаимосвязанных явлений используют показатели, называемые коэффициентами опережения, которые вычисляются как отношения темпов роста или темпов прироста за одинаковый промежуток времени.
Построение и анализ линейных статистических графиков следует рассматривать лишь в качестве первого этапа приобщения к методам исследования случайных процессов, изменяемых во времени. Поскольку на них оказывают влияние многие факторы (конъюнктурные и сезонные колебания; изменения, вызванные природными катаклизмами; другие незначительные факторы), возникает необходимость в выявлении некоторой основной закономерности. Эта основная тенденция развития выражается в виде тренда - функции, зависящей от времени. Чтобы правильно выявить закономерность развития показателя, нужно выделить главную тенденцию изменения от колебаний, вызванных влиянием случайных кратковременных причин, для чего ряды динамики подвергаются анализу и статистической обработке.
Тренд считается средней траекторией развития системы на множестве всех ее альтернативных траекторий развития. Каждая альтернативная траектория имеет свою вероятность существования. Тренд, в отличие от альтернативных траекторий, такой вероятности не имеет.
В ходе работы по прогнозированию динамического ряда с помощью трендовых моделей студенты должны придерживаться следующих его этапов: а) выявление наличия трендовой зависимости; б) выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует динамике временного ряда; в) нахождение параметров выбранных кривых; г) проверка адекватности и точности выбранных моделей и оконча тельный выбор кривой; д) расчет прогнозируемого значения временного ряда; е) расчет доверительного интервала в точке прогноза.
Выявление наличия трендовой зависимости. На данном этапе решается вопрос о том, являются ли обрабатываемые данные статистически независимыми или они взаимосвязаны. Для этого применяются различные методы, одним из которых может быть метод разности средних. Он предполагает проверку гипотезы о равенстве средних значений двух примерно равных частей динамического ряда, на которые он предварительно разбивается.
После того, как установлено, что существует тенденция развития динамического ряда и выявлен характер кривой, вычисляют параметры уравнения кривой, которая как можно ближе подходит к описанию зависимости между членами эмпирического ряда.
Для расчета параметров кривой может быть применен метод наименьших квадратов, суть которого состоит в определении зависимости у от t путем минимизации суммы квадратов отклонений фактических (эмпирических) значений у от теоретических значений у, определяемых предполагаемым уравнением
Обучение студентов построению вероятностных моделей случайных процессов
Сечение случайного процесса Хф при t=tj Если для каждого дискретного аргумента t = t. \j: = І,..., п) получим математические ожидания тх\tx\ynx\t2),...,mx[tn), то по этим значениям можно построить на координатной плоскости точки и соединить их линиями. В результате получится некоторая кривая. Методом аппроксимации, подобно тому, как мы это делали с временными рядами, получаем функцию, которая дает представление о математическом ожидании случайного процесса. После этого студенты вполне подготовлены к усвоению нового понятия, которому дается следующее определение.
Определение 2.2. Математическим ожиданием случайной функции (процесса) X(t) называют неслучайную функцию mx(t), значение которой при каждом фиксированном значении аргумента равно математическому ожиданию сечения, соответствующего этому же фиксированному значению аргумента: mx(t) = M[X(t)] . Таким образом, на основании эмпирических данных студенты смоделировали функцию - математическое ожидание случайного процесса. Соединение вероятностной модели (в данном случае функция «математическое ожидание случайного процесса») и ее эмпирического прототипа «ряд динамики» должно обязательно присутствовать при обучении студентов моделированию случайных процессов. Ведь математическое моделирование — это процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью. Построение математической модели необходимо для исследования характеристик любой системы математическими методами.
При изучении математического ожидания случайной функции студенты использовали навыки построения трендовых зависимостей динамических рядов, которые они приобрели, изучая статистические методы выявления тенденций развития случайных процессов во времени.
Необходимость введения понятия «дисперсия случайной функции» обусловлена тем, что это еще одна очень важная характеристика случайного процесса. Мы рассмотрели понятие «математическое ожидание случайного процесса». Однако этой характеристики недостаточно для получения полного представления о случайном процессе, так как для некоторых процессов функция математического ожидания может быть одинаковой, но степень рассеяния ее реализаций вокруг математического ожидания разная.
Следуя прикладной направленности обучения элементам теории случайных процессов, это понятие методически целесообразно вводить, опираясь на пример из области инженерной деятельности экологов. Инженеры-экологи проводят мониторинги водных ресурсов рек с целью оценки их состояния, составления прогнозов и разработки на их основе рекомендаций по сохранению природных богатств. Для оценки состояния экосистем бассейнов рек они проводят наблюдения за уровнем воды, концентрацией веществ, исследуют донные отложения. Эти показатели подвергаются воздействию случайных факторов.
Рассмотрим пример из будущей профессиональной деятельности студентов направления «Природообустройство и водопользование».
100 Пример 2.3. Графически проиллюстрируем отклонения уровня воды двух рек от среднего (по данным спутникового мониторинга). На рисунках показаны реальные исследования уровня воды двух рек. На графиках прибор-самописец непрерывно отмечает показания измерений. Средний уровень воды - это математическое ожидание наблюдаемого случайного процесса, полученное по методу, изложенному выше. Две другие кривые — эмпирические, зафиксированные за два интервала времени продолжительностью в 16 лет. годы средний уровень воды уровень воды, наблюдаемый в 1994-2001 гг. уровень воды, наблюдавшийся в 2002-2009 гг.
Предположим, что решается вопрос о целесообразности организации сельскохозяйственной деятельности. Выбор стоит между бассейнами рек А и В. Наблюдения показывают, что математическое ожидание колебания уровня воды у обеих рек одинаковое. Однако у реки А уровни воды в наблюдаемые периоды ближе к среднему уровню, чем у реки В. Из этого следует, что если организовать хозяйственную деятельность в бассейне реки В, то вероятность риска засух и разливов реки больше, чем для бассейна реки А, что, естественно, отрицательно скажется на урожайности сельскохозяйственных культур. Студенты самостоятельно приходят к такому выводу и отмечают, что он аргументируется степенью разброса значений случайной величины.
Проводя аналогию с предыдущим примером нахождения математического ожидания случайной функции по ее сечениям, используя эмпирические данные, подводим к понятию дисперсии случайной функции.
Определение 2.3. Дисперсией случайной функции (процесса) X(t) называют неслучайную неотрицательную функцию Dx(t), значение которой при каждом фиксированном значении аргумента t равно дисперсии сечения, соответствующего этому же фиксированному значению аргумента:
Дисперсия случайной функции характеризует разброс возможных реализаций случайной функции относительно среднего. Если имеются данные наблюдений над случайным процессом (табл. 2.8), то дисперсию можем приближенно оценить по формуле Определение 2.4. Средним квадратическим отклонением случайной функции (процесса) называют квадратный корень из дисперсии: Обучение студентов построению вероятностных моделей случайных процессов при изучении корреляционной функции Для описания случайных функций недостаточно знания их математического ожидания и дисперсии. Характер случайной функции X(t) изменяется плавно (Рисунок 2.8), а случайной функции Y(t) - скачкообразно (Рисунок 2.9), хотя их математические ожидания и дисперсии равны.
Педагогический эксперимент и его результаты
В 2007 году процент студентов контрольной группы, применивших МММ случайных процессов в дипломных проектах снова больше, по сравнению с экспериментальной группой 2009 года. Но в этом случае общее количество студентов в группах разное. Обозначим через пх =45 — количество студентов в группе выпуска контрольного 2007 года, через п2 =38 — количество студентов в группе выпуска экспериментального 2009 года. Необходимо проверить, достоверно ли различаются эти процентные доли при пхФпг.
Используем многофункциональный статистический критерий р Фишера для двух выборок, описанный Е.В. Гублером [73]. Критерий оценивает достоверность различий между процентными долями двух наблюдаемых выборок. Для нас «эффектом» будет применение МММ случайных процессов в дипломных работах выпускников.
Сформулируем статистические гипотезы: Но , доля студентов контрольной группы 2007 года выпуска, применивших МММ в дипломных проектах, не больше, чем в экспериментальной группе 2009 года выпуска. Н\\ доля студентов контрольной группы, применивших МММ в дипломных проектах, больше, чем в экспериментальной группе 2009 года выпуска.
По таблице величин угла (р (в радианах) для разных процентных долей: (p = 2arcsin-yfp, где р — доля, выраженная в долях единицы (по В.Ю.Урбаху) [186], определяем величины ср, соответствующие процентным долям в каждой группе.
Зоны принятия гипотез для (р - критерия Фишера Так как р эмп (р кр, то принимается гипотеза Но о том, что доля студентов контрольной группы 2007 года выпуска, применивших МММ случайных процессов в дипломных проектах, не больше, чем в экспериментальной группе 2009 года выпуска.
Сравним данные наблюдений 2008 и 2009 гг. Здесь щ =43 - количество студентов в контрольной группе выпуска 2008 года, п2 =38 - количество студентов в экспериментальной группе выпуска 2009 года. пхФпг. Гипотезы: Но , доля студентов контрольной группы 2008 года выпуска, применивших МММ случайных процессов в дипломных проектах, не больше, чем в экспериментальной группе 2009 года выпуска. доля студентов контрольной группы 2008 года выпуска, применивших МММ случайных процессов в дипломных проектах, больше, чем в экспериментальной группе 2009 года выпуска.
Так как р эмп р кр, то гипотеза Н0 о том, что доля студентов контрольной группы 2008 года выпуска, применивших МММ случайных процессов в дипломных проектах, не больше, чем в экспериментальной группе 2009 года выпуска, принимается.
Итак, с помощью критерия Фишера выяснено, что доля студентов экспериментальной группы 2009 года выпуска, применивших МММ случайных процессов, больше либо равна доле студентов контрольных групп 2007 и 2008 годов выпуска, применявших эти методы в дипломных проектах.
II. Проверка гипотезы о том, что доля студентов, применивших методы моделирования случайных процессов в дипломных проектах в экспериментальной группе выпуска 2009 г. больше либо равна среднестатистической доле студентов, применявших эти методы в контрольных группах в 2006-2008 гг.
Теперь найдем средний процент студентов, применявших МММ случайных процессов в контрольных группах в 2006-2008 гг. и сравним его с процентом студентов, применивших МММ в экспериментальной группе.
Применим биномиальный критерий т, который позволяет оценить, насколько эмпирическая частота исследуемого нами «эффекта» - применения МММ превышает среднестатистическую частоту, соответствующую среднему проценту студентов контрольных групп, применявших МММ случайных процессов в дипломных работах в 2006-2008 годах. Так как с помощью w-критерия можно проверить, что эмпирическая частота исследуемого эффекта превышает среднестатистическую частоту, а у нас /эмп fmeop, то этот критерий можно применить, считая «эффектом» долю студентов, не применявших МММ случайных процессов. Тогда вероятность этого Q=l-P=l-0,55=0,45. Новая эмпирическая частота составит /элт =38-18 = 20. ТеперьР=0,45; =0,55.
Гипотезы: Н0: процент студентов из экспериментальной группы 2009 г. выпуска, не применявших МММ случайных процессов в дипломных проектах, не превышает среднестатистического процента. Н\\ процент студентов из экспериментальной группы 2009 г. выпуска, не применявших МММ случайных процессов в дипломных проектах, превышает среднестатистический процент. По таблице критических значений биномиального критерия т при Р 50/ п 50 (по Р. Руниону) [164] для и=38; Р=0,45; =0,55 т =23; тэмп=/эип=20 тэмп ткр Гипотеза Но , процент студентов из экспериментальной группы 2009 г. выпуска, не применявших МММ случайных процессов в дипломных проектах, не превышает среднестатистического процента, принимается.
Другими словами, процент студентов из экспериментальной группы 2009 г. выпуска, применявших МММ случайных процессов в дипломных проектах, больше либо равен среднестатистическому проценту студентов в контрольных группах, применявших МММ.
