Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Теоретические предпосылки организации процесса обобщающего повторения по теме «Числовые множества» на основе понятия «алгебраическая структура» в классах с углубленным изучением математики 13
1.1 Проблема обобщения в процессе обучения математике в школе 13
1.1.1 Способность к обобщениям как структурная составляющая процесса интеллектуального воспитания школьников 13
1.1.2 Понятие обобщения в психолого-педагогической литературе 16
1.1.2.1 Обобщение как операция мышления 18
1.1.2.2 Трактовка понятия обобщения в педагогической науке 22
1.1.2.3 Роль обобщения в методике преподавания математики 26
1.1.3 Обобщающее повторение 30
1.2 Структурный аспект школьного курса математики на примере цикла уроков обобщающего повторения по теме «Числовые множества» в классах с углубленным изучением математики 34
1.2.1 «Алгебраическая структура» как одно из ведущих понятий школьного курса математики 34
1.2.2 Основные определения понятий темы «Числовые множества» в контексте понятия «алгебраическая структура» 40
1.2.3 Алгебраические структуры в школьном курсе математики.. 45
1.2.3.1 Проблема модернизации содержания школьного математического образования на основе
понятия «алгебраическая структура» 45
1.2.3.2 Содержательная линия числа в современных школьных учебниках 50
1.3 Структурирование учебного материала для цикла уроков обобщающего повторения на основе понятия «алгебраическая структура» 60
Выводы главы 1 76
Глава 2 Методика проведения обобщающего повторения в классах с углубленным изучением математики 77
2.1 Методика проведения обобщающего повторения по теме «Числовые множества» 77
2.2 Организация и основные итоги эксперимента 99
Выводы главы 2 115
Заключение 116
- Проблема обобщения в процессе обучения математике в школе
- Методика проведения обобщающего повторения по теме «Числовые множества»
- Организация и основные итоги эксперимента
Введение к работе
В Программе для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев, а также в Концепции математического образования в 12-летней школе отмечается, что одной из основных целей обучения математике в школе вообще, и в классах с углубленным изучением математики в частности, является интеллектуальное развитие школьников, формирование таких качеств мышления, которые характерны для математической деятельности. Интеллектуальное развитие подразумевает развитие способностей к анализу, синтезу, обобщению. [126, 82, 83,167].
Помимо выявления и развития интеллектуальных и математических способностей углубленное изучение математики предполагает выработку ориентации на профессии, существенным образом связанные в перспективе с математическим циклом дисциплин. Это связано с тем, что большинство школьников, обучающихся в классах с углубленным изучением математики, в будущем планируют продолжить свое образование в вузах, где математика является профилирующим предметом.
Однако личный опыт работы в университете и анализ современной педагогической и методической литературы показывают, что многие студенты-первокурсники естественно - научных и особенно математических факультетов университетов, в том числе и выпускники математических школ и классов, испытывают серьезные трудности, прежде всего на первых этапах обучения в высшей школе, при изучении математических теорий высокого уровня абстракции. Следовательно, учащихся классов с углубленным изучением математики целесообразно подготовить к преодолению упомянутых трудностей в процессе изучения математики в школе, например, провести курс обобщающего повторения в контексте одного из фундаментальных математических понятий. В качестве такого ведущего понятия можно выбрать понятие алгебраической структуры.
Таким образом, выявляется проблема поиска методики обобщения и систематизации знаний при контекстуальном обобщающем повторении для учащихся классов с углубленным изучением математики.
В качестве темы, на материале которой проиллюстрирована методика организации обобщающего повторения, взята тема «Числовые множества» в 10 классе.
Выбор этой темы обоснован следующими соображениями:
- содержательная линия числа является одной из ведущих линий школьного курса математики, которая изучается с первых классов. Знания о числе и числовых множествах приобретаются на протяжении ряда лет, следовательно, очевидна необходимость разработки методики их систематизации;
- рассматривая различные числовые множества с введенными на них операциями, а затем множества нечисловой природы (векторы, многочлены, геометрические преобразования) с соответствующими операциями, можно показать общую идею, связывающую все эти объекты (алгебраическая структура). В этом случае обобщение знаний будет проводиться на новом идейном уровне;
- изучая, например, разбиение множества целых чисел (Z) на непересекающиеся классы (фактор-множество Z/nZ) в соответствии с остатком при делении на данное натуральное число и вводя операции во множестве классов, мы продемонстрируем примеры алгебраических структур (групп, колец, полей). Таким образом, мы покажем связь школьной и вузовской математики.
Практическим введением в курс средней школы понятия алгебраической структуры (группы, кольца, поля) занимались многие ученые. Профессор киевского университета Д.А. Граве (1915 г.) выступал за модернизацию курса алгебры русской средней школы в плане введения понятия поля. Во Франции А. Лихнерович в процессе подготовки будущих учителей математики, а также в процессе работы Международной комиссии по изучению и улучшению преподавания математики (1953 г.) говорил о необходимости проникновения духа современной алгебры в элементарную алгебру и геометрию [93]; профессор Ж. Папи (1963 г.) организовал эксперимент по обучению школьников понятиям высшей алгебры (группы, кольца, поля, векторные пространства) [172]. Но для массовой школы попытка органического слияния в едином курсе «классических» и «современных» разделов математики не увенчалась успехом.
О необходимости введения ряда идей абстрактной алгебры в школьную математику говорил академик П.С. Александров (1935 г.), за внедрение обобщающих и объединяющих понятий (отношение, группа, поле, линейное пространство) - как итогов изучения - выступали А.И. Маркушевич [102], Г.А. Гинзбург [39]. Аналогичную точку зрения высказывал Ш. X. Михелович [110], утверждая, что знакомство с алгебраическими структурами можно проводить на теоретико-числовой основе. В работе В.В. Деменчука [56] в популярной форме рассказывается о началах абстрактной алгебры. Авторы А.Д. Семушин, О.С. Кретинин, Е.Е. Семенов [140] показывают возможности обучения обобщению и конкретизации на уроках алгебры на примере пропедевтики теоретико-групповых представлениий в различных классах средней школы. В основном подход к вопросу пропедевтики алгебраических структур либо сугубо научный, либо научно-популярный, либо фрагментарный (на протяжении нескольких лет обучения, в момент изучения соответствующего программного материала).
Мы полагаем, что большей эффективностью будет обладать не фрагментарный подход, а проведение цельного курса (или цикла уроков) обобщающего повторения.
Таким образом, существует объективная необходимость творческого переосмысления учебного материала темы «Числовые множества» и разработка принципов его отбора с тем, чтобы на примере этой конкретной темы найти эффективные способы, как показать учащимся особенности обобщения знаний о числе на основе понятия алгебраической структуры и начать подготовку учащихся к более действенному изучению математических абстракций.
Все сказанное выше определяет актуальность темы исследования.
На наш взгляд понятие алгебраической структуры, во-первых, должно появиться естественным образом в ходе повторения изученного материала, а, во-вторых, в результате построения теоретических обобщений, которые возникают в процессе решения специально подобранных задач.
Проблема исследования заключается в выделении фундаментального математического понятия, которое будет служить основой для структурирования материала курса обобщающего повторения темы «Числовые множества» в классах с углубленным изучением математики.
Объектом исследования является процесс обучения математике в классах с углубленным изучением математики.
Предметом исследования является содержание учебного материала темы «Числовые множества».
Гипотеза исследования состоит в том, что если методику организации обобщения знаний о числовых множествах строить на основе понятия алгебраической структуры, то это позволит преобразовать сумму знаний учащихся о числовых множествах в действенную систему, что в свою очередь будет стимулировать интеллектуальное развитие школьников и сократит разрыв между школой и вузом.
Из проблемы и гипотезы исследования вытекает необходимость решения следующих задач исследования:
1. Структурировать учебный материал курса обобщающего повторения темы «Числовые множества» в контексте понятия «алгебраическая структура».
2. Разработать систему упражнений, ориентированную на обобщение и систематизацию знаний по теме «Числовые множества».
3. Разработать методику организации обобщающего повторения темы «Числовые множества».
4. Провести экспериментальную проверку разработанной методики.
При решении поставленных задач использовались следующие методы исследования:
анализ математической, психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования; анкетирование учителей, работающих в классах с углубленным изучением математики, проводящих занятия со школьниками, увлекающимися математикой, с целью сбора и анализа данных по проблеме исследования; структурирование содержания темы «Числовые множества»; организация и проведение апробации материалов в процессе обучения (обучающий эксперимент); количественная и качественная обработка данных, полученных в процессе апробации.
В ходе исследования автором учитывался собственный опыт работы в качестве учителя средней школы (общеобразовательный курс и курс углубленного изучения математики), преподавателя математического факультета Кубанского государственного университета, преподавателя Краснодарского краевого института дополнительного профессионального педагогического образования (курсы повышения квалификации учителей г. Краснодара и Краснодарского края), преподавателя летних математических школ Краснодарского края.
Диссертационное исследование проводилось с 1994 г. по 2001 г. и включало в себя несколько этапов.
На первом этапе был проведен анализ математической, психолого-педагогической и методической литературы, определен предмет исследования, организован поисковый эксперимент, проведено тестирование учителей.
На втором этапе была разработана методика обобщения знаний о числе, обоснованы принципы отбора теоретического материала для проведения обобщающего повторения по теме «Числовые множества» на основе понятия алгебраической структуры с учетом обобщенных теоретических знаний и взаимосвязи их с методами решения задач. Также была проведена подборка системы задач и даны методические рекомендации по их решению.
На третьем этапе разрабатывалась методика проведения педагогического эксперимента и осуществлялась его реализация.
На четвертом этапе была проведена количественная и качественная обработка материалов эксперимента, сформулированы общие выводы и заключение по проведенному исследованию, подготовлен текст диссертации.
Научная новизна и теоретическая значимость настоящего диссертационного исследования обусловлена тем, что в нем:
- обоснована необходимость и возможность использования понятия «алгебраическая структура» как основы для обобщения знаний учащихся классов с углубленным изучением математики по теме «Числовые множества»;
- обоснована необходимость введения в программу для 10-х классов с углубленным изучением математики цикла уроков обобщающего повторения в контексте одного из ведущих понятий математики «алгебраическая структура» на примере темы «Числовые множества»;
- сформулированы принципы отбора теоретического материала для проведения уроков обобщающего повторения на основе выделенного ведущего понятия;
- реализована организация обобщающего повторения темы «Числовые множества», в результате которой естественным образом появляется понятие алгебраической структуры.
Практическая значимость работы заключается в том, что разработанная методика проведения обобщающего повторения темы «Числовые множества» в контексте понятия алгебраической структуры может быть использована учите лями, преподающими в классах с углубленным изучением математики; учителями, проводящими занятия с одаренными школьниками; преподавателями педвузов для проведения спецкурсов; абитуриентами при подготовке к поступлению в вуз (разделы «Позиционная запись числа» и «Обобщенные признаки делимости»).
На защиту выносятся следующие теоретические положения:
1. Теоретическое обоснование необходимости проведения курса обобщающего повторения на основе понятия «алгебраическая структура» в классах с углубленным изучением математики.
2. Методические особенности процесса обобщения признаков делимости на некоторые натуральные числа, способствующего формированию представлений школьников о возникновении новых алгебраических структур, что в свою очередь стимулирует развитие интеллектуальных способностей школьников и сокращает разрыв между школой и вузом.
Апробация результатов исследования. О результатах исследования регулярно докладывалось на Герценовских чтениях в РГПУ им. А.И. Герцена (1997 - 2001 гг.), на семинарах и курсах повышения квалификации учителей математики Краснодарского края, на методических семинарах кафедры высшей алгебры и геометрии Кубанского государственного университета.
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.
Наиболее важные положения и результаты исследования отражены в следующих публикациях автора:
1. Теория чисел в задачах школьного курса математики // Сочетание общекультурной и предметной составляющих в общем математическом образовании учащихся и в профессиональной подготовке будущих учителей матема тики. Тезисы докладов на Герценовских чтениях/ Под ред. В.В. Орлова. -СПб.: Изд-во «Образование», 1997. - С. 55-56.
2. Теоретические основы преподавания теории чисел в школе //Тезисы 16 Всероссийского семинара преподавателей математики и методики ее преподавания университетов и педагогических вузов России. - Новгород, 1997. - С. 89-90.
3. Некоторые принципы построения факультативных курсов на примере курса «Теория чисел» для средней школы //Личностно-ориентированный подход при обучении математике (содержательный и процессуальный аспекты). Тезисы докладов 51-х Герценовских чтений / Под ред. В.В. Орлова. - СПб.: Изд-во «Образование», 1998. - С.79.
4. Теория чисел в задачах школьного курса математики: Книга для учителя. Краснодар, 1998. - 51 с.
5. Некоторые аспекты обобщения теоретических знаний учащихся в классах с углублённым изучением математики // Проблемы и перспективы развития методики обучения математике. Сборник научных работ, представленных на Всероссийскую научную конференцию «52-е Герценовские чтения»/ Под ред. В.В. Орлова. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 1999. - С. 160 (в соавторстве с Е.А. Семенко).
6. О систематизации знаний учащихся средних школ // Методические аспекты реализации гуманитарного потенциала математического образования. Сборник научных работ, представленных на Всероссийскую научную конференцию «53 Герценовские чтения»/ Под ред. В.В. Орлова. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2000. - С. 145 (в соавторстве с Е.А. Семенко, В.Н. Сукманюк).
7. Интеллектуальное развитие школьников на основе обобщения знаний о числе // Проблемы теории и практики обучения математике. Сборник научных работ, представленных на Всероссийскую научную конференцию «54-е
Герценовские чтения»/ Под ред. В.В. Орлова. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2001.- С. 166.
8. Обобщающее повторение школьного курса математики в контексте ведущего понятия «Алгебраическая структура» // Проблемы теории и практики обучения математике. Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию «55 Герценовские чтения»/ Под ред. В.В. Орлова. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2002. - С. 180.
Проблема обобщения в процессе обучения математике в школе
В программно-методических материалах по математике [82, 83, 126, 167] в качестве одной из основных целей математического образования названо интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе.
Пониманием роли мыслительного процесса как внутреннего условия, опосредующего любые виды внешних воздействий (в том числе - учебных), было продиктовано решение вопроса о составе и структуре умственных способностей. Так С. Л. Рубинштейн полагал, что "ядром" или общим, главным компонентом любой умственной способности является свойственное данному человеку качество процессов анализа, синтеза и обобщения. Особую роль при этом играет обобщение отношений между понятиями в том или ином предметном материале (включая, разумеется, и материал школьного курса математики).
Таким образом, по мнению С. Л. Рубинштейна, индивидуальный интеллект складывается по мере того, как образуются, генерализируются и закреп 14 ляются основные мыслительные операции: анализ, синтез, обобщение, классификация и т. д. Вторым, производным компонентом способностей он считал более или менее слаженную и отработанную совокупность этих операций. Так что суть интеллектуального воспитания личности заключается в формировании культуры тех внутренних процессов, которые лежат в основе способности к постоянному возникновению у человека новых мыслей, что служит самым очевидным критерием уровня интеллектуального развития.
По определению Ж. Пиаже [119], интеллект - это наиболее совершенная форма адаптации организма к среде, представляющая собой единство процесса ассимиляции (то есть воспроизведения элементов среды в психике субъекта в виде когнитивных психических схем) и процесса аккомодации (то есть изменения этих когнитивных схем в зависимости от требований объективного мира). Таким образом, суть интеллекта, по Ж. Пиаже, заключается в возможности осуществлять гибкое и одновременно устойчивое приспособление к физической и социальной действительности, а его основное назначение состоит в структурировании (организации) взаимодействия человека со средой.
По мнению Ж. Пиаже, развитие интеллекта представляет собой стихийный, подчинённый своим особым законам процесс вызревания операциональных структур (схем), постепенно вырастающих из предметно-житейского опыта ребенка. Следовательно, интеллектуальное развитие есть развитие именно операциональных структур интеллекта. В ходе этого развития мыслительные операции постепенно приобретают качественно новые свойства: скоординиро-ванность (то есть взаимосвязанность и согласованность множества операций), обратимость (то есть возможность в любой момент вернуться к начальной точке своих рассуждений, перейти к рассмотрению объекта с прямо противоположной точки зрения), автоматизированность (то есть непроизвольность применения), сокращённое (то есть невыявленность отдельных звеньев).
Благодаря сформированности мыслительных операций оказывается возможной полноценная интеллектуальная адаптация подростка к происходящему. Наиболее яркой иллюстрацией подобной формы адаптации, по мнению Ж. Пиаже, является именно математическое творчество.
X. Вернер полагал, что своеобразие высшего уровня умственного развития заключается в появлении межфункциональных связей и субординации низших уровней познавательной активности по отношению к высшим. Все эти процессы определяются работой "обобщающего мышления", которое и является психологической основой эффективных знаний о мире.
Методика проведения обобщающего повторения по теме «Числовые множества»
Многими учеными-методистами нашего времени отмечается, что математическая подготовка учащихся оставляет желать лучшего. Наблюдается формализм математических знаний выпускников средних школ (в том числе - и классов с углубленным изучением математики), их недостаточная действенность; недостаточный уровень математической культуры и математического мышления. Во многих случаях изучаемый конкретный материал не складывается в систему знаний; учащийся оказывается «погребен» под массой обрушивающейся на него информации, будучи не в состоянии самостоятельно ее структурировать и осмыслить [153].
Преодолеть разобщенность различных блоков учебного материала, изолированность отдельных тем и разделов возможно лишь на основе выделения в курсе математики основных стержней (фундаментальных идей, ведущих понятий). Выделение ведущего понятия повлечет за собой упорядочение этих блоков учебного материала, относящихся, быть может, к нескольким классам школьного курса математики.
Следовательно, очевидна целесообразность разработки методики проведения обобщающего повторения в контексте выделяемого ведущего понятия, играющего роль логического стержня в математическом содержании.
Акцентируем внимание на том, что понятие высокой степени абстракции - «алгебраическая структура» - появится в результате цепочки последовательных обобщений на материале, который школьником уже изучался (позиционная запись числа, признаки делимости). В были сформулированы и обоснованы принципы отбора содержания учебного материала при изложении темы обобщающего повторения «Числовые множества» в контексте ведущего понятия «алгебраическая структура»:
- принцип группировки отбираемого материала вокруг выделенного ведущего понятия;
- принцип построения последовательных содержательных обобщений;
- принцип логического завершения изучаемого материала.
Тематика обобщающего повторения темы «Числовые множества», связанная с понятием алгебраической структуры, была выбрана на основании следующих соображений.
1. Содержательная линия числа является одной из ведущих линий школьного курса математики, которая изучается с первых классов. Знания о числе и числовых множествах приобретаются на протяжении ряда лет, следовательно, очевидна необходимость разработки методики их систематизации.
2. Содержание и методика проведения обобщающего повторения по указанной теме разработаны недостаточно, так как на основе анализа литературы, можно сделать вывод, что, изучив различные числовые множества с введенными на них операциями, а также множества нечисловой природы (векторы, многочлены, геометрические преобразования), школьник не видит общую идею (алгебраическая структура), связывающую все эти объекты. На примере темы «Числовые множества» мы не только вспомним и приведем в систему изученный материал (позиционная запись числа, схема деления с остатком, признаки делимости нацело), но и получим алгоритм нахождения любого остатка при делении на фиксированное число, увидим разбиение множеств No, Z на непересекающиеся классы в соответствии с остатком (фактормножество). Введя операцию на фактор-множестве (Z/nZ), получим примеры алгебраических структур (групп, колец, полей). Таким обра 79 зом, реализуется первый и третий принципы отбора учебного материала. 3. Методика преподавания, направленная на развитие мыслительной операции обобщения крайне важна, так как может рассматриваться как структурный элемент процесса развития интеллекта школьника. По меткому выражению Л.С. Выготского, шаг обучения всегда сопровождается шагом умственного развития. Причем качество второго шага зависит существенным образом от организации ситуации обучения. На самом деле изучение каких-либо математических фактов не является самоцелью. Цель любого учебного процесса, на наш взгляд, это интеллектуальное развитие школьника в широком смысле, которого можно достичь, в том числе и средствами математики.
Организация и основные итоги эксперимента
Первая часть эксперимента была начата в 1996 году. Здесь преследовалась цель определения критериев отбора учебного материала и принципов его преподавания в классах с углубленным изучением математики или для школьников, интересующихся математикой и связывающих свою дальнейшую учебу с математическим циклом дисциплин.
Для сбора и анализа данных по проблеме исследования проводился устный и письменный опрос учителей г. Краснодара и Краснодарского края (в плане сотрудничества с Краснодарским экспериментальным центром развития образования), преподающих в классах с углубленным изучением математики или работающих с одаренными школьниками в рамках факультативных занятий, подготовки к олимпиадам, участвующих в проведении летних математических школ Краснодарского края.
Учителям предлагали следующие вопросы:
1. В каком виде (ретроспективно или обобщая) вы проводите повторение тем школьного курса математики, связанных с понятием «число»?
2. Повторяя принцип позиционной записи числа, рассматриваете ли Вы прием дробления записи числа в десятичной системе счисления на блоки цифр (по п цифр в каждом блоке)?
3. Акцентируете ли Вы внимание на разнице в понятиях «число» и «цифра»?
4. Решаете ли Вы с учащимися задачи на применение основной теоремы арифметики (анализ сомножителей, понятие простого и составного числа)?
5. В какой форме Вы доказываете признаки делимости (как достаточные или необходимые и достаточные признаки)?
6. Повторяя схему деления с остатком на фиксированное число, обращаете ли Вы внимание на оценку остатка и, в связи с этим - на диапазон выбора остатков для данного делителя?
7. Рассматривая признак делимости на данное число, выделяете ли Вы объект, который несет информацию об остатке (понятие равноостаточных чисел)?
8. Используете ли Вы метод работы с классами равноостаточных чисел (операции над классами)?
9. Обсуждаете ли Вы с учащимися принцип расширения числовых множеств?
10.Проводите ли Вы сравнение наборов свойств операций для различных числовых множеств с введенными на них операциями (например, в виде классификационных таблиц)? Если да, то используете ли Вы термины «группа», «кольцо», «поле»?
11.В случае положительного ответа на вопрос 10: рассматриваете ли Вы множества нечисловой природы в контексте понятия «алгебраическая структура» (множество векторов с операцией сложения, множество многочленов степени не выше п с операцией сложения, множество параллельных переносов с операцией композиции, множество классов чисел с операциями сложения и умножения и т.д.)?
12.Считаете ли Вы полезным проведение повторения с ярко выраженным характером теоретического обобщения?
13.Какой литературой Вы пользуетесь при повторении учебного материала по теме «Числовые множества»?
В результате опроса учителей выяснилось, что
1. Повторение темы «Числовые множества» происходит в основном ретроспективно.
2. Признаки делимости рассматриваются всегда только для ситуации делимости нацело.
3. Метод решения задач на делимость с выполнением операций над классами чисел применяют только лишь отдельные учителя (4%), излагая при этом фрагменты теории сравнений.
4. Свойства операций в подавляющем большинстве случаев связываются с природой элементов, участвующих в операции. На уроках не акцентируется внимание на том, что имеется некая общность при рассмотрении переместительного закона умножения чисел и, например, пе-реместительного закона сложения многочленов.
5. Термины «группа», «кольцо», «поле» не употребляются, так как эти понятия в учебниках отсутствуют.
6. В учебной литературе нет систематизированного изложения учебного материала по понятию «число» (в контексте одного из ведущих понятий математики «алгебраическая структура»), которое носило бы характер обобщения теоретических знаний и практических умений.
