Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Определение эффективных характеристик композиционных материалов с учетом накопления повреждений 21
1.1. Изопериметрические квадратичные соотношения 22
1.2. Алгоритм определение эффективных характеристик сред 25
1.3. Расчет эффективных характеристик волокнистых композитов при растяжении 27
1.4. Эффективные жесткости изгибаемой полосы с учетом наличия системы параллельных трещин 33
1.5. Эффективные характеристики полосы при продольном сдвиге 38
1.6. Определение эффективных характеристик двухфазных сред 44
1.7. Заключение 48
Глава 2. Модели деформирования композиционного материала с учетом накопленного уровня поврежденности 49
2.1. Некоторые модели накопления повреждений 49
2.2. Модели деградации механических характеристик 59
2.3. Описание нелинейного поведение композитов с помощью инкрементального подхода 61
2.4. Моделирование изменения механических характеристик слоистых композитов при циклическом нагружении 70
2.5. Заключение 78
Глава 3. Описание напряженно-деформированного состояния элементов композитных конструкций с учетом уровня накопленных повреждений 79
3.1. Деформирование полосы в зоне краевого эффекта 79
3.2. Деформирование поврежденного материала в зоне степенного распределения напряжений 82
3.3. Определение напряженно-деформированного состояния лонжерона. Оценки несущей способности 87
3.4. Прогноз изменения характеристик слоистых материалов различной структуры с ростом поврежденности при циклическом нагружении 100
3.5. Об оценке изменения модулей упругости композита при трансверсальном растрескивании 105
3.6. Расчет характеристик сред с дисперсными включениями для различных коэффициентов наполнения и относительных характеристик 111
Заключение 116
Литература 120
- Эффективные жесткости изгибаемой полосы с учетом наличия системы параллельных трещин
- Моделирование изменения механических характеристик слоистых композитов при циклическом нагружении
- Деформирование поврежденного материала в зоне степенного распределения напряжений
- Прогноз изменения характеристик слоистых материалов различной структуры с ростом поврежденности при циклическом нагружении
Введение к работе
В настоящее время композиционные материалы широко используются как конструкционные материалы различного назначения. Можно считать, что этап изучения особенностей деформирования этих материалов пройден, разработаны в целом методы расчета и проектирования элементов конструкций из этих материалов. Общие проблемы механики композитов, постановки задач механики деформирования таких материалов и методы их решений широко изложены в научных публикациях [2,3,10,22,27,35,36,44,45,53] и т.п. Вопросы, связанные с деформированием армированных и, частности, слоистых композитов, методы определения эффективных характеристик, методы проектирования и расчета на прочность изложены, например в работах [1,5,8-10,21-27,35,36,42,45,51,53-55]. Особенности структуры композитов определяют и особенность их разрушения. С этими, очень важными для приложений проблемами во многом связаны ограничения в применении композитов в реальных элементах конструкций. В свою очередь задачи механики разрушения и повреждения композиционных материалов требуют изучения деформирования с учетом микроструктуры композитов. Проблемам механики разрушения, специальным методам исследования этой проблемы посвящены работы многих ученых [6,7,9,11,13-20,24,27,30,31,34,37,40,41,46-50,52,57-80].
Одна из актуальных проблем механики композитов связана с
достоверным описанием механических характеристик
композиционных материалов в реальном конструктивном элементе, ибо для этих материалов характер напряженного состояния может внести существенные поправки в реализуемые свойства материала.
Следовательно, создание современных композитных конструкций с заданным комплексом эксплуатационных характеристик невозможно осуществить без достаточно полного описания механических параметров композитного материала конструкции. Проблема идентификации свойств материала требует, с одной стороны, использования физически и математически обоснованных моделей деформирования неоднородных композитов [6,8,11,19,24,48,49,56], с другой стороны, не может быть решена без достаточно эффективных методов решения физически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, в том числе неконсервативных задач [39,37,41,64] и др.
В процессе эксплуатации композиционных материалов, как правило, наблюдается падение их основных механических свойств, а именно их жесткости и прочности. Снижение жесткости и прочности зависит от целого ряда процессов разрушения, протекающих в КМ. Механизм разрушения композитов зависит от множества параметров: свойств волокон и матрицы, схемы укладки слоев, особенностей отверждения, температуры, содержания влаги и т.д. К тому же, КМ разрушаются по-разному под действием статических или циклических нагрузок.
В [19,48] подробно описан механизм разрушения КМ под действием циклических нагрузок. Разрушение обычно начинается с растрескивания слоев, ориентированных перпендикулярно направлению прилагаемой нагрузки. Трещины, как правило, располагаются на некотором расстоянии друг от друга. Циклическое нагружение приводит к повороту трещин и росту их по границе соседних слоев, то есть к началу расслоения образца. Очень быстро этот процесс развивается вблизи свободных кромок образца.
При сжатии зародышами разрушения являются трещины расслоения, появившиеся из-за неидеальности пропитки волокон или вследствие удара. Отслоившиеся достаточно тонкие части материала легко изгибаются и при некотором напряжении теряют устойчивость. По периметру дискообразной трещины отслоения появляются растягивающие напряжения, способствующие росту ее диаметра. С увеличением числа циклов нагружения происходит микрорасслоение образца и потеря его несущей способности. Постепенное накопление повреждений типа микротрещин, отслоении и разрывов волокон вызывает в результате катастрофическое разрушение образца.
Накопление всех этих видов микроразрушений уменьшает
жесткость КМ. Падение жесткости КМ как при статическом, так и
при циклическом нагружении обычно связывается с выключением из
работы определенных участков волокон при их разрыве и
дальнейшем отслоении матрицы от концов оборванных волокон, а
также с развитием микротрещин в матрице из-за ее малой
прочности. В [40,46,48] отмечено, что особенно сильное снижение
жесткости происходит в тех случаях, когда она определяется
свойствами матрицы. Если же жесткость обусловлена главным
образом волокнами, то это явление менее заметно. Обнаружено, что
в обоих случаях жесткость особенно резко падает при нескольких
последних циклах нагружения, после чего наступает окончательное
разрушение образца. Установлено, что совокупность
микроскопических повреждений, снижающих прочность и жесткость и определяющих долговечность слоистого композита, являются сложными, разнообразными, связанными с множеством видов разрушения [47].
Однонаправленные композиты
Композиты такого типа относятся к конструктивным
трансверсально-изотропным материалам. Перед окончательным
разрушением при растяжении в таком композите накапливается
значительное число разрывов волокон, что приводит к изменению
жесткости материала. В [15,31,48] даны зависимости для
определения изменения модуля упругости и модуля сдвига
однонаправленного волокнистого композита в результате
возникновения в нем дискообразных микротрещин, причем каждый
разрыв волокна отождествляется с появлением микротрещины.
Теоретически вычисленное снижение модулей упругости и сдвига,
обусловленное объемным разрушением, сравнивается с теми же
характеристиками, полученными из экспериментальных результатов.
При сравнении теоретических и экспериментальных результатов
было обнаружено, что экспериментальная кривая дает большее
значение снижения жесткости, чем теоретическая. Эта разница
может быть вызвана отслоением волокна от матрицы вблизи
разрывов волокон и увеличением вследствие этого относительной
поврежденной области. К тому же эксперимент свидетельствует о
существенном уменьшении модуля сдвига. Отсюда следует, что в
однонаправленном композите преимущественную роль играют
механизмы разрушения, связанные с расслоением материала, а не с
образованием локализованных разрывов волокон. Именно это
явление дает дополнительное снижение жесткости
однонаправленного композита.
Характер накопления повреждений при усталостном нагружении несколько отличается от статического нагружения. В композите в первом цикле нагружения вследствие большей дисперсии прочности
волокон происходят множественные разрывы, количество которых будет возрастать с увеличением числа циклов нагружения.
Во многих работах [19,48,61] отмечено, что при больших
значениях циклического напряжения в однонаправленных
композитах (стеклопластик, бороалюминий) происходит
множественное дробление волокон уже в первом цикле нагружения. Все эти локальные разрывы объединяются, и разрушение образца происходит за несколько циклов. Если напряжение первого цикла не вызывает сильного дробления волокон, то в процессе циклического нагружения происходит микрорастрескивание матрицы и распространение микротрещин, пока не начнется расслоение. Установлено, что усталостные свойства контролируются матрицей, при циклическом нагружении большую роль играют процессы расслоения. В [47,73-76] установлено, что после усталостного нагружения модуль упругости в направлении армирования снижается на 1,5%, в ортогональном направлении - на 5%, а модуль сдвига на 13,7%, то есть это еще раз подчеркивает, что при некоторой комбинации значений степени раздробленности волокон и степени расслоения во всем объеме композита происходит интенсивное локальное расслоение и распространение магистральной трещины в последних циклах нагружения.
Ортогонально-армированные, перекрестно-армированные и
квазиизотропные композиты
Процесс накопления повреждений в композитах с такой укладкой слоев связан с развитием дефектов, ориентация которых обусловлена геометрией структуры композита как при статическом, так и при циклическом нагружении [47,73-76].
В каждом однонаправленном слое композита трещины ориентированы параллельно волокнам или перпендикулярно им, чем обусловлено расслоение или разрыв волокон.
Наблюдается расслоение в направлении, ортогональном направлению растяжения. Процесс растрескивания трансверсального слоя исследовался в ряде работ [58-62,67-70,73-76,78-80]. Обнаружено, что плотность трещин по мере увеличения статической растягивающей нагрузки постепенно возрастает, плотность трещин перед разрушением циклическим напряжением больше, чем при статическом растяжении; при увеличении толщины ортогонального слоя плотность трещин уменьшается; расстояние между трещинами перед разрушением от 0,2 до 0,4 мм; при определенных уровнях циклического напряжения начинаются процессы продольного расслоения. Все эти дефекты влияют на прочность и жесткость композитов. В [74,76,80] подробно исследованы зависимости снижения жесткости от числа циклов нагружения.
Кривую падения жесткости в зависимости от числа циклов нагружения для ортогонально-армированных композитов можно разбить на три этапа:
I- быстрое снижение жесткости на 2-3%; И- линейное снижение жесткости с весьма малой скоростью на 2%, занимающее основную часть времени нагружения; III- завершающая стадия, в которой жесткость падает скачками вплоть до разрушения образца. Следует отметить, что в течении первого полуцикла образуются поперечные
трещины (в слое 90), затем начинается расслоение. При снижении жесткости на 3% по одной поверхности раздела произошло полное расслоение по всей длине образца, по другим - началось расслоение по области кромки. Можно обнаружить трещины в слое 0, ориентированного вдоль направления нагружения (продольное
расщепление). Еще один вид повреждения в таких композитах -разрыв волокон в слоях [0]. Обнаружено, что разрывы волокон несущего слоя инициируются трещинами в матрице поперечных слоев.
Аналогичным образом можно разбить на три этапа падение жесткости при циклическом нагружении для перекрестно-армированных [0,45\s квазиизотропных композитов \0\45\90\. В [47,79,80] приведены кривые изменения жесткостей в зависимости от числа циклов нагружения для пластиков с укладкой [0,90]s;
[0,45\90\ и [0,45] . В момент разрушения (потеря 18%
жесткости) в некоторых местах область расслоения распространилась почти на половину ширины образца. При анализе экспериментальных данных следует отметить еще один важный момент. Как правило, все свойства композитов рассматриваются в направлении повреждающей нагрузки, но следует учитывать, что повреждения, возникшие в одном направлении, могут влиять на прочность и модуль упругости в других направлениях. Было обнаружено, что снижение модуля связано с соотношением числа слоев, армированных в направлении нагружения, и слоев, армирование которых отличается от направления нагружения.
Причем, если учесть, что снижение модуля упругости однонаправленного композита составляет всего 3-4%, то отсюда следует, что основной вклад в снижение модуля упругости композитов, ортогонально-армированных волокнами одного типа, вносит растрескивание трансверсальных слоев.
Анализ проблемы накопления рассеянных повреждений, позволяет выявить закономерности в изменении свойств композита при явлении деградации.
-Разрушение обычно начинается с растрескивания слоев, ориентированных перпендикулярно направлению прилагаемой нагрузки. Трещины, как правило, располагаются на некотором расстоянии друг от друга. Циклическое нагружение приводит к повороту трещин и росту их по границе соседних слоев, то есть к началу расслоения образца. Очень быстро этот процесс развивается вблизи свободных кромок образца.
-При сжатии зародышами разрушения являются трещины расслоения, появившиеся из-за неидеальности пропитки волокон или вследствие удара. Отслоившиеся достаточно тонкие части материала легко изгибаются и при некотором напряжении теряют устойчивость. По периметру дискообразной трещины отслоения появляются растягивающие напряжения, способствующие росту ее диаметра. С увеличением числа циклов нагружения происходит микрорасслоение образца и потеря его несущей способности.
-Постепенное накопление повреждений типа микротрещин, отслоений и разрывов волокон вызывает в результате катастрофическое разрушение образца. Накопление всех этих видов микроразрушений уменьшает жесткость КМ. Падение жесткости КМ как при статическом, так и при циклическо нагружении обычно связывается с выключением из работы определенных участков волокон при их разрыве и дальнейшем отслоении матрицы от концов оборванных волокон.
-Отмечено, что особенно сильное снижение жесткости происходит в тех случаях, когда она определяется свойствами матрицы. Если же жесткость обусловлена главным образом волокнами, то это явление менее заметно. Обнаружено, что в обоих случаях жесткость особенно резко падает при нескольких последних
циклах нагружения, после чего наступает окончательное разрушение образца.
-Установлено, что совокупность микроскопических повреждений, снижающих прочность и жесткость и определяющих долговечность слоистого композита, являются сложными, разнообразными, связанными со множеством видов разрушения.
-В однонаправленном композите преимущественную роль играют
механизмы разрушения, связанные с расслоением материала, а не с
образованием локализованных разрывов волокон. Именно это
явление дает дополнительное снижение жесткости
однонаправленного композита.
-Отмечено, что при больших значениях циклического напряжения в однонаправленных композитах (стеклопластик, бороалюминий) происходит множественное дробление волокон уже в первом цикле нагружения. Все эти локальные разрывы объединяются, и разрушение образца происходит за несколько циклов. Если напряжение первого цикла не вызывает сильного дробления волокон, то в процессе циклического нагружения происходит микрорастрескивание матрицы и распространение микротрещин, пока не начнется расслоение. Установлено, что усталостные свойства контролируются матрицей.
Целый ряд работ указывает на незначительное снижение модуля упругости в процессе усталостного растяжения однонаправленных композитов.
При анализе экспериментальных данных следует отметить еще один важный момент. Как правило, все свойства композитов рассматриваются в направлении повреждающей нагрузки, но следует учитывать, что повреждения, возникшие в одном направлении, могут влиять на прочность и модуль упругости в других направлениях.
Основной вклад в снижение модуля упругости композитов, ортогонально-армированных волокнами одного типа, вносит растрескивание трансверсальных слоев.
Термодинамические модели
В развитии термодинамики необратимых процессов большое
значение имели работа Л. Онзагера [4,13,16,28,], который в
линейном приближении получил соотношения между
термодинамическими силами и потоками и обосновал симметрию кинетических коэффициентов.
В процессе необратимого перехода будет производиться энтропия и в конечном равновесном состоянии она станет максимальна,
= 0
да:
S(a%au2,...aun) = max
ап -параметры системы
Известны работы, в которых приводятся молекулярно-кинетические обоснования линейных соотношений [16], рассматриваются вопросы об экспериментальном определении феноменологических коэффициентов [13,16,28,32], исследуются различные варианты нелинейных соотношений между термодинамическими потоками и силами [64].
Выражение для скорости производства плотности энтропии и соотношения Л. Онзагера дают возможность вычислить производство плотности энтропии при протекании различных необратимых процессов с учетом перекрестных эффектов. При этом важную роль играет принцип Кюри, дающий возможность выделить фактически взаимодействующие необратимые процессы.
Так, например, для большого класса термомеханических явлений в предположении линейной вязкости скорость производства плотности энтропии будет вычисляться по формуле [13]:
&>і &к 2д»і Л ,
K(gradT)2 , г] ґ
ґ:\2
s Т2 2Т
+—(divv)
чс& ckt 3 дх-і
где к- коэффициент теплопроводности, г]- коэффициент сдвиговой вязкости, %- коэффициент обьемной вязкости, v- вектор скорости частицы, v,.- компоненты вектора скорости.
Предложения по использованию понятия энтропии при формулировке условий неразрушимости были сделаны в работах [17,18,33,50]. Наконец, этот критерий применен для решений разнообразных прочностных задач [32,2013,14,41,77].
Формулировка энтропийного критерия локальной прочности.
Согласно энтропийному критерию разрушение бесконечно малого элемента нагруженного тела при абсолютной температуре Т произойдет в тот момент времени t*, к которому в нем накопится критическое значение плотности энтропии S*.
Условие прочности согласно этому критерию записывается следующим образом:
S0 + \(Se+St)dt = S*
Здесь S0 -начальная плотность энтропии, Se -скорость изменения
плотности энтропии, S{- скорость производства плотности энтропии,
обусловленная различными необратимыми процессами,
протекающими внутри элементарного объема (вязкие
сопротивления, диффузия, химические превращения).
Присутствие в предельном соотношении этого слагаемого с St открывает принципиальную возможность учета влияния на
прочность различных немеханических процессов. В этом состоит большое преимущество энтропийного критерия по сравнению с критериями, основанными на чисто механических понятиях. Условие
прочности может быть записано в виде
t*
\(si+Si)dt = AS*
где AS* =S *S0- критическое приращение плотности энтропии.
Таким образом, для использования энтропийного критерия при оценке прочности необходимо располагать отчетливыми моделями процесса деформации и процессов его сопровождающих (это дает возможность построить S0 и St) и экспериментально установить для
данного исходного состояния материала численное значение критического приращения плотности энтропии AS*. В работах [13,11,5,41] указано, что критическое приращение плотности энтропии при фиксированном исходном состоянии есть константа материала и описана методика ее экспериментального определения по испытаниям на длительную прочность в условиях ползучести.
Как показали специальные исследования, проведенные над различными металлами, процесс усталостного разрушения начинается с появления сдвигов в отдельных кристаллитах испытываемого образца, увеличения плотности дислокаций и появления других дефектов в материале.
В процессе нагружения плотность и характер этих дефектов все время изменяется, что приводит к появлению начальных трещин, носящих в начале еще устойчивый характер. В дальнейшем появляются неустойчивые трещины, одна из которых переходит в магистральную. Все эти необратимые процессы сопровождаются ростом энтропии в материале образца в течение всего времени нагружения. Следует особо подчеркнуть статистическую природу
описанных явлений. Здесь все зависит от плотности распределения начальных дефектов, носящей случайный характер. С термодинамической точки зрения этому соответствует случайный характер распределения начальной плотности энтропии^. Это
обстоятельство приводит к тому, что процесс усталостного разрушения носит ярко выраженный стохастический характер.
Рассмотрим наиболее характерные для циклического нагружения источники производства энтропии.
Необратимое рассеяние работы напряжений за цикл. При циклическом нагружении материалов в плоскости а-є появляется замкнутая гистерезисная кривая. Рассмотрим случай одноосного напряженного состояния и обозначим через аа =0.5{<ттлх -
амплитуду, а через <7т =0.5(сгтйх +crmin)- среднее значение цикла.
На величины <ттах и
следующие ограничения
где аь- предел кратковременной прочности материала.
Площадь петли гистерезиса характеризует рассеянную (необратимую) часть работы напряжений за цикл.
В общем случае площадь петли гистерезиса (/2) является функцией амплитуды цикла, среднего значения цикла и времени, т.е.
Эта функция такова, что при сга=0 она обращается в нуль.
Ползучесть материала.
При определенных условиях напряжение сгт может вызвать
ползучесть материала и в зависимости от характера модели, описывающей его релаксационные свойства, будем иметь
sw=q>{
Тогда скорость производства плотности энтропии, обусловленная протеканием необратимого процесса ползучести материала, будет равна
Диффузия
В некоторых случаях при интенсивном силовом и тепловом циклическом нагружении деталей из сплавов происходит интенсивная диффузия отдельных элементов, приводящая к уменьшению долговечности. В уравнении
^ _ bjgradc)2 Т
Принимаем Ъ = р а /а, где р- плотность, а- коэффициент в
уравнении связи плотности диффузионного потока с химическим потенциалом, а- коэффициент диффузии, с- концентрация данного элемента.
Химические превращения.
В некоторых случаях процессы механического циклического деформирования могут сопровождаться интенсивными химическими процессами, оказывающими заметное влияние на долговечность образца.
Кроме того, необходимо учесть поток энтропии из данного макрообъема в соседние или в окружающую среду. Можно получить следующее предельное условие локальной прочности макрообъема, ответственного за разрушение циклически деформируемого образца.
ASi = 1Жа.,*.,0А ^jM?jn л+]»(Є2^ІЛ +](,)_ л-'fibs*. А
О * 0 * 0 * 0 о *-
AS( =S*-S0
Приведенное соотношение относится к "элементарному кубику" единичного объема. Здесь ?необр - скорость потока тепла.
Если через г обозначить продолжительность цикла, а через N-количество циклов, то получим, что
Nv = t и N*r = t* где N* - предельное количество циклов.
Скорость производства плотности энтропии, обусловленная необратимым процессом диффузии какого-либо элемента, вычисляется по приведенной формуле
В простейшем случае, удерживая в предельном соотношении лишь первое слагаемое и предполагая, что площадь петли гистерезиса явно от времени не зависит и что температура образца N*a(
Это соотношение в пространстве ——,—^-,iV* дает следующую
характерную предельную поверхность. Поверхность подобного рода хорошо аппроксимирует известные эмпирические соотношения. Таким образом, энтропийный критерий дает теоретическую базу для обоснования эмпирических формул длительной прочности при циклическом нагружении.
Один из вариантов энтропийной модели определяется уравнением
.. 1
Г} = —
q'T, df dE 4 lJ T dE dt
где q - компоненты вектора тепла Tt = .
Последнее слагаемое в данном уравнении записывается через плотность свободной энергии /и характеризует рост энтропии за счет процесса появления и роста микродефектов. Предполагается,
что изменение жесткостей во времени из-за микродефектов известно из результатов испытаний.
Итак, в качестве меры рассеянной поврежденности в целом цикл исследований предлагается брать скалярную функцию параметра процесса (реального времени процесса), которая бы позволяла рассматривать механические и немеханические явления, сопровождающие процесс роста поврежденности. В работе, в качестве такой меры предлагается использовать приращение плотности энтропии. Тогда наряду с микромеханическими явлениями, приводящими к росту поврежденности появляется возможность описать вязкое сопротивление, диффузию и другие явления, способствующие росту поврежденности, но не связанные непосредственно с процессами на микромеханическом уровне. Таким процессам можно поставить в соответствие долю увеличения плотности энтропии:
где к- удельная теплопроводность, С- концентрация, )*,>*-девятеро скоростей деформации и напряжений, Т- абсолютная температура.
Вариант энергетической модели предлагается в работе [71]. Упругая энергия, накопленная в структуре, есть функция различных параметров, которые определяются структурой. Производная энергии по параметрам повреждения есть скорость освобождения энергии. Это термодинамическая сила, связанная с накоплением повреждения.
Диссертационная работа направлена на разработку моделей изменения жесткостных и прочностных характеристик композитных конструкций, решение проблемы идентификации свойств материалов
конструкции, развитие методов исследования напряженно-деформированного состояния композитных элементов с учетом уровня накопленной поврежденности.
Целью исследования является, в первую очередь, разработка методов оценки жесткостных и прочностных характеристик композитных материалов с учетом накопления рассеянных повреждений.
В результате выполнения данного проекта предполагается:
-исследовать проблему идентификации свойств композитного
материала, работающего в составе конструкции по соответствующим
экспериментальным данным, характерных для композитов
микроповреждений таких как трансверсальное растрескивание
матрицы вдоль волокон, поперечные микротрещины,
инициированные разрывом волокон и т.п. Необходимо исследование и слоистых композитов, требуют развития модели описывающие изменение характеристик с учетом накопленной поврежденности. В результате предполагается разработать методику прогнозирования параметров материала, реализуемых в конструкции.
-разработать алгоритмы и методы численного расчета эффективных характеристик с учетом структуры композита, вида напряженного состояния конструктивного элемента.
-наконец, для композитов конкретной структуры и заданных видах нагружения предполагается дать экспериментальное обоснование теоретическим положениям.
Будет предложен также алгоритм решения физически нелинейных задач (модули упругости зависят в общем случае от напряженного состояния) в приращениях, в рамках инкрементального варианта теории.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения.
По материалам диссертации опубликовано 5 работ, включая тезисы докладов на российских и международных конференциях. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах Института Проблем механики РАН, 1998г. (рук. Профессор Р.В. Гольдштейн), Московского авиационного института, 1999г. (рук. Акад. И.Ф. Образцов), 10-й Международной конференции по механике композитов (Латвия, Рига, 1998г.), других конференциях.
Эффективные жесткости изгибаемой полосы с учетом наличия системы параллельных трещин
Известно, что в процессе эксплуатации конструкций из композиционных материалов наблюдаются явления изменения их жесткостных характеристик. Естественно, связывать такое поведение конструктивных элементов с изменением физических характеристик композитного материала. Как правило, изменение жесткостных характеристик имеет место либо при высоких уровнях действующих нагрузок, либо при длительном циклическом нагружении, когда в композитном материале происходит процесс зарождения и развития микродефектов. Вид этих микродефектов, характер их развития определяется структурной неоднородностью конкретного композитного материала, направлением нагружения по отношению к структуре композита, уровнем действующих усилий и их изменением во времени. Из-за накопления рассеянных повреждений модули упругости композитного материала могут меняться весьма значительно (до 20%) [47]. Изучение характера изменения механических характеристик композита при статическом и циклическом нагружении является основной проблемой, которая решается в результате исследования накопления рассеянных повреждений.
Один из подходов к описанию изменения жесткостей композитных материалов основан на оценке изменения микроструктуры композита при накоплении рассеянных повреждений, и получении соотношений, для жесткостных параметров с учетом этих изменений. Соотношения, определяющие зависимость модулей упругости (или обобщенных интегральных жесткостных параметров) от уровня накопленной поврежденности являются математической моделью деградации свойств композита.
В работе для определения средних жесткостей материала предлагается использовать соотношения, являющиеся следствием описания неоднородной среды на базе вариационного уравнения с помощью расширенного Лагранжиана. Найденные так соотношения являются условиями сохранения, записанными относительно деформаций в интегральной форме. Использование предлагаемого подхода позволяет определять средние значения эффективных модулей упругости неоднородных сред, интегральных жесткостных характеристик элементов конструкций с учетом характера изменения напряжений. Фундаментальный характер исходных соотношений позволяет давать оценку погрешности при вычислении эффективных характеристик, связанную со степенью приближенности модели, положенной в основу определения напряженно-деформированного состояния элемента неоднородной среды с учетом имеющейся неоднородности. Примером изопериметрических условий являются интегральные уравнения равновесия для вектора объемных и поверхностных сил и вектора момента этих сил упругого тела, называемые еще уравнениями сохранения. Получаемые в дальнейшем квадратичные изопериметрические соотношения также имеют смысл уравнений сохранения сред.
Построим квадратичные изопериметрические условия и на их основе разработаем алгоритм определения эффективных характеристик материала. Получаемые в дальнейшем имеют смысл уравнений сохранения среды Рассмотрим сначала изотропное тело. Запишем основное вариационное равенство где ju, Л- коэффициенты Ламе, у у- компоненты тензора девиатора деформации, в- объемная деформация. Перепишем вариационное равенство (1.1) в виде Полученное соотношение можно рассматривать как сумму изопериметрических условий, записанных на квадратичные инварианты. С другой стороны, найдем эти условия как уравнения Эйлера. Для этого построим расширенный Лагранжиан L , в котором постоянные /л, Л = — —ju + ЯІ включатся в пространство обобщенных переменных с помощью соответствующих изопериметрических условий Следовательно, учитывая равенства (1.2), (1.3), можно утверждать, что квадратичные изопериметрические соотношения являются необходимыми и достаточными условиями инвариантности расширенного Лагранжиана L(RJ9ju9Л) относительно преобразования физических свойств среды. Изопериметрические соотношения можно записать и в более общей форме. Рассмотрим анизотропную среду с законом упругости Ту = Віктєкт, где суммирование проводится по повторяющимся индексам, Bijkm - постоянные. Тогда изопериметрические квадратичные условия запишутся в виде f kmdV -Cijkm =0, CiJkm- постоянные. (1.5) Если модули упругости BiJkm зависят от деформаций, например, В)Jkm(є) = Вкт Г(І(є),хі), где Bjkm- постоянные, а (/( ), ,)- известные скалярные функции некоторого инварианта (или инвариантов) тензора деформаций І(є), xf- текущие координаты (і = 1;2;3), то изопериметрические соотношения имеют вид: (Ііє х ЄуЄ сіГ -CiJhn =0, Cijkm- постоянные. (1.6) Можно записать и другие, более общие формы квадратичных изопериметрических уравнений. Распространим изопериметрические квадратичные условия и на случай нелинейно-деформируемых сред. Деформации считаются малыми. Воспользуемся для этого общими формами связи между напряжениями и деформациями в декартовых координатах, полученными с помощью теории общих форм связей между ПОЛЯМИ напряжений и деформаций.
Моделирование изменения механических характеристик слоистых композитов при циклическом нагружении
Рассмотрим задачу о нагружении полосы постоянным сдвигом. Предполагается, материал полосы армирован волокнами или слоями с коэффициентом армирования /, который меняется по толщине полосы. Эффективный, средний модуль сдвига связан с модулями сдвига волокон и матрицы соотношением
В записанном соотношении коэффициент наполнения является функцией поперечной координаты у. Требуется определить эффективный модуль сдвига осредненный по толщине полосы. Воспользуемся следующим изопериметрическим соотношением Здесь, в соответствии с изложенным выше, с одной стороны величина Су является постоянной и может быть выражена через напряжение и эффективный модуль сдвига, а с другой стороны вычисляется по деформациям в исследуемом упругом теле, будучи выражена через модули сдвига матрицы и армирующих элементов. Имея ввиду что модули сдвига компонент постоянны, последнее равенство можно переписать в следующей форме Сравним два случая армирования. В первом предполагается, что коэффициент армирования, являясь четной функцией поперечной координаты, изменяется как линейная функция по поперечной координате на полуширине полосы. Этот случай соответствует продольному сдвигу, когда полоса нагружена сдвигающими усилиями по продольным кромкам (рисунка 5). Для сравнения рассмотрим другой случай когда напряжения распределены по толщине как квадратичная функция поперечной координаты, что соответствует задаче изгиба. Вычислим параметры, входящие в выражение (1.27) для каждого из случаев армирования. Имеем для / = Подстановка последних выражений в формулу (1.28) приводит к равенству Для сравнения полученных результатов для различных случаев армирования примем Ъ = 1 и будем считать что в обеих случаях используется один и тот же объем армирующих элементов, На рисунке (6-а), (6-6) приводятся графики, иллюстрирующие изменение эффективного модуля с изменением амплитуды коэффициента наполнения и относительной жесткости армирования для двух различных видов армирования. Ниже (на рисунке 7) приводится зависимость величины относительной разности между эффективными характеристиками е% для двух случаев армирования, как функции максимального значения коэффициента наполнения и жесткости армирования. С ростом жесткости армирования наблюдается рост различия в эффективных характеристиках, особенно для больших коэффициентов армирования. Рассмотрим другую задачу, моделирующую процесс поврежденности однородного материала при сдвиге. Используем простую модель, предполагая, что плотность дефектов пропорциональна максимальным касательным напряжениям. Будем моделировать поврежденность наличием микрополостей в материале, плотность распределения которых определяется коэффициентом наполнения /, Жесткость материала в поврежденных зонах (микрополостях) характеризуется величиной Gb или иначе параметром к (к =Gb/G). Очевидно, в рассматриваемой задаче к 1. Рассмотрим два случая нагружения: в первом предполагается что полоса нагружена касательными усилиями, приложенными симметрично на продольных краях полосы, который реализуется при растяжении полосы, защемленной между жесткими захватами (касательные напряжения по толщине распределены кососимметричным образом по линейному закону); во - втором полоса подвержена действию перерезывающей силе и, следовательно, касательные напряжения по толщине полосы распределены по закону параболы. Решение проблемы здесь дается также формулами (1.30). Характер изменения модуля поврежденного материала здесь можно оценить воспользовавшись графиками Рисунка (8-а), (8-6). Для замыкания модели поврежденности здесь достаточно задать коэффициент пропорциональности между значениями максимальных напряжений и коэффициентом наполнения, а также определить величину параметра к. Как оказалось, поврежденность почти не зависит от характера распределения напряжений, а определяется лишь уровнем напряжений (по крайней мере в начале процесса, когда параметр не очень мал). В данной задаче, очевидно параметр к меньше единицы, а в случае микрополостей следует принять что к = 0. В последнем случае нельзя использовать формулу смеси для определения жесткостей, а следует привлекать иную модель деформирования[27].
Деформирование поврежденного материала в зоне степенного распределения напряжений
В процессе эксплуатации композиционных материалов как при статическом нагружены с относительно высокой амплитудой, так и циклическом нагружены наблюдаются явления уменьшения механических и прочностных свойств, иногда называемое явлениям деградации механических и прочностных свойств. Причину этого явления связывают с процессом накопления рассеянных повреждений в композиционных материалах. В свою очередь процесс роста поврежденности материала определяется как механическими явлениями, обусловленными образованием и ростом различного рода микродефектов, так и вязким сопротивлением, диффузией, химическими процессами и другими явлениями немеханического порядка, сопровождающими процесс поврежденности. В целом процесс роста рассеянных повреждений предшествует появлению макротрещин, как правило, требует специальных методов экспериментального обнаружения. Имеющиеся экспериментальные в данные позволяют утверждать, что этот процесс проявляясь в уменьшении жесткостных и прочностных свойств композита, играет часто определяющую роль при разрушении композита. Несомненно, процесс накопления повреждений следует учитывать при проектировании изделий в соответствие с принципом безопасной поврежденности. Для учета накопления повреждений широко используются феноменологические модели, модели компьютерного моделирования, статистические модели.
В рамках таких подходов невозможно учесть особенности процессов роста микродефектов и генерации новых дефектов, проследить вклад в рост поврежденности микродефектов различного вида, учесть взаимовлияние микродефектов и структуры композиционного материала. Для более полной формулировки модели накопления рассеянных повреждений композиционных материалов, связанных с микромеханикой разрушения, следует определить предварительно виды микродефектов, контролирующих поврежденность и описать соответствующие локальные меры поврежденности. Главный этап при описании поврежденности композиционного материала состоит в том, чтобы установить зависимость поврежденности материала в целом от локальных мер поврежденности в реальном времени протекании процесса роста поврежденности. Необходимо предварительно, конечно, дать определение меры поврежденности композиционного материала. Следует описать модель роста отдельного микродефекта и модель зарождения микродефектов. Оба эти процесса должны быть отражены при формулировке модели накопления рассеянных повреждений.
Наиболее конструктивным в этом отношении является микромеханический подход, один из наиболее последовательных вариантов, которого изложен в работе [37]. Использование энтропийных подходов также оказалось приемлемым, особенно когда требуется оценить приращение поврежденности, связанное с диффузионными процессами, температурными эффектами теплопроводности,. Неупругим (вязким) поведением материала и т.п. Возможны комбинации энтропийного и микромеханического подходов.
Изложим один, достаточно общий алгоритм построения системы разрешающих уравнений для среды, в которой наряду с обратимыми наблюдаются необратимые процессы. Сформулируем также критерий разрушения. Рассмотрим случай с высоким уровнем нагружения и малой продолжительностью. Будем считать, что процесс деформирования носит адиабатический характер. В каждой точке меняется температура и растет энтропия. Эти процессы обусловлены необратимыми деформациями, которые можно в общем случае считать вязкими деформациями. Получим систему разрешающих уравнений и изложим последовательность прочностного расчета тела из вязкоупругого материала со слабой теплопроводностью при адиабатическом деформировании.
Материал будем моделировать вязкоупругой средой с единым тензором напряжений и деформацией, компоненты которой аддитивно складываются из упругой є? и вязкой є» составляющих Считается, что деформации считаются малыми. Условимся считать: в начальном состоянии при t = 0, S = S0 деформации равны нулю. Соотношения термоупругости записываются в виде где Aijmn- тензор коэффициентов упругости, Ру- тензор термических коэффициентов. Поясним кратко процесс возникновения энтропии и связь приращении энтропии с изменением температуры в адиабатическом процессе. Запишем первое и второе начало термодинамики обратимых процессов: TdS = dQ где ju(- начальный потенциал (химический и т.п.), связанный с частицей Nt. Термодинамика необратимых процессов основывается на следующих постулатах: 1. Приведенные соотношения термодинамики обратимых процессов остаются справедливыми и для необратимых процессов, но только локально (принцип локального равновесия). 2. В каждом локальном объеме термодинамические функции являются функциями тех же параметров, что и в случае равновесных процессов и явным образом от координат и времени не зависят. 3. Градиенты скоростей, температур, напряжений и т.п. достаточно малы.
Прогноз изменения характеристик слоистых материалов различной структуры с ростом поврежденности при циклическом нагружении
Заметим, что второе соотношение системы (2.11) позволяет трактовать процесс Пуассона. При этом, в частности, приращенные локальной поврежденности s(t,r) может быть записано в форме
Здесь s0- локальное приращение поврежденности от микродефекта, зародившегося в момент t = т, t r. Величины Ъ и As- параметры процесса Пуассона, а уравнение для S может быть записано в форме стохастического уравнения Ланжевена [65]. Запишем следующее очевидное равенство Следовательно, если изменением величины s в реальном времени можно пренебречь, то следует принять s(t)&s0 в формуле (2.13). Такое упрощение в ряде случаев можно считать допустимым, а соотношение s(t) = s0, может трактоваться, как появление микродефектов с одинаковой длинной тогда формула (2.13) приобретает вид Уравнения (2.11), (2,13), (2,15) составляет замкнутую систему кинетический уравнений и начальных условий для определения — поврежденности. Перейдем к краткому анализу определяющих соотношений для модели роста поврежденности. Пусть в (2.14) b(t) = 0. В этом случае и скорость роста характеристики микродефекта не зависит от текущего значения этой характеристики, т.е. все микродефекты, и малые (только что зародившиеся) и большие (зародившиеся на более ранних стадиях процесса нагружения и уже успевшие развиться) растут с одинаковой скоростью, зависящий только от параметра процесса. Пусть теперь в (2.15) a{t) = 0, т.е. скорость развития характеристики микродефекта пропорциональна текущему значению этой характеристики: Эта ситуация характерна для многих видов микродефектов. Соотношение (2.15) означает, что чем больше микродефект, чем с большей скоростью он возрастает, однако скорость роста логарифма характеристики микродефекта = —-—- = b{t) одинаково как для малых, так и для больших микродефектов (в фиксированной точке процесса). Отсюда для процессов, происходящих в неизменных условиях (b(t) = Const) следует экспоненциальный рост характеристики микродефекта s = s0eb r который часто наблюдается в экспериментах. Скорость роста усталостных микротрещин в металлах пропорциональна их текущей длине, если последняя превосходит размер зерна. Таким образом, распространяются микротрещины, если их развитие не тормозится никакими барьерами. Следовательно, зависимость (2.17) можно принять для развития микротрещин, ориентированных вдоль направления армирования (растрескивание трансверсального слоя). Скорость изменения полуоси (объема) эллипсоидального поры в металле также пропорционально текущему значению этой полуоси (объема). Следовательно, микродефекты в КМ с порошковой металлической матрицей также будут развиваться в соответствии с (2.17).
В случае наличия в КМ препятствий для развития микродефектов, скорость изменения s может убывать с ростом s (с приближением границы микродефекта к препятствию).
Одной из основных целей, которая преследуется при описании процесса накопления повреждений в композиционных материалах является оценка изменения механических характеристик в процессе эксплуатации, как правило, в конструкционных композиционных материалах наблюдается явление уменьшения модулей упругости как при квазистатическом, так и при циклическом нагружении, которое часто называют явлением деградации механических свойств. Это явление справедливо связывают с процессом накопления повреждений в композитах, а более точно с уровнем накопленной поврежденности. Как правило, используют простые модели деградации повреждений, вводя в рассмотрение относительные величины падения жесткостей (изменения прочности, выработанный ресурс). Как правило, известно, что эти величины достигают некоторых предельных значений (равных примерно (15-25)%) к концу процесса накопления повреждений, т.е. к моменту начала появления макротрещин (начало макроразрушения). В простейших моделях деградации свойств можно считать, что относительные величины падения механических характеристик и являются мерой поврежденности. Тогда можно записать следующие выражения соответственно для изменения модулей упругости, жесткости на изгиб, изменение прочности: Здесь S - значения поврежденности, зависящие от параметра процесса t. Они изменяются от нуля до предельных значений, которые соответствуют концу процесса накопления рассеянных повреждений (или началу процесса разрушения). Если же предельные значения поврежденности нормированы, т.е. принимаются равными единице для предельно поврежденного материала, то вместо S следует записать
