Содержание к диссертации
Введение
1. Аналитический обзор и постановка задачи 9
2. Решение одномерной стохастической краевой задачи ползучести для пластины с круговым отверстием 33
2.1. Постановка задачи 33
2.2. Решение задачи 37
2.3. Статистический анализ случайных полей напряжений 48
3. Решение плоской стохастической краевой задачи установившейся ползучести 51
3.1. Постановка задачи 52
3.2. Решение стохастической краевой задачи установившейся ползучести для пластины 53
3.3. Исследование полей напряжений и скоростей деформаций вблизи границы стохастически неоднородной полуплоскости 59
3.4. Исследование краевых эффектов при растяжении стохастически неоднородной полосы в условиях ползучести 90
4. Репіение пространственной стохастической краевой задачи ползучести 103
4.1. Постановка задачи 103
4.2. Решение задачи 104
4.3. Статистический анализ решения 116
5. Применение решений стохастических краевых задач ползучести в расчетах на надежность 125
5.1. Расчет вероятности безотказной работы по критерию деформационного типа 125
5.2. Расчет вероятности безотказной работы по критерию длительной прочности 132
Заключение 140
- Решение задачи
- Исследование полей напряжений и скоростей деформаций вблизи границы стохастически неоднородной полуплоскости
- Исследование краевых эффектов при растяжении стохастически неоднородной полосы в условиях ползучести
- Статистический анализ решения
Введение к работе
Актуальность работы. Различные твердые материалы и тела, встречающиеся в природе и используемые в технике, обладают определенной структурной неоднородностью. Структурная неоднородность материала обуславливает появление ряда механических эффектов, которые не могут быть изучены в рамках классических феноменологических теорий детерминированного характера. Один из них — эффект пограничного слоя: вблизи границы тела со структурной неоднородностью имеется пограничный слой, в котором напряженно-деформированное состояние отлично от напряженно-деформированного состояния внутренних областей. На границе тела возникает концентрация напряжений, которая может достигать заметной величины. Теоретическое объяснение этого эффекта на основе теории случайных функций достаточно полно проведено для линейно-упругих сред. В условиях ползучести разработка аналитических методов решения стохастических краевых задач сталкивается с серьезными трудностями, связанных с физической и статистической нелинейностями. Поэтому вопрос об исследовании краевых эффектов в условиях ползучести на сегодняшний день остается открытым, что определяет актуальность диссертационного исследования и позволяет сформулировать цель настоящей работы.
Целью диссертационной работы являлась разработка аналитических методов решения стохастических нелинейных краевых задач установившейся ползучести на основе метода малого параметра и его применения к исследованию краевых эффектов, возникающих вблизи границ структурно-неоднородных тел, и к оценке показателей надежности элементов конструкций из структурно-неоднородных материалов.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1) разработан приближенный метод решения одномерной нелинейной краевой задачи установившейся ползучести стохастически неоднородной пластины, ослабленной круговым отверстием;
2) в первом приближении методом возмущений решена двумерная стохастически нелинейная краевая задача установившейся ползучести для плоского напряженного состояния; в аналитической форме получены основные статистические характеристики случайных полей скоростей деформаций и напряжений при неравномерном растяжении полуплоскости и бесконечной полосы;
3) разработан аналитический метод решения пространственной стохастически нелинейной краевой задачи установившейся ползучести на примере растяжения стохастически неоднородного полупространства;
4) на основе решения стохастических краевых задач ползучести проведено исследование влияния параметров реологических моделей сред, степени неоднородности материала на статистические оценки случайных полей напряжений и деформаций вблизи поверхности, на которой заданы детерминированные граничные условия;
5) разработаны вероятностные методы определения показателей надежности элементов конструкций из структурно-неоднородных реономных материалов по деформационному критерию отказа и по критерию длительной прочности.
Практическая значимость работы заключается в разработке аналитических методов решения новых краевых задач с учетом краевых эффектов для структурно-неоднородного материала на основе методов линеаризации стохастической нелинейности и применения их результатов к исследованию особенностей реологического деформирования. С другой стороны, разработанные методики определения показателей надежности элементов конструкций из структурно-неоднородных материалов на основе аналитических методов решения стохастических краевых задач позволяют научно обоснованно подходить к проблеме назначения ресурса элементов конструкций, работающих в условиях ползучести материала.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:
1) приближенный метод решения одномерной стохастической краевой задачи установившейся ползучести с концентратором для случая плоского напряженного состояния на основе метода малого параметра;
2) аналитический метод решения двумерных стохастически нелинейных краевых задач установившейся ползучести для плоского напряженного состояния с быстро осциллирующими свойствами материала;
3) аналитический метод решения трехмерной стохастически нелинейной краевой задачи установившейся ползучести вблизи свободной поверхности;
4) исследование в условиях нелинейной ползучести влияния стохастических неоднородностей на напряженно-деформированное состояние вблизи поверхности тела, на которой заданы детерминированные граничные условия;
5) методики и алгоритмы оценки показателей надежности элементов кон струкций на основе предложенных аналитических методов решения сто хаотических краевых задач установившейся ползучести по деформационному критерию отказа и по критерию длительной прочности.
Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность полученных результатов исследований подтверждается
- адекватностью имеющихся модельных представлений физической картине исследуемых стохастических процессов в условиях ползучести материала; - корректностью использования математического аппарата, законов механики деформируемого твердого тела, апробированных методов теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей, теории случайных функций и надежности.
Апробация работы. Результаты научных исследования опубликованы в 16 печатных работах и докладывались на ряде конференций различного уровня: на Третьей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2006 г.), на 2-м Международном форуме молодых ученых (7-й Международной конференции) «Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки» (г. Самара, 2006 г.), на Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2007 г.), на XXXIII международной молодежной конференции «Гагаринские чтения» (г. Москва, 2007 г.), на 16 Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (г. Пермь, 2007 г.), на V Всероссийской конференции «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» (г. Екатеринбург, 2008 г.), на XXXIV международной молодежной конференции «Гагаринские чтения» (г. Москва, 2008 г.), на Пятой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2008 г.), на 4-м Международном форуме молодых ученых (9-й Международной конференции) «Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки» (г. Самара, 2008 г.), на Международной конференции по математической физике и ее приложениям (г. Самара, 2008 г.), на VII Международной конференции по математическому моделированию «Математическое моделирование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов» (г. Ульяновск, 2009 г.), на Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009 г.), на научном семинаре «Механика и прикладная математика» Самарского государственного технического университета (рук. проф. Радченко В. П., 2007 г., 2009 г.), на научном семинаре Института механики сплошных сред Уральского отделения РАН (рук. академик РАН Матвеенко В. П., 2009 г.).
Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 07-01-00478-а) и Федерального агентства по образованию (проект РНП. 2.1.1/3397).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 18 печатных работах, из них 6 статей в рецензируемых журналах [41-43, 96-98], 6 статей в сборниках трудов конференций и 6 тезисов докладов. Часть результатов получена в совместных работах с доцентом Н. Н. Поповым и в равной мере принадлежат автору диссертации и соавтору.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения и списка используемой литературы. Объем диссертации составляет 162 страницы, в том числе 10 таблиц, 46 рисунков. Список литературы содержит 166 наименований.
Благодарности. Автор выражает благодарность научному руководителю доценту, кандидату физико-математических наук Попову Н. Н. за постановки задач и постоянное внимание к работе и научному консультанту профессору, доктору физико-математических наук Радченко В. П. за консультации и поддержку работы.
Решение задачи
Задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений (2.2), (2.5), (2.6) относительно напряжений при граничных условиях (2.3), (2.4). Введем вместо аг и ад переменные s и (р следующим образом: Такая подстановка использовалась в ряде методов, предложенных В. В. Соколовским [129] и Н. Н. Малининым [72] при решении детерминированных задач теории пластичности. Она основана на тригонометрической форме представления главных напряжений. Величина s называется интенсивностью напряжений, а р — углом вида напряженного состояния. Он изменяется в пределах от до . Тогда, подставляя (2.7) в (2.1), для девиатора напряжений получим: Компоненты скорости деформации вычисляем по формулам: Подстановкой (2.7) в (2.2) для уравнения равновесия получим следующее соотношение: Из условия совместности скоростей деформаций (2.5) имеем: Преобразуем систему (2.10), (2.11) с целью упрощения дальнейших вычислений. Легко видеть, что члены и входят в систему линейно, что позволяет избавиться от их линейной комбинации в каждом из уравнений. Для получения одного уравнения умножим первое уравнение системы на пН sin ip, а второе — на (—cos /?), и сложим. В итоге получим: (л/3 cos ip + n sin (/?) H cos ((/? + I) r Для получения второго уравнения умножим первое уравнение системы на Нcost/?, а второе — на sine/?, и сложим. В итоге получим: Так как первое уравнение не содержит компоненты интенсивности, то систему можно решать как последовательность двух обыкновенных задач Ко-ши. Линеаризуем систему стохастических уравнений (2.12), (2.13) в соответствии с методом малого параметра. Представим переменные s и р в виде разложения по малому параметру а, ограничиваясь членами нулевого и первого порядка относительно а: линеаризуются следующим образом: = sin ipo + «(/? cos cpo. Эти выражения выведены с учетом того, что угол аїр очень мал, поэтому по свойствам бесконечно малых величин мы можем положить cos аїр 1 и sin Подставляя (2.15) в систему (2.12), (2.13), и учитывая только члены нулевого порядка (не содержащие а), получим детерминированную систему уравнений: Сложность решения этой системы заключается в том, что начальные условия имеют следующий вид: В общем случае решение такой задачи Коши достаточно сложно.
Стандартным методом решения таких задач является метод прогонки. Суть его заключается в том, что можно задаваться дополнительным начальным условием при г — а и проводить решение, пока не будет выполняться второе граничное условие. Такой подход требует значительных вычислительных затрат для обеспечения заданной точности. К тому же возникает вопрос о сходимости такой итерационной процедуры. Однако, как уже было замечено, в первом уравнении (2.16) не присутствует компонента интенсивности s, поэтому можем сначала решить детерминированную задачу Коши с начальным условием в точке г = а, которое легко получается из первого соотношения (2.17), с учетом того, что интенсивность So не может быть нулевой при наличии внешней нагрузки: Для нахождения численного решения использовался пакет прикладных программ MatLab R2006b с встроенными методами и функциями. Для реше- ния уравнения (2.18) был выбран метод Адамса 5 порядка [9] с целью обеспечения наибольшей точности, так как полученные значения используются для расчета остальных характеристик. Бесконечный интервал [а; со] заменялся конечным [а; Ь]. Для численных расчетов использовались в качестве границ значения а = 1 и b — 30. Внешняя нагрузка р = 173 МН/м2, что соответствует реальной задаче о вращении диска паровой турбины [72]. Решение проводилось для значений показателя нелинейности п — 1,2,4,6, 8. Как видно из графика 2.2 значение іро достаточно быстро стремится к асимптотическому значению, равному . Этот факт можно установить и из других соображений. Согласно принципу Сеи-Венана, влияние концентратора сказывается лишь в некоторой его окрестности, на границе плоскости радиальные напряжения постоянны и равны внешней нагрузке: поэтому При подстановке в (2.2) получаем, что на бесконечности радиальная и тангенциальная компоненты напряжения равны: оу (со) = ад (со) = р. Учитывая (2.7) легко убедится, что это соотношение выполняется при (/?о() = f Поэтому, руководствуясь наперед заданной точностью, можно определить промежуток интегрирования, на котором решение не будет отличаться сильно от решения на бесконечности.
Теперь So можно искать, подставив найденное ро во второе уравнение (2.16). Начальное условие получим из второго граничного условия (2.17): Структурная неоднородность материала обуславливает появление ряда механических эффектов, которые не могут быть изучены в рамках классических феноменологических теорий. Один из них — эффект пограничного слоя. Суть его состоит в том, что вблизи границы тела со структурной неоднородностью имеется пограничный слой, в котором напряженно-деформированное состояние отлично от напряженно-деформированного состояния внутренних областей. На границе тела возникает концентрация напряжений, которая может достигать заметной величины. Теоретическое объяснение этого эффекта на основе теории случайных функций достаточно полно выполнено для линейно-упругих сред [3, 63, 67, 85, 101]. В условиях ползучести разработка аналитических методов решения стохастических краевых задач сталкивается с серьезными трудностями, основными из которых являются физическая и статистическая нелинейности. Поэтому исследование краевых эффектов в условиях ползучести на основе решения стохастической краевой задачи проведено лишь в простейших случаях (задача о равномерном растяжении полуплоскости в первом приближении) [53, 101]. В данной главе приводится решение нелинейной стохастической краевой задачи установившейся ползучести при плоском напряженном состоянии. Деформируемый материал считается стохастически неоднородным, так что тензоры напряжений и скоростей деформаций установившейся ползучести в декартовой ортогональной системе координат являются случайными функциями координат Х\ и х і. Упругие деформации считаются малыми настолько, что ими допустимо пренебречь.
Исследование полей напряжений и скоростей деформаций вблизи границы стохастически неоднородной полуплоскости
В качестве примера рассмотрим ползучесть стохастически неоднородной полуплоскости Х2 0, находящейся в условиях плоского напряженного состояния. Пусть к границе полуплоскости х2 = 0 приложены нагрузки а напряжение (Гц удовлетворяет условию макроскопической однородности ( 7ц) = сг!ц = const, которое соответствует приложению при Х\ = ±Н, где Н достаточно велико, постоянных по Х2 напряжений а . Построим решение типа пограничного слоя вблизи границы полуплоскости Х2 0. При условиях а г ф с"225 0 — 0 уравнение для нахождения константы fk, входящей в выражение (3.25), примет вид: Отсюда несложно получить константу fk: Дифференциальное уравнение для функции gk(t) (3.27) упростится: (2 + ql$) - 24 (2 + qlM граничные условия для него сохраняют вид (3.28). Выпишем характеристическое уравнение, соответствующее этому уравнению: Это биквадратное уравнение имеет четыре различных корня. Делая замену г2 = z, получаем квадратное уравнение, для дискриминанта которого имеем: Так как D — отрицательная величина, то корни характеристического уравнения — комплексные, и задаются выражениями: Тогда корни характеристического уравнения выразятся формулами: Из четырех корней характеристического уравнения два корня г% и т\ имеют положительные действительные части. Так как при х2 — оо краевой эффект должен затухать, то две постоянные С$ и С, соответствующие этим корням, равны нулю. Для нахождения двух других констант С\ и С2 используем граничные условия (3.28). Решая систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными которая получена подстановкой граничных условий (3.28) в общее решение (3.29), находим значения констант Cf и С2: Ск = fk(4-idk) Qk = jk{j\ - idk) Тогда решение уравнения (3.27) типа пограничного слоя при условии В дальнейшем для нахождения аналитических формул для компонент флуктуации напряжений а , а и а\2 необходимо выделить действительную часть F: Напряжения, соответствующие функции напряжения (3.36), при а г &22 При условии а\х = а сг корни характеристического уравнения являются кратными.
Решение поставленной задачи при этом условии приведено в работе [101], компоненты флуктуации напряжений т?- задаются выражениями: Вычисление дисперсий случайного поля напряжений D{j — ((of--) ) будет производиться при условии, что все величины Ск и dk равны 1. При этом условии случайное поле С/, заданное разложением (3.20), можно считать близким к изотропному [63]. С учетом условий, наложенных на случайные величины Ак и фк, и равенства (С/2) = 1, дисперсии случайного поля напряжений, заданного формулами (3.38), определяются следующими выражениями: Дисперсии напряжений для случая равномерного растяжения, когда \i = %i — а вычисляются аналогично, при Ск = dk — 1, они равны: Полученные результаты позволяют проанализировать основные особенности эффекта пограничного слоя при ползучести. Дисперсия напряжения СГЦ на границе полуплоскости х2 = 0 согласно (3.39) определяется формулой где а и Ъ задаются выражениями (3.32), а при х2 — со имеем Концентрация напряжений, возникающая на границе полуплоскости х2 = О, характеризуется коэффициентом изменчивости среднего квадратичного отклонения [101]: На рис. 3.1 представлен график концентрации напряжений р в зависимости от параметра иагружения h = г. Можно заметить, что максимума своих значений р достигает в интервале h Є (1.5; 2) при любых значениях п, а минимум функции достигается в интервале h Є (—1; 0). Причем, при п — 1 график зависимости p(h) представляет собой прямую р = 2 для любых h. В таблице 3.1 представлены значения экстремумов pm-m и /?тах и точки, в оторых они достигаются. В таблицах 3.2 и 3.3 приведены значения коэффициента изменчивости р, рассчитанные по формуле (3.40), в зависимости от степени нелинейности установившейся ползучести п и параметра нагружения h. Для упругой области значение величины р, рассчитанное при коэффициенте Пуассона 0.25 и сг-ц = а22 (соответствует параметру h = 1), приведено в работе [69].
Оно равно 1.55. Таблица 3.1. Значения экстремумов коэффициента изменчивости р нормального напряжения 0"ц Из данных таблиц и рис. 3.1 следует, что значение концентрации напряжений р существенно изменяется в зависимости от показателя нелинейности материала п и параметра нагружения h. При h Є (0.5; со) для любых п наблюдается концентрация напряжений , т. е. р 1, причем своего максимума достигает в интервале h Є (1.5; 2). В случае растяжения вдоль одной оси х\ (когда h = 0) при высокой степени нелинейности установившейся ползучести материала (п 3) наблюдается процесс, обратный концентрации напряжений, здесь р принимает значения меньше единицы. Если же рассматривать случай растяжения вдоль одной оси, например rci, и одновременного сжатия вдоль другой — Х2, то параметр нагружения будет меньше нуля (h 0). Значения концентрации напряжений для этого случая представлены в табл. 3.3. Можно заметить, что концентрация напряжения (Гц будет возникать в материалах с низкой степенью нелинейности (п 3) при любых h 0 и в материалах с высокой степенью нелинейности при h —4. На рис. 3.2 представлен график коэффициента вариации dn/a = ——Ц СТО j j 100% нормального напряжения an в зависимости от h при п = 3,5,7,9.
Исследование краевых эффектов при растяжении стохастически неоднородной полосы в условиях ползучести
В данном пункте в качестве другого примера рассматривается ползучесть стохастически неоднородной полосы с быстро осциллирующими реологическими свойствами. Пусть бесконечная стохастически неоднородная полоса (пластина) —со х\ со, —b X2 b растягивается вдоль оси х± постоянными напряжениями сгц = о-0, которые приложены на бесконечности Х\ — ±оо, а ее границы Х2 — ±6 свободны от напряжений: Задача решается аналогично пункту 3.2 по методу малого параметра в первом приближении. В силу постановки задачи и граничных условий (3.60) во всей полосе имеем: Выпишем функцию 5П-1, входящую в определяющие соотношения (3.3), для данного примера в виде: Раскладывая аналогично (3.8) функцию sn_1 в окрестности значения Sg по степеням s , получим: Выражения для флуктуации скоростей деформаций p j согласно (3.11) примут вид: Подставляя в уравнение совместности деформаций (3.14) соотношения (3.62), можно получить линейное дифференциальное уравнение в частных производных относительно a ji (3.63) Вводя функцию напряжений F с помощью формул а{г = F,22, 22 = - \іь ai2 — 12) вместо системы (3.12), (3.63) получим одно дифференциальное уравнение: с краевыми условиями Случайная однородная функция [/(х жг), с помощью которой описывается случайное поле возмущений реологических свойств материала, задается в виде [63]: где С , dk — безразмерные величины порядка единицы; ш — параметр, имеющий размерность, обратную длине, такой, что функция U является почти периодической быстро осциллирующей функцией координат; Ak, fk — случайные величины, обладающие свойствами: Ак — центрированные случайные величины, (fk имеют равномерное распределение в интервале (0; 27г), причем все случайные величины независимы. Для удобства дальнейших выкладок переходим к комплексному виду функции U: При быстроосциллирующих свойствах материала влияние граничных условий при Х2 = Ь и Х2 = — Ь друг на друга достаточно мало и ими допустимо пренебречь. Тогда решение краевой задачи (3.64), (3.65) можно представить в виде: Ряд ]Г) ук задает решение вдали от границ полосы без учета краевого fc=i эффекта. Функции wk и 1к имеют характер пограничного слоя: они быстро затухают по мере удаления от границ х2 = Ъ и х2 — — Ъ. Их можно искать в виде: Найдем функцию g i).
Все корни г характеристического уравнения, соответствующего уравнению (3.71), простые и их значения определяются выражениями: Из четырех корней характеристического уравнения два корня Гд и г% имеют положительные действительные части. Так как при хч —» со краевой эффект должен затухать, то две постоянные С и С, соответствующие этим корням, равны нулю. Для нахождения двух других констант С\ и С$ используем граничные условия (3.72). Решая систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными, находим константы С и Проводя аналогичные действия с привлечением выражений (3.70)-(3.72), находим решение 1к в области х2 — b вблизи границы х2 — —Ь\ Подставляя (3.68), (3.75), (3.76) в (3.67), найдем решение задачи (3.64), Переходя от функции напряжения F к напряжениям с помощью формул ali = .F,22J "22 = - )И) "12 -- )12) получим решение задачи о растяжении стохастически неоднородной полосы: Если быть более точным, решением краевой задачи (3.1)-(3.3), (3.60) являются действительные части (3.77), однако при вычислении дисперсий случайного поля напряжений по формуле нет необходимости явного выделения действительных частей комплексных функций [14]. Полученные решения (3.77) удовлетворяет уравнениям равновесия и условию совместности точно, а граничные условия при х2 = ±6 имеют невязку порядка tubexjp (—шЬ). Таким образом, соотношения (3.77) дают асимптотическое представление решения исходной краевой задачи при шЪ 1, где параметр ш определяет характерную частоту флуктуации реологических свойств материала, а 6 — характерный размер пластины. На основе полученного решения проведен статистический анализ, для чего найдены дисперсии случайного поля напряжений по формуле (3.78) при с-к — dk — 1, & также исследовано их поведение вблизи и вдали от границ полосы х2 = ±6.
Подставляя (3.77) в (3.79), найдем аналитические формулы для дисперсий: На рис. 3.23-3.26 представлены зависимости нормированных дисперсий Dfj = р л от безразмерной координаты UJX2 при степени нелинейности установившейся ползучести п = 3,5,7,9. Здесь 1) -(со) определяет дисперсию случайного напряжения иц для неограниченной плоскости. Она является постоянной во всей плоскости, а ее значения представлены в работе [41]. Графики нормированных дисперсий на рис. 3.23-3.26 построены при ub = 20. Видно, что на границах полосы х2 = zbcub разброс напряжений D\x принимает различные значения, зависящие от параметра п, причем эти значения совпадают со значениями D в задаче о стохастически неоднородной полуплоскости, представленной в разделе 3.3 для случая, когда параметр нагру-жения h — 0. При низких степенях нелинейности материала (когда п 3) на границах полосы наблюдается концентрация напряжений, здесь D\Y 1. При п 5 на границах х2 — ±о Ь наблюдается процесс, обратный концентрации напряжений. Дисперсии D\2 и D\2 на границах х2 = ± Ь равны нулю; они достигают своих максимальных значений в пограничном слое, ширина которого с ростом п увеличивается, но незначительно. Вдали от границ полосы дисперсии принимают тс же значения, что и для неограниченной плоскости.
LINK4 Статистический анализ решения LINK4 \
Для того, чтобы найти дисперсии случайного поля напряжений, необходимо выделить действительные и мнимые части флуктуации сг -. С помощью громоздких, но простых преобразований с использованием вытекающе- го из (4.21) равенства (3 + п) ш2 (/32 + /?) г2 = п (г2 + со2(32 + и)2 ) можно получить следующие выражения (при п 1): Зная действительные и мнимые части флуктуации напряжений (4.29), а также принимая во внимание формулу (4.9), легко вычислить их диспер- В выражениях (4.29), (4.30) коэффициенты а и b вычисляются по формулам (4.23). Для случая п=1 дисперсии компонент тензора напряжений вычисляются После вычисления дисперсий можно провести статический анализ полученных результатов и исследовать основные особенности краевого эффекта, возникающего при установившейся ползучести стохастически неоднородного полупространства. На рис. 4.1-4.6 представлены графики зависимостей нормированных дисперсий Dj (Z)?- — Dij(x3)/Dij(00)) от степени нелинейности материала. Здесь дисперсии D совпадают с дисперсиями D а / совпадают с D\3 согласно формулам (4.30). Как видно из рисунков, при п 5 максимальные значения имеют нормированные дисперсии 2 на границе полупространства х3 = 0, что свидетельствует о том, что разброс флуктуации напряжений а г при этих значениях п вблизи границы полупространства наибольший. При больших степенях нелинейности {п 7) максимальные значения имеют нормированные дисперсии Di2- В таблицах 4.1 и 4.2 представлены значения коэффициента изменчивости нормального и касательного напряжении рц — v, и pi2 = , со- ответственно, а также значения дисперсий на границе и вдали от границы полупространства. Из таблиц видно, что с ростом параметра нелинейности материала п наблюдается рост концентрации касательного напряжения а{2 и спад концентрации нормального напряжения а . Поле напряжений в некотором узком пограничном слое является статистически неоднородным вдоль оси з, т.е. в направлении, нормальном к границе полупространства. Вне этого слоя поле напряжений является однородным, причем оно совпадает с полем напряжений для неограниченной среды.
С ростом безразмерной координаты UJX-J нормированные дисперсии довольно быстро приближаются к единице. Из построенных графиков видно, что в случае равномерного растяжения стохастически неоднородного полупространства зона пограничного слоя имеет ширину порядка 5/CJ независимо от степени нелинейности материала п, вне которого ошибка отклонения кривых нормированных дисперсий от их значений для неограниченной среды не превосходит 5%. Проведенный анализ свидетельствует о важности учета элементов случайности в неоднородных материалах. Выводы по главе 4 На основе линеаризации определяющего соотношения ползучести построено приближенное аналитическое решение пространственной нелинейной стохастической краевой задачи ползучести для неоднородного полупространства. Таблица 4.1. Значения коэффициента изменчивости рп флуктуации напряжения а Таблица 4.2. Значения коэффициента изменчивости р12 флуктуации напряжения а 2 Получены аналитические формулы для вычисления дисперсий случайного поля напряжений и деформаций во всем полупространстве. На основе решения выполнено исследование случайных полей напряжений в условиях установившейся ползучести в зависимости от параметров материала. Найдена концентрация напряжений сг и а\2 на границе среды х% — О для различных значений степени нелинейности материала п. Проведено исследование краевого эффекта, возникшего вблизи границы стохастически неоднородного полупространства в зависимости от степени нелинейности материала п. Получено, что разброс флуктуации напряжений в пограничном слое может быть намного больше, чем в глубине полупространства. Применение решений стохастических краевых задач ползучести в расчетах на надежность 5.1. Расчет вероятности безотказной работы по критерию деформационного типа Исследование напряженно-деформированного состояния элемента конструкции путем решения стохастической краевой задачи является первым этапом расчета элемента конструкции на надежность. Решения такого типа задач в условиях ползучести для элементов конструкций со стохастически неоднородными свойствами материала были рассмотрены в предыдущих разделах. На втором этапе выявляются опасные зоны в элементах конструкций и на основе какого-либо критерия оценивается их работоспособность. В данном пункте рассматриваются вероятностные методы оценки прочностной надежности, под которой понимается отсутствие отказов, связанных с деформационными критериями отказов элементов конструкций. Деформационный критерий отказа для рассматриваемой в главе 2 пластины с круговым отверстием может быть сформулирован в виде некоторого соотношения для перемещения w(r, t). Предельное значение перемещения WQ предполагается детерминированной величиной. Если во всех точках элемента конструкции выполняется соотношение условие прочности считается выполненным, элемент конструкции является работоспособным. При выполнении условия w(r, і) WQ ХОТЯ бы в одной точке происходит локальное разрушение, что приводит к отказу всего элемента конструкции.
Основной количественной характеристикой надежности является вероятность безотказной работы. Она в данном случае определяет вероятность того, что во всех точках материала элемента конструкции выполняется условие прочности (5.1) и математически записывается следующим образом [14]: Поскольку перемещение любого фиксированного радиуса пластины в условиях установившейся ползучести является возрастающей функцией по t, то для вероятности безотказной работы P(t) на отрезке времени [0, t] имеет место более простая формула [14]: Вероятность безотказной работы (5.2) можно вычислить лишь приближенно с использованием среднего числа выбросов ги(г, t) за детерминированный уровень wo [14]. Мы пойдем к дальнейшему упрощению, считая, что sup w(r,t) достигается в точке максимума среднего значения (ги(г, t)) (при фиксированном времени). Тогда формулу для вычисления вероятности безотказной работы (5.2) можно записать в виде: где го — точка, в которой функция (w(r, )} принимает наибольшее значение, f(x, t) — плотность распределения случайной величины u (ro, t). Перемещение w(r, t) для пластины с круговым отверстием определяется формулой где ip согласно (2.9) имеет вид: Так как случайная функция U, описывающая флуктуации реологических свойств материала, представляет собой сумму независимых одинаково распределенных случайных функций (см. формулу (2.24)), то согласно центральной предельной теореме [22] U(r) можно считать распределенной по нормальному закону. В силу линейной зависимости случайного перемещения w(r, і) по г от функции U(г), w(r, t) также будет иметь нормальное распределение. Теперь вероятность безотказной работы (5.3) можно вычислить по формуле Для иллюстрации метода оценки надежности рассмотрим конкретный пример деформирования круглой пластины с отверстием из стохастически неоднородного материала в условиях установившейся ползучести. Рассмотрим модельную задачу для круговой пластины из стали 45Х14Н14В2М с постоянными материала с = 0,58 10 8, п = 3,0, внутренним и наружным радиусами а = 5 см и b — 30 см соответственно. Интенсивность распределенной по наружному радиусу нагрузки р = 173 МН/м" [72]. В качестве параметра, определяющего ресурс пластины, используется перемещение, критическое значение которого принимается равным и о = 0,37 см. На рис. 5.1,5.2 представлены соответственно графики математического ожидания и дисперсии 2 случайного перемещения w(r, t) при фиксированном времени t.
