Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Основные соотношения метода конечных элементов и его приложение к задачам устойчивости тонкостенных конструкций 15
1. Выбор расчетного элемента и основные допущения 15
2. Основные зависимости метода конечных элементов 18
3. Матрица упругости для оболочек из изотропных и ортотропных материалов 25
4. Вариационный принцип теории упругой устойчивости 28
5. Матрица жесткости и матрица геометрической жесткости дискретного элемента оболочки вращения 32
6. Составление общей матрицы устойчивости конструкции и решение обобщенной проблемы собственных значений 40
ГЛАВА II. Несимметричное выбучивание тонких изотропных и ортотропных круглых пластин постоянной и переменной толщины 45
1. Состояние вопроса устойчивости тонких круглых пластин 45
2. Постановка задач и некоторые особенности при составлении системы разрешающих уравнений устойчивости пластин 47
3. Изотропные и ортотропные круглые пластинки постоянной и переменной толщины 53
4. Изотропная круглая пластинка со ступенчато изменяющейся толщины 65
Выводы 70
ГЛАВА III. Несимметричное выпучивание изотропных и ортотропных кольцевых пластин постоянной и переменной толщины 72
1. Сведение об устойчивости кольцевых пластин 72
2. Изотропная кольцевая пластинка постоянной толщины 74
3. Кольцевая пластинка постоянной толщины из композиционного материала 81
4. Изотропная кольцевая пластинка линейно-изменяющейся толщины 91
Выводы 96
ГЛАВА ІV. Устойчивость тонкой упругой изотропной и ортртропной тороидальной оболочки кругового поперечного сечения под действием внешнего равномерного давления 98
1. Об устойчивости тонких упругих тороидальных оболочек 98
2. Постановка задачи и некоторые общие положения 102
3. Критические значения нагрузки для изотропной тороидальной оболочки 106
4. Тороидальная оболочка из композиционного материала 111
5. Собственные формы выпучивания тора 117
Выводы 123
Литература 125
Приложение I 143
- Матрица жесткости и матрица геометрической жесткости дискретного элемента оболочки вращения
- Постановка задач и некоторые особенности при составлении системы разрешающих уравнений устойчивости пластин
- Изотропная кольцевая пластинка линейно-изменяющейся толщины
- Критические значения нагрузки для изотропной тороидальной оболочки
Введение к работе
Последние десятилетия характеризуется интенсивным развитием и расширением сферы применения тонкостенных конструкций типа круглых пластин и оболочек вращения. Сейчас область применения этих конструкций включает: машиностроение, энергетику, научные исследования, приборостроение, химическое машиностроение, криогенную технику, авиацию и судостроение.
К настоящему времени выполнен обширный объем исследований, позволивших сформировать современную теорию пластин и оболочек, в развитие которого большой вклад внесли СП.Тимошенко [П8-120], Л.И.Лурье [74], С.Г.Лехницкий [73], В.В.Новожилов [87], В.З.Власов [22], А.С.Вольмир [23-27], А.Л.Гольденвейзер [36], С.А.Амбарпумян [б,7], Э.И.Григолюк [41-47], И.А.Биргер [її] , П.М.Огибалов [89] и др.
Проведение исследований околоземного и межпланетного пространства дало мощный импульс применению тонкостенных конструк -ций в ракетостроении и конструкциях аппаратов космической техники. Обеспечение надежности летательных аппаратов в авиации, ракетно-космической технике потребовала направить основные усилия на разработку эффективных прикладных методов расчета оболо-чечных конструкций, чему^в значительной степени способствует прогресс в развитии вычислительной техники и появление мощных ЭВМ с высоким быстродействием и обширной памятью.
Именно этот фактор определил широкое применение численных методов, в развитии которых большой вклад был сделан в работах А.В.Александрова [2], Н.А.Алфутова [б], В.В.Болотина [14], 3;'й. Бурмана [15-17], Д.В.Вайнберга [18-20], А.С.Вольмира [27], А.С. Городецкого [38-39], Э.И.Григолюка [45-47], В.В.Кабанова [57],
Б.А.Куранова [69-71], А.П.Филина [I3I-I33], В.А.Постнова [82-85], Л.А.Розина [Ю2-І04], А.С.Сахарова [105,106], А.Ф.Смирнова, Н.Н.Шапошникова [2] и других советских ученых.
Современные численные методы расчета развиваются в настоящее время по четырем основным направлениям. Первое основано на конечно-разностной аппроксимации разрешающих уравнений, второе - на численном интегрировании этих уравнений, третье - на сведении краевой задачи для дифференциальных уравнений к интегральному уравнению по границе области или ее части с последующим численным или численно-аналитическом его решением и четвертое-к получению системы разрешающих алгебраических уравнений из функционала энергии. К этому направлению и принадлежит метод конечных элементов, получивший в последнее время широкое признание в расчетах прочности строительных, авиационных и судовых конструкций.
Термин "конечные элементы" был, по-видимому, введен Р.Кла-фом в I960 году в работе [150].посвященной исследованию плоской задачи теории упругости. Возникнув как один из приемов исследования конструкций разнообразных форм, он получил к настоящему времени всеобщее признание как общий метод решения широкого класса краевых задач механики сплошных сред (при решении задач теплопроводности, термоупругости и термопластичности, волновых процессов, гидромеханики, гидроупругости, аэроупругости и т.д.). Возникновение этого метода, как метода численного решения дифференциальных уравнений, встречающихся в механике, физике и технике, связано с решением задач самолетостроения и ракетостроения.
Первоначально развитие метода конечных элементов шло по двум направлениям, и первые попытки были направлены на получение возможности исследовать крылья самолетов с малым относительным удлинением [151,165,176]. В этих работах метод конечных элементов
разрабатывался на основе идеи, используемых в строительной механике стержневых систем»
С появлением работ [40,172,173,181], метод конечных элементов начал развиваться как некоторая разновидность вариационно-разностного метода решения задач математической физики [83]. Б дальнейшем оба эти направления объединились.
Метод конечных элементов по существу сводится к аппроксимации сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью подобластей (или элементов), имеющих конечное число степеней свободы. Внутри каждого элемента задаются некоторые функции формы, позволяющие определить перемещения внутри элемента-по перемещениям в узлах, т.е. в местах стыков конечных эле -ментов. За координатные функции принимаются функции, тождественно равные нулю всюду, кроме одного конечного элемента, внутри которого они совпадают с функциями формы. В качестве неизвестных коэффициентов разложения при применении метода Ритца [56, 83] берутся узловые перемещения. После минимизации функционала энергии получается алгебраическая система уравнений (так называемая основная система).
Область применения метода конечных элементов очень обширна и охватывает широкий класс физических задач, которые могут быть описаны дифференциальными уравнениями. Наиболее важными преимуществами метода конечных элементов, благодаря которым он широко используется, являются:
возможность исследования сложных неоднородных систем с переменной анизотропией свойств;
простота аппроксимации границ и возможность исследования областей с большими градиентами разрешающих функций при опти -мальном выборе размеров и типов элементов;
повышение точности решения путем использования более "сог-
ласованных" элементов без усложнения граничных условий;
простота удовлетворения сложным неоднородным граничным условиям и возможность более точной их постановки в силу интегральной формы вывода характеристик элемента;
широкая универсальность метода и относительная простота реализации его матричных алгоритмов на ЭВМ;
возможность применения в исследовании систем, сопрягаемых из разномерных подсистем, конфигураций и физических свойств.
Как ни универсален метод конечных элементов в настоящее время он, разумеется, не является единственным эффективным численным методом. Главным недостатком этого метода, как и любого вариационного метода, является сложность получения априорных оценок. Проверку надежности метода можно осуществлять пока лишь апробированием каждой программы на точных решениях. Следующий фактор, препятствующий расширению круга задач, решаемых методом конечных элементов, является ограниченность машинной памяти и высокая стоимость вычислительных работ.
Несмотря на все это, за сравнительно короткий срок существования этого метода (около 30 лет), можно считать его в качестве одного из наиболее эффективных численных методов оценки прочности сложных конструкций, широкая распространенность метода конечных элементов, несомненно, объясняется простотой его физической интерпретации и математической формы. Поэтому уже сейчас он используется во многих конструкторских организациях в качестве обычного инженерного метода для решения задач теории пластин и оболочек.
В последние годы появилось большое число работ, посвященных самым различным аспектам метода конечных элементов. Наиболее полно современное состояние теории метода конечных элементов от-
ражают монографии Г.Стренга и Дж.Фикса [ИЗ], 0.Зенкевича [55], О.Зенкевича и И.Чанга [56], Р.Финнера [154] , Р.Галлагера [156], К.Хгабнера [159], Л.Сегерлинда [109], Дж.Одена [90] и др.
Большой вклад в развитие метода конечных элементов внесли и советские ученые. Перечень исследовательской литературы советских авторов достаточно обширен, и из них можно отметить работы В.А.Постнова [98,99], Л.А.Розина [102-104] , А.П.Филина [ІЗІ-ІЗЗ] А.В.Александрова [2], Н.И.Безухова и О.В.Лужина [10], А.С.Городецкого [38,39], В.Г.Корнеева [63-65], З.И.Бурмана [15-17],П.П. Ворошко [30], В.В.Кабанова [57], Б.А.Куранова [69-71] Д.М.Мао-ленникова [78], Э.Ш.Меламеда [80] и работы ученых проблемной лаборатории тонкостенных пространственных конструкций КИСИ: Д.В. Вайнберга [18-20], А.С.Сахарова [105,106]t В.Н.Кислоокого [59] и
Др.
Круглые пластинки и оболочки вращения широко применяются в различных отраслях народного хозяйства: в строительстве трубопроводов и резервуаров, гражданском строительстве, химическом машиностроении, приборостроении, в конструкциях надводныъ и подводных аппаратов и т.д.
Первые аналитические решения круглых пластин и оболочек вращения принадлежат: Х.Рейсснеру [178], Е.Мейсснеру [170] .Брайану [145], И.Я.Штаерману [142], Несмотря на огромное количество работ [6,7,11,22-27,36,46,47,73,74,87,89,118-120], аналитическое исследование пластин и оболочек все же остается довольно сложным и весьма трудным. Поэтому роль численных методов резко возросла и особое внимание в последние годы было обращено на разработку новых вычислительных алгоритмов, приспособленных для решения задач на современных ЭВМ.
Хотя для расчета круглых пластин и оболочек вращения применим и общий случай метода конечных элементов, но за счет учета
осевой симметрии конструкции можно достигнуть существенных упрощений и при решении применять простые одномерные оимплекс-элементы.
J Первые работы по расчету оболочек вращения методом конечных элементов имели в своей основе аппроксимацию поверхности оболочки набором плоских элементов [55,56] или кольцевых элементов с прямолинейной образующей [40,79]. Такая аппроксимация позволила получить удовлетворительные результаты только при весьма большом числе элементов в аппроксимирующем ансамбле и далеко не всегда обеспечивала сходимость к точному решению [5б].
Поэтому дальнейшие исследования имели своей основной задачей построение различных типов конечных элементов, корректно описывающих геометрию оболочки и обеспечивающих требуемую точность решения при ограниченном числе элементов в ансамбле [38], [69-71], [84,85,91,135].
Из-за осевой симметрии круглых пластин и оболочек вращения наиболее эффективным оказался осесимметричный элемент, который позволил весьма удачно объединить преимущества метода конечных элементов и традиционного аналитического решения в рядах Фурье. Этот вариант метода конечных элементов получил название полуаналитического [56] и был успешно применен для решения широкого круга задач статики и динамики оболочек вращения [57,70,79,85, 95,99,116].
Одной из первых работ по расчету оболочек вращения с использованием осесимметричных элементов была работа Р.Графтона и Д. Строума [40]. В качестве конечного элемента была выбрана усеченная коническая оболочка, в качестве обобщенных узловых перемещений при решении осесимметричной задачи - осевое и радиаль -ное перемещение и угол поворота касательной к меридиану. В дальнейшем в работе [177] было предложено аппроксимировать оболочку
вращения набором цилиндрических и конических элементов и конечными элементом искривленного диска в полюсах оболочки. Следует отметить, что такое же представление конструкции было успешно использовано Д.В.Вайнбергом, В.З.Жданом [18] для расчета под -крепленных оболочек вращения при несимметричном натру же нии. Решение задачи деформирования строилось в матричной форме и имело в своей основе условия сопряжения заменяюпшх оболочек при заданных граничных условиях. Авторами было показано, что практически необходимая точность решения обеспечивалась уже в том случае, когда геометрические параметры заменяющих оболочек отклонялись от соответствующих параметров исходной оболочки на 6-7 процентов.
Подход К аппроксимации конструкции, предложенный в работе [40] был распространен на случай произвольного нагружения оболочки вращения [95]. Решение задачи строилось в форме ряда Фурье, а вычисление матрицы жесткости выполнялось путем численного интегрирования по длине и аналитического - в окружном направлении.
В дальнейшем основные усилия были направлены на разработку элементов с криволинейной образующей [51,96,97,116], что было вызвано чувствительностью получаемых решений к погрешности аппроксимации геометрии. Использование этих элементов потребовало внимательного исследования вопроса о формах перемещений как жесткого целого, входящих в представление функций перемещений. В работе Л.Шмита, Ф.Богнера, Р.Фокса [141] было предложено включить эти формы непосредственно в аппроксимирующие функции. В.Хейслер и Д.Стриклин [115] показали, что в пределе, при достаточном сгущении сетки такое включение не является безусловно необходимым. Однако при некоторых видах несимметричных нагрузок [56] достигнуть желаемой точности не удавалось. Поэтому введение изопараметрических элементов [56], для которых геометрия поверх-
- II -
ности и поле перемещений аппроксимировались по одинаковой схеме со строгим учетом форм переметений как жесткого целого, явилось оптимальным решением вопроса.
Осесимметричные элементы с криволинейной образующей были успешно использованы для решения задач линейного и нелинейного деформирования конструкции, устойчивости и колебаний оболочек [34,56,64,65,85,153,182]. При этом была наглядно продемонстрирована эффективность полуаналитического метода конечных элементов при расчете оболочек вращения.
Вопрос о целесообразности использования высокоточных элементов, позволяющих существенно понизить размерность задач, был длительное время предметом дискуссии, конец которой положили Аделман, Кэтеринс, Уольтон [143] и Чэкуар [148], наглядно продемонстрировавшие преимущество высокоточных элементов. В дальнейшем был разработан ряд высокоточных элементов, в том числе элемент, обеспечивающий выполнение не только гладкости и непрерывности поля перемещений, но и равенства внутренних силовых факторов до изгибающих моментов включительно [149].
Проведенный анализ современного состояния исследований по теории пластин и оболочек, расчетов оболочечвых конструкций методом конечных элементов позволяет сделать вывод, что проблема исследования несимметричного выпучивания круглых и кольцевых пластин (постоянной и переменной толщины) при различных граничных условиях, так же как и задача устойчивости замкнутых тороидальных оболочек под действием внешнего равномерного давления сохраняют свою актуальность.
Актуальность темы определяется:
- широким внедрением элементов конструкций типа круглых.колъ-цевых пластин и тороидальных оболочек в различных отраслях народного хозяйства и техники;
- использованием новых высокопрочных композиционных мате
риалов, обусловившим широкое распространение облегченных и
экономичных конструкций в современной технике;
- возрастанием роли исследований устойчивости в общем цик
ле прочностных расчетов, поскольку разрушение тонкостенной
конструкции чаще всего связано с потерей ее общей устойчивости
или устойчивости ее отдельных элементов;
широким внедрением ЭВМ и метода конечных элементов дающим возможность создания единого методологического подхода к решению задач устойчивости тонких пластин и оболочек;
созданием универсальных программ обеспечивающих высокий уровень автоматизации расчетов на устойчивость, что определяется необходимостью их использования в системе автоматизиро -ванного проектирования конструкций.
Цель и задачи диссертационной работы следующие:
Разработка общего алгоритма расчета и пакета прикладных программ для исследования устойчивости тонкостенных конструкций типа круглых пластин и оболочек вращения.
На основе разработанных алгоритмов исследовать следующие задачи:
а) несимметричное выпучивание изотропных и ортотропных круглых
пластин постоянной и переменной толщины;
б) несимметричное выпучивание изотропных и ортотропных кольце
вых пластин постоянной и переменной толщины;
в) устойчивость изотропной и ортотропной тороидальной оболочки
под действием внешнего гидростатического давления.
3. В рассмотренных задачах выявить:
- влияние толщины на величину критических нагрузок круглых
и кольцевых пластин с различными граничными условиями;
- ІЗ -
- влияние физических и геометрических параметров в широ
ком диапазоне их изменения на величину критической на
грузки тороидальной оболочки кругового сечения.
4. Определить формы потери устойчивости срединной плоскости круглых и кольцевых пластин постоянной и переменной толщины и срединной поверхности тороидальной оболочки под действием внешнего гидростатического давления.
Научная новизна работы определяется:
разработкой общего алгоритма расчета круглых пластин и оболочек вращения на основе соотношений Сондерса;
получением матрицы геометрической жесткости конечного элемента оболочки с учетом потенциала внешних сил;
применением формул эффективных упругих характеристик теории упругости неоднородных сред к исследованию устойчивости круглых пластин и тороидальных оболочек из композиционных материалов;
реализацией на основе метода конечных элементов единого методологического подхода к исследованию устойчивости круглых пластин и тороидальных оболочек;
результатами комплекса исследований точности базовой модели оболочки вращения и алгоритмов при анализе вопроса ус -тойчивости типовых элементов пластин и оболочек. Выполненные исследования показали, что предложенные модели и численные алгоритмы расчета обеспечивают хорошее соответствие теоретичес -ких и экспериментальных результатов;
результатами исследования устойчивости круглых и кольце -вых пластин (постоянной и переменной толщины) и тороидальных оболочек в широком диапазоне изменения физических и геометри -ческих параметров.
Достоверность результатов устанавливается путем сравнения
их с известными решениями, а также с имеющимися экспериментальными результатами.
Практическая ценность полученных результатов заключается в эффективных алгоритмах; в созданных программах расчета, в решении целого ряда практически важных задач.
На защиту выносится:
Предлагаемый алгоритм и программы расчета на устойчивость круглых пластин и тороидальных оболочек;
Результаты исследований несимметричного выпучивания изотропных и ортотропных круглых и кольцевых пластин постоянной и переменной толщины при равномерном радиальном сжатии, а также тороидальных оболочек кругового сечения под действием внешнего гидростатического давления.
В заключении автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю - заслуженному деятелю науки и техники, профессору Вольмиру Арнольду Сергеевичу за руководство настоящей работой.
Матрица жесткости и матрица геометрической жесткости дискретного элемента оболочки вращения
Осесимметричные элементы с криволинейной образующей были успешно использованы для решения задач линейного и нелинейного деформирования конструкции, устойчивости и колебаний оболочек [34,56,64,65,85,153,182]. При этом была наглядно продемонстрирована эффективность полуаналитического метода конечных элементов при расчете оболочек вращения.
Вопрос о целесообразности использования высокоточных элементов, позволяющих существенно понизить размерность задач, был длительное время предметом дискуссии, конец которой положили Аделман, Кэтеринс, Уольтон [143] и Чэкуар [148], наглядно продемонстрировавшие преимущество высокоточных элементов. В дальнейшем был разработан ряд высокоточных элементов, в том числе элемент, обеспечивающий выполнение не только гладкости и непрерывности поля перемещений, но и равенства внутренних силовых факторов до изгибающих моментов включительно [149].
Проведенный анализ современного состояния исследований по теории пластин и оболочек, расчетов оболочечвых конструкций методом конечных элементов позволяет сделать вывод, что проблема исследования несимметричного выпучивания круглых и кольцевых пластин (постоянной и переменной толщины) при различных граничных условиях, так же как и задача устойчивости замкнутых тороидальных оболочек под действием внешнего равномерного давления сохраняют свою актуальность.
Актуальность темы определяется: - широким внедрением элементов конструкций типа круглых.колъ-цевых пластин и тороидальных оболочек в различных отраслях народного хозяйства и техники; - использованием новых высокопрочных композиционных мате риалов, обусловившим широкое распространение облегченных и экономичных конструкций в современной технике; - возрастанием роли исследований устойчивости в общем цик ле прочностных расчетов, поскольку разрушение тонкостенной конструкции чаще всего связано с потерей ее общей устойчивости или устойчивости ее отдельных элементов; - широким внедрением ЭВМ и метода конечных элементов дающим возможность создания единого методологического подхода к решению задач устойчивости тонких пластин и оболочек; - созданием универсальных программ обеспечивающих высокий уровень автоматизации расчетов на устойчивость, что определяется необходимостью их использования в системе автоматизиро -ванного проектирования конструкций. Цель и задачи диссертационной работы следующие: 1. Разработка общего алгоритма расчета и пакета прикладных программ для исследования устойчивости тонкостенных конструкций типа круглых пластин и оболочек вращения. 2. На основе разработанных алгоритмов исследовать следующие задачи: а) несимметричное выпучивание изотропных и ортотропных круглых пластин постоянной и переменной толщины; б) несимметричное выпучивание изотропных и ортотропных кольце вых пластин постоянной и переменной толщины; в) устойчивость изотропной и ортотропной тороидальной оболочки под действием внешнего гидростатического давления. 3. В рассмотренных задачах выявить: - влияние толщины на величину критических нагрузок круглых и кольцевых пластин с различными граничными условиями; - влияние физических и геометрических параметров в широ ком диапазоне их изменения на величину критической на грузки тороидальной оболочки кругового сечения. 4. Определить формы потери устойчивости срединной плоскости круглых и кольцевых пластин постоянной и переменной толщины и срединной поверхности тороидальной оболочки под действием внешнего гидростатического давления. Научная новизна работы определяется: - разработкой общего алгоритма расчета круглых пластин и оболочек вращения на основе соотношений Сондерса; - получением матрицы геометрической жесткости конечного элемента оболочки с учетом потенциала внешних сил; - применением формул эффективных упругих характеристик теории упругости неоднородных сред к исследованию устойчивости круглых пластин и тороидальных оболочек из композиционных материалов; - реализацией на основе метода конечных элементов единого методологического подхода к исследованию устойчивости круглых пластин и тороидальных оболочек; - результатами комплекса исследований точности базовой модели оболочки вращения и алгоритмов при анализе вопроса ус -тойчивости типовых элементов пластин и оболочек. Выполненные исследования показали, что предложенные модели и численные алгоритмы расчета обеспечивают хорошее соответствие теоретичес -ких и экспериментальных результатов; - результатами исследования устойчивости круглых и кольце -вых пластин (постоянной и переменной толщины) и тороидальных оболочек в широком диапазоне изменения физических и геометри -ческих параметров.
Постановка задач и некоторые особенности при составлении системы разрешающих уравнений устойчивости пластин
Упругие свойства ортотропных тонких оболочек характеризуются четырьмя независимыми величинами [2Ч\: модулями упругости Ех и Ек по двум взаимно перпендикулярным главным направлениям & и 0 , модулем сдвига J1 и коэффициентом Пуассона # , отвечающим поперечной деформации вдоль оси В . Второй коэффициент % , соответствующий поперечной деформации по направлению S , связан с "й соотношением
В частности, когда Е Е Е и $ z= , из (1.34) легко получить матрицу упругости для оболочки из изотропного материала.
Наряду с традиционными для механики материалами, в последнее время все большее внимание привлекают композиционные материалы, составленные из различных компонентов, существенно отличающихся по своим свойствами. Как наука механика композиционных материалов зародилась сравнительно недавно, хотя идея использования комбинации металлов, керамики, стекла, полимеров и т.д. для получения материалов с уникальными свойствами известна давно.
Важным преимуществом композиционного материала является его высокая прочность на единицу массы. При этом по своим прочностным и тепловым качествам многие композиционные материалы превосходят любой из своих компонентов или резко отличаются от него. Однако, наряду со многими технически важными преимуществами композиционные материалы обладают и существенным недостатком, который связан с тем, что физико-механические и химические свойства компонентов композита зачастую оказываются совершенно несогласованными, а это иногда приводит к специфическим видам разрушения (расслоение, местные разрывы и т.п.). При создании математической теории эти особенности порождают большие трудности, которые остаются еще в значительной мере неопределенными.
До недавнего времени основное содержание работ по механике композиционных материалов состояло в сведении задачи неоднородной (чаще всего изотропной) теории упругости к задаче однородной анизотропной теории. Это достигалось введением так называемых эффективных модулей, которые либо вычислялись различными методами (как стохастическими, так и детерминированными), либо определялись экспериментально как средние модули материала в целом [82,139]. В качестве ортотропных материалов в настоящей работе использованы композиционные материалы волокнистого строения. Эффективные модули волокнистых композитов могут быть вычислены лишь приближенно. Предлагаются следующие основные формулы расчета эффективных модулей волокнистого композита, полученные с помощью метода обобщенного сингулярного приближения теории случайных функций [140]. Эффективный продольный модуль Юнга Jb± и соответствующий ему коэффициент Пуассона i) выражаются следующими формулами [139] если включение более жесткое чем матрица. Остальные эффективные модули, следуя Хиллу [139,157], определяются следующими формулами Формулы (I.35-1.40) получены при допущении, что волокна являются цилиндрическими и строго параллельны. Кроме того, предположено, что укладка волокон регулярная и материалы матрицы и волокон - изотропны. 4. Вариационный принцип теории упругой устойчивости. В линейной теории упругости компоненты тензора деформации через перемещения точек тела выражаются в виде [8б] где Ui- компоненты перемещения, X; - координаты декартовой сисмемы. Для решения задач устойчивости приведенное соотношение (I.4I) недостаточно, так как задачи устойчивости нелинейны. Если в выражении (I.4I) учесть квадратичные слагаемые относительно перемещений, то для компонентов тензора деформации можно написать следующее нелинейное соотношение [8б] здесь надо воспользоваться правилом "суммирования" по индексу II К и Применяя (1.42) при исследовании устойчивости упругого тела, нагруженного системой консервативных сил, предполагается, что состояние равновесия, соответствующее решению линейной за -зачи, известно. Это состояние будем называть начальным и к нему отнесем индекс "О ". Устойчивость равновесия начального состояния исследуем при следующих допущениях: - начальное невозмущенное состояние равновесия тела описывается уравнениями линейной теории упругости; - изменениями размеров и формы тела в начальном состоянии равновесия можно полностью пренебречь; - закон Гука справедлив не только для начального состояния, но и при малых отклонениях тела от начального состояния равновесия. Вариационная формулировка условий устойчивости упругого тела получена с помощью теоремы Іагранжа [іЗб], согласно которой состояние равновесия консервативной механической системы устойчиво тогда и только тогда, когда ее полная потенциальная энергия минимальна.
Изотропная кольцевая пластинка линейно-изменяющейся толщины
Со схемой круглой пластины приходится иметь дело при расчетах плоских днищ баков, стенок различных резервуаров, плоских перегородок самолетных конструкций и т.д. В приборостроении (в приборах измерительной техники) круглые пластинки обычно служат чувствительными элементами (мембранами), реагирующими на изменение поперечного давления. В некоторых случаях - при изменениях температуры, в процессе сборки и т.д. - мембрана подвергается действию радиальных сжимающих усилий со стороны опорного устройства, которая и приводит к выпучиванию мембраны.
Первые исследования в области изучения устойчивости круглой сплошной пластины, сжатой равномерно распределенными силами, принадлежат Брайяну [145]. Им впервые сформулирован и применен к решению конкретных задач энергетический критерий устойчивости пластин. Для пластины с защемленным контуром рассмотрена как осесимметричная форма равновесия, так и форма равновесия без осевой симметрии, с одним узловым диаметром, и получены соответствующие величины критических значений нагрузки.
Более широкий круг вопросов исследован в работах А.Н.Динни-ка [52-54]. Энергетическим методом А.Н.Динником рассмотрены сплошная шарнирно закрепленная по контуру пластинка и пластинка с центральным отверстием. В его работах содержатся также решения ряда более сложных задач об устойчивости пластинки, лежащей на упругом основании [54] .
Исследования Брайяна продолжил А.Надай [174,175]. Для защемленной пластины им вычислен спектор критических значений нагрузок, соответствующих как осесимметричным формам равновесия, так и формам равновесия с несколькими волнами в окружном направлении. В своих исследованиях А.Надай в частности изучил вопрос устойчивости пластины с защемленным контуром и опертым центром [175].
Обзор исследований по устойчивости круглых пластинок и решение некоторых новых задач содержится в работе В.М.Макушина [75]. Наряду с другими вопросами в работе.В.Новацкого и 3.0-лесяка [88] изучена устойчивость сплошной круглой пластины со смешанными краевыми условиями - часть контура защемлена, а часть оперта.
Выпучивание круглых пластинок наблюдается и в тех случаях, когда пластинки не связаны по контуру с жестким кольцом и воспринимают только поперечное давление. При больших прогибах пластинки вблизи контура образуется сжатая зона, которая и является очагом потери устойчивости. Эта задача была исследована Д.Ю.Пановым и В.И.Феодосьевым [92].
В конструкциях ускорителей элементарных частиц имеются пластинки, которые облучаются потоком нейтронов, при этом происходит деформация пластинок, связанная с тепловым эффектом, ядерными превращениями и изменением кристаллической решетки, и здесь может произойти потеря устойчивости пластинки. Эта задача подробно исследована Ю.И.Ремневым [iOl] . Закритическое поведение круглой пластинки исследовалось в работах Фридрихса и Стокера [l55], Э.И.Григолюка [чз], И.И. Воровича [29], Боднера [іЧб] и др. В этих работах общие уравнения гибких пластинок решены методом Бубнова-Галеркина [43], либо методом возмущений [і4б,І55], или методом степенных рядов [155]. До сих пор закритичеокая область круглой пластинки исследована для случая осесимметричного выпучивания. Классическая проблема устойчивости пластин математически весьма сложна. Ее аналитическое решение возможно лишь при определенных геометрии, условиях закрепления и загрузке внешними усилиями рассматриваемой пластины. Применение метода конечных элементов к задачам устойчивости круглых пластин позволяет преодолеть все эти трудности, расширить область исследования и получить новые закономерности поведения при несимметричном выпучивании. В настоящей главе, на основе теории метода конечных элементов, дается многосторонний анализ проведенных исследований несимметричного выпучивания круглых пластин из разных материалов при различных граничных условиях. Несимметричное выпучивание тонких круглых пластин изучается при следующих допущениях: - до нагружения пластинка идеально плоская и в докритичес-ком состоянии равнодействующие всех внешних нагрузок и реакций опор действуют строго в срединной плоскости пластины; - докритическое напряженное состояние описывается соотношениями линейной теории упругости и изменением размеров пластины до потери устойчивости пренебрегаем; - все действующие на пластинку внешние нагрузки мертвые, т.е. они не изменяются ни по величине и ни по направлению; - изгиб пластины описывается с помощью обычных гипотез линейной теории изгиба тонких жестких пластин, т.е. гипотезы о неискривляемости нормали и гипотезы о малости нормальных напряжений в плоскостях, параллельных срединной плоскости. В настоящей главе, применением теории метода конечных элементов, разработанной для тонких оболочек вращения (Глава I), рассматривается сплошная круглая пластинка постоянной, линейно и ступенчато изменяющейся толщины. В табл.2.1 приведена условная классификация круглых сплошных пластинок и форм закреплений по внешнему контуру.
Критические значения нагрузки для изотропной тороидальной оболочки
Утверждается тот факт, что осесимметричной форме равновесия, как для сплошных круглых пластин постоянной толщины, так и для пластин переменной толщины, всегда соответствуют наименьшие критические значения нагрузок. Следовательно, при расчете круглых пластин на устойчивость наибольший интерес имеет исследование осесимметричной формы равновесия. Но наряду с этим представляет практический интерес и рассмотрение несимметричных форм равновесия, Так, \ исследование несимметричных форм равновесия сплошных круглых пластин приводит к определению эйлеровой нагрузки, если надлежащим способом затруднить симметричный изгиб пластины относительно ее центра, не устраняя при этом у пластины возможности получения изгибов, отличающихся наличием одного узлового диаметра.
Установлено, что круглые пластинки со скользяще защемленным контуром испытывают волнообразную форму потери устойчивости при больших значениях нагрузок Р по сравнению с шарнирно опертым, и, что форма волнообразования зависит от жесткости материала и от отношения R/Л . Найдено, что для пластин присущи равновесные формы либо с одным узловым диаметром и одной узловой окружностью, либо с одным узловым диаметром и двумя узловыми окружностями или равновесия с двумя узловыми диаметрами и двумя узловыми окружностями.
Из анализа многочисленных графиков, построенных для круглых пластин с линейно изменяющейся и пластин со ступенчато изменяющиейся толщиной следует: а) для пластин от центра к наружному контуру уменьшающей ся толщины и для пластин от центра к наружному контуру увеличивающиейся толщины рост соответсвующих геометри ческих отношений толщина круглой пластинки в центре, пк - толщина на наружнем контуре) приводит к уменьшению критической нагрузки; б) для круглых пластин со ступенчато изменяющиейся толщи ной критическая нагрузка при RjR = const, с ростом отно шений (% %і)/Лх- уменьшается,(Д , и , - соответствен но радиусы и толщины первой и второй ступеней), а при R/flz=const f с ростом отношений Д /#, критическая на грузка возрастает; в) наименьшая критическая нагрузка в этих двух случаях для пластин со скользяще защемленным контуром значительно больше, чем для пластин с шарнирно опертым контуром; г) глубокие вмятины круглых пластин постоянной толщины, при замене их пластинками переменной толщины, заметно сглаживаются и в круглых пластинках переменной толщины потеря устойчивости может произойти без заметного вол нообразования срединной плоскости в радиальном направ лении. Наряду с круглыми пластинками в приборостроении и во многих конструкциях современной техники широко применяются кольцевые пластинки, различным образом закрепленные по краям. Устойчивость кольцевых пластин впервые исследована Дином [152], А.Локшиным [166], Е.Мейснером [171]. Далее вопрос об устойчивости кольцевых пластин развивался в исследованиях П.А.Соколова [lII,II2], Э.И.Григолюка [41,42,45], А.А.Фельдмана [128-130], Б.Г.Газизова [Зі], В.М.Макушина [76,77] и др. В работах [ill,112] П.А.Соколовым было изучено выпучивание кольцевых пластин, нагруженных по внешнему и внутреннему контурами касательными усилиями. Использование приближенного метода Бубнова-Галеркина для определения критического значения нагрузки, как радиальной, так и касательной, для кольцевых нластин изучено в работе Э.И.Григолюка [42,45]; им рассмотрена также интересные технические задачи об устойчивости диска при посадке на жесткий вал [41] и устойчивость круглой пластины при неравномерном нагреве [44]. Дальнейшее исследование устойчивости сжаты кольцевых пластин приближенными методами выполнено А.А.Фельдманом [128-130] и Б.Г.Газизовым [Зі]. Наиболее полным можно считать исследование [Зі], где методом Бубнова-Галеркина рассматривается симметричное выпучиваниє тонкой кольцевой пластинки, равномерно загруженной вдоль внутреннего контура силами, направленными к центру. Упомянутая задача Б.Г.Газизовым для случаев когда: оба края заделаны; оба края шарнирно оперты; внутренний край жестко заделан, внешний - шарнирно оперт решена в предположении о малости перемещений. Для каждого случая им получена формула критического значения нагрузки в следующем общем виде где t = z0/R - параметр ширины пластинки, Л и Z0 - внешний и внутренний радиусы, В - цилиндрическая жесткость, оЦо - критическое значение , X - характеристический коэффициент нагрузки Р . Для каждого случая % имеет довольно сложную структуру, которая и затрудняет применение формулы (3.1). Ценным являются исследования В.М.Макушина Г76,77], где рассматриваются осесимметричное выпучивание кольцевых пластин, сжатых по внутреннему и внешнему контурам усилиями одинаковой интенсивности. Продолжая исследование для кольцевых пластин с различными случаями крепления контуров в работе [77] В.М.Маку-шиным в частности рассматривается несимметричное выпучивание кольцевой пластинки с шаррирно опертыми контурами. Решение упомянутой задачи в более общем виде дано в работе Ямаки [183]. Случай кольцевой пластинки под действием радиальных усилий только по внутреннему контуру рассмотрена в работе Мансфильда [169], а случай нагружения пластинки по внешнему контуру - в работе Мейснера [171]. Б настоящей главе применением теории метода конечных эле 2. Изотропная кольцевая пластинка постоянной толщины В этом параграфе рассматривается кольцевая пластинка постоянной толщины (c=&/#= 0,25; 0,5; 0,8 и к (тг-Я0)/Л= = 50; 100; 150 ) со следующими вариантами закрепления внешнего и внутреннего контуров (табл.3.2): схема I - внешний контур скользяще защемлен, внутренний-сво боден; схема 2 - внешний контур свободен, внутренний-скользяще защемлен; схема 3 - внешний и внутренний контуры шарнирно оперты; схема 4 - внешний и внутренний контуры скользяще защемлены.
Похожие диссертации на Приложение метода конечных элементов к задачам устойчивости круглых пластин и тороидальных оболочек
