Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ 14
1. Проблема развития математических способностей учащихся в психолого-педагогической литературе 14
2. Развитие гибкости мыслительных процессов как одного из компонентов математических способностей 44
3. Составление задач как средство развития математических способностей учащихся 62
Выводы по главе 1 82
Глава 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ В 8-9 КЛАССАХ С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ 84
1. Роль изучения элементов теории делимости целых чисел в развитии математических способностей учащихся основной школы 84
2. Решение задач на делимость целых чисел несколькими способами как средство развития гибкости мышления учащихся 104
3. Методические особенности обучения школьников составлению теоретико-числовых задач
4. Организация и методика педагогического эксперимента 154
Выводы по главе 2 176
Заключение 178
Литература 180
Приложения 198
- Проблема развития математических способностей учащихся в психолого-педагогической литературе
- Развитие гибкости мыслительных процессов как одного из компонентов математических способностей
- Роль изучения элементов теории делимости целых чисел в развитии математических способностей учащихся основной школы
Введение к работе
Современная социокультурная ситуация характеризуется все более возрастающей ролью образования. Член-корреспондент РАН, академик РАО В. Л.Матросов отмечает, что «образованность общества, а особенно молодежи, должна стать основой для решения социальных и экономических проблем, сохранения и развития науки и культуры, национальных традиций, укрепления государства и обеспечения его безопасности»[103, С. 2].
Сегодня перед российской школой стоит важнейшая задача формирования новой системы универсальных знаний, умений и навыков, а также опыта самостоятельной деятельности и личной ответственности школьников, то есть современных ключевых компетенций, необходимых для динамичной адаптации человека к обществу и полноценного функционирования в нем.
Формирование современных компетенций находится в тесной взаимосвязи с развитием разносторонних способностей учащихся, в том числе и математических способностей.
Для решения практических задач по выявлению и развитию математических способностей учащихся необходимо знать их специфику, механизмы и источники.
Проблемам выявления и развития способностей, в целом, и математических способностей учащихся, в частности, посвящен ряд психолого-педагогических и методических исследований.
Общие аспекты теории способностей разрабатывались в трудах психологов Б.Г.Ананьева, Т.И.Артемьевой, Л.А.Венгера, Л.С.Выготского, Э.А.Голубевой, В.Н.Дружинина, З.И.Калмыковой, А.Г.Ковалева, В.А.Крутецкого, Н.С.Лейтеса, А.Н.Леонтъева, В.Н.Мясищева, В.И.Панова,
К.К.Платонова, С.Л.Рубинштейна, Ю.А.Самарина, Н.Ф.Талызиной, Б.М.Теплова, В.Д.Шадрикова и др.
Исследованием проблемы математических способностей занимались такие зарубежные психологи, как В.Бетц, А.Бинэ, А.Блэкуелл, И.Верделин, А.Кеймерон, Г.Ревеш, А.Роджерс, Э.Торндайк, и др. Среди отечественных психологов наибольший вклад в создание и развитие теории математических способностей внесли А.Г.Ковалев, В.А.Крутецкий, Н.А.Менчинская, В.Н.Мясищев, К.К.Платонов, И.С.Якиманская и др. Математические способности и механизмы их развития рассматривали выдающиеся математики Ж.Адамар, А.Пуанкаре, Д.Мордухай-Болтовской, Б.В.Гнеденко, А.Н.Колмогоров, А.И.Маркушевич, А.Я.Хинчин, математик и методист Д.Пойа, методисты Н.Р.Гайбуллаев, В.А.Гусев, Н.В.Метельский, Г.И.Саранцев, С.И.Шварцбурд и др.
Анализу различных аспектов проблемы математических способностей посвятили диссертационные исследования А.А.Анелаускене, Э.Ж.Гингулис, З.П.Горельченко, И.В.Дубровина, И.И.Дырченко, Ю.П.Козловская, О.С.Куликова, А.К.Насыбуллина, С.И.Шапиро и др.
В исследовании А.А.Анелаускене выделены основные типы математических способностей учащихся 9—11 классов и рассмотрены возможные пути индивидуализации обучения математике. Анализу компонентов структуры математических способностей посвящены работы И.В.Дубровиной (для младшего школьного возраста), З.П.Горельченко, С.И.Шапиро (для старшего школьного возраста). В исследованиях Ю.П.Козловской, А.К.Насыбуллиной разработаны методы диагностики математических способностей школьников 5-6 классов. В диссертационном исследовании И.И.Дырченко анализируется роль математических кружков в развитии математических способностей учащихся 7-8 классов. Диссертация Э.Ж.Гингулиса посвящена методике развития математических способностей учащихся 6(7)-8(9) классов в процессе решения целесообразно подобранных геометрических задач. О.С.Куликова исследовала возможности развития у учащихся основной школы способностей к математике в процессе изучения конструктивной геометрии.
Проблемы формирования профессиональной готовности студентов педагогических вузов к развитию математических способностей школьников в условиях дифференциации и индивидуализации обучения нашли отражение в работах В.А.Гусева, Г.В.Дорофеева, С.А.Жданова, Ю.М.Колягина, Г.Л.Луканкина, В.Л.Матросова, Н.И.Мерлиной, А.Г.Мордковича, А.И.Нижникова, Г.И.Саранцева, И.М.Смирновой, М.В.Ткачевой, М.И.Шабунина и др.
Основным видом математической деятельности школьников является решение задач. Именно в процессе специальным образом организованного решения задач и происходит развитие математических способностей учащихся. Проблеме обучения математике и развития учащихся через задачи посвящены работы В.А.Гусева, Ю.М.Колягина, Л.М.Коротковой, В.И.Крупича, В.А.Оганесяна, Г.И.Саранцева, Л.М.Фридмана, П.М.Эрдниева и др.
Вопросы, касающиеся возможностей применения творческих математических заданий для активизации познавательной деятельности учащихся, нашли отражение в работах И.И.Баврина, Ю.А.Горяева, Э.Г.Готмана, Е.С.Канина, Н.Г.Манцаева, З.А.Скопеца, Э.А.Страчевского, Е.Н.Тальяновой, Н.П.Тучнина, А.В.Фаркова, Е.А.Фрибуса, А.А.Хамракулова, АЛ.Цукаря, Н.И.Чиканцевой, А.Ю.Эвнина, П.М.Эрдниева, О.П.Эрдниева, Э.А.Ясинового и др. Э.Г.Готман, З.А.Скопец, А.В.Фарков, А.А.Хамракулов и др. рассматривают решение геометрических задач несколькими способами как важнейшее средство развития творческого потенциала учащихся. Вопросы решения теоретико-числовых задач несколькими способами не нашли должного отражения в существующих исследованиях.
Возможности использования заданий на самостоятельное составление учащимися задач для активизации процесса творческой деятельности учеников в начальной и средней школе рассматривались в ряде исследований. Вопросам обучения школьников составлению задач в начальной школе и в 5-6 классах средней школы уделено внимание в работах Ю.А.Горяева, Л.М.Коротковой, Н.Г.Манцаева, Е.Н.Тальяновой, Н.И.Чиканцевой, П.М.Эрдниева, О.П.Эрдниева и др. Методическим проблемам обучения школьников составлению геометрических задач посвящены исследования Е.С.Канина, А.Я.Цукаря, Э.А.Ясинового и др. В работах Э.А.Страчевского, Н.П.Тучнина, А.Ю.Эвнина, Э.А.Ясинового и др. рассматривались вопросы использования творческих заданий на составление задач на уроках алгебры в старших классах. Вопросы же, касающиеся обучения школьников 8-9 классов с углубленным изучением математики составлению теоретико-числовых задач мало исследованы и требуют дальнейшего изучения и разработки.
Анализ содержания математического образования в средней школе показывает, что особое место среди всех математических знаний, которыми должны овладеть школьники, занимают теоретико-числовые вопросы, в частности, вопросы теории делимости целых чисел. Их изучение оказывает положительное влияние на качественное усвоение учащимися школьного курса алгебры, способствует расширению и углублению теоретико-числовых представлений учащихся, развитию математических способностей, воспитанию устойчивого интереса к занятиям математикой.
Вопросам изучения теоретико-числового материала в школьном курсе математики основной школы посвящены диссертационные исследования Л.Х.Габитовой, С.С.Гамидова, И.С.Евстигнеевой, А.В.Жмулевой, М.Н.Кагазежева, Ш.Х.Михеловича, С.А.Мырзабекова, К.А.Нечипоренко, Т.Н.Хмара и др. Большинство из них посвящены вопросам изучения различных разделов теоретико-числового материала, а также вопросам методики обучения решению задач. В работах Л.Х.Габитовой и А.В.Жмулевой помимо этого реализован дифференцированный подход к учащимся при изучении теоретико-числового материала в 5-6 классах и избранных вопросов теории делимости целых чисел на факультативных занятиях в 7(8) классе. Диссертационное исследование С.А.Мырзабекова посвящено вопросам изучения теории делимости на основе проблемного подхода в 8-9 классах с углубленным изучением математики и на факультативных занятиях.
В упомянутых работах мало исследована проблема развития математических способностей учащихся 8-9 классов в процессе решения теоретико-числовых задач, не рассматривались возможности использования с этой целью в образовательном процессе заданий на решение задач несколькими способами, а также заданий, направленных на самостоятельное составление учащимися задач на базе ранее решенных. В то же время имеются все основания говорить об особой роли теоретико-числовых задач и творческих заданий указанного характера в развитии математических способностей учащихся.
Большинство теоретико-числовых задач отличается нестандартностью, разнообразием идей решения, многие из них могут быть решены несколькими способами. Они формулируются на доступном для школьников уровне, не требуют для решения большой предварительной суммы знаний. Многие теоретико-числовые задачи школьного курса математики являются хорошей основой для самостоятельного составления на их основе новых задач. Указанные особенности теоретико-числовых задач открывают богатые возможности их использования для развития математических способностей учащихся, повышения качества знаний учащихся, развития у них устойчивого интереса к занятиям математикой.
Все вышесказанное определило выбор темы нашего диссертационного исследования и подтвердило ее актуальность.
Объектом исследования является процесс обучения алгебре в 8-9 классах с углубленным изучением математики.
Предметом исследования служит процесс развития математических способностей учащихся на основе использования заданий на решение задач несколькими способами и на составление новых задач при изучении теоретико-числового материала в 8-9 классах с углубленным изучением математики.
Проблема исследования состоит в разработке методических основ развития математических способностей учащихся 8-9 классов с углубленным изучением математики в процессе изучения элементов теории делимости целых чисел.
Целью настоящего исследования является построение и теоретическое обоснование методических основ развития математических способностей учащихся путем применения заданий на решение теоретико-числовых задач несколькими способами и заданий на составление теоретико-числовых задач, развивающих темы исходных задач.
Гипотеза исследования состоит в том, что систематическое и целесообразное использование в процессе обучения заданий на решение теоретико-числовых задач несколькими способами, а также заданий на составление теоретико-числовых задач, развивающих темы исходных задач, способствует развитию математических способностей учащихся, повышению качества знаний, развитию устойчивого интереса школьников к изучению математики, расширению их кругозора.
Для достижения поставленной цели и проверки достоверности сформулированной гипотезы, с учетом объекта, предмета и проблемы исследования, необходимо было решить следующие конкретные задачи:
Раскрыть психолого-педагогические и методические основы развития математических способностей учащихся посредством использования в процессе обучения заданий на решение задач несколькими способами и заданий на составление задач, развивающих темы исходных задач.
Выявить методические особенности теоретико-числового материала школьного курса математики, оказывающие влияние на развитие математических способностей учащихся.
Разработать блоки заданий на решение теоретико-числовых задач несколькими способами, позволяющие эффективно развивать основные компоненты математических способностей, а также методические рекомендации по их применению.
Разработать блоки заданий на составление теоретико-числовых задач, развивающих темы исходных задач, направленные на развитие математических способностей учащихся, а также методические рекомендации по их использованию в процессе обучения.
Провести экспериментальную проверку разработанных материалов. Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:
- изучение литературы по истории и методологии математики;
- анализ психолого-педагогической, учебно-методической и специальной литературы по теме исследования;
- анализ программ, учебников и учебных пособий по алгебре для углубленного изучения математики в 8-9 классах;
- изучение и обобщение педагогического опыта работы учителей, а также личного опыта по развитию математических способностей учащихся;
- изучение и обобщение опыта изучения теоретико-числового материала в классах с углубленным изучением математики;
- наблюдение за работой учителей математики и учащихся, анкетирование, беседы с учителями и учащимися;
- проведение педагогического эксперимента, количественная, качественная и статистическая обработка данных, полученных в результате эксперимента.
Исследование осуществлялось поэтапно в 1994 - 2001 гг.
На первом этапе осуществлялись изучение и анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме развития математических способностей учащихся, по вопросам изучения в школьном курсе математики теоретико-числового материала. Целью этого изучения и анализа являлось выявление предпосылок для разработки теоретических основ проблемы исследования. Изучалось состояние исследуемой проблемы в школьной практике, были выявлены имеющиеся трудности в реализации различных путей развития математических способностей учащихся при изучении ими теоретико-числового материала, проводился констатирующий эксперимент.
На втором этапе исследования разрабатывалось содержание блоков заданий на решение несколькими способами теоретико-числовых задач, а также блоков заданий на составление задач, развивающих темы исходных теоретико-числовых задач, разрабатывались методические рекомендации для использования их в практике школьного обучения с целью развития математических способностей учащихся. На этом же этапе проводился поисковый эксперимент и был проведен анализ его результатов.
На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности предлагаемой методики развития математических способностей учащихся. Обработка полученных в ходе эксперимента материалов проводилась методами одномерного статистического анализа.
Научная новизна исследования заключается в том, что разработаны методические основы развития математических способностей учащихся 8-9 классов с углубленным изучением математики в процессе изучения элементов теории делимости целых чисел с помощью заданий на решение задач несколькими способами и заданий на самостоятельное составление учащимися задач, развивающих темы исходных задач.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что в нем сформулированы цели использования в процессе обучения математике заданий на решение задач несколькими способами и заданий на составление учащимися задач, развивающих темы исходных задач, условия эффективности их применения, методические требования к их отбору, а также выявлены особенности и возможности развития математических способностей учащихся с помощью заданий указанного характера. В диссертационном исследовании научно обоснованы роль и место изучения элементов теории делимости целых чисел в развитии математических способностей школьников.
Практическая значимость работы заключается в том, что:
- определены тематические направления решения задач несколькими способами при изучении теоретико-числового материала и разработаны соответствующие блоки заданий;
- разработаны блоки заданий на самостоятельное составление теоретико-числовых задач, развивающих темы исходных задач, при помощи приемов аналогии, обращения, обобщения и специализации;
- разработаны методические рекомендации по применению составленных блоков заданий при изучении элементов теории делимости в 8-9 классах с углубленным изучением математики;
Все вышеуказанные материалы могут быть применены при разработке учебно-методического обеспечения по математике для основной школы, в практической работе учителя математики. Данные материалы также будут полезны преподавателям педвузов в их практической деятельности по формированию у будущих учителей готовности к развитию математических способностей школьников.
Методологической основой исследования послужили основные положения теории познания, образования и воспитания, теории развития личности, концепция деятельностного подхода, концепция развивающего обучения, труды выдающихся психологов, педагогов, математиков и методистов.
Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается: построением исследования на основе теоретических положений современной психологии, педагогики, теории и методики обучения математике; совокупностью разнообразных методов исследования, адекватных предмету, целям и задачам работы; согласованностью полученных в ходе исследования выводов и конкретных рекомендаций с результатами ряда психолого-педагогических и методических исследований в области проблемы исследования; экспериментальной проверкой основных положений диссертации.
На зашиту выносятся следующие положения:
Теоретико-числовой материал, в целом, и элементы теории делимости, в частности, обладают рядом особенностей и возможностей, позволяющих в процессе их изучения эффективно осуществлять развитие математических способностей учащихся, а именно: развитая компактная теория, которая адекватна учебным возможностям учащихся; разнообразие идей решения теоретико-числовых задач, не требующих большой предварительной суммы знаний; возможность решения многих теоретико-числовых задач несколькими способами, а также возможность для самостоятельного составления на основе большинства теоретико-числовых задач новых задач, развивающих их темы и др.
Систематическое и целенаправленное использование в практике обучения заданий на решение теоретико-числовых задач несколькими способами позволяет развивать у учащихся гибкость мыслительных процессов - один из компонентов математических способностей, а также позволяет повышать качество знаний.
Задания на составление задач, развивающих темы исходных задач, являются средством совершенствования процесса обучения теоретико-числовому материалу в 8-9 классах с углубленным изучением математики, которое позволяет повышать уровень сформированности умений учащихся решать готовые задачи, развивать их математические способности, развивать интерес к занятиям математикой.
На защиту также выносится разработанное методическое обеспечение, включающее блоки заданий на решение теоретико-числовых задач несколькими способами, блоки заданий на составление теоретико-числовых задач, развивающих темы исходных задач, при помощи приемов аналогии, обращения, обобщения и специализации, а также методические рекомендации по их применению в процессе обучения.
Апробация работы. Результаты исследования были изложены автором и обсуждались на V Международной конференции «Информатика. Образование. Экология и здоровье человека» (г. Астрахань, 2000 г.), на Всероссийском научном семинаре преподавателей математики педвузов (г. Москва, 2000 г.), на Международной юбилейной научно-практической конференции, посвященной 70-летию МПУ (г. Москва, 2001 г.), на заседании научно-методического семинара «Современные проблемы обучения математике в нашей стране и за рубежом» при РАО (г. Москва, 2002 г.).
Внедрение результатов диссертационного исследования. Выдвинутые в работе положения, учебные материалы, методические рекомендации по развитию математических способностей учащихся в процессе изучения теоретико-числового материала в 8-9 классах с углубленным изучением математики прошли экспериментальную проверку и внедрены в учебный процесс школ Юго-Восточного округа г. Москвы (1994 - 2001 гг.).
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений. Список литературы содержит 195 наименований.
Проблема развития математических способностей учащихся в психолого-педагогической литературе
В условиях происходящих кардинальных социально-экономических, политических и культурных изменений в обществе предъявляются все более высокие требования к образованию подрастающего поколения. Характерной чертой всех преобразований в области образования является утверждение отношения к личности школьника как субъекту образовательного процесса, которое предполагает создание социальных, психолого-педагогических и методических условий для развития индивидуальных способностей ребенка.
В возрождении интеллектуального, творческого и духовного потенциала страны особую роль играет математическая подготовка, которая предполагает не только формирование математических знаний и умений, но и развитие математических способностей учащихся.
Усиление внимания к проблемам развития индивидуальных способностей ребенка, в том числе и математических способностей, требует дальнейшей разработки механизмов их развития.
Разработка проблемы развития способностей невозможна без глубокого и разностороннего анализа теоретических подходов к раскрытию отдельных сторон, составляющих ее сущность. Анализ психолого-педагогической литературы позволяет выделить три аспекта данной проблемы: социальный, психолого-педагогический и методический.
Социальный аспект развития способностей, в целом, и математических способностей, в частности, связан с сохранением и повышением интеллектуального потенциала подрастающего поколения, развития творческого мышления, развития индивидуальных способностей.
Психологический аспект проблемы способностей, в целом, и математических способностей, в частности, состоит в необходимости рассмотрения внутренних механизмов становления способной личности, структуры математических способностей, особенностей их диагностики и развития.
С педагогической точки зрения проблема способностей заключается в установлении условий, позволяющих развивать способности ребенка, в целом, и математические способности, в частности.
Методические аспекты разработки проблемы способностей состоят в определении конкретных путей их развития в процессе изучения того или иного предмета или раздела курса.
Анализ проблемы развития способностей, в целом, и математических способностей, в частности, в исторической ретроспективе свидетельствует о том, что идея развития разносторонних способностей учащихся в процессе обучения неоднократно обсуждалась в истории отечественного образования. Повышенное внимание к проблемам развития способностей стали проявлять в период становления классического образования в нашей стране в середине XIX века. Обучение математике рассматривалось как основное средство развития формальной стороны интеллекта. Все более актуальной эта идея становится в начале XX века в связи с введением специализации в старших классах школы (1911—1914 гг.). Дальнейшее развитие она получает уже в конце 50-х - начале 60-х годов в связи с внедрением в практику средней школы различных форм дифференциации обучения. В конце 80-х — начале 90-х годов двадцатого века ориентация на дифференциацию находит свое дальнейшее развитие. В этот период массово создаются новые типы учебных заведений: гимназии, лицеи, классы с углубленным изучением отдельных предметов, профильные классы по различным направлениям. Особое место среди них занимают учебные заведения и классы, ориентированные на повышенную математическую подготовку.
Становление и развитие идей дифференциации процесса обучения способствовало усилению внимания учителей к учету индивидуальных возможностей учащихся и развитию их способностей, в целом, и математических способностей, в частности.
Прежде чем говорить о развитии способностей учащихся в психолого-педагогическом аспекте, следует внести ясность в категориальный аппарат. Требуется уточнить содержание таких понятий как «способности», «математические способности», «структура математических способностей», и некоторых других, имеющих существенное значение для раскрытия темы нашего исследования.
Отечественная теория способностей создавалась трудом таких ученых, как Б.Г.Ананьев, Т.И.Артемьева, Л.А.Венгер, Л.С.Выготский, Э.А.Голубева, В.Н.Дружинин, З.И.Калмыкова, А.Г.Ковалев, В.А.Крутецкий, Н.С.Лейтес, А.Н.Леонтьев, В.Н.Мясищев, В.И.Панов, К.К.Платонов, С.Л.Рубинштейн, Ю.А.Самарин, Н.Ф.Талызина, Б.М.Тешюв, В.Д.Шадриков и др.
В настоящее время в психологии сложились два основных подхода к изучению способностей: личностно-деятельностный и функционально-генетический.
Развитие гибкости мыслительных процессов как одного из компонентов математических способностей
В структуре математических способностей особое место занимает такой компонент как гибкость мыслительных процессов. Многие исследователи, среди которых Д.Н.Богоявленский [13], В.А.Гусев [44], М.А.Данилов [47], К.Дункер [52], З.И.Калмыкова [68], Ю.М.Колягин [78], В.А.Крутецкий [88], Н.А.Менчинская [13], Н.В.Метельский [107] и др., включали данный компонент в структурную схему учебных математических способностей, Ж.Адамар [1] особо указывал на гибкость мышления как на характерную черту математического творчества.
Анализ проблем, связанных с гибкостью мышления, проведен в ряде диссертационных исследований [29], [58], [166] и др.
В отечественной психологии термин «гибкость мышления» восходит к работам Н.А.Менчинской. Ею были описаны случаи торможения процесса актуализации известных правильных приемов решения «под напором более сильных и навязчивых тенденций..., идущих со стороны последнего по времени опыта» [104, С. 124].
В исследованиях различных авторов отмечается, что нередко фон изучаемого объекта образует мешающие ассоциации. В силу этого в памяти восстанавливаются вместе с необходимыми положениями и некоторые другие аспекты, бесполезные в данной ситуации. Таким образом, комплекс необходимых положений как бы затушевывается. Кроме того, знания и опыт довольно часто воспроизводятся сознанием по определенным, привычным для мыслящего субъекта проторенным путям, которые выражаются в следовании определенной системе правил, в применении одних и тех же методов решения задач. Все это приводит к так называемой стандартизации мышления [78, С. 16]. Стандартизация мышления не позволяет учащимся мыслить оригинально, отделять главное от второстепенного, отыскивать новые способы решения тех или иных задач, а самое главное мешает применять известные им знания в новых ситуациях. Поэтому в обучении школьников математике важно уделять внимание преодолению указанного психологического барьера, развивая в противовес стандартному мышлению мышление гибкое, активное и самостоятельное.
В психологических исследованиях даются различные определения гибкости мышления.
О.Н.Гарнец определяет гибкость мыслительных процессов как «способность субъекта самостоятельно заменить утративший эффективность способ действия на такой, который является оптимальным в новых условиях» [29, С. 1].
В диссертационном исследовании Е.С.Ермаковой под гибкостью мышления понимается «преобразование способов решения задач и нахождение новых средств мыслительной деятельности в соответствии с изменением условий» [58, С. 1].
З.И.Калмыкова говорит о своеобразных проявлениях гибкости мыслительной деятельности, среди которых: степень изменчивости мыслительной деятельности, соответствующей меняющимся условиям исследуемой ситуации; поиск оригинального подхода к анализу материала; возможность совершенствовать найденный способ решения, и отказаться от него, если найден другой способ решения; переосмысление получаемых данных; относительная легкость преодоления выработанного стереотипа, если он пришел в противоречие с новыми данными [68, С. 35].
В исследовании В.А.Крутецкого говорится о гибкости мышления как о способности переключаться с одной умственной операции на другую, своеобразной свободе от сковывающего влияния шаблонов [88, С. 312].
М.А.Данилов выделяет такие проявления гибкости ума, как: видоизменение задачи; новые варианты ее постановки; изменение привычных способов выполнения поставленных задач в связи с изменением условий; быстрые пробы различных вариантов плана выполнения сложной задачи; различные переходы от одного способа работы к другому более рациональному [47, С. 77].
Гибкость ума проявляется и при решении задачи, когда быстро нужно определить какие знания, умения, навыки и в каком плане применять.
Одним из наиболее значимых показателей гибкости мышления является многоаспектность в подходе к решению задач. К.Дункер отмечает, что человек тем способнее, чем большее число аспектов ситуации он может обозреть одним взглядом без длительной нащупывающей работы, чем разнообразнее эти аспекты. У «нематематика» математический образ значительно беднее аспектами [52, С. 146 - 147]. Таким образом, К.Дункер выделяет среди предпосылок успешного решения задач своеобразную гибкость мыслительных процессов.
Д.Н.Богоявленский и Н.А.Менчинская выделяют три основных показателя, составляющих характеристику гибкости мыслительных процессов:
1) целесообразное варьирование способов действия;
2) легкость перестройки знаний и навыков и их систем в соответствии с измененными условиями;
3) легкое переключение с одного способа действия на другой [13, С. 187].
Роль изучения элементов теории делимости целых чисел в развитии математических способностей учащихся основной школы
Современная концепция развития образования предполагает поиск таких форм и средств организации учебного процесса, которые позволяли бы максимально полно раскрыть индивидуальные особенности школьника с учетом его способностей и склонностей. Осуществление такого подхода возможно при изучении теоретико-числового материала.
История отечественной и зарубежной методики преподавания математики свидетельствует о том, что проблемы изучения теоретико-числового материала в школьном курсе математики разрабатывались многими методистами и математиками.
В российских учебных заведениях (гимназиях, реальных училищах) в конце XIX — начале XX вв. изучение теоретической арифметики (теоретической арифметикой назывался предмет, включающий учение о числе) происходило в два этапа: в младших классах и в выпускном классе. На первом этапе цель изучения теоретической арифметики - знакомство с целыми и дробными числами и действиями над ними, а также решение сюжетных задач. Второй этап изучения предполагал повторение пройденного ранее с прибавлением некоторых теоретических вопросов, к которым относили основные теоремы о делимости чисел, теоремы о нахождении НОД и НОК, теоремы об обращении обыкновенных дробей в десятичные и периодические. Курс теоретической арифметики для реальных училищ включал также вопросы, связанные с решением неопределенных уравнений в целых и натуральных числах [180, С. 245 - 246].
На I Всероссийском съезде преподавателей математики обсуждались проблемы перестройки преподавания теоретической арифметики. В докладе И.И.Чистякова содержались следующие предложения: 1) ввести в курс математики старших классов средней школы изучение элементов теории чисел; 2) усилить внимание к вопросам изучения теоретической арифметики в младших и средних классах; 3) перестроить преподавание арифметики так, чтобы она являлась пропедевтикой дальнейшего изучения курса алгебры [180, С. 251]. Заметим, что эти предложения так и не были реализованы в программах дореволюционной российской школы.
В программах советской общеобразовательной школы долгое время сохранялся традиционный курс арифметики, но повторительный курс из программы старших классов был исключен, т.е. были исключены именно элементы теории чисел и теоретической арифметики.
В программах 1945, 1954, 1960 гг. вопросам теоретической арифметики, вопросам делимости целых чисел стало уделяться еще меньше внимания. Основной акцент здесь был сделан на вооружение учащихся вычислительными навыками и умениями по решению сюжетных задач на материале из техники и сельского хозяйства.
Попытки расширить круг изучаемых в средней школе теоретико-числовых вопросов были предприняты в учебнике по арифметике А.П.Киселева (переработан А.Я.Хинчиным) [71], в учебном пособии И.К.Андронова и В.М.Брадиса [5], а также в учебнике алгебры А.П.Киселева [72]. В них на основе индуктивных методов изложены основные вопросы делимости чисел, рассмотрены различные методы решения неопределенных уравнений в целых числах. Однако и эти учебники и учебное пособие не нашли дальнейшего применения в практике преподавания.
В середине 60-х гг. начинается новый этап движения за реформу математического образования, связанный со стремлением усилить идейную сторону изучения математики. В связи с этим возрастает интерес и к изучению элементов теории делимости целых чисел на более глубоком уровне, нежели это делалось в курсе арифметики 4(5)-5(6) классов.
С появлением в конце 60-х гг. XX века в практике отечественной школы факультативных занятий вопросы, касающиеся теории делимости целых чисел, занимают прочное положение в программах факультативов [137] и находят отражение в ряде учебных пособий для внеклассных занятий по математике [14], [152], [188] и др.
С целью реализации идей индивидуализации и дифференциации обучения в начале 90-х гг. массово создаются классы с углубленным изучением математики, как в основной, так и в старшей школе. С этого времени элементы теории делимости целых чисел занимают свое место в программе по алгебре для 8-9 классов с углубленным изучением математики и в учебных пособиях, предназначенных для организации углубленного изучения курса алгебры [2], [26], [63], [96], [136] и др.
Таким образом, можно констатировать, что в современной отечественной школе изучение элементов теории делимости осуществляется в два этапа: в 5-6 классах на основе индуктивных методов познания на множестве натуральных чисел, в 8-9 классах с углубленным изучением математики дедуктивным образом на множестве целых чисел.
Вопросам изучения теоретико-числового материала в средней школе посвящены диссертационные исследования Л.Х.Габитовой [24], С.С.Гамидова [28], И.С.Евстигнеевой [55], А.В.Жмулевой [59], М.Н.Кагазежева [67], Ш.Х.Михеловича [112], С.А.Мырзабекова [116], К.А.Нечипоренко [121], Т.Н.Хмара [175] и др.
