Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА І. Общие сведения по изгибу и колебаниям стержней и теории тонких оболочек 8
1. Устойчивость стержневых систем 8
1.1. Система координат 10
1.2. Уравнение равновесия стержня 11
1.3. Уравнение равновесия стержня в касательной системе координат 14
2. Устойчивость тонких пластин и оболочек 16
2.1. Уравнение сильного изгиба тонкой пластины в декартовых координатах 20
2.2. Векторное уравнение изгиба пластины в цилиндрических координатах 25
3. Колебания нагруженных стержней 30
Выводы 32
ГЛАВА II. Систематизация решений в параметрическом виде для нелинейного изгиба стержней 33
1. Общее решение задачи об изгибе стержня 33
2. Изгиб стержня с защемленным концом и другим свободным концом под действием нагрузки под произвольным глом 35
3. Изгиб стержня с защемленным концом и другим свободным концом под действием поперечной силы 37
4. Изгиб стержня с защемленным концом и другим свободным концом под действием продольного сжатия 42
5. Изгиб стержня как аналогия перемагничивания магнитной системы 45
6. Изгиб стержня с обоими защемленными концами под действием продольного сжатия 46
7. Изгиб стержня с обоими шарнирно закрепленными концами под действием продольного сжатия 47
8. Сводная таблица решений и описание интерактивной программы демонстрации аналитических решений для изгибов стержней 49
Выводы 52
ГЛАВА IIІ. Решение уравнения равновесия для круговой пластины 53
1. Устойчивость круговой пластины под действием радиального сжатия 53
1.1. Задача о пластине с защемленными краями 54
1.2. Задача о пластине с закрепленными краями 57
2. Специальные функции. Система обозначений 58
2.1. «Эллиптический интеграл Бесселя» 58
2.2. «Эллиптическая амплитуда Бесселя» 59
2.3. «Эллиптический синус Бесселя» 60
3. Формы прогиба пластины. Пороги внешней нагрузки. 61
3.1. Представление решений с помощью введенных специальных функций 61
3.2. Спектр внешней нагрузки и профили пластины 63
Выводы 69
ГЛАВА IV. Колебания нагруженных стержней после потери устойчивости 70
1. Общее уравнение движения стержня 70
2. Колебания консоли в нагруженном состоянии 71
2.1. Определение частоты собственных колебаний нагруженного стержня 71
2.2. Частоты колебаний при продольной нагрузке 77
2.3. Частоты колебаний при поперечной нагрузке 79
3. Аналогия с магнитными колебаниями в ферромагнитном слое 80
Выводы 82
Заключение 83
Библиографический список литературы 8 5
Приложения 90
- Уравнение сильного изгиба тонкой пластины в декартовых координатах
- Изгиб стержня с защемленным концом и другим свободным концом под действием поперечной силы
- Сводная таблица решений и описание интерактивной программы демонстрации аналитических решений для изгибов стержней
- Представление решений с помощью введенных специальных функций
Введение к работе
В авиационной, ракетной, кораблестроительной и других областях промышленности всегда большое внимание привлекают проблемы устойчивости и колебаний конструкций: оболочек, мембран, стержневых систем и т.д. Особое значение имеет задача о поведении конструкций под действием быстро меняющихся во времени и собственно ударных нагрузок, поскольку ударные разрушения относятся к наиболее тяжким последствиям природных и техногенных катастроф. Поэтому изучение ударных, или динамических нагрузок всегда является объектом пристального внимания исследователей, особенно после появления основополагающей работы М.А. Лаврентьева и А.Ю. Ишлинского [1].
Такие задачи о поведении конструкций крайне важны как в теоретическом, так и практическом отношении, однако точные решения их получить весьма сложно. Подобные задачи очень часто решаются приближенными или численными методами, и только небольшое число задач удалось решить аналитически.
В последние годы в работах Ю.В. Захарова [2-4] была найдена аналогия между задачей о перемагничивании магнитного слоя с несимметричными граничными условиями и задачей Эйлера об устойчивости упругого стержня. Для магнитной системы была найдена последовательность пороговых полей потери устойчивости ферромагнитного слоя как аналогия исследованной М.А. Лаврентьевым и А.Ю. Ишлинским [1] динамической потери устойчивости упругой системы.
Найденная аналогия помогла получить ряд аналитических результатов для описания устойчивости магнитных и упругих систем. Так, для упругих систем были найдены точные решения в эллиптических функциях нелинейного уравнения сильного изгиба упругого стержня-консоли под действием поперечной сосредоточенной нагрузки на свободном конце [5-6].
Полученные теоретические результаты позволяют подойти с новых позиций к анализу более сложных упругих систем, и, в частности, к анализу задач об изгибе тонкой пластины и о колебаниях стержней.
Интересно не только само явление потери устойчивости конструкций, но и их закритическое поведение. Всякие попытки точно решать сложные проблемы устойчивости и механики сплошных сред приводят к необходимости получения и решения соответствующих, как правило, нелинейных уравнений, т.е. требуют развития математического аппарата.
Задача об изгибе стержня является одним из вопросов расчета конструкций. Как правило, такие задачи решаются на базе приближенных линеаризованных уравнений равновесия для изогнутых стержней, приводящих к решениям в виде полиномов. Чаще всего используются именно эти решения. Вместе с тем имеются для некоторых случаев точные решения нелинейных уравнений, выраженные в квадратурах [7-10], или в эллиптических интегралах [12-13]. В последнем случае решения определяются тремя параметрами, связанными с условиями на двух концах и действующей силой и находящихся из вспомогательных таблиц и номограмм. Все эти решения имеют громоздкий вид и труднодоступны для инженеров-практиков, поэтому до последнего времени решались задачи получения приближенных выражений даже для таких стандартных характеристик, как максимальный прогиб стержня [16]. Вместе с тем, в последнее время есть определенный прогресс в получении точных решений, выраженных через эллиптические функции с единственным параметром - модулем к, определяемым действующей силой. В настоящее время известны достаточно эффективные, быстрые алгоритмы для вычисления эллиптических функций и интегралов, что позволяет создать эффективный пакет прикладных программ визуализации точных решений для изгиба тонких стержней. В наши дни, когда перед конструкторами стоят задачи миниатюризации спутников, это имеет ясно выраженное прикладное инженерное значение при расчете устройств точной механики в условиях ограниченных габаритов, поскольку точные решения в ряде случаев значительно отличаются от приближенных. Например, прогиб в приближенном решении оказывается в некоторых случаях в два раза больше прогиба в точном. Поэтому сравнение точных решений с приближенными может позволить найти те области параметров, где целесообразно использовать точное или возможно использовать приближенное решение. Это может позволить выбрать оптимальные характеристики создаваемых устройств в точной механике.
Задачи об изгибе оболочек и пластин при достаточной ясности и проработанности для линейных случаев существенно усложняются при переходе к рассмотрению сильных изгибов, т.е. к нелинейному случаю. Вместе с тем изучение закритического поведения оболочек и пластин обязательно приводит к рассмотрению нелинейных задач различной степени сложности.
Не будут исключением и задачи, которые являются целью этой диссертационной работы: исследование устойчивости упругих стержней и пластин под действием внешней нагрузки в геометрически нелинейном случае, нахождение порогов устойчивости и соответствующих им форм выпучивания, исследование колебаний упругих стержней после потери ими устойчивости.
Уравнение сильного изгиба тонкой пластины в декартовых координатах
Теория устойчивости оболочек привлекает к себе в последние годы наибольшее внимание. Были получены решения классических задач по устойчивости круговых цилиндрических оболочек с учетом граничных условий [24, 25]. Кроме того, большое практическое значение имеет рассмотрение оболочек сравнительно сложной конфигурации, все шире применяемых ныне в инженерных сооружениях.
В методическом отношении теория устойчивости упругих систем претерпевает в настоящее время существенное развитие и изменение. Они связаны, с одной стороны, с более строгой формулировкой критериев устойчивости - прежде всего для нелинейных задач. С другой стороны, сильное влияние на методы решения различных задач оказало использование современных вычислительных средств. Приведем здесь обзор технических приложений теории устойчивости, в основном следуя монографии А.С. Вольмира [24].
Круговые пластинки в измерительных приборах обычно служат чувствительными элементами (мембранами), реагирующими на изменение поперечного давления. В некоторых случаях «мембрана» подвергается действию радиальных сжимающих усилий со стороны опорного устройства, что может привести к выпучиванию мембраны. При деформациях пластин, связанных с тепловым эффектом, также может произойти потеря устойчивости пластин. Выпучивание может наблюдаться и в тех случаях, когда пластинки воспринимают только поперечное давление.
В общем случае при потере устойчивости пластинки может образоваться ряд мелких вмятин различного направления, как вдоль радиуса [24, 33], так и по окружности. Однако наибольшее практическое значение имеют случаи осесимметричного выпучивания, когда срединная плоскость пластинки переходит в поверхность вращения. Подобные частные задачи мы прежде всего и рассмотрим.
Пластинки прямоугольного очертания входят в состав различных конструкций обычно в виде панелей обшивки, скрепленных с системой подкрепляющих ребер. Обшивка подвергается в этих конструкциях действию той или иной поперечной нагрузки, например, аэродинамического давления, и, кроме того, воспринимает «основные» усилия вместе с другими элементами конструкции - от общего изгиба крыла самолета, корпуса судна или вагона. Во многих случаях эти основные усилия являются превалирующими: они вызывают сжатие, изгиб либо сдвиг пластинки в ее плоскости и приводят, при известных условиях, к выпучиванию пластинок; поэтому расчет пластинок на устойчивость представляет собой неотъемлемую часть общего расчета конструкции. Пластинки, подкрепленные по продольным краям, способны и после потери устойчивости нести возрастающую нагрузку. Следовательно, конструктора должно интересовать не только само явление потери устойчивости пластинок, но и их закритическое поведение. Стенки высоких балок и элементы различных тонкостенных стержней и балок также представляют собой прямоугольные пластинки, подвергающиеся выпучиванию, следовательно, и здесь расчет на устойчивость имеет первостепенное значение.
При определении критических нагрузок, когда исследуются равновесные состояния, соседние с исходным, можно полагать, что появляющиеся в процессе выпучивания напряжения в срединной поверхности пластинки малы по сравнению с напряжениями собственно изгиба; прогибы пластинки считаются также малыми по сравнению с толщиной. В некоторых задачах при этом можно пользоваться теорией жестких пластинок, пренебрегающей напряжениями в срединной поверхности пластинки. Если же исследуется закритическое поведение пластинки, то надо исходить из более общей теории гибких пластинок, учитывающей одновременно напряжения в срединной поверхности и напряжения изгиба.
Традиционно задачи об изгибе упругих систем решаются для геометрически линейных уравнений для прогибов с использованием сложных пробных функций для напряжений [24-27, 33-34]. При этом необходимо применять сложные приближенные расчетные методы (метод Бубнова-Галеркина, теорию возмущений и т.д.) [24, 33].
Приведем здесь основные уравнения, описывающие изгиб тонких пластинок. Они широко известны в литературе и приводятся, например, в работах [9, 10, 24-26, 28-36]. Пусть w(x, у) - функция прогиба, Ф(х, у) - функция напряжений, связанная с напряжениями следующим образом: описывает прогиб и деформации пластинки. Первое уравнение - для прогиба пластины, второе уравнение - условие неразрывности деформаций. Здесь h - толщина пластинки, D - цилиндрическая жесткость, Е - модуль Юнга, q - внешняя поперечная нагрузка. В этих уравнениях прогиб не предполагается малым по сравнению с толщиной, но укажем здесь, что условием применимости этих уравнений является малость прогиба по сравнению с линейными размерами пластинки.
Решения этих уравнений приведены в различных работах [9-Ю, 24-26, 28-36] и получены разными методами. Например, в работе Д.Ю. Панова и В.И. Феодосьева [33] с помощью этих уравнений исследована потеря устойчивости оболочки для несимметричного случая. Уравнения решались приближенным способом - методом Галеркина. В более простых случаях, линейной или осевой симметрии, они элементарно интегрируются.
В качестве частного случая эти уравнения содержат линейные уравнения равновесия стержней. Если совершить предельный переход к одномерному случаю, положив J/ = Const, то получим известное уравнение (1.13).
Изгиб пластинки сопровождается, вообще говоря, ее общим растяжением. В случае слабого изгиба этим растяжением можно пренебречь. При сильном же изгибе этого уже нельзя сделать, поэтому в сильно изогнутой пластинке не существует никакой «нейтральной поверхности». Наличие растяжения, сопровождающего изгиб, является специфической особенностью пластинок, отличающей их от тонких стержней, которые могут быть подвергнуты сильному изгибу, не испытывая при этом общего растяжения. Это свойство пластинок является чисто геометрическим. Пусть, например, плоская круглая пластинка изгибается в поверхность шарового сегмента. Если произвести изгиб так, чтобы длина окружности осталась неизменной, то должен растянуться ее диаметр. Если же диаметр пластинки не растягивается, то должна сжаться ее окружность.
Изгиб стержня с защемленным концом и другим свободным концом под действием поперечной силы
Задачи, рассмотренные выше, являются статическими. Представляют серьезный интерес задачи о колебаниях упругих систем, в частности, стержней. Эти задачи описываются уравнениями, где необходимо учитывать ускорения элементов тела.
Обычно эти задачи решаются для изначально прямого стержня, исходя из линейного уравнения колебаний [24, 40]. Приведем его здесь в декартовых координатах для случая продольного сжатия где w(x, t) - малый прогиб стержня, Р - сосредоточенная сжимающая нагрузка, р -плотность стержня, S - площадь его сечения. Решение этого уравнения приводит к известной линейной зависимости квадрата собственной частоты колебаний стержня от внешней нагрузки [24]
В этом решении можно рассматривать более высокие моды, чем первая в том случае если нагружение происходит быстро, когда элементы стержня не успевают переместиться в направлении, нормальном к оси стержня. В таком случае сжимающая нагрузка может достигнуть первой критической величины и превзойти ее раньше, чем прогибы достигнут заметных значений. И тогда в таком динамическом процессе сжимающая нагрузка может пройти к более высоким критическим значениям. И при этом могут возникнуть более высокие формы потери устойчивости.
Динамические формы потери устойчивости могут возникнуть, когда время нарастания нагрузки меньше, чем время релаксации системы, т.е. время пробегания звука по длине стержня.
Скорость звука в стержне равна где у - удельный вес материала, Е - модуль Юнга, р - плотность. Для стали и дюралюмина эта величина составляет с = 5 105 см/сек.
Полученные решения описывают частоты колебаний стержня в нагруженном состоянии до потери им устойчивости, т.е. до достижения нагрузкой Эйлерова порога для статической моды или более высоких порогов для следующих, динамических мод колебаний, следуя терминологии Лаврентьева и Ишлинского.
Задача о зависимости частоты колебаний от приложенной нагрузки для стержней после потери устойчивости, в изогнутом состоянии, насколько известно автору, в литературе не решалась. Вместе с тем, известен ряд работ для магнитных систем [41-43], которые, как мы уже отмечали, являются аналогией данной стержневой упругой системы, в которых находятся зависимости частот магнитных колебаний от приложенного внешнего поля после потери устойчивости ферромагнитного слоя при его перемагничивании и перехода его в веерное состояние.
Поскольку упругий стержень в нагруженном изогнутом состоянии часто является одним из элементов устройств точной механики, то задача о собственных частотах колебаний такого стержня представляет несомненный интерес для разработки конструкций, особенно в условиях необходимой миниатюризации.
Проведен обзор работ по устойчивости упругих стержней и пластин. Приведены основные системы уравнений, описывающие изгиб стержней и пластин для случаев малых и больших отклонений от положений равновесия. Рассмотрены геометрически линейные и нелинейные уравнения равновесия и основные способы их получения.
Для тонкого упругого стержня приведен вывод общего геометрически нелинейного уравнения равновесия для произвольных внешних нагрузок -продольных и поперечных, точечных и распределенных.
Для тонких пластин приведен вывод общего геометрически нелинейного уравнения равновесия в декартовых и цилиндрических координатах для произвольных внешних нагрузок - продольных и поперечных, точечных и распределенных, имеющее в тензорных обозначениях достаточно простой вид. Приведено уравнение равновесия для частного случая осевой симметрии пластины.
Полученное нелинейное уравнение обобщает широко известные в литературе выражения для сильного прогиба тонкой пластины. В качестве частного случая уравнение сильного изгиба пластин содержит уравнение сильного изгиба стержней.
Колебания нагруженных стержней исследованы при нагрузках, не превышающих пороговые нагрузки, т.е. для стержней до потери ими устойчивости.
Отсюда можно сформулировать цели настоящей работы.
Представляет интерес систематизация и обобщение результатов по исследованию изгиба стержней при различных условиях закрепления и приложения внешней нагрузки в геометрически нелинейном случае с целью разработки удобного для практического применения программного обеспечения.
Необходим более полный анализ и точное решение уравнения равновесия круговых пластин в геометрически нелинейном случае. Применяя приведенное уравнение для задач различной геометрии с разными граничными условиями, можно найти точную форму изгиба поверхности и систему статических и динамических порогов потери устойчивости (спектр собственных значений).
Необходимо исследование зависимости частот колебаний нагруженного стержня после потери им устойчивости в изогнутом состоянии.
Сводная таблица решений и описание интерактивной программы демонстрации аналитических решений для изгибов стержней
Полученные формулы (4.17) и график на рис. 4.2. полностью аналогичны результатам, приведенным в работе [2] для собственных частот колебаний магнитного слоя с неоднородными граничными условиями (магнитомягкий слой на магнитожесткой подложке). Этот слой находится под действием внешнего магнитного поля, антипараллельного направлению закрепления магнитного момента. При увеличении поля после достижения порогового значения и потери устойчивости слой переходит в веерное состояние. Частотные зависимости для магнитной системы, полученные в эксперименте, приведены на рис. 4.5. Эти зависимости хорошо согласуются с теоретическими расчетами.
В настоящее время еще не поставлен эксперимент по изучению частот колебаний упругого стержня после потери устойчивости, в изогнутом состоянии. Эта магнитная аналогия позволяет надеяться на то, что поставленный в будущем эксперимент на упругой системе будет так же хорошо соответствовать теоретическим расчетам, как и в магнитной системе.
Получено общее нелинейное интегро-дифференциальное уравнение произвольных движений (перемещений) тонкого упругого стержня (линии). Рассмотрен частный случай малых колебаний стержня в изначально нагруженном состоянии. В качестве простой модельной задачи выбран стержень, защемленный с одной стороны и свободный на другом конце, под действием сосредоточенной нагрузки. Получено дифференциальное уравнение малых колебаний стержня в нагруженном состоянии, в окрестностях нелинейных порогов для малой добавки к углу наклона касательной к оси стержня, зависящей от времени и от координаты. При описании начального нагруженного состояния использовались точные нелинейные решения равновесия стержня, полученные ранее. Полученное уравнение малых колебаний после перехода стержня в изогнутое состояние сводится к известному уравнению Ламе. Получена зависимость частоты каждой моды от внешней нагрузки. Эта зависимость до соответствующего порога имеет линейный характер, как было показано ранее многими авторами. Найденная зависимость частоты от внешней нагрузки после порогов в изогнутом состоянии имеет нелинейный характер. Обращение частот п-го тона колебаний стержня в ноль при пороговой силе происходит в точках бифуркации. Вид полученного уравнения малых колебаний и частотных зависимостей позволяет провести аналогию между колебаниями упругих механических систем и магнитными колебаниями в ферромагнитном слое. Результаты этой главы опубликованы в работах [66-68]. 1. Систематизированы и обобщены точные решения для нелинейного изгиба тонких стержней для различных случаев закрепления и приложения внешней силы. Решения записаны в параметрическом виде и выражены через эллиптические функции Якоби и зависят только от одного дополнительного параметра - модуля эллиптических функций, определяемого внешней нагрузкой и модой решения. 2. На основе этой системы решений создан пакет прикладных программ, позволяющий визуализировать прогибы стержня при различных граничных условиях и в зависимости от физических характеристик стержня, приложенной силы и моды решения. 3. Получено точное решение геометрически нелинейного уравнения для сжатой радиальной нагрузкой круговой пластины, являющееся обобщением решения задачи о сильном изгибе тонкого стержня на двумерную поверхность. 4. Для описания точных решений введена система новых специальных функций -«эллиптических интегралов Бесселя» и «эллиптических функций Бесселя», которые для систем с цилиндрической симметрией являются аналогами эллиптических интегралов и эллиптических функций Якоби. 5. Найдена система статических и динамических порогов внешней нагрузки и соответствующие им формы прогиба радиально сжатой пластины. Найденные решения выражены через новые функции, что позволило получить систему решений, аналогичную решению задачи о сильном изгибе стержня. 6. Исследованы колебания тонкого упругого стержня после потери им устойчивости в изогнутом состоянии и найдены частоты колебаний в зависимости от внешней нагрузки, приложенной под произвольным углом. Проведена аналогия с колебаниями веерной магнитной системы. Приношу искреннюю благодарность научному руководителю и учителю Ю.В. Захарову за постановку задачи, постоянную помощь и внимание к работе. Автор искренне благодарен К.С. Александрову и Р.Г. Хлебопросу за пристальное внимание к работе и детальное обсуждение результатов, С.Г. Овчинникову, Р.С. Исхакову, A.M. Баранову, В.Г. Суховольскому, Ю.И. Манькову, Л.И. Шкутину за полезные обсуждения и интерес к работе.
Представление решений с помощью введенных специальных функций
Найдены решения общего геометрически нелинейного уравнения для сжатой радиальной нагрузкой круговой пластины.
Показано, что найденные решения являются обобщением решения задачи о сильном изгибе стержня на двумерную поверхность.
Точное решение геометрически нелинейного уравнения для сжатой радиальной нагрузкой круговой пластины не выражается через известные аналитические функции. Для описания точного решения введена система специальных функций -«эллиптических интегралов Бесселя» и «эллиптических функций Бесселя», которые для цилиндрической симметрии являются аналогами эллиптических интегралов и эллиптических функций Якоби.
Введенная система функций, описывающая в ограниченной области существенно нелинейные свойства системы, а за пределами этой области описывающая систему как линейную, может быть использована при анализе процессов, в которых имеется сильное воздействие в ограниченной области.
Получим точное уравнение оси стержня для случая произвольных движений. Искомая функция 9(/, і) - угол наклона касательной к оси стержня будет теперь зависеть от времени. Поэтому полные производные по координате будут заменены частными. Начальную погибь стержня обозначим 6„(/). Пользуясь принципом Даламбера, примем в качестве интенсивности распределенной нагрузки силу инерции стержня, приходящуюся на единицу длины. Обозначая через р плотность материала стержня, S - площадь поперечного сечения, получим в декартовых координатах, для силы инерции, приходящейся на единицу длины, выражения Получим уравнение малых линейных колебаний стержня при продольном сжатии. Малый прогиб стержня в декартовых координатах w(x, і) - искомая функция.
Это известное линейное уравнение малых колебаний изначально неизогнутого стержня (см., например, монографию [24], стр. 260). Уравнение (4.4) выписано в предположении, что прогибы весьма малы по отношению к длине стержня. При рассмотрении прогибов, сравнимых с длиной, следует составить нелинейное уравнение, пользуясь точным выражением для кривизны упругой линии.
Функцию w(x) можно в общем случае разложить в ряд Фурье по формам статической потери устойчивости или по формам колебаний; в случае стержня эти формы совпадают между собой. В зависимости от обстоятельств изгиба наибольшее значение может иметь форма начальной погиби с определенным числом полуволн п.
В работе [2] на основе аналогии между перемагничиванием ферромагнитного слоя и потерей устойчивости Эйлерова гибкого стержня под действием продольной силы была решена задача о порогах потери устойчивости и переходе в веерное состояние ферромагнитного слоя с несимметричными граничными условиями, который находится под действием внешнего магнитного поля, и о трансформации при таком переходе спектра магнитных колебаний: в веерном состоянии все ветви колебаний находятся при фиксированной частоте изменением поля, а в однородном состоянии - при фиксированном поле изменением частоты.
В этой работе проводится обратная аналогия. На основе решенной задачи о спектре магнитных колебаний ферромагнитного слоя находятся собственные частоты малых колебаний изначально продольно или поперечно нагруженного стержня, защемленного с одной стороны и свободного на другом конце.
Рассмотрим тонкий упругий стержень, защемленный с одной стороны и свободный на другом конце. Исходное положение стержня - вдоль оси ОХ, начальная погибь отсутствует. К свободному концу приложена сосредоточенная сжимающая нагрузка Р, направленная под углом ф0 к оси ОХ,
Рх = -Р cos фо, РУ = Р sin ф0. Под действием этой нагрузки стержень изгибается. Точное геометрически нелинейное решение этой задачи для случая произвольных прогибов приведено выше в главе 2, параграф 2.
В нагруженном состоянии некоторым способом возбуждаются колебания стержня. При решении задачи о нахождении собственных частот можно считать эти колебания малыми отклонениями от сильно изогнутого под действием приложенной нагрузки равновесного состояния стержня. Получим уравнение таких малых колебаний сильно изогнутого стержня после потери им устойчивости в окрестностях пороговых значений нагрузки. Для описания изогнутого состояния будем учитывать точное решение (2.4) - (2.6) нелинейного уравнения равновесия стержня (2.1).
Представим угол наклона касательной к линии изгиба стержня 8(/, /) в виде суммы двух углов: 60(/) - угла наклона в положении равновесия, и v(/, і) - малой добавки к углу наклона касательной, зависящей от криволинейной длины и времени. Таким образом, полный угол наклона касательной будет
