Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики 13
1. Интеграция, её сущность, роль и место в обучении математики 13
2. Цели и содержание школьного математического образования в школах (классах) с углубленным изучением математики 25
3. Интеграция методов решения уравнений и неравенств 39
Выводы по 1 главе 56
Глава 2. Методические аспекты интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики 58
1. Методическая система интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств 58
2. Методика решения уравнений и неравенств на основе интеграции алгебраического и геометрического методов 69
2.1. Неравенство треугольника и уравнения 73
2.2. Длина ломаной и уравнения 79
2.3. Теорема косинусов и уравнения 84
2.4. Расстояние отточки до прямой и уравнения 90
2.5. Неравенство для векторов и уравнения 97
2.6. Правильный треугольник и уравнения 106
2.7. Вписанные фигуры и уравнения 114
2.8. Экстремальные точки фигур и уравнения 129
2.9. Изопараметрические неравенства и уравнения 135
Выводы по 2 главе 147
Глава 3. Содержание и методика экспериментального обучения 149
1. Организация, проведение и анализ основных результатов констатирующего педагогического эксперимента 149
2. Организация, проведение и анализ основных результатов обучающего педагогического эксперимента 153
3. Организация, проведение и анализ основных результатов контрольного педагогического эксперимента 168
Выводы по главе 3 178
Заключение 179
Литература 182
Приложение 199
- Интеграция, её сущность, роль и место в обучении математики
- Методическая система интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств
- Организация, проведение и анализ основных результатов констатирующего педагогического эксперимента
Введение к работе
Углубленное изучение математики в школе предусматривает, помимо получения учащимися расширенного объема знаний и техники владения предметом, формирование у учащихся интереса к предмету, развитие математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой.
Реализация этих задач напрямую связана с содержанием математического образования. В классах с углубленным изучением математики проблема содержания математического образования решается по-разному. Одни - за счет углубления традиционных разделов курса математики средней школы, другие -за счет включения в программу различных разделов высшей математики. Ведущие ученые Я.И. Груденов, В.А. Гусев, В.А. Далингер, М.И. Зайкин, Ю.М. Колягин, Е.С. Канин, В.И. Крупич, Г.Л. Луканкин, Р.А. Майер, Н.И. Мерлина, В.И. Мишин, Г.Ю. Ризниченко, Г.И. Саранцев, Н.А. Терешин, П.М. Эрдниев и др. едины во мнении, что углубленное изучение математики должно происходить в основном через решение систем задач. Анализ современной педагогической, научно-методической литературы показывает, что многие студенты-первокурсники естественнонаучных и инженерных факультетов, в том числе выпускники школ (классов) с углубленным изучением математики, испытывают серьезные трудности, и прежде всего на первых этапах обучения. Эти трудности достаточно часто связаны с отсутствием навыков геометрической (наглядной) интерпретации, математических абстракций. Поскольку в классах с углубленным изучением математики обучаются, как правило, дети, которые связывают свое будущее со специальностями тесно, связанными с математикой, то еще в средней школе следует готовить их к преодолению вышеупомянутых трудностей.
Современный период развития системы школьного образования характеризуется единством процессов дифференциации и интеграции. Проблема дифференциации обучения математики исследовалась многими ведущими учеными: М.И. Башмаковым, СВ. Воробьевой, В.А. Гусевым, Ю.М. Колягиным, Г.Л. Луканкиным, Т.Х. Пономоревой, Г.И. Саранцевым, Е.Е.Семеновой, И.М. Смирновой, А.А. Столяром, СБ. Суворовой, Т.Н. Терешиным, М.В. Ткачевой, Р.А. Утеевой, Н.Е. Федоровой, В.В. Фирсовым, И.Э. Унтом и другими.
Интеграционные процессы в педагогике исследовались А.И. Азевичем, Н.С Антоновым, B.C. Безруковой, М.Н. Берулавой, В.И. Загвязинским, В.П. Каратеевым, В.Г. Ивановым, СА. Сергеенко, Г.А. Сулкарнаевой, Н.К. Чапаевой, СТ. Швецовой ([3], [14], [47], [57], [64], [73], [86], [130], [141], [144], [167], [182], [188]) и др.
Анализ проблем, касающихся интеграции школьных математических дисциплин проводится, главным образом, в рамках таких методико-математических направлений, как реализация внутри - и межпредметных связей (Н.Я. Виленкин, В.А. Далингер, В.М. Монахов, А.Г. Мордкович и др.), разработка интегрированных курсов (А.И. Азевич, В.Ф. Бутузов, А.С. Симонов, Ю.М. Колягин, Г.Л Луканкин, Н.И. Мерлина, Т.С. Полякова и др.), прикладная направленность (П.Т. Апанасов, С.С. Варданян, И.В. Егорченко, Н.А. Терешин, И.М. Шапиро и др.), укрупнение дидактических единиц (А.К. Артемов, СА. Атрощенко, Г.И. Саранцев, П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев и др.), преемственность в обучении математики (Ю.М. Колягин, М.Л. Сагателян, Л.Ю. Нестерова и др.).
В педагогике понятие интеграции рассматривается как процесс и результат создания неразрывно связанного, единого, цельного. В обучении она осуществляется путем слияния в одном синтезированном курсе (теме, разделе программы) элементов разных учебных дисциплин, слияния научных понятий и методов различных дисциплин в общенаучные понятия и методы познания. Интеграцию математического образования можно реализовать через методы,
приемы, содержательные линии курса и курсов, использование методов одной дисциплины в другой.
В последнее десятилетие школьная геометрия сильно «алгебраизирова-лась», что привело к уменьшению удельного веса геометрии в школьной математике. Это стало мешать как успешному преподаванию и усвоению геометрии, так и глубокому усвоению алгебры и других предметов. В работе И.Ф. Шарыгина [179] было отмечено: «то, что алгебра помогает геометрии, дает ей свой инструмент для исследования - явление обычное. Но важно и то, что геометрия может оказать большую помощь при обучении алгебре и другим математическим наукам. Всевозможные интерпретации и методы доказательств могут помочь в изучении алгебры, помочь понять смысл формул, вывести их, прочно запомнить. И эти возможности геометрии необходимо использовать»
Ведущим принципом совершенствования методической системы обучения математики является гуманизация математического образования, личностная ориентация обучения математике. Обучение геометрии способствует реализации данного принципа. Геометрическое развитие может быть отнесено к важнейшему фактору, обеспечивающему готовность человека к непрерывному образованию и самообразованию в самых разных областях человеческой деятельности, оно способствует всестороннему развитию учащихся.
Одним из решений данной проблемы могла бы быть «геометризация» курса алгебры. Содержательные связи между этими курсами позволяют интегрировать их методы при решении задач, в частности, решении уравнений и неравенств. Под интеграцией алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств с одной переменной, систем уравнений с двумя переменными обычно понимается интеграция алгебраического и графического методов решения. Эта интерпретация крайне полезна, так как графики функций позволяют наглядно представлять процесс и результат решения многих алгебраических задач, предупреждая тем самым формальный подход к их решению. Для классов с углубленным изучением математики сведение интеграции алгеб-
7 раического и геометрического методов при решении уравнений и неравенств к
интеграции алгебраического и графического методов недостаточно. Оно не позволяет использовать в полном объеме геометрические знания учащихся, возможности школьной геометрии, оценить единство математики, этапы (историю) ее развития и ограничивает возможности формирования у учащихся устойчивого интереса к предмету. Среди конкурсных задач на приемных экзаменах в ведущие вузы достаточно часто встречаются уравнения и неравенства, требующие или геометрического метода решения, или функционального. Одним из способов их конструирования (следовательно, решения) является обращение аналитических неравенств в равенства. Методика обучения учащихся такому приему достаточно хорошо разработана ([4], [40], [137], [162], [163], [171], [172], [173], [174], [175], [185]) и др. Геометрические неравенства- важная часть геометрии, позволяющая более глубоко изучать свойства фигур и связи их компонентов. Этому разделу геометрии в школе недостаточно уделяется внимания даже в классах с углубленным изучением математики. Изучение геометрических неравенств совместно с нетрадиционными (неалгебраическими) приемами решения уравнений позволяет существенно расширить возможности интеграции алгебраического и геометрического приемов решения уравнений.
В своей работе [71] Л.С. Капкаева, долгое время работающая над проблемой интеграции в среднем математическом образовании, отмечает что, «владея отдельно действиями над арифметическими и алгебраическими выражениями и геометрическими действиями, учащиеся не будут владеть деятельностью по решению алгебраических задач геометрическими методами. Для этого необходима специальная работа, направленная на овладение всей совокупностью действий, составляющих названную деятельность».
Все вышесказанное обуславливает актуальность проблемы поиска условий и средств реализации идеи интеграции курсов алгебры и геометрии через методы решения задач для школ (классов) с углубленным изучением математики.
8 Проблема исследования заключается в разрешении противоречия между
имеющимися потенциальными возможностями интеграции алгебраического и
геометрического методов решения задач в классах с углубленным изучением
математики и реально сложившейся практикой обучения математике в школе.
Цель исследования состоит в разработке методики решения уравнений и неравенств на основе интеграции алгебраического и геометрического методов и ее реализации в учебном процессе в классах с углубленным изучением математики.
Объектом исследования является процесс обучения алгебре и началам анализа в школах (классах) с углубленным изучением математики.
Предметом исследования является методика решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики на основе интеграции алгебраического и геометрического методов
Гипотеза: если разработать методику решения уравнений и неравенств на основе интеграции алгебраического и геометрического методов и внедрить ее в классы с углубленным изучением математики, то качество знаний и умений учащихся повысится.
Проблема, предмет, гипотеза исследования обусловили решение следующих задач:
На основе анализа психолого-педагогической, методической и математической литературы исследовать целесообразность и возможность интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики.
Определить принципы и критерии отбора содержания интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики.
Выделить специальные классы уравнений и разработать приемы их решения, указать технологию построения таких уравнений.
Разработать методику решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики на основе интеграции алгебраического и геометрического методов.
Раскрыть содержание и методику экспериментального обучения.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования'.
изучение математической, психолого-педагогической и методической литературы, программ, учебников, методических пособий по теме и близкой к теме исследования;
изучение опыта учителей, работающих в классах с углубленным изучением математики, опыта проведения конкурсных экзаменов в ведущие вузы страны и олимпиад по математике с целью сбора и анализа данных по проблеме исследования;
исследование и анализ специальных классов уравнений, решение которых основано на геометрических методах;
разработки и проведение спецкурса «Геометрические неравенства и уравнения» в школе-лицее и в классах с углубленным изучением математики;
Исследование проводилось поэтапно.
На первом этапе осуществлялся анализ психологической, методической и математической литературы по проблеме исследования, проводился констатирующий эксперимент.
На втором этапе были выделены специальные классы уравнений с приемами их решения, разработана методика решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики на основе интеграции алгебраического и геометрического методов, проведен обучающий эксперимент.
На третьем этапе проводился контрольный эксперимент с целью проверки эффективности и корректировки предлагаемой методики. Были проанализированы и обобщены результаты, полученные в ходе теоретического и экспери-
10 ментального исследования, что позволило сформулировать окончательные выводы. Оформлялась диссертационная работа.
Базой исследования явились старшие классы лицея №4 города Рузаевки и математический факультет Мордовского государственного университета. Исследование проводилось в 1999 - 2004гг.
Научная новизна проведенного исследования заключается в совершенствовании математического содержания для классов с углубленным изучением математики на основе интеграции алгебраического и геометрического методов решения задач.
Выделены классы уравнений и неравенств, в решении которых сочетаются и чередуются методы алгебры и геометрии.
Теоретическая значимость результатов исследования заключается в обосновании целесообразности и возможности интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики; в выделении специальных классов уравнений; в создании задач и технологии их конструирования на основе интеграции алгебраического и геометрического методов решения.
Практическая значимость результатов исследования состоит в возможности использования разработанной методики решения уравнений и неравенств на основе интеграции алгебраического и геометрического методов в классах с углубленным изучением математики на уроках, факультативах и спецкурсах, в совершенствовании программы и учебных пособий для учащихся средних школ. Результаты исследования могут быть использованы преподавателями педагогических институтов и университетов при подготовке лекционных и практических занятий по математическому анализу и геометрии.
Методологическую основу исследования составили работы по проблеме диалектического единства теории и практики, теории познания, образования и воспитания, теории развития личности, концепции деятельного подхода, труды выдающихся психологов, педагогов и методистов.
Обоснованность и достоверность выводов и рекомендаций исследования подтверждаются достижениями математики и теоретическими разработками в области психологии, педагогики и методики обучения математике, результатами работы в школе-лицее и в классах с углубленным изучением математики, преподавателями математического факультета Мордовского государственного университета, положительной оценкой методических материалов методистами, учителями, работающими в классах с углубленным изучением математики, проведенным педагогическим экспериментом и статистической обработкой его результатов.
На защиту выносятся:
Теоретические положения по интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств, позволяющие совершенствовать процесс углубленного обучения математике.
Классы алгебраических задач, допускающие решение методами интеграции, и описание методических особенностей каждого класса.
Методические рекомендации к конструированию специальных классов уравнений, полученных обращением геометрических неравенств в равенства.
4. Методика решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики на основе интеграции алгебраического и геометрического методов.
Апробация и внедрение результатов исследования проводились в виде докладов и выступлений на научно - методических семинарах кафедры математического анализа и кафедры общей математики Мордовского государственного университета (1998 - 2004 г.), на научных конференциях университета (1997 - 2004), на межвузовской научно - методической конференции (Н. Новгород, 2001.), на межрегиональной научной конференции (Киров, 2001), на международной научно-практической конференции (Пенза, 2002), на международной конференции (Чебоксары, 2004), обсуждались на страницах журнала «Математика в школе» (№ 9 и № 10, 2004), а также в форме занятий в лицее №4
12 г. Рузаевки в классах с углубленным изучением математики, практикума по
решению задач со студентами математического факультета Мордовского государственного университета.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и трех приложений. Основное содержание изложено на 217 страницах машинописного текста. Список использованной литературы составляет 188 наименований.
Интеграция, её сущность, роль и место в обучении математики
Современный период развития общества характеризуется многочисленными интегративными процессами в экономической, политической, информационной, культурной и других сферах социальной жизни. Выявление различных форм интеграции, причин их возникновения и тенденция развития, раскрытие противоречивого характера интеграционных процессов в современном обществе - чрезвычайно важная в мировоззренческом, методологическом и непосредственно практическом плане задача всех общественных наук.
Чтобы понять сущность этих процессов в школьном математическом образовании, необходимо знать содержание понятия «интеграция» и историю развития интегративных процессов.
Понятие «интеграция» (от латинского integer - целый) означает процесс сближения и связи наук, происходящий наряду с процессами их дифференциации [29].
Раскрыть сущность процессов интеграции в современном знании можно лишь в единстве с прямо противоположными им процессами дифференциации. Дифференциация и интеграция в развитии знания не сосуществуют друг с другом, не идут одна за другой, а проявляются одна в другой и через другую, взаи-мообуславливая, взаимопредполагая и одновременно взаимоотрицая друг друга; в своем единстве они отражают сложность, противоречивость как развитие познания, так и складывающейся в процессе этого развития структуры научного знания.
Интеграция - это процесс взаимопроникновения, уплотнения, унификации знаний, проявляющихся через единство с противоположным ему процессом расчленения, размежевания, дифференциации [69].
Процессы интеграции и дифференциации в науке тесно взаимосвязаны. Дифференциация играет ведущую роль преимущественно на начальных этапах развития науки. В то же время она узко специализирована. При этом могут быть утрачены взаимосвязи наук, ограничивается кругозор обучаемого, и проявляются другие негативные последствия. В свою очередь интеграционные процессы возникают лишь при высокой степени дифференциации науки. Интеграция представляет собой процесс движения и развития определенной системы, в которой число и интенсивность взаимодействий ее элементов растет — усиливается их взаимосвязь и уменьшается их относительная самостоятельность по отношению друг к другу. При этом могут проявляться новые формы взаимодействия, т.е. формы, которых не было в прежней истории этой системы.
Интеграция в образовании имеет глубокие дидактические корни и развитые исторические традиции. Идея интеграции в образовательном процессе получила свое обоснование и развитие в трудах классиков педагогической науки А. Дистервега, ЯЛ. Коменского, И.Г. Песталоцци, К.Д. Ушинского. Необходимо отметить, что в истории развития науки проблема интеграции - одна из старейших. Идея о единстве научных знаний находила отражения в работах древних мыслителей. Эту проблему пытались решать с различных исходных позиций Платон, Аристотель, Кант, Гегель, Д.И. Менделеев, А. Эйнштейн, Т. Павлов, Н. Винер, Л. Берталанфи, Д. Бернал и др.
Развитие интеграционных процессов в российском образовании можно разделить на три этапа: 1) конец XIX века - 20-е гг. - проблемно - комплексное обучение на межпредметной основе (трудовая школа);
2) 50-е — 70-е гг. - межпредметные связи;
3) 80-е — по наше время - собственно интеграция.
До XIX века развитие наук осуществлялось на основе их дифференциации, а со второй половины XIX века доминирующей становится интеграция. На этом этапе интеграция осуществлялась посредством объединения некоторых сторон двух или нескольких наук в одну. Дифференциация, в свою очередь, развивалась путем возникновения стыковок наук и дальнейшего их «расхождения». С конца XIX века существует органическое единство интеграции и дифференциации как единого процесса развития науки. В начале XX века, как отметил Б.М. Кедров[74], «... в развитии естествознания выступили две прямо противоположные и, казалось бы, взаимоисключающие тенденции: одна состояла в раздроблении и разветвлении наук, их дифференциации, другая, напротив - в стремлении объединить разобщенные науки в общую систему научного знания, т. е. в их интеграции».
В педагогике научное понятие «интеграция» появилось в 80-е гг. XX века. Первое определение принадлежит И.Д. Звереву. Он разграничил понятия «интеграция» и «координация». « Собственно интеграция означает объединение нескольких учебных предметов в один, в котором научные понятия связаны общим смыслом и методами преподавания»; «координация» - «тщательно разработанная взаимосвязь учебных предметов (межпредметные связи)» [60]. В поздней работе, написанной им совместно с В.Н. Максимовой [61], интеграция рассматривается как процесс и результат создания неразрывно связанного, единого, цельного. «В обучении она осуществляется путем слияния в одном синтезированном курсе (теме, разделе программы) элементов разных учебных предметов, слияния научных понятий и методов различных дисциплин в общенаучные понятия и методы познания, комплексирования и суммирования основ наук в раскрытии межпредметности учебных программ». Исследователи, изучающие проблемы интеграции в образовании, Н.С. Антонов, Н.В. Груздева, И.Д. Зверев, П.Г. Кулагин, Н.А. Лошкарева, В.Н. Максимова, С.А. Сергеенко, Г.Ф. Федорец, В.Н. Федорова и др., рассматривают интеграцию научных знаний в содержании образования как отражение полного и неполного межнаучного взаимодействия.
К концу XX века понятие интеграции стало объектом пристального внимания философских исследований и приобрело статус философской категории (восстановление, объединение в целое каких-либо частей, элементов или состояние связанности отдельных дифференцируемых частей в целое, а также процесс, ведущий к такому состоянию). При этом большое значение имеют сущностные стороны понятия интеграции: объединительный процесс, основанный на развитии взаимосвязей между элементами, связанный с формированием целостной системы или укреплением единства.
В настоящее время научная интеграция часто воспринимается как особая гносеологическая акция, сторона процесса познания, путь познания истины в науке. Такое понимание интеграции встречается в работах СТ. Мелюхина, В.С.Полянского ([98], [112]).
Методологические проблемы интеграции научных знаний привлекают внимание многих современных ученых. Ряд авторов указывают на важную роль принципов диалектики в интеграции наук ([15], [138], [160], [168], [169]) и др. Многогранность и многомерность понятия интеграции ставят перед философией новые методологические проблемы. Философские исследования интеграции отражены в работах ([1], [5], [13], [16], [26], [68], [69], [153], [154]) и др.
Интеграционные процессы в науке, проявляющиеся в формировании общенаучных понятий, рассматривались в публикации А.Д Урсула [155]. Так этим автором было отмечено, что общенаучный характер новых интегративных форм и средств познания заключается в том, что они выполняют ряд общих логико-гносеологических функций в науке: методологическую, метатеоретиче-скую, формализацию и математизацию, синтез знаний, их систематизацию и упорядочение, перенос, трансляцию, коммуникацию и «перевод» с одного специально - научного языка на другой и т.д..
Интеграция является важнейшим средством достижения единства знания во всех формах и типах его выражения: содержательном, структурном, логико-гносеологическом, научно-организационном, лингвистико-семиотическом, обще - и частнометодологическом.
Большое количество споров возникает по поводу определения понятий «интеграция знаний» и «синтез знаний». Многие авторы не разграничивают понятий «синтез » и «интеграция» на том основании, что не усматривают различий между процессами, которые они выражают. Так М.Г. Чепиков [168] по данному вопросу пишет следующее: «Что касается соотношения интеграции и синтеза, то между этими процессами мы не видим существенной разницы, поскольку интеграция и синтез, по нашему мнению, есть взаимопроникновение, соединение, «сплав» различных элементов наук, знаний в единое целое».
Одной из первых в философской литературе проблему соотносительности интеграции и синтеза знаний поставила Н.Р. Ставская [138], она отметила, что интеграция включает в себя синтез, не сводясь к нему, не исчерпываясь им.
М.С. Асимов и А. Турсунов [15] рассматривают синтез как слияние взаимодействующих систем в « однородную целостность», а интеграцию - как «единство многообразного», где дифференцированность «диалектически отрицается - сохраняется на уровне элементов, снимается на уровне системы». Ин-тегративные закономерности соответственно истолковываются как закономерности становления целостности.
Методическая система интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств
Для изучения сложных явлений, которым является интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств, в науке используется системный анализ, суть которого заключается в представлении этого явления, выделении компонентов и связей между ними.
В работе известного ученого В.Г. Афанасьева система рассматривается как «совокупность объектов, взаимодействие которых вызывает появление новых интегративных качеств, не свойственных отдельно взятым образующим систему компонентам. ... Чтобы всесторонне познать систему, нужно изучить, прежде всего, ее внутреннее строение, то есть установить, из каких компонентов она образована, каковы ее структура и функции, а также силы, факторы, обеспечивающие ее целостность, относительную самостоятельность» [16]. Таким образом, всякая система обладает определенным набором компонентов. Компоненты в философском понимании - это те структурные единицы, взаимодействие которых обеспечивает присущие системе качественные особенности. Как указывал Г.И. Саранцев, «в качестве предмета методики должна выступать идеализация ее объекта, его мысленное представление в сознании исследователя. Такой идеализацией объекта является методическая система, которая должна охватывать наиболее важные компоненты исследуемого объекта. ... Методическая система, адекватная исследуемому феномену, содержит структуру, содержание этого феномена, цели, средства, методы и формы его функционирования» [127]. В нашем случае объект - это интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств, а предмет - методическая система «Интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств» компонентами которой являются: цели, содержание, способы, формы и средства интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств, а также личность. Данная методическая система является подмножеством методической системы «Обучение математике» и тесно связана с ней.
Лидирующим компонентом методической системы являются цели интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств, они определяют все остальные компоненты. В философской литературе категория «цель» трактуется как предвосхищение в сознании результата деятельности, на достижение которого направлены действия. Академик А.Д. Александров, говоря о целях математического образования в своей работе [11], писал: «По более широкому пониманию, цель среднего образования состоит в том, чтобы дать человеку основные практически нужные знания и развить его личность, развить духовно, в умственном и нравственном отношении». Цели интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств должны включать в себя образовательные, развивающие и воспитательные цели. В связи с этим целями интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств будут:
1) формирование единства математики и ее методов через решение уравнений и неравенств алгебраическим и геометрическим методами решения;
2) усвоение как алгебраических, так и геометрических знаний, умений и навыков при решении уравнений и неравенств;
3) формирование умений осуществлять математическое моделирование при решении уравнений и неравенств;
4) воспитание математической культуры и эстетического воспитания учащихся, так как интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств позволяет сравнивать эти методы, выбирать наиболее рациональный из них и дает возможность получать иногда оригинальные, красивые решения.
Реализация целей в обучении происходит через содержание математического образования. Содержанием интеграции является алгебраический и геометрический методы решения уравнений и неравенств, рассматриваемые в обучении математике как способы познавательной деятельности учащихся, основанные соответственно на системе алгебраических и геометрических знаний. Наиболее перспективной формой реализации интеграции алгебраических и геометрических методов решения уравнений и неравенств, на наш, взгляд может стать математическое моделирование.
Математическая модель - приближенное описание какого-нибудь класса явлений, выраженное на языке определенной математической теории, с помощью системы алгебраических уравнений или неравенств, дифференциальных или интегральных уравнений, функций, системы геометрических предположений или других математических объектов» [101].
Математическая модель позволяет глубже понять суть вещей, оценить целостность и структурность учебного материала, а также способствует повышению осмысленности рассматриваемого материала и включает нейрофизиологические механизмы восприятия и понимания, привлекает обучаемых к исследовательской деятельности с элементами моделирования. Вовлечение учащихся в процесс моделирования облегчает усвоение учебного материала на новом качественном уровне. Применение математического моделирования разбивает процесс решения задачи на определенные этапы:
1. Формализация - перевод предложенной задачи (ситуации) на язык определенной математической теории (построение математической модели задачи).
2. Решение задачи в рамках этой теории (решение внутри задачи).
3. Перевод результата решения задачи на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача (интерпретация полученного решения). В обучении математике все три этапа моделирования присутствовали в основном только при решении текстовых (сюжетных) задач. А в случаях решения уравнений и неравенств этапы формализации и интерпретации часто отсутствовали, так как алгебраические задачи решались в основном только алгебраическими средствами. Это не позволяло формировать у учащихся осуществления перевода алгебраической задачи на геометрический язык и интерпретации полученного результата. Применение геометрического метода решения уравнений и неравенств позволит ликвидировать указанный пробел.
Организация, проведение и анализ основных результатов констатирующего педагогического эксперимента
Целью констатирующего эксперимента было определение умения учащихся старших классов школ с углубленным изучением математики применять как алгебраический, так и геометрический методы, так и их сочетание и чередование при решении алгебраических задач.
На данном этапе эксперимента использовались следующие методы: наблюдение за проведением разных видов занятий по математике другими преподавателями, беседы с ними, а также анализ проведенной с учащимися контрольной работы.
Констатирующий эксперимент проводился в 1999 - 2002 гг. В нем участвовали школьники 11-х классов лицея № 4 г. Рузаевки. Всего 85 человек.
При проведении констатирующего эксперимента на подготовительном этапе решались следующие задачи:
- отбор содержания учебного материала, удовлетворяющего целям и задачам исследования;
- выявление возможности интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств;
- выбор экспериментальных и контрольных групп для будущего исследования;
- разработка и составление комплекса задач для осуществления учебной деятельности.
Для определения наличия уровня сформированности умений и навыков использования сочетания и чередования алгебраического и геометрического методов решения уравнений проводилась проверочная работа. Она была рассчитана на один академический час и включала пять задач, решение которых основано на использовании геометрического материала, в методах решения уравнений не выходящего за рамки школьной программы. Контрольная работа содержала одну задачу воспроизводящего характера, две задачи частично-поискового характера, две задачи исследовательского характера.
Считалось, что учащийся умеет сочетать и чередовать алгебраический и геометрический методы при решении уравнений, если он при решении уравнений использует не только алгебраические приемы решения, но и геометрические приемы (т.е. использует геометрические знания и умения). Выполнение работы оценивалось по следующей шкале: не решена ни одна из предложенных задач - 0 баллов, верно решена только одна задача - 1 балл, верно решены две, три, четыре и пять задач - соответственно 2, 3, 4 и 5 баллов.
Результаты выполнения работы учащимися представлены в таблице 2.
Полностью с решением контрольной работы не справился ни один учащийся. Задачи 1 и 2 не представили особой трудности для большинства учащихся, поэтому правильное их решение было у 95%. Задачу 4 правильно решили только 35%. Задачи 3 и 5 являются нестандартными и относятся к классам уравнений и систем, рассматриваемых в данной работе.
Результаты констатирующего эксперимента подтверждаются многолетним опытом вступительных экзаменов в Мордовский госуниверситет на различные факультеты, а также работой подготовительных курсов при МГУ им. Н.П. Огарева.
При обсуждении результатов констатирующего эксперимента с ведущими школьными учителями Мордовии удалось выяснить, что низкий процент положительного результата проверочной контрольной работы в большинстве своем обусловлен отсутствием методических разработок и рекомендаций, учитывающих применение сочетания и чередования алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств.
Выше сказанное позволяет сделать вывод о том, что трудности при решении данных задач могут быть устранены при использовании методики, разработанной в главе 2.
В ходе дальнейшего экспериментального исследования осуществлялась корректировка предлагаемых нововведений и проводилась проверка эффективности разработанной методики.
