Содержание к диссертации
Введение
1. Дискретный подход к описанию распространения возмущений в активных средах на основе концепции клеточных автоматов
1.1. Концепция клеточных автоматов для описания активных сред 26
1.2. Описание распространения экзотермических реакций в химически 35 активных системах на основе подхода клеточных автоматов
1.3. Расчет параметров плоского фронта реакции в порошковой среде на основе аналитического выражения для скорости волны переключений
1.4. Изучение закономерностей распространения плоского фронта экзотермической реакции на примере синтеза интерметаллического соединения Ni3 А1
1.5. Изучение закономерностей распространения объемного фронта экзотермической реакции на примере синтеза интерметаллического соединения N13AI
2. Развитие формализма клеточных автоматов для описания механических процессов
2.1. Основные понятия метода подвижных клеточных автоматов как представителя дискретного подхода в механике
2.2. Уравнения переноса в методе подвижных клеточных автоматов 72
2.3. Учет тангенциального взаимодействия в методе подвижных клеточных автоматов
2.4. Учет ротационной степени свободы подвижных клеточных автоматов
3. Описание отклика изотропной среды на основе формализма метода подвижных клеточных автоматов
3.1. Интерпретация уравнений линейно-упругого отклика изотропной 90 среды в терминах метода подвижных клеточных автоматов
3.2. Моделирование пластических деформаций в изотропной среде 99
3.3. Учет диссипации механической энергии в методе подвижных клеточных автоматов
3.4. Выбор критериев переключения состояний в методе подвижных клеточных автоматов
4. Моделирование отклика и разрушения хрупких гетерогенных материалов
4.1. Основные проблемы моделирования хрупких гетерогенных материалов
4.2. Эффекты динамической фрагментации при деформировании и разрушении хрупких материалов
4.3. Влияние стесненных условий деформирования на прочностные характеристики и разрушение хрупких материалов
4.4. Влияние эффективной жесткости стеснения на способность хрупких сред запасать упругую энергию
4.5. Развитие гибридного метода клеточных автоматов для моделирования деформации и разрушения контрастных гетерогенных материалов
5. Исследование деформации и разрушения интерфейсных материалов и сред
5.1. Качественно-деформационная модель интерфейсных сред разного масштаба
5.2. Исследование закономерностей поведения интерфейсных структур при циклических воздействиях
5.3. Изучение влияния вибрационных воздействий на отклик активных границ раздела в геосредах
5.4. Изучение влияния напряженного состояния блочных сред на характер деформационного отклика активных границ раздела при вибрационных воздействиях
5.5. Влияние изменения состояния активной границы раздела на характер относительных смещений блоков горных пород
5.6. Ледовый покров озера Байкал как модель для изучения деформационного поведения блочной геологической среды
5.7. Модель Томлинсона для описания режимов относительного перемещения поверхностей контакта элементов интерфейсной среды
Основные результаты и выводы 270
Список литературы
- Описание распространения экзотермических реакций в химически 35 активных системах на основе подхода клеточных автоматов
- Уравнения переноса в методе подвижных клеточных автоматов
- Учет диссипации механической энергии в методе подвижных клеточных автоматов
- Влияние эффективной жесткости стеснения на способность хрупких сред запасать упругую энергию
Введение к работе
Актуальность темы. Важной проблемой физики и механики деформируемого твердого тела является теоретическое описание отклика гетерогенных материалов и сред со сложной структурой, характеризующихся наличием не-однородностей, границ раздела, дефектов и повреждений различного масштаба, содержащих компоненты в другом агрегатном состоянии и т.д. За последние десятилетия изучению различных аспектов этой проблемы и их решению посвящено огромное число научных трудов, изданных в России и за рубежом. Тем не менее, многие вопросы, в частности, связанные с методологией теоретического описания гетерогенных сред, до сих пор остаются открытыми. Одним из эффективных подходов к изучению физико-механического поведения И свойств таких систем является так называемый дискретный подход, в рамках которого моделируемая среда представляется в виде ансамбля взаимодействующих элементов конечного размера. Выбор дискретного формализма описания среды связан с тем, что он позволяет эффективно учитывать неоднородности различного масштаба, в том числе границы раздела, повреждения, трещины, включения (в том числе контрастные) и так далее. Кроме того, важным преимуществом методов дискретного подхода является потенциальная (то есть, не ограниченная базовыми постулатами) способность элементов среды изменять пространственное окружение, что является принципиальным при изучении процессов разрушения, пространственного переноса и перемешивания масс. Указанные особенности определяют актуальность применения и развития методов дискретного подхода в механике деформируемого твердого тела.
Вся совокупность методов и моделей дискретного подхода, может быть условно разбита на две группы, соответствующие двум основным типам формализма.
Первый тип - это формализм клеточных автоматов, эффективно используемый для моделирования процессов переноса и перераспределения термодинамических величин, связанных с качественным изменением состояния (физико-механических характеристик) сложных сред.
Второй тип - это формализм методов частиц, применяемый для моделирования процессов упругопластического деформирования сложных сред вплоть до разрушения, включая задачи контактного взаимодействия тел и трения.
Анализ показывает качественное сходство методологий описания процессов в твердом теле в рамках двух указанных формализмов. И следует ожидать, что создание на их основе нового, объединенного, подхода позволит существенно расширить класс исследуемых проблем, включив в него комплексные задачи, в которых процессы перераспределения в объеме материала термодинамических параметров находятся в тесной взаимосвязи с процессами разделения материала на части и перемешивания фрагментов. Кроме того, важно отметить, что объединение базовых формализмов дискретного подхода
станет важных шагом на пути решения проблемы моделирования контрастных материалов и сред (в частности, высокопористых), напряженное состояние и характер разрушения которых в значительной степени определяются влиянием газовой или жидкой фаз.
В связи с этим целью настоящей работы является развитие объединенного формализма, позволяющего в рамках дискретного подхода осуществлять численное исследование термодинамического (включая механическое) поведения сложных гетерогенных и контрастных сред различной природы в условиях внешних воздействий. Для достижения указанной цели в работе ставились следующие задачи:
Развить подход в рамках метода клеточных автоматов, позволяющий с единых позиций проводить аналитические оценки и численное описание развития экзотермических химических реакций в гетерогенных средах (на примере синтеза материалов на основе порошковых смесей).
Развить формализм, объединяющий возможности различных дискретных подходов (метода клеточных автоматов и метода частиц), позволяющий явно учитывать процессы перемешивания масс и решать широкий класс задач, связанных с описанием процессов деформации и разрушения, фазовых превращений, химических реакций и т.д.
Изучить на основе развитого метода подвижных клеточных автоматов возможности описания поведения хрупких гетерогенных материалов и сред в сложных условиях нагружения, сопровождающихся генерацией и накоплением повреждений, формированием трещин и перемешиванием масс.
Исследовать закономерности деформации и разрушения интерфейсных сред - сред, в которых границы раздела играют важную/определяющую роль, при циклических воздействиях.
Исследовать общие закономерности деформационных процессов на границах раздела структурных элементов в блочных средах различной природы и масштаба при динамических, включая вибрационные, воздействиях.
Развить формализм гибридного дискретного подхода в виде совокупности взаимопроникающих «слоев», моделируемых различными дискретными методами, для описания отклика и разрушения контрастных сред, в которых в качестве механической основы выступает пористое твердое тело. Изучить возможности «гибридного» подхода для описания закономерностей деформации и разрушения хрупких пористых газоносных материалов.
На защиту выносятся следующие положения:
Новая форма записи функции бистабильного клеточного автомата для описания распространения волны переключений в бистабильной активной среде в рамках решения уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова.
Уравнения движения подвижных клеточных автоматов с явным учетом
многочастичного взаимодействия, применимые для описания поведения широкого класса материалов и сред различной природы.
Соотношения для описания нормального и тангенциального взаимодействия подвижных клеточных автоматов, а также пространственные, силовые и энергетические критерии разрушения.
Явление динамической фрагментации при деформировании хрупких гетерогенных материалов и ее роль в зарождении повреждений.
Результаты, показывающие возможность управления режимом разрушения хрупких материалов от типично хрупкого до квазивязкого изменением параметров стесненных условий.
Формализм «гибридного» подхода для описания отклика и разрушения контрастных гетерогенных сред с учетом возможности протекания сорб-ционных процессов.
Эффект возрастания деформационной способности нагруженных интерфейсных материалов и сред при вибрационных воздействиях с частотами, превышающими собственные.
Способ оценки близости уровня локальных сдвиговых напряжений во фрагментах активных границ раздела в блочных геологических средах к напряжению срыва на основе регистрации и анализа смещений, инициируемых вибрационными воздействиями.
Результаты исследований общих закономерностей инициации относительных смещений структурных элементов блочной геологической среды и обоснование возможности техногенного управления режимами деформационных процессов в высоконапряженных фрагментах активных разломов с целью снижения локальных напряжений.
Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:
Предложена новая форма записи функции бистабильного клеточного автомата для описания распространения волны переключений в бистабильной активной среде в рамках решения уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова.
Впервые получены уравнения движения подвижных клеточных автоматов с явным учетом многочастичного взаимодействия и предложены критерии переключения состояния взаимодействующих пар элементов среды.
Показано, что разрушению хрупких гетерогенных образцов может предшествовать их динамическая фрагментация, которая заключается в согласованном движении отдельных областей материала. Это проявляется на диаграмме нагружения в виде нерегулярных отклонений силы реакции образца от ее среднего значения.
Показано, что режим разрушения хрупких материалов и сред, находящихся в стесненных условиях, может меняться от типично хрупкого до квазивязкого (деградационного) в зависимости от условий стеснения.
Впервые предложен и развит формализм «гибридного» дискретного подхода, являющегося объединением методов «классических» и подвижных кле-
точных автоматов, который позволяет описывать отклик и разрушение контрастных гетерогенных сред, компоненты которых могут находиться в разных агрегатных состояниях.
Показано, что вибрационное воздействие на нагруженные образцы интерфейсных материалов с частотами, превышающими собственные, может приводить к значительному увеличению деформационной способности этих материалов, а также их способности «поглощать» энергию нагружения.
Предложен новый способ оценки относительного уровня локальных сдвиговых напряжений (то есть, его близости к напряжению срыва) в высоконапряженных фрагментах активных границ раздела в блочных геологических средах, основанный на регистрации и анализе смещений, инициируемых локальным вибрационным воздействием.
Впервые показана принципиальная возможность инициации сдвиговых смещений в «квазивязком» режиме по активным границам раздела в блочных геологических средах путем локального изменения физико-механических свойств границ в сочетании с «высокочастотными» вибрационными воздействиями.
Научная и практическая ценность.
Полученные аналитические выражения для описания распространения волны переключений в бистабильной активной среде могут быть применены для теоретического изучения процессов самоорганизации систем различной природы, в частности, для оценки условий распространения фронта экзотермической реакции в порошковых системах.
Развитый формализм метода подвижных клеточных автоматов открывает принципиальную возможность теоретического изучения деформации и разрушения гетерогенных материалов и сред с явным учетом фазовых превращений, химических реакций, перемешивания масс н т.д. При этом открытость базового формализма метода делает возможным использование различных моделей описания механического и термодинамического отклика материалов и сред.
Развитый в работе гибридный метод клеточных автоматов может быть использован для теоретического изучения деформации и разрушения контрастных гетерогенных сред различной природы. При этом существует возможность применения различных уравнений состояния компонентов.
Результаты изучения закономерностей разрушения хрупких материалов в стесненных условиях имеют важное значение при анализе поведения фрагментов материалов и сред, работающих в условиях механического ограничения объема. В связи с этим в работе предложено дополнение системы стандартных испытаний хрупких материалов тестами, проводимыми в стесненных условиях с различными параметрами жесткости окружения.
Результаты теоретического изучения влияния вибрационных воздействий на отклик границ раздела в блочных средах могут быть использованы для развития представлений о роли малых возмущений естественного и искусственного генезиса в процессе подготовки очагов землетрясений.
Предложенный способ оценки относительного уровня локальных сдвиговых напряжений в высоконапряженных фрагментах активных границ раздела в блочных геологических средах может лечь в основу диагностики их напряженного состояния.
Показана принципиальная возможность техногенного управления смещениями в зонах сейсмически активных разломов или их высоконапряженных фрагментов с целью снижения локальных сдвиговых напряжений путем локального обводнения в сочетании с вибрационными воздействиями.
Апробация работы. Материалы работы докладывались на российско-американском семинаре «Shock Induced Chemical Processing» (Санкт-Петербург, 1996), международной конференции «Material Instability under Mechanical Loading» (Санкт-Петербург, 1996), международной конференции «Mathematical Methods in Physics, Mechanics and Mesomechanics of Fracture» (Томск, 1996), международной конференции «Computer-Aided Design of Advanced Materials and Technologies» (Байкальск, 1997), международных семинарах «Movable Cellular Automata Method: Foundation and Applications» (Ljubljana, Slovenia, 1997 и Stuttgart, Germany, 1999), IX международном семинаре «Computational Mechanics in Materials» (Berlin, Germany, 1999), международных конференциях «Computer-Aided Design of Advanced Materials and Technologies» (Томск, 2001, 2003, 2004), международном семинаре "New Challenges in Mesomechanics " (Aalborg, Denmark, 2002), международной конференции "Fracture at Multiple Dimensions" (Москва, 2003), Всероссийском совещании «Напряженное состояние литосферы, ее деформация и сейсмичность» (Иркутск, 2003), международном семинаре "Mesomechanics: Fundamentals and Applications " (Томск, 2003), немецко-российском семинаре "Development of Surface Topography in Friction Processes" (Berlin, Germany, 2004), всероссийских семинарах «Геомеханика и геофизика» (Новосибирск, 2004, 2005, 2006), международном семинаре "Potential of New Triboiogical Concepts for Implants. Generation and Biological Impact of Micron- and Nanometer-sized Wear Particles." (Berlin, Germany, 2005), немецко-российском семинаре "Particle Methods: Theoretical Foundations, Numerical Implementation, Coupling with finite Elements" (Berlin, Germany, 2005), XI международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам «ВМСППС» (Алушта, Украина, 2005), немецко-российском семинаре "Wear: Physical Background and Numerical Simulation" (Berlin, Germany, 2006).
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы, содержит 99 рисунков, 1 таблицу, библиографический список из 331 наименования - всего 301 страница.
Описание распространения экзотермических реакций в химически 35 активных системах на основе подхода клеточных автоматов
Клеточные автоматы являются классом геометрических объектов, отличительной особенностью которых является их полная дискретность и, следовательно, приспособленность к точному моделированию на цифровом компьютере. Впервые понятие клеточных автоматов было введено фон Нейманом в 1948 году. В рамках этих представлений клеточные автоматы рассматриваются как математические идеализации моделируемых физических систем, в которых пространство и время дискретны, а физические величины принимают конечное множество дискретных значений [68,69]. Простейшим представителем класса клеточных автоматов является булев автомат, для которого определены два состояния: включен (1) и выключен (2).
При моделировании пространственно распределенных объектов вся среда разбивается на ряд дискретных элементов (клеточных автоматов). При этом состояние системы полностью определяется значениями переменных в каждой клетке. Основными правилами в методе клеточных автоматов являются условия изменения состояния клеточного автомата: 1. Состояние каждой ячейки обновляется за последовательность дискретных шагов по времени. 2. Переменные в каждой клетке изменяются синхронно, исходя из значений переменных на предыдущем шаге. 3. Правило определения нового состояния ячейки зависит только от локальных значений в соседних ячейках. В общем виде правило перехода, управляющее эволюцией клеточных автоматов, описывается следующим соотношением [70]: К = р(К {хкп}) (1.1) г где X - определенный параметр ячейки і сетки, п - номер шага по времени, ) - соответствующий параметр клетки к, соседней к ячейке L Поскольку в этом случае переходы между состояниями однозначно определены, клеточный автомат, отвечающий приведенному уравнению перехода, называется детерминированным. Однако, в ряде ситуаций переходы могут иметь случайный характер. Тогда вместо функции F переход будет определять его вероятность w [28]:
Подобные клеточные автоматы называются вероятностными. Классификация клеточных автоматов впервые была проведена Вольфрамом в результате серии работ по моделированию на ЭВМ клеточных автоматов с малым числом состояний [50,71,72]. Отметим, что подход клеточных автоматов применяется для решения различных задач в области моделирования физических, биологических, экономических процессов, обработки информации и распознавания образов [51,54,73-82].
Приложение метода клеточных автоматов для моделирования реальных распределенных систем требует некоторого видоизменения основных положений, определяющих клеточный автомат. Так, в общем случае основной характеристикой клеточного автомата является его состояние, которое определяет характер взаимодействия элемента с окружением. Для этого вводится параметр состояния, ответственный за его переключение при выполнении задаваемых условий типа (1.1). Клеточный автомат может характеризоваться также другими ("пассивными") параметрами, которые не отвечают за переключение его состояния, но определяют степень влияния автомата на соседей, а также восприимчивость автомата к воздействиям со стороны соседей. Характеризующие автомат параметры могут принимать любые значения из области их определения. При переключении состояния клеточного автомата они претерпевают скачкообразное изменение, причем области определения параметров могут также измениться.
Сеть клеточных автоматов образует распределённую активную среду. Активная среда характеризуется непрерывным рассредоточенным притоком энергии извне и ее диссипацией. Рассредоточение потока энергии от источника к термостату приводит к тому, что каждый элемент такой среды находится в неравновесном состоянии и приобретает способность изменять состояние (переключаться). В распределенной активной среде с локально связанными между собой элементами могут образовываться различные стационарные или зависящие от времени пространственные структуры. Такие процессы лежат в основе самоорганизации систем. Формализм активных сред приложим для описания систем самой различной природы. В частности, в биологии, где отдельные автоматы имитируют живые клетки или организмы, элементы по своей природе находятся в состоянии, далёком от термодинамического равновесия и, следовательно, являются активными. В то же время, в физике конденсированных систем элементы, составляющие такие среды, пассивны, так как для них существует выделенное положение равновесия с минимумом энергии. Однако, и они могут стать активными при наличии внешнего источника энергии.
Выделяют три базовых типа поведения элементов в состоянии, далеком от равновесного (три типа клеточных автоматов): возбудимый, автоколебательный и бистабильный.
Возбудимый (или мультивибраторный) клеточный автомат имеет выделенное «состояние покоя», устойчивое по отношению к малым возмущениям. Однако, при внешнем воздействии, превышающем некоторый пороговый уровень, в элементе возникает вспышка активности: он совершает определённую последовательность активных переходов и после этого возвращается к исходному состоянию покоя.
Примером активной системы такого типа может служить цепочка возбудимых клеточных автоматов, в которой элемент, перешедший по той или иной причине из состояния покоя в активную фазу, остаётся невосприимчивым к влиянию окружения, пока не совершит всю последовательность переходов. В простейшем случае можно считать, что взаимное влияние оказывают друг на друга лишь соседи, один из которых находится в активной форме, а другой в состоянии покоя. При этом автоматы, находящиеся в состоянии покоя, в результате взаимодействия с активными соседями переключаются. Тогда в ответ На однократное воздействие в цепочке возникнет незатухающая волна переключений. В случае, когда возбуждать "покоящихся" соседей могут лишь элементы, находящиеся в первых фазах активности, в цепочке будет распространяться уединённый импульс активности (волна возбуждения), после которой автоматы возвращаются в состояние покоя (рис. 1.1).
Уравнения переноса в методе подвижных клеточных автоматов
Дискретный подход в механике развивался и известен, главным образом, как метод частиц. Данный термин является собирательным и объединяет целый ряд «эволюционных» методов, в рамках которых моделируемая распределенная система представляется ансамблем взаимодействующих элементов (частиц) конечного размера. Как отмечалось во введении, в зависимости от пространственного масштаба рассматриваемого фрагмента среды частицы могут моделировать отдельные атомы или молекулы, либо целые блоки вещества, рассматриваемые в этом случае как сплошные (то есть, имеющие четко определенные форму и объем). Взаимодействие дискретных элементов среды определяется потенциалом, который в общем случае является индивидуальным для каждой пары «сортов» взаимодействующих частиц. При этом изменение пространственного масштаба может приводить не только к количественному, но и к качественному изменению потенциала взаимодействия. В частности, на масштабных уровнях, на которых среда может моделироваться как сплошная, при определении потенциала взаимодействия необходимо учитывать наличие поверхности частиц, что приводит к появлению различий во взаимодействии внутренних элементов монолитного фрагмента материала и элементов, принадлежащих к независимым (химически несвязанным) фрагментам. Помимо этого, на таких масштабах важным является учет возможности элементов среды совершать повороты вокруг центров масс. Указанные особенности, равно как и другие проблемы при моделировании гетерогенных материалов и сред, определяют различия в подходах к их теоретическому описанию на базе дискретного подхода. Среди множества существующих в настоящее время разновидностей метода частиц можно выделить следующие основные: метод молекулярной динамики [9,39-42], метод дискретных элементов (Distinct Element Method) [56-59,105], метод мезоскопических частиц (Mesoscopic Particle Method) [60,61] и ряд других. Кроме того, можно отметить активно развиваемые в настоящее время методы псевдо-частиц, такие как метод сглаженных частиц (Smoothed Particle Hydrodynamics) [63,64] и метод обобщенных частиц (Generalized Particle Algorithm) [65,106].
В основе классического метода молекулярной динамики лежит решение уравнений движения Ньютона для поступательных степеней свободы центров масс моделируемых частиц: (P-R, dK 1 dt2 dt mjy ,Jt где / - номер частицы, Д- и Vi - радиус-вектор и вектор скорости частицы, т( - масса, К- - сила взаимодействия частицы с соседом j. В общем случае взаимодействующими соседями элемента являются все частицы среды, однако при моделировании их число ограничивается вводимым извне радиусом обрезания взаимодействия (в частности, при изучении фрагментов вещества на надатомном уровне, как правило, ограничиваются приближением ближайших соседей). Как отмечалось во введении, основной проблемой в методе молекулярной динамики является задание потенциала взаимодействия, определяющего выражение для Fy. Конкретный вид
потенциала определяется природой моделируемой среды и рассматриваемым масштабным уровнем. Следует отметить, что в общем случае потенциалы взаимодействия являются многочастичными, то есть определяются положениями всех соседейу частицы /. В отдельный класс можно выделить класс методов частиц, используемых для описания среды на надатомных масштабах, когда при расчете эволюции элемента достаточным является учет лишь его ближайшего окружения. Базовым представителем такого подхода является метод дискретных элементов, в рамках которого материал представлялся как ансамбль твердых блоков, форма и размеры которых могут быть различными (чаще всего используются диски/шары, либо эллипсы). При этом в дополнение к уравнениям движения для поступательных степеней свободы вводятся аналогичные уравнения для описания вращения элементов вокруг их центров масс. В общем случае взаимодействие частиц в рамках данного подхода определяется четырьмя основными силами: нормальной и тангенциальной (сдвиговой) потенциальными силами, моделирующими упругопластическое поведение материала, а также нормальной и тангенциальной силами вязкого трения, пропорциональными соответствующим компонентам вектора относительной скорости в паре частиц. Следует отметить, что изначально метод дискретных элементов развивался для моделирования гранулированных и сыпучих сред, но позднее стал активно применяться к описанию сплошных сред.
Развитием метода дискретных элементов является метод элементной динамики [9,62], в рамках которого было проведено разделение правил взаимодействия для частиц, относящихся к одному монолитному фрагменту материала, либо принадлежащих различным (химически несвязанным) фрагментам. В дополнение к этому была введена возможность «переключения» правил взаимодействия пары частиц при достижении заданного критерия. В большинстве приложений развитого метода в качестве сил взаимодействия использовалась нормальная потенциальная сила, определяемая потенциалом Леннарда-Джонса, а также нормальная и тангенциальная силы вязкого трения.
В качестве еще одного метода частиц «макроуровня» следует отметить метод мезоскопических частиц, развиваемый в настоящее время группой профессора Г.П. Остермайера. В основе данного подхода лежит построение динамики частиц, в которой учитывается сильное взаимодействие механических и - немеханических (в частности, температуры) термодинамических переменных, характеризующих элементы среды. Путем дополнения Лагранжиана специальной функцией- диссипации, определяющей скорость преобразования механической энергии в тепловую, были получены уравнения движения для поступательных степеней свободы, а также выражение для расчета скорости изменения температур частиц. Важно отметить, что при построении потенциалов межчастичного взаимодействия температурный фактор учитывается явным образом путем введения соответствующих коэффициентов в члены, регулирующие притяжение частиц.
Необходимо отдельно отметить широко используемые методы псевдочастиц (метод сглаженных частиц, метод обобщенных частиц и т.д.), которые представляют собой своеобразный гибрид методов частиц и подхода механики сплошной среды. В их основе лежит интерполяция используемых в задаче физических полей через их известные значения в нерегулярно расположенных опорных точках. Исходные законы сохранения континуальной механики преобразуются в интегральные уравнения с помощью заранее заданного базиса функций, называемых ядром интерполяции. При этом если в методе сглаженных частиц частицы представляют собой, прежде всего, интерполяционные узлы, то в методе обобщенных частиц они трактуются как частицы переменного размера, допускающие взаимные перекрытия. В последнем случае взаимодействие элементов среды контролируется весовыми функциями, учитывающими влияние расстояния, взаимной ориентации и размеров. Первоначально методы псевдо-частиц разрабатывались и применялись для решения задач гидродинамики и астрофизики, однако позднее были расширены для моделирования отклика твердых тел на динамические воздействия.
Учет диссипации механической энергии в методе подвижных клеточных автоматов
Для описания упругого отклика изотропных конденсированных сред естественно использовать обобщенный закон Гука [124-128]: сга= рєа+{К- р)єтеап Т PV (3.1) Здесь индексы а и /? нумеруют координатные оси X, Y, Z выбранной системы координат, оа и єа - диагональные компоненты соответственно тензоров напряжений и деформаций, тар (уар) - их недиагональные \Е + Є + Є ) / (сдвиговые) компоненты, emean =v у /з средняя деформация, К модуль всестороннего сжатия, ср - некоторый модуль, в упругой области равный удвоенному модулю сдвига 2(7. Анализ выражений для диагональных и недиагональных компонент тензора напряжений показывает, что их вид аналогичен виду выражений (2.8) и (2.23) для рЦдщ и Ftfng. Более того, в работе [129] было показано, что (2.8) переходит в закон Гука (3.1) для диагональных компонент при задании Pi,- вида pjj = Е ц — (здесь Е{ - модуль Юнга материала, составляющего J J dj клеточный автомат /; Sy - площадь поверхности контакта автоматов / и j) и стремлении d,— 0. Все это позволяет сделать вывод о принципиальной возможности использования уравнений (3.1) для описания механического отклика ансамбля подвижных клеточных автоматов, моделирующих линейно-упругую изотропную среду. В то же время очевидно, что закон Гука, записанный в тензорной форме, не может быть непосредственно использован для описания механических процессов в клеточноавтоматной среде, в которой пространственные механические отношения в парах клеточных автоматов определяются векторными параметрами hy, I lJhear, F om и F ng. Поэтому первым шагом на пути к использованию закона Гука (3.1) для описания взаимодействий подвижных клеточных автоматов должна быть интерпретация компонентов тензоров напряжения и деформации в терминах векторов сил и смещений.
В соответствии с базовым определением термина «напряжение» компоненты ja и тар являются удельными силами, приложенными к площадке, перпендикулярной координатной оси а, и действующими в нормальном/тангенциальном к ней направлении. Формально это можно представить в виде: =Е аа $а Jp таР Sa где Fa, F# и Sa соответствующие силы и площадь поверхности площадки. Основываясь на этом определении, представим гЦогт и F ng в паре взаимодействующих клеточных автоматов / и/ в аналогичной форме: /norm=ijSij (3.2) где Sy - площадь контакта клеточных автоматов, определяемая их формой и размерами, ду - нормальное к площадке напряжение, fy - тангенциальное напряжение. Отметим, что fy, в свою очередь, может быть разбито на две взаимно перпендикулярные компоненты в плоскости, связанной с площадкой Sy. По аналогии с определением диагональных и недиагональных компонент тензора деформаций в теории упругости [124-128] запишем выражения для параметров состояния отношения пары клеточных автоматов. Для нормального взаимодействия автоматов параметр нормальной деформации (или относительного перекрытия) пары можно определить как: где Єіф можно интерпретировать как деформацию автомата / в паре i-j, а в -как деформацию автомата j. Удельная тангенциальная (сдвиговая) деформационная характеристика уу взаимодействия пары автоматов і и j была определена выше, при описании базового формализма метода МСА (для двумерного случая). При этом необходимо отметить, что в общем случае величину уу можно определить путем интегрирования выражения (2.27). При численном интегрировании приращение величины уу на временном шаге п будет определяться выражением: где Ауіф - относится к элементу /, а А - к элементу j. Необходимо отметить, что в случае различия физико-механических характеристик материалов, моделируемых клеточными автоматами і и /, біф є и Таким образом, выражения (3.2)-(3.6) определяют для взаимодействующей пары клеточных автоматов нормальные и сдвиговые напряжения и деформации, которые по своему смыслу аналогичны диагональным и недиагональным компонентам тензоров напряжений и деформаций в теории упругости. С учетом того, что выражения (2.8) и (2.23) по форме и физическому смыслу аналогичны закону Гука (3.1), можно постулировать, что выражения (3.1) могут быть применены для описания нормального и сдвигового взаимодействия пар подвижных клеточных автоматов. При этом основной проблемой является определение физического содержания конкретных компонент тензоров напряжений и деформаций применительно к паре автоматов. Поскольку в рамках описанного выше формализма метода МСА рассмотрение проводилось только для двумерных систем, является логичным вести дальнейшие рассуждения для одной из «плоских» реализаций закона Гука. В качестве такого плоского приближения будет использоваться приближение плосконапряженного состояния. В терминах методов дискретного подхода это соответствует расположению трехмерных дискретных элементов (клеточных автоматов или частиц) на плоскости XY, при этом боковые поверхности элементов в направлении оси Z являются свободными. Формально это может быть представлено как взаимодействие в направлении оси Z с виртуальными «соседями» с нулевой жесткостью. В случае метода МСА это означает, что в виртуальных парах клеточных автоматов (то есть расположенных не в плоскости XY) выполняется условие dij = хц = 0, аналогичное условию uz = тХ2 = тХ2 = 0 в теории упругости [124-128]. При этом соответствующие % могут быть ненулевыми, что соответствует изменению формы и объема автомата. Кроме того, в существующих парах клеточных автоматов вектор хц имеет только одну компоненту, лежащую в плоскости XY и направленную перпендикулярно оси, соединяющей центры масс автоматов. Отметим, что форма «объемных» клеточных автоматов на плоскости, как правило, выбирается, исходя из исходной упаковки элементов ансамбля. Так, в случае квадратной упаковки автоматов одинакового размера это могут быть прямоугольные параллелепипеды с квадратным основанием, длина стороны которого равна ф, и некоторой высотой d z в направлении оси Z. При использовании двумерной плотной упаковки клеточных автоматов одинакового размера одним из вариантов их формы может быть правильная прямая шестиугольная призма высоты d z, в которой расстояние от центра основания до середины любой из ее сторон равно af,/2 (рис.3.1). Тогда площадь поверхности контакта соседних клеточных автоматов в исходном (ненагруженном) состоянии равна S Jquare = d{dlz для квадратной упаковки и shexagon = i/ r z Для плотной. Обычно полагают d z = dt.
Влияние эффективной жесткости стеснения на способность хрупких сред запасать упругую энергию
Существует широкий класс хрупких материалов, структура которых характеризуется одновременным наличием трех описанных выше факторов (включений, повреждений плоскостного типа и пористости). К ним можно отнести спеченные порошковые композиты [181], порошковые композиты, полученные методом СВС [88,90,99,182], керамики [155,156,183], бетоны [161,162] и т.д. Влияние каждого из перечисленных факторов на отклик и разрушение образцов определяется как собственно содержанием соответствующих неоднородностеи, так и наличием факторов других типов. Поэтому для получения детальной информации о возможных механизмах влияния различных неоднородностеи и несплошностеи структуры может быть эффективно использовано компьютерное моделирование методом подвижных клеточных автоматов.
Теоретическое изучение влияния пористости на прочностные и деформационные характеристики хрупких керамических материалов с применением метода подвижных клеточных автоматов проводилось, в частности, в работах [172-175]. В них на примере модельного материала с линейно-упругой функцией отклика и упругими и - прочностными характеристиками, соответствующими спеченной керамике ZrCb, рассматривались различные способы задания пористой структуры. Так, в [172,174] пористость образцов задавалась посредством удаления отдельных клеточных автоматов и разрыва межавтоматных связей (так называемые «мезопоры» и повреждения плоскостного типа). При этом соотношение между числом пор двух типов определялось, исходя из реального распределения пор по размерам в спеченной керамике ZrC 2 [155,156,184]. На примере тестов на одноосное сжатие было показано, что даже при использовании двумерных модельных образцов и достаточно простых функции отклика автоматов и пористой структуры материала может быть получено хорошее качественное, а по ряду характеристик и количественное согласие с экспериментальными данными. В работах [172-175] рассматривались пористые керамические структуры каркасного типа, в которых поры моделировались удалением конгломератов клеточных автоматов (так называемые «макропоры»). В рассматриваемых задачах средние размеры таких пор достигали нескольких миллиметров. Интересно отметить, что прочностные и деформационные характеристики образцов с пористостью различного типа, но одинаковой величины, были близки, хотя характер и особенности разрушения (включая количество накопленных при деформировании повреждений, скорость роста макротрещин и т.д.) могли существенно различаться, особенно при больших значениях пористости ( 30%). Следует отметить, что, как показано в [172], при относительно малом числе клеточных автоматов модельного образца (то есть когда доля поверхностных элементов -10% или больше) диаграммы нагружения могут зависеть от деталей распределения пор по размерам и объему образца. Тем не менее, тенденции изменения отклика образца (включая упругие характеристики, вид диаграммы нагружения, прочность и предельную деформацию) при изменении «макрохарактеристик» материала (например, общей величины пористости) практически не зависят от числа клеточных автоматов, составляющих рассматриваемую структуру. Это позволяет сделать вывод о том, что для построения качественных зависимостей параметров отклика от «макроскопических» характеристик материала или условий нагружения, а также для качественного изучения некоторых механизмов адаптации материала к нагружению, могут быть использованы образцы, состоящие из относительно малого числа клеточных автоматов (с числом поверхностных автоматов, не превышающем 15%-20%). Помимо уменьшения времени численного расчета, важными преимуществами «малых» образцов является упрощение анализа результатов моделирования и возможность выявления ряда эффектов «в чистом виде».
В работе [172] был показан эффект локализации деформации, связанный с динамической фрагментацией хрупких пористых материалов при механическом нагружении. В данном случае термин «динамическая фрагментация» означает, что имеет место не изменение структуры материала и/или его разориентация и возникновение новых границ раздела, но разнонаправленное перемещение отдельных блоков (областей) образца. В результате накопления деформаций на границах «динамических блоков» (преимущественно на тройных стыках) возникают повреждения (разрывы межавтоматных связей), которые сопровождаются быстрыми смещениями небольших областей материала, прилегающих к возникшему повреждению, на относительно большие расстояния, достигающие нескольких десятых процента от размера клеточного автомата. Этот эффект в работе [172] назван динамической локализацией деформаций. Следует отметить, что в [172] детально исследуется сам эффект динамической локализации, но не проводится анализа условий его возникновения, связанных с формированием и развитием динамической блочной структуры материала. Поэтому в настоящей работе метод подвижных клеточных автоматов применялся для исследования явления самоорганизации структурных элементов в процессе деформирования образцов хрупких материалов.
В работе рассматривался двумерный образец прямоугольной формы, размеры которого составляли 13 мм в высоту и 6 мм в ширину (рис.4.1а). Размер элемента выбирался равным 0.39 мм. Рассматривался модельный материал с модулем Юнга Е = 40 ГПа и коэффициентом Пуассона ju = 0.3 (механические параметры данного модельного материала близки, в частности, к керамике на основе Zr02 с пористостью -20% [155,156,184], пьезокерамике PMN-PT [185], а также ряду минералов, таких как муллит, мрамор, некоторые сорта гранита и т.д. [186-188]). Ввиду того факта, что размеры пор (а также многих несплошностей других типов) в большинстве спеченных пористых материалов не превышают или значительно меньше размера клеточных автоматов моделируемого образца, в рассматриваемой модели пористость эффективно учитывалась «микропорами», то есть путем задания слабой нелинейности функции отклика подвижных клеточных автоматов образца (рис.4.16).
Похожие диссертации на Развитие подхода клеточных автоматов для описания процессов деформации и разрушения хрупких материалов и сред со сложной структурой
