Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
1.1. Модель и моделирование: концептуализация понятий 12
1.2. Классификации моделей и видов моделирования 21
1.3. Моделирование с помощью графов в обучении математике, основные тенденции 43
ГЛАВА 2. ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В ВОЕННО-ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ 56
2.1. Сущность технологического подхода к реализации моделирования с помощью графов 56
2.2. Содержание и структура методической системы моделирования на основе графов в курсе математики военно-технического вуза 70
2.2.1. Семантические модели 70
2.2.2. Логические модели 100
2.2.3. Продукционные модели 113
2.2.4. Реляционные модели 119
2.2.5. Фреймовые модели 124 2.3 Дидактические условия и методические средства применения графов в качестве моделей 137
2.4. Экспериментальное исследование эффективности моделирования с помощью графов при изучении теории вероятностей и теории игр в курсе математики военно-технического вуза. 145
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 164
ЛИТЕРАТУРА 167
ПРИЛОЖЕНИЯ 179
- Модель и моделирование: концептуализация понятий
- Классификации моделей и видов моделирования
- Сущность технологического подхода к реализации моделирования с помощью графов
Введение к работе
Актуальность исследования. Глубокие изменения, происходящие в последние годы в Вооруженных Силах России, значительно повышают требования, предъявляемые к выпускникам высших военно-технических учебных заведений, приводят к перестройке всей системы военного образования. Необходимость коренных преобразований в этой области диктуется прежде всего изменением задач, структуры и численности Вооруженных Сил. Соответственно меняются и требования к номенклатуре военных специальностей, уровням образования и содержанию обучения будущих офицеров. Сущность новых требований состоит в создании условий для их всесторонней подготовки к последующей профессиональной деятельности. В системе подготовки военных специалистов математике как дисциплине, обладающей огромным гуманитарным и мировоззренческим потенциалом, отводится значительное место.
Для достижения высокого уровня математической подготовки курсантов высших военно-технических учебных заведений необходимо, с одной стороны, обеспечить возможность приобретения' ими глубоких фундаментальных знаний, а, с другой - развить творческие способности курсантов, стремление к непрерывному приобретению новых знаний, повышению собственной математической культуры. Необходимость улучшения качества математической подготовки будущих военных инженеров определяется интенсивной математизацией практически всех областей науки и техники, ростом числа прикладных математических теорий, углублением методов анализа научной и технической информации.
Между тем, как отмечают педагоги, работающие в системе военного образования, уровень математической подготовки курсантов высших военных учебных заведений падает. Контроль знаний курсантов выявляет ряд существенных недостатков. К ним относятся: формализм фундаментальных знаний, слабая развитость логического и специфически математического мышления, отсутствие целостного представления о сущности математических объектов, неустой-
чивость восприятия и воспроизведения математического знания, неумение переносить математические знания на новые объекты.
Следует отметить, что специфика обучения в военных вузах резко отличает их от гражданских высших учебных заведений прежде всего тем, что курсанты военных вузов подчинены строгому почасовому режиму, кроме того, они одновременно с учебой несут воинскую службу, что усложняет для них процесс приобретения знаний, т.к. влечет за собой пропуски курсантами занятий по уважительным причинам. Пропущенный учебный материал курсанты должны восстанавливать самостоятельно в часы самоподготовки. В связи с этим уровень и качество знаний курсантов, особенно младших курсов, на которых изучается математика, бывает невысоким.
Несомненно, на качество математической подготовки курсантов также влияют сложность математики как учебного предмета, высокая степень абстракции ее понятий и теорем, разнообразие форм представления математических структур. Отдельные понятия и теоремы слишком далеки от профессионально необходимых знаний, отсутствует надлежащая мотивация, что вызывает у ряда курсантов отрицательное отношение к предмету. Изучение математики представляет значительную трудность для большинства курсантов, в основной своей массе средних по способностям и по уровню школьной математической подготовки.
Кроме противоречия между возможностями курсантов и потребностями в математическом аппарате общетехнических и специальных дисциплин, существенную проблему представляет значительное несоответствие между объемом изучаемого материала и постоянным уменьшением количества учебных часов, отводимых на его изучение. Следует отметить и тот факт, что у многих курсантов недостаточно развиты навыки самостоятельной работы, они плохо представляют себе связь между математическими дисциплинами учебной программы и своей будущей профессиональной деятельностью. И, наконец, еще одно противоречие: с одной стороны, современная армия нуждается в специалистах, владеющих навыками исследовательской работы, обладающих глубокими фун-
даментальными знаниями, умеющими применять их на практике; с другой стороны, в обучении математике в военно-технических вузах преобладают традиционные формы, которые не обеспечивают в должной мере формирование этих навыков.
Характерной чертой современного этапа развития высшего образования является то, что его функционирование тесным образом связано с непрерывным поиском более эффективных форм и методов обучения, путей совершенствования образовательного процесса в целом. В связи с этим важно сконструировать технологию обучения, при реализации которой учебные задачи окажутся объединенными общей дидактической идеей. Актуальной становится такая организация процесса обучения математике, когда представления, возникающие в мышлении обучаемых, отражают существенные стороны математической деятельности посредством моделирования математических действий.
Различные аспекты моделирования изучены в работах В.А. Веникова, Б.С. Грязнова, В.В. Давыдова, Л.В. Занкова, Г. Клауса, В.И, Михеева, К.Е. Морозова, Е.В. Никитина, И.Б. Новика, Н,Г. Салминой, Е.И. Смирнова, Л.Т. Турбовича, А.С. Турчина, Л.И. Уемова, Л.М. Фридмана, B.C. Швырева, В.А. Штоффа, А.В. Ястребова и др.
Большой интерес к моделированию и широкое распространение методов моделирования объясняется многообразием его гносеологических функций, что обусловливает обучение на специальном объекте — модели, являющейся промежуточным звеном между педагогом и обучаемым. Среди методов моделирования СИ. Архангельский особо выделяет методы теории графов, которые в последнее время находят многочисленные применения в разных областях науки. Важным этапом в разработке этой концепции явилась предложенная В.В. Афанасьевым технология обучения теории вероятностей и математической статистике, теории информации и теории кодирования с помощью графов.
Интерес к теории графов вызвал появление литературы, посвященной теории графов и ее применению. Это книги О.Е. Акимова, Р. Басакера и Т. Саати, В.В. Белова, Е.М, Воробьева и Е.М. Шаталова, В.А. Евстигнеева и
Л.С. Мельникова, А.А. Зыкова, Б.Н. Иванова, Н. Кристофидеса, Ф.А. Новикова, И.В. Романовского, Ф. Харари и т.д. Вопросам применения моделей, представляющих собой графы, при обучении математике в вузе и школе посвящены работы СИ. Архангельского, Л.Ю. Березиной, Л.А. Бессонова, Т. Варга и М. Глемана, А.П. Гловацкой, И. Гроссмана и В. Магнуса, С.А. Дориченко, В.А. Евстигнеева, Ю.Г, Карпова, О.М. Кузнецова и Г.М. Адельсона-Вельского, А.Ф. Ляхова, К Л. Хабибуллина и т.д. Однако, несмотря на большие возможности применения моделей, представляющих собой графы, при обучении математике, мы можем отметить недостаточное освещение вопросов методики использования этого подхода.
Таким образом, актуальность темы исследования определяется, во-первых, состоянием практики обучения математике в военно-техническом вузе, а, во-вторых, тем, что многие преподаватели математики не полностью осознают возможности моделирования с помощью графов в силу недостаточного количества исследований, предметом которых является методика моделирования с помощью графов при обучении математике в военно-техническом вузе.
Это и определило проблему исследования: каковы возможности моделирования с помощью графов в процессе преподавания математики в военно-техническом вузе для повышения качества предметной подготовки?
Цель исследования - теоретическое обоснование и разработка методической системы моделирования с помощью графов в математической подготовке курсантов.
Объект исследования - процесс обучения математике курсантов военно-технического вуза.
Предмет исследования - содержание и структура моделирования с помощью графов при обучении математике курсантов военно-технического вуза.
Гипотеза исследования состоит в принципиальной возможности создания методической системы моделирования с помощью графов в курсе математики военно-технического вуза, которая будет эффективной при реализации следующих условий:
моделирование основного содержания курса математики военно-технического вуза;
вариативность форм и методов изложения учебного материала при указанном моделировании;
объединение отдельных моделей в методическую систему;
стимулирование нестандартных подходов к решению математических задач в соответствии с разрабатываемой методикой и уровнем сформи-рованности знаний и умений курсантов.
Исходя из цели и гипотезы исследования, были определены задачи исследования:
сформулировать критерии отбора математического содержания и определить основные этапы построения моделей, представляющих собой графы;
выявить содержание курса математики военно-технического вуза, допускающее указанное моделирование;
разработать методическую систему применения графов в качестве моделей и реализовать их классификацию;
разработать и обосновать комплекс учебно-методических средств, предполагающих применение графов в качестве моделей;
практически апробировать методическую систему моделирования в курсе математики военно-технического вуза;
проверить экспериментально эффективность и результативность функционирования предлагаемой методической системы.
Методологическую основу исследования составили: принцип единства и диалектического взаимодействия теории и практики в научном познании, принцип ведущей роли обучения в развитии, основные положения психологической теории учебной деятельности, теории развития личности, труды психологов, педагогов и специалистов в области теории и методики обучения математике.
Проблема, цели и задачи обусловили выбор методов исследования: теоретический анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования; анализ вузовских учебных планов, программ, учебников и учебных пособий по математике для средних и высших учебных заведений; изучение педагогического опыта; анкетирование и тестирование, анализ письменных работ курсантов; педагогический эксперимент, статистическая обработка данных и анализ его результатов.
База исследования. Базой исследования является Ярославский зенитный ракетный институт ПВО.
Этапы исследования. В соответствии с выдвинутой целью, гипотезой и задачами исследования теоретическая и опытно-экспериментальная работа проводилась в три этапа.
На первом этапе (1994-1999 гг.) осуществлялось изучение и анализ педагогической и учебно-методической литературы по проблеме исследования, изучалось состояние исследуемой проблемы в вузовской практике, разрабатывались методические материалы, проводился констатирующий эксперимент.
На втором этапе (1999-2001 гт.) уточнялось содержание методической системы моделирования с помощью графов, были выявлены и теоретически обоснованы формы, методы и средства ее реализации, изучалось взаимодействие моделей, продолжалась разработка учебно-методических материалов для курсантов, проводились наблюдение, анкетирование и поисковый эксперимент.
На третьем этапе (2001-2003 гг.) проводился формирующий эксперимент с целью проверки эффективности и корректировки предлагаемой методики, были обобщены результаты экспериментальной работы, проводились обработка и анализ эмпирических данных, сделаны выводы и внесены коррективы в методическую систему моделирования с помощью графов.
Теоретическая значимость и научная новизна исследования состоит в том, что
- предложен и теоретически обоснован один из путей повышения качества математической подготовки будущих военных инженеров посред-
ством объединения отдельных моделей в методическую систему моделирования с помощью графов;
выполнена классификация графовых моделей, входящих в методическую систему и разработана методика ее внедрения в практику обучения математике в военно-техническом вузе;
определены и характеризованы основные этапы построения графовых моделей;
предложено моделирование основного содержания курса математики военно-технического вуза;
обоснованы и разработаны средства реализации методической системы моделирования с помощью графов.
Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что разработан и внедрен комплекс учебных и учебно-методических материалов, позволяющих реализовать систему моделирования с помощью графов при обучении математике, в частности:
разработаны и изданы методические рекомендации к решению задач по теории вероятностей для курсантов ЯЗРИ ПВО;
составлены сборники индивидуальных заданий по теории вероятностей, элементам теории кодирования, математической логике и теории алгоритмов;
разработаны материалы для проведения лекций и практических занятий;
разработаны и изданы конспект-организаторы для проведения лекций и практических занятий по комбинаторике, теории вероятностей, элементам теории кодирования, математической логике и теории алгоритмов, теории булевых функций.
Предлагаемая методика применения моделирования с помощью графов и разработанный комплекс учебно-методических материалов могут быть использованы преподавателями математики военных и технических вузов, преподавателями специальных дисциплин в технических вузах, учителями школ.
Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается глубоким анализом проблемы при определении исходных теоретико-методологических позиций, адекватных целям, предмету и задачам исследования; длительным включенным наблюдением; сочетанием теоретического анализа и практической деятельности по исследуемой проблеме; результатами экспериментальной проверки основных положений диссертации.
На защиту выносятся;
методическая система моделирования с помощью графов и ее реализация в курсе математики военно-технического вуза;
комплекс учебно-методических средств поддержки методической системы;
алгоритм образовательных действий курсантов, направленный на моделирование математических задач;
интерпретация принятой в исследовании классификации моделей для моделей, представляющих собой графы.
Апробация работы осуществлялась при организации учебного процесса в соответствии с разработанной методикой на базе Ярославского зенитного ракетного института ПВО. Основные положения и результаты исследования обсуждались на II межрегиональной конференции "Интеллектуальные технологии двойного применения" (Ярославль, 2000), на шестой международной конференции "Экология и здоровье человека. Экологическое образование. Математические модели и информационные технологии" (Краснодар, 2001), на девятой международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" (Дубна, 2001), на девятой военно-научной конференции "Проблемы совершенствования вооружения войсковой ПВО и способов его боевого применения" (Смоленск, 2002), на Всероссийской научно-технической конференции "Актуальные вопросы разработки и внедрения высоких технологий в системы государственного и военного управления, образования, вооружения и военной техники Военно-воздушных сил" (Ярославль, 2002), на десятой военно-научной конференции "Повышение эффективности и боевых возможностей группировок войск ПВО в
операциях на стратегическом направлении" (Смоленск, 2002), на Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов "Модернизация школьного математического образования и проблемы подготовки учителя математики" (Санкт-Петербург, 2003), на "56-х Герценовских чтениях" (Санкт-Петербург, 2003), на Чтениях Ушинского "Развитие профессионального образования в Ярославской области: история и современность" (Ярославль, 2003).
Личный вклад состоит в том, что
в курс математики военно-технического вуза внедрена методика изучения с помощью моделей, представляющих собой графы;
разработаны и применены новые по содержанию графовые модели решения математических задач (деревья в теории кодирования, платежные графы в теории игр, деревья вывода в логическом программировании, структурные схемы решения классов задач в алгебре);
усовершенствованы известные модели, представляющие собой графы (деревья вывода в исчислении высказываний и исчислении предикатов, графы переходов машин Тьюринга, комбинаторные графы);
выполнена и применена в процессе обучения математике классификация используемых графовых моделей;
проведена опытно-экспериментальная работа и выбраны способы обработки результатов вероятностно-статистическими методами.
По теме диссертации имеется 21 публикация.
Модель и моделирование: концептуализация понятий
Процесс научного познания окружающего мира сложен. Как и любой процесс познания, он начинается с непосредственного или опосредствованного чувственного познания. Но подлинно научный характер он приобретает лишь тогда, когда на основе результатов чувственного познания строится особый объект - обобщенное и абстрактное представление, схема изучаемого явления. Этот объект — модель явления. Когда при изучении реального явления создается его модель, то дальнейшее изучение этого явления производится уже на созданной модели. Исследовав модель, найдя ее свойства и закономерности, получив из них логические следствия, следует проверить на практике (в опыте, эксперименте) наличие у изучаемого явления этих следствий. Если практика подтверждает наличие следствий, то это означает, что построенная модель достаточно точная и ею можно пользоваться для дальнейших исследований; если же некоторые следствия не подтверждаются на практике, то это означает, что модель недостаточно точная, не вполне соответствует изучаемому явлению. Тогда ее корректируют, уточняют, или же заменяют другой моделью.
В современной науке термин «модель» употребляется в различных смыслах. В самом общем смысле моделью называют «специально созданную форму объекта для воспроизведения некоторых характеристик подлинного объекта, подлежащего познанию» [4, С. 280]. Слово «модель» происходит от латинского modulus, что означает «мера», «образец».
В соответствии с различными назначениями моделей существуют различные подходы к определению этого понятия. Л.М. Фридман подчеркивает тот факт, что модель всегда является источником новых знаний об исследуемом объекте: «В науке модели используются для изучения любых объектов (явлений, процессов), для решения самых разнообразных научных задач и получения тем самым новой информации. Поэтому модель определяется как некий объект (система), исследование которого служит средством для получения знаний о другом объекте (оригинале)» [128, С. 33].
Высказывая свою точку зрения на определение модели, Г. Клаус делает акцент на других свойствах моделей: «Под моделью понимают отображение фактов, вещей и отношений определенной области знания в виде более простой, более наглядной материальной структуры этой области или другой области. Следовательно, когда мы говорим о модели, речь идет о системе, в определенных существенных структурах и отношениях аналогичной предмету исследования; системе, применение которой при исследовании определенных предметных областей опирается на научную обоснованность выводов по аналогии» [77, С. 262].
Во взглядах В.А. Штоффа на понятие модели содержатся оба эти подхода. По его определению «под моделью понимается такая мысленно представляемая или материально реализуемая система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте» [142, С. 19]. Это определение в качестве одного из основных цитируют в своих работах СИ. Архангельский [4, С. 281], В.В. Давыдов [42, С. 111], К.Е. Морозов [93, С. 44], Л.Т. Турбович [123, С. 13].
Любая модель, по их мнению, должна быть наглядной. Но это своеобразная наглядность. Так, своеобразие наглядности материальной модели состоит в том, что ее восприятие неразрывно связано с пониманием ее строения. «Наглядность восприятия вещественной модели предполагает вместе с тем значительное участие мышления, применения накопленных теоретических знаний, аккумулированного опыта. Воспринимая модель, экспериментатор понимает, что в ней происходит» [142, С. 163]. Отдельные элементы моделей не имеют внешнего сходства с оригиналом. Вместе с тем, в структуре своих построений они воспроизводят, копируют структуры объекта. Конечно, это воспроизведение приблизительное, упрощающее, схематизирующее реальный объект.
Эту мысль В.В. Давыдов развивает следующим образом: «Вместо изучения какого-либо реального объекта часто по тем или иным причинам целесообразно исследовать его заместителя, воспроизводящего объект в том или ином отношении. Исследование такого заместителя позволяет получить новые сведения о самом объекте - в этом и состоит главная функция этого заместителя как модели» [42, С. 112]. Но модели не простые заместители объектов. Условия создания, например, вещественной модели таковы, что «в ней выделены и закреплены в ее элементах и отношениях между ними существенные и необходимые связи, образующие вполне определенную структуру» [142, С. 281]. «Модели -это форма абстракции особого рода, в которой существенные отношения объекта закреплены в наглядно воспринимаемых и представляемых связях и отношениях вещественных или знаковых элементов. Это своеобразное единство единичного и общего, при котором на первый план выдвинуто общее, существенное» [42, С. 112-113].
Наиболее общим, и поэтому широко и часто используемым, является определение модели, данное И.Б. Новиком: «Модель — это искусственный или естественный объект (представляющий собой вещественный агрегат или знаковую систему), находящийся в некотором объективном соответствии с исследуемым объектом, способный его замещать на определенных этапах познания, дающий в процессе исследования некоторую допускающую опытную проверку информацию, переводимую по установленным правилам в информацию о самом исследуемом объекте» [99, С. 42].
Из этого определения вытекают четыре основные черты модели:
- объективное соответствие с моделируемым объектом;
- способность замещать познаваемый объект на определенных этапах познания;
- способность в ходе исследования давать некоторую информацию, допускающую опытную проверку;
Классификации моделей и видов моделирования
Рассматривая проблему классификации моделей, и, соответственно, видов моделирования, приведем точку зрения авторов статьи в Большой советской энциклопедии Б.В. Бирюкова, Ю.А. Гастева, Е.С. Геллера: «Единая классификация видов моделирования затруднительна в силу многозначности понятия «модель» в науке и технике. Ее можно проводить по различным основаниям: по характеру моделей (т.е. по средствам моделирования); по характеру моделируемых объектов; по сферам приложения моделирования (моделирование в технике, физических науках, в химии, моделирование психики и т.п.) и его уровням, В связи с этим любая классификация методов моделирования обречена на неполноту, тем более, что терминология в этой области опирается не столько на строгие правила, сколько на языковые, научные и практические традиции, а еще чаще определяется в рамках конкретного контекста и вне его никакого стандартного значения не имеет» [21, 394].
Тем не менее, поскольку практическая потребность в таких классификациях обусловлена, прежде всего, необходимостью выяснения степени адекватности модели изучаемым сторонам объекта исследования, предлагаются классификации моделей как самого общего вида, так и специальные естественнонаучные. Далее в той же статье приводится деление моделирования на предметное и знаковое, а внутри каждого из видов выделяются подвиды. Предметным авторы называют моделирование, «в ходе которого исследование ведется на модели, воспроизводящей основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики «оригинала»» [21, С. 394]. На таких моделях изучаются процессы, происходящие в оригинале — объекте исследования или разработки. Если модель и моделируемый объект имеют одну и ту же физическую природу, то говорят о физическом моделировании. Явление может исследоваться и путем опытного изучения какого-либо явления иной физической природы, но такого, что оно описывается теми же математическими соотношениями, что и моделируемое явление (например, электрические и механические колебания, которые описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями). Такое моделирование называется предметно-математическим.
Моделирование называют знаковым в том случае, когда моделями служат «знаковые образования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, графы, слова и предложения в некотором алфавите естественного или искусственного языка» [21, С. 394]. В качестве важнейшего вида знакового моделирования указывается математическое (логико-математическое) моделирование, осуществляемое средствами языка математики и логики. Действия со знаками всегда в той или иной мере связаны с пониманием знаковых образований и их преобразований: формулы, математические уравнения и т.п. выражения применяемого при построении модели научного языка определенным образом интерпретируются в понятиях той предметной области, к которой относится оригинал. Поэтому реальное построение знаковых моделей может заменяться мысленно-наглядным представлением знаков и операций над ними. Эту разновидность знакового моделирования называют мысленным моделированием. Исследование знаковых (в частности, математических) моделей можно также рассматривать как некоторые эксперименты («эксперименты на бумаге», умственные эксперименты). Это становится особенно очевидным в свете возможности их реализации средствами электронной вычислительной техники. Таким образом, «можно прежде всего различать «материальное» (предметное) и «идеальное» моделирование: первое можно трактовать как «экспериментальное», второе - как «теоретическое»» [21, С. 395]. Как отмечается далее в той же статье, термин «идеальное» часто применяют для обозначения «интуитивного» моделирования, не использующего никаких четко фиксированных знаковых систем, а протекающего на уровне «модельных представлений»; такое моделирование есть непременное условие любого познавательного процесса на его начальной стадии.
Сущность технологического подхода к реализации моделирования с помощью графов
Процесс моделирования с помощью графов предполагает всестороннее исследование изучаемого математического содержания, поэтому важно отметить, что в системе моделирования с помощью графов имеются две составляющие: собственно теория графов и специально отобранное содержание дисциплины математика, допускающее моделирование с помощью графов. Теория графов как раздел дискретной математики является частью фундаментальной подготовки будущих военных инженеров. В зависимости от специализации курсантов существуют два основных варианта ее изучения, отличающиеся друг от друга местом в учебной программе и количеством отводимых часов.
Среди подходов к изучению теории графов можно выделить "классический" и "алгоритмический". Первый реализуется в книгах Р. Басакера и Т. Саати [16], В,В. Белова, Е.М. Воробьева, и В.Е. Шаталова [17], А.А. Зыкова [70], В.Н. Нефедова и В.А. Осиповой [96], О. Оре [101, 102], Ф. Харари [132] и др. и состоит в том, что в них подробно рассматриваются понятия, связанные с графами, свойства графов, формулируются и доказываются основные теоремы теории графов. Второй подход предполагает акцент на формулировке, обосновании и реализации основных оптимизационных алгоритмов на графах и представлен работами О.Е.Акимова [2], Б.Н.Иванова [71], Н. Кристофидеса [79], Э. Майника [88], Ф.А.Новикова [100], И.В. Романовского [109], М. С вами и К. Тхуласирамана[114] и др. В случае меньшего по количеству часов варианта изучения теории графов мы ориентируемся на "классический" подход; если количество часов, отводимых на изучение теории графов, достигает 36-40, возможно сочетать оба подхода, обращая особое внимание на оптимизационные алгоритмы прикладного характера [52, 55].
Теоретической основой моделирования с помощью графов являются следующие понятия теории графов, содержащиеся в обоих вариантах учебной программы:
- граф, вершина графа, ребро графа;
- неориентированный граф, ориентированный граф;
- инцидентность вершин и ребер графа;
- степень вершины графа, изолированная вершина, висячая вершина;
- петля, параллельные (кратные) ребра;
- маршрут, цепь, цикл;
- подграф и остов графа;
- связность, компоненты связности;
- дерево, ориентированное дерево;
- корень, уровень, ветвь и лист дерева;
- бинарное (двоичное) дерево;
- взвешенный граф;
- сеть.
Для выяснения сущности технологического подхода к реализации моделирования с помощью графов оказалось необходимым осмыслить логику схем математических рассуждений и пути ее формализации. В нашей работе практическое использование моделей является не частной иллюстрацией теоретических результатов, а отправной точкой анализа и решения конкретных задач.
Современная парадигма научного исследования состоит в том, что формальное изучение любой проблемы начинается с замены реальных объектов их абстрактными представлениями, выбираемыми таким образом, чтобы в этих идеализациях, моделях были отражены именно те свойства исходных объектов, которые мы хотим изучать. Абстрагирование является основным этапом при построении математической модели, оно широко используется в научных исследованиях для выборочного изучения отдельных аспектов исследуемой проблемы. Цель абстрагирования — выделение тех аспектов, которые существенны для решения проблемы, и игнорирование тех, которые незначительны, усложняют проблему, делают анализ менее общим или вообще невозможным.
При научном подходе, на уровне рационального исследования, мы имеем дело не с реальной действительностью, а со структурами, абстракциями от материальных объектов. Реальные объекты и ситуации обычно сложны, и абстракция применяется для того, чтобы ограничить эту сложность, дать возможность принимать решения. С помощью абстрагирования человек строит формальные модели самых разнообразных по своей природе понятий, процессов и явлений, сущностей реального мира. Такие формальные модели, будучи построенными, далее допускают анализ и преобразование с помощью формальных же средств: абстракции могут быть формально исследованы с точки зрения их свойств (структура, элемент, отношение и т.д.), и при таком анализе исследователь остается в рамках построенной им знаковой системы, абстрагируясь от реальных объектов. Формальные модели позволяют выразить некоторые (существенные для решения конкретной проблемы) свойства объекта в точных терминах математических определений так, что затем можно "вывести" характеристики построенной модели, которые объяснят известные и предскажут новые свойства исследуемой сущности. При этом процесс конструирования модели не является механическим, он требует интуиции, понимания природы явления и решаемой проблемы.
