Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВДИНСГО ПОДХОДА К ИЗУЧЕНИЮ ГЕСМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 15
I. Основания понятия величины и её измерения 15
2. Теоретические основы геометрических величин и их измерения 27
3. Анализ современных методических направлений в изучении геометрических величин 41
4. Психолого-педагогические основы единого подхода к изучению геометрических величин. 54
ГЛАВА II. МЕТОДИКА РЕАЛИЗАЦИИ ЕДИНОГО ПОДХОДА К ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ВЕЛИЧИНАМ В ВОСЬМИЛЕТНЕЙ МОЛЕ 64
I. Анализ качества усвоения материала о геометрических величинах (по результатам кон статирующего и поискового этапов педагогического эксперимента" ) 64
2. Общие положения методики единого подхода к изучению геометрических величин 78
3. Пропедевтика геометрических величин в 4 - 5-х классах 87
4. Методика изучения геометрических величин в 6-7-х классах *02
5. Методика обобщения идеи величины в широком смысле и её измерения 120
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 140
ЛИТЕРАТУРА 144
Приложение I. Таблицы
Приложение 2. Диаграммы
- Теоретические основы геометрических величин и их измерения
- Анализ современных методических направлений в изучении геометрических величин
- Анализ качества усвоения материала о геометрических величинах (по результатам кон статирующего и поискового этапов педагогического эксперимента"
Введение к работе
Актуальность темы
В "Основных направлениях реформы общеобразовательной и профессиональной школы", составленных в соответствии с программными, установками июньского (1983 г.) Пленума ЦК КПСС, отмечается, что для совершенствования содержания образования необходимо предельно четко изложить основные понятия и ведущие идеи учебных дисциплин, обеспечить необходимое отражение в них новых достижений науки и практики, усилив при этом политехническую и мировоззренческую направленность содержания образования. В связи с этим проблемы совершенствования содержания учебных предметов, выявления единых теоретических основ в изучаемом материале различных дисциплин, в том числе и в математике, а также разработка методики обучения изучаемых предметов с учетом политехнизации в настоящее время являются актуальными .
Материал о геометрических величинах (длине, мере угла, площади, объеме) составляет, пожалуй, самую устойчивую и традиционную часть школьного курса геометрии. Им обеспечивается усвоение учащимися идеи метрики - может быть, одной из четырех главных идей всей геометрической науки (метрика, аксиоматический метод, геометрические преобразования, векторное пространство). Надо отметить, что именно с позиций задач общеобразовательного курса метрика наиболее тесно связана с реальной действительностью, с прикладными вопросами. Будучи употребительными именно метрические факты дольше других остаются в памяти от всего геометрического курса. Бесспорно, что материал о геометрических величинах относится к тому обязательно- му минимуму, который подлежит непременному усвоению всеми учащимися средней школы.
В учебно-методической литературе довольно подробно разработаны три из вышеуказанных четырех идей: аксиоматический метод, геометрические преобразования, векторное пространство. Самой выделенной для учебных геометрических курсов, так исторически сложилось, оказалась идея аксиоматического метода. Неслучайно, многие поколения школьников и учителей даже сами термины "аксиома", "теорема", "доказательство" связывали именно, и прежде всего, с геометрией. Одним из первых последовательно аксиоматических изложений курса геометрии у нас является учебник "Элементарная геометрия" Д.И.Перепелкина [из] , предназначенный для педвузов. Аксиоматическая направленность изложения является характерной особенностью и школьных учебных пособий по геометрии от времен Евклида до наших дней. Аксиоматики различных учебных курсов геометрии разделяются выбором основных понятий. Так, конгруэнтность (равенство) фигур является основным понятием, например у А.П.Киселева [74](непоследовательно), у Д.И.Перепелкина [из] , Н.В.Ефимова [5б], ЯД.Трай-нина [і50] ..На понятии движения (перемещения) фигур базируется изложение, например, в учебных пособиях В.й.Костина [во], А.И.Фетисова [152^. Метрические понятия в различных фордах составляют основу аксиоматик в учебных пособиях А.Н.Колмогорова [78] , А.В.Иогорелова [lI7], Э.Э.Моиза и Ф.Л.Даунса[іОЗ] . К нетрадиционным изложениям геометрии можно отнести книги Г.Шоке [l63j, Ф.Бахмана |_2о]. Имеется ряд изложений школьных геометрических курсов на векторной основе с использованием аксиоматики
Г.Вейля .
Бесспорно, в последнее время, наряду с сохранением в преподавании геометрии аксиоматического подхода, явно усилилось внимание к идеям геометрических преобразований и векторных пространств, что объясняется плодотворностью использования этих идей в развитии математики. Что же касается изложения метрического материала в пособиях, предназначенных для школы, особенно заметных изменений в целом не произошло.Метрический материал в курсах геометрии сохраняет свое традиционное, отчасти второстепенное, место и в качестве главного в нем выделяются формулы и их использование. А ведь в идейном отношении метрика не менее плодотворна для развития фундаментальных разделов математики, чем геометрические преобразования и векторы. Об.этом свидетельствует, в частности, работа Г.Хадвиге-ра [ібо], в которой сложные вопросы общей интегральной геометрии эффективно излагаются на основе элементарной метрической системы, а именно через аксиоматику объема многогранника. В учебной отечественной литературе почти образцовое изложение метрических вопросов планиметрии имеется у Д.Й.Перепелкина II3J, предназначенное для студентов педвузов и, вполне понятно, малопригодное для школы. В едином духе изложены вопросы геометрических величин в книгах JJE5J, (55J и др. В школьных же
Т л См., например: Дьедоне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия /Под ред. Й.М.Яглома. Пер. с фр. - М.-.Наука, 1972. - 336 с; Болтянский В.Г., Волович М.Б., Семушин А.Д. Векторное изложение геометрии (в 9 классе средней школы): Пособие для учителей. -М.: Просвещение, 1982. - 143 с. ; Рога-новский Н.М., Столяр А.А. Векторное построение стереометрии. -Мн.: Нар.асвета, 1974. - 128 с. учебных пособиях, как прежних, так и современных, метрические идеи в значительной мере остаются невыявленными, затерянными для учителей и учащихся. Это неслучайно. Практика показывает, что изложение и усвоение материала о геометрических величинах сопряжено со многими трудностями не только методического, но и математического и даже методологического характера. В целом проблемам геометрических величин и их измерениям посвящена обширная литература, авторами которой являются видные математики и методисты, такие как A.JEe6er[89J , В.Ф.Каган[б8], Я.С.Дубнов^] , В.А.Рохлин [l29] , В.Г.Болтянский[22] , [24] , [2б] .Н.Я.Ви-ленкин [34], Й.М.Яглом [l7o] и др.
Отдельно следует сказать о А Лебеге. Почти все понятия, относящиеся к современной теории меры и интеграла в математической науке, восходят к работам АДебега. Положения этой теории лежат в основе теории вероятностей, функционального анализа, статистической физики, топологической алгебры. Кроме того, острый критический анализ, данный Лебегом сложившейся практике преподавания геометрических величин в средних школах Франции, послужил толчком для переосмысления учебного изложения этих вопросов в других странах, в том числе и в СССР JJ33J . В книге АДебега "Об измерении величин" [89J в центре внимания стоит борьба за возвращение математическим понятиям их первоначального материального содержания. В этой борьбе, по мнению А.Н.Колмогорова, основной интерес книги. Но, следует отметить, что А.Лебег несколько недооценивает самостоятельности математики, особенностей тех реальностей, которые она изучает.
Проблемеизложения материала о величинах в советской школе посвящены многочисленные диссертационные исследования. Так,общие вопросы методики преподавания геометрических величин в средней школе подняты в работах М.СМацкина (1949, [97] ), К.Ф.ЗРубина (1952, [іЗО] ); формированию понятий величины и.ме-ры в восьмилетней школе посвящена работа М.А.Журбаса (1963, J54j); изучение скалярных величин в 9-Ю классах рассмотрено в исследовании З.И.Турлаковой (1964, [ш] ).
Методике изучения площадей и объемов в средней школе посвящены работы В.Н.Шишлянниковой (1954, [l62] ), С.А.Алборова (1965, [її]), В.Юнгка (1968, [l67J ). Применению методов математического анализа при изложении геометрических величин посвящены исследования В.Ф.Филатова (1965, [l53~] ) и Б.П.Баева (1975, [l8j ). Вопросы измерения длины окружности, площади круга* объема цилиндра рассмотрены,в работах П.А.Компанийца (1946, [79] ) и Н.ФЛІолищука (1951, [lI9j ). Проблемы прикладной направленности, развития практических умений, усиления политехнизма подняты в исследованиях А.Ф.Спасского (1955., [l39]), И.СКлимова (I96I,.[75j ), Р.В.Мочалова (1962, [іОб] ),П.С.Иса~ кова (1963, [бб] ), И.М.Минькина (1965, [iOl] ).
Изучению геометрических величин посвящен ряд учебных и . методических пособий, например, П.Р.Кантора, Ж.М.Раббота [б9], [70], А.И.Фетисова [99], [l52], В.Г.Прочухаева [l29] и др.
Однако все эти работы не касаются ныне действующих школьных программ и учебных пособий, в то время как состояние методики изучения метрических вопросов, на наш взгляд, не совсем благополучно.
Анализ теоретических основ идеи геометрической величины показал, что при продуманной методике изучения существует возможность более полного использования этого материала, как для формирования важных мировоззренческих идей, так и для усиления логического развития учащихся, в частности, для знакомства с аксиоматическим методом, с дескриптивным типом определения понятий, с операциями обобщения и конкретизации. Для более полного выявления мировоззренческой направленности этого материала принципиально важным является введение в обучение элементов теории измерения, то есть всестороннее рассмотрение самого процесса измерения как объекта изучения. Методологически ценно выработать взгляд на величины как на свойства реальных предметов, а на процесс их измерения — как на одно из важнейших средств познания окружающего мира. Нам представляется весьма существенным при проведении обобщений выделять не только моменты единства в многообразии измерительных актов, такие предложения имеются в методической литературе — 91 ] , [92J, но и различия этих актов, иными словами, учить учащихся проводить классификацию измерений. Актуальность усиления мировоззренческих тенденций подтверждается заметным ростом числа философских исследований, связанных с методологическим анализом таких категорий, как "количество", "мера", "величина", "измерение", а также работ, посвященных процессу математизации в науке1.
См., например, авторефераты дис. ... канд.философ, наук: Аб-дуллаев С. диалектика качества и количества в научном познании. - Алма-Ата, 1980; Абрамян А.О. Исследование философских основ математизации современного научного знания. - Ростов н/Д, 1973; Бушуева В.В. Категории "качество", "количество", "мера" как ступени развития познания и практики. - М., 1979; Полищук В.И. Природа и функции категории "мера" в познании. -М., 1980; Цикин В,А. Математизация научного знания — объективная закономерность НТР. -Киев, 1979; Цырендоржиева Д.Ш. Категория количества и абстрактные математические структуры.-М., 1979; Нечаева Г.А. Оценка и ее роль в познании. -Л., 1979 и др.
В настоящее время многие педагоги, психологи, методисты как советские, так и зарубежные высказываются о настоятельной необходимости существенной перестройки всей сложившейся практики обучения в школе. Основное направление предлагаемых изменений в содержании образования сводится к укрупнению единиц знания, выделению общих приемов, теорий, принципов, наиболее важных и существенных фактов. Систематичность, наличие завершенных цельных представлений, позволяющих верно ориентироваться в мире, в сочетании с научностью знаний — вот требования, которые отчетливо звучат в работах Ю.К.Бабанского, В.В.Давыдова, Н.А.Менчинской, Н.Ф.Талызиной, А.В.Брушлинского и др. Под ^ научностью содержания образования, по мнению Л.Я.Зориной ([бі] , [_62J, [бз] ) следует понимать качественную характеристику образования, удовлетворяющего трем взаимосвязанным условиям, а именно: а) соответствие уровню современной науки; б) создание у учащихся верных представлений об общих мето дах научного познания (частные входят в предметное содержание); в) показ важнейших закономерностей процессов познания.
С учетом этих требований при изучении материала о геометрических величинах в школьном курсе представляется целесообразным: во-первых, найти место некоторым историческим и.научным сведениям из метрологии и теории измерений; во-вторых, создать у учащихся верные представления о процессе измерения, как важнейшем методе научного познания; в-третьих, на примере обобщения понятия геометрической величины, сравнении разных видов величин и типов измерений показать такие закономерности процесса научного познания, как, например, абстрагирование и идеализация, восхождение от абстрактного к конкретному. Курс математики восьмилетней школы в этом отношении может быть усовершенствован.. .
Таким образом, проблема исследования заключается в необходимости придать формированию обобщенных представлений о геометрических величинах и их измерении в курсе математики восьмилетней школы более целенаправленный характер, кроме того, требуется усилить развивающие и образовательные возможности данного материала, повысить его мировоззренческую ценность.
Объектом исследования является процесс обучения математике в восьмилетней школе, а его предметом — процесс изучения материала о геометрических величинах и их измерении в 6-8-х классах.
Цель нашего исследования состоит в разработке содержания и методики единого подхода к изучению геометрических величин в восьмилетней школе, реализация которого будет способствовать выработке.завершенных цельных представлений о геометрических величинах, величинах вообще и процессе их измерения.
Для достижения этой цели необходимо было решить следующие задачи.
Проанализировать философеко-методологические и теоретические основания понятий — величина, геометрическая величина и измерение величин и выделить существенные аспекты для разработки содержательной основы единого подхода к изучению геометрических величин в школе.
С учетом теоретического анализа психолого-педагогической литературы и методического анализа текущей практики преподавания геометрических величин сформулировать суть необходимых изменений при изучении данного материала в школьном курсе математики.
3. Разработать содержание и методику реализации единого подхода к изучению геометрических величин в восьмилетней школе и экспериментально проверить эффективность предлагаемых положений.
Гипотеза исследования состояла в следующем.
При изучении геометрических величин по действующим пособиям возможны ошибочные и нечеткие представления в восприятии этого материала учащимися. Если изменить подход к изучению геометрических величин, усилив использование в учебной деятельности имеющихся у них общих свойств, то это улучшит качество усвоения данного материала учащимися и увеличит возможности формирования научного мировоззрения в курсе математики.
В ходе работы нами были применены следующие методы исследования.
На этапе теоретического изучения состояния проблемы проводился анализ литературных источников из области философии, педагогики, психологии, математики и методики преподавания математики.
При изучении состояния практики преподавания вопросов геометрических величин в массовой школе использовались наблюдения,, беседы с учащимися и учителями, тестирование, анкетные опросы, диагностирующие контрольные работы.
В процессе разработки конкретной методики обучения применялись поисковый и обучающий педагогический эксперимент, экспертная оценка дидактических материалов.
На заключительном этапе исследования были использованы качественные и количественные методы обработки данных экспери- мента, теоретическое обобщение результатов эксперимента.
Методологической основой исследования явились положения марксистско-ленинской теории познания.
При разработке методики единого подхода мы руководствовались основными фактами психологической теории П,Я.Гальперина [37], [38]) о формировании понятий, в частности тем, что, во-первых, невозможно полноценное постижение понятия без выделения мысленной схемы между понятием и предметом; во-вторых, понятие не может быть постигнуто полностью вне рассмотрения его функциональных связей. В нашем случае в качестве мысленной схемы выступает набор свойств (аксиом), определяющих геометрическую величину, а функционирование понятия раскрывается через анализ процессов измерения.
Научную новизну результатов исследования мы видим в следующем:
Экспериментально выявлена и проанализирована типичная картина представлений учащихся о геометрических величинах, ха-^ рактерная для практики преподавания по имеющимся программам и учебным пособиям.
Видоизменен подход к изучению площадей многоугольников, что позволило упростить доказательства ряда теорем и решение некоторых задач курса планиметрии за счет введения формулы площади прямоугольника в качестве дополнительного свойства и корректировки порядка и сроков рассмотрения части учебного материала.
Впервые в практике школьного обучения свойства геометрических величин использованы как для обобщения понятия геометрической величины, так и для обучения учащихся сравнению различных величин, то есть как инструмент анализа величин.
4. Предложена методика анализа и обобщения процессов измерения, а также методика введения в курс геометрии 8-го класса элементов метрологии и теории измерений. Показана мировоззренческая ценность и доступность этого материала для учащихся.
Практическая значимость работы заключается в том, что в ней предложена конкретная методика единого подхода к изучению геометрических величин на уроках математики в 6-8-х классах, а также в пропедевтическом курсе 4-5-х классов. Существенным является то, что для реализации предлагаемых рекомендаций не требуется принципиальных изменений в курсе планиметрии, достаточно лишь откорректировать порядок и сроки изучения имеющегося в программе материала; затраты учебного времени остаются прежними. При этом улучшается структура курса в целом, облегчаются доказательства ряда теорем и решение задач. Обобщающие материалы по величинам и их измерениям, сведения из метрологии и теории измерений позволяют усилить мировоззренческую и прикладную направленность школьного курса математики, обогатить воспитательные, развивающие и образовательные возможности программы.
На защиту выносятся следующие положения
1. Изучение геометрических величин в курсе математики 6 - 8-х классов в рамках единого подхода приводит к адекватному восприятию данного материала учащимися и способствует улучшению усвоения курса в целом за счет оптимального применения теории на практике и опоры на объективные закономерности процесса обучения.
2. Формирование у учащихся восьмилетней школы обобщенного понятия геометрической величины, понятия величины в широком смысле и представлений о различных типах измерений, наряду с введением некоторых элементов теории измерений и метрологии, приводит к усилению политехнической и прикладной направленности курса математики; при этом существенно увеличиваются воз-можности формирования научного мировоззрения на уроках математики.
На защиту также выносятся: типология представлений учащихся по материалу геометрических величин; содержание и методика реализации единого подхода к изучению геометрических величин в восьмилетней школе.
Теоретические основы геометрических величин и их измерения
Развитие понятия величины в математике имеет длительную историю. Первоначально оно явилось обобщением конкретных понятий дайны, площади, веса и т.д. В более общем смысле слова скалярной величиной или скаляром называется любой объект, полностью характеризующийся заданием одного числа (действительного или комплексного). Обобщением скалярной величины является векторная и тензорная величины. Современную математическую форму понятию системы положительных величин дал А.Н.Колмогоров в виде десяти, полностью определяющих эту систему, аксиом [76J.Если в такой системе выбрать какую-либо величину -& за единицу измерения, то все остальные величины системы однозначно представляются в виде CL-OCH , где аС - положительное действительное число. Далее вводится обобщенное понятие системы скалярных величин, которая включает в себя, кроме положительных величин, нуль и отрицательную величину. Затем вводятся "нескалярные величины" — векторы, тензоры и "неархимедовы" величины 76, с. 456І. Достаточно подробно процесс развития понятия величины и его обобщений, а также различные аксиоматики этого понятия проанализированы В.А.Гусевым, А.И.Ивановым и ОД.Шебалиным в Г4б] . Так, ими сравниваются аксиоматики скалярной величины,основанные на понятии упорядоченной коммутативной полугруппы; на
Ом. также [68] , [34] , [54] , [l38] . понятии натурального числа; действительного числа; на понятии области определения величины. Все эти аксиоматики обладают высоким уровнем абстракции, присущим современной науке.
Понятие неотрицательной скалярно-аддитивной величины, исторически полученное как обобщение величин длины, площади, объема, массы, шире по своему охвату интересующего нас понятия геометрической величины. Длину (отрезка, ломаной, кривой), меру угла .(величину угла), площадь (многоугольника) квадрируемой фигуры, объем (многогранника) кубируемого тела — именно эти величины часто объединяют термином "геометрические величины".Хотя формальным определением этот термин нигде не фиксируется,и в свое время Я.С.Дубнов писал, что вряд ли стоит создавать обоб щающее понятие для множества из четырех объектов, однако хотелось бы высказаться и в пользу этого объединяющего термина,выделяющего некоторое особое подмножество в классе скалярно-адди-тивных величин. Все остальные скалярно-аддитивные величины являются представителями так называемых физических величин. И если свойства объектов, выражаемые геометрическими величинами,наглядны, зрительно воспринимаемы и лишь формой исчерпывается их суть, которая и подлежит измерению, то величины физические в определенном смысле отличаются "невидимостью", поскольку они . являются характеристиками более сложных свойств. Так, например, по одной из классификаций, физические величины отражают: 1)фор-му существования материи; 2) состояние физического тела или системы тел; 3) взаимодействие материальных объектов; 4) процессы при переходе системы тел из одного состояния в другое (см. [46], [135], [і07], [10б] ).
Анализ современных методических направлений в изучении геометрических величин
За сравнительно короткий срок школьный курс геометрии претерпел ряд изменений. Остался в прошлом учебник А.П.Киселева [74] , на смену учебным пособиям под редакцией.А.Н.Колмогорова [77], [78] введена книга А.В.Погорелова [ііб] , [lI7j. Кроме того, существуют и пробные учебные пособия по геометрии, , проходящие в настоящее время экспериментальную проверку: [26], 42 [41]. Несмотря на различие авторских концепций в построении школьного курса геометрии, во всех этих книгах по-прежнему
геометрия в значительной мере "остается и по содержанию и по изложению измерительной, ... метрической" [53, с. 9І.
Изучению геометрических величин в школе предшествует основательная пропедевтика идеи величины в начальной школе и даже в детском саду и в нулевых классах ( [l2l] , [l22j ). Согласно программам начальной школы [l22] предполагается усвоение учащимися навыков вычислений и измерений некоторых величин, знакомство с рядом единиц измерения и отношениями между ними (стоимость, количество и цена, путь, время и скорость при равномерном движении, длина, ширина, площадь прямоугольника).
Основные пути и методы дальнейшего изучения идеи величины и вопросов измерения зафиксированы в учебных программах для средней школы. Приходится говорить о нескольких программах по геометрии, существующих в настоящее время ([l23], [l24] ,[l25j). В программе, положения которой для 8-летней школы реализованы в учебном пособии под ред. А.Н.Колмогорова [і23], изучение геометрических величин и вопросов их измерения предусматривается на двух уровнях: пропедевтическом (4-5-е классы) и систематическом (6-8-е классы).
В 4-5-х классах повторяются сведения, полученные в начальной школе. С 6-го класса в систематическом курсе геометрии начинается второй уровень изучения идеи величины. Здесь запланированы следующие вопросы "Величины и числа. Основные свойства расстояний. Измерение углов". В курсе геометрии 7-го класса, согласно установкам программы, изучаются "Основные свойства площадей. Площади многоугольников", а в 8-м классе "Угловые величины и их измерение в радианах".
Для обсуждения педагогической общественности было предложено еще два (независимых) проекта программы курса математики средней школы [l24j и [I25J . Кроме того выработан проект программы по математике для средней школы, согласованный со всеми (тремя) авторскими коллективами [lI2j.
Рассмотрим, последовательно, как отражены в этих проектах вопросы геометрических величин для восьмилетней школы.
Проекту программы [і2б], разработанному комиссией под председательством академика И.М.Виноградова, соответствует учебник "Геометрия" для 6-10-х классов, написанный академиком А.В.Погореловым. Изучение геометрических величин по программе начинается с 4-го класса. Здесь предполагается рассмотреть вопросы: "Измерение длины отрезка, Аддитивность длины. Равенство отрезков. Откладывание отрезка данной длины. Шкалы". Затем в этом же классе: "Именованные числа. Длина отрезка, расстояние между точками. Угол. Измерение угла транспортиром. Аддитивность меры угла, равенство углов. Шющади фигур. Единицы площади: мм , см , дм , м , ар, га, км . Объем прямоугольного параллелепипеда. Формула объема прямоугольного параллелепипеда". В программу 5-го класса входят темы: "Длина окружности. Формула длины окружности. Площадь круга. Формула площади круга". Далее, по програше лишь в 8- л классе встречаем следующие вопросы "Соотношения между длинами выпуклой ломаной и объемлющей ломаной. Длина окружности". Заключительная (4-я) тема программы 8-го класса "Шющади фигур" содержит: "Понятие площади и ее свойства. Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции. Площадь круга и его частей. Площади подобных фигур".
В рассматриваемой программе [Ї25] меньше концентризме в изучении выделенных понятий, чем в программе [Ї23]. Здесь детально спланированы вопросы измерения длины. Тема "Площади фигур" намечена для изучения в конце 8-го класса, что несколько поздно, как с точки зрения теоретических, так и практических применений.
В проекте программы по математике для 4- 10-х классов средней общеобразовательной школы, предложенном комиссией Мин-проса РСФСР [і 24] также присутствуют два уровня изучения геометрических величин: пропедевтика в 4-5-х классах и систематическое изучение в 6-8-х классах. Причем пропедевтика спланирована достаточно развернуто. Несколько неудачно, на наш взгляд, название темы в 4-м классе "Измерение геометрических фигур", ибо измеряется все-таки не сама геометрическая фигура, а некоторая величина, то есть определенное свойство этой фигуры, характеризуемое количественно. Представляется нецелесообразным и наличие дублирования при изучении площадей (в 5-м и 7-м классах), длины окружности и площади круга (в 5-м и 8-м клас-сах). Причем изучение длины окружности и площади круга и в 5-м и 8-м классе предполагается фактически на одном и том же пропедевтическом уровне, так как спланировано до знакомства с теорией пределов.
Анализ качества усвоения материала о геометрических величинах (по результатам кон статирующего и поискового этапов педагогического эксперимента")
На протяжении ряда лет с 1976 по IS83 годы проводился эксперимент по теме нашего исследования. В зависимости от поставленных задач выделены констатирующий, поисковый и обучающий (формирующий) этапы. Базу эксперимента составили средние школы Ш 64,116,130 г. Минска и минское строительное СГПТУ If 24. В работе участвовали следующие учителя математики: И.Г.Гейф-ман, Т.Н.Городничева, Н.В-Лещенко, Л.Д.Макаренко, А.М-Максименкова, Г.Л.Муравьева, В.М.Трахтенберг, Н.Н.Филимонова, М.М.Якуш, Л.В.Янушко. В эксперименте планировалось: в констатирующей части - выявить типичную картину восприятия учащимися материала о геометрических величинах, выделить характерные ошибки и неверные представления; в ходе поискового эксперимента -проверить некоторые дидактические материалы в работе, усовершенствовать их. В задачу обучающего (формирующего) эксперимента входило показать доступность и эффективность разработанной методики в 5-х классах, в 6-7-х классах, а также привлекательность и мировоззренческую ценность материала, вводимого в 8-м классе.
В констатирующем эксперименте выявлялось следующее:
1. Степень восприятия учащимися идеального характера таких геометрических объектов, как точка, линия, то есть понимание нульмерности точки и одномерности линии. Усвоение этих моментов составляет основу таких понятий, как непрерывность.предельный переход, бесконечность процесса измерения в математике.
2. Представления учащихся 8-10-х классов, студентов и учителей математики о площади многоугольника, как наиболее подробно изучаемой в школьном курсе геометрической величине.
3. Наличие у учащихся общих представлений о геометрических величинах, о единой структуре их свойств, наличие умения сравнить их с другими величинами.
4. Усвоение формул и умение применять их. Понимание отличий теоретических измерений геометрических величин от реальных измерений.
