Содержание к диссертации
Введение
1. Волны разрыва в термоупругой среде 12
1.1. Основные дифференциальные уравнения термоупругости
1.2. Кинематические и геометрические условия совместности на поверхности разрыва 22
1.3. Разрывные решения связанных динамических задач термоупругости 25
2. Распространение волн разрыва в трехмерной связанной термоупрутой среде 32
2.1 Интенсивности волн разрыва в термоупругом материале 32
2.2. Исследование безвихревых волн разрыва 38
2.3. Исследование эквиволюминальных волн разрыва 50
2.4. Общие соотношения лучевого метода 53
3. Некоторые конкретные задачи 62
3.1. динамическая задача нагревания связанного термоупругого полупространства тепловым потоком 62
3.2. Динамическая задача нагревания связанного термо-упрутого полупространства гауссовым потоком энергии 70
3.3. Решение одномерных задач термоупрутости лучевым методом 92
3.4. Динамическая задача нагревания шара двумя гауссовыми потоками 109
Список использованной литературы
- Кинематические и геометрические условия совместности на поверхности разрыва
- Разрывные решения связанных динамических задач термоупругости
- Исследование эквиволюминальных волн разрыва
- Динамическая задача нагревания связанного термо-упрутого полупространства гауссовым потоком энергии
Введение к работе
В последние 15-20 лет технически создан ряд систем, позволяющих создать большие поля энергии на определенные поверхности. При этом происходит возбуждение волн напряжений. Изучением взаимодействия поля деформаций и поля температур занимается область механики - термоупругость. Существенное развитие этой отрасли знания связано с важными проблемами, возникающими при разработке новых конструкций в самолетостроении, ракетной технике,, ядерной энергетике, металлургии, химической промышленности. Задачи термоупругости находят применение при разработке неразрушающих методов контроля, при лабораторном моделировании условий входа космических объектов в плотные слои атмосферы планет с высокой скоростью, то есть там, где конструкции работают в условиях неравномерного нестационарного нагрева. Знание величин термических напряжений позволяет оценить прочность и надежность конструкции. Все это указывает на практическую важность получения решений задач термоупругости. Нахождение решений динамических задач термоупругости актуально в связи с успехами экспериментальных исследований быстропротекающих процессов нагрева твердого вещества короткими импульсами оптических квантовых генераторов.
Современная термоупругость развилась из раздела теории упругости о стационарных напряжениях, и в настоящее время базируется на основных положениях термодинамики необратимых процессов. Толчком к таким исследованиям послужила работа Био / 102 /, в которой был дан вывод основных соотношений и уравнений на основе термодинамики необратимых процессов. Но, необходимо отметить, что закон Дгоамеля-Неймана, обобщающий закон Гука на случай термоупругости, получен в прошлом веке / 37 /.
Исследованиям в области термоупругости предшествовали ис следования по теории температурных напряжений, в которой не учитывается влияние поля деформаций на поле температур. Это упрощение позволяет определить на первом этапе температурное поле методами теории теплопроводности, систематическое изложение которых можно найти в монографиях А.В.Лыкова / 50 /, Карелоу и Егера / 34 /. Методы решения нелинейных задач теплопроводности приведены в работе Л.А.Коздобы / 38 /. Методы решения задач теории температурных напряжений изложены в монографиях В.М.Майзеля / 53 /, Кольского / 39 /, Мелана и Паркуса / 56 /, Паркуса / 70 /, Новац-кого / 64 /, Боли и Уэйнера / 10 /, А.Д.Коваленко / 37 /.
Динамическая задача впервые была решена В.И.Даниловской / 23 /. В работе рассматривалась одномерная задача для полупространства, находящегося в начальный момент при нулевой температуре, а на границе поддерживается постоянная температура. В работе / 24 / В.И.Даниловской рассмотрена динамическая задача для полупространства, на границе которого осуществляется теплообмен по закону Ньютона. Позднее в работе / 25 / В.И.даниловская обобщила результаты работы / 23 /, принимая во внимание прогрев лучистым потоком. Задача решена в предположении, что поглощательная способность материала убывает с глубиной по экспоненциальному закону. В отличие от работы / 23 / Штернберг и Чакраворти / 121 / рассмотрели случай, при котором температура на поверхности изменяется не скачкообразно, а возрастает по линейному закону во времени. Получено, что динамический эффект сильно сказывается при то малых временах нагрева (порядка 10 х с). Короткие импульсы оптических квантовых генераторов могут иметь такую малую длительность / 8 /. Влияние продолжительности коротких тепловых импульсов на плоские волны напряжений рассматривались в работе Рауша / 75 /. Результаты первых измерений упругих волн напряжений сообщаются в работе Персиваля / 71 /. Тепловые волны напряжений, возбуждаемые ступенчатым тепловым потоком, рассмотрены в работах Гримадо / 18 / и Синга / 119 /.
В ряде работ /58, 84, 85, 92 / предполагается, что тепло поглощается в слое конечной глубины. Это эквивалентно действию внутри твердого тела источников тепла. Уменьшение глубины проникновения приводит к возрастанию максимальных напряжений. На малых глубинах напряжения являются сжимающими, а на больших глубинах - растягивающими.
Первое решение связанной задачи термоупругости было получено Боли и Толинсом / 9 /. В работе рассматривается задача для стержня, к свободному концу которого прикладывается деформация, а температура на поверхности поддерживается постоянной. В работе / 28 / Диллон рассмотрел термоупругость при параметре связанности материала о = I. Для большинства материалов параметр связанности значительно меньше единицы. Однако существуют материалы / 109 /, для которых коэффициент термомеханической связи равен 0,5. Поэтому использование приближения 0=1 так же обоснованно, как и 0 = 0. Решение связанных задач термоупругости методом возмущений рассмотрено в работах / II, 91, 112 /, методом функции Грина - в работах / 106, 116, 120 /, вариационным методом -в работе / 63 /. Вопросам термоупругости посвящено значительное число исследований. В обзорном докладе / 67 / рассматриваются связанные поля, для которых система дифференциальных уравнений является гиперболической по отношению к одним неизвестным функциям и параболической по отношению к остальным. Характерная особенность связанных задач термоупругости состоит в том, что термоупругие волны напряжений затухают и подвержены дисперсии, что соответствует действительному распространению волн. Напряжения, рассчитанные по теории температурных напряжений дают значения большие, чем полученные по теории связанной термоупругости. Од нако Диллоном / 27 / получено, что напряжения в связанной задаче об ударе двух стержней с постоянной скоростью превышают напряжения, распространяющиеся в несвязанном материале. Первой монографией по теории связанной термоупругости явилась работа Новацкого / 65 /. В монографии / 83 / даны доказательства теорем существования и единственности решений основных краевых задач для дифференциальных уравнений связанной терме-упругости.
Параболические уравнения теплопроводности приводят к тому, что часть решения растягивается до бесконечности. То есть, если изотропная однородная упругая сплошная среда подвергнута механическому или тепловому возмущению, то результат возмущения будет ощущаться на расстояниях, бесконечно удаленных от их источников. Так как уравнения связаны, то этот результат будет ощущаться и в температурной области и в области перемещений. Физически это означает, что часть возмущений имеет неограниченную скорость распространения. Другой парадокс, как показали Баумайстер и Хамилл / 6 /, состоит в том, что в задаче для полупространства с заданной температурой поверхности тепловой поток на границе достигает бесконечности. Такое поведение недопустимо в физическом смысле. Однако показано / 103 /, что для многих практических задач термоупругости влияние конечности скорости распространения тепловой волны пренебрежимо мало. Классический закон Зурье можно использовать в теории квазистатических температурных напряжений при медленном изменении теплового воздействия. При изучении динамических температурных напряжений в деформируемых телах, когда инерциаль-ными членами в уравнениях движения нельзя пренебречь, зачастую необходимо учитывать, что тепло распространяется с конечной скоростью / 72 /. Честер / 105 / и Сю / 81 / показали, что учет конечной скорости становится важным при очень низких температурах или на временах, малых по сравнению со временем переходного про цесса. Из анализа экспериментальных данных / 100, 101, ИЗ, 114 / следует, что в жидком гелшгпри температурах ниже 2,2°К наблюдается волновой характер распространения тепла (второй звук). Согласно предложенной модели Л.Д.Ландау / 47 / тепловая волна представляет собой распространяющее возмущение плотности фононов. По этой теории, второй звук должен существовать во всех деформируемых твердых телах, поскольку у всех таких тел могут возбуждаться фононы. Инородные включения и дефекты, имеющиеся в большинстве тел, сильно рассеивают фононы, поэтому волновые процессы распространения тепла в твердых телах трудно наблюдать. Второй звук удается наблюдать в гелии и фтористом натрии по той причине, что эти вещества можно при низких температурах довести до исключительно чистого состояния / 62 /.
Авторы работ / 49, 108, 122 / путем введения в классический закон фурье характеристики изменения теплового потока одними из первых получили обобщенный закон теплопроводности, учитывающий величину скорости распространения тепла. Обсуждению и обоснованию гиперболического закона теплопроводности посвящены работы / 2, 12, 13, 17, 44, 46, 49, 51, 68, 69, 86, 87, 95, 107, III /. В работе / 118 / обсуждается возможность экспериментального наблюдения тепловых импульсов в диэлектрических веществах, а в работе / 104 / используется гиперболическое уравнение теплопроводности для того, чтобы истолковать экспериментальные результаты распространения тепловых импульсов в кристаллах.
Впервые обобщенную связанную динамическую задачу термоупругости изучал Попов Е.Б. / 73 /. Он рассматривал задачу для полупространства, на свободной границе которого задается температура. В дальнейшем задачу для полупространства рассматривали Норвуд и Уоррен / 115 /, Лорд и Лопез / НО /, Г.А.Кильчинская / 35 /, Р.И.Швец и А.А.Лопатьев / 94 /, В.И.Крылович и Дербан / 45 / для слоя - Навал И.К. / 60 /, для пространства со сферической полостью и цилиндра Ведхевен / 123, 124 /. Несвязанные обобщенные задачи рассматривались в работах / 3, 16, 33, 40, 41, 57, 59, 76, 77, 90 /. В 1976 году вышла первая монография Я.С.Подстрига-ча и Ю.М.Коляно по обобщенной термомеханике / 72 /. Вышедшие в последнее время работы / 32, 36, 42, 61, 78-80, 93 / показывают, что интерес к задачам обобщенной термоупругости не ослабевает. Несмотря на большое количество исследований слабо развиты и малоэффективны общие методы получения аналитических решений многомерных задач термоупругости. При рассмотрении быстропротекающих процессов общие аналитические методы требуют дальнейшего развития.
Настоящая работа посвящена развитию аналитических методов решения пространственных динамических задач обобщенной связанной термоупругости. Единым методом исследуются тела различной геометрической формы. Сходимость метода не обсуждается. С помощью разрывных решений определяются поля напряжений, температур, тепловых потоков и скоростей перемещений во всей области за поверхностью разрыва при малых временах. Рассмотрению разрывных решений одномерных задач термоупрутости посвящены работы Ахенбаха /98, 99 / и Ю.К.Энгельбрехта / 96 /.
В первой главе рассматриваются волны разрыва в термоупругой среде. После вывода основных дифференциальных уравнений термоупругости (п.1.1) приводятся кинематические и геометрические условия совместности К -того порядка (п.1.2).
В п.1.3, используя кинематические и геометрические условия совместности, получено, что в связанном термоупругом материале распространяются два фронта разрыва безвихревых волн и фронт разрыва эквиволюминальной волны. Получены выражения для определения скоростей этих волн (для несвязанного термоупругого материала скорость безвихревой волны совпадает со скоростью продольной упругой волны). Приведены также соотношения для разрывов физических параметров, которые выполняются на поверхностях разрыва. Из этих соотношений следует, что разрывы температуры и вектора теплового потока на фронте эквиволюминальной волны обращаются в нуль.
Во второй главе исследуются безвихревые и эквиволюминальные волны разрыва в трехмерной термоупругой среде.
В п.2.1 получены разрывные решения в динамической задаче термоупругости. Дифференциальные уравнения изменения интенсивности волн разрыва на безвихревой волне и изменения разрывов вектора скорости перемещений разрешимы в общем случае, то есть без задания геометрии поверхности разрыва. Из решений следует, что уменьшение интенсивности волн разрыва определяется двумя факторами: геометрической расходимостью и связностью уравнений. Если волновые поверхности образуют семейство параллельных плоскостей, то интенсивность безвихревых волн в процессе их распространения в термоупругой среде затухает по экспоненте. Разрывы же эквиво-люминальных волн, распространяющихся в термоупругом и упругом материалах, изменяются одинаковым образом, то есть зависят только от геометрии поверхности разрыва.
В п.2.2 выведены дифференциальные уравнения затухания безвихревых волн разрыва для нормальных составляющих производных по нормали вектора перемещений первого и второго порядков и выписаны разрывы производных по нормали физических параметров (температуры, напряжения, скорости перемещений и теплового потока). Для случая плоского фронта разрыва выписаны решения дифференциальных уравнений затухания. Из решений и соотношений на разрыве фронта безвихревых волн следует, что нормальные производные физических параметров затухают по экспоненте. Показатели экспо ненты для производных по нормали первого и второго порядков совпадают с показателем интенсивности безвихревой волны. Если пренебречь эффектом связанности, то нормальные производные физических параметров не затухают при распространении фронта безвихревой волны.
В п. 2.3 выведены дифференциальные уравнения изменения разрывов первых и вторых производных по нормали вектора скорости перемещений на фронте эквиволюминальной волны, а также выписаны соотношения для разрывов нормальных производных физических параметров. Из соотношений следует, что на фронте эквиволюминальной волны разрывы первых и вторых производных по нормали для температуры и вектора теплового потока обращаются в нуль. Для случая плоской поверхности разрыва получены решения дифференциальных уравнений, из которых видно, что эквиволюминальные волны не затухают по экспоненте, как это наблюдается при распространении безвихревых волн.
В п.2.4 получено решение в виде лучевого ряда для случая распространения трех волновых поверхностей. Лучевое разложение представляется в виде трех сумм, в каждой из которых входят разрывы, относящиеся к одной волновой поверхности. Здесь же получены рекуррентные соотношения для определения членов лучевого ряда.
Глава 3 посвящена решению некоторых динамических задач термоупругости. В п.3.1 методом характеристик получено решение одномерной связанной динамической задачи. В п.3.2 рассматривается трехмерная связанная динамическая задача для полупространства, нагреваемого гауссовым потоком. Получено аналитическое решение с точностью до малых третьего порядка относительно расстояния по нормали от фронта волны. В п.3.3 сравнивается решение динамической задачи для несвязанного термоупругого материала, полученное лучевым методом, с точным решением, полученным с помощью интег рального преобразования Лапласа. Анализ результатов расчетов показывает, что для малых времен точность лучевого разложения с учетом трех членов разложения составляет один процент. Рїсследо-вание коэффициента термомеханической связи и времени релаксации теплового потока указывает на существенное влияние этих параметров на значения волн напряжения вблизи поверхности разрыва. В п.3.4 рассматривается трехмерная связанная динамическая задача для шара, нагреваемого двумя колоколообразными тепловыми потоками. Получено, что разрушение поверхности тела в начальный момент времени не зависит от геометрии поверхности. На защиту выносится:
1. Формулировка общих соотношений на поверхностях разрыва в трехмерных термоупругих средах, имеющих конечную скорость распространения тепла.
2. Построение лучевым методом решения задач для рассматриваемой среды.
3. Исследование возможностей применения этого метода путем сравнения решений, полученных методом характеристик, и в частном случае точного решения с лучевыми разложениями.
4. Анализ влияния коэффициента термомеханической связи и времени релаксации теплового потока на распределение напряжений вблизи поверхности разрыва.
5. Решение задач о внезапном действии колоколообразных тепловых потоков на поверхности полупространства и шара.
6. Установление возможности разрушения этих поверхностей до оплавления.
В заключение автор считает своим долгом выразить благодарность доктору физико-математических наук Быковцеву Геннадию Ивановичу за постоянное внимание и помощь, оказанные при работе над диссертацией.
Кинематические и геометрические условия совместности на поверхности разрыва
Применение геометрических и кинематических условий совместности позволяет проследить за распространением, ростом и затуханием разрывов физических параметров в материальных средах. Систематическому изложению математической теории разрывов в сплошной среде и применению этой теории к проблемам пластического течения и разрушения посвящена монография Томаса / 82 /. В работе Томаса рассмотрены условия совместности для разрывов производных физических параметров первого и второго порядков. Г.И.Быков-цевым / 5 / обобщены эти соотношения на случай производных функций любого порядка.
Рассмотрим в декартовой системе координат некоторую подвижную поверхность Lit) , координаты которой в любой момент времени имеют вид Хі=Хі%Л) . Здесь - криволинейные координаты на поверхности, которые выбраны так, что вектор Х-[Ц±91) направлен по нормали к поверхности 2J(T) , т.е. СС-Ші}і) С У- , где С - скорость распространения поверхности Z(r) в направлении нормали, У- - единичный вектор нормали к поверхности 2-,(1),
Пусть функция liX. t) непрерывна и имеет непрерывные производные до к -го порядка в каждой из областей V и V , прилегающих к поверхности Lit) с двух сторон. Частные производные функции 9 связаны с производными по криволинейным координатам /Л соотношениями
Здесь у - контравариантный метрический тензор, индекс П обозначает дифференцирование по нормали к поверхности, -яг- о-- производная по времени. На поверхности ZwT) функция I и ее производные до К -го порядка могут претерпевать разрыв. Поверхность разрыва будем интерпретировать как движущийся слой толщины см при ц— U , в котором величина изменяется от .? до значения і монотонно и непрерывно.
Математическая постановка динамической связанной задачи термоупругости (1.37) предполагает непрерывность неизвестных функций, начальных условий и их производных. Такое предположение является сильным ограничением. При быстрых динамических процессах физические параметры в некоторой области представляют собой резкоизменяющиеся во времени и пространстве функции, которые удобно аппроксимировать разрывами. Необходимость предельных переходов отпадает, если основные физические уравнения формулировать в интегральном виде. Физические задачи, как правило, первоначально формулируются в интегральном виде, откуда вытекают как дифференциальные уравнения в частных производных, так и условия на разрывах.
Будем предполагать, что в термоупругой среде существуют подвижные поверхности 2(1) разрыва физических параметров. Предполагается, что при переходе через поверхность 1 Л) функции перемещения LIJ(X-,L) изменяются непрерывно, т.е. поверхность Lit) не является поверхностью разрыва среды. Производные функции 11ЛХ-Л) по координатам Г. и времени t могут испытывать скачкообразные изменения. Если производные по ОС. и I до к-1 порядка включительно непрерывны при переходе через поверхность, а хотя бы одна производная по Х- или г порядка К разрывна, то такая поверхность называется поверхностью разрыва К -го порядка. Если наблюдается разрыв первого порядка, то говорят, что распространяется волна сильного разрыва. При разрыве порядка к 2 волна называется волной слабого разрыва. Поверхность lib называется фронтом волны разрыва. Следовательно, если на фронте волны разрыва хотя бы одна функция напряжения, приращения температуры, теплового потока или скорости перемещения имеет разрыв, то волна является волной сильного разрыва. Если перечисленные функции непрерывны при переходе через поверхность 2 (Г) , но хотя бы одна из первых производных разрывна, то такая волна называется волной слабого разрыва или волной ускорения. Как отмечалось в предыдущем параграфе, под поверхностью разрыва понимается движущийся слой толщины с Н при в котором ограниченная величина Р изменяется от значения до значения f монотонно и непрерывно. Условимся, что индекс плюс относится к значению функции перед фронтом волны разрыва, индекс минус - к значению функции за фронтом волны.
Разрывные решения связанных динамических задач термоупругости
Совершим предельный переход при для фиксированного момента времени . Подинтегральные функции в правых частях уравнений ограничены, поэтому при стягивании интервала интегрирования в точку интегралы в правой части обращаются в нуль
Здесь для обозначения разности значений некоторой величины і на различных сторонах от поверхности используется знак
Дяя того, чтобы система однородных уравнений (1.44)-(1.47) имела нетривиальные разрывные решения, необходимо, чтобы определитель системы (1.44)-(1.47) обращался в нуль. Из этого условия можно определить скорость волновой поверхности. Дяя этого умножим уравнение (1.45) на -У. , просуммируем по индексу і и сложим с уравнением (1.46), умноженным на Т0С . Умножим уравнение (1.47) на t , просуммируем по индексу / и сложим с уравнени J -29-ем (1.44), умноженным
Умножим уравнение (1.48) на СУ1 Л и сложим с уравнением (1.49), умноженным на X — ТГГ Предполагая, что . не обращается в нуль на поверхности 2(1) , умножим уравнение (1.50) на І- и просуммируем по повторяющему индексу і . Получим, что скорость распространения поверхности разрыва удовлетворяет биквадратному уравнению Квадраты корней будут действительны и положительны (15І) Здесь запятая не означает дифференцирование. Обозначим СО-lf.1 У; . Подставляя С = С в уравнение (1.50), получим равен-ство [ІГА-ОЗУ1. , которое всегда справедливо при [V Jf. u,
На поверхности Щ-7 = 0, т.е. поверхность 2J(I) не есть поверхность трещины или поверхность проскальзывания. Используя кинематические и геометрические условия совместности первого порядка (I.4I) и (1.42), получим ГЦ =-— И Если среда перед фронтом волны находится в невозмущенном состоянии, то т.е. вращение непосредственно за фронтом волны отсутствует. Волны такого типа называются безвихревыми. Из системы (1.44)--(1.47) следует, что на фронте безвихревой волны выполняются соотношения
В отличие от упругого материала / 82 /, в термоупругой среде образуются два фронта разрыва безвихревых волн, которые распространяются с различными скоростями. Для несвязанного тер Т моупругого материала ( \Q =0) образуются фронт разрыва упругой волны, который распространяется со скоростью ii-i(K + CJi\)ip , и фронт разрыва тепловой волны, который распространяется со скоростью С = УА0/(ТоС ) .
С другой стороны, если Г Ц=ь/ , то из формулы (1.50) следует, что Cz = Ір/О . С помощью кинематических и геометрических условий сошестности аналогично показывается, что изменение объема при прохождении фронта волны, распространяющейся со скоростью С » отсутствует. Волны такого типа называются экви-волюминальными.
Из этих соотношений видно, что на фронте эквиволюминальной волны существуют скачки напряжений и скоростей перемещений и отсутствуют скачки теплового потока и температуры. Выводы
1. Сформулированы соотношения на поверхностях разрыва в трехмерной термоупругой среде, имеющей конечную скорость распространения тепла.
2. Доказано, что в этой среде могут иметь место три разновидности поверхностей разрыва: две безвихревых волны и одна эк-виволюминальная. Вычислены скорости распространения этих волн.
3. Исследованы связи скачков физических параметров на каждом типе поверхностей разрыва. На фронте эквиволюминальной волны всегда отсутствуют скачки теплового потока и температуры.
Исследование эквиволюминальных волн разрыва
В общем случае система уравнений (2.46) не поддается решению, так как контравариантный метрический тензор поверхности неизвестен. Если метрический тензор равен символам Кронекера, то решение имеет вид Общие соотношения лучевого метода
Решение волновых задач лучевым методом в теории упругости изложено в работе / І /, в одномерной вязко-упругой среде - в работе / 97 /, в газовой динамике - в работе / 14 /, в трехмерной упруго-вязко-пластической среде - в работе / 5 /. Лучевой ряд имеет вид где h - расстояние по нормали за фронтом поверхности сильного разрыва. Ранее было получено, что в термоупругом материале распространяется три фронта волн сильного разрыва. Построим решения за третьим фронтом волны сильного разрыва. Если среда находится в невозмущенном состоянии За первым фронтом волны сильного разрыва значение функции I определяется по формуле
Дифіеренцируя (2.49) ffl раз по нормали к поверхности и подставляя h-ц , где UL - расстояние между поверхностями разрыва 2А и Z2 , получим выражение для определения значения нормальной производной /77 -го порядка на переднем фронте второй волны сильного разрыва
Подставляя это выражение в лучевой ряд (2.48), получим выражение для определения значения функции .. за фронтом второй волны разрыва
Обозначим через И - расстояние между поверхностями разрыва 2- и Z3 . Дифференцируя выражение (2.50) ft) раз по нормали к волновой поверхности и подставляя П erL » получим выражение для определения значения нормальной производной )П -го порядка на переднем фронте третьей волны сильного разрыва
Подставляя это выражение в лучевой ряд (2.48), упрощая двойные суммы, получим выражение для определения значения функции і за фронтом третьей волны разрыва
Таким образом, уравнения (2.65) и (2.67) представляют собой дифференциальные соотношения, из которых по известным определяются величины Ц, на фронте безвихревой волны и 11/4. n j на фронте эквиволюминальной волны, eны нулевого порядка СО и [1Г-] определяются из соот-ношений (2.16), (2.17). Зная величины )п и 1 и... - можно из соотношений (2.64) определить разрывы тензора напряжений, температур, вектора теплового потока и вектора скоростей перемещений на фронтах эквиволюминальной и безвихревых волн. То есть, можно определить члены лучевых разложений для этих физических параметров. Следовательно, используя лучевой ряд (2.51),
1. Изучено поведение скачков величин можно определить значения этих функций за фронтами волн сильного разрыва.физических параметров связанной термоупругой задачи в процессе распространения поверхностей разрыва.
2. Показано, что изменение интенсивности безвихревых волн определяется геометрической расходимостью поверхности разрыва при ее распространении и связанностью уравнений. Изменение интенсивности эквиволюминальных волн определяется только геометрической расходимостью.
3. Затухание, вызванные связностью термоупругих соотношений, накладывается на геометрическое затухание в виде экспонентциаль-ного множителя.
4. Для разрывов нормальных производных первого и второго порядка физических параметров получены формулы, определяющие поведение этих разрывов в процессе распространения.
5. Получены рекуррентные соотношения для определения членов лучевого ряда.
Рассматривается упругое изотропное пространство, на свободной границе которого действует тепловой поток Q jO,t) » который в течение времени "Го растет до величины rQ , а дальше остается постоянным.
Основными определшопцши уравнениями, описывающими поведение среды, являются уравнение движения, обобщенный закон Зурье, уравнение баланса энергии, обобщенный закон Гука
Динамическая задача нагревания связанного термо-упрутого полупространства гауссовым потоком энергии
То есть, основной вклад в изменение температуры дает второй фронт термоупругой волны. Интересно отметить, что до прихода второго фронта температура убывает. На глубине Х = I она уменьшается на 24$, а на глубине X = 3 - на 38$. Это можно объяснить тем, что уменьшение сжимающих напряжений сопровождается охлаждением материала. Сравнение значений для температуры и напряжения показывает, что превышение предела прочности материала н/м наступает раньше, чем достижение темпе Ог Т = ратуры плавления /. = 658UC, что важно для определения несущей и способности конструкции. Графики зависимости (рис.4) для напряжений б"и от времени t ( Х±- К , X = XL = 0) показывают, что наибольший вклад в разрушение материала дают радиальные напряжения.
Из соотношений (3.16), (3.21) и (3.24) с помощью лучевого ряда (2.52) можно получить . Можно показать, что k L . функция Ф(Х ) принимает максимальное значение в точке Т = І в момент времени ц = 2,0 при к 1 (для алюминия К = 91).
Разлагая функцию 9 0(- 2Г) , входящую в напряжение 6 и изменение температуры в ряд Тейлора и сохраняя члены до третьего порядка, получим аппроксимационные зависимости для радиального напряжения и изменения температуры на границе ( Xt -= =0).
Решение одномерных задач термоупругости лучевым методом
В данном параграфе рассматриваются две динамические задачи нагревания упругого полупространства тепловым потоком. Для несвязного материала лучевое решение сравнивается с решением, полученным с помощью интегрального преобразования Лапласа. Для связного материала решение в виде лучевого ряда сравнивается с решением задачи, полученным методом характеристик.
Для несвязной задачи термоупрутости можно определить сначала температуру и тепловой поток, а затем - напряжение и скорость перемещений.
Рассмотрим сначала поверхность разрыва Z,L , распространяющейся со скоростью С1 . Обозначим [Q и1 nt Исклю-чая из первых двух уравнений системы (3.28) разрыв и полагая С=( , получим дисо вренциальное уравнение затухания
Разлагая модифицированную функцию Бесселя нулевого порядка в асимптотический ряд при Г = 0, можно получить известные решения Гримадо / 18 / для температуры и напряжения в динамической задаче термоупругости с классическим законом теплопроводности
На рис.5 проиллюстрировано решение для напряжений (3.51) на глубине Х3 = I для различных времен релаксации теплового потока. Штриховой линией изображено решение Гримадо / 18 /. В отличие от решения Гримадо, напряжение, получаемое с учетом инерции теплового потока, имеют два фронта разрыва. Из рис.5 видно, что вблизи этих фронтов напряжение максимально и влияние времени релаксации на напряжение существенно.
На рис.6 сравнивается точное решение (3.51) с лучевым решением (3.48) для напряжений на глубинах Х3 = I; 3 при 1 = 3 и г0 = I. Штриховыми линиями изображены напряжения, полученные лучевым методом. При Х3 = I значения напряжений отличаются на один процент и графики, изображенные на рис.6, почти совпадают. При Х3 = 3 графики отличаются. Объясняется это тем, что для уточнения решения необходимо учитывать большее количество членов лучевого разложения. Наибольшее напряжение наблюдается с приходом первого фронта волны разрыва. На этом участке значения полностью совпадают. Это выполняется для всех глубин.
