Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор методов исследования взаимодействия трещин 6
1.1 Постановка-задачи 6
1.2 Аналитические и.численные методы 8
1.3 Метод Чена 11
1.4 Метод М. Качанова 12
1.5 Предложенный метод. 13
2. Взаимодействие трещин, конечной длины . 15.
2.1 Постановка задачи ]5
2.2 Суперпозиция решений 16
2.3 Коэффициенты интенсивности напряжений , 18
2.4 Связь между локальными системами координат 21
2.5 Простой пример: растяжение плоскости с двумя одинаковыми трещинами, лежащими на одной прямой . 27
2.6 Алгоритм численного решения. 35
2.7 Тестовые задачи 37
2.7.1 Растяжение плоскости с двумя неравными трещинами, расположенными на одной прямой 37
2.7.2 Растяжение плоскости с тремя одинаковыми трещинами, лежащими на одной прямой 43
2.7.3 Растяжение плоскости с двумя параллельными трещинами 48
2.8 Приложение разработанного метода к решению новых задач о взаимодействии трещин 51
2.8.1 Растяжение плоскости с двумя наклонными трещинами одинаковой длины 51
2.8.2 Растяжение плоскости с восемью радиально направленными трещинами одинаковой длины 55
2.8.3 Растяжение плоскости с шестью произвольно направленными трещинами различной длины. 58
2.9 Выводы 61
3. Взаимодействие полубесконечной трещины с трещинами конечной длины 62
3.1 Постановка задачи. 62
3.2 Формирование системы уравнений. 64
3.3 Простой пример: взаимодействие полубесконечной трещины с конечной трещиной, лежащей на ее продолжении . 69
3.4 Взаимодействие полубесконечной трещины с произвольно ориентированной конечной трещиной. 74
3.5 Взаимодействие полубесконечной трещины с двенадцатью конечными трещинами. 85
3.6 Выводы 88
Приложение. Задача об изолированной трещине в плоскости...89
- Аналитические и.численные методы
- Простой пример: растяжение плоскости с двумя одинаковыми трещинами, лежащими на одной прямой
- Растяжение плоскости с тремя одинаковыми трещинами, лежащими на одной прямой
- Простой пример: взаимодействие полубесконечной трещины с конечной трещиной, лежащей на ее продолжении
Введение к работе
Актуальность темы
Представление о разрушении как о распространении изолированной трещины часто оказывается недостаточным. Экспериментально установлено, что в области предразрушения - окрестности кончика магистральной трещины - образуется множество мелких трещин, заметно влияющих на напряженное состояние. Зону предразрушения часто рассматривают как сплошную среду с измененными механическими характеристиками. Адекватность такого подхода во многом определяется возможностью связать меру поврежденности с некоторым распределением микротрещин. Эту возможность может дать метод, позволяющий рассчитать напряженное состояние массива, ослабленного системой взаимодействующих трещин. Такой метод применим также к задачам прочности горных пород и керамик - материалов, содержащих большое количество разнообразно ориентированных трещин [40].
Практическая важность задач о взаимодействии трещин делают их предметом, теоретических исследований более 50 лет. Разработанные методы решения различаются и по области применения и по сложности. И именно чрезмерная сложность оказывается в большинстве случаев их основным недостатком.
Это естественно, так как весьма сложны и решаемые задачи. Но искать более простые методы следует, и эта задача, безусловно, актуальна. Ее решению — разработке простого и надежного метода решения задач о взаимодействии трещин — посвящена настоящая диссертация. Цель работы
Целью данной работы является разработка нового метода решения задач о взаимодействии трещин (в рамках плоской задачи линейной механики разрушения) и решение этим методом ряда конкретных задач.
Научная новизна работы
• Разработан численно-аналитический метод решения задач о. взаимодействии прямолинейных трещин, позволяющий свести решение задачи к решению системы уравнений Фредгольма достаточно простого вида.
• Разработанным методом решены новые задачи о взаимодействии трещин.
Практическая ценность
• Разработанный метод позволяет вычислить коэффициенты интенсивности напряжений в кончиках взаимодействующих трещин без ограничений количества трещин и их ориентации относительно друг друга.
• Результаты таких расчетов могут быть использованы для нахождения характеристик трешиностойкости материалов, оценке прочности массивов горных пород и изделий из керамики
Достоверность
Достоверность полученных результатов подтверждается корректностью используемых методов исследования, согласованностью решений тестовых задач с эталонными решениями. Апробация работы
Результаты исследования обсуждались на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г, Тула, 2003 г.), Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, 2004 г.), семинаре по МДТТ им. Л.А. Толоконникова (руководитель - проф. Маркин А.А.), ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ.
Аналитические и.численные методы
Аналитические методы исторически предшествовали численным. Все они основаны на методах решения плоской задачи теории упругости с использованием, теории функций комплексного переменного, развитых в работах Гурса, Колосова, Мусхелишвили, Шермана и др. [5,12,17,25]. Аналитическими методами удается получить решения для,небольшого числа трещин или для периодической бесконечной системы трещин. Точное решение для двух одинаковых трещин, расположенных на одной прямой, получено Виллмором [97]. Панаскж.и Лозовой [32]. решили задачу для двух трещин разной длины, находящихся на одной прямой. Решение задачи для трех коллинеарных трещин приведено в монографии [40]. Рубинштейн [91,92] и Роус [90] решили задачу о взаимодействии полубесконечной трещины с трещиной конечной длины, лежащих на одной прямой.
Аналитические решения можно получить лишь для частных случаев сформулированной выше задачи. Их ценность прежде всего в том, что они служат тестами для численных, точнее, численно-аналитических методов, обсуждаемых ниже.
Решение поставленной задачи может быть получено методами, сводящими ее решение к решению системы сингулярных интегральных уравнений [4,23,26]. Система сингулярных интегральных уравнений для плоскости с произвольно расположенными непересекающимися трещинами получена Савруком и Дацышин [43]; ее вывод приведен также в статьях [44,84] и монографиях [34,42,46]. Близкие к уравнениям Дацышин-Саврука системы сингулярных интегральных уравнений предложены Гроссом [69], Чудновским, Долгопольским и М. Качановым [66-68], Хории и Немат-Нассером [74,75], Чау и Вангом [65], Линьковым и Могилевской [16,84]. Подробный обзор этих и некоторых других работ приведен в статье [86].
Метод Дацышин-Саврука использовался в работах Мирсалимова и др. [18-21] для решения разнообразных плоских задач механики разрушения. Число трещин, рассматривавшееся в этих задачах, не превышало трех. Попытка решить методами сингулярных интегральных уравнений задачу взаимодействия большого числа трещин сталкивается с серьезными вычислительными трудностями. Поэтому широкое применение нашли асимптотические методы. Так, Ромалис и Тамуж [38] для решения системы интегральных уравнений Дацышин-Саврука предложили метод малого параметра. В качестве малого параметра использовалось отношение длины микротрещины к длине макротрещины. Метод совершенствовался и был применен к различным конкретным задачам в работах [39,50,51,87-89,94]. Другая возможность введения малого параметра - когда расстояние между трещинами намного меньше их длин - исследовалась в работах Назарова и Поляковой [27-29].
Разработке эффективных вычислительных процедур, решения систем сингулярных интегральных уравнений задачи о взаимодействии трещин посвящены работы Лама с соавторами [79,80], Цамасфироса и Эф-таксиопулоса [95], Хоагленда и Эмбури [73].
Естественно, возникает вопрос, нельзя ли к решению задачи о взаимодействии трещин применить прямые численные методы механики деформируемого твердого тела, такие как.метод конечных элементов и метод граничных элементов. Такие исследования проводились. Так, Бренсич и Карпинтери [56-58] использовали метод граничных элементов [2], Ли с соавторами [81,82], Бинер [55], Чараламбидес и Мак-Микинг [64] - метод конечных элементов. [66,86,87]. Однако эти методы успешно можно применять, когда число трещин невелико; с увеличением количества трещин вычислительные трудности, связанные, в первую очередь, с учетом сингу-лярностей поля напряжений в кончиках трещин, быстро становятся непреодолимыми.
Подведем итог. Задача о взаимодействии трещин, в принципе, решаема и методами, сводящими ее к системе сингулярных интегральных уравнений, и прямыми численными методами - методом конечных элементов и граничных элементов. Однако сложность применения этих методов к решению данной задачи делают их практически бесполезными, когда число трещин достаточно велико, например, порядка десяти. Поэтому актуальна разработка новых, более удобных методов.
Один из таких методов разработан Хелсингом и Петерсом [70,71]. Они представил комплексные потенциалы выраженными через интегралы типа Коши [15] приблизительно так, как это сделал Шерман при выводе уравнения Лауричелла в комплексной форме [23]. Отличие,.прежде всего, в том, что работах [70,71] в искомой подынтегральной функции для каждой трещины выделен множитель, отвечающий за сингулярность поля.напряжений в кончиках трещины. Оставшаяся неизвестной функция - второй сомножитель - регулярна. Используя далее известные [23] преобразования, авторы получают для этих функций (каждой трещине соответствует одна неизвестная комплексная функция) систему интегральных уравнений Фредгольма, которую можно рассматривать как адаптацию уравнений Лауричелла-Шермана к данной задаче. Отметим, что аналогичный прием был ранее применен к уравнению Мусхелишвили [23,25] Лавитом [14], решавшим задачу о краевой трещине в плоско-деформированном теле. Возможности метода продемонстрированы Хелсингом [70] на задаче о растяжении плоскости, содержащей 10 000 случайно ориентированных трещин.
Другой путь построения сравнительно простых методов решения задачи о взаимодействии трещин - использование суперпозиции известных решений для одиночных трещин. Метод, разработке которого посвящена данная диссертация, основан на таком подходе. Аналогичные методы были предложены ранее. Они детально анализируются в следующих подразделах.
Простой пример: растяжение плоскости с двумя одинаковыми трещинами, лежащими на одной прямой
Решение задачи о равновесии нагруженной на бесконечности линейно упругой плоскости, ослабленной конечным числом прямолинейных непересекающихся трещин, находится в результате суперпозиции решений задач о плоскости с одной трещиной, к сторонам которой приложена неизвестная распределенная нагрузка. Число таких решений совпадает с числом трещин. Для определения неизвестных нагрузок на сторонах трещин получена система интегральных уравнений Фредгольма второго рода Решение этой/системы для.простейшей задачи рассматриваемого класса - задачи о двух одинаковых трещинах, лежащих на одной прямой, - получается методом сведения: к уравнению с вырожденным ядром. В общем случае решение системы интегральных уравнений ищется методом коллокаций. Разработаны алгоритм и компьютерная программа решения задачи
Решены тестовые задачи: задача о двух неравных трещинах, лежащих на одной прямой, задача о двух параллельных трещинах. Показана достаточно быстрая сходимость численного решения к аналитическому с увеличением числа точек коллокаций Получено решение ряда новых задач, подобранных с целью изучения возможностей метода. Это задача о двух непараллельных трещинах, задача о восьми радиально направленных одинаковых трещинах, задача о произвольно расположенных трещинах. Для всех задач показана сходимость решения с увеличением числа точек коллокаций. Полученные решения дают основание для вывода о высокой эффективности разработанного метода Рассмотрим расчетную схему, изображенную на рис. .2.1. Можно выделить важный частный случай, когда одна из трещин, значительно превосходит по длине остальные. Такая ситуация возникает при разрушении конструкционных материалов, которое, как правило, является результатом распространения одной трещины - макротрещины, называемой обычно магистральной. В окрестности кончика магистральной трещины в результате очень высокого, по сравнению;с остальным материалом,.уровня напряжений, образуется и растет сетка микротрещин. Так как микротрещин много, имеет место не только влияние на них макротрещины, но и обратное суммарное влияние большого числа микротрещин на поведение магистральной трещины, а также влияние микротрещин друг на друга. Задачу изучения такого влияния можно решать методом, изложенным в предыдущем разделе, однако здесь возникают серьезные вычислительные трудности. Причина их в несоизмеримости длин магистральной трещины и микротрещин. Это приводит к несоизмеримости элементов матрицы разрешающей системы уравнений и, как следствие, ее плохой обусловленности. Поэтому необходимо так.видоизменить метод, чтобы исключить негативный эффект несоизмеримости длин, С этой целью учтем, что значительному влиянию со стороны магистральной трещины подвергаются только те микротрещины, которые находятся в непосредственной близости от ее кончиков. Они же, в свою очередь, оказывают наибольшее действие на ее поведение. Поэтому, как это обычно делается: [40,51,88], достаточно рассмотреть взаимодействие макротрещины с микротрещинами, расположенными около ее кончиков (рис.3.1). Где ноль в скобках означает, что макротрещине присваивается нулевой номер; Л (0), K}j(fi) - коэффициенты интенсивности напряжений в правом кончике магистральной трещины без учета. действия микротрещин - известные величины; АК10, АКП0. - приращения коэффициентов интенсивности напряжений в кончике макротрещины, обусловленные действием микротрещин.
Будем считать,. в соответствии с расчетной схемой, изображен ной на рис. 3.1, что напряжения от действия макротрещины определяются известными асимптотическими формулами [3,52,53], тем более точными, чем ближе рассматриваемая точка находится к кончику макротрещины. Действительно, так как микротрещины расположены в непосредственной близости от кончика трещины, то и номинальные напряжения, обусловленные приложенной нагрузкой, и другие слагаемые в выражениях для напряжений, регулярные в кончике трещины, оказываютсяпренебрежимо малыми по сравнению с сингулярными членами.
Таким образом, приходим к схеме полубесконечной трещины, в окрестности кончика которой некоторым образом распределены N непересекающихся прямолинейных трещин.
Растяжение плоскости с тремя одинаковыми трещинами, лежащими на одной прямой
Рассматриваемый ниже пример призван проиллюстрировать возможности метода: число трещин достаточно велико, их расположение не ограничено требованием быть параллельными магистральной трещине. Легко видеть, что решение такой задачи каким-либо другим методом, если вообще возможно, потребует значительных ресурсов и при этом не будет отличаться высокой точностью.
Для определенности принято, что все конечные трещины имеют одинаковую длину 2а, шесть из них, расположенных выше оси абсцисс, наклонены к оси абсцисс под углом а, другие шесть, расположенные ниже оси абсцисс, - под углом минус а. Расстояние от середин трещин до оси абсцисс одинаково и равно а. Расстояние между центрами соседних трещин, расположенных по одну и другую стороны от оси абсцисс, равно 2а. Абсцисса середин первой слева пары трещин равна с. Таким образом, решение поставленной задачи определяется тремя геометрическими параметрами: сна, имеющими размерность длины, и углом а. Независимых безразмерных параметров, очевидно, два: с = с/а и а.
Из результатов решения данной задачи наибольший интерес представляет влияние массива микротрещин на коэффициент интенсивности напряжений1 в вершине полубесконечной трещины (в силу симметрии Д //0 =0). В: табл. 3.7 и на рис. 3.11 представлены результаты вычислений величины характеризующей изменение коэффициента интенсивности напряжений, для двух значений угла а.
Результаты расчетов показывают, что массив микротрещин, расположенный перед кончиком магистральной трещины, увеличивает коэффициент интенсивности напряжений в ее вершине; когда вершина полубесконечной трещины находится внутри массива, этот коэффициент уменьшается, и, наконец, когда массив оказывается за кончиком микротрещины, влияние массива быстро падает до полного исчезновения. рассматривается как взаимодействие полубесконечной трещины с некоторым числом трещин конечной длины. Учитывается как влияние полубесконечной трещины на конечные, так и влияние конечных трещин друг на друга и влияние конечных трещин на полубесконечную трещину 2. Показано, что так как напряжения в окрестности кончика полубесконечной трещины, то есть там, где расположены микротрещины, определяются в отсутствие последних известными асимптотическими формулами, решение задачи можно получить в результате, непринципиальной-модификации разработанного метода расчета взаимодействия системы конечных трещин 3. Получены расчетные формулы и указан алгоритм численного решения задачи 4. Найдено аналитическое решение задачи о взаимодействии полубесконечной трещины с лежащей на той же прямой трещиной конечной длины. Это решение используется как тест для - компьютерной программы численного решения задачи 5. Численное решение задачи о взаимодействии полубесконечной трещины с массивом трещин конечной длины строится методом кол-локаций. Программа вычислений реализована в системе MathCad, 6. Решены новые задачи, иллюстрирующие возможности разработанного метода: задача о взаимодействии полубесконечной трещины с лежащей на ее продолжении произвольно ориентированной конечной трещиной и задача о взаимодействии полубесконечной трещины с массивом из 12 одинаковых микротрещин, расположенных по обе стороны от магистральной трещины. Результаты расчетов свидетельствуют об эффективности разработанного метода Решение этой задачи известно [89], поэтому приложение носит справочный характер. Его привести было необходимо, так решение задачи об изолированной трещине является основой построения системы интегральных уравнений задачи о взаимодействии трещин. Чтобы эта система выглядела компактной иобозримой, необходимо преобразовать расчетные формулы к максимально удобному виду; это сделано ниже. Изложение в основном следует работе Раиса [37].
Простой пример: взаимодействие полубесконечной трещины с конечной трещиной, лежащей на ее продолжении
Недостатком этого метода является, безусловно, его неточность. Замена реального распределения нагрузки на стороны трещины (от действия других трещин) ее средним значением вносит неконтролируемую ошибку в расчеты. В примерах, приведенных в статье [76] и других, она мала, но считать это общим свойством нет оснований. Каких-либо оценок ожидаемой погрешности ни в статье [76], ни в последующих сделано не было. Ссылки автора на принцип Сен-Венана не могут считаться убедительными: если расстояние между трещинами велико (а именно тогда замена истинного распределения поверхностной нагрузки ее средним значением вполне приемлема), их взаимным влиянием, можно просто пренебречь.
Методы Чена и М. Качанова основаны на одной и той же идее: рассматривается решение задачи для изолированной трещины, к сторонам которой приложены неизвестная нагрузка; значение последней определяется таким образом, чтобы при учете влияния остальных трещин и внешней нагрузки, приложенной на бесконечности, стороны трещины оставались пе-нагруженными - выполнялись граничные условия задачи. В результате выполнения этой процедуры для всех трещин получается система уравнений относительно неизвестных нагрузок на сторонах трещины. В методе М. Качанова граничные условия на сторонах трещины удовлетворяются приближенно, так как искомые нагрузки заменяются их средними значениями. Для этих средних значений получается система линейных алгебраических уравнений. В методе Чена не делается упрощающих замен и для неизвестных нагрузок получается система интегральных уравнений Фред-гольма второго рода. Однако преждевременно отдавать предпочтение методу Чена как более точному: в изложении автора он оказался настолько сложным и непонятным, что даже автор родственного метода - М. Кача-нов, анализируя работу Чена [59] в своей статье [76], не увидел связи между своим методом и методом Чена. Поэтому актуальна разработка такого метода, который был бы достаточно прост, как метод М. Качанова, и в то же время не содержал бы упрощающих допущений. Такой метод представлен в настоящей работе. По своим исходным представлениям он практически тождественен, методу Чена, но выгодно отличается от него своей простотой. Поэтому для него уместно название «Модифицированный метод Чена».
Плоскость, нагруженная. на бесконечности однородной нагрузкой, ослаблена рядом произвольно ориентированных прямолинейных трещин.
На рисунке 2.1 показан (для простоты) частный случай приложения нагрузки - растяжение в вертикальном направлении. Стороны трещины свободны от нагрузки. Предполагается, что стороны трещин не могут контактировать. Требуется определить значение коэффициентов интенсивности напряжений [3,52,53] в кончиках трещин.
С каждой из трещин свяжем свою, локальную систему координат, ориентированную относительно трещины так, как показано на рисунке Ш. Пусть/- номер трещины.(/ принимает целые значения в интервале от 1 до N, где N- количество трещин). Длина трещины -2а0) (номер трещины ниже везде будет фигурировать как индекс в скобках).
Так как поставленная задача - линейная, то для нее справедлив принцип суперпозиции. Поэтому будем искать решение краевой задачи -поле напряжений как сумму номинальных напряжений, то есть тех, которые были бы в плоскости в отсутствие трещин, и напряжений, возникающих в плоскости от действия некоторых, пока неизвестных, нагрузок, приложенных к сторонам трещин, при том условии, что все трещины рассматриваются как изолированные трещины в плоскости (см. приложение). Поле напряжений записывается в виде: Индекс 0 относится к номинальным напряжениям. Отметим, что, так как напряжения от действия сил, приложенных к сторонам трещин, исчезают на бесконечности (см. приложение), граничные условия на бесконечности при представлении решения в виде (2.1) всегда удовлетворяются.
Соотношение (2.1) справедливо в любой из упомянутых локальных систем координат, все они декартовы и получаются одна из другой путем параллельного переноса и поворота осей. Пусть равенство (2.1) отнесено к некоторой/-ой локальной системе: координат, связанной с/-ой трещиной. Выделим из него нулевое и/-ое слагаемое:
