Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Современное состояние иссщований по оптимальному проектированию конструкций (ОПК),основанному на методах теории планирования экстремальных экспериментов (ТПЭ)
Глава II. Построение и реажзащя математических моделей задач. опк с использованием методов ТПЭ 29
Глава III . Оптимальное проектирование балок, прямоугольных пластин и цилиндрических панелей методами ТПЭ 49
Глава ІV. Применение методов шэ в одно- и многокритериальных задачах оптимального проектирования композитных оболочек 83
Заключение 119
Литература 122
Приложение 135
- Современное состояние иссщований по оптимальному проектированию конструкций (ОПК),основанному на методах теории планирования экстремальных экспериментов (ТПЭ)
- Построение и реажзащя математических моделей задач. опк с использованием методов ТПЭ
- . Оптимальное проектирование балок, прямоугольных пластин и цилиндрических панелей методами ТПЭ
- Применение методов шэ в одно- и многокритериальных задачах оптимального проектирования композитных оболочек
Введение к работе
В "Основных направлениях экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года", принятых ХХУІ съездом КПСС, указывается, в частности, на необходимость сосредоточить усилия на решении такой важнейшей проблемы, как: "Повышение качества, надежности, экономичности и производительности, ... оборудования и других изделий машиностроения, снижение их материалоемкости и энергопотребления". Эта проблема, наряду с необходимостью "расширять автоматизацию проектно-конструкторских и научно-исследовательских работ с применением электронно-вычислительной техники", связана с совершенствованием и разработкой в строительной механике новых подходов к задачам оптимального проектирования конструкций (ОПК) и их численной реализации. В этом направлении, учитывая требование "развивать производство ... новых полимерных и композиционных материалов и изделий из них с комплексом заданных свойств", повышается актуальность задач проектирования оптимальных по весу, стоимости, прочности и надежности конструкций из композитных материалов.
Существующие в строительной механике оптимизационные методики, в основном, ориентированы на стандартные постановки, сформулированные в виде задач математического программирования, в которых количество управляемых параметров, входящих в систему ограничений и в целевую функцию, одинаково. Широкое применение современных материалов (в том числе композитов), а также повышение требований к весовым, прочностным и другим характеристикам конструкций выдвигают новые оптимизационные постановки, для которых характерно отсутствие аналитической связи между критерием качества и частью управляемых параметров. Указанная особенность постановок задач затрудняет (либо делает невозможным) применение из- вестных методов оптимизации конструкций и требует создания специальных методик.
Вместе с тем, при решении проблем оптимизации в различных областях науки начинают все больше применяться перспективные подходы, основанные на математических методах теории планирования экстремальных экспериментов (ТПЭ), где используется математический аппарат построения полиномиальных моделей критерия качества и крутое восхождение по поверхности отклика. Эти подходы могут быть эффективно использованы и в задачах оптимизации конструкций с отмеченными особенностями. Однако, вопросы применения методов ТПЭ в задачах ОПК рассмотрены недостаточно. Методик, основанных на ТПЭ, мало, причем они разработаны для узкого класса конструкций и не являются универсальными [45-47, 88, 93] .
Так как требования, предъявляемые к конструкциям, разнообразны и противоречивы, то при создании оптимальных проектов следует стремиться к удовлетворению не одного, а некоторой группы показателей качества. Поэтому рассматриваются также вопросы многокритериальной оптимизации цилиндрических оболочек из композитных материалов.
Современное состояние иссщований по оптимальному проектированию конструкций (ОПК),основанному на методах теории планирования экстремальных экспериментов (ТПЭ)
Благодаря усилиям советских и зарубежных исследователей теория ОПК разработана достаточно хорошо til,12,ІЗ,18,26,52,66,80, 86,93,94,99,105] . Значительный вклад в развитие теории ОПК в строительной механике внесли труды Н.В.Баничука, Г.И.Брызгалина, Е.Н.Герасимова, В.Б.Гринева, С.Д.Копейкина, М.Б.Краковского, И.Б.Лазарева, Ю.Р.Лепика, В.П.Малкова, В.Я.Михайлищева, В.Л.Наруе-берга, Ю.В.Немировского, И.Ф.Образцова, Ю.М.Почтмана, Р.Б.Рикардса, Н.Д.Сергеева, Н.Н.Складнева, И.М.Соболя, Р.Б.Статникова, С.А.Ти-машева, В.А.Троицкого, А.П.Филина, К.В.Фролова, Г.П.Черепанова, А.П.Чижаса, А.А.Чираса, Х.Байера, Д.Галла, Е.Мартина, В.Прагера, В.Стадлера и других ученых. Подробный обзор исследований в этой области выполнен в работах [28,43,74,76,87] .Использование электронных вычислительных машин (ЭВМ) сделало практически возможным решение большого числа задач оптимального проектирования и позволило рассматривать ОПК как автоматизированное оптимальное проектирование [5,26,52] . В то же время,возрастающее теоретическое и прикладное значение имеют выделение и исследование новых классов математических задач в области ОПК, разработка эффективных методов оптимизации, использующих специфику рассматриваемых задач. В этом направлении представляются перспективными и, в то же время, недостаточно изученными вопросы ОПК с применением математических методов ТПЭ.
Методы ТПЭ, используемые в экспериментальных исследованиях различных процессов, впервые были применены к оптимальному проектированию железобетонных конструкций М.Б.Краковским [45,46,47j . Автора, очевидно, привлекла возможность варьирования одновременно многими параметрами конструкции, быстрое достижение области оптимума и при этом отсутствие связи между оптимизационным алгоритмом и методом расчета, поскольку матрица планирования в данных задачах определяется только факторами, влияющими на критерий оптимальности. Для улучшения технико-экономических показателей железобетонных конструкций - снижение массы, металлоемкости, стоимости и т.п. - научно-исследовательским институтом бетона и железобетона Госстроя GCCP были разработаны рекомендации, алгоритмы и программы для ЭШ, основанные на использовании методов ТПЭ [88,93]
В задачах ОПК с использованием методов ЖЭ под экспериментом понимается расчет по нормам проектирования или вычисление с помощью ЭШ значения критерия оптимальности в некоторой точке пространства управляемых параметров. Присущие планированию экспериментов вопросы проверки адекватности модели и значимости коэффициентов регрессии в данном случае теряют смысл, так как значения критерия оптимальности при повторных расчетах конструкции не меняются [40].
В работах [45,46,47,88,93] исходная задача оптимального проектирования разбивается определенным образом на две задачи. Автор предполагает, что таким образом она сводится к задаче безусловной оптимизации. В то же время,недостаточно изученными остаются проблемы оптимального проектирования, в которых отсутствует аналитическая связь между критерием качества и частью управляемых параметров или не представляется возможным записать аналитическое выражение критерия качества от всех управляемых параметров задачи. К этому классу можно отнести, в первую очередь, постановки ОПК из композитных материалов [18,43,49,54,66,89-92,95,99,105,106,110,123, 130,135,137]. Разработка методик оптимального проектирования таких задач представляется перспективной, ибо широкие возможности варьирования параметрами структуры композитных материалов позволяют создавать конструкции с направленной анизотропией механических свойств, соответствующей определенным условиям работы конструкции. Это ведет к необходимости создания более совершенных методов решения задач ОПК из композитов, в том числе по нескольким критериям.
Исследование вопросов ОПК с использованием методов ТПЭ требует дальнейшей разработки постановок задач и подходов к их решению, которые позволили бы более полно учесть требования реального проектирования и сделали бы возможной численную реализацию этих сложных задач оптимизации.
Первые шаги в разработке статистических методов планирования эксперимента принадлежат английскому статистику Фишеру, который впервые показал преимущества одновременного варьирования несколькими факторами по сравнению с однофакторным экспериментом [127]. В работах Фишера [124-129] обоснованы ряд фундаментальных положений и доказаны теоремы, которые вносят большой вклад в становление и развитие методов планирования эксперимента. Новое направление в планировании экспериментов - планирование экстремальных экспериментов связано с именами Бокса и Уилсона [119-122] . Они предложили шаговый процесс поиска оптимального решения, который представляет собой движение от одной серии опытов и другой. В каждой совокупности опытов одновременно варьируются по определенным правилам все факторы. По результатам математической обработки серии опытов определяются направление изменения факторов и условия проведения следующей серии. Подход, разработанный Боксом и Уилсоном, основан на сочетании метода крутого восхождения (градиентного, наискорейшего спуска) с факторным планированием. Следует также отметить важность работ Кифера [I3I-I34] , в которых проведена систематизация основных теоретических положений теории планирования эксперимента, высказаны новые идеи относительно критериев оптимальности. Проведенные им исследования дали толчок для дальнейшего развития методов планирования эксперимента, создания новых планов.
В нашей стране методы теории планирования эксперимента развиваются, начиная с 60-х годов. Большую роль в развитии отечественной школы планирования эксперимента сыграли работы В.В.Нали-мова, В.В.Федорова, Г.К.Круга, Ю.П.Адлера, Е.В.Марковой, Ю.В.Грановского и других. В многочисленных обзорах и монографиях советских и зарубежных ученых [3,4,8,9,33,35,55,61,62,63,65,101,107, 109,112] освещены основные разделы теории планирования эксперимента. Эти методы нашли самое широкое применение в химии, физике, металлургии, биологии и многих других областях исследований [14,15,23,31,39,57,111] . Возможность отыскания оптимальных условий протекания самых различных процессов, при отсутствии математических моделей этих процессов и большом числе факторов, привлекает к методам планирования экспериментов все большее и большее число исследователей. Однако, несмотря на такое широкое распространение методов ТПЭ, лишь в последнее десятилетие появились первые работы, в которых методы ТПЭ применяются к задачам ОПК [40,44-47,77-79,88,93,114,116.117] . В задачах ОПК используются разделы ТПЭ, связанные с построением математических моделей критерия качества и математические методы движения по поверхности отклика.
Построение и реажзащя математических моделей задач. опк с использованием методов ТПЭ
В предыдущей главе был выделен класс задач, для которого характерны нестандартные оптимизационные постановки,и применение существующих методов оптимизации [26,54,91,105] затруднительно. В то же время, известные методы ОПК, основанные на ТПЭ [40,45-47, 88,93] , не являются универсальными и применительно к задачам ОПК в нестандартных постановках требуют совершенствования.
В настоящей главе предлагается новый подход [44,72,77-79, 116,117] к задачам ОПК в нестандартной постановке, основанный на совместном использовании методов математического программирования, случайного поиска и собственно ТПЭ. Разработанный подход позволяет устранить недостатки рассмотренных методов 19,88,93] и является этапом дальнейшего развития теории ОПК на основе использования методов ШЭ.
Рассмотрим методику решения задачи (2.1), основанную на методах ШЭ. Первоначально, используя метод штрафных функций [29,59,85,113] , задачу (2.1) сводим к следующей задаче безусловной оптимизации. Для задач оптимального проектирования пластин и оболочек постановка (2.2) обладает следующей особенностью: критерий качества задачи сложным образом зависит от управляемых параметров X-L+1, ..., X: , аналитическая связь между критерием качества и этими параметрами отсутствует. Так как задача (2.2) является задачей безусловной оптимизации, то к ней применимы методы ТПЭ [3,4,63,101,121] .
Для вычисления коэффициентов с(ок , о(пк , 0(тк задаєм интервалы варьирования управляемых параметров ДХП и А Хт и строим матрицу планирования эксперимента, элементы которой равны х ± дхп и Х ± ДХт Для случая двухфакторного планирования матрица планирования эксперимента 2 имеет самый простой вид (табл. 2.1). Знак "+1и соответствует ситуации, когда фактор находится на верхнем уровне, то есть этот фактор принимает значение Х + Д Хп , а знак n-In - на нижнем уровне.
Под экспериментом, который выполняется численно на ЭВМ, здесь понимается фиксирование некоторых значений управляемых параметров хЛ, Х2 , .. ., XL, Xl+1,.. ., Xj и вычисление соответствующих им значений функций Фк,( к = 1,2,...,L) . Численные значения коэффициентов моделей (2.3) вычисляются, согласно ТПЭ, по методу наименьших квадратов. В результате нелинейная система ограничений фк ( X ) в малой окрестности начальной точки заменяется системой линейных уравнений.
Одновременно в пространстве управляемых параметров вектора X - 1 х-1+1 , . .. , X;) в малой окрестности начальной точки С х+( , . . ., х? ) » которая определяется интервалами варьи-рования управляемых параметров моделей (2.3), неизвестная целевая функция V = V (х1+1,..., X:) аппроксимируется следующей линейной моделью.
Для определения коэффициентов d0, 0( m используем интервалы варьирования параметров дкт моделей (2.3). Матрица планирования не строится, а используется часть уже построенной для моделей (2.3) матрицы, в которой столбец, соответствующий значениям целевых функций ф к , заменяется столбцом значений функции V . В такой матрице планирования под экспериментом будем понимать следующую совокупность операций: фиксирование некоторых значений управляемых параметров х1+1 і хі и вычисление соответствующего им значения целевой функции V
В результате этих преобразований получаем в малой окрестности начальной точки расширенную модель критерия качества от управляемых параметров х +1 , ..., х . Для определения новых значений параметров х +1, . .., Хг применяем итерационный процесс метода градиентного поиска
Рассмотренный алгоритм по сравнению с разработанными алгоритмами [44,78,79] позволяет эффективнее использовать машинное время. Это достигается построением моделей сложных функций системы ограничений, а также разделением управляемых параметров задачи на две части, что приводит к матрице планирования более низкого порядка. В 2.1 диссертационной работы рассматривался подход к решению задач ОПК, на основе которого задача нелинейного программирования сводилась к задаче безусловной оптимизации и решалась с использованием методов ТПЭ. В отличие от разработанных алгоритмов 144,78,793 , в предложенном алгоритме для построения полиномиальных моделей функций системы ограничений используются методы ТПЭ, это позволяет добиться значительной экономии времени ЭВМ. Поиск оптимального решения, в соответствии с методами 1ПЭ, осуществляется одним из градиентных методов.
В направлении дальнейшего развития предлагаемого подхода ( 2.1), с целью упрощения процедуры поиска оптимального решения и экономии времени ЭВМ, в настоящем разделе рассматривается вторая методика решения задач ОПК, в которой использованы хорошо разработанные в настоящее время алгоритмы и программы решения задач нелинейного программирования в стандартной постановке 1321. Рассмотрим подробнее эту методику. Задача оптимального проектирования формулируется в виде (2.1). Используя методы ТПЭ, задачу (2.1) сводим к задаче нелинейного программирования, в которой количество параметров, входящих в систему ограничений и в аналитическое выражение целевой функции, одинаково. Задача нелинейного программирования решается методами поисковой оптимизации.
. Оптимальное проектирование балок, прямоугольных пластин и цилиндрических панелей методами ТПЭ
В главе П диссертационной работы разработан новый подход к решению задач ШК, основанный на методах ТПЭ. Согласно методике, описанной в 2.1, задача ОПК сводится к задаче безусловной оптимзации, что позволяет применить к решению последней методы ТПЭ. Для иллюстрации использования этой методики в задачах ОПК в настоящей главе рассматриваются некоторые задачи оптимального проектирования балок, прямоугольных пластин и композитных цилиндрических панелей, предназначенные для отработки ряда вопросов, связанных с особенностями применения ТПЭ. Оптимальное проектирование изотропных балок и пластин проводится также с целью оценки достоверности предлагаемого подхода и носит методологический характер. Полученные параметры оптимальных проектов сравниваются с соответствующими данными, взятыми из работ Ю.М.Почтмана, Г.В.Филатова, М.С.Корнишина, М.А.Александрова, где аналогичные задачи решались другими оптимизационными методами [41,75] . В 3.4 задача оптимального проектирования композитной панели формулируется как задача нелинейного программирования в нестандартной постановке. Ее реализация осуществляется по методике, рассмотренной в 2.1, с построением полиномиальных моделей критерия качества и функций системы ограничений.
Решается задача оптимального проектирования статически определимых упругих балок при наличии ограничений на величины напряжений и деформаций в постановке работы L691 .
В качестве численного примера рассмотрим задачу определения оптимального профиля консольной балки, нагруженной сосредоточенной силой Р = 2.-10 Н на свободном конце, со следующими геометрическими и механическими характеристиками: 1 = І м; б = 0,03 м; Е = 2,1-Ю2 ГПа; = 7,85-Ю4 н/м3 ; [o l = = 0,21«ГПа. Допустимая величина прогиба конца балки [f ] = 0,004 м, Задача решалась на ЭВМ EG 1020 ; рассматривались следующие варианты аппроксимации управляемых параметров: а) линейная зависимость высоты балки Н от координаты х б) экспоненциальная зависимость Н от х Ну = С ехр (-AjxL) ; в) дискретное задание высоты балки по оси х
В случаях а) и б) управляемыми параметрами являлись константы С; , А і ; по методу конечных разностей балка разбивалась на 19 частей ( I = 1,...,19 ) и использовался полный факторный эксперимент 2(1=1,...,5 ) ; вариант 1=5 соответствовал начальным значениям параметров С; , А В случае в) балка по длине разбивалась на 5 частей ; управляемыми параметрами являлись значения высоты в пределах участков постоянного сечения; использовался дробный факторный эксперимент 25"2 .
Существенно отметить, что в случаях а) и б) число управляемых параметров не зависит от количества точек разбиения : применяя метод конечных разностей, длину балки можно разбивать на любое, достаточно большое число частей, без усложнения решения задачи. В случае в) число точек разбиения оси совпадает с количеством управляемых параметров и поэтому увеличение числа I ведет к усложнению решения.
Результаты вычислений для случаев а) и б) приведены в табл.3.1. Полученные оптимальные величины веса балки практически совпадают с данными работы 1751 ( Ут-Ш = 13,803 10 Н ), в которой оптимизация проводилась методом случайного поиска. Отметим, что в рассматриваемой задаче, как и ожидалось, лучшее значение функции цели получено в случае а), так как аппроксимация профиля балки экспонентой ближе всего по характеру к эпюре изгибающих моментов. Для случая в) получено Vm ft » близкое к оптимальному значению целевой функции работы [75] .
Следует также отметить, что применение рассматриваемого подхода к решению более сложных задач 0ПК связано с определенными трудностями: увеличение числа управляемых параметров приводит к ускоряющему росту размерности матрицы планирования и, следовательно, к значительному увеличению времени численной реализации задачи. Однако, использование дробного факторного планирования (при построении линейных моделей) позволяет значительно сократить число опытов и, таким образом, преодолеть указанные трудности. В этой постановке управляемые параметры Н и должны удовлетворять системе алгебраических уравнений вида (3.9), записанных для всех внутренних узлов исследуемой сеточной области, и граничным условиям задачи. Задача (ЗЛО) является задачей безусловной оптимизации, поэтому ее решение будем осуществлять способом, описанным в 2.1. Для численной реализации рассмотрим квадратную, защемленную по контуру пластину, изгибаемую равномерно распределенной нагрузкой интенсивности р (рис.3.3). Учитывая симметрию, будем рассматривать лишь узлы 1-6 сеточной области (рис.3.3). Тогда в оптимизационной задаче (ЗЛО) следует положить N = N = 5 . Управляемыми параметрами здесь являются численные значения толщины пластины в узлах сеточной области. Для решения используется дробный факторный эксперимент 2 , в котором, ввиду линейности аппроксимации целевой функции, столбцы эффектов взаимодействия факторов Н/ Н ; Н. Н_; Н2 Н3 заменяются столбцами новых факторов Н , Нг , Нс соответственно. Пластина оптимизировалась при таких значениях исходных данных: а = 0,8 м; 6 = 0,8 м; р = 5-Ю Па; Е = = 2,М02 ГПа; V » 7,85-Ю4 н/м3 ; [охтах] - [ о] = = 0,16 ГПа; lzmt1 = 0,1 ГПа; = \/2 =5-Ю"4м; ы =0,3 и начальных значениях управляемых параметров HL = 0,08 м, ( І = Ї7&). На ЭВМ EC-I020 решались следующие две задачи: I) с ограничениями на напряжения ох = о 0,16 ГПа; X 0,1 ГПа; 2) с ограничениями на прогиб пластины у 5-Ю"4 м. Результаты оптимизационных расчетов приведены в табл.3.2. Получены следующие оптимальные значения функционала веса: V, = 1041,4 Н (Задача I) и V = 1508,9 Н (Задача 2). Видно, что более жесткими являются ограничения на прогиб пластины (Задача 2). Как следует из табл.3.2, касательные напряжения х в точках 3,5,6,8,9 равны нулю. Это объясняется очевидной симметрией пластины и нагружения.
Применение методов шэ в одно- и многокритериальных задачах оптимального проектирования композитных оболочек
В данной главе в рамках разработанного в 2.2, 2.3, 2.4 оптимизационного подхода исследуются вопросы одно- и многокритериальной оптимизации композитных цилиндрических оболочек. Рассматриваются геометрически линейная и нелинейная модели оболочек. Расчет напряженно-деформированного состояния проводится на основе теории типа Тимошенко, учитывающей явление меж-слойного сдвига, что позволяет (в случае геометрически нелинейной задачи) ввести в систему ограничений ограничения по прочности ffB V, о1Ъ 6 сс231 , где о,5,аи межслойные сдвиговые напряжения. Показана предпочтительность нелинейной постановки в смысле точности определения критической нагрузки и возможности оценки напряженного состояния оболочек в процессе оптимизации. Исследуется влияние свойств материала, начальных несовершенств формы и геометрических параметров на оптимальные проекты композитных оболочек. На основании численных экспериментов проводится сравнение результатов, получаемых по второй и третьей оптимизационным методикам.
Рассматривается задача определения оптимального ,. армирования и толщины цилиндрической композитной оболочки, обеспечивающих минимум ее веса при ограничениях на устойчивость. Оболочка шарнирно оперта по контуру и нагружена внешним давлением. Предполагается, что потеря устойчивости наступает раньше, чем раз рушение материала. Отметим, что задача, близкая к данной, рассматривалась в работе [541 , но там в качестве критерия оптимальности принимался максимум величины критической нагрузки.
Оптимизационная постановка задачи, как и постановка (2.1), обладает той особенностью, что в ней отсутствует аналитическая связь между критерием качества и параметрами структуры материала. Для решения этой задачи, в отличие от используемых в работе [541 проективных методов оптимизации, применяется оптимизационная методика 2.2, основанная на математических методах ЖЭ.
Рассмотрим плоскую и пространственную схемы армирования материала. В случае плоского армирования используется материал, структура которого описана в 3.4. Для пространственного армирования принята гексагональная схема армирования, каждое направление в пространстве характеризуется параметрами р, ср (рис.3.5).
В результате численной реализации задачи (4.8), как указывалось в главе II, получена информация о ширине области оптимума. В табл. 4.2 приведены оптимальные проекты различных оболочек с плоской и пространственной схемами армирования. Для управляемого параметра В приводится интервал, в котором целевая функция задачи не изменяет своего оптимального значения. Из таблицы видно, что для оболочек с параметром р = 0,5 ; I интервал изменения угла В , в котором значение критерия качества задачи не меняется, составляет от 1 до 2. Для оболочки с р = 2 этот интервал уже, он составляет всего 0,5.
