Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическая модель больших упругопластических деформаций 18
1.1. Кинематика больших упругопластических деформаций 19
1.2. Разделение полных деформаций на обратимые и необратимые 29
1.3. Определяющие законы для областей разгрузки и обратимого деформирования 32
1.4. Определяющие законы в случае пластического течения 35
1.5. Конкретизация определяющих законов 40
1.6. Моделирование больших упругопластических деформаций в неизотермическом случае 44
1.7. О модельном учете вязкости 53
Глава 2. Формирование поля остаточных напряжений у цилиндрического дефекта сплошности упругопластической среды 57
2.1. Начальное упругое равновесие 58
2.2. Развивающееся пластическое течение 63
2.3. Равновесие при накопленных необратимых деформациях 67
2.4. Разгрузка среды. Остаточные деформации и напряжения 71
2.5. Повторное пластическое течение при разгрузке 77
2.6. Повторное нагружение. Эффект приспособляемости среды к циклическим нагружениям 83
Глава 3. Динамика сферического дефекта сплошности в процессах нагрузки - разгрузки 93
3.1. Начальное упругое равновесие 93
3.2. Пластическое течение 97
3.3. Вычисление деформаций при нагрузке 101
3.4. Разгрузка при отсутствии повторного пластического течения 103
3.5. Повторное пластическое течение при разгрузке 108
3.6. Повторное нагружение 114
Глава 4. Остаточные напряжения в окрестности дефекта сплошно сти вязкоупругопластического материала 122
4.1. Постановка задачи. Начальные условия пластического течения 122
4.2. Пластическое течение 127
4.3. Разгрузочное состояние 132
Глава 5. Остаточные напряжения у неоднородностеи, отличных от дефектов сплошности 141
5.1. Остаточные напряжения у цилиндрической полости в идеальной упругопластической среде 141
5.2. Формирование полей остаточных напряжений у одиночных сферических включений в идеальной упругопластической среде 156
5.3. Возникновение остаточных напряжений за счет температурных эффектов 175
5.4. Возможность определения параметров упругопластического деформирования по итоговому распределению остаточных напряжений 201
5.5. Пластическая несжимаемость и выбор пластического потенциала в случаях цилиндрической и сферической симметрии 208
Глава 6. Прямолинейные движения упруговязкопластической среды 214
6.1. Конечное продвижение упруговязкопластической пробкипо цилиндрической трубе 214
6.2. Продавливание упруговязкопластического материала между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями 230
Заключение 255
Список литературы 260
- Разделение полных деформаций на обратимые и необратимые
- Равновесие при накопленных необратимых деформациях
- Разгрузка при отсутствии повторного пластического течения
- Формирование полей остаточных напряжений у одиночных сферических включений в идеальной упругопластической среде
Введение к работе
Современная технологическая практика сталкивается с необходимостью учета упругих свойств материалов в расчетах режимов их интенсивного формоизменения при обработке металлов давлением. Ведь именно свойство упругости и связанные с ним обратимые деформации необходимы для целей расчетного прогнозирования итоговой геометрии тел после деформации и итогового распределения в них остаточных напряжений. Поля остаточных напряжений формируются у любых неоднородностей материалов, так как последние выступают в роли концентраторов напряжений. Размеры неоднородностей могут оказаться сравнимыми с перемещениями частиц материала в их окрестностях. Это обстоятельство исключает возможность использования при математическом моделировании подобных процессов интенсивного деформирования классических моделей типа Прандтля - Рейса, так как они основываются на гипотезе малости деформаций. В окрестности микронеод-нородностей (дефекты сплошности в форме микротрещин и микропор, инородные микровключения, выраженные дефекты структуры и др.) они всегда большие. Заметим, что до настоящего времени общепризнанной и всесторонне непротиворечивой математической моделью больших упругопластических деформаций фундаментальная механика не располагает. Следовательно, создание теории больших упругопластических деформаций с учетом теплофизических и реологических эффектов оказывается одной из основных фундаментальных проблем современной механики. Указанные обстоятельства позволяют сформулировать цель настоящего исследования: разработать математическую модель больших упругопластических деформаций, учитывающую тепловые и реологические эффекты, и изучить на такой основе закономерностей формирования полей остаточных напряжений в окрестностях микронеоднородностей интенсивно продеформированных материалов в процессах обработки их давлением.
Накопление необратимых деформаций в твердых телах связано с двумя взаимозависимыми необратимыми термодинамическими процессами, происходящими при их деформировании. Первый из них определяется зависимостью функции диссипации энергии от скорости протекания процесса и связывается с проявлением вязких свойств материалов [6, 54, 121], Следствием этого оказываются явления ползучести и релаксации напряжений. Основу второго существенно необратимого процесса предопределяют внутренние структурные изменения в материалах, которые и вызывают рост необратимых деформаций. Такое свойство деформирующихся материалов называют пластичностью [28, 48,49, 52, 53,128,135]. На особенностях математического моделирования последнего явления остановимся несколько подробнее, поскольку именно оно является предметом настоящего исследования.
В моделировании процессов интенсивного накопления необратимых деформаций, связанных с проявлением пластических свойств материалов, можно выделить два подхода. Первый из них называют деформационной теорией пластичности или теорией упругопластических процессов, второй -теорией пластического течения.
Основополагающие постулаты и гипотезы теории упругопластических процессов были сформулированы А.А. Ильюшиным [50 - 53], среди которых следует выделить постулат изотропии А.А. Ильюшина и гипотезу локальной определенности B.C. Ленского [91, 92]. Данная теория положительно зарекомендовала себя в применении ко многим прикладным расчетным проблемам, поэтому, несмотря на непрекращающуюся критику, имеет достаточно много сторонников и последователей. Хотя иногда данный подход называют теорией малых упругопластических деформаций, имеются попытки обобщения его на случай конечных деформаций [12, 33, 112, 113, 130,132, 200, 201]. Особо следует отметить монографию А.А. Поздеева, П.В. Трусова и Ю.И. Няшина [114], которая является итогом объемного цикла исследований, посвященных теории больших необратимых деформаций при малых обрати-
мых. В своей теоретической части данная монография обобщает теорию уп-ругопластических процессов А.А. Ильюшина на случай, когда пластические деформации нельзя считать малыми. В рамках такого подхода дается постановка краевых задач термоупругопластичности, а также методы их решения, представлены результаты решения ряда технологических задач. В основу расчетной методики положен метод Галеркина и соответствующие разрешающие конечноэлементные соотношения.
Различным подходам в построении теории пластического течения материалов посвящена обширная литература. Сошлемся здесь лишь на известные монографии [40, 48, 49, 57, 59, 98, 99, ПО, 120, 128, 131, 133, 135, 136, 140, 141] и некоторые оригинальные публикации [7, 8, 9, 14, 29, 46, 55, 58], решающие проблемные вопросы теории.
Обобщение классических подходов теории идеальной упругопластич-ности (тело Прандтля - Рейса) с целью учесть конечные деформации наталкивается на две принципиальные трудности. Первая из них заключается в самом определении обратимых (упругих) и необратимых (пластических) деформаций. Построение математической теории течения упругопластических материалов требует разделения деформаций на обратимую (упругую) и необратимую (пластическую) составляющие. Но если полные деформации можно опытно измерить, то их составляющие экспериментально не измеримы. Что же в таком случае следует назвать обратимыми деформациями, а что необратимыми? Ответ на этот основополагающий вопрос при построении модели с необходимостью оказывается связанным с произволом исследователя, конструирующего математическую модель. Общепризнанный подход здесь принципиально невозможен и поэтому гипотетический выбор критерия разделения деформаций на составляющие порождает существующее многообразие в моделях упругопластических деформаций. Каждый из многочисленных авторов [80, 97, 111, 131, 153, 183, 187,262,263, 176, 186, 189], предлагая собственный способ определения обратимых и необратимых деформа-
ций, критикует предшественников, но при этом часто дает не меньше поводов для критики предлагаемого. Вторая, опять же по существу, кинематическая проблема в построении модели больших упругопластических деформаций связана с определением тензора скоростей изменения необратимых деформаций. Данный тензор входит в определяющие соотношения математической модели; с его помощью формулируется ассоциированный закон пластического течения. Алгебраически разделяя посредством выбранного критерия деформации на обратимую и необратимую составляющие, на таком пути с необходимостью сталкиваемся с задачей выбора объективной производной для определения скоростей пластических деформаций.
В работе Л.И. Седова [127], являющейся первой, посвященной кинематике конечных упругопластических деформаций, предложено, как и в классической теории, представление тензора полных деформаций в виде суммы тензоров упругих и пластических деформаций. Вектор перемещений при этом полагался также аддитивно разложимым на упругую и пластическую составляющие. На математическую некорректность такого подхода было указано сразу же после выхода книги из печати.
Большое влияние на развитие теории оказало предложение Ли [176] представить градиент полной деформации в виде произведения
дг0 др дг0 Здесь Fq, г - радиус-векторы начального и текущего положений точки деформируемой среды, р - радиус-вектор этой же точки в состоянии разгрузки. Таким образом, постулируется существование такого состояния, называемого состоянием разгрузки, которое однозначно связано с начальным или текущим состоянием среды и не зависит от процесса разгрузки. Сложность при таком подходе заключается как в самом определении состояния разгрузки интенсивно и неоднородно продеформированного тела, так и в том, что
разгрузочное состояние может быть не единственным, а зависеть от характера такого процесса, что подтверждается многочисленными опытами. У Ли такое состояние определяется с точностью до жесткого вращения, однако [83], при таком повороте могут нарушаться и принцип материальной индифферентности и принцип термодинамической допустимости. В частности, попытку Ли перенести этот прием на случай малой упругой анизотропии [178] следует в этом смысле признать неудачной.
Развитие идеи Ли содержится в работах Кондаурова В.И. и Кукуджа-нова В.Н. [80] и Кондаурова В.И. [72]. В рамках построенной на такой основе модели конечных упругопластических деформаций изучались закономерности распространения волн напряжений [74, 79] и предлагались способы расчетов в нестационарных задачах необратимого деформирования твердых тел [73, 80]. Заслугой авторов данных статей является не только исправление неточностей в подходе Ли, но, что особенно существенно, конкретизация модельных зависимостей с целью расчетов конкретных краевых задач.
Подход, предложенный Ли, использовался в большинстве последующих работ [38, 90, 122, 158, 161, 173, 177, 180, 184, 195, 196, 205]. Таким способом предпринимались попытки распространить кинематику Ли на анизотропные упругопластические материалы, учитывающие кристаллическую внутреннюю структуру их строения [158, 173, 180]. Заметим еще раз, что [83] перенос представления Ли для обратимых и необратимых деформаций на анизотропные среды является некорректным. Таким образом, данная ошибка Ли присуща и перечисленным работам последователей.
В работе Клифтона [156] полные деформации разделяются на упругие и пластические на основе разложения, отличающегося от представления Ли порядком сомножителей, то есть принимается, что
Такое разделение опять же основано на гипотезе соответствия каждому
актуальному деформированному состоянию единственного разгрузочного состояния. При этом промежуточные состояния в процессах разгрузки определяются не только этими двумя состояниями, что само по себе вносит неудобства, но и характером процесса разгрузки. Более того, как было показано в работе [189], в подходе Клифтона не удается образовать тензор необратимых деформаций таким, чтобы он не менялся в процессах разгрузки.
На подобное же обстоятельство, присущее кинематике Ли, обратили ранее внимание Грин и Нахди [163]. Однако, попытку исправления, предпринятую ими, также следует признать неудачной, поскольку в модели, ими построенной, теперь уже закон связи напряжений с обратимыми деформациями существенно зависит от пластических деформаций. Это не позволяет использовать соотношения модели для практических нужд, так как конкретизировать такой закон с помощью экспериментов не представляется возможным. Еще раз сошлемся на работу [189], где также, как ранее Л.И. Седовым, предложено разделить вектор перемещений на упругую и пластическую составляющие. Данное разделение оказалось не лучшим, поскольку введенные тензоры деформаций получились не инвариантными при жестких вращениях. В ней также было показано, что кинематика Грина и Нахди [163] опирается на тензоры деформаций, не выражающиеся однозначно через метрический тензор, что делает такую теорию сомнительной.
В работах [137, 181] получены обобщения кинематики Ли на термоуп-ругопластические среды. В [193] на такие среды обобщается кинематика Грина и Нахди. Очевидно, что имеющиеся в таких подходах недостатки не могут быть устранены добавлением еще и температурных градиентов деформаций [137,181] и температурных деформаций [193].
Результаты исследований Киевской школы механиков [84 - 87, 102, 105] суммированы в монографии В.И. Левитаса [83]. Построенная В.И. Ле-витасом кинематика конечных упругопластических деформаций свободна от многих неточностей предшественников, но основополагающей гипотезой ее
построения, по существу, остается положение Ли о существовании разгрузочного состояния. Поэтому необходимыми оказались дополнительные ограничения, освобождающие теорию от зависимости обратимых деформаций от необратимых в процессах разгрузки. На сегодняшний день [179] это, пожалуй, наиболее продвинутая теория, сведенная до приложений [104, 106] с численными расчетами конкретных краевых задач [89, 103]. При этом следует подчеркнуть, что развивается не только теория течения, но и также как и Пермской школой [114] теория упругопластических процессов А.А. Ильюшина [83].
Второй называемой проблемой теории конечных упругопластических деформаций оказывается определение тензора скоростей пластических деформаций. Очевидно, что в классических теориях пластичности, когда деформации считаются малыми (тело Прандтля - Рейса), такой проблемы не существует. Обычный прием, используемый для связи тензоров пластических деформаций и скоростей пластических деформаций, связан с тем, что в качестве последнего принимается некоторая известная объективная производная по времени (Яумана, Олдроида, Коттера-Ривлина, Трусделла и др.) от тензора необратимых деформаций. Выбор такой производной неоднозначен и диктуется, по существу, вкусом автора создаваемой теории. В. Прагер считает, что для теории пластичности наиболее предпочтительной является производная Яумана [115 - 117]. В ряде работ предпочтение отдается производной Коттера - Ривлина, поскольку такое дифференцирование связывает тензор конечных деформаций Альманси с Эйлеровым тензором скоростей деформаций. В [4] для этой цели предлагается использовать другие кинематические конвективные производные, но они определяются неоднозначно. Р. Хилл считал [166, 167], что данный выбор может быть произвольным. В более поздних работах [144,157,158, 160] предлагается осуществлять выбор на основе экспериментальных данных. Однако при таком подходе нет уверенности, что «наилучшая» производная была рассмотрена и что выбранная в
результате производная не приведет к противоречию с экспериментом для других видов деформации.
В монографии В.И. Левитаса [83] и в последующей его публикации [179] данной проблеме уделено значительное место. Один из параграфов [83] так и называется: «Постановка и решение задачи выбора объективной производной». Заметим, что наряду с «решением задачи» оставлено и слово «выбор». Действительно, постулированное, также как и у Ли, наличие разгрузочного состояния, которое позволяет разделить деформации на обратимые и необратимые с необходимостью приводит к данной проблеме, к проблеме «выбора». Поскольку для формулирования теории пластичности определение тензора скоростей необратимых деформаций необходимо, без такого «выбора» данного тензора не обойтись. Но если только строить кинематику, следуя гипотезе существования единственного соответствующего данному текущему состоянию разгрузочного состояния, то проблема «выбора» объективной производной с необходимостью возникает. С целью отказаться от данной неоднозначности выбора В.И. Левитасом введена в рассмотрение новая объективная производная, названная R - производной. С помощью данной производной решена задача об обобщении определяющих соотношений в случае деформирования без конечных поворотов, на общий случай. Поэтому предложение В.И. Левитаса заключается в построении теории с исключенными вращениями при деформировании с последующим их строгим обобщением. Таким образом, проблема неоднозначного выбора переносится из общетеоретических проблем в задачу конкретизации модели на уровне простых нагружений. Известно, что такие задачи являются неполными, таким способом можно лишь «спрятать» проблему, а не разрешить. Впрочем, это признается в итоге и В.И. Левитасом.
В работе А.Д Чернышова [138] для построения модели конечных упру-гопластических деформаций предлагается использовать законы термодинамики. При этом в основу модельных соотношений опять же положено пред-
ложение Ли об алгебраическом разделении деформаций на обратимую и необратимую составляющие на основе гипотезы о существовании единственного разгрузочного состояния. Впервые автор задается вопросом: «Что же такое разгрузочное состояние»? В качестве последнего предлагается для каждой частицы тела считать предельным состоянием ее состояние при неограниченном измельчении разгруженного тела. Механический смысл данного определения совершенно прозрачен, но как такое состояние рассчитать? Неясным в предложенных построениях остается введение тензора скоростей пластических деформаций, то есть с необходимостью возникает та же проблема «выбора» объективной производной.
В работах А.А. Рогового с учениками [78, 107, 124] в качестве разгрузочного состояния принимается то же состояние, что и в [138]. Отмечается, что так же как и в разложении Ли [176] и многочисленных его последователей [189, 72, 83] данное состояние не является единственным и подчеркивается необоснованность принимаемого условия зануления неупругих конечных поворотов. С целью уточнения кинематики больших упругопластиче-ских деформаций предлагается рассматривать процесс накопления деформаций в качестве последовательного наложения малых упругопластических деформаций на конечные. Таким способом все сложности, связанные с разделением деформаций на обратимые и необратимые переносятся на уровень приращения деформаций, где пластическими (необратимыми) объявляются деформации до некоторой промежуточной, полученной при не изменяющихся напряжениях, конфигурации, а упругими - от промежуточной до текущей конфигурации. При наложении считается, что обратимые и необратимые деформации в своей сумме дают полные, так как обе составляющие можно считать малыми. Вводя промежуточную конфигурацию, тем самым принимается гипотеза о не влиянии в малом упругих деформаций на процесс приобретения необратимых. Заметим, что в общем случае это противоречит опытным фактам. И все же перенос, по существу, предложения Ли на уро-
вень малых приращений, является, по нашему мнению, прогрессивным моментом, вполне согласующимся с нашими подходами об определении обратимой и необратимой составляющих деформаций дифференциальными уравнениями изменения соответствующих тензоров (уравнениями переноса).
Основы теории, изначальные предположения которой отличны от гипотезы разгрузочного состояния Е. Ли, были предложены Г.И. Быковцевым, А.В. Шишковым, В.П. Мясниковым и А.А. Бурениным. В работе Г.И. Бы-ковцева и А.В. Шитикова [32] было предложено определять обратимые и необратимые деформации дифференциальными зависимостями. В процессах разгрузки в построенной таким способом модели выделяется лишь то состояние, начиная с которого данные процессы осуществляются. Таким способом удалось добиться, чтобы любое состояние в процессах разгрузки не зависело от характера самого процесса, а определялось только параметрами его начала. В настоящей работе используется данная идея с конкретизацией определяющих соотношений. Отметим статью А.В. Шитикова [144], где этот же подход развивается с использованием термодинамики и на основе сформулированного вариационного принципа.
На основе положений неравновесной термодинамики, а процесс пластического деформирования является существенно неравновесным, в работе В.П. Мясникова [101] предложены определяющие соотношения класса деформируемых материалов, допускающих необратимые деформации. Понятия тензоров обратимых (упругих) и необратимых (пластических) деформаций вводятся также дифференциальными зависимостями посредством построенных соответствующим образом уравнений их изменения (переноса). Тензор полных деформаций принимается в виде суммы данных тензоров, характеризующих внутреннюю структуру среды и являющихся основными наряду с энтропией внутренними термодинамическими параметрами. Таким образом, еще раз подчеркнуто, что способ разбиения деформаций на обратимую и необратимую части не принципиален для построения модели, даль-
нейшая конкретизация связана только с удобствами математического описания. В данной работе отличие упругих деформаций от пластических связано только с тем, в каком из уравнений переноса и каким способом поставлен источник данного внутреннего термодинамического параметра. Для понимания механического и термодинамического смысла вводимых гипотез при построении теории конечных упругопластических деформаций работа В.П. Мясникова [101] незаменима. В ней предельно просто и ясно указаны свойства материалов, закладываемые в модель, и в каком качестве они предстают при использовании формализма феноменологической термодинамики необратимых процессов. Также как и в [32], не возникает проблема выбора объективной производной, ее вид обязан следовать из использованного термодинамического формализма. Это тем более важно, так как до сих пор публикуются статьи дискуссионного содержания об аддитивном и мультипликативном разделении полных деформаций на обратимые и необратимые [147, 149, 151] и о выборе объективных производных [151, 195, 207].
Различные аспекты кинематики больших обратимых и необратимых деформаций и способы математического моделирования упругопластических процессов деформирования рассмотрены в работах [91, 109, 123, 150, 159, 168, 185, 194]. Вариационные подходы к построению теории использовались в [75, 144, 159]. Имеются попытки поставить и решить краевые задачи теории. Так в [195] рассматривалась задача о чистом сдвиге, в [207] разработаны подходы к решению задач трехосного нагружения и кручения, в [171] поставлена модельная задача для несжимаемого материала. В [174] приведены аналитические решения двух статических задач об изотропной полой толстостенной сфере при действии внешнего и внутреннего давления. Даже в этих простейших модельных задачах приходится прибегать к численным расчетам. Среди численных методов наиболее популярным остается метод конечных элементов [83, 114, 160, 164], таким способом решены некоторые технологические задачи теории упругопластических процессов А.А.
Ильюшина [114], когда обратимые деформации считаются малыми, а также проведены расчеты [83, 152] конечных упругопластических деформаций согласно теории течения при высоких давлениях.
Первая глава данной диссертационной работы посвящена разработке основных модельных соотношений теории. В основу принятых построений положен подход Г.И. Быковцева и А.В. Шитикова [32] о дифференциальных определениях для тензоров упругих (обратимых) и пластических (необратимых) деформаций. Предложена простейшая модель упругопластической среды, основанная на таком подходе, при этом основной упрощающей гипотезой при построении простейшего варианта теории является предположении о независимости свободной энергии от необратимых деформаций. Требование о равенстве нулю скорости пластической деформации в процессе разгрузки приводит к однозначной связи тензора пластических деформаций с тензором скоростей пластических деформаций, которая может трактоваться как объективная производная от тензора пластических деформаций по времени. Полученные модельные соотношения обобщены на случаи учета тепловых и реологических свойств материалов.
Во второй главе, в рамках полученных модельных соотношений, рассмотрена задача о поведении границы микротрещины при эксплуатационных нагрузках по типу «нагрузка - разгрузка». Решены задачи об упругом равновесии упругопластического материала с таким дефектом сплошности, о пластическом течении материала в окрестности микродефекта при увеличивающемся давлении на внешней цилиндрической поверхности, о разгрузке и о повторном нагружении материала.
В третьей главе указанные задачи рассмотрены для случая, когда дефект сплошности представляет собой микропору.
В четвертой главе решена динамическая задача о поведении границы микротрещины в вязкоупругопластическом материале при нагружении мате-
риала гидростатическим давлением и о последующей разгрузке. Проведено сравнение полученных результатов со случаем идеальной пластичности.
В пятой главе закономерности формирования полей остаточных напряжений рассмотрены для неоднородностей, отличных от дефектов сплошности: цилиндрическая полость в толстостенной трубе; одиночные сферические включения, жесткие и более прочные в сравнении с основным материалом; полая биметаллическая труба при тепловом воздействии на нее. Решена задача об определении основных параметров упругопластического процесса деформирования по известным (измеренным) значениям остаточных напряжений в точках готового изделия.
В шестой главе получены аналитические решения задач о продавлива-нии пробки из несжимаемого упруговязкопластического материала через жесткие цилиндрические матрицы при изменяющемся во времени перепаде давления на граничных поверхностях пробки.
Разделение полных деформаций на обратимые и необратимые
Как уже отмечалось, разделение опытно измеримых полных деформаций на обратимую и необратимую составляющие, которые не могут быть экспериментально измерены, является основной проблемой при построении теории конечных упругопластических деформаций. В классической теории упругопластической среды (тело Прандтля -Рейса) принимается, что тензор малых деформаций Еу определяется суммой упругой ец И пластической efj составляющих полных деформаций. Аналогично можно поступить в случае конечных деформаций, то есть положить [101] где ву и Ру - соответственно тензоры конечных упругих и пластических деформаций. При этом определения тензоров упругих и пластических деформаций вводятся дифференциальными зависимостями посредством по строенных соответствующим образом уравнений их изменения (переноса). В этом случае, как было показано [101], построенные таким образом тензоры конечных упругих и пластических деформаций являются наряду с энтропией основными внутренними термодинамическими параметрами, то есть определение данных тензоров выходит за рамки кинематики. Можно в основу разбиения полных деформаций на упругие и пластические положить требование, что при переходе к малым деформациям следовало бы основное соотношение теории малых упругопластических деформаций Прандтля - Рейса. Очевидно, что этому требованию можно удовлетворить различными способами, например, представив метрический тензор g;. в виде При этом во всех случаях тензоры упругих и пластических деформаций требуют своего определения. И для их определения необходимы другие предпосылки. Например, у Lee [176] разделение деформаций основано на том, что каждому деформированному состоянию с накопленными пластическими деформациями соответствует единственное состояние, называемое состоянием разгрузки, не зависящее от характера процесса разгрузки.
Сложность такого определения заключается как в трудности определения состояния разгрузки, так и в том, что такое состояние может не быть единственным, то есть может зависеть от характера процесса разгрузки. В данной работе основанием для разделения полных деформаций Аль-манси dy на упругие е-ц и пластические /?„ выбрано условие о том, что в процессе разгрузки все изменение компонент тензора пластических деформаций связано только с жестким перемещением и поворотом системы координат (или с жестким движением тела). При этом, как было показано в параграфе 1.1, вращение для разных точек тела происходит по-разному. Тензоры обратимых и необратимых деформаций, являющиеся независимыми термодинамическими параметрами, определены дифференциальными уравнениями (1.33) и (1.32) их изменения (переноса). При этом неопределенным остается источник необратимых деформаций ty. Из (1.4) и (1.16) для тензора dy получаем зависимость Недостатком формулы (1.34), может быть, можно считать тот факт, что в случае ег. = 0 тензор деформаций Альманси dy совпадает с тензором пластических деформаций ру, а в случае Ру = 0 dy Ф е-у, а йц = вц eiketi- Однако, этот факт опять же относится к проблеме опре деления в данном случае упругих деформаций. Можно назвать тензором уп ругих деформаций тензор Sy = ву %% Тогда зависимость (1.34) пере пишется в виде В последнем соотношении в случае Sj.- = О тензор Альманси (Лц равен тензору пластических деформаций Рц, а если р-х: = 0, то flL- совпадает с тензором упругих деформаций Sj,-. При этом тензор рц в процессах разгрузки по-прежнему определен дифференциальной зависимостью (1.30). Но в этом случае значительно более громоздкими получаются уравнения (1.31) и (1.33) изменения компонент тензора Sj.-, если в них положить ег: = dij — Ад» — Sj.-, что в дальнейшем затрудняет их использование для вывода последующих зависимостей. Поэтому остановимся на соотношении (1.34), в котором тензоры е„- и /?„ определены дифференциальными зависимостями параграфа 1.1. С целью получения зависимостей напряжений от кинематических параметров воспользуемся законом сохранения энергии
Равновесие при накопленных необратимых деформациях
Пусть в процессе пластического течения граница пластической области изменилась от значения .Уд при р = PQ В начальный момент пластического течения до значения т = w(/j) при р = р\ = рщ) = PQ + gti в конечный момент нагрузки. Уравнения внешней и внутренней граничных поверхностей в момент времени t = t\ имеют вид Г = R и Г = S\ соответственно. В области 5} г ГИ} присутствуют накопленные необратимые деформации, область Wj г R\ остается областью упругого деформирования. Таким образом, среда находится в равновесии при граничных условиях В области обратимого деформирования упругие деформации согласно (1.34) найдутся по известным полным деформациям (2.32) области S\ г Ш\ отметим некоторую материальную точку среды с координатой г; координату этой же точки до процесса деформирования обозначим rtQ.
Необратимые деформации в рассматриваемой точке среды начинают накапливаться при достижении внешним давлением значения pt (/?0 pt /7j). Положение рассматриваемой точки среды в этот момент времени определяется значением rt ее координаты. Если обозначить через г = Rt и г = st положения граничных по верхностей в этот же момент времени, то аналогично (2.5) можно записать То есть yt - значение функции (p\t) в некоторый текущий момент времени. Таким образом, при текущем давлении pt на внешней граничной поверхности Rt граница пластической области в текущий момент времени определяется значением rt. Следовательно, при каждом значении г — rt будет выполнено условие пластичности Треска У то есть уравнение (2.15) при X = 1 + —=-. Тогда положение границы пласти ческой области в текущий момент времени определяется уравнением Из (2.34) следует, что координаты Г/0 и Г связаны зависимостями Согласно (2.36) устанавливается связь начальной (материальной или лагран-жевой) координаты точки, в окрестности которой осуществлено необратимое деформирование, с ее текущей (пространственной или эйлеровой) координатой. Учитывая идеальный характер пластического течения, упругие деформации в каждой точке изменяются до тех пор, пока ее не достигнет упруго-пластическая граница Г = rt. Пластические деформации до этого момента времени равны нулю, а упругие деформации вычисляются через полные деформации, накопленные элементом тела к моменту достижения им предела текучести.
Таким образом, согласно (1.34) получим для компонент упругих деформаций в области необратимого деформирования получаем окончательные зависимости Из (2.38) следует, что в области с накопленными пластическими деформациями упругие деформации постоянны. По известным полным (2.32) и упругим (2.39) деформациям из (1.34) пластические деформации вычисляются зависимостями определяются значением нагружающего давления pt. В конечный момент нагрузки давление на внешней цилиндрической поверхности Г = Ri равно значению р\. Пластическая область при этом занимает объем между поверхностями S\ г Г. Пусть в дальнейшем внешнее давление снимается, например, по закону При этом граничные поверхности и граница пластической области определяются далее координатами Sp = sp(t), Rp = Rp[t) и mp = mp{t). Следствием уменьшения нагрузки по закону (2.42) являются соотношения Наличие необратимых деформаций при Sp Г тр вызовет наличие напряжений не только в этой области, но и при т р r Rp. Для определения напряжений снова проинтегрируем уравнение движения (2.21) при начальных условиях (2.43). В упругой области найденные таким способом напряжения будут определяться соотношениями Для определения напряжений в области с накопленными необратимыми деформациями Sp r Rp необходимо найти упругие деформации. Пластические деформации в данной области не изменятся, но пространственные координаты точек согласно (2.34) и (2.44) при разгрузке будут изменяться по закону где Гд. - координата точки до процесса разгрузки, г - координата той же точки в процессе разгрузки. Из (2.41) с учетом (2.46) получим зависимости для компонент пластических деформаций при разгрузке Согласно (2.50) для разности напряжений получим выражение симости Подставляя разность напряжений (2.52) в уравнение движения (2.21) и затем интегрируя его при втором граничном условии (2.43), для вычисления компонент напряжений в области с накопленными пластическими деформациями получим соотношения Заметим, что разности напряжений Grr — GQQ (2.45) и (2.52) совпадают при Г = тр, где пространственная координата границы пластической области согласно (2.46) находится соотношением Приравнивая на границе Г = Шр напряжения Jrr (2.45) и (2.53), получим обыкновенное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции /_
Разгрузка при отсутствии повторного пластического течения
Проинтегрируем уравнение равновесия, используя (2.81), при этом постоянную интегрирования определим из условия совпадения компонент напряжений в областях qt г т3 и т3 г R3 при г = т3. На таком пути для компонент напряжений в области qt г т3 получим соотношения В области s3 Г qt пе изменяющиеся пластические деформации так же требуют перерасчета. Согласно (2.71) и (2.78) получим (,Уз-ГРл (2.84) Подстановка упругих деформаций (2.84) в (2.51) приводит к следующей зависимости для разности напряжений Используя (2.85), проинтегрируем уравнение равновесия, постоянную интегрирования определив из второго граничного условия (2.75). В результате для компонент напряжений в области 53 г qt получим соотношения позволяет вычислить значение з радиуса внутренней граничной поверхности, при котором начинается процесс пластического течения з = л s\ (2.88)
Приравнивая напряжения Grr (2.82) и (2.86) при f = qt, определим давление /?з. Заметим, что для начала процесса пластического течения при повторном на-гружении необходимо приложить давление, примерно в два раза больше, чем при первом нагружении. При дальнейшем увеличении внешнего давления, например, по закону граничные поверхности и границы пластических областей определяются далее координатами sk, Rk, qk и тк. Зона пластического течения при увеличении внешнего давления занимает область s yt) Г n yt), п Ч) дви" жущаяся по среде граница пластической области. То есть выполняются усло вия уравнение движения среды необходимо проинтегрировать в четырех облас тях В области qk r тк постоянную интегрирования определим из условия совпадения напряжения 7ГГ при г = тк. В результате получим Gn=V Постоянную интегрирования в области nk r qk найдем из условия совпадения напряжения Grr при г — qk.B данной области напряжения бу дут определяться зависимостями В области пластического течения Sk Г Пк, используя второе и третье условия (2.90), найдем Граница пластической области #v) и граница q it) движутся по среде навстречу друг другу (рис.15). В некоторый момент времени tk граница nk выходит на поверхность д , соответствующую конечному положению границы зоны пластического течения при разгрузке среды. Распределение на пряжений в некоторый момент времени t tfc представлено на рис. 16. -00054 -0 0108 -00162 -0 0216 Упругие деформации в области пластического течения S ytju Г Щц) согласно параграфу 2.3 являются постоянными и вычисляются зависимостями (2.39). В области (/) г mk\t) упругие деформации согласно (2.80) вычисляются формулами В момент времени tfr, когда % становится равной /j, согласно (2.102) упругие деформации вычисляются теми же зависимостями (2.39), что и в области .5 (/ ) Г Щ\$к) — Яку к)- Т есть в момент времени t область nkvk) = ЧкУк)—г-ткvk) мгновенно приходит в пластическое состояние. Учитывая (2.101), радиусы граничных поверхностей и границы т в момент времени t равны вычисляются зависимостями (2.22) в области т = Ш\ г Rfc = Ri и соотношениями (2.23) в области sk = s r mk = т . Следовательно, давление р +g(t}c) на внешней поверхности Rfc = i?j оказывается равным р .
То есть в момент времени t% среда приходит в состояние, соответствующее конечному моменту нагрузки (рис. 3). Если далее внешнее давление не увеличивать, а снова разгрузить тело, то в результате получим напряженное состояние, представленное на рис. 9. Назовем такой эффект эффектом приспособляемости идеальной упру-гопластической среды к циклическим нагружениям по типу «нагрузка-разгрузка». Для того чтобы увеличить уровень необратимых деформаций или, что то же, уменьшить радиус дефекта сплошности, следует увеличить внешнее давление по сравнению с первоначально достигнутым значением Распространим результаты, полученные ранее для дефекта сплошности в форме микротрещины на случай, когда дефект сплошности представляет собой одиночную микропору. Полагаем, что микропора ограничена сферической поверхностью радиуса Г = Щ, а нагружение осуществляется на сферической поверхности г = RQ, причем RQ » TQ . Таким образом, пусть данный шар находится в равновесии при внешнем воздействии (2.1), и единственная не равная нулю компонента вектора перемещений и = иг в используемой в дальнейшем сферической системе координат Г,(р,в на граничных поверхностях представляется в виде (2.2). Определим параметры напряженно - деформированного состояния до того момента времени, когда на внутренней граничной поверхности г = SQ выполнится условие пластичности. Условие несжимаемости материала в рассматриваемом случае сферической симметрии приводит к уравнению Так же как и для цилиндрической задачи, убывающая функция и стремится к нулю при г — оо. При этом, если точка с начальной координатой г = RQ в текущий момент времени имеет координату г = R\t), а точка с начальной координатой г = г0 - координату г = S\t), то Зависимости (3.6) определяют напряжения в среде с точностью до неизвестной функции р\Г). Исключить данную неизвестную функцию из соотношений (3.6) можно интегрированием уравнения равновесия в сферических координатах Приведя подобные слагаемые в проинтегрированном уравнении равновесия и определив постоянную интегрирования из граничного условия (2.13), для компонент напряжений получаем окончательные зависимости определения радиуса SQ воспользуемся условием пластичности Мизеса (1.55), которое в рассматриваемом случае сферической симметрии принимает вид (2.14). Как и для цилиндрической задачи, выбор такого условия пластичности будет обоснован позже. Значение X, а, следовательно, и SQ определится из алгебраического уравнения Давление р0 на внешней граничной поверхности, при котором на внутренней граничной поверхности выполнится условие пластичности, найдется соотношением
Формирование полей остаточных напряжений у одиночных сферических включений в идеальной упругопластической среде
Рассмотрим задачи о нагрузке и разгрузке шара с жестким и упругим сферическими включениями. В данном случае, как и в параграфе 5.1, дефор мации в материале можно считать малыми. Таким образом, для напряженно-деформированного состояния материала справедливы классические зависимости модели Прандтля - Рейса (5.1) - (5.3). В качестве функции нагружения будем использовать условие пластичности Мизеса (1.55). Жесткое включение. Упругое решение. Рассмотрим шар радиуса RQ С жестким сферическим включением в центре шара радиуса Г0 « RQ . Считаем, что шар находится в условиях равновесия при выполнении граничных условий В (5.47) U — иг и Jrr - радиальные компоненты вектора перемещений и тензора напряжений в сферической системе координат Г, ф, в. Пусть уровень внешнего давления р р не приводит к пластическому течению. Впервые условие пластичности (1.55), которое в случае сферической симметрии записывается в форме выполнится в точках поверхности Г = Г0 при достижении давлением значения р — PQ.
ЭТО состояние является начальным для последующего процесса пластического течения. Рассчитаем его. Компоненты напряжений найдутся согласно закону Гука (5.3). Учитывая, что в рассматриваемом случае упругого равновесия Err =егг =и , приводит к уравнению и Следовательно, компоненты напряжения (5.49) будут вычисляться зависимостями Постоянные С\ и С2 определим из второго условия (5.47) и условия пластичности (5.48), выполняющегося на границе включения Г = TQ и принимающего для нашего случая форму С Необратимое деформирование. При увеличении внешнего давления с его значения PQ в окрестности жесткого включения развивается зона пластического течения Го Г Г] (Tj, как и ранее, поверхность, отделяющая область упругого деформирования г г R от области пластического течения). Уравнение равновесия (3.7) (квазистатическое приближение) теперь необходимо проинтегрировать отдельно в области пластического течения г0 г Г] ив области обратимого деформирования Г] r RQ при граничных условиях Здесь Pi - нагружающее давление, которое считаем изменяющимся достаточно медленно, так, чтобы можно было пренебречь силами инерции. В таком случае изменяться со временем будут другие параметры деформирования и размеры зоны пластического течения, то есть /j = t\\t). Для них, после интегрирования уравнений равновесия, можно получить соотношения в упругой области: Учитывая, что поверхность нагружения f задана в форме (5.48), из (5.61) Согласно второй зависимости (5.61) при использовании условия пластичности Мизеса в случае сферической симметрии в необратимо деформируемом материале сохраняется объем, то есть он является пластически несжимаемым. Из (5.61) следует, что Соотношение (5.62) с учетом зависимостей uf = err+ej?r, — = е + е перепишется в виде
Подстановка компонент упругих деформаций (5.60) в (5.63) приводит к уравнению для определения компоненты перемещения в области необратимого деформирования (5.64) Решением уравнения (5.64) является функция (5.65) Неизвестные постоянные ?з и с4 определяются из равенства компоненты напряжения 7ГГ (5.57) и (5.58) на границе Г = Tj и из второго условия (5.47)
