Содержание к диссертации
Введение
1. Аналитический обзор и постановка задачи 9
2. Анализ экспериментальных стохастических полей неупругих реологических микродеформаций и обоснование выбора аналитической аппроксимации для корреляционной функции 39
3. Решение стохастической краевой задачи установившейся ползучести толстостенной трубы методом малого параметра 55
3.1. Постановка задачи 55
3.2. Решение краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы из микронеоднородного материала методом малого параметра 57
3.3. Статистические оценки случайных полей напряжений и скоростей деформаций для толстостенной трубы 66
3.4. Численный анализ стохастических полей деформаций в толстостенной трубе 85
3.5. Методика оценки надежности толстостенной трубы на основе решения стохастической краевой задачи установившейся ползучести 98
4. Решение нелинейной стохастической задачи о ползучести неоднородной плоскости 116
4.1. Постановка задачи 116
4.2. Решение стохастической задачи установившейся ползучести для плоскости 118
4.3. Решение стохастической задачи для плоскости с учетом поврежденности материала 157
Заключение 171
- Анализ экспериментальных стохастических полей неупругих реологических микродеформаций и обоснование выбора аналитической аппроксимации для корреляционной функции
- Решение краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы из микронеоднородного материала методом малого параметра
- Численный анализ стохастических полей деформаций в толстостенной трубе
- Методика оценки надежности толстостенной трубы на основе решения стохастической краевой задачи установившейся ползучести
Введение к работе
Актуальность темы. Постоянно растущие требования к надежности и прочности элементов конструкций приводят к необходимости учета структурной неоднородности реономного материала, которой обладают все реально существующие среды и тела. Структурная неоднородность материала существенно влияет на процесс деформирования и разрушения твердых реологических тел, она вызывает ряд механических эффектов, которые не могут быть описаны в рамках классических детерминированных теорий. Это свидетельствует о необходимости применения вероятностно-статистических методов при исследовании процессов неупругого реологического деформирования, построении соответствующих физических соотношений для материалов и разработке аналитических методов решения стохастических краевых задач ползучести.
Аналитические методы решения краевых задач для структурно-неоднородных материалов хорошо разработаны для физически и стохастически линейных задач теории упругости. В условиях ползучести разработка аналитических методов решения стохастических краевых задач сталкивается с серьезными трудностями, основными из которых являются физическая и стохастическая нелинейности. Поэтому для структурно-неоднородных реономных сред решены лишь простые задачи, допускающие линеаризацию, причем эти решения получены лишь для первого приближения на основе теории установившейся ползучести.
Аналитические методы решения стохастических краевых задач с учетом накопления поврежденности и третьей стадии ползучести вообще не разработаны.
Вышеизложенное определяет актуальность диссертационного исследования и позволяет сформулировать цель настоящей работы.
Целью работы являлась разработка аналитических методов решения
одномерных и двумерных стохастических краевых задач с учетом эффектов ползучести и накопления поврежденности на основе метода малого параметра в корреляционном приближении и их применения к оценке показателей надежности элементов конструкций из структурно-неоднородных материалов.
Достижение указанной общей цели связано с решением следующих частных задач:
1) статистический анализ экспериментальных данных и обоснование
аналитического вида корреляционной функции для неупругой реологической
деформации, являющейся основной статистической информацией при решении
стохастических краевых задач ползучести;
2) разработка аналитического метода решения одномерных стохастических
краевых задач установившейся ползучести для случая плоского
деформированного состояния в полярной системе координат на основе метода
малого параметра с учетом второго и третьего членов приближенного решения (на
примере толстостенной трубы под действием внутреннего давления);
3) разработка аналитического метода решения двумерных стохастических
краевых задач с учетом эффектов ползучести, накопления поврежденности и
разрушения на основе метода линеаризации и спектрального представления
случайных функций (на примере двухосного нагружения плоскости);
детальное исследование и анализ влияния параметров реологических стохастических моделей, степени неоднородности материала и внешних силовых факторов на статистические оценки случайных полей напряжений, деформаций и перемещений;
разработка методик определения показателей надежности элементов конструкций из структурно-неоднородных реономных материалов на основе аналитических методов решения стохастических краевых задач.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1) выполнен статистический анализ существующих экспериментальных
данных и обоснован аналитический вид корреляционной функции для деформаций ползучести и пластичности;
разработан аналитический метод решения одномерных стохастических краевых задач установившейся ползучести для случая плоского деформированного состояния в полярной системе координат на основе метода малого параметра с учетом второго и третьего членов приближения;
разработан аналитический метод решения двумерных стохастических краевых задач с учетом эффектов ползучести, накопления поврежденности и разрушения на основе метода линеаризации и спектрального представления случайных функций;
разработаны методики определения показателей надежности элементов конструкций из структурно-неоднородных реономных материалов на основе аналитических методов решения стохастических краевых задач;
5) выполнен ряд новых расчетных исследований по анализу влияния
параметров реологических моделей сред, степени неоднородности материала и
внешних силовых воздействий на статистические оценки случайных полей
напряжений, деформаций и перемещений.
Практическая значимость работы заключается в разработке аналитических методов решения краевых задач для структурно-неоднородного материала на основе методов линеаризации стохастической нелинейности, что является важным вкладом в дальнейшее развитие соответствующего раздела механики деформируемого твердого тела. С другой стороны, разработанные методики определения показателей надежности элементов конструкций из структурно-неоднородных материалов на основе аналитических методов решения стохастических краевых задач позволяют научно-обоснованно подходить к проблеме назначения ресурса элементов конструкций, работающих в условиях ползучести материала.
Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность полученных результатов исследований подтверждается:
- адекватностью имеющихся модельных представлений физической картине
исследуемых стохастических процессов в условиях ползучести материала;
корректностью использования математического аппарата, законов механики деформируемого твердого тела, положений теорий дифференциальных уравнений и случайных функций;
численным исследованием сходимости построенных аналитических решений и частичной проверкой экспериментальных и расчетных данных.
На защиту выносятся:
результаты комплексного расчетно-экспериментального исследования на основе корреляционного анализа одномерных полей деформаций ползучести и пластичности (для сплава АД-1)
аналитический метод решения одномерных стохастических краевых задач установившейся ползучести для случая плоского деформированного состояния в полярной системе координат на основе метода малого параметра;
аналитический метод решения двумерных стохастических краевых задач с учетом эффектов ползучести и накопления поврежденности на основе метода линеаризации и спектрального представления случайных функций;
методики определения показателей надежности конструкций из структурно-неоднородных реономных материалов на основе аналитических методов решения стохастических краевых задач;
качественные, количественные и экспериментальные результаты, полученные при построении моментных функций случайного процесса, решении стохастических краевых задач и оценке надежности элементов конструкций в условиях ползучести.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка использованных источников из 156 названий. Работа содержит 172 страницы основного текста.
Апробация работы. Результаты научных исследования опубликованы в 13 печатных работах и докладывались на одиннадцатой и тринадцатой межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2001-2003 гг.), на Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2005 г), на Пятой Международной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2004 г.); на Третьем Всероссийском семинаре им. С.Д. Волкова «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» (г. Екатеринбург,
г.), на Четырнадцатой Зимней Школе по механике сплошных сред (г. Пермь,
г.); на научном семинаре «Механика и прикладная математика» Самарского государственного технического университета (рук. проф. Радченко В.П., 2002-2005 г.г.); на научном семинаре «Актуальные проблемы механики» Самарского государственного университета (рук. проф. Астафьев В.И., 2005 г.).
Работа выполнялась в рамках межвузовского плана госбюджетных НИР по научному направлению «Механика», утвержденного Министерством образования РФ на 1998-2003 г.г. (тема «Надежность механических систем в промышленности, энергетике и на транспорте»), тематического плана НИР СамГТУ (тема «Разработка методов математического моделирования динамики и деградации процессов в механике сплошных сред, технических, экономических, биологических и социальных системах, и методов решения неклассических краевых задач и их приложений»), а также в рамках гранта РФФИ (проект № 03-01-00448).
Благодарности. Автор выражает благодарность научному руководителю профессору, д.ф.-м.н. Радченко В.П. и научному консультанту доценту, к.ф.-м.н. Попову Н.Н. за постановки задач и постоянное внимание к работе.
Анализ экспериментальных стохастических полей неупругих реологических микродеформаций и обоснование выбора аналитической аппроксимации для корреляционной функции
В главе 1 отмечалось, что результаты экспериментов как в упругопластической области, так и в условиях ползучести имеют существенный разброс. Влияние случайных возмущений механических характеристик материалов на поля деформации и напряжений и необходимость построения соответствующих стохастических моделей для расчётов на прочность отмечались во многих работах (см., например, [7, 11, 16, 22, 45, 59, 64, 115, 121]). Широко используемые для оценки ресурса безопасной эксплуатации элементов конструкции феноменологические теории (в частности, и теории ползучести), как правило, носят детерминированный характер и не учитывают явление разброса для тех или иных механических характеристик (деформаций ползучести, перемещений, времени разрушения и т. д.), поэтому детерминированный метод расчёта является первым, и в ряде случаев недостаточным, приближением. Флуктуации и неравномерность механических характеристик материалов оказывают существенное влияние на поля деформаций и напряжений [116, 42]. Отсюда естественным образом возникает задача построения феноменологических моделей, описывающих стохастические поля деформаций и напряжений по пространственно временным координатам. Особую актуальность эта проблема приобретает для деформаций пластичности и ползучести, разброс экспериментальных данных по пространственной координате для которых может составлять до 50-70%, и такие результаты приходится рассматривать как приемлемые [50, 92,93]. Однако при построении соответствующих стохастических моделей необходимо учитывать, что структура полей макро- и микронеоднородностеи механических свойств материала различна. Здесь следует отметить, что установлено существенное влияние макронеоднородностеи на долговечность по критериям типа допустимых перемещений (деформаций), а микронеоднородностей - на отказы по критерию разрушения [116]. Прежде чем перейти к анализу Рис. 2.1. Схематическое распределение неоднородностей вдоль глобального стержня. глобальной картины неоднород- ностей, рассмотрим один из подходов решения этой задачи, предложенный Ю.П.Самариным [116]. Согласно ему будем считать, что некоторым производителем в течение длительного времени изготавливается металлический пруток.
Тогда всю продукцию можно представить как один глобальный стержень, образованный из последовательно изготовленных прутков. Если через х обозначить координату на оси глобального стержня, а через А(х) - исследуемую механическую характеристику материала, то влияние неоднородности качественно будет описываться кривой, изображенной на рис. 2.1. Здесь нетрудно увидеть два вида неоднородностей: макро- и микронеоднородности. Медленные изменения рассматриваемой функции (плавная кривая на рис. 2.1) соответствуют макронеоднородностям материала, обусловленным трендом (постепенным изменением) условий производства, свойств сырья, нестабильностью технологических процессов и т.д. При этом возможны разрывы кривой, описывающей тренд, за счет перехода на новое сырье, измененную технологию и т.п. Указанные разрывы хорошо известны экспериментаторам при сравнении опытных данных, например, на ползучесть образцов из различных плавок. Наряду с трендом, на рис. 2.1 показана быстроосциллирующая кривая, связанная с микроструктурным строением материала. При этом характерные частоты флуктуации, возникающих за счет микронеоднородностей, будут гораздо выше частот, обусловленных наличием макронеоднородностеи. Поэтому для глобального описания неоднородностей можно предложить следующее соотношение: Здесь функция и0(х) описывает тренд исследуемой механической характеристики, т.е. макронеоднородность, а выражение под знаком суммы - ее микроструктурные флуктуации. Функции ик(х) и vk(x) изменяются так же медленно, как и и0(х). Они предназначены для описания тренда амплитуд микроструктурных флуктуации. Пусть теперь из глобального стержня вырезан образец длиной /, соответствующий отрезку [а, а + /] (см. рис. 2.1). При этом предполагается, что величина / значительно больше, чем характерная длина волны микронеоднородностей, т.е. число — - является большим. С другой стороны, длину / будем считать достаточно малой для того, чтобы зафиксировать тренд. Тогда в (2.1) функции и0(х), ик(х) и vk(x) можно приближенно считать не зависящими от х (хє[а, a + l]): Очевидно, что величины и0 (х), ик (х) и vk (JC) зависят от того места, где вырезан образец, т.е. от величины а (см. рис. 2.1). Если местоположение образцов выбирать случайно, то указанные величины будут восприниматься по отношению к набору образцов тоже как случайные. Таким образом, для описания макронеоднородностей, т.е. случайных свойств партии однотипных образцов (изделий, элементов конструкций), достаточно рассматривать лишь величину uQ, причем для набора образцов она будет восприниматься при статистическом исследовании как случайная величина, закон распределения которой зависит от формы кривой, выражающей тренд. При таком подходе величина и0 вьфажает устойчивые индивидуальные стохастические свойства образца (элемента конструкции), а оставшаяся часть правой части (2.2) выражает некоторый шум, наложенный на и0. Это следует из того, что эффективное (среднее) значение исследуемой механической характеристики для выбранного образца (хе[а, а + 1]) поскольку числа сок1 считаются большими. Задача построения стохастической модели ползучести и длительной прочности на макроуровне для величины и0 была подробно рассмотрена в [106], где предложены соответствующая модель и методика оценки случайных функций и параметров, а также выполнена детальная экспериментальная проверка модели. Однако анализу второй части соотношения (2.2) на микроуровне и построению соответствующих моделей для описания поля микродеформаций на феноменологическом уровне до настоящего времени в научной литературе уделялось крайне мало внимания.
В этом плане можно отметить работу [102], где были выполнены комплексные экспериментальные исследования и анализ распределения по длине одноосного образца пластической деформации и деформации ползучести в процессе его деформирования вплоть до разрушения, выявлены общие закономерности распределения и осуществлен стохастический корреляционный анализ экспериментальных данных на примере сплава АД-1 при температуре 26 С. Там же приведена и методика проведения эксперимента. Для выявления характера распределения остаточной деформации по длине образца, на его боковой поверхности с помощью конусообразного индентора наносились контрольные лунки, отстоящие друг от друга на расстоянии 2 мм. В ходе проводимых испытаний осуществлялось измерение расстояний между контрольными лунками. Это давало возможность выявить разброс остаточной деформации по длине образца В ходе проведенных исследований были осуществлены следующие программы испытаний: 1) упругопластическое нагружение образца до разрушения ступенями по накопленной деформации 1-2% на каждой ступени с последующей разгрузкой и замером локального поля пластических деформаций; 2) ступенчатое нагружение образца на ползучесть вплоть до разрушения при постоянном напряжении до значения накопленной деформации 1-2% на каждой ступени с последующей разгрузкой и замером поля деформации ползучести по длине образца; 3) комбинированное нагружение образца с чередованием упругопласти-ческого деформирования и деформирования при постоянном напряжении во времени на ползучесть до значения накопленной деформации 1-2 % на каждой ступени нагружения с последующей разгрузкой и замером локального поля остаточных деформаций. По первой программе было испытано 5 образцов, по второй - 6 образцов, а по третьей - 14 образцов, при этом образцы вырезались в продольном и поперечном направлениях из цилиндрической заготовки. Существенной разницы в деформировании продольных и поперечных образцов не наблюдалось, точнее, результаты испытаний для тех и других образцов были статистически незначимыми и укладывались в полосу естественного разброса экспериментальных данных.
Решение краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы из микронеоднородного материала методом малого параметра
Рассмотрим задачу по определению напряженного состояния трубы, что сводится к решению системы уравнений (3.2), (3.4), (3.5) относительно напряжений при граничных условиях (3.3). Подставляя определяющие соотношения (3.5) в условия совместности деформаций (3.4), получаем следующее уравнение (штрихом обозначается дифференцирование по г): которое с использованием (3.1) можно привести к виду: Теперь, используя вытекающее из (3.2) соотношение уравнение (3.6) можно записать следующим образом: "К " ar)[l + ccU (г)] + aro JU +2o r[\ + aU(r)] = 0. Из последнего уравнения выражаем cr : и подставляем его в уравнение которое получено дифференцированием уравнения равновесия (3.2) по г. Тогда получим статистически нелинейное уравнение второго порядка относительно радиального напряжения: Для приближенного решения этого уравнения используется метод разложения радиального напряжения аг по малому параметру а: где аг0 - решение аналогичной детерминированной задачи. Поскольку этот подход связан с трудностями вычислительного характера, то при решении конкретных стохастических задач ограничиваются лишь линейными членами [например, 89, 93]. В данной работе при разложении по малому параметру ставится задача учета не только линейных, но также квадратичных членов и членов третьего порядка малости. Подставляя (3.10) в уравнение (3.9), можно получить: Уравнение (3.11) эквивалентно системе уравнений, полученной приравниванием множителей при одинаковых степенях а: Решение полученной системы в рекуррентной форме связано с большими техническими трудностями (вычислительного характера). Поэтому ограничимся системой трех первых уравнений, которую можно получить из (3.11) при учете только членов, содержащих а0, а\ а2, а3, и пренебрегая членами, содержащими а4. Эта система будет состоять из уравнений (3.12), (3.13) и следующих двух уравнений, полученных из (3.14) при к = 2,3: Таким образом, получили решение системы, записанное в виде уравнений (3.17), (3.22), (3.26) и (3.29), которое определяет радиальное напряжение ог в третьем приближении. Теперь найдем приближенные значения компонент тензора скоростей деформаций ег и &v. Из соотношений (3.5) и (3.1) следует, что для этого необходимо знать величину оф-(Тг, определяемую соотношением (3.7) и разложением (3.10).
Эту величину с помощью решений (3.17), (3.22), (3.26), (3.29) и соотношения (3.2), можно представить в виде: Найдем основные статистические характеристики случайных полей напряжений и скоростей деформаций. Учитывая формулу для интеграла от случайной функции (lx(r))=\(jj(x))x x ndx и замечая, что (U(x)) = 0, получаем оценки для средних напряжений: для первого приближения (совпадающего с детерминированным решением) - Здесь присутствуют только моменты нечетных порядков. В общем случае полученное условие позволит выразить одни моменты третьего порядка через другие. В частности, если случайная функция U(r) распределена по нормальному закону, все моменты нечетных порядков равны нулю. Для данного случая рассматриваемое условие ( ) не дает никаких дополнительных ограничений в виде равенств. Вычисление дисперсий напряжений при учете в приближенном решении членов четвертого и более высоких порядков малости представляет достаточно объемную и технически сложную задачу. Поэтому в настоящей диссертационной работе ограничимся вычислением дисперсий полей напряжений лишь до третьего приближения (в дальнейшем для обозначения дисперсии случайной функции используется обозначение []) Для нахождения дисперсий напряжений используется классическое соотношение Найдем дисперсии напряжений с учетом во второго и третьего приближений. Для удобства записи сначала приведено вычисление дисперсий напряжений в третьем приближении, а затем - во втором. Для нахождения дисперсии [ тг] в третьем приближении используем формулу (3.34): Найдем оценки для средних скоростей деформаций (в дальнейшем для обозначения средних величин наряду с символом () используется и обозначение М [ ]): для первого приближения (совпадающего с детерминированным случаем с точностью до о(а)) - Дисперсии случайных скоростей деформаций вычислялись в предположении, что случайная функция U(r), задающая случайное поле возмущений механических свойств материала, распределена по нормальному закону. В этом случае моменты нечетных порядков равны нулю, а центральные моменты четных порядков выражаются через моменты второго порядка. Например, центральные моменты четвертого порядка вычисляются по формуле [122]: где if- центрированные случайные величины, ку - моменты второго порядка. Рассматривая выражение (3.31) как сумму зависимых случайных функций, для дисперсий случайных скоростей деформаций е можно получить Dfc lDlH oia2)} для второго приближения - следующие соотношения: для Как следует из приведенных в пункте 3.3 исследований, для вычисления дисперсий необходимо иметь зависимость для корреляционной функции.
Статистическая обработка опытных данных показывает [13, 53], что корреляционные функции механических характеристик являются знакопеременными затухающими функциями, и их можно аппроксимировать выражением: или более сложным где у, P - постоянные величины, определяемые по опытным данным из условий наилучшей аппроксимации. Случайное поле микронеоднородностей, корреляционная функция которого задается выражением (3.72), не является дифференцируемым, что приводит к затруднениям при оценке надежности элементов конструкций по теории выбросов. Случайное поле с законом корреляции (3.73) дифференцируемо. В разделе 2 был выполнен детальный корреляционный анализ экспериментальных данных одноосных полей деформаций ползучести и пластичности для сплава АД-1, и было установлено, что действительно для корреляционной функции можно использовать аппроксимацию вида (2.73). Поэтому в дальнейшем исследование напряженно-деформированного состояния для трубы на основе моментов второго порядка проведено в предположении, что корреляционная функция случайного однородного и одномерного поля неоднородностей U(r) имеет вид (3.73) со следующими численными значениями параметров: у = 10, р = 20. Целью дальнейших исследований являлся анализ влияния второго и третьего приближений, а также величин показателя нелинейности установившейся ползучести п и коэффициента вариации а на величины дисперсий скоростей деформаций єг и є . Численные расчеты, выполненные для толстостенной трубы с внутренним и наружным радиусами соответственно a = l, Ь = 2, с использованием (3.65), (3.66) и (3.67) показали, что дисперсии приведенных скоростей деформаций с увеличением п увеличиваются, причем наибольшие значения дисперсий наблюдаются вблизи внутренней поверхности трубы, а наименьшие - в окрестности наружной поверхности трубы. Данное утверждение иллюстрировано графиком дисперсий как функций, зависящих от радиуса г (см. рис. 3.1). На рис. 3.2 изображен график, иллюстрирующий различия дисперсий приведенных скоростей деформаций, вычисленных в первом (сплошные линии), втором (пунктирные линии) и третьем (штрихпунктирные линии) приближениях для различных а = 0,1.. .0,5 при фиксированном п = 5.
Численный анализ стохастических полей деформаций в толстостенной трубе
Как следует из приведенных в пункте 3.3 исследований, для вычисления дисперсий необходимо иметь зависимость для корреляционной функции. Статистическая обработка опытных данных показывает [13, 53], что корреляционные функции механических характеристик являются знакопеременными затухающими функциями, и их можно аппроксимировать выражением: или более сложным где у, P - постоянные величины, определяемые по опытным данным из условий наилучшей аппроксимации. Случайное поле микронеоднородностей, корреляционная функция которого задается выражением (3.72), не является дифференцируемым, что приводит к затруднениям при оценке надежности элементов конструкций по теории выбросов. Случайное поле с законом корреляции (3.73) дифференцируемо. В разделе 2 был выполнен детальный корреляционный анализ экспериментальных данных одноосных полей деформаций ползучести и пластичности для сплава АД-1, и было установлено, что действительно для корреляционной функции можно использовать аппроксимацию вида (2.73). Поэтому в дальнейшем исследование напряженно-деформированного состояния для трубы на основе моментов второго порядка проведено в предположении, что корреляционная функция случайного однородного и одномерного поля неоднородностей U(r) имеет вид (3.73) со следующими численными значениями параметров: у = 10, р = 20. Целью дальнейших исследований являлся анализ влияния второго и третьего приближений, а также величин показателя нелинейности установившейся ползучести п и коэффициента вариации а на величины дисперсий скоростей деформаций єг и є . Численные расчеты, выполненные для толстостенной трубы с внутренним и наружным радиусами соответственно a = l, Ь = 2, с использованием (3.65), (3.66) и (3.67) показали, что дисперсии приведенных скоростей деформаций с увеличением п увеличиваются, причем наибольшие значения дисперсий наблюдаются вблизи внутренней поверхности трубы, а наименьшие - в окрестности наружной поверхности трубы. Данное утверждение иллюстрировано графиком дисперсий как функций, зависящих от радиуса г (см. рис. 3.1).
На рис. 3.2 изображен график, иллюстрирующий различия дисперсий приведенных скоростей деформаций, вычисленных в первом (сплошные линии), втором (пунктирные линии) и третьем (штрихпунктирные линии) приближениях для различных а = 0,1.. .0,5 при фиксированном п = 5. На рис. 3.3 изображен срез графика, представленного на рис 3.1, при фиксированном г (равным радиусу срединной цилиндрической поверхности (г = 1,5)) и а = 0,3, показывающий зависимость дисперсий приведенных скоростей деформаций от показателя нелинейности п, с дополнением его графиками дисперсий, вычисленных во втором и третьем приближениях. Представленные на рис. 3.2 и рис 3.3 графики также подтверждают выводы об увеличении дисперсий с увеличением показателя нелинейности установившейся ползучести п и степени неоднородности материала а, а также вывод о наибольших значениях дисперсий вблизи внутренней поверхности трубы, и наименьших - в окрестности наружной поверхности толстостенной трубы. В таблице 3.1 представлены численные значения дисперсий приведенных скоростей деформаций в зависимости от п и а при г = 1,5. В первой строке (D1) приведены значения, вычисленные с учетом только первого члена разложения приближенного решения, во второй (D2) - с учетом двух первых членов, в третьей (D3) - с учетом трех первых членов. Приведенные на рис. 3.1 - 3.3 графики и таблица 3.1 дают основание утверждать, что в рассматриваемом примере для слабонеоднородных материалов (а = 0,1-0,2) значения дисперсий скоростей деформаций для первых трех приближений отличаются незначительно. Для материалов с большой степенью неоднородности (ос = 0,4-0,5) значения дисперсий скоростей деформаций, вычисленные с учетом третьего приближения, могут превосходить соответствующие значения, вычисленные по двум приближениям, в полтора раза, а вычисленные по первому приближению -в два раза. Поэтому в рассматриваемой задаче неучет членов второго и третьего порядков малости может привести к необоснованному завышению показателей прочности и надежности толстостенной трубы. Аналогичные результаты получены и для других отношений — (во всех нижеследующих расчетах полагалось д = 1). На рис. 3.4-3.5 приведены результаты расчета дисперсий приведенных скоростей деформаций по радиусу трубы при и = 5и различных значениях а для отношений — = 1,2 и — = 1,5. На рис. 3.6-3.9 представлены зависимости этих дисперсий в сечении г = 1,1 (при — = 1,2), и г = 1,4 (при — = 1,8) от показателя нелинейности установившейся ползучести п. Кроме этого был выполнен детальный анализ зависимости коэффициента ковариации скоростей деформаций ползучести —.—г— от а и п для различных отношений — (при а = 1). На рис. 3.10-3.13 приведены графические зависимости соответствующих результатов расчета, а в табл. 3.2-3.4 - табличные значения коэффициента ковариации скоростей деформаций при различных а я п в соответствующих сечениях по радиусу для каждого из трех приближений. Анализ этих данных позволяет сделать вывод о слабой зависимости коэффициента ковариации скоростей деформаций в зависимости от параметров п и а, а также подтверждает существенное отличие результатов расчетов в первом и двух других приближениях, что свидетельствует о необходимости учета второго и третьего приближений. Работоспособность многих элементов конструкций оценивается по параметрическим (деформационным) критериям отказа. Очевидно, что оценка надежности элементов конструкций по детерминированным моделям является первым (и в ряде случаев недостаточным) приближением, и не учитывает естественный разброс механических характеристик и выходных параметров.
Рассмотрим вероятностные методы оценки прочностной надежности, под которой понимается отсутствие отказов, связанных с деформационными критериями отказов элементов конструкций. Известно, что параметрический критерий отказа для рассматриваемой толстостенной трубы может быть сформулирован в виде некоторого соотношения для перемещения и. Предельное значение перемещения и предполагается детерминированной величиной. Если во всех точках элемента конструкции выполняется соотношение условие прочности считается выполненным, а элемент конструкции является работоспособным. При выполнении условия хотя бы в одной точке, происходит локальный отказ, что приводит к нарушению работоспособности всего элемента конструкции. Основной количественной характеристикой надежности является вероятность безотказной работы. Она в данном случае определяет вероятность того, что во всех точках материала элемента конструкции выполняется условие прочности (3.74). Полученные выше стохастические оценки для деформаций ползучести и перемещений позволяют решить задачу о надежности толстостенной трубы по деформационному критерию отказа в статистической постановке. Рассмотрим задачу об оценке надежности толстостенной трубы, когда срок службы определяется моментом достижения перемещением u(t) некоторой заданной величины и,. Пусть условием безотказной работы трубы является выполнение соотношения (3.74) u(t) u при каком-либо фиксированном радиусе (как правило, для толстостенной трубы на практике используются либо внутренний, либо внешний радиусы), где ит - заданная детерминированная величина. Тогда функция надежности P(t), описывающая вероятность безотказной работы на отрезке [0,/], равна вероятности пребывания случайной функции u(t) в допустимой области (0,и») на этом отрезке времени [15, 16]: В связи с тем, что перемещение любого фиксированного радиуса цилиндрической оболочки трубы в условиях установившейся ползучести является неубывающей функцией, функция u(t), покинув в некоторый момент времени область (0,и»), затем в эту область возвратиться не может. Поэтому для вероятности безотказной работы P{t) на отрезке времени [0,/] имеет место более простая формула [15,16]: В отличие от общего случая (3.75), когда вычисление случайной функции требует рассмотрения выбросов случайного процесса, здесь достаточно вычислить вероятность нахождения случайной функции u(t) в заданной области в рассматриваемый момент времени, при этом используются выражения (3.63) - (3.70) для основных характеристик функции перемещения.
Методика оценки надежности толстостенной трубы на основе решения стохастической краевой задачи установившейся ползучести
Рассмотрим аналогичные примеры для трубы с теми же параметрами, что и в примере 3.1, но с отношениями внешнего радиуса оболочки трубы к внутреннему радиусу — = 1,5 и — = 2,0. Найдем для них те же параметры «(0» АХО, su(t) при а = {0,1; 0,3; 0,5} для различных приближений и построим графики, аналогичные приведенным в примере 3.1. Кроме этого определим время достижения перемещением некоторого заданного уровня и его трехсигмовую полосу для различных приближений. Пример 3.2. Толстостенная труба из стали 12ХМФ (Т=590С) с постоянными материала с = 3,03-Ю-14, л = 7,1, внутренним и наружным радиусами а = 14 мм и Ь =21 мм соответственно (отношение — = 1,5), находится под действием внутреннего давления # = 70 МПа [104]. Рассмотрим этот пример для различных степеней неоднородности материала а = {0,1;0,3;0,5}. 1) Для а=0,1 результаты расчетов дают следующие основные характеристики для случайных перемещений на внутреннем диаметре: математическое ожидание Ми = (и(0) = 7,98-10-5 ; дисперсия и среднее квадратическое отклонение для первого приближения Du(t) = 1,69-Ю п2, su (0 = 1,30 -Ю-6 ; для третьего приближения - Du(t) = 1,92-10-12 -г2, (0 = 1,39-10 -/. На рисунке 3.18 найден трехсигмовый интервал для рассматриваемого случая. Из проведенных расчетов следует, что для заданного уровня и, =2 мм математическое ожидание для перемещения u(t) достигается за 25076 ч., а его трехсигмовая полоса для первого приближения имеет величину [23908; 26364] ч., а для третьего - [23834; 26454] ч. 2) Для а =0,3 результаты расчетов дают следующие основные характеристики для случайных перемещений на внутреннем диаметре: математическое ожидание Ми = (и(0) = 7,62-10-5 ; дисперсия и среднее квадратическое отклонение для первого приближения ),(0 = 1,52-10-11-Г2, (0 = 3,898-10 - для третьего приближения - D„(0 = 3,38-10-11-f2, „(0 = 5,815-10-6 Г. Трехсигмовая полоса для этого случая представлена на рис. 3.19. Из проведенных расчетов следует, что для заданного уровня и, =2 мм математическое ожидание для перемещения u(t) достигается за 26249 ч., а его трехсигмовая полоса для первого приближения имеет величину [22756; 31007] ч., а для третьего 3) Для а =0,5 результаты расчетов дают следующие основные характеристики для случайных перемещений на внутреннем диаметре: математическое ожидание Ми = (w(0) = 6,91-10-5-f; дисперсия и среднее Из проведенных расчетов следует, что для заданного уровня и =2 мм математическое ожидание для перемещения u(t) достигается за 28958 ч., а его трехсигмовая полоса для первого приближения имеет величину [22585; 40341] ч., а для третьего-[18177; 71167] ч. Пример 3.3. Толстостенная труба из стали 12ХМФ (Т=590С) с постоянными материала с = 3,03-10-14, л = 7,1, внутренним и наружным радиусами а = 14 мм и = 28 мм соответственно (отношение — = 2,0), находится под действием внутреннего давления # = 125 МПа [104].
В качестве параметра, определяющего ресурс трубы, используется перемещение на внутреннем радиусе, критическое значение которого принимаем равным и»= 4 мм. Рассмотрим этот вариант для различных степеней неоднородности материала а = {0,1;0,3;0,5). 1) Для а =0,1 результаты расчетов дают следующие основные характеристики для случайных перемещений на внутреннем диаметре: математическое ожидание Mu=(u(t)} = l,44-10 4; дисперсия и среднее квадратическое отклонение для первого приближения 1 и(/) = 6,40-10 12- 2, , (7) = 2,53-10-6 для третьего приближения - Du{t) = 7,15-10-12 -Г2, su(t) = 2,68 Ю-6 . Трехсигмовый интервал для данного случая представлен на рис. 3.21. Из проведенных расчетов следует, что для заданного уровня и, =4 мм математическое ожидание для перемещения u(t) достигается за 27802 ч., а его трехсигмовая полоса для первого приближения имеет величину [26409; 29351] ч., а для третьего - [26334; 29445] ч. 2) Для а =0,3 результаты расчетов дают следующие основные характеристики для случайных перемещений на внутреннем диаметре: математическое ожидание Ми = ( )) = 1,37-10-4 ; дисперсия и среднее Из проведенных расчетов следует, что для заданного уровня и, =4 мм математическое ожидание для перемещения и(0 достигается за 29097 ч., а его трехсигмовая полоса для первого приближения имеет величину [24961; 34875] ч., а для третьего - [23510; 38167] ч. 3) Для а =0,5 результаты расчетов дают следующие основные характеристики для случайных перемещений на внутреннем диаметре: математическое ожидание Ми = (м(0) = 1,25-10 5 ; дисперсия и среднее квадратическое отклонение для первого приближения Du(0 = 1,60-Ю-102, su (t) = 1,265 -Ю-5 -Г; для третьего приближения - ДД0 = 6,32 Ю-10 Г2, su (t) = 2,515 10-5 t.
Трехсигмовый интервал приведен на рис. 3.23. Из выполненных расчетов следует, что для заданного уровня и =4 мм математическое ожидание для перемещения u(t) достигается за 32084 ч., а его трехсигмовая полоса для первого приближения имеет величину [24595; 46129] ч., а для третьего Анализ данных примеров 3.2 и 3.3 также свидетельствует о необходимости учета второго и третьего приближений, поскольку трехсигмовый интервал существенно уточняет расчет по сравнению с расчетом по математическому ожиданию, особенно для существенно неоднородных материалов (а = 0,3-0,5). Рассмотрим оценку работоспособности толстостенной трубы на основании вероятности безотказной работы. Вероятность P(t) можно использовать для назначения ресурса толстостенной трубы. При этом вероятность /?, выбирают достаточно близкой к единице. Например, для трубы, рассмотренной в примере 3.1 изменения во времени вероятности безотказной работы для заданного значения и =1 мм представлены на рис. 3.24-3.26, а для трубы в примере 3.3 нарис. 3.27-3.29. Таким образом, разработанный в данном разделе метод приближенного аналитического решения нелинейной стохастической краевой задачи в условиях нелинейной установившейся ползучести позволяет уточнить существующие модели и эффективно решать проблему оценки надежности цилиндрических элементов конструкций в вероятностной постановке. 1. На основе метода малого параметра построено приближенное аналитическое решение нелинейной стохастической краевой задачи для толстостенной трубы для плоского деформированного состояния в условиях установившейся ползучести. 2. Получен рекуррентный вид системы дифференциальных уравнений метода малого параметра для вычисления полей скоростей деформаций и напряжений в любом приближении. 3. На основе решения одномерной стохастической краевой задачи выполнено исследование случайных полей скоростей деформаций, напряжений и перемещений в условиях установившейся ползучести с учетом членов первого, второго и третьего порядков малости. 4. Предложен метод оценки надежности толстостенной трубы на основе решения стохастической краевой задачи установившейся ползучести по деформационным критериям отказа. 5. Решен ряд модельных задач оценки надежности толстостенной трубы из микронеоднородного материала в широком диапазоне изменения механических характеристик, геометрических размеров и внешних нагрузок.
