Содержание к диссертации
Глава А. ВАРИАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЖЕСТКОСТЕЙ НЕОДНОРОДНЫХ ПЛАСТИН И БАЛОК
1. Вариационные принципы для жестокостей неоднородной пластины
2. Вариационные принципы для жестокостей неоднородной балки .
Глава В. НАПРЯЖЕННЫЕ КОМПОЗИТНЫЕ СТРУКТУРЫ. УСРЕДНЕННЫЙ ПОДХОД
1. Введение метод усреднения для напряженных композиционных материалов
1.1 Модель напряженного упругого тела
1.2 Метод усреднения в механике композитов
1.3 Метод усреднения в механике напряженных композитов
1.4. Усреднение конструкций
D.2. НАПРЯЖЕННЫЕ КОМПОЗИТНЫЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА
2.1. Усреднение в теории упругости композитов с начальными напряжениями
2.2. Слоистые тела с начальными напряжениями
2.3. Усреднение упругих конструкций с начальными напряжениями
2.4 Усредненные характеристики напряженных композитов и конструкций
В.З. НАПРЯЖЕННЫЕ КОМПОЗИТНЫЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫ
3.1. Напряженная пластина (2-D модель)
3.2. Напряженная пластина (3-D модель, начальные напряжения в плоскости)
3.3. Напряженная пластина (3-D модель, моменты начальных напряжений).
3.4. Напряженная пластина (3-D модель, начальные усилия сравнимые с упругими постоянными материала пластины)
3.5. Мембрана (2-D модель)
3.6. Мембрана (3-D модель)
3.7. Напряженная пластина с системой контактов (3-D модель)
В.4. НАПРЯЖЕННЫЕ КОМПОЗИТНЫЕ СТЕРЖНИ, БАЛКИ И СТРУНЫ
4.1. Напряженная балка (2-D модель)
4.2. Напряженная балка (3-D модель, осевые начальные напряжения)
4.3. Напряженная балка (3-D модель, моменты начальных напряжений).
4.4. Струна (1-D модель)
4.5. Струна (3-D модель)
4.6. Напряженная балка с системой контактов (3-D модель).
Глава С. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ УСРЕДНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
1. Усреднение в задаче термоупругости для балки периодической структуры
2.Усреднение в задаче термоупругости для пластины периодической структуры
3. Усредненная модель для пластины с актуаторами
4 Усредненная модель для балки с актуаторами
5. Применение метода усреднения для расчета стержневых конструкций типа пластин и балок
Глава D. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛОИСТЫХ И ВОЛОКНИСТЫХ
КОМПОЗИТОВ С ЗАДАННЫМИ ХАРАКТЕРИТИКАМИ D.I. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ С ЗАДАННЫМИ ХАРАКТЕРИТИКАМИ
1.1. Задача проектирования для слоистых композитов с заданным набором усредненных характеристик
1.1. Усредненные характеристики
1.2. Некоторые формулы для вычисления усредненных характеристик
1.3. Усредненный критерий прочности
1.4. Задача проектирования
1.5. Условие разрешимости
1.6. Задача проектирования с учетом прочности
1.7. Задача проектирования наиболее прочного композита
1.8. Метод решения ЗВК в общем случае
D.2. ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ С УЧЕТОМ ТЕРМОУПРУГИХ СВОЙСТВ
2.1 .Усредненные характеристики
2.2. Формулы для вычисления усредненных характеристик
2.3. Возможные значения усредненных характеристик
2.4. Усредненный критерий прочности для термоупругой задачи
2.5. Задача проектирования
2.6.Случай v const
D.3. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ С ЗАДАННЫМИ УСРЕДНЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ Усредненные характеристики
3.2. Усредненный критерий прочности
3.3. Задача проектирования композита с заданными усредненными упругими характеристиками
3.4. Задача проектирования с учетом локальной прочности
3.5. Метод решения ЗВК
3.6. Проектирование с учетом прочности связующего
3.7.Примеры
ЛИТЕРАТУРА
Введение к работе
Основы асимптотической теории усреднения были заложены в работах Дюво (1979), Babuska (1976), Sanchez-Palencia (1980), Marino и Spagnolo (1969), Tartar (1977), Bensoussan et a/.(1983), Бахвалов и Панасенко (1989). Доказательство возможности замены рассмотрения композиционных материалов однородными - усреднение, было одном из основных результатов математической теории усреднения.
При рассмотрении композитов возникают две задачи:
1. Первая - описать композит как единый материал (ясно, что он исходно не таков). Это - описание на макроуровне (собственно задача усреднения)
2. Вторая - описать начальные напряжения в фиктивном материале. Это -задача описания на микроуровне. Она также относится к задачам усреднения, так как целью является выразить локальные напряжения через усредненные величины.
Представляется, что решение задач, а попытки их решения предпринимались неоднократно, найдено в методе усреднения. Этот хорошо обоснованный (часто - на математическом уровне строгости) метод адекватен задаче и вопросам, задаваемым по отношению к композитам регулярного строения. Метод также прозрачен с механической точки зрения, и многое математическое выкладки метода имеют механическую интерпретацию.
Отметим что для композитов, особенно для композиционных балок и пластин и пористых материалов, разница между композиционным материалом и многоэлементной конструкцией теряется. Например, решетчатая балка может быть рассмотрена как балка, сделанная из некоторого однородного материала. Применение асимптотического метода усреднения дает возможность рассмотреть "композиционный материал" и "композиционную конструкцию" исходя из традиционных подходов. В этой связи не будем делать различия между "композиционным материалом" и "композиционной конструкцией ".
В практике выделяют несколько основных типов конструкционных элементов: (а) твердые тела и пространственные конструкции, (Ь) пластины и мембраны, (с) балки, стержни, и струны. В настоящее время методы усреднения известны для всех типов конструкционных элементов.
Задача предсказания усредненных характеристики композита исходя из характеристик его компонентов рассматривается как прямая задача (задача расчета композита). Обратная к ней задача формулируется в виде: управляя микроструктурой композита создать материала с заданными усредненными характеристиками. При этом оказывается, что технология композиционных материалов является не только одним из возможных путей создания материалов с заданными свойствами, но в значительной мере и исчерпывает возможные пути создания новых материалов на механическом (не молекулярном) уровне.
На основе метода усреднения были разработаны прикладные и инженерные методы для исследования композиционных материалов и конструкций, которым, в значительной мере и посвящена данная работа (см. Аннин, Каламкаров, Колпаков, Партон (1993), Kalamkarov и Kolpakov (1977)).
Дадим краткий обзор теоретических работ, посвященных композиционным материалам.
Обзор следует начать с феноменологической модели. Из бытовой и инженерной практики известно, что материалы, сделанные из разных компонентов (бетон, дерево, армированные пластики, и т.п.), и различные неоднородные конструкционные элементы (перфорированные и сетчатые пластины, решетки и т.п.) могут рассматриваться как однородные и их технические постоянные можно измерять как постоянные однородных материалов. Для этого характеристики материалов определяются на образце большом в сравнении типичным размером компонентов. Это -подход в рамках феноменологической модели композита, см. например, Christensen (1991), Композиционные материалы. Т.1-7 (1974-78), Работнов (1965.1979), Jones (1975). Выписав задачу теории упругости для напряженного тела с этими постоянными и начальными напряжениями, определенными из решения задачи теории упругости, получаем модель напряженного композиционного тела. Феноменологические модели не учитывают явно неоднородность структуры. В то же время неоднородность структуры играет определяющую роль в механике композитов. Прежде всего, это касается прочности.
Другой широко используемый подход можно назвать методом гипотез. Модели в этом случае основаны на введении a priori предположений о напряженно-деформированном состоянии компонентов композита. Модели этого типа учитывают неоднородность композита. Успешное применение аналогичных подходов (например, классические гипотезы Kirchhoff-Love или Тимошенко и Войновский-Кригер) - весомый довод в пользу метода гипотез. Комбинация механической наглядности с возможностью экспериментальной проверки гипотез служит основой для ряда широко применяемых моделей и методов инженерного расчета композиционных материалов и конструкций. В то же время, отрицательная сторона метода тоже хорошо известна. Автору модели следует угадать неизвестную информацию, что не всегда удается. Метод гипотез широко использовался в расчетах композиционных пластин и балок (см. [Sendeckyj (1974), Chou (1989), Пшеничнов (1982), Болотин, Новичков (1980)) и при моделировании композитов (см. например Коппьев, Овчинский (1977), Соколкин, Ташкинов. (1994), Полипов (1975), Уржумцев (1972), Огибалов, Суворова (1965)). На основе комбинирования краевых задач, статистических методов и разного рода гипотез был предложен ряд методов для расчета усредненных характеристик композитов (см. Болотин, Москаленко (1968), Ломакин (1965), Шермергор (1977), Новожилов (1970), Васильев (1988))
Плоские структуры периодического строения были исследованы методами теории функции комплексных переменных (Ван Фо Фы (1971), Григолюк, Филыптинский (1970)).
В 1970-80 годах был разработан и применен к анализу композитов метод усреднения. Применение метода усреднения дало много результатов как теоретического, так и практического значения. Основные направления этого метода представлены в работах [Bensoussan et al. (1978), Лионе (1978), Иосифьян, Олейник, Панасенко (1982,1983), Sanchez-Palencia (1980), Tartar (1977), Бахвалов и Панасенко (1989), Панасенко, Резцов (1987)), см. также [Победря (1984), Олейник, Иосифьян, Шамаев (1990)] . В указанных книгах и статьях содержится обширная библиография.
Рассматриваемые в диссертации вопросы - усреднение упругих композиционных материалов и конструкций является традиционным для теории усреднения. В то же время ряд практически важных вопросов оставался не затронутым в предыдущих исследованиях.
В главе А рассмотрены вариационные принципы для усредненных жесткостей неоднородных пластин и балок. Получены вариационные принципы и аналоги оценок Фойгхта-Рейса-Хилла для жесткостей пластин и балок). Вариационные принципы всегда были тесно связаны с теорией усреднения (см. например Bruno (1991)), но аналогичных исследований ранее предпринималось только для жесткостей трехмерных тел (Reuss (1929),Voigt (1899), Willis J.R. (1977,1981), Hashin, Shtrikman (1963), Francofort, Murat (1986), Milton, Kohn (1988), Бердичевский (1975,1977)), a не пластинок и балок.
В главе В произведен вывод уравнений напряженных композиционных тел и конструкций из трехмерной задачи теории упругости для напряженного тела. Получены все основные модели теории упругости (композиционное тело, пластина, мембрана, балка) для неоднородных структур. Для неоднородных структур многие классические понятия, на которых базируется теория напряженных структур (нейтральные оси и поверхности, поперечные сечения и моменты и усилия в них) оказываются не связанными с какими то механическими реалиями. При анализе задач выяснилось, что место дополнительных усилий (возникающих при анализе деформации напряженного тела) занимает понижение симметрии локальных определяющих соотношений для напряженного упругого тела. Для однородных структур имеется полное согласие с классическими моделями. Тела с начальными напряжениями рассматривались многими авторами (см. библиографию в [Гузь 1986]. Что касается напряженных композитов, результаты в данной области ограничиваются исследованиями Гузя (1986,1975), посвященными волокнистым и слоистым композитам, причем основные результаты получены для слоистых композитов. Замечания Гузя (1986,1975) о (в современных терминах) о том, что усредненная задача не является задачей теории упругости, в общем случае не могут быть ни опровергнуты, ни подтверждены. В общем случае усредненная задача не является задачей теории упругости. В случае если напряжения имеют нулевое среднее - является. Прогресс в исследовании задачи и более полном ее исследовании связан как раз с применением метода усреднения. Сказанное относится к трехмерным напряженным композитам. Результаты, касающиеся вывода моделей напряженных пластин, мембран, балок и струн из трехмерных уравнений теории упругости неоднородного тела не имеют аналогов.
В первых четырех разделах главы С рассматриваются задачи пластин и балок, характеризующиеся "сильными" изгибами. Такие изгибы возникают, например, в термоупругой задаче (неоднородная пластинка может "скрутиться в трубочку"). Аналогичные эффекты возникают и при рассмотрении тел с актуаторами (силовьми элементами). Усреднение задач проведено на основе введения нового члена (позволяющего учесть "сильные" изгибы) в традиционные разложения. Последний раздел посвящен формулировке задачи усреднения балок и пластин в терминах теории сопротивления материалов. Такая формулировка не всегда возможна, но для тех случаев, где она возможна, представляется весьма удобной для проведения расчетов.
Глава D содержит полное решение задач проектирования слоистых и высокомодульных волокнистых композитов с заданными деформационно прочностными характеристиками. Эта задача традиционно привлекала внимание, как механиков, так и математиков (см. Gurdal, Haftka, Hajela (1999), Образцов, Васильев, Бунаков (1977)) и, несмотря на это, не имела решения. Больший прогресс был достигнут в решении задач оптимального проектирования. Основой решения задач проектирования, помимо асимптотического метода, послужило решение так называемой задачи о выпуклых комбинациях, связанной с задачами неотрицательных решений систем линейных уравнений (Черников 1968 ) и вычислительной геометрией (Preparata, Shamos. (1985)).
Материал изложен с разной степень подробности. Подробное изложение произведено в частях А и В, содержащих результаты, опубликованные только в периодических изданиях. В остальных частях изложены основные результаты и некоторые иллюстрирующие примеры. Это связано с наличием монографий (Аннин, Алехин, Колпаков (1988), Новосибирск, Ин-т гидродинамики СО АН СССР; Аннин, Каламкаров, Колпаков, Партон (1993), Новосибирск, Наука; Kalamkarov, Kolpakov (1997) Wiley, Chichester, New York), освещающих эти вопросы в деталях.
Представленные результаты обоснованы на различных уровнях строгости. Результаты, представленные в частях А (вариационные принципы) и D (задачи проектирования), имеют полное математическое обоснование. Результаты, представленные в частях В и С, получены на основе использования формальных асимптотических разложений. Применение этих разложений показывает высокую достоверность получаемых на их основе результатов (многие разложения имеют математическое обоснование). Для однородных тел полученные в данной работе результаты полностью согласуются с известными решениями.
Публикации по теме диссертации
Полученные автором результаты изложены в трех монографиях
1. В.В. Алехин, Б.Д. Аннин, А.Г.Колпаков Синтез слоистых материалов и конструкций. Новосибирск. Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1988.
2. Б.Д. Аннин, А.Л. Каламкаров, А.Г.Колпаков, В.З.Партон Расчет и проектирование композиционных материалов и элементов конструкций. Новосибирск. ВО "Наука", 1993.
3. A.L. Kalamkarov, A.G.Kolpakov Analysis, design and optimization of composite structures. John Wiley&Sons, Chichester, New York, Weinheim, Brisbane, Singapore, Toronto, 1997.
И более чем 60 статьях (см. список статей автора в разделе «Литература») и трудах конференций.
