Содержание к диссертации
Введение
1. Основные соотношения теории идеального жесткопластического тела 6
1.1. Пластическое плоское деформированное состояние 7
1.2. Уравнения в напряжениях и скоростях 11
1.3. Построение полного решения 19
1.4. Определение полей деформаций 28
2. Определение полей деформаций при внедрение жестких штампов 42
2.1. Внедрение клина в полупространство 42
2.2. Раздавливание клина плоским штампом 52
2.3. Сравнение результатов и выбор предпочтительного решения в задаче о раздавливании клина плоским штампом 67
2.4. Раздавливание усеченного клина гладким плоским штампом 71
2.5. Сравнение результатов и выбор предпочтительного решения в задаче о раздавливании клина гладким плоским штампом 84
3. Определение полей деформаций в задачах обработки материалов давлением 88
3.1. Волочение полосы сквозь короткую матрицу 88
3.2. Выглаживание поверхности клинообразным штампом 102
3.3. Прессование и прошивка материала 110
4. Задача о резании жесткопластических тел 119
4.1. Задача о резании при условии существования изолированной линии скольжения 119
Заключение 129
- Уравнения в напряжениях и скоростях
- Раздавливание клина плоским штампом
- Сравнение результатов и выбор предпочтительного решения в задаче о раздавливании клина гладким плоским штампом
- Выглаживание поверхности клинообразным штампом
Введение к работе
Актуальность темы. Исследование поведения материала при больших пластических деформациях в разнообразных конструкциях и технологических процессах можно считать одной из основных задач механики деформируемого твердого тела. Определение степени деформируемости материала с учетом необратимой пластической сжимаемости в рамках модели идеального жесткопластического тела является одним из возможных путей решения таких задач.
Фундаментальные исследования в области идеальной пластичности связаны с именами ученых А. Треска, Б. Сен-Венана, М. Леви, Р. Мизеса, Л. Прандтля, Д. Друккера, В. Прагера, X. Гейрингер, А. Раиса, Р. Хилла, Г. Генки, Е. Оната, Е. Ли и
др.
Значительный вклад в создание теории и решение задач идеальной пластичности внесли отечественные ученые Б.Д. Аннин, Г.И. Быковцев, Б.А. Друянов, А.Ю. Ишлинский, Д.Д. Ивлев, В.П. Мясников, Ю.Н. Работнов, В.В. Соколовский, С.А. Христианович и др.
В рамках теории идеального жесткопластического тела анализ деформаций связан с решением задач, в которых учитывается изменение геометрии деформируемого тела. Это обусловлено тем, что пластические деформации распределяются крайне неравномерно, наблюдаются в основном в окрестности особенностей поля скоростей перемещений (на линиях разрыва скоростей перемещений и в центре веера характеристик) и могут достигать больших значений, которые значительно превышают деформации в непрерывном пластическом поле и могут привести к разрушению материала.
Использование в качестве меры деформации тензорных характеристик (тензора дисторсии, тензора конечных деформаций Альманси и т.п.) и учет необратимой пластической сжимаемости материала позволяет корректно описывать процесс деформирования.
Исследование полей деформаций в технологических процессах (выглаживание поверхности, резание материалов и т.д.) с учетом необратимой сжимаемости позволяет выявить особенности поведения материалов под давлением, а также определить зависимость характеристик разрушения материалов от изменения плотности.
Целью работы является исследование полей деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения в условиях плоской деформации для классических задач теории пластичности с учетом необратимой сжимаемости.
Научная новизна работы заключается в следующем:
метод определения деформаций в окрестности особенностей ПОЛЯ линий скольжения (линии разрыва поля скоростей перемещений и в центре веера характеристик) обобщен на случай учета необратимой сжимаемости;
исследованы поля деформаций в окрестности особенностей линий скольжения для классических задач теории пластичности при условии текучести Кулона - Мора.
Достоверность полученных результатов основана на классических подходах механики сплошных сред и строгих математических выкладках, подтверждается согласованностью в предельном случае с решениями, полученными А.И. Хромовым и А.А. Буханько для несжимаемого идеального жесткопластического тела.
Практическая значимость работы. Решенные задачи актуальны при разработке математических моделей поведения реальных материалов при больших пластических деформациях с учетом необратимой сжимаемости. Полученные поля деформаций могут быть использованы при анализе технологических процессов обработки материалов давлением (прессование, волочение, прокатка) и резанием, для проектирования оборудования, используемого при этих процессах, в строительстве и т.д.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на:
XXVII Дальневосточной школе-семинаре им. академика Е.В. Золотова, Владивосток, 2002 г.;
Международном форуме по проблемам науки, техники и образования «III Тысячелетие - новый мир», Москва, 2002 г.;
42-ой научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов, посвященной 70-летию г. Комсомольска-на-Амуре, Комсомольск-на-Амуре, 2003 г.;
IV Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия), Петрозаводск, 2003 г.;
Всероссийском школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела, Новосибирск, 2003 г.;
IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), Кисловодск, 2008 г.;
Шестой Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 2009 г.
Работа в целом докладывалась на объединенном семинаре «Механика сплошных сред» в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН.
Публикации по работе. По теме диссертации опубликовано 10 научных работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (106 наименований). Объем работы - 138 страниц, в том числе 55 рисунков.
Уравнения в напряжениях и скоростях
Одной из важнейших задач, при рассмотрении жесткопластической модели тел, является построение полного решения. В работах [24, 58] сформулированы требования, которые должны предъявляться к полному решению плоской задачи, при условии текучести —(стх - сг )2 + -г2 = к2. В соответствии с этими положениями сформулируем требования к полному решению для условия текучести (1.1.6): - поле напряжений должно удовлетворять уравнениям равновесия (1.2.1) и граничным условиям для напряжения; - поле скоростей перемещений удовлетворяют уравнениям (1.2.2) для скоростей и граничным условиям для скоростей; - неотрицательность диссипативной функции; - непревышение условия пластичности в жестких областях. Рассмотрим диссипативную функцию. Для изотропного тела [42] D = стіє1 + т2є2. Согласно ассоциированному закону течения имеем Отсюда следует выражения для скоростей деформации и диссипативная функция где утах- максимальная скорость сдвига, которая связана с полями линий скольжения и скоростей соотношением Проверка выполнимости последнего требования связано с построением статически допустимого продолжения поля напряжений в жесткие области [18]. Общий метод построения статически допустимого продолжения был предложен в работе [82]. Основная идея этого метода изложена в работе [66]. Ниже получим, следуя работе [74], необходимые и достаточные условия существования локального продолжения поля напряжений в жесткую область. а) Клин под действием одностороннего давления. Рассмотрим задачу о нахождении предельной нагрузки для клина при действии одностороннего давления р, приложенной к правой грани клина [43]. Случай тупого клина 2у — (рис. 1.1). Вдоль контактной прямой наклоненной к оси х под углом у — компоненты 7п = —р, rnt = 0, так что у/ = у . Вдоль свободного участка, компоненты напряжения ап = rnt = 0, так что Области А0ОА1 и А2ОА3 могут быть в равновесии лишь при определенном значении давления р = р . В области АхОА2 справедливы интегралы (1.2.15) уравнений пластичности для вырожденного случая.
Отсюда можно получить /? , которое равно тс При 2/ — (остроугольный клин), решение характеризуется разрывным полем напряжения (рис. 1.2). Соотношения вдоль линии разрыва напряжений. Разрывы полей напряжений при условии пластичности общего вида было рассмотрено в работе [76]. При переходе через линию разрыва напряжений, наклоненной к оси х под углом а, компоненты напряжения ап и тт должны быть непрерывны, а компонента crt или среднее напряжение s может иметь конечный разрыв. Тогда значения компонент напряжения с разных сторон «-» и «+» от линии разрыва будут Из условий непрерывности, согласно соотношениям (1.1.6) и (1.1.7), имеем Введем соотношение n = —, тогда из зависимости (1.3.3) имеем б) Необходимые и достаточные условия локального продолжения поля напряжений в окрестности жесткопластической границы. Определим положение свободной поверхности S в окрестности точки пересечения жесткопластической границы МС и свободной поверхности N CN (рис. 1.3). Линии МС, N C и CN могут считаться прямыми, так как рассматривается локальное продолжение. N CN в общем случаи может иметь излом в точке С. Рассмотрим площадки АС и А С, расположенные под углами 8 и 8 к МС. На них действуют равномерные сжимающие напряжения Области ACN и A CN можно рассматривать как клинья, находящиеся под действием одностороннего давления q и q\ Минимальный угол раствора клина у , который может выдержать нагрузку определяется уравнениями (1.3.1) при / — и (1.3.6) при / —. Углы рассчитанные по формула (1.3.1) и (1.3.6) для q и q определяют положение свободных поверхностей Е и Z в окрестности точки С. При статическое продолжение в окрестности точки С может быть построено. Минимальный излом поверхности N CN достигается при т.е. свободная поверхность в окрестности точки С может быть гладкой, при этом линия скольжения МС должна пересекать ее под углом д. Неравенства (1.3.8) являются достаточным условием существования локального продолжения.
Необходимым условием будет тср тш и т\р тш, где тср и т\р - средние касательные напряжения на MN и MN (рис. 1.4). Из (1.3.11) и (1.3.12) получаем, что необходимые условия существования статически допустимого поля напряжения можно представить в виде При равенстве нулю первых производных, необходимым условием для т.е. при малых а средние напряжение тср и т ср не превысят тп(. Касательное напряжение т ср при произвольном а и в\ определяются из (1.3.11), (1.3.14) и будет равно Это возможно только при равномерном напряженном состоянии на линии MV1, а так как поверхность NO свободно от напряжений, то Из (1.3.14) и (1.3.16) следует, если в окрестности точки С свободная поверхность гладкая, то характеристика МС может подходить только под углом д, при этом s . а) Соотношения на поверхности разрыва скоростей перемещения. Компоненты скорости деформации єп, є( и ynt на линии, наклоненной к оси х под углом а, вследствие (1.1.2) будут Эти же компоненты на линиях скольжения, наклоненных к оси х под углами а = у/ + д, дают При переходе через линию разрыва скоростей, наклоненную к оси х под углом а, компоненты скорости деформации будут следующими [66]: Из соотношений (1.4.1) следует, что a = i// + S, а линия разрыва скоростей совпадает с одной из линией скольжения, так что показывающие, что при переходе через линию разрыва претерпевает скачок не только касательная компонента скорости v,, но и нормальная компонента скорости v„. Пусть на линии скольжения , наклоненной к оси х под углом у/ — 5 величина непрерывна, а компонента v/ претерпевает скачок. Так как то величина V непрерывна, т.е. V+ =V_. Из уравнений (1.2.3) следует, что Если на линии скольжения г, наклоненной к оси х под углом у/ + 8 величина непрерывна, а компонента v, претерпевает скачок, то и величина U непрерывна, т.е. U+ =U_. Из уравнений (1.2.4) следует, что или V+ - V_ = const, т.е. величина V претерпевает скачок. Будем описывать движение среды в форме Эйлера где xi , JC(, соответственно, лагранжевы и эйлеровы координаты частиц среды. Выберем в качестве меры деформации тензор конечных деформаций Альманси Деформирование материала в окрестности разрыва поля скоростей перемещений рассматривались в работах [74, 75], при этом предполагалось, что материал пластически несжимаемый. Ниже данный подход обобщается на случай сжимаемого пластического тела. Пусть поверхность Е является поверхностью разрыва поля скоростей перемещений, которая распространяется с нормальной скоростью G. Функции л:,0 = х?(х1}х2,х2), предполагаются непрерывными, производные на поверхности должны удовлетворять согласно [68], следующим геометрическим и кинематическим условиям совместности: где [JC?.j=x?y-х?., ni - компоненты вектора нормали к поверхности , А( -некоторые функции, определенные на поверхности разрыва.
Раздавливание клина плоским штампом
Рассмотрим задачу о сжатии плоским вполне гладким штампом жесткопластического клина с углом наклона а, предполагая, что пластическая масса выдавливается с обеих сторон. Необходимые построения в области течения ху изображены на рис. 2.7. Введем обозначения А0Р = а и A0O = h. Анализ полей напряжения и скоростей проводится аналогично задачи о внедрении клина в полупространство, при помощи интегралов пластичности (1.2.14) для вырожденного случая. Нормальная vn и касательная v, компоненты скорости на линии разрыва А0А1А2А3, на основании соотношений (1.4.2), имеют вид Построения в плоскости течения ху позволяют выразить длину контактного участка а через глубину сжатия h следующим образом: и связать углы в- а - J3. Сила давления штампа 2Р должна уравновешиваться нормальными напряжениями на контактной прямой. Отсюда Получим распределение деформаций для случая глубины внедрения штампа h -1. Точки пластической области имеют координаты: Нормальная скорость G распространения линии A0AXA2A3: Полученные соотношения позволяют определить угол раствора веера в из уравнения: На рис.2.8 дано сравнение скоростей частиц пластической области (пунктирная линия) и частиц движущихся на линиях АХР (сплошная линия) и показывает, что частица в процессе движения для любой величины у будут двигаться в направлении центра пластической области. Рассмотрим численное решение задачи для к — \, (р = 0 и 7 = 10. Рис.2.9 Решение для 7 = 6 сводится к классическому случаю и получено в работе [ 13]. На рисунках 2.9 ( р = 0) и 2.10( = 10) показано распределение Рис. 2.10 деформаций на линии разрыва AQAlA2A3 и в окрестности центра веера характеристик АХРА2 для угла раствора клина 2у = 80. Наибольшие деформации для (р = 0 и 9 = 10 наблюдаются в окрестности центра веера характеристик. Рис. 2.11 На рис.2.11 представлены графики распределения деформаций Ех(у) и Е2 (у) в зависимости от величины угла раствора клина у для ср = 0 (сплошная линия) и #? = 10 (пунктирная линия). На линии разрыва поля скоростей перемещений изменение деформаций происходит от значения на линии 1 (А0Аг) до значения на линии 2 (А2А3).
В окрестности центра веера характеристик, деформации изменяются от значения на линии 2 до линии 3. На рис.2.12 представлены графики изменения плотности среды рс(у) в окрестности особенностей поля линий характеристик для q = \Q (предполагается, р = 1 - начальная плотность исследуемой среды). Рис. 2.12 Из графиков следует, что при (р = 0, наибольшие деформации наблюдаются в окрестности центра веера характеристик до /»44, при 44, наибольшие деформации наблюдаются на линии разрыва скоростей. При q = 10, до значения /«47.7 наибольшие деформации наблюдаются в центре веера характеристик, при у 47.7 на линии разрыва скоростей При (р = 10 происходит уплотнение материала. Диссипативная функция Поставленная задача имеет другое решение [70], в котором линия скольжения выходящая из точки А3, проходит не через среднюю точку А0, а через крайнюю угловую точку контактной прямой, симметричную точке Р (рис.2.13). Рис.2.13 Введем обозначения для поставленной задачи: А0Р = а и А0О = h. Будем предполагать, что штамп опускается со скоростью v = —v0. Пластическая область РАХР двигается как жесткое целое со скоростью штампа. Анализ полей напряжений проводится аналогично предыдущей задачи, при помощи интегралов пластичности (1.2.14) для вырожденного случая. Поле скоростей перемещений, в отличии от предыдущего решения, терпит разрыв на линии АХА2АЪ и на внутренней границе АХР. В области А0РАХ плоскости течения ху поле скоростей определенно следующим образом: Нормальная vn и касательная v, компоненты скорости на линии разрыва АХР на основании соотношений (1.4.3) и (2.2.1) будут Построение в плоскости течения ху позволяет выразить длину а через глубину вмятия h следующим образом а также связать углы 9 = a — J3. Сила давления штампа 2Р должна уравновешиваться нормальными напряжениями на контактной прямой. Поэтому по-прежнему Учитывая соотношения (2.2.1), (2.2.2), (2.2.3) и (2.2.4) разрыв касательной и нормальной компонент скорости на линиях разрыва АХР и А1А2А3, будут следующие: на линии Ах Р: [v, J = v0 sin 8, [vn J = -v0 sin 8 tgcp, на линии Ax A2 A3: [v,] = v0 sin8 e" , [v„ ] = -v0 sin8 - fg# e tgq 4 . Точки пластической области имеют координаты: точка Р: хР =а, уР = ; точка Л3: л3 =a(l + 2e_ (g sin ), у = -2ae89h0tgScos0. Уравнения линий разрыва скоростей перемещений имеют вид: Нормальная скорость G линий разрыва AXP и АХА2АЪ будет: линия АХР : G = (1 + а tg8)cos8, Полученные соотношения (2.2.3), (2.2.4) и (2.2.6) позволяют определить угол раствора веера в из уравнения На рис.2.14 показаны скорости частиц движущихся в пластической области (пунктирная и штрихпунктирная линии) и частиц движущихся на линиях АХР (сплошная линия) и А2Р (точечная линия) со скоростями и — e , которые показывают, что частица в процессе движения для любой величины у будут двигаться в направлении центра пластической области. Ниже получено решение задачи для k = l, q? = 0 и # = 10. Решение для 7 = 0 сводится к классическому случаю и получено в работе [13]. На рисунках 2.15 (7 = 0) и 2.16 (7 = 10) показано распределение деформаций на линиях разрыва АХР, АХА2АЪ ив окрестности центра веера характеристик АХРА2 для угла раствора клина 2у = 80. Рис. 2.16 Вдоль линий АХР и А2А3 деформации постоянны. В окрестности точки Ах наблюдается скачок деформаций. Частица, попадающая в пластическую область А]РА3, деформируется два раза. Первый раз деформируется при переходе через линию разрыва АХА2А3, второй раз через линю разрыва АХР.
В этом случаи общие деформации подсчитаны с использованием соотношений дх (1.4.9), при известных значениях Wx и W2 на линии разрыва АХР и —ах j полученных из системы уравнений (1.4.17). Наибольшие деформации для р = 0 и # = 10 наблюдаются в окрестности центра веера характеристик. На рис. 2.17 и рис. 2.18 представлены графики Ех{у), Е2(у) изменения деформаций в окрестности особенностей поля линий характеристик для р = 0 (сплошная линия) и 7 = 100 (пунктирная линия). На рис.2.17 представлено распределение деформаций на линиях разрыва АХР и АХА2А3: при переходе через точку Ах происходит скачок деформаций, величина которого равна разности между значениями на линии 1 (АХР) и 2 (АХА2А3). Далее на линии АХА2А3 деформации изменяются до значения на линии 3. Таким образом, деформации при движении частиц вдоль линии жесткопластической границы от точки Ах уменьшаются. При увеличении угла раствора клина /, деформации также уменьшаются. Рис.2.17 На рис. 2.18 представлено распределение деформаций в окрестности центра веера характеристик АХРА2: до попадания в веер частица получает начальные деформации на линии 3 (А2А3), при движении в веере частица деформируется до линии 4. Так как АХР линия разрыва, происходит скачок деформаций, величина которого равна разности значений на линиях 4 (со стороны веера) и 5 (со стороны А0РАХ). Рис. 2.18 На рис.2.19 представлены графики изменения плотности среды рс(у) в окрестности особенностей поля линий характеристик для р = 10. Рис. 2.19 Сравнивая графики рисунков 2.17, 2.18 и 2.19 можно сделать вывод, что для (р = 0 в окрестности центра веера характеристик наибольшие деформации наблюдаются до значения /«66.3, при у 633 наибольшие деформации в точке разрыва Ах. Для 7 = 10 наибольшие деформации наблюдаются в окрестности центра веера характеристик (с учетом перехода линии разрыва АР). Диссипативная функция 2.3.
Сравнение результатов и выбор предпочтительного решения в задаче о раздавливании клина гладким плоским штампом
Для условий текучести Мизеса и Треска-Сен-Венана предпочтительным является решение Прандтля, для случая 2 = 60. Этот результат получен в работе [13]. Сравним результаты решения задачи по схеме Хилла и Прандтля для На рис. 2.29 представлен график зависимости P(t), показывающий скорость возрастания нагрузки, необходимой для деформирования клина. По решению Хилла (пунктирная линия) наблюдается максимальная скорость возрастания нагрузки, по Прандтлю (сплошная линия) — минимальная. На рис.2.30 и рис.2.31 (пунктирная линия — решения Хилла, сплошная линия - решения Прандтля) представлены графики изменения наибольших величин Ех{\//), Е2{у/) и рс(у/) на линиях разрыва скоростей перемещений (рис.2.30, крестиком обозначен разрыв в точке Ах для схемы Прандтля) и в окрестности центра веера характеристик (рис.2.31, крестиком обозначен разрыв в веере для схемы Прандтля). Из анализа графиков следует, что предпочтительным является решение Прандтля, так как для любого угла у/ наибольшие величины Ех{у/), Е2{у/) и рс {у/) здесь являются минимальными. Глава 3. Определение полей деформаций в задачах обработки материалов давлением Анализу различных пластических процессов (прокатка, волочение, выдавливание, резание металлов и т.д.) уделено большое место в работах [12, 28, 30, 65-66, 70, 80], при условиях текучести Мизеса и Треска — Сен-Венана. В задачах данного класса полагают, что в каждой фиксированной точке пространства напряжения и скорости не изменяются со временем, а пластическое течение является установившимся. В данной главе рассматриваются задачи о волочении полосы сквозь короткую матрицу, выглаживание поверхности клинообразным штампом, прессование и прошивка материала. Исследуются поля деформаций в различных точках пластической области с учетом необратимой сжимаемости. Рассмотрим волочение полосы сквозь жесткую матрицу [66], в предположении, что матрица имеет небольшую длину, а пластическая область показана на рис.3.1. Запишем граничные условия рассматриваемой задачи для верхней полосы, считая, что вдоль контактной прямой действует равномерно распределенное давление q. Вдоль оси х компоненты Туу = О, v = 0 и а вдоль контактной прямой, компоненты тп = -q, rnt = 0 и v„ = 0, так что Обозначим координаты точки Р через хх и уг, а. координаты точки Q Относительное сжатие полосы г определяется следующим соотношением.
В области PAnQ возникает простейшее поле напряжений, так что а сетка линий скольжения образована двумя изогональными семействами параллельных прямых. В областях АпРАп и AuQA2l плоскости течения имеют место соотношения в области AuQA2l, а сетка линий скольжений состоят из пучков прямых, проходящих через точки Р и Q , а также из семейств логарифмических спиралей, параметрические уравнения которых имеют вид 2 sin a cos По данным (3.1.3) и (3.1.2) вдоль характеристик АиА12и АпА21 может быть построено решение второй краевой задачи в области АпАХ2А22А2Х для уравнений координат. Вдоль линий характеристик АиАии АиА2Х имеют место соотношения между SH у/ где s0 - давление в точке A 22 . Так как в точках Al2 и v421 углы у/ = -or + рх и = —от - /32, то параметры s0, Рх и /?2 связаны следующим образом: Давление q и один из углов Рх или р2 определяется из двух условий: равенства нулю суммы проекций на горизонтальную ось всех сил, действующих вдоль линии QA 2\А22 и нахождение точки A22 на оси симметрии. Условие равновесия полосы устанавливает связь между усилием волочения полосы ру j и давлением q : Найдем радиусы кривизны R и Rn характеристик и TJ методом Римана [47]. Граничные условия для задачи Гурса: вдоль характеристики АпА2Х : Между углом а и обжатием г выполняется соотношение Соотношение (3.1.10) определяет максимальное обжатие г полосы, допустимое при решении поставленной задачи. Как и для случая несжимаемого материала, величина 2кух равна предельной нагрузки при одноосном растяжении гладкой полосы шириной ух. Волочение осуществимо, если усилие волочения Р 2кух (иначе произойдет разрыв правой части полосы), откуда т.е. для 6? = 0 угол a 42.447, а для 7 = 10 - a 34.365. Графики для максимального обжатия г при р = 0 (сплошная линия) и 7 = 10 (пунктирная линия) в зависимости от угла наклона матрицы а представлены на рис. 3.4. Рис.3.4 Значения р и q , в зависимости от г для различных значений угла а представлены на рис3.5(а) (для (р = 0) и рис3.5(б) (для 7 = 10). Рис.3.5 Кривые на рис.3.5 ограничены величиной давления клинообразного штампа на такой же вырез в жесткопластической полуплоскости (пунктирная линия) которое устанавливает минимальное допустимое значение обжатия г. Для определения поля скоростей будем считать, что части полосы справа от линии скольжения PA j 2 А 22 и слева от линии скольжения QA 21А 22 остаются Переменные U и V удовлетворяют уравнению (1.2.13). Это позволяет найти решение для уравнений (1.2.8) в области Ап Ап А22 А2Х по данным: вдоль линии скольжения РА 12 Полученные соотношения (3.1.13) позволяют определить скорости во всей пластической области.
Так как с течением времени площадь пластической области не изменяется, то имеет место равенство Здесь G = 0 - нормальная скорость распространения линий разрыва, v п -нормальная компонента скорости, причем вдоль линии QA 21А22 , вдоль линии PAnA22 и vn = 0 вдоль контактной прямой Р? Соотношение (3.1.14) устанавливает связь между горизонтальными скоростями й[ и«2 правой и левой жестких частей полосы: Исследуем распределение деформаций на выходе из пластической области в окрестности точки А22 ив окрестности центра веера характеристик АпРАп , что позволяет оценить поле деформаций в данном технологическом процессе. Учитывая соотношения (1.4.2), (1.4.3), (3.1.11) и (3.1.12), разрыв касательной и нормальной компонент скорости будут следующие: на линии PA 12 A 22 . Соотношения (1.4.8), (3.1.16) и (3.1.17) позволяют определить распределение деформаций на линиях разрыва скоростей перемещений. Распределение деформаций в области AnQAn определяется из системы уравнений (1.4.18) с начальными условиями на линии QA 21. В окрестности центра веера характеристик АиРАп распределение деформаций определяется из системы уравнений (1.4.17) с начальными условиями на линии АпА12 На рис.3.6 представлены графики значений деформаций на выходе из пластической области в окрестности точки А22 (сплошная линия) и в окрестности центра веера характеристик АиРА12 (пунктирная линия), в зависимости от обжатия г для различных значений угла а (рис.3.6(a) соответствует случаю р = 0, рис.3.6(6) - q = 10).
Выглаживание поверхности клинообразным штампом
Рассмотрим задачу о выглаживании гладким клинообразным штампом, движущегося со скоростью V = v0 относительно оси х , жесткопластической поверхности. Необходимые построения в области течения ху изображены на рис. 3.8. CAQAXBD представляет собой область деформированного материала глубины h при выглаживании клином. Анализ полей напряжения и скоростей проводится аналогично задачи о внедрении клина в полупространство при помощи интегралов пластичности (1.2.14). Рис. 3.8 Для построения поля скоростей считаем, что материал под линией скольжения А0А1А2А3 считается жестким и неподвижным. Тогда имеют место соотношения а проекции вектора скорости имеют вид Нормальная и касательная компоненты скорости на линии разрыва AQAlA2A3, на основании (1.4.2), будут Построения в плоскости течения позволяют выразить длину контактного участка А0Р = с через глубину выглаживания h следующим образом: Сила давления штампа, необходимая для деформирования материала, определяется соотношением Нормальная скорость G линии разрыва А0А{А2А3 определяется величиной Соотношение (3.1.14) позволяет найти уравнение для определения угла раствора веера AlPA2: Из (3.2.2) следует, что выглаживание полуплоскости клином возможно, пока выполняется неравенство Для случая ср = 0 соотношения (3.2.2), (3.2.3) и (3.2.4) примут вид: а ординаты точек О и А0 совпадут. Рассмотрим движение частиц в области АХРА 2 . Перейдем к подвижной системе координат х у с центром в точке Р . Старая система координат ху связана с х у соотношениями: Перейдем к полярным координатам г и є с началом в точке Р х1 = г cos є, у%= г sin є. Тогда с начальными условиями є = є0, г0 = є tg p(e s а) при t = 0 . Из системы (3.2.6) получаем уравнение для определения г : Из (3.2.7) следует уравнение для получения начального значения угла у/0 (8 ц/0 а + в) характеристики ВА2, через которую попадают частицы в пластическую область где A (a y/k 8)- значения угла для характеристики АХВ , через которую выходят частицы из пластической области.
На рисунках 3.9 показаны траектории частиц в области А1РА29 которые первоначально пересекли линию ВА2 для угла а = 30 в случае к = \, р = 0 (рис.3,9(а))и ) = 10 (рис.3.9(б)). Для 7 = 10 существует угол у/ F , при котором частица будет попадать в окрестность точки В {у/к - 8 ). Так для а = 30, $ = 10 из уравнения (3.2.8) следует, что f « 52.598 . В окрестности точки В первое главное значение Ех тензора Альманси будет принимать значение 0.5, а плотность рс среды равно нулю т.е. деформации достигают критического значения и возможно разрушение. Из уравнения следует, что существует угол 8 y/L y/F (для а = 30, 9 = 10 у/L «46.19) при котором первое главное значение Ех будет принимать критическое значение 0.5 и так же возможно разрушение. Частицы, которые попадают в пластическую область через линию LF , выходят из нее через линию BL . Частицы, для которых 8 ц/ ц/ь, будут двигаться как застойная зона вместе с линией разрыва. Аналогичная картина деформирования будет и для q = 0, только здесь особая линия BLF сожмется в одну особую точку В. На графиках рис.3.10 представлено распределение поля деформаций на выходе из пластической области в зависимости от угла у/ {а ц/L 5) для различных значений угла а от 5 до 30(рис.3.10(a) соответствует случаю Рис.3.10 На рис.3.11 представлен график изменения плотности материала рс(і//) на выходе из пластической области для # = 10 в зависимости от угла у/ для различных значений угла а от 5 до 30. Из графиков рис.3.11 следует, что для угла а = 30 происходит разуплотнение среды при выглаживаниии. В остальных случаях, сначала происходит уплотнение, а затем по мере приближения к точки В происходит разуплотнение среды. Диссипативная функция в рассматриваемой задаче Рассматриваются задачи о прессовании и прошивке материала гладким прямоугольным инструментом (рис.3.12). Рис.3.12 Исследуется случай, когда поле характеристик представлено в виде центрированного веера. Для несжимаемого материала это возможно при г = 0.5 [27]. в) а. Прямое прессование. Построение в плоскости течения ху изображено на рис.3.12(a). Поле напряжений определяется на основании интеграла пластичности (1.2.14). Произвольная постоянная выражается через значение s = и у/ — — в точке Ах. В результате получаем Сетка линий скольжения состоит из пучка прямых, проходящих через точку О , и из логарифмических спиралей, параметрическое уравнение которых имеет вид: Для характеристики AQA{ - С = . Уравнения (3.3.2) позволяют найти обжатие материала г : Для определения поля скоростей будем считать, что часть материала ниже линии скольжения А0А1 и выше линии скольжения А0 О остаются жесткими и движутся со скоростями и 2 и и!. Вдоль линии скольжения А0АХ, наклоненной к оси х под углом і// — 8 , имеет место вдоль линии АхО а вдоль линии А0О имеем Уравнение (1.2.8) вместе с соотношениями (3.3.5) - (3.3.7) позволяют определить проекции вектора скорости в области А0ОА {: а также связать вертикальные скорости и х и и 2 верхней и нижней части жестких частей материала Учитывая соотношения (1.4.2), (1.4.3) и (3.3.8), разрыв касательной и нормальной компонент скорости будут следующие: на линии AxO . Соотношения (1.4.8), (3.3.10) и (3.3.11) позволяют определить распределение деформаций на линиях разрыва скоростей перемещений. Распределение деформаций в области А0ОАХ определяются из системы уравнений (1.4.17) с начальными условиями на линии А0АХ. Рассмотрим движение частиц в области А0ОАХ.
Перейдем к полярным координатам г я в с началом в точке О , тогда Дифференциальные уравнения движения в этой области могут быть представлены следующим образом с начальными условиями г = r0, в = 0О при 7 = 0. Из системы дифференциальных уравнений (3.3.12) следует, что для р = 0 частица при у/ = 0 будет пересекать линию разрыва А0Оя первое главное значение Е1 будет стремится 0.5 т.е. деформации принимают критическое значение. Для (р = 10 частицы попадающие в пластическую область при 0 ц/ 0.189 будут пересекать линию разрыва А0О и первое главное значение Ех будет стремится к значению 0.5, а плотность рс материала равно нулю. Таким образом, при попадании частиц в застойную зону, возможно разрушение материала. Диссипативная функция б. Обратное прессование и прошивка. Построение в плоскости течения ху изображено на рис.3.12(6) (обратное прессование) и рис.3.12(в) (прошивка). Поле напряжений то же, что и в задаче прямого прессования. Давление штампа выражается соотношением (3.3.4). Будем предполагать, что штамп опускается со скоростью - и 2, а материал выходящий из зоны пластического течения движется как твердое тело со скоростью и, . Поле скоростей определено следующим образом: вдоль линии А 0 О Граничные условия в точке А{ позволяют связать скорости г/, ИЙ2 Учитывая соотношения (1.4.2), (1.4.3), (3.3.14) и (3.3.15), разрыв касательной и нормальной компонент скорости будут следующие: Нормальная скорость G линий разрыва определяется величиной Соотношения (3.3.17), (3.3.18), (3.3.19) и система дифференциальных уравнений (1.4.17) позволяют определить деформации в пластической области. Дифференциальные уравнения движения частиц в пластической области представлены следующим образом: с начальными условиями г = г0, в = 0О при t = 0 . Анализ системы (3.3.20) приводит к тем же результатам, что и в задаче о прямом прессовании. Диссипативная функция На графиках рис.3.13 представлено распределение поля деформаций на выходе из пластической области. Рис.3.13 Для 7 = 0 (сплошная линия) распределение деформаций одинаково для прессования и прошивке.
Похожие диссертации на Математическое описание полей деформаций жесткопластических тел при условии пластичности кулона-мора
