Содержание к диссертации
Введение
1. Аналитический обзор и постановка задачи 9
Выводы по главе 1 34
2. Решение стохастической краевой задачи установившейся ползучести толстостенной трубы методом малого параметра с учетом членов четвертого порядка 35
2.1. Постановка задачи 35
2.2. Решение краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы из неоднородного материала методом малого параметра 38
2.3. Моменты высших порядков для решения стохастических краевых задач ползучести 68
2.4. Статистические оценки случайных полей напряжений, скоростей деформаций и перемещений для толстостенной трубы 75
2.5. Численный анализ стохастических полей скоростей деформаций в толстостенной трубе 133
2.6. Численный анализ стохастических полей напряжений в толстостенной трубе 148
2.7. Анализ сходимости метода малого параметра с учетом шестого приближения для полей напряжений 163
2.8. Сравнительный анализ решений стохастической краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы на основе методов малого параметра и Монте-Карло 176
Выводы по главе 2 186
3. Решение двумерной стохастической краевой задачи установив шейся ползучести толстостенной трубы под действием внутреннего давления 188
3.1. Постановка задачи 188
3.2. Решение двумерной краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы из неоднородного материала методом малого параметра с учетом первого приближения 189
3.3. Численный анализ стохастических полей напряжений и скоростей деформаций в толстостенной трубе 197
Выводы по главе 3 209
4. Приложения аналитических решений стохастической краевой задачи установившейся ползучести для оценки надежности трубы по деформационным критериям отказа 210
4.1. Постановка задачи 210
4.2. Методика оценки надежности толстостенной трубы на основе решения стохастической краевой задачи установившейся ползучести методом малого параметра 211
Выводы по главе 4 228
Заключение 229
Список используемой литературы
- Решение краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы из неоднородного материала методом малого параметра
- Численный анализ стохастических полей скоростей деформаций в толстостенной трубе
- Решение двумерной краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы из неоднородного материала методом малого параметра с учетом первого приближения
- Методика оценки надежности толстостенной трубы на основе решения стохастической краевой задачи установившейся ползучести методом малого параметра
Введение к работе
Актуальность темы Структурная неоднородность материала, которой обладают все реальные среды, существенно влияет на процесс деформирования и разрушения твердых реологических тел. Объективно существующий разброс экспериментальных данных для деформации ползучести не позволяет описать ряд эффектов в рамках классических детерминированных теорий Это свидетельствует о необходимости применения вероятностно-статистических методов при исследовании процессов неупругого реологического деформирования и разработке методов решения стохастических краевых задач ползучести Существующие методы решения такого рода задач в основном основаны на численных процедурах и методе статистических испытаний Аналитические методы решения для стохастических краевых задач разработаны лишь для физически и статистически линейных задач теории упругости В теории ползучести соответствующие аналитические решения получены на основе метода малого параметра (метода возмущений) лишь для одномерных задач в первом приближении Вопросы получения решений с более высоким порядком членов разложения как для одномерных, так и двумерных задач, а также проблема сходимости решений, остаются открытыми
Вышеизложенное определяет актуальность диссертационного исследования и позволяет сформулировать цель настоящей работы
Целью работы являлась разработка аналитических методов решения одномерных и двумерных стохастических краевых задач установившейся ползучести для толстостенной трубы под действием внутреннего давления на основе метода малого параметра, анализ влияния членов третьего и более высокого порядков на погрешность решения, исследование сходимости метода малого параметра и применение полученных аналитических решений к оценке показателей надежности элементов конструкций
Научная новизна работы заключается в следующем
разработан аналитический метод решения одномерной статистически нелинейной краевой задачи установившейся ползучести для плоского деформированного состояния в цилиндрической системе координат с учетом членов четвертого и более высокого порядков разложения по малому параметру, получены аналитические статистические оценки для полей скоростей деформаций, перемещений и напряжений до четвертого члена разложения,
исследована сходимость аналитических решений в одномерной задаче для стохастических полей напряжений и скоростей деформаций ползучести, выполнен сравнительный анализ этих решений с решениями, полученными по методу статистических испытаний (методу Монте-Карло),
получены оценки погрешности, вносимой членами второго и более высокого порядков в аналитические решения одномерной задачи для полей напряжений и скоростей деформаций толстостенной трубы из микронеодиородного реономної о материала,
4) разработан аналитический метод решения двумерной статистически
нелинейной краевой задачи установившейся ползучести для плоского
деформированного состояния в цилиндрической системе координат на основе
метода малого параметра в первом приближении,
5) разработаны методы оценки показателей надежности элементов
конструкций на основе предложенных аналитических методов решения
стохастических краевых задач установившейся ползучести по параметрическим
(деформационным) критериям отказа.
Практическая значимость работы заключается в разработке аналитических методов решения одномерных и двумерных стохастических краевых задач установившейся ползучести для толстостенной трубы на основе метода малого параметра и исследовании их на сходимость, что является, с одной стороны, важным вкладом в дальнейшее развитие соответствующего раздела механики деформируемого твердого тела С другой стороны, разработанные методики определения показателей надежности элементов конструкций из структурно-неоднородных материалов на основе аналитических методов решения стохастических краевых задач позволяют научно-обоснованно подходить к проблеме назначения ресурса элементов конструкций в условиях ползучести материала.
Обоснованность выносимых на зашиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность полученных результатов исследований подтверждается
адекватностью имеющихся модельных представлений физической картине исследуемых стохастических процессов в условиях ползучести материала,
корректностью использования математического аппарата, законов механики деформируемого твердого тела, положений теорий обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теорий случайных функций и надежности,
численным исследованием сходимости построенных аналитических решений и сопоставлением результатов расчета разработанных решений по методу малого параметра с апробированным решением по методу статистических испытаний
На защиту выносятся-
1) аналитический метод решения одномерных стохастических краевых
задач установившейся ползучести для случая плоского деформированного
состояния в цилиндрической системе координат на основе метода малого
параметра с учетом членов четвертого и более высокого порядков разложения,
исследование сходимости и оценка погрешности аналитических решений в одномерной задаче для стохастических полей напряжений и скоростей деформаций ползучести,
аналитический метод решения двумерной стохастической краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы в условиях плоского деформированного состояния на основе метода малого параметра в первом приближении,
4) методики и алгоритмы оценки показателей надежности элементов
конструкций на основе предложенных аналитических методов решения
стохастических краевых задач установившейся ползучести по параметрическим
(деформационным) критериям отказа,
5) качественные и количественные результаты, полученные при
построении моментных функций случайного процесса, решении
стохастических краевых задач и оценке надежности элементов конструкций в
условиях ползучести.
Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка используемых источников из 162 названий Работа содержит 247 страниц основного текста.
Решение краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы из неоднородного материала методом малого параметра
Исследование напряженно-деформированного состояния элементов конструкций в условиях нелинейной ползучести материала является достаточно сложной задачей даже в детерминированной постановке. Необходимость учета микронеоднородностей материала приводит к стохастическим краевым задачам, в которых кроме физической нелинейности определяющих уравнений приходится учитывать и статистическую нелинейность. Отмеченные сложности приводят к тому, что аналитические решения стохастических краевых задач ползучести получены лишь в ряде простейших случаев. Так, в работах Самарина Ю.П., Кузнецова В.А. и Попова Н.Н. [50, 86, 87, 94, 95] предложен метод аналитического решения стохастических задач установившейся ползучести на основе метода возмущений (метода малого параметра) в корреляционном приближении. Однако ими получены решения лишь в первом приближении. Дальнейшее развитие этого подхода с учетом членов третьего порядка осуществлено в работах [28, 29, 30, 31] для одномерной стохастической задачи о ползучести толстостенной трубы из микронеоднородного материала. В работах [88-93, 111] этот подход был развит для двумерных и трехмерных стохастических задач о растяжении плоскости и пространства в условиях установившейся ползучести, а в работе [93] впервые была решена стохастическая краевая задача ползучести с учетом стадии разупрочнения и накопления поврежденное. Однако во всех отмеченных работах не был выполнен анализ сходимости метода малого параметра, а также вклад в решение старших приближений, начиная с четвертого. Учет старших членов требует оценки моментов высокого порядка, которые в научной литературе отсутствуют. Кроме этого необходимо выполнить проверку адекватности приближенных аналитических решений с другими решениями стохастических задач, в частности, полученных, например, по методу Монте-Карло (методу статистических испытаний).
В связи с этим актуальность проблемы исследования напряженно-деформированного состояния стохастически неоднородных элементов конструкций в условиях ползучести при помощи теории случайных функций не вызывает сомнений.
В данной главе решается статистически нелинейная краевая задача о ползучести толстостенной трубы под действием внутреннего давления q для случая плоского деформированного состояния с учетом членов до шестого порядка в методе малого параметра. Такого рода решение в определенной мере обобщает решения, полученные Радченко В.П., Поповым Н.Н. и Должковым А.А. [29-31].
Рассмотрим данную задачу в цилиндрических координатах в предположении, что стохастические неоднородности материала оболочки трубы описываются функцией одной переменной (радиуса г). В условиях плоского деформируемого состояния в дальнейшем используем гипотезу sz (r,t) = 0, а значит и е2 (г,i) = 0 (обозначения напряжений и деформаций в системе координат г, р, z традиционные). Тогда и компоненты тензоров деформаций и напряжений будут функциями только радиуса г и времени t.
Интенсивность S и девиаторы напряжений УГ , т9 в рассматриваемой задаче имеют вид: = /з , =--(сг,- тг), а, =-( т,-аг). (2.1) Напряжения сГр и ат удовлетворяют дифференциальному уравнению равновесия: и граничным условиям: 0) = - (/0 = 0 (2-3) где р = — , /? =—, а и Ъ - внутренний и наружный радиусы трубы, 1 р /?, а а то есть задача решается в безразмерных величинах.
Для скоростей деформаций ег и є имеет место условие совместности деформаций: р- + є9-єг=0. (2.4) В качестве определяющих соотношений для деформации ползучести БГ и выберем, в соответствии с теорией вязкого течения и учетом (2.1), следующие реологические соотношения в стохастической форме [93,95]: ёг =cS-\[l + aU{p)], s9 =cS"-\[\ + aU(p)], (2.5) где сг. и о - радиальное и тангенциальное напряжения, U(p) - случайная функция, описывающая стохастическую неоднородность материала цилиндрической оболочки, характеристики которой известны: (/) = 0, (и2) = 1; ос - коэффициент вариации механических свойств (0 а 1); с, п постоянные материала; () - символ математического ожидания.
Как уже указывалось выше, одним из методов решения стохастических краевых задач как в упругой области, так и в условиях ползучести является метод малого параметра [28-30, 50, 52, 93]. Однако существенные трудности вычисления моментов второго и более высокого порядков случайной функции позволили найти решения стохастических краевых задач установившейся ползучести лишь в первом приближении [86, 94], а далее в работах [28-30, 93] - обобщить эти результаты до третьего приближения.
Численный анализ стохастических полей скоростей деформаций в толстостенной трубе
Теперь запишем подробно каждое из слагаемых формул для дисперсии тангенциальных напряжений в первом, втором и третьем приближениях (формулы (2.89), (2.94), (2.100), (2.102)). Используем при этом формулы для моментов четвертого и шестого порядков, приведенные в предыдущем пункте. Все моменты, входящие в формулы (2.89), (2.94), (2.100), (2.102), вычисляются через моменты случайной функции 1к (/?), которые могут быть выражены через корреляционную функцию К(х2-хх) случайного однородного поля U[p):
Найдем теперь дисперсии для скоростей деформаций. Так как дисперсии скоростей деформаций вычисляются в предположении, что функция U(p), задающая поле возмущений механических свойств материала, распределена по нормальному закону, то в этом случае моменты нечетных порядков равны нулю, а центральные моменты четных порядков выражаются через моменты второго порядка. Также учитываем характеристики случайной функции: (U(x)) = 0,(U2(x)) = L
Рассматривая выражение (2.67) как сумму зависимых случайных функций, для дисперсий скоростей деформаций є можно получить следующие выражения: Все формулы для моментов четвертого, шестого и восьмого порядков приведены в предыдущем пункте.
По аналогии с вышеизложенными вычислениями, все моменты, входящие в формулы (2.124)-(2.131) для дисперсий случайных скоростей деформаций и дисперсий случайных перемещений, вычисляются через моменты случайной функции 1к (/?), которые могут быть выражены через корреляционную функцию К{х2 -хх) случайного однородного поля U(p). Как следует из приведенных в предыдущих пунктах исследований для вычисления дисперсий необходимо иметь аналитическую зависимость для корреляционной функции.
Статистическая обработка опытных данных, представленных в [14, 53], выполненная Ю.П. Самариным и В.А. Кузнецовым в [48, 49, 51], а также обработка экспериментальных данных для локальных одномерных полей деформаций ползучести и пластичности, приведенных в [106], выполненная Радченко В.П. с соавторами [105], показывает, что корреляционные функции механических характеристик являются знакопеременными затухающими функциями, и их можно аппроксимировать выражением: K(p) = e MQOs(Pp), р = х2-х1, у 0, (2.132) или более сложным (p) = fcos( ) + sin( p)J, р = х2-х{, (2.133) где у, Р - постоянные величины, определяемые по опытным данным из условий наилучшей аппроксимации.
Случайное поле микронеоднородностей, корреляционная функция которого задается выражением (2.132), не является дифференцируемым, что приводит к затруднениям при оценке надежности элементов конструкций по теории выбросов. Случайное поле с законом корреляции (2.133) дифференцируемо.
С учетом сделанных выше замечаний, корреляционная функция (2.133) предпочтительнее функции (2.138). Следует отметить, что в теорию ползучести функция (2.133) была введена Ю.П. Самариным и В.А. Кузнецовым [48, 49, 51] и нашла широкое применение при численном [38, 108, 114] и аналитическом [29-31, 49, 86, 94, 95] решениях одномерных стохастических задач для стержневых систем, толстостенных труб и сфер.
По аналогии с работой [31] в настоящей работе исследование напряженно-деформированного состояния трубы на основе моментов второго порядка проведено в предположении, что корреляционная функция случайного однородного и одномерного поля неоднородностей U(p) имеет вид (2.133).
Целью дальнейших исследований является анализ влияния четвертого приближения, а также величин показателя нелинейности установившейся ползучести п и коэффициента вариации а на величины дисперсий скоростей деформаций ег и є . Анализ влияния второго и третьего приближений был проведен в работах [30,31]. Численные расчеты выполнены для дисперсий приведенных скоростей деформаций D cq" в безразмерных величинах. В качестве модельной рассматривалась толстостенная труба с внутренним и наружным радиусами соответственно а = 1, Ь = 2. Расчеты выполнялись при различных значениях /, Р в аналитическом выражении для корреляционной функции (2.133).
Решение двумерной краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы из неоднородного материала методом малого параметра с учетом первого приближения
Из приведенных на рис. 2.17-2.31 графиков и таблицы 2.4 можно сделать вывод, что в рассмотренных примерах для слабонеоднородных материалов (а = 0,1-ь0,2) значения дисперсий тангенциальных напряжений для первых трех приближений отличаются незначительно и при решении краевых задач можно ограничиться либо первым, либо первым и вторым приближениями. Для материалов со степенью неоднородности а = 0,3 третье приближение оказывает более существенное влияние на значение дисперсий тангенциальных напряжений.
Для материалов с большой степенью неоднородности (а = 0,4-г 0,5) значения дисперсий тангенциальных напряжений, вычисленные с учетом третьего приближения, могут превосходить соответствующие значения, вычисленные по двум приближениям, в полтора раза (и более), а вычисленные по первому приближению - в два раза (и более). Поэтому для адекватной оценки показателей прочности и надежности трубы по основным критериям в рассматриваемой задаче необходимо учитывать члены второго и третьего порядка малости.
На рис. 2.32-2.33 приведены значения коэффициента вариации тангенциальных напряжений при а = 0,3, п = 5 для случаев у = 5, /? = 20 и y = \0,j3 = 30.
На рис. 2.34 и рис. 2.35 приведены графики коэффициента вариации тангенциальных напряжений в зависимости от параметра нелинейности установившейся ползучести п, вычисленных с учетом первого, второго и третьего приближений при а = 0,3, р = 1,5 для случаев у = 5, /? = 20 и / = 10, /? = 30 соответственно.
На рис. 2.36-2.37 приведены графики для коэффициента вариации тангенциальных напряжений при различных значениях параметра неоднородности материала а и фиксированном значении п - 5 для случаев у = 5, /? = 20 и = 10, /? = 30 соответственно, из которых следует, что величина параметра а оказывает существенное влияние на величину коэффициента вариации.
В таблице 2.5 представлены численные значения коэффициента вариации тангенциальных напряжений в зависимости от п и а при р = \,5 и значениях у = 5, /3 = 20. В первой строке приведены значения, вычисленные с учетом только первого члена разложения приближенного решения (D\), во второй (D2) И третьей (D3) - с учетом двух и трех членов приближенного решения.
Анализ данных таблицы 2.5, а также графиков, представленных на рис. 2.32-2.37, показывает, что коэффициент вариации тангенциальных напряжений уменьшается при увеличении параметра п и увеличивается при увеличении параметра а. Причем для высоких показателей нелинейности значения коэффициента вариации в зависимости от п отличаются незначительно при а = 0,1 -5- 0,2 для всех трех приближений, а для низких -это отличие существенно. Также результаты расчета в первом и втором приближениях существенно отличаются от третьего приближения при значениях а = 0,4 -ь 0,5 и низких значениях показателя п.
Целью данного параграфа является анализ сходимости метода малого параметра в условиях ползучести с учетом шестого приближения для полей напряжений УГ и тр на основе метода статистических испытаний.
Поскольку с точки зрения практики больший интерес представляет поле для т , то в дальнейшем все вычисления проведены для этого напряжения.
Как уже отмечалось выше, проблема сходимости метода малого параметра в нелинейных задачах ползучести и в настоящее время остается открытой. В работе [31] методом малого параметра до членов третьего приближения решена стохастическая задача для толстостенной трубы в условиях установившейся ползучести под действием внутреннего давления, причем неоднородность материала зависела лишь от радиуса г. В настоящем пункте анализируется сходимость метода малого параметра для полей напряжений на основе метода статистических испытаний с учетом членов до шестого порядка.
Ранее получены аналитические выражения для а и тг (соответственно формулы (2.58)-(2.63) и (2.52)-(2.57)) для первых шести приближений по методу малого параметра. Как следует из формул для а и аг, в их аналитические выражения входят интегралы типа I„(p)=jUM(x)x l "dx, (2.134) і оценить которые для w-ro члена приближения затруднительно в силу того, что область изменения случайной функции U[x) включает значения по модулю большие единицы. Это является одной из причин отсутствия доказательства сходимости метода малого параметра. Поэтому в настоящей работе оценка сходимости выполнена при помощи метода статистических испытаний, когда в соответствии с видом корреляционной функции (2.133) генерировались случайные реализации функции U(x) и для каждой реализации исследовалась сходимость уже детерминированной задачи с учетом шести приближений. Полученное решение каждой детерминированной задачи по методу малого параметра сравнивалось с точным решением детерминированной задачи, построение которого приведено ниже.
Методика оценки надежности толстостенной трубы на основе решения стохастической краевой задачи установившейся ползучести методом малого параметра
В предыдущих пунктах построено приближенное аналитическое решение стохастической краевой задачи для толстостенной трубы методом малого параметра с учетом членов до четвертого приближения. Однако задачу аналитической оценки сходимости метода малого параметра выполнить крайне сложно. В этом направлении следует отметить лишь одну работу Немировского Ю.В., Кунташева П.А. [56], в которой доказана сходимость метода малого параметра для упругих задач, но в предположении, что случайная функция U в аналогичных соотношениях теории упругости удовлетворяет условию (/ 1. В задачах ползучести для функции U, которая имеет корреляционную функцию вида (2.133), это условие не выполняется и сходимость метода малого параметра доказать проблематично. Поэтому необходимы косвенные приемы обоснования сходимости. В частности, выполнение сравнительного анализа приближенных аналитических методов, развиваемых в данной работе, с другими хорошо апробированными методами решения стохастических краевых задач. В этом направлении следует отметить все возрастающую роль стохастических методов исследования .в механике деформируемого твердого тела [18, 22, 23, 64, 65], и, в частности, метода статистических испытаний (метода Монте-Карло) для ряда задач ползучести и прочности [9-11, 32, 40, 42,80,81,112,116,117,128, 135,154].
Согласно [32, 112, 117, 128] для реализации метода статистических испытаний необходимо выполнить следующие этапы:
1) построить соответствующие определяющие стохастические уравнения ползучести при сложном напряженном состоянии;
2) установить вид закона распределения случайных величин или функций в определяющих соотношениях для материала либо задать их статистические оценки (моменты, корреляционную функцию и т.д.);
3) выполнить генерацию случайных функций в соответствии с их законом распределения или видом корреляционной функции;
4) решить М раз (М - число сгенерированных реализаций) детерминированную краевую задачу ползучести каким-либо апробированным методом;
5) выполнить статистическую обработку М детерминированных решений для полей напряжений, деформаций и перемещений и найти их статистические оценки;
6) в случае необходимости использовать случайные поля напряжений, деформаций и перемещений для оценки надежности элемента конструкций по параметрическим критериям отказа.
Таким образом, существующие численные подходы решения стохастических краевых задач, базирующиеся на методе статистических испытаний (Монте-Карло), сводятся к многократному численному решению детерминированных краевых задач для сгенерированных случайных реализаций с последующей статистической обработкой результатов расчета напряженно-деформированного состояния [32,112,117,128].
Рассмотрим процедуру решения поставленной стохастической краевой задачи (2.2)-(2.5) на основе метода Монте-Карло.
Численный метод решения детерминированной краевой задачи ползучести для толстостенной трубы под действием внутреннего давления q и растягивающей нагрузки Q в самом общем случае с учетом деформаций упругости, пластичности и ползучести приведен в [107, 109], согласно которому основные окончательные расчетные формулы для напряженно-деформированного состояния толстостенной трубы при ползучести имеют вид:
Задача (2.151), (2.152) решается шагами по времени, при этом приращения деформации ползучести на шаге At рассчитываются по соотношениям (2.5) на основе метода Эйлера.
В силу постановки стохастической краевой задачи (2.2)-(2.5) силовые и геометрические характеристики предполагались детерминированными, а вся стохастичность заложена в материале трубы через случайную функцию U(p) с корреляционной функцией вида (2.133) и параметр неоднородности материала а.
Численная реализация решения стохастической краевой задачи на основе метода Монте-Карло заключается в следующем. На первом этапе исходя из вида корреляционной функции (2.133) осуществляется генерация случайных реализаций U(p) (\ р /3).
Далее для каждого набора случайных реализаций U(p) решается численно соответствующая детерминированная краевая задача на основе реологической модели (2.151)-(2.152). Затем после N раз решения краевой задачи (N - объем выборки для генерации случайных величин) находятся статистические оценки для интересующих выходных параметров (перемещения, деформации, напряжения и т.п.). Объем выборки для генерации случайной реализации U[p) составил величину N -40.
Для численного исследования рассматривалась толстостенная труба с а = 1 и Ъ = 2. В качестве примера на рис. 2.53 приведены первые десять (из сорока) сгенерированных реализаций U(r) для случая / = 10, /? = 30 (см. формулу (2.133)). Для каждой из 40 сгенерированных реализаций численно решалась детерминированная краевая задача по модели (2.151), (2.152), а затем производилась статистическая оценка величины деформаций, скоростей деформаций и напряжений.
В качестве примера на рис. 2.54 и 2.55 штриховыми линиями приведены типичные графики распределения дисперсии приведенных скоростей деформаций D cq" по радиусу трубы при а = 0,3, п = 5 и различных значениях параметров у и /?, рассчитанные по методу Монте-Карло. Для сравнения здесь же сплошной линией приведены эти же зависимости, полученные на основании аналитического решения по методу малого параметра с учетом четырех приближений. Аналогичные графики для случая п-1 приведены на рис. 2.56 и 2.57.
На рис. 2.58 и 2.59 приведены графики дисперсий приведенных скоростей деформаций в зависимости от параметра нелинейности установившейся ползучести п в срединной плоскости трубы при р = г = \,5 и параметрах а, у и /? таких же, как для случаев на рис. 2.54 и 2.55.
