Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методологические аспекты изучения темы «Площадь» в 3-9 классах
1.1. Элементы историзма в изучении темы «Площадь» 14
1.2. Анализ состояния изучения темы «Площадь» в школьном курсе математики 21
1.3. Психолого-педагогические и методические аспекты изучения темы «Площадь» 34
Выводы по главе 1 48
Глава 2. Методика изучения темы «Площадь» в III-IX классах
2.1. Пропедевтическая подготовкак изучениютемы «Площадь» 50
2.2. Методика изучения темы «Площадь» 78
2.3. Методика решения задач на вычисление величины площади 117
2.4. Результаты педагогического эксперимента 125
Выводы по главе 2 138
Заключение 140
Литература 141
Приложение 155
- Элементы историзма в изучении темы «Площадь»
- Психолого-педагогические и методические аспекты изучения темы «Площадь»
- Пропедевтическая подготовкак изучениютемы «Площадь»
Введение к работе
«Гуманистические мировоззренческие ориентиры современной цивилизации выдвигают и определяют в качестве важнейших средств решения проблем человечества «компетентность и добрую волю, базирующиеся на знании и общечеловеческих ценностях». Эти тенденции развития общества находят отражение и в школьном образовании: в настоящее время пути обновления школы в основном связываются с идеями личностно - ориентированной педагогики» [109,с.З]
Современную школу отличает гуманизация образования, усиление внимания к ученику, к его саморазвитию. В последнее время все большее признание получает развивающее обучение, которое формирует по существу одну цель, состоящую в том, что «обучение должно вести к умственному, нравственному и физическому развитию учащегося» [44,с.4]
Многими достижениями современная эпоха обязана уровню развития математического знания, поэтому на рубеже веков школьное математическое образование находится в центре внимания специалистов разного профиля. При этом, в психолого- педагогических исследованиях подчеркивается, что современная методика обучения математике формируется не только под влиянием развития самой математики, но и под воздействием современных исследований о человеке в его целостности и неповторимой индивидуальности.
Геометрическое образование как отдельное направление математического образования обладает самостоятельной ценностью не только с точки зрения развития и обогащения математического знания, но и с позиции гуманизации образования. Это объясняется тем, что именно геометрический материал позволяет обеспечить более гармоничную и синхронную мыслительную деятельность школьников, что особенно важно на начальном этапе обучения математике. Поэтому в последнее время многие отечественные ученые (А.Д. Александров, Г.Д. Глейзер, В.М. Тихомиров, И Ф. Шарыгин и др.) стремились создать свои оригинальные концепции обучения геометрии в школе,
4 учитывающие не только специфику предмета и метода геометрии, но и содержащие тот или иной ответ на возможность психического развития детей средствами геометрии. «Сейчас, - подчеркивает В.А.Гусев,- все понимают, что без учета психологических закономерностей развития личности школьника добиться успехов в обучении математике невозможно» [35, с.5 ]
В настоящее время поиском новых моделей обучения геометрии занимаются многие исследователи, связывая решение методических проблем с некоторыми положениями и закономерностями педагогической психологии. Это привело к созданию новых систематических и пропедевтических курсов геометрии, авторами которых являются В.А. Гусев, Г.А.Клековкин, В.А. Панчищина, B.C. Подходова, И.М. Смирнова и В.А. Смирнов, Т.Г. Ходот, И.Ф. Шарыгин и Л.Н. Ерганжиева и др.
Очевидно, что в процессе формирования геометрического знания школьников на разных этапах обучения возникают задачи, которые различаются полнотой познавательной информации как логической, так и образной. При этом отсутствие или недостаток фактического материала создает проблемные ситуации, неопределенность которых заставляет включаться в процесс решения задачи на воображение. Воображение помогает объединить в учебной деятельности абстрактные понятия и чувственно - наглядные элементы, отличающие и характеризующие геометрическое знание. «... В существе своем геометрия и есть не что иное, как органическое соединение строгой логики с наглядным представлением, пронизанное и организованное строгой логикой, оживленной наглядным представлением. Там, где пет одной из этих сторон, нет и подлинной геометрии», - так характеризует ее один из выдающихся отечественных математиков А.Д. Александров [2,стр. 282 ], поэтому «в школьном обучении основная методическая проблема определяется соотношением интуитивно - наглядного и логического» [139, с.3-4].
В современной концепции математического образования отмечается, что на современном этапе «изучение геометрии подвергается весьма существен-
ному пересмотру, предлагается отказаться от строго дедуктивного построения курса, усилив внимание к его наглядно - эмпирическому аспекту. При этом овладение пространственными формами должно проходить непрерывно, начиная с первых лет обучения» [ 63, с.16].
В концепции развития школьного математического образования подчеркивается, что «в настоящее время одной из важнейших целей обучения математике в школе является интеллектуальное развитие учащихся, включающее в себя способность человека к усвоению новых знаний. Ориентация на личность ученика выдвигает как одну из тенденций в направлении разработки эффективной методики преподавания математики перенос акцентов с обучения математическим фактам на формирование умения анализировать, продуцировать и использовать информацию». [96, с.З]
Особое внимание в настоящее время уделяется пересмотру содержания школьного математического образования (Арнольд, В.А.Садовничий, В.А.Гусев, Г.В.Дорофеев, Манвелов СП, Мехтиев М.Г., Шихалиев Х.Ш., И.Ф.Шарыгин, Г.Д.Глейзер, Э.Г.Гельфман и др.). В частности, по мнению В.С.Подходовой, «Наука стремится стать человечнее, ...что выражается во все более частом использовании образов, живых метафор, ... делающих понятия видными... Эти изменения в науке должны найти отражение и в образовании» [116, с.177]
Во многих работах [20,21,22, 27, 40, 50, 52,54, 63, 98, 99, 100, 101, 112,
116, 131, 144, 160] подчеркивается, что обучение математике в школе долж
но учитывать специфику не только логического, но и образного мышления
учащихся. Исследователи (Л.Л.Гурова, Е.Н.Кабанова - Меллер,
И.Я.Каплунович, М.С.Шехтер, И.С.Якиманская) приводят данные, свидетельствующие о том, что несоответствие методики обучения особенностям мышления может снизить ее эффективность.
«Учащиеся начальных классов довольно нелегко овладевают знаниями, связанными с геометрическим материалом. Изучение геометрии на начальной ступени математического образования позволяет познакомить детей с
существенной, по сравнению с арифметикой, стороной математического способа познания окружающего мира, а разнообразие геометрических форм и методов познания способствует возможности показать эстетическую сторону математики, в которой красота и гармония часто служат первым критерием истинности. Между арифметикой и геометрией существует очевидное различие, по крайней мере в тех разделах, которые изучаются в школе и служат важной составляющей общего образования. Арифметика есть наука о дискретном, а геометрия - наука о непрерывной протяженности. Это определяет как различия познавательной деятельности в процессе их изучения, так и особенности арифметического и геометрического мышления.
Так как основное содержание начального математического образования традиционно составляла арифметика, главной целью изучения которой было формирование вычислительных навыков и умения решать различные типовые арифметические задачи, большинство учащихся испытывают трудности в работе с элементами геометрии, будучи малоподготовленными к их восприятию.» [154, с.4-5]
В геометрии изучаются объекты окружающего мира, идеализированные в простых и наглядных понятиях, что способствует развитию пространственного воображения и логического мышления. Именно поэтому в геометрии заложены потенциальные возможности воспитывать в ребенке интеллектуальные качества личности.
«Геометрия, являясь феноменом общечеловеческой культуры, отличается собственным методом познания мира, а геометрическая деятельность и философски и онтогенетически есть первичная интеллектуальная деятельность. Геометрическое мышление в своей основе есть мышление образное, чувственное, физиологически связанное с субдоминантным полушарием головного мозга. Только по мере развития геометрического мышления происходит возрастание логической составляющей и соответственно роли левого полушария. Для детей преимущественным развитием правого полушария изуче-
7 ниє геометрии, особенно в возрасте 8 -12 лет, исключительно важно в прямом физиологическом смысле.
Одной из важнейших педагогических проблем обучения геометрии является разрешение противоречия между первичностью пространственных форм с точки зрения процесса познания мира и абстрактностью плоских фигур в традиционной логике построения геометрических курсов, развивающихся от плоской к пространственной геометрии. Еще Н.И. Лобачевский указывал на необходимость обучения геометрии на принципе фузионизма, то есть на взаимопроникновении стереометрии и планиметрии. Разные его реализации в начальном обучении геометрии предлагаются Шарыгиным И.Ф. и Шарыги-ной Т.Г. в рабочей тетради по геометрии для 2-го класса [156]; Е.Знаменской в рабочей тетради по геометрии для младших школьников [52] , В.А. Гусевым [34]
В концепции И.Ф.Шарыгина предлагается разделить школьное обучение геометрии на три этапа. «Первый - широкая геометризация всего изучаемого материала при приоритетности пространственных форм (1-6 классы), второй - систематический курс геометрии, частично фузионистский (7-9 классы). На последнем (10-1 Іклассьі) множественные курсы, программы которых определяются целями и потребностями соответствующих категорий школьников, имеющих ясные профориентационные цели.» [156, с5].
Для успешного усвоения геометрического материала, подчеркивает Шадрина И.В., необходим достаточно высокий уровень развития логической культуры. Учащимся «очень трудно дается даже умение держать нить рассуждения, не говоря уже о том, чтобы освоить такие приемы, как абстрагирование или обобщение» [154, с.34-38] .
В исследовании Магомеддибировой ЗА. подчеркивается, что некоторые ученики пе могут самостоятельно сформулировать утверждение, вытекающее из приведенных ранее рассуждений. Учащиеся не умеют анализировать заданный рисунок к задаче. «К концу 5 класса отдельные учащиеся не умеют пользоваться формулами для вычисления периметра и площади прямоуголь-
8 ника (квадрата), продолжают путать единицы длины и площади, периметр и площадь, затрудняются сравнить площади фигур, выполнять измерения и построения с помощью линейки, циркуля, транспортира, нетвердо знают соотношения между изученными мерами длины, площади» [72, с. 180].
Решение данной проблемы имеет особое значение для дальнейшего совершенствования обучения математике в 5- 9 классах, так как в мышлении именно этой возрастной группы происходит переход от конкретно - образного к абстрактно - логическому. Эта проблема важна при обучении геометрии начиная с самого начального курса обучения математике. Изучение геометрии, базирующейся на воображении и интуиции, с одной стороны, и на логике, с другой стороны, способствует интеллектуальному развитию учащихся, развитию их познавательных интересов.
Немало проблем и в обучении учащихся решению геометрических задач, где заложен развивающий потенциал геометрии.
Несмотря на постоянное внимание к данной проблеме, умения учащихся решать геометрические задачи остаются на невысоком уровне. «Об этом свидетельствует систематическое изучение качества знаний учащихся и результаты вступительных экзаменов в ВУЗы, где каждая задача по геометрии является «камнем преткновения» для учащихся» (исследования Е.Е.Овчинниковой) [35, с.24]. Долгие годы высокое качество геометрической подготовки школьников нашей страны определялось системой обучения, связанной с именем А.П.Киселева, выдающегося педагога, по учебникам которого изучало геометрию не одно поколение российских школьников.
Достоинством учебника была сложившаяся с годами система упражнений, насыщенность собственно эвристическими методами и приемами решения задач, воспитывающими активный творческий подход к изучению геометрии.
Позднейшие реформы школьного математического образования, связанные с алгебраизацией, а также переход на всеобщее среднее образование, фактически свели геометрию к решению вычислительных задач, а освоение
9 учащимися наиболее ценных в эвристическом плане методов решения задач практически выпало из содержания обучения геометрии. В 70-е годы осуществлено введение в курс геометрии векторного метода, но это не решило проблему геометрического образования, потому что он является не собственно геометрическим, а более универсальным.
Преодоление трудностей, испытываемых учащимися при решении геометрических задач, остается актуальной проблемой и в настоящее время.
Вопросы изучения теории площади в школьном курсе подвергались всестороннему анализу многими педагогами и методистами. Было установлено фундаментальное значение этой темы для дальнейшего изучения математики, указывались пути и средства формирования данного понятия.
Методике изучения геометрических величин в средней школе посвящен целый ряд кандидатских диссертаций. Диссертации М.С.Мацкина, В.Н. Шишлянниковой [163] целиком посвящены детальной разработке содержания и методики изложения основных разделов, связанных с измерением геометрических величин. В исследовании А.Ф.Спасского и И.С.Климова [147] разработаны приемы привития учащимся практических навыков измерения: дана методика работы с измерительными инструментами, система практических работ по измерению геометрических величин. Математическое обоснование теории скалярных величин, и в частности геометрических величин, излагается в диссертации К.Ф.Рубина. Наконец, в диссертации З.И.Турлаковои излагается методика изучения в старших классах таких разделов, как «Длина отрезка», «Длина кривой» и «Площадь геометрической фигуры».
С другой стороны, теоретическое обоснование вычисления величины площади и применение площадей в качестве инструмента для решения задач в современной методической литературе исследована недостаточно.
Э.Г. Гогман, И.А. Кушнир, Н.Д. Новиков, В.В. Прасоров, И.Ф. Шары-гин показывают в своих работах методы вычисления площадей, но в них не сформирована теория и система обучения этому методу.
Однако, несмотря па достаточно серьезные исследования в области методики обучения математике, усвоение школьниками темы «Площадь» вызывает определенные трудности. Об этом свидетельствуют опыт работы учителей, систематическое изучение качества знаний учащихся и результаты вступительных экзаменов.
Таким образом, анализ теории и практики предполагает поиск эффективных методов, средств и организационных форм обучения элементам геометрии. Этим обоснована актуальность выбранной темы исследования.
Поэтому в качестве проблемы исследования рассматривается поиск путей совершенствования методики изучения темы «Площадь».
Объект исследования: обучение математике учащихся Ш-ІХ классов.
Предмет исследования: методика изучения площадей геометрических фигур в Ш-ІХ классах.
Цель исследования состоит в разработке альтернативной методики изучения темы «Площадь».
Гипотеза исследования состоит в предположении о том, что если обучение по теме «Площадь» в III-IX классах вести по разработанной нами методике, то это будет способствовать повышению качества математических знаний учащихся.
Задачи исследования: 1) выполнить анализ состояния проблемы исследования в теории и практике обучения математике;
исследовать целесообразность и возможность нового подхода к введению понятия «Площадь»;
разработать методику изучения темы «Площадь». Определить характеристики и диапазон применимости;
выявить и обосновать требования к системе задач на вычисление величины площади;
разработать систему задач и методику ее внедрения в учебный процесс;
6) экспериментально проверить эффективность предложенной методики.
Методологической основой для исследования послужили работы отечественных педагогов и ученых-методистов в области совершенствования методики обучения математике в общеобразовательных учреждениях (Ю.М. Колягин, Н.М. Бескин, Н.Я. Виленкин, В.А. Гусев, М.Г. Мехтиев, Х.Ш. Ши-халиев, Г.И. Саранцев).
Для решения поставленных задач были использованы различные методы исследования:
- изучение психолого-педагогической и научно-методической литера
туры по теме исследования;
изучение опыта работы учителей школ региона, обобщение собственного опыта;
наблюдение за процессом обучения;
анкетирование и опросы учителей, родителей и беседы с учителями и учащимися;
- педагогический эксперимент.
Организация исследования.
Исследование проводилось с 1995 по 2006 годы и включало три этапа.
На первом этапе (1995-1996 гг.) осуществлялся анализ психолого-педагогической, научно-методической литературы по проблеме исследования, проводился констатирующий эксперимент для определения уровня усвоения учащимися Ш-ІХ классов темы «Площадь», проводилось анкетирование учителей, наблюдение за их работой.
На втором этапе (1996-1999 гг.) проводился поисковый эксперимент, уточнялась альтернативная (к существующей) методика изучения темы «Площадь», были разработаны система задач по теме «Площадь» и экспериментальные материалы.
На третьем этапе (1999-2006 гг.) проводился обучающий эксперимент в рамках разработанной методики изучения темы «Площадь». На этом этапе
проверялась надежность и эффективное влияние разработанной и внедренной в учебный процесс методики на формирование более глубокий и прочных знаний по теме «Площадь» у учащихся начальной и основной школ, обобщались результаты исследования, делались выводы. Экспериментальной базой служили СОШ №№ I, 5, 6 г. Карачаевска и СШО Эркин-Шахар Карачаево-Черкесской республики.
Научная новизна исследования заключается втом, что:
обоснована целесообразность и возможность альтернативного подхода к изучению темы «Площадь»;
выявлены требования к подбору учебных материалов и на их основе разработана система задач на вычисление площадей геометрических фигур;
3) разработана методика изучения темы «Площадь».
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что внесен
определенный вклад в развитие теории и методики изучения геометрическим величин, а именно: предложен альтернативный подход в изучении темы «Площадь».
Практическая значимость исследования выражается в том, что разработанные учебные задания и задачи, методические рекомендации к изучению темы «Площадь» могут быть использованы в практике обучения математике в школе, а также при подготовке учителей в вузе, при составлении программ, учебных пособий.
На защиту выносятся:
методика изучения темы «Площадь», характеризующаяся опорой на понятие «полоса»;
система задач по теме «Площадь», отвечающая специальным требованиям, и методика их использования в учебном процессе.
Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечена опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, методики преподавания математики; экспериментальным подтверждением полученных результатов.
Апробация и внедрение результатов исследования проводились в школах Карачаево-Черкесии, а основные результаты диссертационной работы систематически докладывались на ежегодных научных сессиях, конференциях профессорско - преподавательского состава КЧГУ, на заседаниях методического объединения учителей математики института повышения квалификации республики, на заседаниях кафедры математики и методики ее преподавания Карачаево-Черкесского государственного университета. Основные положения диссертационного исследования опубликованы в 7 методических работах и статьях.
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы, приложения.
Элементы историзма в изучении темы «Площадь»
Одной из самых ранних задач, поставленных жизнью, была задача измерения площадей.
Установить точно, когда именно впервые потребовалось человеку определить площадь и какой фигуры именно невозможно, ибо человек во все времена своей деятельности имел подробность определять границы территории своего проживания, земельного участка, где он выращивал необходимые ему продукты питания.
Особо остро задача измерения площадей стояла в Древнем Египте, Вавилоне и Индии, так как плодородные земельные угодья периодически затоплялись паводком рек. Задача восстановления границ земельных участков представляла немалые трудности, ибо с каждой единицы ее площади люди платили налог.
Определением площадей люди Египта, Вавилона, Индии занимались независимо друг от друга и находили способы их определения. После спада воды надо было восстановить границы земельных участков. Необходимость быстрого и правильного определения площадей была одной из главных причин раннего развития геометрии как науки об измерении земли.
«Египетский треугольник» со сторонами 3; 4; 5 единиц оказывал большую помощь в восстановлении границ земельных участков, имеющих правильную форму - форму прямоугольника.
Таким образом, геометрия, как наука об изменениях па земле, зародилась в глубокой древности. Еще 4000 лет назад в Египте умели определять площади.
В книге «Истрика» Герон дал правила и формулы для точного и приближенного определения площадей правильных многоугольников и объемов тел. В этой книге Герона приведена и формула для определения площади треугольника по трем его сторонам. Эта формула в другом виде была известпа Архимеду, жившему за два века до Герона. Герону принадлежит заслуга доказательства этой формулы и широкого ее применения для решения задач.
Развитие темы «Площадь» тесно связано с развитием астрономии, навигации, строительством, и ее становление активно проходило в тех странах, где возникла в этом потребность. Уже в Древнем Египте четырехугольник воспринимался как наиболее удобная для вычисления площади фигура.
Математические знания на Руси были распространены в раннем средневековье, поскольку без них были невозможны астрономические календарные расчеты, военное дело (определение расстояний и высот). Источниками этих знаний являлись рукописи, прежде всего арифметического характера, в которых имелись и геометрические сведения о вычислении площадей и объемов. Не все формулы были верными. Так, площадь треугольника вычислялась либо как произведение половины меньшей стороны на большую, либо как произведение большей стороны на полу сумму двух других. Для землемерия проблема точного вычисления площадей не была актуальна из-за обилия свободных земель. Математических рукописей раннего средневековья сохранилось весьма немного. Наиболее известным на Руси рукописям дота-тарского периода следует отнести перевод труда Иоанны Экзарха «Шести-днев», в котором говорилось о длине окружности Земли, ее диаметре, расстояний до Луны. Из текста рукописи, в частности, следовало, что тс = 3,125. Распространение этого труда свидетельствует о связях Руси с Византией и Западной Европой. В Россию новые знания стали проникать лишь после освобождения татаро-монгольского ига. Как и в Европе, в России до XVI в. к математике, особенно к геометрии, относились враждебно. Определенную роль в этом играла церковь, сделавшая основной вывод: «Богомерзостен перед Богом тот, кто любит геометрию» Развитие и укрепление российской государственности, вопросы землевладения, создание регулярной армии, проблемы мореплавания стимулировали занятие математикой и се изучение. Несмотря на это, государство до конца XVII в. косвенно преследовало изучение физико-математических наук. Образование носило преимущественно гу 16 манитарный характер. Преобладание гуманитарных тенденций в образовании подтверждается открытием в России в 1687 г. Славяно-греко-латинской академии.
Под геометрией по-прежнему понимали землемерие, то есть межевание, вычисление площадей земельных участков. Основные геометрические сведения заимствовавшей из опыта, теоретической геометрии не было, однако в некоторых рукописях, таких как «Устав ратных дел» (1607-1621 гг.), «Книга Сотого письма (1629г.), уже появляются точные формулы площадей прямоугольника, прямоугольной трапеции, прямоугольного треугольника.
Решались и чисто военные вопросы: определения расстояния какого-либо места от наблюдателя, определение численности войска по занимаемому им месту и т.п.
Первым массовым учебником математики в России являлась «Арифметика» Л.Ф. Магницкого, которая оставалась в этом качестве почти до середины XVIII в.
Геометрический материал учебника «Арифметики» составляет решение задач на вычисление площадей квадрата, прямоугольника, параллелограммы, причем автор использует достаточно точные приемы для этой цели. В учебнике рассматриваются задачи на вычисление площадей поверхности конуса и пирамиды, объема цилиндра; измерение прямоугольного параллелепипеда (мучного короба), усеченного конуса.
В 1715 г. в Петербурге открылась Морская академия. Развитие сети образовательных учреждений способствовало появлению новых учебных руководств по математике, в том числе и по геометрии. В то время были напечатаны два переводных учебных руководства, одно из которых «Приемы циркуля и линейки» редактировал сам Петр I. Это руководство содержало теоретические формулировки в стиле Евклида с практическими чертежными советами. Какие-либо доказательства отсутствовали.
Психолого-педагогические и методические аспекты изучения темы «Площадь»
Содержание школьного курса математики, и геометрии как ее части, не остаются неизменными, а видоизменяются в зависимости от развития общества.
Поиском новых моделей обучения математике в настоящее время занимаются многие исследователи, связывая решение методических проблем с некоторыми известными положениями, законами или закономерностями педагогической психологии. Поэтому особое значение приобретает необходимость широкого обсуждения и выделения математических и дидактических ориентиров при построении методики обучения геометрии, как составной части математики. В связи с этим возникает вопрос: как в создаваемых теориях можно использовать стимулы развития математического знания и ресурсы самой математики для того, чтобы система обучения была направлена не только на формирование геометрических знаний и умений, начиная с самого первого года обучения, но и на гармоничное развитие ребенка?
Методисты, авторы учебников и учебных программ, в большинстве своем подчеркивают, что «пели обучения геометрии более разнообразны и содержательны, нежели овладение некоторым запасам конкретных знаний, умений и навыков» [27,с.68-71].
В современной дидактике общепризнана важность изучения геометрии с различных точек зрения: логической, познавательной, прикладной, исторической и философской. При этом ученые отмечают особую роль геометрии как богатейшего содержательного ресурса для активной мыслительной деятельности учащихся, считая, что элементарная геометрия является как неисчерпаемым источником творческих идей, так и полигоном для их реализации.
Геометрический материал располагает уникальной возможностью для всестороннего развития ребенка, так как это не только источник знаний, но и носитель культурного, духовного, интеллектуального, творческого и эстетического потенциала. Особую ценность геометрия представляет и для людей, занимающихся проблемами обучения. «Геометрия и сейчас обладает всеми теми достоинствами, за которые ее ценили педагоги прошлых поколений» [67]. Другими словами, в силу своей специфики и уникальности геометрический материал позволяет исследователю найти и реализовать яркие и методические идеи, опираясь на многообразие и разноплановость геометрического материала. Поэтому в условиях модернизации школьного математического образования и внедрения идей личностно-ориетированпой педагогики в практику школы особую актуальность приобретает проблема поиска таких путей обучения геометрии, которые позволяют в полной мере использовать ресурсы геометрии.
В толковом словаре русского языка [98] «площадь» представлена как: 1.Величина чего-нибудь в длину и ширину, измеряемая в квадратных единицах. Площадь прямоугольника. Площадь участка.
2.Незастроенное большое и ровное место (в городе, селе), от которого обычно расходятся в разные стороны улицы. Красная площадь в Москве.
3.Пространство, помещение, предназначенное для какой-нибудь цели. Посевная площадь. Полезная площадь в доме. 4. То же, что и жилая площадь. Энциклопедический словарь [164, т. 33] определяет: I.Площадь - архитектурно организованное, незастроенное пространство общественного назначения, входящее в уличную сеть города или поселка. Различают главные площади, театральные, вокзальные, рыночные, площади перед парками, стадионами и т.д.
2.Площадь - одна из основных величин, связанных с геометрическими фигурами на плоскости или на кривой поверхности. В простейших случаях измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, то есть квадратов со стороной, равной единице длины.
Вычисление «площади» было уже в древности одной из важнейших задач практической геометрии (разбивка земельных участков). За несколько столетий до нашей эры греческие ученые располагали точными правилами вычисления площади, которые у Эвклида («Начала» 3 в. до н.э.) облечены в форму теорем. При этом площади многоугольников определялись теми же правилами разложения и дополнения фигур, какие до сих пор сохранились в школьном преподавании.
Пропедевтическая подготовкак изучениютемы «Площадь»
Как было сказано в первой главе данной исследовательской работы, оснований для необходимости создания новой методики изучения темы «Площадь» более чем достаточно. Мы думаем, что ни на одном уровне обучения математике в школе понятие «Площадь» не представлено как осмысленный, правильно построенный инструмент, который мог бы удовлетворить все нужды учащихся при вычислении величии площадей в их практической деятельности.
Более того, как сказано выше, «...Вопрос «Что такое площадь прямоугольника?» - ставит ученика в тупик. Учитель иногда не в состоянии дать на этот вопрос достаточно правильный ответ» [134,с.124].
Во всех существующих методиках отмечается, что площадь прямоугольника (как и длина отрезка) есть число, полученное определенным способом в результате измерения. Мы же считаем, что «площадь» - объект.
Приведем примеры: поверхность стола, приусадебный участок, лестничная площадка, пол в прихожей, и т.п. Это - числа? Это - «площади». Это объекты, которые могут принадлежать одному человеку или группе людей. Их можно измерить, то есть установить насколько они велики или малы, проще говоря - вычислить их величину.
И еще, «площадь» представлена на разных уровнях обучения математике в школе по - разному: на первой ступени обучения (начальное звено) «площадь» представлена как нечто, что «имеет длину и ширину»[10].
Этот же автор констатирует, что «площадь треугольника зависит только от площади прямоугольника». Здесь следовало бы уточнить: какого треугольника? Какого прямоугольника? Коллектив авторов: М.И.Моро, М.Л.Бантова, Г.В.Бельтюкова, Н.Ф.Вапняр, С.В.Степанова обтекаемо дают представление понятия «площадь» через сравнение площадей [78].
В старшем звене обучения математике понятие «площадь» вообще ушло от истины. И там она (площадь) представлена как число, но более запутанно, чем в представлениях предыдущих авторов.
Для решения всех проблем, связанных с понятием «площадь» необходимо пересмотреть некоторые вопросы математики начального курса, начиная с представления простейших геометрических фигур и таблицы умножения. Именно там заложены «краеугольные камни» такого важного «здания» математики, которое именуется словом «площадь». Это «здание» не должно перестраиваться из года в год (из уровня в уровень), а представленное фундаментально раз и навсегда должно шлифоваться, привлекая красотой и мудростью.
Итак, начнем с усвоения основных геометрических образов и терминов. Уже па первых уроках учитель знакомит первоклассников с тетрадями, с их назначением. «Вот тетрадь, где каждый лист покрыт сетью одинаковых клеточек. Здесь мы будем выполнять работы по математике. А вот другая тетрадь, где сеть на листах другая. Здесь клеточки разные (узкие, широкие). В этой тетради мы будем работать над письмом. Есть еще тетради, которые не имеют сети клеток. Это тетрадь для рисования»,- говорит учитель. В тетрадях линованных он обращает внимание на расположение линий. В разных тетрадях они расположены по-разному (учитель показывает линии на рисунках, начерченных на доске, где изображены тетрадные листы по математике и по письму).
Некоторые линии пересекаются (показывает учитель на доске. И дети находят такие линии в своих тетрадях). А некоторые прямые линии не пересекаются. Учитель обращает внимание детей на точки (места), где пересекаются линии. Их на листе очень много. Учитель просит отметить любую такую точку карандашом. Показывает на доске свою отмеченную точку.
На этом же уроке (как заметили) входят в разговорную речь первоклассников термины: «точка», «прямая линия». Эти термины и представляют собой элементарные геометрические понятия. Этими понятиями ребенок будет работать в процессе своего школьного образования. Поэтому на них следует остановиться более подробно. Рассмотрим эти понятия.
Почти все авторы предлагают представить точку как след, оставляемый остро отточенным карандашом (или ручкой) при нажатии его (ее) на бумагу. В разных ситуациях точкой можно представить разные объекты: место пребывания экскурсионной группы на маршрутной карте; какой-либо город на географической карте. Точкой можно представить и место, где забит кол, обозначающий угол будущего плана и т.п.
