Теоретические основы реализации внутрипредметных связей посредством решения задач в классах с углубленным изучением математики Аксенов Андрей Александрович

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА І. ПСИХОЛОГО - ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕАЛИЗАЦИИ ВНУТРИПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ ПОСРЕДСТВОМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 12

1. Психолого-дидактическая трактовка понятия "задача" 12

2. Психолого-педагогические особенности обучения решению задач в классах с углублённым изучением математики 17

ГЛАВА П. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ВНУТРИПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ ПОСРЕДСТВОМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 29

1. Специфика и особенности реализации внутрипредметных связей посредством решения задач 29

2. Виды внутрипредметных связей, реализуемых посредством решения задач 50

3, Реализация внутрипредметных связей на уровне одной темы 78

4. Реализация внутрипредметных связей на уровне нескольких тем 89

t ГЛАВА Ш. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ, РЕАЛИЗУЮЩИХ ВНУТРИПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ ПОСРЕДСТВОМ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 102

1. Общие требования к построению систем задач, реализующих внутрипредметные связи 102

2. Механизмы построения методических моделей, реализующих внутрипредметные связи ,...119

3. Системный анализ эффективности внутрипредметных связей 126

ГЛАВАІУ. ИТОГИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ 136

4 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 148

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 152

• Психолого-дидактическая трактовка понятия "задача"
• Специфика и особенности реализации внутрипредметных связей посредством решения задач
• Общие требования к построению систем задач, реализующих внутрипредметные связи

Введение к работе

Основными задачами современной средней шкЬлы являются: обучение учащихся умению учиться; совершенствование содержания учебного материала; повышение качества образования учеников. В связи с этим в течение последних лет создаются новые концепции образования, обучающие технологии, внедряются в іфактическую работу школ новые методы и формы обучения.

В конце восьмидесятых годов в массовой школе начали создаваться классы с углублённым изучением предметов, основной целью которых является повышение уровня и качества образования учеников с учётом специализации обучения. Математические классы получили наибольшее распространение. Это, очевидно, связанно с ролью математики как науки и с её значением в образовании каждого человека.

Как следует из пояснительной записки программы для школ (классов) с углублённым изучением математики, наряду с основной целью - обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний, обучение в таких классах предусматривает "формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовку к обучению в вузе" [76, с. 147].

Изучение научной и методической литературы, обобщение опыта работы ряда учителей, анализ средств обучения математике, предназначенных для работы в классах с углублённым изучением предмета [6, 7, 10, 11, 25, 26, 47, 73, 81, 82 и др. ], а также выпускных экзаменов в одиннадцатом классе, участие в методических объединениях учителей математики даёт возможность выявить целый ряд трудностей, которые не позволяют проводить учебный процесс на должном уровне.

Ё своих трудах Ю.М. Колягин показал, что задача является главным средством обучения математике [51, 52, 53, 54, 55]. Именно обучение решению задач в математических классах вызывает наибольшие затруднения. Во-первых,

і до сих пор нет чётких методических рекомендаций по созданию систем задач,

т

tт адаптированных по степени сложности и трудности к обучению математике

именно в таких классах. Во-вторых, программа для этих классов содержит целый ряд дополнительных глав, каждая из которых является частью вузовского курса математики. Методически этот материал недостаточно обработан для того, чтобы эффективно применяться в школе. Кроме того, он мало связан с основным программным материалом, который, в свою очередь, часто "разбивается" дополнительным, что создаёт ещё большую разобщённость курса % математики. Из-за этого часто на основной программный материал отводится

меньше времени, чем в обычных классах. Главным образом это касается решения задач. Очевидно, такая интенсификация не всегда приводит к успеху.

Таким образом, обнаруживается глубокое диалектическое противоречие между требованиями программы для школ (классов) с углублённым изучением математики и современным состоянием средств обучения и методической базы для них. Это противоречие вполне разрешимо, причём для этого нет необходимости исключать дополнительный материал из программы для школ (классов) с углублённым изучением математики. Значительных успехов в решении этой проблемы можно добиться, научившись глубоко и эффективно использовать

внутрипредметные связи на протяжении всего курса обучения. Ввиду особой роли задач в обучении математике, наибольшее внимание следует уделить реализации внутрипредметных связей в процессе обучения их решению.

Реализации внутрипредметнных связей в литературе посвящены следующие исследования [39, 59, 69, 70, 71, 86, 87, 98 и др.]. Целевые исследования по реализации внутрипредметных связей посредством решения задач практически отсутствуют. Есть некоторые сборники задач, например [87], но они не содержат методических рекомендаций, их содержание является сплавом личного опыта автора, поэтому учителю трудно приспособиться к их использованию. Кроме того, за четыре года обучения в классах с углублённым изучением мате- г матики ученики изучают множество различных тем и разделов, поэтому разра ботка каких-либо отдельных методик для них громоздка и неудобна. К тому же

это создает дополнительную разобщённость в преподавании и освоении математики учениками.

По нашему мнению, решить эту проблему можно при помощи построения теоретических основ методической реализации внутрипредметных связей посредством решения задач. Такая теория должна носить концептуально-объективный характер и исходить из тех психологических трактовок понятия "задача", которые позволяют строить объективную теорию задач, а следовательно, объективную теорию реализации внутрипредметных связей, основанную на обучении их решению.

Подобные теоретические исследования соответствуют современному состоянию научной специальности "теория и методика обучения математике". При построении этой теории необходимо отталкиваться от уже созданной Ю.М. Колягиным, Г.И. Саранцевым и ВИ Крупичем теории и методики обучения решению задач [51, 80, 57]. Важно учесть, что эта теория должна строиться применительно к любой тематике задач и принадлежности их к тому или иному разделу с установлением границ её применимости.

Таким образом, актуальность данного исследования вытекает из недостаточной разработки средств и методов, обеспечивающих высокий уровень эффективности обучения в классах с углублённым изучением математики. В то же время, современной наукой практически не выявлены возможности реализации внутрипредметных связей (в частности, посредством решения задач) в процессе обучения математике в классах с углублённым изучением этого предмета.

Проблема исследования: выявление возможностей реализации внутрипредметных связей посредством решения задач в процессе обучения в классах с углублённым изучением математики.

Объект исследования: учебная деятельность школьников в процессе углублённого изучения математики.

Предмет исследования: основные виды внутрипредметных связей, реализуемых посредством решения задач; их функции в обучении математике; особенности использования в классах с углублённым изучением этого предмета;

применение внутрипредметгных связей на уровне одной и нескольких тем; тео- ретические основы построения конкретных методических моделей, реализую і щих внутрипредметные связи указанным образом.

Цель исследования: разработка теоретических основ методической реализации внутрипредметных связей посредством решения задач и теоретичесюнх основ построения методических моделей, реализующих внутрипредметные связи в процессе обучения решению задач.

Гипотеза исследования: на базе теоретических основ методической реа- « лизации внутрипредметных связей посредством решения задач возможна раз работка конкретных методик, использование которых на различных этапах процесса обучения математике в классах с углублённым её изучением значительно повышает качество образования учеников, интенсифицирует этот процесс, способствует снижению "сброса знаний" школьников и повышает их математическую культуру.

Проблема, цель, предмет и гипотеза вместе обуславливают следующие задачи исследования:

1. Выявить психолого-педагогические основы реализации внутрипредметных л связей посредством решения задач.

2. Разработать теоретические основы методической реализации внутрипредметных связей посредством решения задач.

3. Разработать теоретические основы построения методических моделей, реализующих внутрипредметные связи указанным способом.

4. Выявить границы применимости созданной теории.

Разработать конкретные методические модели на базе созданных теоретиче ских основ их построения. С помощью этих моделей провести опытно-экспериментальное обучение в классах с углублённым изучением математики. Для такого обучения разработать соответствующую методику, которая позволила бы излагать новый материал так, чтобы была возможность реализации внутрипредметных связей указанным образом.

Методологической основой исследования являются основные положения теории познания, логики науки, дедуктивный аксиоматический подход к по строению теории. Разумеется, в данном исследовании он используется не абсолютно строго.

Поставленные в диссертации задачи были решены при помощи следующих методов_исследовщшя;

1. Теоретический (изучение и анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы, посвященной реализации внутрипредметных

# связей в процессе обучения математике, работе в классах с углублённым

изучением этого предмета, а также создание теоретических основ методической реализации внутрипредметных связей посредством решения задач).

2. Эмпирический (наблюдение за учебной деятельностью учащихся классов с углублённым изучением математики, сравнение и обобщение передового опыта учителей, работающих в таких классах, опытно-экспериментальная работа, проводимая в этих классах на базе созданной в диссертации теории).

3. Статистический (обработка результатов контрольных работ, проводимых в экспериментальном и контрольном классах с углублённым изучением математики).

Теоретической основой исследования являются:

їм

- принцип системного подхода (ЛЯ. Зорина, А.И. Уёмов);

- концепции учебной деятельности и развивающего обучения (С.Л. Выготский, Д. Б. Эльконин, В.В. Давыдов, Н.Ф. Талызина);

- психологическая концепция А. М. Матюшкина о соотношении понятий "задача" и "проблемная ситуация";

- концепция Л. М. Фридмана о двухэтапном процессе обучения решению математических задач;

- теория и методика обучения решению математических задач (Ю.М. Коля-гин, Г.И. Саранцев, В.И. Крупич, А.А. Столяр).

Достоверность результатов исследования обеспечена:

- достижениями психолого-педагогических наук;

- использованием различных методов исследования, соответствующих по %

1 ставленным задачам;

- применением логических законов при разработке теоретических основ реализации внутрипредметных связей посредством решения задач;

- обсуждением полученных выводов с методистами и учителями, работающими в классах с углублённым изучением математики;

- сравнением результатов экспериментального обучения с результатами, полученными в контрольном классе;

• - подтверждением выдвинутой в диссертации гипотезы.

Научная новизна исследования заключается в том, что впервые с позиций целенаправленного обобщения ряда наук и принципов системного подхода выявлена специфика и особенности реализации внутрипредметных связей посредством решения задач, построена цельная теория этой реализации применительно к обучению математике в классах с углублённым изучением этого предмета.

Теоретическая значимость исследования: I

- сформулированы исходные положения разрабатываемой в диссертации тео і

рий в виде системы особых соглашений (постулатов); ЩР - осуществлена классификация видов внутрипредметных связей, реализуемых

посредством решения задач;

- определены функции реализации внутрипредметных связей в обучении математике;

- установлена специфика реализации внутрипредметных связей посредством решения задач в классах с углублённым изучением математики;

. - выявлены четыре абстрактные методические модели, основанные на при надлежности задач к теме и разделу математики;

- установлены возможности принципиального применения каждого вида внутрипредметных связей для любой из вышеуказанных моделей;

м - разработаны механизмы построения конкретных методических моделей,

реализующих внутрипредметные связи посредством решения задач;

i

H оішсан механизм количественной оценки эффективности каждой конкрет- ной методической модели;

- установлен способ определения границ применимости созданной в диссертации теории;

- указаны пути дальнейшего развития созданной теории, а также возможности её применения к построению других теорий.

Практическая значимость исследования:

- механизм построения методических моделей может быть применён к любой ( теме и любому разделу школьного курса математики;

- в соответствии с программой для школ (классов) с углублённым изучением математики и на основе созданных в диссертации механизмов разработаны конкретные методические модели по алгебре, геометрии и математическому анализу (их эффективность проверена теоретически и экспериментально);

- разрабатывать конкретные альтернативные методические модели на основе созданной в диссертации теории могут методисты-математики и наиболее квалифицированные учителя математики, работающие в классах с углублённым изучением этого предмета или в профильных классах, где математика

К, является одним из основных предметов;

- аналогичные разработки могут проводить студенты физико-математических факультетов педагогических вузов на семинарах по методике преподавания математики с целью овладения самостоятельным методическим творчеством.

На зашиту выносятся:

1. Теоретические разработки, лежащие в основе методической реализации внутрипредметных связей посредством решения задач.

2. Теоретические разработки, являющиеся базисом построения конкретных методических моделей, реализующих внутрипредметные связи указанным образом.

3. Методические рекомендации по созданию и использованию в практической работе учителя моделей и соответствующих методик обучения математике.

4. Конкретные методические модели, реализующие внутрипредметные связи посредством решения задач (прошедшие экспериментальную проверку). Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялись с учетом разработанной в диссертации теории и соответствующих методических рекомендаций. Практические результаты исследования, прошедшие экспериментальную проверку, используют учителя гимназии г. Мценска и ряда школ Орловской области. Результаты исследования докладывались автором и обсуждались на курсах повышения квалификации учителей математики в ООИУУ в 1999-2000 г. г. и на научно-методических семинарах кафедры геометрии и методики преподавания математики ОГУ (2000 г.).

Структура диссертации полностью определяется последовательностью поставленных задач и логикой создания теоретических положений. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Во введении осуществлена общая характеристика работы. В первой главе рассмотрены психолого-педагогические основы реализации внутрипредметных связей посредством решения задач, сформулирована соответствующая концепция. Во второй главе содержатся основные теоретико-методические положения, опирающиеся на психолого-педагогическую концепцию. В конце главы установлено, что эти разработки не являются достаточными основаниями для практического использования выявленных видов реализации внутрипредметных связей, поэтому возникла необходимость создания механизмов, которые позволяют более эффективно использовать построенную теорию. Этому была посвящена третья глава диссертации. В ней также был разработан механизм количественной оценки эффективности использования внутрипредметных связей, указаны способы определения границ применимости созданной теории. В четвёртой главе раскрыты основные этапы опытно-экспериментальной работы, показано взаимодействие и диалектическое взаимообуславливание теоретических разработок и практических фактов, проведён статистический анализ результатов контрольных работ, подтверждающий выдвинутую гипотезу. В заключении перечислены основные результаты, полученные в процессе исследования, а также

указаны пути дальнейшего решения проблемы реализации внутрипредметных

связей в обучении математике, роль, место и значение созданной теории в нау ке.

В настоящее время методика преподавания математики ещё не имеет своего собственного теоретического аппарата, что затрудняет её изучение студентами педагогических вузов и тормозит успешное обучение математике учащихся средних школ. Сейчас создана только теория и методика обучения решению математических задач (Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцев, В.И. Крупич).

, Значение содержащихся в данной диссертации теоретических положений

состоит в том, что они являются частью теоретических основ методики обучения математике.

Психолого-дидактическая трактовка понятия "задача"

По вопросу смысла понятия "задача" значительное исследование провёл В.И. Крупич в труде [57], в параграфе с таким же названием. Для решения про блемы, которой посвящена данная диссертация, этот вопрос очень важен, поэтому мы здесь кратко остановимся на основных результатах, полученных В.И. Крупичем, реферативно изложим их. В психологии понятие "задача" рассматривается как объект мышления. Несмотря на важную роль задач в развитии мышления, в психологии нет единой трактовки этого понятия, поэтому рассмотрим имеющиеся подходы, созданные психологами в решении этой проблемы. Школьный предмет математика оказывает сильное влияние на развитие мышления главным образом на такие его приёмы как анализ, синтез, обобще к ниє, абстрагирование. С. Л. Рубинштейн в своей работе [79] отмечает, что мышление - это прежде всего анализирование, синтезирование и обобщение. Однако, несмотря на тесную связь, мышление и решение задач не могут быть отождествлены путём сведения мышления к решению задач, так как мышление имеет место и при формулировке задач. Но, несомненно, развивать мышление лучше всего именно в процессе решения задач. Это определяется самим тезисом о процессе мышления, который состоит в том, что ход решения задачи определяется самой задачей, то есть задача создаёт исходную детерминацию для мышления, определяй общее направление поисков неизвестного [18].

Известный психолог К.А. Славская в работе "Детерминация процесса мышления" отмечает: "принцип детерминизма, исходящий из того, что внешние причины действуют через внутренние условия, устанавливает определённое отношение внешних и внутренних условий любого тела, явления, процесса: он выступает как общий методологический принцип в любой области знания, в любой науке" [84, с.175].

Принцип детерминизма лежит в основе построения теории задач, так как задача, будучи объектом мыслительной деятельности, посредством условия и требования направляет мыслительный процесс на глубокое изучение объекта, раскрытие внутренних условий его существования. Внутренние условия, оказывая влияние на внешние условия (формулировку задачи), позволяют глубже вникнуть в текст задачи с целью её решения, используя различные приёмы.

Таким образом, сущность психологического подхода к понятию "задача" состоит в том, что задача есть объективная исходная проблемная ситуация, соотношение условий и требований. Это прежде всего задача, встающая для человека. Её можно рассматривать как особую форму познания действительности, причём задача выступает как объект, детерминирующий процесс мышления человека, понимаемый как деятельность [84, с.211].

В формулировке любой задачи обычно четко фиксированы условия (данные) и требования (вопрос или искомое). Как показал А.В. Брушлинский, нередко в методических исследованиях требования задачи и искомое отождествляются. С точки зрения психологии мышления это неправомерно, так как тре -14 бование к любой задаче является известным (например, решить уравнение), а искомое (корни уравнения) неизвестно. Кардинальной проблемой в психологии мышления является соотношение понятий "проблемная ситуация" и "задача". С. Л. Рубинштейн утверждает, что начало мышления в проблемной ситуации [79]. Известный психолог А. М. Матюшкин в работе "Проблемные ситуации в мышлении и обучении" изложил свой подход к решению этой проблемы [63].

На основе анализа психолого-педагогических исследований (Д. Н. Бого ( явленского, НА. Менчинской, В.В. Давыдова и их сотрудников) A.M. Матюш кин показал, что процесс усвоения нового знания представляет собой по основ ным закономерностям процесс решения задач, названных проблемными. А. М. Матюшкин является сторонником того, что понятия "проблемная ситуация" и "задача" принципиально различны и обозначают разные психологические ре альности. По его мнению, субъект (человек) не нужен для определения понятия задачи, так как задача - это объективно заданное и сформулированное словесно или в знаковой форме отношение между условиями (условием) и искомым. Проблемная ситуация рассматривается А. М. Матюшкиным как особый вид мыслительного взаимодействия субъекта (человека) и объекта, при котором субъект открывает новые знания и способы действия. Если задача характеризуется степенью сложности, то проблемная ситуация степенью трудности подлежащего усвоению неизвестного.

А. М. Матюшкин выделил три основных типа проблемных ситуаций (в зависимости от структурного места неизвестного в них): неизвестное совпадает с целью (предметом) действия; неизвестное совпадает со способом действия; неизвестное совпадает с условием выполнения действия.

Итак, А. М. Матюшкиным разведены понятия проблемной ситуации и задачи.

Напротив, Л. Л. Гурова в труде "Психологический анализ решения задачи" не проводит жёсткой границы между этими понятиями. Однако автор имеет в виду, что и то и другое понятие имеет два значения: "задача (а также и про -15 блемная ситуация) может рассматриваться объективно, в своей логической характеристике, безотносительно к тому, занялся кто-либо её решением и может существовать в мышлении субъекта" [36, с.10].

Л. Л. Гурова дает следующее определение понятию задача: задача - это объект мыслительной деятельности, содержащий требование некоторого практического преобразования или ответа на теоретический вопрос посредством поиска условий, позволяющих раскрыть связи (отношения) между известными и неизвестными её элементами. Далее автор рассматривает некоторые логические характеристики задачи с точки зрения содержащейся в ней информации. Автором установлено, что любая задача (как объект) содержит информацию, принимающую два значения: субъективное и объективное. Субъективная информация рассматривается как познавательный результат каждого действия по отношению к задаче, имеющего сознательную цель, а объективная информация выявляется в ходе логического решения задачи и определяется логической структурой её решения.

Таким образом, разрабатывая теорию задач, необходимо исследовать объективную логическую структуру решения задачи в сопоставлении с субъективной психологической структурой её решения, так как между ними существует определённая взаимосвязь.

Итак, психологические исследования не выявили единой трактовки понятия "задача", однако ввиду того, что задача содержит в себе субъективную и объективную информацию, просматриваются два подхода в освещении этого вопроса.

Первый подход состоит в том, что задача есть объективное отражение внешней ситуации, в которой развёртывается целенаправленная деятельность субъекта. Психологи, представители этого направления (ГА. Балл [16], Я.А. Пономарёв [75], К.А. Славская [84] и др.) рассматривают задачу как проблемную ситуацию, в которой действует субъект. Поэтому в данном случае объективное изучение задач (то есть независимое от деятельности субъекта) невозможно.

Второй подход заключается в разведении понятий "проблемная ситуация" и "задача". Задача здесь - "ситуация внешней деятельности", которая может быть проанализирована и описана в отрыве от субъекта. Представители этого направления - А.В. Брушлинский [18], А.М. Матюшкин [63], Л.М. Фридман [95] и др. Данный подход позволяет рассматривать задачу как сложный объект (систему), не требующую для своей характеристики субъекта действия. Таким образом, появляется возможность объективного изучения самих задач, независимо от деятельности субъекта. Однако, эта трактовка понятия "задача" не отрицает её существования в мышлении субъекта. Поэтому при решении проблемы реализации внутрипредметных связей посредством решения задач используется именно этот подход, то есть за основу принята психологическая концепция А. М. Матюшкина о трактовке понятия "задача" и о соотношении задачи и проблемной ситуации.

Итак, при разработке теории задач следует исходить из объективной информации, содержащейся в задаче, однако следует учитывать, что наиболее полную теорию задач удастся построить при сопоставлении объективной и субъективной информации, содержащейся в задаче. В частности, при решении проблемы создания теоретических основ методики реализации внутрипредметных связей посредством решения задач необходимо придерживаться именно этой точки зрения. Это необходимо потому, что, во-первых, факт реализации той или иной задачей внутрипредметных связей полностью определяется логикой взаимодействия всех её компонентов, следовательно, не зависит от деятельности субъекта, решающего задачу, и даже не зависит от того, взялся ли кто-либо решать эту задачу или нет. Во-вторых, чтобы реальный субъект (человек) или абстрактный субъект смог определить, реализует ли данная задача внутрипредметные связи или нет, он должен извлечь из неё именно субъективную информацию. Таким образом, только сочетание объективной и субъективной информации позволит объективно строить теорию реализации внутрипредметных связей посредством решения задач. Заметим, что при построении этой теории во главу угла поставлены не сами задачи, а те внутрипредметныесвязи, которые "порождаются" в процессе решения задач. Следовательно, здесь задачу необходимо рассматривать не как сложный объект (систему), а как субъект, принадлежащий объекту, под которым следует понимать совокупность (систему) задач. Это не означает, что задача перестает быть сложным объектом, просто в данном исследовании интерес представляет не одна задача, а некоторое достаточно большое их количество. Ранее было установлено, что связи, возникающие при решении задач, являются их объективными свойствами, поэтому психологическая концепция A.M. Матюшкина о трактовке понятия "задача" может быть использована и в разрабатываемой в диссертации проблеме, то есть в случае, когда задача рассматривается как субъект, принадлежащий объекту. Непосредственно при построении теории следует исходить из того, что задача прежде всего содержит объективную информацию и извлекать её будет не реальный человек, а абстрактный субъект. Иными словами, создаваемая теория должна быть дистанцирована от деятельности ученика и освещать внутрипредметные связи, реализуемые посредством решения задач, безотносительно к тому, решает ли эти задачи кто-либо или нет.

Итак, в данном параграфе проанализированы различные психологические трактовки понятия "задача", изложена психологическая концепция А.М. Матюшкина, взятая за основу при решении поставленной в диссертации проблемы. Правомерность этого выбора пояснена в конце параграфа.

Как было отмечено в самом начале этой главы, в науке не существует целевых психолого-педагогических исследовании, посвященных проблеме реализации внутрипредметных связей в процессе обучения математике. В первом параграфе были изложены различные трактовки понятия "задача" и принята в ка -18 честве основополагающей концепция А. М. Матюшкина. Цель данного параграфа - проанализировать психолого-педагогические разработки, а также нормативные документы, касающиеся преподавания математики в школе (и процесса обучения вообще), и сделать выводы о психолого-педагогических особенностях обучения математике в классах с углублённым изучением этого предмета.

Специфика и особенности реализации внутрипредметных связей посредством решения задач

Как было отмечено во введении и в первой главе диссертации, проблема \ V эффективности обучения в классах с углублённым изучением математики в на І стоящее время мало изучена и нуждается в интенсивной разработке. Ядром ! этой проблемы являются противоречия между требованиями программы для таких школ (классов) и современными средствами обучения. Для этих классов I созданы специальные учебные пособия [6, 7,10, 11,25, 26, 47, 73, 81, 82], одна ко они не в состоянии обеспечить должный уровень эффективности обучения. Причин тому, по крайней мере, две. Первая причина состоит в том, что эти учебные пособия написаны на весьма невысоком методическом уровне. Это проявляется в самом содержании материала. Теоретическая его часть излишне трудна, содержит большое количество фактов, без которых вполне можно было Ш ы обойтись без ущерба для качества образования даже в таких классах. Кроме того, оставляет желать лучшего и последовательность изложения материала. -30 Вторая причина состоит в неудачном подборе задач в этих пособиях. Они за-частую бывают то слишком лёгкими, то слишком трудными. Помимо этого, они не связаны друг с другом и не связывают различный теоретический материал (по крайней мере, большинство задач именно такие). Однако ввиду того, что программа для этих школ (классов) содержит ряд дополнительных тем, которые глубоко изучаются в вузах, умение "замкнуть" этот материал на школьный уровень и связать его с основным программным материалом является приоритетом в методике обучения математике в классах с углублённым изучением предмета. По нашему мнению, эта проблема может быть решена путём реализации внутрипредметных связей посредством решения задач, так как задача -это основное средство обучения математике. Это показал Ю.М. Колягин в своих работах [51, 52, 53, 54 , 55]. Эту проблему пытаются решить, проводя обучение в математических классах по учебникам, предназначенным для обычных классов [8, 9 ,12, 13,14, 15, 29, 30, 74] и учебных пособий, которые дополняют их [27, 28, 60, 61]. Программа по математике содержит рекомендации и примерное календарное планирование для подобной работы, однако все принятые меры не позволили решить поставленной проблемы, так как для её решения нужно не механическое присоединение дополнительного материала, а глубокий синтез основных и дополнительных тем курса математики.

Вузовские учебники по методике преподавания математики не содержат никакой информации по работе классов с углублённым изучением математики [66, 67, 68]. Исключением является, пожалуй, только книга А.А. Столяра "Педагогика математики", в которой автор уделил много внимания этим проблемам, но акцент в ней был сделан на применение математической логики в процессе обучения в таких школах и классах [88, 89].

В последнее десятилетие в журнале "Математика в школе" было опубликовано достаточно большое количество статей, посвященных обучению математике в классах с углублённым изучением этого предмета [1, 2, 3, 4, 20, 21, 22, 24, 32, 33, 34, 45, 46, 50, 58, 62, 72 и др.]. Авторы этих статей в основном квалифицированные учителя-практики, работающие именно в таких классах. Не оспаривая важности вопросов, затронутых в этих публикациях, заметим, что в решение обозначенной в диссертации проблемы они существенного вклада не внесли, так как, во-первых, представляют собой сплав личного опыта авторов, который не всегда можно распространить на большое количество коллег, во-вторых, само содержание статей представляет собой либо перечень некоторых задач, либо примерное календарное планирование, либо рассуждение по некоторому конкретному вопросу, не имеющему отношения к реализации внутри-предметных связей.

Таким образом, современные средства обучения, предназначенные для математических классов и посвященные этим классам публикации, никак не касаются серьёзного изучения и применения внутрипредметных связей.

Что касается рассмотрения самой проблемы реализации внутрипредметных связей, то ей посвящены различные по смыслу и содержанию труды. Так, например, книга учителя А.В. Столина "Комплексные задачи" представляет собой сборник задач, каждая из которых реализует внутрипредметные связи [87]. Помимо этого, реализации внутрипредметных связей посвящены целевые научные исследования, результаты которых излагались в виде статей, книг для учителя, диссертаций [38, 39, 40,41, 59,69, 70,71, 86, 87, 98 и др.].

Статьи по проблеме реализации внутрипредметных связей обычно посвящены какому-либо частному вопросу. Так, Г.Б. Лудина рассматривает эту проблему на примере изучения перемещений на координатной плоскости [59]. Автор отмечает важность использования перемещений (то есть геометрического материала) на уроках алгебры при изучении построения графиков функций, в частности, квадратичной функции. Также высказывается мысль о более раннем изучении темы "Декартовы координаты" в курсе геометрии.

По проблеме реализации внутрипредметных связей выполнил диссертационное исследование К.С. Муравин [71]. В исследовании внутрипредметные связи рассматриваются в качестве средства построения системы упражнений в восьмилетней школе. Однако автор не создал целостной теории, посвященной исследуемой проблеме. Кроме того, речь в диссертации велась о реализации внутрипредметных связей в общеобразовательных классах восьмилетней школы, поэтому реализация внутрипредметных связей посредством решения задач на уровне математических классов не была исследована.

Глубокое исследование по вопросам реализации внутрипредметных связей в процессе обучения математике провёл В.А. Далингер. Основные результаты исследования изложены в работах [38, 39, 40, 41]. Первостепенное внимание этих исследований направлено на применение внутрипредметных связей на этапе обобщающего повторения. В.А. Далингер выделил реализацию внутрипредметных связей на уровне понятии, системы понятий и теорий. Реализация внутрипредметных связей на уровне понятий позволяет выделять существенные признаки понятия; на уровне системы понятий - сопоставлять понятия, отыскивать связи и отношения между ними; на уровне теорий выяснять не столько содержание понятий, сколько их происхождение, анализировать природу самих понятий. Однако в этом исследовании не затронута проблема реализации внутрипредметньїх связей посредством решения задач, о чём автор сообщил в конце книги [39].

Проблема реализации межпредметных и внутрипредметных связей теоретически и практически исследовалась в НИИ СиМО АПН СССР и НИИ педагогики БССР. Основные результаты изложены В.М. Монаховым и В.Ю. Гуреви-чем в трудах [69, 70]. В первой работе авторы доказывают, что реализация внутрипредметных связей является составной частью реализации межпредметных связей. Во второй работе авторы излагают концепцию реализации внутри-предметгных связей. В частности, под внутрипредметными связями понимается множество пар (Ai9Ak ), где At и Ак - элементы знания (части учебного предмета), i9k - их номера, и первый компонент пары используется при изучении второго компонента. Это определение содержит один серьёзный недостаток -не раскрыт смысл фразы "первый компонент пары используется при изучении второго компонента", поэтому оно не может быть использовано нами при построении теории. Далее в статье излагаются способы оптимального расположения учебного материала для достижения большей эффективности реализации

-33 внутрипредмегаых связей, но речь идёт по сути дела о теоретическом материале, а не о системах задач. Более подробно на анализе этой статьи мы остановимся при разработке методов количественной оценки эффективности реализации внутрипредметных связей.

Вопросу оптимизации расположения материала в учебном предмете была посвящена статья А.В. Шевкина [98]. Автор придерживался определения внутрипредметных связей, изложенного в [70].

Анализируя всё вышеизложенное, делаем следующие выводы. До сих пор в науке по вопросам реализации внутрипредметных связей посредством решения задач на уровне создания цельной теории исследований не было. Рассматривались лишь частные случаи такой реализации или выстраивались принципиально отличные от обозначенной в данной диссертации научные концепции (например, концепция В.А. Далингера), где реализация внутрипредметных связей посредством решения задач могла присутствовать лишь в "неявном виде", как частный случай. Между тем, создание полноценной теории реализации внутрипредметных связей посредством решения задач независимо от их тематики и принадлежности к тому или иному разделу математики позволило бы относительно легко строить конкретные методические модели, применяемые для той или иной темы или раздела.

О необходимости создания таких теорий писал ещё А.А. Столяр в своей книге "Педагогика математики". Автор указывал, что современная методика математики жёстко разделена на две части - общую методику и частные методики, причём между ними практически отсутствует какое - либо связующее звено. Это существенным образом сказывается на качестве методической подготовки учителей математики, а следовательно, и на качестве математического образования школьников. Труд А.А. Столяра представляет собой попытку совместить в одной книге общую и частную методики. Он написан в духе общеметодического изложения частных проблем (именно проблем, а не вопросов) методики преподавания математики. По мнению А.А. Столяра, методика математики займёт достойное место в ряду других наук, если разработает свой соб -34 ственный теоретический аппарат, причём он должен создаваться посредством общеметодического решения частных проблем. Разрабатываемая в диссертации теория будет создаваться именно в таком ключе. В самом деле, реализация внутрипредметных связей посредством решения задач является частной методической проблемой, а её решение вне зависимости от принадлежности последних к той или иной теме и разделу курса математики носит общеметодический характер.

class3 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ, РЕАЛИЗУЮЩИХ ВНУТРИПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ ПОСРЕДСТВОМ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ class3

Общие требования к построению систем задач, реализующих внутрипредметные связи

Прежде чем приступить к выявлению и формулировке требований к системам задач, уточним смысл терминов "методическая модель" и "система".

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Методической моделью называется математический объект, состоящий из конкретных математических субъектов, для которого выполнены следующие условия:

1) все субъекты модели имеют одну и ту же теоретико-методическую основу;

2) содержание модели не определяется формой её изложения ученикам (обратное может иметь место);

3) содержание модели должно быть направлено на формирование приёмов учебной деятельности школьников;

4) методическая модель полностью готова к практическому использованию учителем в процессе профессиональной деятельности.

Непосредственно из определения следует, что несколько методических моделей, имеющих единую теоретико-методическую основу, объединяясь, также образуют методическую модель. Таким образом, вся школьная математика может представлять собой единую методическую модель, если её построить как совокупность моделей, имеющих одинаковую теоретико-методическую основу. В качестве такой основы рассмотрим теорию методической реализации внутриіфедметньїх связей посредством решения задач, основные положения которой были изложены во второй главе диссертации. Кроме того, следует учесть, что они опираются на общую концепцию теории и методики обучения решению задач, созданную Ю.М. Колягиным, Г.И. Саранцевым и В.И. Крупичем.

Поскольку в данном исследовании ранее было принято соглашение о том, что в рассмотрение принимаются только практические объекты, всякая модель будет представлять собой набор конкретных задач. При этом будем считать, что весь теоретический материал, необходимый для их решения, уже изучен. Для того чтобы такая модель полностью соответствовала шестнадцатому определению и главным образом его третьему пункту, необходимо, чтобы указанный набор задач был системой.

В.И. Крупич установил основные пять требований, которым должна удовлетворять система школьных математических задач [57]. Под системой он понимал непустое множество элементов, на котором реализовано заранее данное отношение R с фиксированными свойствами Р. Это понятие сформулировал А.И. Уёмов [92]. В настоящем исследовании будет принята за основу именно эта трактовка понятия "система".

Кратко перечислим пять требований к системам математических задач, которые сформулировал В.И. Крупич.

Первое требование к системе - необходимость составлять её из конкретных математических задач, чтобы обеспечить достижение обобщённой цели учебной деятельности, то есть решение учебной задачи.

Второе требование состоит в том, что система задач должна обладать свойством структурной полноты, то есть строиться с учетом принципа целостности [57,сЛ25].

Третье требование заключается в том, что система задач должна содержать учебные цели по формированию у учащихся теоретических знаний и способов действия на каждом из четырёх этапов решения задачи.

Четвёртое требование - система школьных задач должна включать учебные цели по осуществлению действий самоконтроля и самооценки для формирования у школьников способов самостоятельного приобретения знаний и приёмов самообразования.

Пятое требование говорит о том, что система задач должна обеспечить на основе их систематизации постепенное нарастание сложности задач на базе развития их внутренней структуры, а на каждом уровне сложности - степень возрастания проблемносте.

Разумеется, всякая методическая модель (в рамках данного исследования это фактически система математических задач), реализующая внутрипредмет-ные связи, должна удовлетворять этим пяти требованиям. Само требование реализации внутрипредметных связей в явном виде В.И. Крупичем не сформулировано, но оно неявно содержится в третьем, четвёртом и пятом требованиях. В этом параграфе необходимо выяснить, какие условия должны быть выполнены, чтобы система задач реализовывала внутрипредметные связи посредством их решения. Для решения этой проблемы рассмотрим четыре абстрактные методические модели, основанные на принадлежности задач к теме и разделу математики. Первая модель - задачи принадлежат одной теме и одному разделу. Вторая модель - задачи принадлежат одной теме и нескольким разделам. Тре -105 тья модель - задачи принадлежат нескольким темам, но одкому разделу. Четвёртая модель - задачи принадлежат нескольким темам и нескольким разделам. Эти абстрактные модели являются прообразами реальных моделей указанных четырёх типов.

Сначала выясним, какие требования должны быть выполнены для всех четырёх указанных моделей. Далее рассмотрим отдельно каждую из этих моделей. Так как рассмотренные в первую очередь требования справедливы для любой из них, то нумерация требований каждый раз будет продолжена. Это позволит установить, какие требования предъявляются к каждой из этих моделей в отдельности, а также определить их количество.

Напомним, что во второй главе были рассмотрены необходимые и достаточные условия реализации того или иного вида внутрипредметных связей для каждого из четырёх рассмотренных уровней. В этом параграфе речь пойдёт о тех требованиях, которые предъявляются к системе задач, в которой обязательно реализованы все те виды внутрипредметных связей, которые могут иметь место на данном уровне.

1. Поскольку в школьном курсе математики материал изучается тематически (сначала изучается новая тема, а затем все причастные к ней разделы), в данном исследовании будет соблюдён тот же порядок. В первую очередь при построении методической модели будет приниматься во внимание теоретический и практический базис задач, а только потом их принадлежность к тому или иному разделу.

2. В данном исследовании было установлено, что все внутрипредметные связи по характеру применения делятся на две часта: связи безусловного характера и связи условного характера (гл.2, 1). Разумеется, при построении методических моделей речь пойдёт о связях условного характера, так как связи безусловного характера не могут быть созданы искусственно. Это не исключает их присутствия в модели, но оно не всегда в достаточной мере выполняет основные функции реализации внутрипредметных связей посредством решения задач.

3. Каждый вид внутрнпредметаоьіх связей может быть реализован независимо от того, имеет ли место в данной модели какой-либо другой вид внутри-предметных связей. Этот факт строго устанавливается теоремой.

ТЕОРЕМА 6, В данной научной концепции каждый из десяти видов внутрипредметных связей не зависит от остальных девяти видов. Доказательство. Существует всего два типа видов реализации внутрипредметных связей - логический тип и аналитический тип. Два вида логического типа опираются на первый и второй пункты второго постулата соответственно, поэтому они не зависят друг от друга. Они не опираются на третий пункт второго постулата, а все виды внутршфедметных связей аналитического типа не опираются на первые два его пункта, поэтому никакой вид связей аналитического типа не зависит ни от какого вида связей логического типа.

Рассмотрим все виды внутрипредметных связей аналитического типа. Все они независимо от того, какое количество теоретических и практических базисов необходимо для их реализации, имеют место благодаря использованию при решении задач различных компонентов теории (теорий), некоторых фактов, установленных какой-либо задачей, использованием результата некоторой задачи, причём этот результат является числом. Других вариантов не существует. Это непосредственно следует из пятой теоремы.

Предположим, что какой-либо вид внутрипредметных связей зависит от другого вида (других видов). Это означает, что он может быть реализован в некоторой модели только в том случае, если другой вид (другие виды) в ней также имеет (имеют) место или наоборот он (они) не используется (используются) в ней. Это определяется смыслом зависимости: либо взаимоисключение, либо взаимообуславливание. Однако это противоречит характеристике любого из восьми видов внутрипредметных связей аналитического типа, так как каждый из них реализуется благодаря выполнению тех или иных требований, описанных выше. Ни один из видов внутрипредметных связей этих требований не детерминирует, наоборот, их наличие или отсутствие определяет возможность использования того или иного вида связей. Следовательно, использование не -107 кбторого вида внутрипредметных связей аналитического -тала не может устанавливать возможность (невозможность) реализации какого-либо другого вида внутрипредметных связей, то есть все они независимы.

Итак, установлено, что никакие виды внутрипредметных связей, независимо от их принадлежности к тому или иному типу, друг от друга не зависят.

Теорема доказана.

Смысл данной теоремы в том, что если между задачами (подзадачами) а и Ь реализован какой-либо вид внутрипредметных связей, а с - задача из той же методической модели, то связь задач а и Ъ не зависит от наличия или отсутствия какого-либо вида внутрипредметных связей между задачей с и любой из задач а и b. Непосредственно из этого следуют ещё два требования.

4. Реализация некоторого вида внутрипредметных связей в рамках одной модели не исключает реализацию в ней какого-либо другого вида внутрипредметных связей.

5. На уровне одной методической модели очерёдность использования видов внутрипредметных связей не зависит от того, какие именно виды в ней представлены.

6. Поскольку в данном исследовании принято тематическое построение методических моделей, следует иметь в виду, что на первом этапе решения задач по новой теме необходимо рассматривать задачи, не реализующие внутри-предметные связи (за исключением того, когда эти задачи реализуют безусловные внутрипредметньїе связи). Это задачи на освоение нового материала (в соответствии с психологической концепцией Л.М. Фридмана о двухэтапном процессе обучения решению задач [94]) . Заметим, что это необходимо делать не в каждой теме, но в большинстве случаев такая необходимость существует.

7. В нормативно-правовой литературе отмечается, что процесс изучения математики является более успешным, если правильно составлено домашнее задание [31]. При составлении методической модели нужно учесть, что в домашнее задание должна войти, по крайней мере, одна задача, подобная каждой из тех, которые были рассмотрены на уроке. В связи с этим возникает вопрос о минимальном количестве задач, которое должно содержаться в модели, реали ст зующей внугрипредметные связи. Здесь необходимо ввести систему соглаше ! ний, а при её разработке учесть, что внугрипредметные связи могут возникнуть между двумя исходными задачами или между подзадачами исходной задачи.

СОГЛАШЕНИЯ

1. Предложенная система соглашений определяет минимальное число задач, необходимых для построения методической модели.

2. Если внугрипредметные связи реализуются между подзадачами, то количество задач, реализующих внугрипредметные связи таким образом, должно быть в двое больше числа соответствующих видов внутрипредметных связей (то есть каждому виду должны быть поставлены в соответствие две задачи, одна для решения на уроке, вторая для решения дома).

3. Если внугрипредметные связи реализуются между двумя исходными задачами, то каждому такому виду в соответствие ставятся четыре задачи (одна пара рассматривается на уроке, другая пара дома).

4. Принимая во внимание первое, второе и третье соглашения, обозначив количество задач символом Я", получим формулу К = 2(2а + 6 + с), где а - коли % чество видов внутригфедметных связей, реализуемых между двумя исход ными задачами, Ъ - количество видов, связывающих подзадачи в исходной задаче, с - количество задач, удовлетворяющих шестому требованию данного параграфа. Ясно, что с 0, 0 я4, 0 Z 6, a,b,ceZ.

Замечание 18. Принятая система соглашений не исключает возможности построения методических моделей, в которых некоторые задачи реализуют несколько видов внутрипредметных связей, но второе и третье соглашения долж I ны быть выполнены. Количество задач, не реализующих внугрипредметные

связи, определяется для каждой темы, исходя из её трудности. Конкретныі

оценок для числа таких задач нет, так как в современной науке нет способов

количественной оценки трудности задач.

Теперь рассмотрим четыре вышеуказанные методические модели. Напомним, что для кавдой из них нумерация требований начнётся с восьмого пункта, но сначала будет определено минимальное количество задач.

Рассмотрим первую модель. Все её задачи (и все их подзадачи) принадлежат одной теме и одному разделу. Напомним, что она обозначается СВ. В ней имеют место первый, второй, третий, четвёртый и десятый виды внутрипред-метныхсвязей. Тоесть а = 4, & = 1. Тогда /С = 18 + 2с.

8. У каяадой подзадачи любой из задач данной модели в информационной структуре должны быть одинаковые компоненты С и В.

9. Поскольку любая тема школьного курса математики включает в себя несколько разделов, при построении методической модели СВ следует иметь в виду, что решённые в ней задачи станут практической основой решения задач в последующих разделах темы (например, вычисления с применением свойств логарифмов будут практической основой решения логарифмических уравнений), поэтому для данной модели велика роль пропедевтики.