Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Теоретические основы наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрии в средней школе 11
1. Сущность наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрии в школе 11
2. Основные пути реализации наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрического материала 32
Глава II. Методика реализации наглядно-конструктивного подхода при изучении основных разделов стереометрии в средней школе 68
1. Методика введения опорных геометрических конструкций 68
2. Методика использования опорных конструкций при изучении основных разделов стереометрии 81
3. Педагогический эксперимент и его основные результаты 102
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 115
ЛИТЕРАТУРА 118
ПРИЛОЖЕНИЕ 133
- Сущность наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрии в школе
- Основные пути реализации наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрического материала
- Методика введения опорных геометрических конструкций
Введение к работе
В последние годы, в связи с перестройкой средней школы, значительно возрос интерес к проблемам преподавания геометрии в школе. В условиях профильной и уровневой дифференциации по-новому встает вопрос о целях и задачах преподавания геометрии и в частности стереометрии. В связи с этим изменяется подход к проблемам преподавания. Процесс преподавания становится ориентированным на личность учащегося.
Вопросам преподавания стереометрии в средней школе всегда уделялось достаточно большое внимание, но многие вопросы остаются неразрешенными до сих пор. Тестирование учителей г.Пензы проведенное О.В.Шереметьевой ([133]), наш личный опыт приема вступительных экзаменов в Глазовском государственном педагогическом институте, публикации отчетов о вступительных экзаменах, публикуемые в журнале "Математика в школе" за последние годы, показывают, что учащиеся испытывают значительные трудности при решении стереометрических задач, связанных, в основном, с недостаточным развитием их пространственных представлений.
Проблемами развития пространственных представлений учащихся
занимались следующие специалисты: А.Д.Александров, С.Б.Верченко,
Г.Д.Глейзер, Л.Л.Гурова, В.А.Гусев, Е.Н.Кабанова-Меллер,
В.Н.Литвиненко, Б.Ф.Ломов, Л.А.Минасян, Г.П.Сенников, Н.Ф.Талызина, Н.Ф.Четвертухин, И.Ф.Шарыгин, И.С.Якиманская, Л.Л.Якобсон, и др.
В процессе формирования пространственных представлений принимают участие, в той или иной мере, все органы чувств. Как отмечает Г.Д.Глейзер: "В системном механизме восприятия пространства ведущую роль играют зрительно - вестибулярно - кинестетические взаимосвязи, которые являются стержнем, объединяющим все органы чувств в отражении
пространства" ([28], С.43). В связи с этим, в процессе формирования пространственных представлений необходимо использовать совместно с простым созерцанием и. непосредственные манипуляции с материальными предметами и моделями, а таюке проговаривание указанных действий и определенную умственную работу ([139]).
Проблема развития пространственных представлений тесно связана с проблемой наглядности в обучении. Проблемами наглядности занимались следующие специалисты: В.Г.Болтянский, Г.Д.Глейзер, Л.Л.Гурова, В.Р.Ирина, Т.Н.Карпова, Е.М.Кондрушенко, А.А.Новиков, А.А.Постнов, В.В.Репьев, Г.П.Сенников, Е.И.Смирнов, Л.М.Фридман, Т.Ф.Фролова и др.
Л.М.Фридман считает, что наглядность - это особое свойство психических образов, создаваемых в процессе восприятия, памяти, мышления и воображения при познании объектов окружающего мира ([121], С.21-22). Он дает такую формулировку: наглядность - это понимание и активность.
В.Г.Болтянский выдвигает свою формулу наглядности - изоморфизм плюс простота. Изоморфизм понимается как идентичность структур: "две модели изоморфны, если, отвлекаясь от всех свойств этих моделей, не связанных с рассмотрением имеющихся в них предикатов, мы можем сказать, что эти модели "устроены" совершенно одинаково (по существу неразличимы)" ([15], С.51). Таким образом, проблема наглядности тесно связана с понятием модели и моделирования.
Наглядность может играть не только положительную роль в процессе обучения, но и тормозить его. В связи с этим возникает проблема дозирования наглядности в учебном процессе. Необходимо постепенно осуществлять переход от материальных моделей к идеальным (чертежи, схемы, представления).
Г.П.Сенников предложил для изучения геометрии использовать так называемый наглядно-конструктивный подход. Он заключается в еле-
дующем: " учитель поясняет свойство фигуры на модели, показывает его на чертеже, ученики моделируют юти выполняют ее построение определенными инструментами. Если изучается отношение геометрических фигур, то сперва демонстрируется на моделях, ученики тоже манипулируют моделями, а потом выполняют геометрические построения. На определенном этапе обучения остается только демонстративная модель и построения, затем только построения инструментами, наконец, отказаться и от них, перейдя к рисункам и мысленным построениям" ([106], с.81-82). Детальной разработки наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрии Сенниковым Г.П. не произведено.
Как известно, пространственные представления развиваются в про
цессе изучения стереометрического материала, т.е. решения определенно
го круга стереометрических задач. На это указывают Л.А.Минасян,
В.В.Орлов, И.Ф.Шарыгин, О.В.Шереметьева и др. Но для решения сте
реометрических задач необходим определенный уровень развития про
странственных представлений. Значит, перед изучением стереометрии не
обходима определенная работа для создания определенного запаса про
странственных представлений, их корректировке. Как отмечает ряд авто
ров, корректировку пространственных представлений можно осуществ
лять двумя способами: 1) непосредственной работой с конкретными моде
лями (Г.Д.Глейзер, Л.Л.Гурова, И.С.Якиманская и др.), 2) с помощью ло
гических рассуждений (Е.М.Кондрушенко, М.Мухаммадов,
О.В.Шерементьева и др.). Причем, как отмечает Л.Л.Гурова, второй путь
неуместен на начальном этапе изучения стереометрического материала,
если пространственные представления учащихся еще не достаточно разви
ты.
И.Ф.Шарыгин отмечает, что для успешного решения геометрических задач необходимы три слагаемых: умение правильно и быстро произво-
дить чертеж к задаче, оперирование методом решения (в основном аналитическим) и некоторый запас опорных задач, который позволяет осуществить переход от теоретического материала к задачному. О необходимости использования опорных (базисных, элементарных, ключевых) задач для решения геометрических задач, изучения геометрии говорят: И.Г.Габович, Т.В.Гришина, Г.Д.Зайцева, Ю.А.Розка, М.Е.Тимощюк, А.Я.Цукарь, И.Ф.Шарыгин и др.
"В.В.Орлов показал, что в качестве связующего звена между теоретическим материалом и самостоятельным решением геометрических задач могут быть использованы опорные геометрические конструкции, представляющие из себя геометрические фигуры, на которых иллюстрируется изучаемый теоретический материал, раскрываются связи объектов, формируются приемы поиска решения геометрических задач.
Детальной разработки преподавания стереометрии на основе наглядно-конструктивного подхода не произведено. Нет единого построения изучения курса стереометрии в школе на идеях перечисленных выше.
Все сказанное выше обуславливает актуальность нашего исследования, которая заключается в разработке методики преподавания основных разделов стереометрии на основе наглядно-конструктивного подхода с целью повышения результатов процесса обучения.
Проблема диссертационного исследования состоит в выявлении и раскрытии возможных путей реализации наглядно-конструктивного подхода в процессе преподавания стереометрии в старших классах средней школы.
Объектом исследования является процесс обучения стереометрии в старших классах средней школы.
Предметом исследования является разработка наглядно-конструктивного подхода к изучению основных тем стереометрии в стар-
ших классах средних школ на основе опорных геометрических конструкций.
Гипотеза исследования состоит в том, что если в процессе изучения курса стереометрии мы будем применять наглядно-конструктивный подход, использующий предложенные нами опорные геометрические конструкции, то уровень результатов процесса обучения повысится, т.е. учащиеся будут показывать более высокие результаты в процессе решения стереометрических задач.
Цели нашего исследования заключаются в следующем:
Выявить опорные геометрические конструкций на основе анализа курсов стереометрии;
Разработать методику использования этих конструкций в процессе обучения стереометрии (на примере основных тем).
Цель и предмет определили ряд конкретных задач исследования:
Провести анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования с целью определения основных положений наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрии в старших классах средней школы;
Раскрыть сущность понятия опорной геометрической конструкции и выявить минимальный набор таких конструкций для изучения основных тем стереометрии;
Разработать конкретные методические рекомендаций к изучению первых тем курса стереометрии на основе применения опорных геометрических конструкций;
4. Провести экспериментальную проверку полученных результатов.
Решение поставленных задач потребовало привлечение следующих
методов исследования: изучение психолого-педагогической и философской литературы по проблеме исследования; наблюдение за деятельно-
стью учителей и учащихся при изучении геометрии, анализ результатов наблюдения; изучение и анализ письменных работ учащихся; проведение педагогического эксперимента по проверке основных положений исследования.
Исследование проводилось с 1993 по 1998 год.
На первом этапе исследования (1993-1996 гг.) изучалась методическая, психолого-педагогическая и философская литература, проводились наблюдения за учебным процессом на уроках геометрии, велись беседы и дискуссии с учителями школ и преподавателями вузов. Была сформулирована рабочая гипотеза, цели и задачи исследования.
На втором этапе (1996-1997 гг.) - проводился поисковый эксперимент, шла разработка и анализ экспериментальных материалов.
На третьем этапе (1997-1998 гг.) - проводился формирующий эксперимент, в ходе которого происходило подтверждение выдвинутых гипотез.
Научная новизна и теоретическая значимость работы состоит в том, что в ней:
определена сущность наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрии;
разработаны требования к опорным геометрическим конструкциям;
3) разработана методика использования опорных геометрических
конструкций, которая состоит в том, что в ходе изучения стереометрии
используются: а) серии задач, связанные с изучением многогранников; б)
серии задач, связанные с изображениями многогранников; в) серии задач
связанные с конструированием многогранников из развертки.
Практическая значимость исследования заключается в том, что оно предлагает учителю математики 10-11 классов методику организации преподавания стереометрии на основе наглядно-конструктивного подхода
с использованием опорных геометрических конструкций и соответствующие к ней рекомендации, которые позволяют обеспечить наглядность процесса обучения. Результаты исследования позволяют совершенствовать методику преподавания геометрии в 10-11 классах. На защиту выносятся:
1) Основные требования, предъявляемые к наглядно-
конструктивному подходу для изучения стереометрии в старших классах
средней школы.
Разработанные нами опорные геометрические конструкции и их модификации для изучения основных тем стереометрии. Первая серия состоящая из конструкции и ее модификаций связана с произвольным тетраэдром, а вторая серия - с прямоугольным тетраэдром.
Методика изучения основных тем стереометрии по учебнику А.В.Погорелова "Геометрия 7-1 Г' на основе наглядно-конструктивного подхода.
Апробация и внедрение результатов исследования. Основные результаты исследования получили одобрение на семинарах слушателей ФПК при МПГУ им. В.И.Ленина (1995 г.), Вторых Есиповских чтениях (г. Глазов, 1996 г.), заседаниях кафедры алгебры и геометрии ГГПИ им. В.Г.Короленко (г. Глазов, 1993-1995 гг.), на методических объединениях учителей Юкаменской средней школы Юкаменского района Удмуртской Республики (1997-1998 гг.). Результаты исследования используются учителями школ Удмуртской Республики.
Основное содержание диссертации нашло отражение в семи публикациях.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.
Во введении обосновывается актуальность проблемы исследования, определяются объект и предмет исследования, формируется проблема, гипотеза, цель и задачи исследования, раскрывается его научная новизна, практическая значимость, излагаются основные положения выносимые на защиту.
В первой главе "Теоретические основы наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрии в школе" дан анализ проблемы формирования и корректировки пространственных представлений с точки зрения психолого-педагогической и методической литературы; описан наглядно-конструктивный подход к преподаванию геометрии на основе опорных геометрических конструкций; выявлены первичные свойства тетраэдра, необходимые для успешного применения опорных геометрических конструкций в процессе изучения основных разделов стереометрии.
Во второй главе "Методика реализации наглядно-конструктивного подхода при изучении основных разделов стереометрии в средней школе" излагаются вопросы возможности использования наглядно-конструктивного подхода в учебном процессе, представлены результаты педагогического эксперимента.
В заключении приводятся итоги исследования, формулируются общие выводы и научно-практические рекомендации.
Сущность наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрии в школе
Основные идеи наглядно-конструктивного подхода базируются на исследованиях Г.Д.Глейзера, Л.Л.Гуровой, М.Р.Дружинина, Б.М.Зазуляка, М.Мухаммадова, В.В.Орлова, Г.П.Сенникова, А.И.Тимофеева, Л.М.Фридмана, И.С.Якиманской, Л.Л.Якобсон и др.
В первом пункте этого параграфа, мы разберем сущность наглядно-конструктивного подхода с точки зрения развития пространственных представлений учащихся. Во втором пункте, мы остановимся на проблеме наглядности в обучении, а также опишем понятие наглядно-конструктивного подхода данное Г.П.Сенниковым. Третий пункт посвящен проблемам изучения стереометрии и, в частности, проблеме решения геометрических задач. В нем мы разберем понятие опорной геометрической конструкции, данное В.В.Орловым. В последнем, четвертом, пункте первого параграфа сделаны некоторые выводы по первым трем пунктам.
1.1. Одной из основных причин затруднений учащихся при изучении стереометрии в средней школе являются слабо развитые пространственные представления. Проблемами развития пространственных представлений занимались многие ученые. В психологии этой темой занимались: Б.Г.Ананьев, Л.Л.Гурова, В.П.Зинченко, Е.Н.Кабанова-Меллер, А.М.Леонтьев, Б.Ф.Ломов, С.Л.Рубинштейн, Е.Ф.Рыбалко, Н.Ф.Талызина, И.С.Якиманская и др. В их работах раскрывается сущность пространственных представлений, их природа, роль в общем развитии человека.
В психологии под представлениями понимают "наглядный образ предмета или явления (события), возникающий на основе прошлого опыта (данных ощущений и восприятий) путем его воспроизведения в памяти или в воображении" ([97], С.229). Таким образом, пространственные представления - это представления о свойствах и отношениях, связанных с пространственными и временными характеристиками: "величине, форме, относительном расположении объектов, их поступательном и вращательном движении и т.п." ([97], С.288). Различают представления памяти и представления воображения.
Современные психологические исследования показали, что пространственно-различительные функции свойственны всем органам чувств. "В системном механизме восприятия пространства ведущую роль играют зрительно - вестибулярно - кинестетические взаимосвязи, которые являются стержнем, объединяющим все органы чувств в отражении пространства" ([28], С.43).
Развитие человека идет в процессе различных видов деятельности. В связи с этим, в процессе формирования пространственных представлений необходимо использовать совместно с активным наблюдением непосредственные манипуляции с материальными предметами и моделями, а также проговаривание указанных действий и выполнение заданий направленных на определенную умственную работу ([14]).
Роль различных видов деятельности в формировании определенных знаний и представлений различна. Предметная деятельность (манипулирование и перемещение) необходима для иллюстрации свойств изучаемых предметов и явлений, перцептивная деятельность (восприятие и наблюдение) - для отражения этих свойств в восприятиях и представлениях, мыслительная (синтез и анализ) - для сопоставления этих свойств и выделения из них общего, речевая (обозначение и называние) - для закрепления этих общих свойств, абстрагировав их от предметов и обобщив как признаки классов ([20], С. 194).
Ж.Пиаже отмечает, что "сенсорно-моторный интеллект находится у истоков мышления и будет продолжать воздействовать на него в течении всей жизни через восприятие и практические ситуации. Поэтому, в частности, было бы ошибкой пренебречь воздействием восприятия на сложную и высокоразвитую мысль" ([91], С. 175).
В психологии под основным механизмом мышления понимается анализ через синтез, который заключается в следующем: "в процессе мышления познаваемый объект включается во все новые связи и в силу этого выступает во все новых качествах, которые фиксируются в новых понятиях и понятийных характеристиках; из объекта, таким образом, как бы вычерпывается все новое содержание; он как бы поворачивается каждый раз другой своей стороной, в нем выделяются все новые свойства" ([16], с.53).
В геометрии процесс изучения основных понятий можно выразить следующим образом, основные объекты (точки, прямые и плоскости) включаются в различные конфигурации; известные ранее свойства основных объектов позволяют получить новую информацию о конфигурациях; в свою очередь обогащенные конфигурации позволяют выявить новые свойства основных объектов.
Основные пути реализации наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрического материала
В первом пункте данного параграфа мы остановимся на понятии наглядно-конструктивного подхода. Второй пункт является основным в данном параграфе. В нем мы рассмотрим понятие опорной геометрической конструкции и разработаем конкретные опорные геометрические конструкции для изучения основных тем стереометрии. В третьем пункте описываются вопросы связанные с возникновением конструкций. Четвертый пункт посвящен описанию основных свойств конструкций и возможности применения опорных геометрических конструкций для изучения стереометрического материала.
Опишем наше видение наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрии в школе.
Под наглядно-конструктивным подходом к изучению стереометрии мы будем понимать преподавание стереометрии с использованием опорных геометрических конструкций (ОГК), которые позволяют проводить обучение на наглядной основе.
Суть подхода заключается в том, что на первых уроках стереометрии в 10 классе решаются задачи на конструирование многогранников, направленных на развитие и корректировку некоторого запаса пространственных представлений учащихся. В ходе решения этих задач формируется первичные представления о двух опорных геометрических конструкциях, которые мы опишем в пункте 2.2. После этого осуществляется переход к изучению основных тем стереометрии с применением в качестве иллюстративных моделей опорных геометрических конструкций и их модификаций. Теоретический материал разбирается на конструкциях, и в дальнейшем конструкции служат его носителем. Разобранные на конструкциях алгоритмы и способы решения задач позволяют обучать процесс решения задач.
Выделим шесть форм наглядно-конструктивного подхода к изучению стереометрии.
Первая форма характерна непосредственным конструированием моделей многогранников из картона или бумаги. Данная форма работы проводится непосредственно перед изучением первых тем стереометрии. Она необходима для развития и корректировки некоторого запаса про странственных представлений учащихся.
Вторая форма заключается в сочетании конструирования и рисования. Учащиеся создают модель многогранника из картона, а затем производят его изображение. С помощью данной формы создаются опорные геометрические конструкции.
Третья форма предусматривает использование моделей многогранников в форме опорной конструкции, заключающей в себе основной теоретический материал темы. При изучении теорем и аксиом создаются их модели (для теорем - модели условий), представляющие из себя многогранники с выделенными на них заданными в условиях теорем и аксиом конфигурациями.
Четвертая форма наглядно-конструктивного подхода предусматривает определенную работу с моделями многогранников и их изображениями. На модели многогранника производятся определенные построения, а затем аналогичные построения производятся и на его изображении. Данная форма позволяет создавать модификации опорных геометрических конструкций, а также выявлять внутренние свойства многогранников.
При изучении задачного материала возникает необходимость осуществить его связь с теоретическим материалом темы. Эту связь можно осуществить с помощью моделей многогранников. В связи с этим, пятая форма наглядно-конструктивного подхода заключается в разборе основных методов решения задач на опорных конструкциях. Конструкции наряду с теоретическим материалом включают в себя и основные методы решения задач данной темы.
Последняя, шестая форма наглядно-конструктивного подхода заключается в использовании опорных геометрических конструкций для решения стереометрических задач. Она непосредственно вытекает из пятой формы. Решение задачи заключается в непосредственном сведении к конструкции или в применении способа решения разобранного ранее на конструкции.
Первые две формы наглядно-конструктивного подхода применяются однократно непосредственным изучением стереометрии, в то время, как четыре оставшихся формы применяются регулярно от темы к теме.
Методика введения опорных геометрических конструкций
На первых уроках стереометрии в 10 классе нам необходимо сформировать начальные представления о двух опорных геометрических конструкциях. Эти представления формируются в ходе решения определенного количества задач на конструирование многогранников. Последовательность решения задач представлена на рис.17. Решение задач начинается с первого столбца. На любой задаче первого столбца цепочку задач можно прервать и перейти к решению задач второго столбца начиная с первой задачи. Цепочку задач из второго столбца можно также, как и первую, прервать на любой задаче и перейти к третьему столбцу. Аналогично и для задач третьего столбца.
Минимальное количество задач, которое мы рекомендуем для решения с учащимися, равняется трем. Все они представлены во втором параграфе первой главы. Мы сохраняем используемую там нумерацию.
Количество задач, решаемых на уроке, выбирается учителем исходя из особенностей класса, наличия учебного времени и потребностей учебного процесса. К примеру, в классах технического профиля мы рекомендуем использование большего количества задач, нежели в классе гуманитарного профиля. Наши рекомендации не относятся к задачам на конструирование вообще, а только к данным в нашем исследовании двенадцати задачам и аналогичных им задачам на конструирование.
Оставшиеся нерешенными задачи могут быть вынесены на факультативные занятия.
Первый урок стереометрии в 10 классе необходимо провести в виде вводной лекции, на которой учащимся объясняются цели и задачи изучения геометрии, вводятся на интуитивном, наглядном уровне основные объекты и фигуры, которые будут изучаться в дальнейшем, объясняется основная логика курса.
На уроке с учащимися необходимо разобрать на наглядной основе: понятие трехгранного угла, понятие прямого трехгранного угла, понятие тетраэдра и его развертки, понятие прямоугольного тетраэдра.
К концу урока необходимо, чтобы учащиеся имели представление о тетраэдре, как о многограннике, поверхность которого состоит из четырех треугольников, о его элементах (вершинах, ребрах, гранях и углах, в том числе и трехгранных), знали о том, что поверхность тетраэдра может быть развернута и представлена в виде развертки, состоящей из четырех треугольников, являющихся гранями исходного тетраэдра таким образом, что один треугольник находится в центре, а три оставшихся треугольника примыкают к нему по трем его сторонам. В первой главе такой вид развертки мы назвали классическим.
Первую задачу, о сворачивании тетраэдра имеющего равные грани из остроугольного треугольника с помощью трех сгибов (ГЛ1, С.43), целесообразно дать на дом. Ее решение, как показал эксперимент, под силу достаточно большому числу учащихся.
В условии задачи фигурирует слово "свернуть". Но во избежании путаницы (учащимся интуитивно ясен принцип этого слова) это понятие лучше разобрать уже после решения первой задачи. Необходимо только сообщить о том, что при сворачивании не должно быть наложений и разрезаний.
Свернуть тетраэдр из прямоугольного и тупоугольных треугольников с помощью трех сгибов так, чтобы все грани представляли из себя равные треугольники, не представляется возможным. Чтобы доказать это, нам необходимо воспользоваться следующим фактом: "В трехгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов" ([53], С.20). В настоящее время он исключен из школьной программы. Для учащихся этот факт на данном этапе достаточно показать на интуитивном уровне, используя обычный лист бумаги. Но для данной заданной задачи мы можем доказать строго тот факт, что из тупоугольного и прямоугольного треугольников нельзя свернуть тетраэдра, удовлетворяющего условиям задачи.
