Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Постановка 19
1.1 Дифференциальная постановка контактной задачи с трением 19
1.1.1 Упругий потенциал 22
1.2 Вариационная постановка контактной задачи с трением 24
1.2.1 Исследование функционала на шаге по нагрузке 29
1.2.2 Учет ограничений в виде неравенств 34
ГЛАВА II. Численная реализация задачи 44
II.1 Построение алгоритма решения 44
II.2 Конечноэлементная реализация и уточнение решения 50
II.2 Структура программы 55
ГЛАВА III. Тестирование алгоритма 58
III. 1 Плоская однородная осадка прямоугольного бруса 58
III.2 Сравнение с задачей Герца 64
III.3. Кручение цилиндрических тел конечных размеров 67
III.3.1 Тестирование алгоритма 69
III.3.2 Постановка задачи о кручении сплошного короткого цилиндра 73
Выбор вида представления результатов 75
Сравнение осевой силы и крутящего момента для слабосжимаемого и несжимаемого материалов при кручении цилиндра за бесконечно тонкий поясок 78
III.3.3 Анализ влияния условий кручения для цилиндрических образцов .79
Кручение цилиндра за пояски различной толщины, кручение за торцы. 79
Кручение цилиндра за поясок для материалов с различными упругими потенциалами 82
III.3.4 Кручение реального образца 84
III.3.5 Выводы по разделу 90
ГЛАВА IV. Комплексное исследование структурной ячейки зернистого эластомерного композита 92
IV.1 Цилиндрическая модель ячейки при наличии межфазного трения 94
IV. 1.1 Параметры ячейки 97
IV. 1.2 Влияние параметров модели на сопротивление ячейки растяжению 98
IV. 1.3 Влияние параметров модели на прочностные характеристики ячейки 100
IV.2 Цилиндрическая модель ячейки с изначально вклеенным включением при наличии межфазного трения 107
IV.2.1 Расчетные параметры ячейки 109
IV.2.2 Влияние параметров модели на сопротивление ячейки растяжению 110
IV.3 Модель гексагональной призматической ячейки с вложенным включением 114
IV.3.1 Тестирование алгоритма решения трехмерной задачи 122
IV.3.2 Гексагональная ячейка и ее цилиндрические аналоги 123
IV.3.3 Растяжение ячеек с различной долей твердой фазы 130
IV.4 Выводы по главе 133
Заключение 136
Список литературы 138
- Вариационная постановка контактной задачи с трением
- Конечноэлементная реализация и уточнение решения
- Кручение цилиндра за поясок для материалов с различными упругими потенциалами
- Модель гексагональной призматической ячейки с вложенным включением
Вариационная постановка контактной задачи с трением
В настоящее время разработано большое количество численных методов решения контактных задач. Достаточно полное их содержание опубликовано в работах [86, 117]. В [84] рассматриваются различные алгоритмы задач качения, в частности при контакте колеса с рельсом.
Следует отметить, что при численной реализации как задач механики деформируемого твердого тела, так, в частности, и контактных задач наиболее распространенными методами являются: метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов (МГЭ).
В работах [107, 112, 116], для решения различных контактных задач используется МГЭ. В соответствии с ним, в первую очередь, находится решение на границе, которое затем аппроксимируется на всю исследуемую область. В работе [107] рассматривается основанный на МГЭ алгоритм инкрементального нагружения, в пределах каждого шага которого по приращению внешнего воздействия тип граничных условий не меняется. В [116] производится построение граничноэлементной процедуры при решении обратной задачи теории упругости. В [112] разработан граничноэлементный метод решения задачи изгиба тонкой пластины об однородное упругое основание.
Однако наиболее популярным в настоящее время остается МКЭ. Именно он использован для решения различных контактных задач в работах [79, 80, 99, 105, 108, 109, 111, 114]. В [79] рассматривается контактная задача линейной теории упругости для тела произвольной геометрической формы. В [105] предлагается новый подход к решению задач о контакте двух тел, исходная задача заменяется на две задачи о контакте одного из тел. В [114] решается плоская контактная задача термоупругости. В [108] рассматриваются две модификации МКЭ, позволяющие решать контактную задачу с несимметричной конечноэлементной матрицей, путем использования итерационной процедуры с симметричными матрицами на каждом шаге. В [80] производится построение контактного элемента, который должен упростить построение конечноэлементной процедуры решения. В [109] рассматривается упрощенная процедура для решения контактных задач эластостатики в рамках малых деформаций. В [111] основываясь на теории вариационных неравенств, при использовании МКЭ, строится процедура численного решения контактной задачи.
В последнее время, в связи с бурным развитием вычислительной техники, особое внимание уделяется развитию методов и алгоритмов, а также решению конкретных задач контакта тел, которые в процессе нагружения испытывают большие деформации. Приведем лишь некоторые работы данного направления.
В [41], с учетом геометрической нелинейности, производится постановка контактной задачи, которая, впоследствии, сводится к вариационному неравенству, решаемому численно методом конечных элементов. В [82] решена задача контакта двух сжимаемых тел в рамках конечных деформаций. В работе [90] представлен алгоритм для гранично-элементного анализа двумерной контактной задачи между двумя упругими деформируемыми телами, при этом контактные ограничения прикладываются не между узлами, а между узлом и границей элемента другого тела. Таким образом, дискретизации двух тел могут быть различными. Работа [89] посвящена построению альтернативного вариационного подхода, который позволяет избежать, возникающей в ряде случаев, осцилляции решения на поверхности контакта. Авторы статьи [67] демонстрируют способ построения эффективного итерационного трехмерного алгоритма расчета контакта как упругого тела с жестким штампом, так и двух деформируемых тел. В работе [91] рассматривается использование теории вариационных неравенств при построении конечноэлементного алгоритма решения контактных задач для оболочек.
Отдельно выделим ряд работ [78, 106, 113, 118], посвященных контакту тел из эластомерных (резиноподобных) материалов: в работе [106] изучается роль адгезии на силу трения, при контакте вязкоупругого материала с шероховатой поверхностью; в [ИЗ] разрабатывается трехмерная конечноэлементная модель автопокрышки; в работах [78, 118] различными методами исследуется контакт плоского резинового клина с жестким разрезом. Основным и наиболее существенным недостатком этих работ является принятие гипотезы о несжимаемости материала, поскольку аппроксимация слабосжимаемого материала несжимаемым приводит к значительному огрублению решения в областях тела с сильно стесненными деформациями.
Из настоящего обзора видно, что не смотря на бурное развитие подходов и алгоритмов решения контактных задач при больших деформациях упругой среды, известно лишь малое количество работ, рассматривающих контакт тел из эластомерного материала. Существенным недостатком которых является отсутствие учета слабой сжимаемости эластомерного материала.
Конечноэлементная реализация и уточнение решения
Исследуется ячейка композита, состоящего из эластомерной матрицы, наполненной жесткими, равномерно упорядоченными по объему частицами твердой фазы. Полагается, что матрица композита является однородным изотропным упругим материалом. Включения считаются равными по размеру недеформируемыми шарами, расположенными в узлах примитивной гексагональной решетки [23], внедренной в матрицу. В качестве исследуемой ячейки композита выбирается шестигранная призматическая область матрицы с включением в центре. На рис. IV. 1 показана такая исследуемая ячейка и объединение ячеек в единый композит. Ячейка исследуется на растяжение вдоль оси симметрии и последующее сжатие, задаваемое постоянным вертикальным перемещением на верхнем и нижнем торцах. В процессе нагружения композит, состоящий из подобных ячеек, может подвергаться внешнему гидростатическому давлению. Из соображения плотной упаковки ячеек в единый композит следует, что при выбранном виде деформирования все стороны ячейки должны оставаться прямолинейными, а к боковым сторонам ячейки должны прикладываться усилия, средняя величина которых равна приложенному внешнему давлению (нулю при его отсутствии). Отметим, что для шестигранной призматической ячейки необходимо решать задачу в трехмерной постановке. Однако если ввести допущение, что вклад удаленных от включения областей матрицы мал, можно моделировать матрицу реальной ячейки вписанным в шестигранник цилиндром. Обоснование этого приведено в [47]. Тогда возможен переход к осесимметричной постановке задачи. На рис. IV.2 показана цилиндрическая ячейка и объединение таких ячеек в единый композит. Видно, что при таком моделировании ячейки мы пренебрегаем вкладом криволинейных треугольных призматических областей, что является основным недостатком данной модели.
В разделе 1 рассматривается цилиндрическая ячейка с плотно вложенным включением при наличии межфазного трения. В качестве закона трения выбраны экспериментально полученные в [94] соотношения. Исследуется изменение растягивающей силы и объема ячейки в процессе деформирования при различных величинах трения, внешнего гидростатического давления и объемной доли твердой фазы. Также исследуются величина максимального среднего напряжения в матрице и величина максимальной главной растягивающей деформации, являющиеся основными критериями разрушения композита.
В разделе 2 рассматривается цилиндрическая ячейка с изначально вклеенным включением также при наличии межфазного трения. В качестве закона трения выбраны экспериментально полученные в [94] соотношения. В процессе нагружения участки матрицы могут отрываться от включения и, после этого, вступать во фрикционный контакт с последним. Исследуется изменение растягивающей силы и объема ячейки в процессе деформирования при различных величинах трения и внешнего гидростатического давления. Проводится сравнение результатов, полученных для ячеек с плотно вложенным и изначально вклеенным включением.
В разделе 3 рассматривается реальная ячейка с плотно вложенным включением в отсутствии межфазного трения. Задача решается в трехмерной постановке с использованием методики параллельных вычислений. Проводится сравнение результатов, полученных при растяжении реальной ячейки и ее цилиндрической модели. Обосновывается выбор оптимальных эффективных размеров цилиндрической модельной ячейки. Ячейка композита моделируется изометрическим цилиндром (высота Я равна диаметру D) с упругой матрицей и плотно вложенным жестким шарообразным включением в центре. Матрица принимается изначально отслоенной, то есть между ней и включением отсутствуют адгезионные силы сцепления.
В силу симметрии можно рассматривается лишь четверть сечения ячейки (рис. IV.3), и задача решается в цилиндрической системе координат. Расчетная схема цилиндрической ячейки композита. поверхности включения или удерживаться на месте силами трения, что определяется соотношениями (7)—(12), где максимальное касательное усилие где Т, J3 — параметры нелинейного закона трения, причем Т имеет смысл максимального касательного напряжения, соотношение (IV.2) получено для бесконечно малой скорости нагружения [94].
В качестве расчетной была использована сетка из 49х9 пар треугольных конечных элементов, приведенная на рис. IV.4, с линейной аппроксимацией поля перемещений внутри отдельного элемента и с постоянной функцией h для пары смежных элементов.
Кручение цилиндра за поясок для материалов с различными упругими потенциалами
Рассмотренная в предыдущем разделе задача о поведении структурной ячейки зернистого композита была решена в предположении, что жесткое включение изначально вложено в матрицу без зазора и предварительного скрепления. В реальности между шаровым включением и упругим материалом матрицы существует адгезионная связь, в результате чего при деформировании такой системы отрыв связующего от жесткого включения происходит при определенной величине накопленной упругой энергии. Это обстоятельство привело к тому, что возникла необходимость решения задачи с учетом адгезионной прочности на границе матрица - жесткое включение.
Целью данного раздела является расчет ячейки с изначально вклеенным включением и сравнение результатов с данными, полученными для ячейки с вложенным включением. Ячейка также моделируется изометрическим цилиндром (высота Н равна диаметру D) - упругой матрицей с изначально вклеенным жестким шарообразным включением в центре.
Согласно [47], считаем, что существуют небольшие одинаковые области у верхнего и нижнего полюсов включения, где матрица изначально отклеена. При деформировании ячейки отрыв матрицы осуществляется путем постепенного прорастания этой области. Это предположение позволяет упростить процедуру построения решения, поскольку снимает необходимость решения задачи об условиях и месте зарождения трещины между матрицей и включением, а также о характере ее распространения. Критерием отрыва матрицы от включения служит критерий Гриффитса: отрыв происходит при достижении отношения приращения упругой энергии к единице отрываемой поверхности некоторого критического значения. Отметим что данный (энергетический) подход является несколько отличным от подходов используемых в работах [27, 37], которые базируются на использовании силовых критериев.
В силу симметрии рассматриваем четверть сечения ячейки (рис. IV.3). Граничные условия на поверхностях A B,BC,DE,CD имеют тот же вид, что и для ячейки с вложенным включением. На границе ЕА матрица изначально приклеена к включению (за исключением небольшой области вблизи точки А ). После отрыва точки могут как выходить из контакта с включением, так и вступать с ним в контакт. В последнем случае они могут скользить по поверхности включения или удерживаться на месте силами трения, что определяется соотношениями (I.7)-(I.12), (IV.2). Для описания граничных условий на поверхности ЕА введем криволинейную координату Я в недеформированной конфигурации вдоль ЕА, причем Х(Е) = 0, А(А) = 1. Определим параметр X, как координату раздела приклеенной и оторванной области. Тогда условия отрыва можно задать следующей системой неравенств: где W - удельная энергия упругой деформации матрицы, отнесенная к недеформированному объему, S(X) - площадь прикрепленной к включению части границы ЕА, Ес - энергия адгезионного отрыва [47]. Для точек поверхности ЕА определим: если Х Х, то выполняются соотношения (1.7)—(1.12), максимальное касательное усилие определяется из соотношения (IV.2). Для определения X используется следующая процедура: 1) На текущем шаге нагружения решается задача при X, полученном с предыдущего шага по нагружению. (Для численного определения частной производной W по X параллельно решается задача для X + АХ). 2) Если для полученной величины W выражение (IV.3) является справедливым, то X выбрано верно, т.е. на данном шаге матрица не отрывается от включения. Если нет, то задаем небольшой отрыв (ДА 0) и переходим к шагу 1. В силу конечноэлементной аппроксимации, АХ определяется размером отдельного элемента. IV.2.1 Расчетные параметры ячейки Исследуемая ячейка имеет следующие параметры: размеры ячейки: Н = 2 мм; D = 2 мм; жескостные характеристики: к, =0,5 МПа; а= — = 0,0779 МПа"1, что Хг соответствует модулю сдвига равному 1 МПа и объемному модулю равному 50 МПа; объемная доля твердой фазы ( р) = 30%, что соответствует включению с радиусом 0,766309 мм; здесь под объемной долей твердой фазы понимается отношение объема включения к объему всей цилиндрической ячейки; величина р =0 МПа, 1 МПа; параметры закона трения: (5 = 8 МПа"1; Т = 0 МПа (отсутствие трения), 0,5 МПа; максимальная величина U = 0,5 мм. Начальное условие Я о =0 (матрица не приклеена), 0,95 (матрица почти полностью скреплена с включением). В качестве расчетной была использована сетка из 39х6 пар треугольных конечных элементов, подобная приведенной на рис. IV.4, с линейной аппроксимацией поля перемещений внутри отдельного элемента и с постоянной функцией h для пары смежных элементов. IV.2.2 Влияние параметров модели на сопротивление ячейки растяжению На рис. IV. 14 - IV. 15 приведены зависимости величины F (силы сопротивления ячейки растяжению без учета гидростатической составляющей) от U. На рис. IV. 16 - IV. 17 приведены зависимости величины V/VQ от U, где V/V0 - отношение текущего объема ячейки к начальному (до приложения гидростатического давления). Под объемом ячейки понимается сумма объема матрицы, объема включения и объема образовавшейся между матрицей и включением вакуоли.
Модель гексагональной призматической ячейки с вложенным включением
Отметим, что приведенная здесь сетка является достаточно грубой и не может быть использована для получения приемлемых результатов. При этом, размещение необходимых матриц для решения задачи на такой сетке требует 18 Мбайт оперативной памяти (хотя разрешающая система уравнений хранится и обрабатывается в ленточном виде).
Для решения задачи на более точных сетках требуется значительное увеличение вычислительных затрат. В таблице IV. 1 приведен ряд сеток с соответствующими им двумерными аналогами и указано необходимое количество оперативной памяти для расчета.
Так сетка, являющаяся аналогом двумерной сетки из 38х6 пар треугольных конечных элементов будет иметь 6 слоев по 1083 элементом на каждом слое. Для работы с такой сеткой потребуется 1971 мегабайт оперативной памяти. Эта сетка, практически, является аналогом двумерной сетки, которая использовалась в разделе 2 и занимала 3 мегабайта памяти. Отметим, что 18 мегабайт памяти (требуемых для расчетов на сетке рисунка IV. 19) при решении задач в двумерной постановке достаточно для размещения сетки из 210х6 или сетки из 110х 12 пар треугольных конечных элементов.
Таким образом, для построения решения пространственной контактной задачи необходимо значительное увеличение вычислительных ресурсов по сравнению с решением той же задачи в двумерной постановке. Очевидно, что на данном этапе развития вычислительной техники получить приемлемое решение с помощью персонального компьютера невозможно. Поэтому возникла необходимость использовать методику параллельных вычислений для решения поставленной задачи. Для расчетов была использована многопроцессорная машина МВС-1000, которая относится к классу машин с распределенной памятью и имеет каналы для передачи данных между отдельными вычислительными узлами. Для программной реализации был использован язык программирования "С-Н-" с интегрированной библиотекой "MPI", предоставляющей средства обмена данными между вычислительными узлами.
Параллельный алгоритм решения задачи имеет следующие особенности. 1. Все шаги по внешней нагрузке и по алгоритму Удзавы производятся одновременно всеми используемыми процессорами системы. 2. Матрица жесткости храниться раздельно на всех вычислительных узлах. Благодаря этому размеры конечноэлементной сетки определяются суммарным объемом памяти всех используемых в расчете вычислительных узлов. При хранении используется следующая схема. Если в расчете участвует N узлов, то і-й узел получает все строки матрицы жесткости с номерами N j+i (j=0,1,2,3...). Другими словами, строки матрицы жесткости последовательно (по одной строке) распределяются между всеми вычислительными узлами. Для решения системы уравнений использован метод решения ленточных систем линейных уравнений с несколькими правыми частями, ранее применяемый в однопроцессорных ЭВМ. При решении системы на многопроцессорной ЭВМ - все процессоры одновременно производят однотипные операции со "своими" строками матрицы жесткости. Причем, данный подход к хранению матрицы жесткости позволяет использовать процессоры вычислительной системы с минимальными простоями. 3. Формирование матрицы жесткости производится параллельно. При этом процессоры одновременно обрабатывают различные конечные элементы, а получаемые матрицы жесткости отдельных элементов отсылают соответствующим узлам для последующей сборки в глобальную матрицу жесткости. При проведении численного эксперимента важно заранее установить оптимальное количество вычислительных узлов. С одной стороны, при увеличении числа задействованных процессоров увеличивается количество доступной для расчета памяти, и снижается загрузка отдельного процессора, т.е. повышается производительность. С другой стороны, при увеличении числа процессоров увеличивается общий объем пересылаемых данных, что приводит к увеличению времени простоя процессоров при пересылках, а значит к снижению производительности. Поэтому оптимальное количество используемых процессоров напрямую зависит от производительности каналов передачи данных между процессорами. Для определения оптимального количества используемых процессоров была проведена серия численных экспериментов с задачей о растяжении ячейки с вклеенным включением. При этом полная нагрузка прикладывается за пять шагов. В расчете была использована сетка, состоящая из шести слоев с 75 конечными элементами на каждом (рис. IV. 19). Результаты расчетов при различном количестве используемых вычислительных узлов приведены в таблице IV.2. Видно, что в данном случае оптимальным является использование пяти процессоров. При этом время расчета сокращается в 2 раза по сравнению со временем расчета на одном процессоре. Одновременно с этим объем памяти, доступной для вычислений, возрастает в 5 раз.
