Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы реализации факультативных курсов по математике 15
1. Психолого-педагогические предпосылки изучения факультативного курса по математике в средней школе для учащихся старших классов 15
2. Роль и место исследовательской деятельности на факультативных занятиях по математике в старших классах 29
3. Структура и методические особенности факультативного курса «Инварианты групп симметрии некоторых многогранников» 44
Глава 2. Методические аспекты реализации факультативного курса по геометрии «Инварианты групп симметрии некоторых многогранников» 54
1. Содержание и формы проведения факультативной темы «Инварианты групп симметрии некоторых многогранников» 54
2. Эрлангенская программа Ф. Клейна. Методологические основы теоретико-группового подхода к изучению геометрии 116
3. Правильные многогранники. Группы симметрии правильных многогранников 122
4. Педагогический эксперимент и анализ его результатов 132
Заключение 146
Литература 148
Приложение Инварианты группы симметрии правильной четырехугольной пирамиды 160
- Психолого-педагогические предпосылки изучения факультативного курса по математике в средней школе для учащихся старших классов
- Структура и методические особенности факультативного курса «Инварианты групп симметрии некоторых многогранников»
- Содержание и формы проведения факультативной темы «Инварианты групп симметрии некоторых многогранников»
Введение к работе
В последнее время значительное внимание уделяется вопросу становления каждого учащегося как творческой личности. Формирование творческой личности является одной из главных целей школьного математического образования. На современном этапе образовательное пространство характеризуется усилением внимания к развитию личностных качеств ученика, так как, раскрывая свои способности и, воплощая их в жизнь, ученик усваивает опыт, накопленный человечеством, и приносит пользу всему обществу. Учебный процесс строится так, чтобы знания, усваиваемые учеником, имели бы для него личностный смысл. Все это обусловливает необходимость развития творческого потенциала учащихся, формирования умений и навыков исследовательской работы, самостоятельности их мышления.
Одним из средств достижения перечисленных целей является введение в школе факультативных занятий, которые были бы организованы не только для углубления знаний учащихся, но и для знакомства с важнейшими достижениями науки, умения самостоятельно пополнять знания, ориентироваться в научной информации, для развития их разносторонних интересов и способностей, сознательного отношения к учебе.
В учебном плане средней школы, а особенно в классах и школах с углубленным изучением математики, значительное место занимает курс математики, поэтому факультативные занятия по математике выделяются среди общей системы факультативов по числу учащихся, принимающих участие в их работе. Также как и по другим предметам, в основе выбора учениками факультативного курса по математике лежит интерес к ней и ее приложениям, понимание необходимости овладения математическими знаниями, которые нужны для изучения смежных дисциплин и для продолжения образования.
Организация факультативных занятий способствует профильной дифференциации в обучении математике, цель которой состоит в развитии личности ученика с учетом его индивидуальных особенностей.
Современный взгляд на образование состоит в том, что образование «предполагает направленность обучения от личности, ее структуры через учебный предмет к личности (индивидуальности) конкретного ребенка. Это проявляется, прежде всего, в целях обучения и через них в содержании образования, методах, формах и средствах обучения» [101].
Трактовка содержания образования, направленная на целостное развитие личности, изложена в работах Ю.К.Бабанского [10], П.Я.Гальперина [28], В.А.Гусева [37], С.Н.Дорофеева [40], И.В.Егорченко [45], М.И.Зайкина [49], Т.А.Ивановой [53], Л.С.Капкаевой [55], В.В.Краевского [70], Ю.М.Колягина [67], И.Я.Лернера [79], А.Х.Назиева [90], Д.Пойя [100], Г.И.Саранцева [109], В.А.Сластенина [115], И.М.Смирновой [117], Н.Ф.Талызиной [121], Р.А.Утеевой [122], П.М.Эрдниева [140] и др.
По их мнению, традиционное содержание математического образования, направленное на приобретение школьниками знаний, умений и навыков, не может служить источником развития и формирования всех подструктур в целостной структуре личности. Содержание образования, направленное на формирование личности ученика средствами математики, может быть установлено с позиции усвоения математического знания, специфики творческой математической деятельности и ее приемов.
Факультативные занятия помогают поднять уровень обучения учащихся на более высокий теоретический и методический уровень и способствуют решению ряда других актуальных задач, стоящих перед школой.
В нашей работе исследуется проблема разработки теории и методики реализации факультативного курса по математике для учащихся старших классов, с максимальной полнотой отвечающего задаче реализации комплексного подхода к развитию математических способностей учащихся и их становлению как творческих личностей.
Необходимость особого внимания к таким курсам в старших классах диктуется, прежде всего, тем, что учащиеся этого возраста стоят на пороге вступления в самостоятельную жизнь. Главным для них становится выбор жизненного пути, подготовка к будущей самостоятельной деятельности.
Поэтому, прежде всего, факультативные занятия в старших классах призваны развивать стержневые познавательные интересы и творческие способности учащихся в области определенной науки, готовить их к практической деятельности, влиять на раскрытие способностей и склонностей школьников, развивать навыки самостоятельной работы учащихся с научно-популярной, справочной и научной литературой.
Также на данном этапе необходимо усиление воспитательного воздействия обучения, особенно по линии выработки научного мировоззрения, развития логического мышления и творческих способностей [88, с.28].
Развитие познавательного интереса у учащихся, посещающих факультативные занятия по математике, помогает естественным образом углублять материал обязательного курса. В связи с чем, появляется возможность придать большую законченность курсу школьной математики, показать его связи с большой наукой, показать перспективы курса и направления развития его содержания, показать, что углубленное изучение математических теорий ведет к богатым и разнообразным приложениям.
Таким образом, объективная потребность во всестороннем развитии личности подкрепляется в старшем школьном возрасте субъективными факторами развития учащихся. Это создает необходимые и благоприятные предпосылки для решения задачи становления и развития творческой личности и через систему школьных факультативов.
Следует отметить, что среди факультативных курсов по математике геометрические факультативы в старших классах средней школы по своему содержанию отличаются богатством возможных направлений, важных для достижения образовательных, воспитательных и развивающих целей.
На одном из таких возможных направлений, посвященных развитию идеи симметрии, мы и решили остановить свой выбор. Наш факультативный курс называется «Инварианты групп симметрии некоторых многогранников».
Целесообразность данного выбора обусловлена тем, что на примере многогранников можно в достаточно доступной форме изучить с учащимися некоторые вопросы из теории групп, которая является одной из самых плодотворных математических теорий, продолжающей бурно развиваться. Наиболее наглядными иллюстрациями понятия группы являются группы движений, которые, к тому же, ведут к многочисленным приложениям.
Значение теории групп в современной математической науке и ее приложениях определяет значение и место элементов теории групп в программе факультативного курса по математике в средних школах: программа факультатива предусматривает более глубокое овладение рядом специальных понятий, которые в основном курсе математики либо совсем не изучаются, либо изучаются, но в недостаточно полном объеме, не связанном определенной системой. Разработанная нами программа факультатива предполагает, также, знакомство учащихся с группами симметрии некоторых многогранников.
Изучение прикладных вопросов групп симметрии позволяет сделать более полным важный в отношении задач профессионального самоопределения соответствующий раздел факультатива и усилить прикладную, практическую направленность содержания математического образования школьников.
Формирование у учащихся представления о группе занимает важное место в школьном курсе математики, но входит в него в неявном виде (числовые группы и группы движений). Изучение приложений групп симметрии на факультативных занятиях имеет большое методологическое значение, так как дает возможность учащимся взглянуть с единой точки зрения на самые различные явления природы и производства и, тем самым, предохраняет учащихся от «кусочности» в знаниях.
Наряду с теорией групп богатые возможности для решения, как общих образовательных задач, так и задач воспитания и развития учащихся заключают в себе вопросы, связанные с изучением многогранников.
Данная тематика имеет яркую историю; развитую теорию; широкие практические приложения, в частности, в естествознании - в кристаллографии. Тема отличается занимательностью, математической красотой, высоким эстетическим потенциалом [117].
Анализ состояния математических факультативов в школах показал, что там, где они проводятся, к сожалению, не обращается должного внимания прикладной и практической направленности материала факультатива; учителя школ отмечают, что они испытывают трудности в проведении факультативных занятий, так как не имеют разработок факультативов прикладного характера, в основе которых лежат фундаментальные математические теории, например, теория групп.
В настоящее время выполнен ряд научных исследований по общим вопросам содержания, организации и проведения факультативных занятий.
Среди них математическим факультативам посвящены работы Н.В.Аммосовой [7], Л.С.Атанасяна [5], Ашкын Суата [6], С.В.Бабаджаняна [8], Н.Н.Ивановой [52], И.Кадырова [54], М.С.Маскиной [83], В.М.Монахова [88], И.И.Позднякова [98], М.Е.Сангаловой [111], И.М.Смирновой [117], В.Д.Степанова [120], И.Ф.Шарыгина [132], В.В.Фирсова, О.А.Боковнева, С.И.Шварцбурда [128] и др.
Они отмечают, что факультативные занятия служат не только приобщению большого числа учащихся к углубленному изучению математики, но и важным средством индивидуализации обучения.
Без факультативных занятий трудно осуществить всемерное удовлетворение и развитие духовных запросов, интересов и способностей каждого школьника в отдельности.
Содержание и методика проведения факультативных занятий должна привлекать учащихся, что обеспечивается включением в программу факультативов тем, имеющих большое общеобразовательное и прикладное значение [128, с.З].
В.М.Монахов рассмотрел проблемы и перспективы дальнейшего развития факультативных занятий в школе, отметив, что учащиеся должны иметь возможность использовать прикладную направленность изучаемого материала и, что усваиваемый учащимися математический аппарат должен обладать повышенной степенью операционности [88].
Некоторые исследования, посвященные конкретным факультативам, рассматривают математические факультативы по углубленному изучению отдельных разделов математики, в частности, теоретико-групповых, например, работы Г.А.Гинзбург [30], Ф.М.Рафиковой [105], Г.М.Бычковой [20], И.А. Барыбиной [12], Н.Н.Ивановой [52]. Другие исследования посвящены математическим факультативам прикладного характера, например, теории вероятностей (В.В.Фирсов [127]), по осуществлению межредметных связей дисциплин естественно-математического цикла с помощью изучения векторов (С.В.Бабаджанян [8]), применение движений и групп движений в системе факультативов по математике (И.М.Смирнова [117], Н.В.Аммосова [7]), обучение элементам топологии (М.Е.Сангалова [111]), использование компьютерных технологий на математическом факультативе (Ашкын Суат [6]).
Схема настоящего исследования и подбор задач отличаются от схем и задач других авторов тем, что в данной работе описывается факультатив, способствующий формированию знаний, умений и навыков, адекватных основным научно-методическим линиям, понятийному аппарату теории и методики обучения математике: теории движений, теории симметрии, теории групп симметрии и их инвариантов; с другой стороны, разработанный факультатив призван помогать решению актуальных задач, стоящих перед школой, - формированию качеств всесторонне развитой личности.
Анализ выполненных исследований в связи с вопросом разработки содержания и методики проведения факультативных занятий, способствующих формированию познавательного интереса у учащихся, позволяет нам сделать следующие выводы: 1) все работы, базирующиеся на теоретико-групповых идеях, в основном, не ставили своей непосредственной целью выявление прикладной направленности рассматриваемого материала, возможностей обучения учащихся математической постановке практических задач; 2) содержание, предлагаемых авторами, факультативов состоит, в основном, из арифметического или алгебраического материала [96], [20]; геометрический материал в большинстве своем рассматривается на базе планиметрии для учащихся старших классов [51], тогда как привлечение пространственного материала чрезвычайно важно для развития пространственного мышления учащихся старших классов; 3) ни в одной работе не рассматриваются содержание и методика проведения факультативного курса по математике, посвященного изучению вопросов из теории групп с дальнейшим выходом на теорию инвариантов.
Все вышесказанное обусловливает актуальность проблемы разработки содержания и методики проведения факультативного курса по данной тематике в школе, способствующего повышению качества знаний учащихся, развивающего познавательный интерес у учащихся к математике, а также, их профессиональной ориентации.
Цель исследования заключается в разработке программы, теоретического и практического содержания, а также методического обеспечения факультативного курса, ориентированного на формирование у старшеклассников умений выделять инвариантно-структурные образы в исследуемой проблемной ситуации, организовывать самостоятельную исследовательскую деятельность, проявлять активность в поиске оригинальных решений математических задач.
Объектом исследования является процесс обучения геометрии в старших классах с углубленным изучением математики, а его предметом — методическая система, включающая цели, содержание, средства, методы и формы развития у старшеклассников математического мышления.
Гипотеза исследования: если в основу развития математического мышления учащихся классов с углубленным изучением математики положить идеи теоретико-группового подхода и идеи симметрии, то это приведет к формированию и развитию у школьников представлений о сущности и происхождении математических абстракций, о месте математики в системе наук, формированию научного мировоззрения, а также, формированию пространственного мышления, развитию логической и эвристической составляющих математического мышления школьников, повышению качества их знаний, навыков и умений.
Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:
Выполнить анализ существующих подходов к введению элементов теории групп в школьный курс математики.
Исследовать возможности школьного курса математики для развития пространственных представлений учащихся.
Изучить состояние использования математических факультативов, в основу которых положены идеи теоретико-группового подхода, и исследовать возможные пути к организации учебного процесса в старшей школе на основе использования идей теории инвариантов.
Разработать факультативный курс, посредством которого реализуются идеи теоретико-группового подхода в обучении геометрии с дальнейшим выходом на теорию инвариантов.
Экспериментально проверить эффективность разработанной методической системы.
Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования: изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования; сравнительный анализ программ, учебников и учебных пособий для общеобразовательных школ и школ (классов) с углубленным изучением математики; беседы с учителями о состоянии преподавания факультативных занятий в школе и о возможности проведения разработанного факультатива в старших классах с углубленным изучением математики; выяснение знаний учащихся о преобразованиях пространства, симметриях многогранников и о желании посещать фа культативные занятия, на которых они познакомятся с элементами теории инвариантов; проведение эксперимента по проверке методических положений работы, статистические методы обработки его результатов.
Методологической основой исследования явились: структура личности и закономерности ее развития; концепции межпредметной и внутрипред-метной интеграции; основные положения теории деятельностного подхода в обучении математике (Ю.В.Варданян, В.А.Гусев, С.Н.Дорофеев, И.В.Егорченко, Т.А.Иванова, Л.С.Капкаева, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, А.Г.Мордкович, Г.И.Саранцев и др.).
Исследование проводилось поэтапно.
На первом этапе осуществлялось изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме исследования, изучалось состояние исследуемой проблемы в школьной практике.
На втором этапе разрабатывались теоретические основы организации факультативного курса «Инварианты групп симметрии некоторых многогранников»; создавалось соответствующее методическое обеспечение этого курса; были определены содержание и формы самостоятельной работы у учащихся в процессе овладения знаниями по теории групп и теории инвариантов.
На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики. Полученные результаты проанализированы и обработаны средствами математической статистики.
Научная новизна выполненного исследования заключается в том, что проблема разработки теоретического и практического содержания, а также методики изучения факультативного курса «Инварианты групп симметрии некоторых многогранников» решается на принципиально новой основе, которую составляют идеи теоретико-группового подхода; разработан новый подход к интеграции алгебраического и геометрического методов в обучении старшеклассников; в процессе формирования практического содержания фа культативного курса выявлена позитивная роль приема пространства состояний в оценке дидактической сложности математических задач.
Теоретическая значимость исследования заключается в выявлении роли теоретико-групповых представлений в математическом образовании школьников, исследовании роли факультативного курса «Инварианты групп симметрии некоторых многогранников» при формировании целостных представления о пространственных фигурах на современном этапе развития образования, определении значимости факультативного курса в развитии логического, наглядно-образного и аналитического мышления старшеклассников, в выделении действий и приемов, позволяющих школьникам усвоенные на факультативе знания, умения и навыки использовать в самостоятельной деятельности.
Практическая значимость результатов исследования заключается в вооружении педагогов эффективным методическим обеспечением, на основе использования которого в практике школьной учебной деятельности у учащихся формируются представления о теоретико-групповых основах математических теорий, сущности и происхождении математических абстракций, о месте математики в системе наук.
На защиту выносятся следующие положения:
Реализация в процессе обучения математике принципа фундамента-лизации образования предполагает необходимость формирования у учащихся представлений о базовых, фундаментальных основах математики: математических структурах, теоретико-групповых основах математических теорий.
Осуществление комплексного подхода, в основу которого положены идеи теоретико-группового подхода к изучению школьниками инвариантов групп симметрии многогранников, включающего целевой, содержательный и методический компоненты, и раскрывающего факторы, оказывающие наиболее существенное влияние на его реализацию в ходе учебного процесса, способствует достижению основных целей математического образования: формированию и развитию у школьников представлений о сущности и происхо ждении математических абстракций, о соотношении реального и идеального, о месте математики в системе наук, а также, соответственно, содействует формированию естественно научной картины современного мира, научного мировоззрения.
Исследовательская деятельность учащихся, осуществляемая посредством реализации в процессе обучения факультативного курса «Инварианты групп симметрии некоторых многогранников» способствует формированию пространственного мышления и развитию логической и эвристической составляющих математического мышления школьников.
Внедрение в учебный процесс методики изучения специального факультативного курса, включающего: свойства движений пространства, историю правильных многофанников, приложения теории многофанников к изучению кристаллов, симметрии правильных многофанников, построение моделей фупп вращений некоторых многофанников способствует повышению качества математических знаний, навыков и умений учащихся старших классов.
Обоснованность и достоверность полученных результатов и выводов обеспечиваются опорой на теорию развития личности, психологию развития мышления, учетом современных достижений в практике методики обучения математике, а также результатами проведенного эксперимента.
Апробация основных положений и результатов настоящего исследования проводилась в форме докладов и выступлений на заседаниях научно-методического семинара кафедры методики преподавания математики Пензенского государственного педагогического университета им. В.Г.Белинского (1999-2002гг.); на внутривузовской научно-методической конференции (ПГПУ им. В.Г.Белинского - февраль 2001г., март, 2002г.); на заседании научно-методического семинара «Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания в вузе и школе» (Пензенский государственный университет - октябрь 2002г., декабрь 2004г.); на заседании методического семинара «Инновационные технологии обучения математике (Пен зенская государственная технологическая академия - апрель 2005г.); на заседании научно-методического семинара кафедры геометрии Московского государственного областного университета (апрель 2005г.); на заседании научно-методического семинара кафедры методики преподавания математики Мордовского государственного педагогического института им. М.Е.Евсевьева (май 2005г.).
Внедрение результатов диссертационного исследования осуществлялось в ходе экспериментальной проверки разработанного методического обеспечения курса «Инварианты групп симметрии некоторых многогранников» на факультативных занятиях в классах с углубленным изучением математики средней школе № 27 г.Пензы.
Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Она состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 174с.
Психолого-педагогические предпосылки изучения факультативного курса по математике в средней школе для учащихся старших классов
Факультативные занятия по математике составляют неотъемлемую часть учебно-воспитательного процесса обучения математике, сложного процесса воздействия на сознание и поведение школьников, углубления и расширения их знаний и навыков.
Известно, что одной из задач математического факультатива является систематическое воспитание интереса учащихся к математике и ее приложениям, раскрытия перед ними огромных возможностей науки в познании закономерностей окружающего мира. Следует отметить, что недооценка в прошлом воспитательных аспектов обучения, отведение им второстепенной роли существенным образом сказывалось не только на воспитании и развитии подрастающего поколения, но и на самом образовании, качестве усвоения знаний, выработке необходимых умений и навыков.
Практика работы школы показала невозможность решения образовательных задач обучения в отрыве от воспитания и развития школьников и, наоборот, невозможность воспитания и развития в отрыве от процесса обучения.
Таким образом, целью обучения на современном этапе развития образования должно быть становление каждого обучаемого как личности, и как особая цель в общей системе целей формирования личности - усвоение знаний, умений и навыков, т.к. формирование всесторонне развитой личности предполагает обобщение ее системой научных, нравственных, эстетических знаний, умений и навыков. Современное образовательное пространство, в качестве одной из главных целей, ставит и решает задачи, связанные с воспитанием личности (так как на основе этих знаний могут и должны формиро 16 ваться у старшеклассников убеждения, взгляды, мировоззрение, нравственные и другие личностные качества).
Единство обучения, воспитания и развития является важнейшим фактором в решении задачи формирования всесторонне развитой личности. Это единство составляет суть комплексного подхода к обучению, разработанного в трудах советских педагогов и психологов (Ю.К.Бабанский [9],[10]; М.М.Поташник, М.В.Кабатченко [102]; Г.Л.Смирнов [116] и др.).
Так в работах Ю.К.Бабанского, комплексный подход рассмотрен в качестве способа оптимизации учебно-воспитательного процесса в школе, особо отмечается, что комплексный подход к планированию учебного процесса предполагает формирование у школьников мировоззрения, трудового, нравственного, эстетического и физического воспитания.
Г.Л.Смирновым были разработаны основные структурные элементы комплексного подхода, которыми являются: 1) единство цели, задач, содержания, форм и методов работы; 2) единство воздействия на сознание, чувства и поведение школьника; 3) целенаправленная организация всех сфер деятельности, единство обучения, воспитания и развития; 4) единство воспитания и самовоспитания; 5) организационное обеспечение комплексного подхода.
Однако не следует думать, что комплексный подход, требование единства обучения, воспитания и развития относится только ко всему процессу обучения и не относится к каждому отдельному предмету, т.е. вклад в процесс воспитания и развития учащихся для разных предметов является существенно различным.
Так, например, история отвечает за формирование мировоззрения, литература - за эстетическое и нравственное воспитание, математика — за развитие логического мышления и т.д. Исследования показывают, что каждый школьный предмет, хотя и обладает своими специфическими особенностями, имеет все возможности для достаточно полного решения задач воспитания и развития школьников. Причем, большими возможностями для воспитания и развития школьников обладают не только предметы гуманитарного цикла, но и математика и, в частности, геометрия.
О большом воспитательном значении математики говорят многие крупные ученые - математики. Так, А.Д.Александров, рассматривая задачи обучения геометрии, указывает, что «преподавание геометрии должно включать три тесно связанных, но вместе с тем и противоположных элемента: логику, наглядное представление, применение к реальным вещам. Этот «треугольник» составляет, можно сказать, душу преподавания геометрии.
Задача преподавания геометрии - развить у учащихся соответствующие три качества: пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление» [1, с.57].
Как видно из трудов известных психологов и педагогов С.Л.Рубинштейна [106], Л.И.Божович [15], П.Я.Гальперина [28], Н.А.Менчинской [86], Н.Ф.Талызиной [121], склонность к творческой деятельности у учащихся возникает, развивается и укрепляется при условии, если этот вид работы удовлетворяет их познавательный интерес, углубляет знания, развивает их познавательные способности и познавательную активность, если учащиеся видят возможность исследования получаемых знаний.
Рассматривая вопрос о развитии математического творчества учащихся, В.Б.Гнеденко в статье «О математическом творчестве» пишет: «Способность к математическому творчеству встречается не так редко, как кажется многим. Только это творчество проявляется по-разному, одни находят обобщение ранее полученных результатов и тем самым расширяют поле их приложений, другие находят новые объекты для исследования, третьи -решения глубоких прикладных проблем.
Поэтому при развитии творческих способностей учащихся необходимо принимать во внимание многообразие форм и индивидуальных особенностей творчества и не пропускать ни одну из них, так как отсутствие у ученика од 18 ной какой-то формы еще не означает, что он лишен математических способностей» [31,с.96].
Рассматривая факультативные занятия по математике как сложный процесс расширения знаний и навыков у учащихся, а также, прививания у них интереса к математике, нельзя не сказать о природе самой математики.
В статье В.Г.Болтянского «Математическая культура и эстетика» говорится о том, что математика, в частности геометрия, обладает богатыми возможностями для воспитания у учащихся эстетического чувства красоты в самом широком значении этого слова. Красота геометрии заключается в ее проявлениях в живой природе, архитектуре, живописи, строительстве и т.д., а также в оригинальных, нестандартных доказательствах, выводах, решениях [16].
Структура и методические особенности факультативного курса «Инварианты групп симметрии некоторых многогранников»
При разработке программы данного факультативного курса мы исходили из исторического пути развития теории инвариантов; теории единства обучения, воспитания и развития учащихся; возрастных особенностей учащихся старших классов; результатов педагогического эксперимента.
Из всего многообразия вопросов, связанных с многогранниками необходимо было выбрать те, которые наиболее важны для обобщения и систематизации знаний учащихся по данной теме основного курса геометрии, важны для показа и понимания приложений теории инвариантов, имеют наибольшее значение для воспитания и развития учащихся.
С древних времен многогранники привлекали внимание многих выдающихся людей своей эпохи. Не случайно древние египтяне строили гробницы выдающихся людей в форме правильных четырехугольных пирамид, Такое внимание к многогранникам породило ряд задач связанных с вычислением различных элементов многогранников, площадей их поверхностей и объемов.
Усиленный интерес к многогранникам как объекту исследований был проявлен в конце 19-го - начале 20-го веков.
В России известный математик и кристаллограф Евграф Степанович Федоров (1853-1919) заинтересовался многогранниками, в связи с тем, что изучаемые им природные минералы в своем кристаллическом строении по форме имеют вид многогранника. Так, например, кристаллы льда и горного хрусталя напоминают отточенный с двух сторон карандаш, т.е. шестиугольную призму, на основания которой поставлены шестиугольные пирамиды; кристаллы поваренной соли имеют форму куба, который, как известно, имеет нетривиальную группу симметрии.
Е.С. Федоровым было доказано, что все минералы в кристаллическом строении имеют форму многогранника, допускающего нетривиальную группу симметрии. Используя этот факт, он классифицировал все кристаллические решетки по их группам симметрии.
Многие многогранники, прежде всего рассмотренные на факультативном занятии — правильные, формы которых принимают природные многогранники - кристаллы, снежинки, имеют очень красивые формы.
Среди элементов симметрии многогранников и кристаллов выделяют следующие: плоскости симметрии, оси симметрии и центр симметрии. Кроме того, возможны и другие, так называемые комбинированные элементы симметрии, которые получаются композицией основных симметрии. Полный набор всех элементов симметрии кристалла образует группу. Каждый кристалл характеризуется своей группой симметрии, что и было доказано Е.С.Федоровым.
Е.С.Федорову принадлежат два крупных открытия: учение о паралле-лоэдрах и вывод 230 пространственных групп симметрии. Эти результаты изложены ученым в трех важнейших монографиях [124]-[126]: «Начала учения о фигурах», «Симметрия правильных систем фигур», «Деление плоскости и пространства».
Первая названная книга занимает в научном наследии Федорова исключительное положение. В этом труде заложены основные достижения по геометрической кристаллографии. Здесь содержится учение об открытых и сомкнутых фигурах (т.е. неограниченных и ограниченных).
Ученый вводит свои термины, не принятые в теории многогранников, например, он замечает, что термин «многогранный угол» неудобен, из-за своей «длинноты», и заменяет его своим - «гоноэдр», треугольную пирамиду называет сфеноид и многие другие, которые прочно вошли в кристаллографию.
Дается определение многогранного угла (гоноэдра), трехгранного угла, рассматриваются его свойства, признаки равенства, различные типы многогранных углов, способ их измерения. Второй раздел книги посвящен многогранникам. В основу изложения автор кладет понятия типического и подтипического многогранника, (типическим многогранником, соответствующем данному, называется такой, который получится, если из центра произвольно помещенного в пространстве шара с произвольным радиусом провести прямые, перпендикулярные ко всем граням данного многогранника, и в точках их пересечения с шаровой поверхностью провести к шару касательные плоскости до взаимного пересечения [124, с.79].
Подтипическим многогранником называется многогранник, двойственный типическому). Вводятся важные понятия изоэдра и изогона. (Изоэдр - многогранник, у которого все грани симметричны или равны между собой. Изогон - многогранник, у которого все многогранные углы равны или симметричны). Дается полный вывод всех возможных изогонов и изоэдров.
Третий раздел книги посвящен разбору учения о симметрии в приложении к пространственным фигурам. Здесь помещен оригинальный вывод всех возможных видов симметрии конечных фигур. Как частные случаи, представлены все 32 вида симметрии, свойственные кристаллическим многогранникам.
В четвертом разделе книги излагается учение о заполнении плоскости и пространства соответственно параллелогонами и параллелоэдрами.
Это учение послужило основой дальнейшей разработки классификации кристаллов. Параллелоэдром называется выпуклый многогранник, обладающий тем свойством, что прикладывая его экземпляры друг к другу, в параллельном расположении по целым граням, можно заполнить без промежутков все пространство.
Устанавливается, что существует четыре типа таких многогранников, а именно: куб, шестиугольная призма, ромбододекаэдр и кубооктаэдр. Это учение о заполнении пространства параллелоэдрами впоследствии было положено Федоровым в основу его теории структуры кристаллов. В 1890 году Е.С.Федоров строго математически вывел все возможные геометрические законы сочетания элементов симметрии в кристаллический структурах, иначе говоря, симметрии расположения частиц внутри кристаллов. Оказалось, что число таких законов ограничено.
Федоров показал, что имеется 230 пространственных групп симметрии, которые впоследствии, в честь ученого, были названы федоровскими. Вывод 230 пространственных групп дан во второй названной работе. Это был исполинский труд, предпринятый за 10 лет до открытия рентгеновских лучей, за 27 лет до того, как с их помощью доказали существование самой кристаллической решетки. Существование 230 федоровских групп является одним из важнейших геометрических законов современной структурной кристаллографии.
«Гигантский научный подвиг Е.С.Федорова, сумевшего подвести под единую геометрическую схему весь природный «хаос» бесчисленных кристаллообразований, и сейчас вызывает восхищение. «Царство кристаллов» является незыблемым памятником и конечной вершиной классической федоровской кристаллографии» [124, с.230].
Содержание и формы проведения факультативной темы «Инварианты групп симметрии некоторых многогранников»
В этой главе мы подробно рассмотрим теоретические вопросы организации вышеназванного факультативного курса.
В 1, с.28 были выделены общие вопросы, входящие в методическое обеспечение проведения факультативной темы с учащимися старших классов с углубленным изучением математики. Конкретизируем их для факультативной темы «Инварианты групп симметрии некоторых многогранников».
Программа темы приведена нами на с.51-53. Темы, вошедших в нее занятий, наиболее важны и интересны для воспитания и развития учащихся. Содержание каждого занятия представляет собой законченные темы, связанные между собой и органично переходящие друг в друга.
В формы проведения факультативных занятий были включены: лекции, семинары, практические работы.
Небольшие (не более получаса) лекции предусматривались на каждом занятии, т.к. одной из задач проведения факультативных занятий была научить учащихся слушать объяснения учителя, уметь выделять главное, вести конспективные записи.
На первой лекции учащимся был дан подробный ее план, при чтении выделен каждый его пункт. Наиболее важные определения были продиктованы и выписаны на доске. В дальнейшем учащиеся самостоятельно начали составлять краткие планы-конспекты.
Лекции носили в основном проблемный характер, что соответствовало направлению данного факультатива.
В виде семинара проводилось последнее итоговое занятие. На нем обсуждались основные вопросы темы с целью их повторения и систематизации, обобщения того, что сделано по основным ключевым направлениям, т.е. внутри и межпредметным связям темы «Инварианты групп симметрии некоторых многогранников», ее связью с современностью, прикладным аспектам, основным вопросам истории возникновения и развития теории инвариантов.
На занятии были подведены общие итоги, отмечены наиболее удачные сообщения учащихся, доклады, решения задач, выделены лучшие рефераты. Важной частью любой исследовательской работы является самостоятельная работа учащихся с учебной литературой.
На факультативных занятиях открываются широкие возможности для ознакомления учащихся с научно-популярной литературой по математике. В список научно-популярной литературы по данной теме были включены, в частности, журналы «Квант» и «Математика в школе».
Основные доклады по изучаемой теме были распределены между участниками факультативной группы на первом занятии.
Были предусмотрены доклады о жизни и творчестве Архимеда, Л.Эйлера, Е.С.Федорова, Ф.Клейна; об изучении теории многогранников Л. да Винчи, И.Кеплером; об истории правильных многогранников. Доклад учащегося был одним из этапов его подготовки реферата.
Список рефератов для исследовательской работы учащихся включил в себя следующие темы:
- Свойства движений пространства.
- История правильных многогранников.
- Приложение теории многогранников к изучению кристаллов.
- Симметрия правильных многогранников.
- Построение моделей группы вращений некоторых многогранников. Работа по реферату проводилась по следующему плану:
1) Выбор темы. Здесь были учтены индивидуальные особенности интересов и мышления учащихся, чтобы каждый работал с увлечением.
2) Подбор литературы (мы предлагали темы с уже готовым списком литературы). 3) Составление плана реферата и его обсуждение с учителем.
4) Обсуждение первого варианта работы, возможно, выступление с докладом по данной теме на одном факультативном занятии.
5) Оформление окончательного варианта реферата.
6) Защита и оценка реферата.
Этап защиты реферата является важным и полезным для учащихся.
Вообще все индивидуальные задания - короткие сообщения, доклады, решения задач - требуют коллективного обсуждения, которое помогает с одной стороны, критически воспринимать свой труд, а с другой - учит свободному общению, обсуждению результатов своего исследования, умению отстоять свою точку зрения.
Кроме этого, такие обсуждения способствуют убеждению учащихся в своих силах, творческих способностях, в том, что они могут решить любую поставленную на занятии проблему, затратив на это определенный труд.
Важен эмоциональный настрой на факультативные занятия, зарождение коллективного творчества.
