Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современное состояние проблемы 11
Глава 2. Теоретические основы расчета нелинейной деформации гиперупругого амортизатора 27
2.1. Основные соотношения нелинейной теории упругости 28
Системы координат, применяемые в нелинейной теории упругости 28
Метрические тензоры и градиенты места 30
Меры и тензоры конечной деформации 32
Тензоры деформации Коши и Альманси 33
Инварианты тензоров конечной деформации Коши и Альманси..35
Преобразование элементарного объема и ориентированной площадки при переходе к актуальному состоянию 36
Напряженное состояние. Тензоры напряжений Коши, Пиола и Кирхгофа 37
2.2. Модели нелинейно-упругого материала 39
Определяющие соотношения нелинейно-упругой среды 39
Материал Сетха 43
Модели Синьорини и Мурнагана сжимаемого нелинейно-упругого тела 43
Модели резиноподбных материалов Блейтца-Ко и Ноулса-Стернберга 46
Формулировка моделей несжимаемого нелинейно-упругого тела. 47
Модель несжимаемого материала Трелоара 48
Модели Муни и Ривлина 49
Материалы Бартенева-Хазановича и Черных-Шубиной 51
Модели сжимаемых и пористых гиперупругих материалов 51
2.3. Постановка краевых задач нелинейной механики гиперупругого тела 52
Уравнения равновесия нелинейно-упругого тела 52
Постановка краевых задач для нелинейно-упругого тела 53
Потенциальная энергия нелинейно-упругого тела 56
Вариационный принцип Лагранжа в нелинейной теории упругости 57
Вариационный принцип Кастильяно 58
Смешанные вариационные приципы Хеллингера-Рейсснера и Ху-Вашицу 59
Глава 3. Исследование напряженно-деформированного состояния гиперупругих амортизаторов на модельных задачах 61
3.1. Аналитические решения модельных задач нелинейной механики гиперупругого тела 61
Основные подходы к решению краевых задач нелинейной теории упругости. Метод последовательных приближений 61
Одноосное сжатие гиперупругого цилиндра 63
Моделирование корректировки жесткости амортизатора путем изменения геометрии 69
3.2. Конечно-элементное моделирование гиперупругого тела 70
Построение конечно-элементной модели 70
Решение нелинейной алгебраической задачи 74
Осесимметричный конечный элемент 78
Объемный конечный элемент 80
Конечный элемент кинематической связи 83
3.3. Конечно-элементное решение модельной задачи 85
Основные выводы 92
Глава 4. Исследование деформированного состояния амортизаторов из гиперупругих материалов при учете эффекта старения и корректировке геометрических параметров 94
4.1. Постановка задачи 94
4.2. Моделирование конического амортизатора при умеренных деформациях 95
Исходные данные 95
Конечно-элементная модель 97
4.2. Моделирование пирамидального амортизатора 104
Постановка задачи 104
Характеристики материалов 110
Конечно-элементная модель 125
Основные результаты 132
Литература 141
- Модели Синьорини и Мурнагана сжимаемого нелинейно-упругого тела
- Вариационный принцип Лагранжа в нелинейной теории упругости
- Моделирование корректировки жесткости амортизатора путем изменения геометрии
- Моделирование конического амортизатора при умеренных деформациях
Введение к работе
Данная диссертационная работа посвящена разработке методов восстановления характеристик резинометаллических амортизирующих элементов машиностроительных конструкций, подверженных старению в процессе эксплуатации. Предлагается понижение жесткостных характеристик амортизаторов, прошедших расчетный цикл эксплуатации, за счет изменения геометрии путем механического снятия слоя материала.
Актуальность темы.
Резинометаллические амортизаторы являются одними из наиболее широко распространенных типов амортизаторов, применяемых в современных машиностроительных конструкциях самого различного назначения. Основными преимуществами резинометаллических амортизаторов перед амортизаторами пружинного и рессорного типа, выполняемыми из металлических конструкционных материалов, являются:
отсутствие коррозионного износа неметаллического конструкционного материала,
минимум механической обработки и сборочных операций при изготовлении,
в большинстве случаев - меньшая стоимость вследствие названных выше причин.
В то же время неметаллические амортизаторы при продолжительной эксплуатации в атмосфере, при наличии тех или иных воздействий (колебания температуры в широком диапазоне, содержание в атмосфере агрессивных веществ и др.) приводят к изменению физических свойств конструкционных материалов, а следовательно, отклонению механических характеристик амортизатора от предусмотренных конструкцией параметров. Кроме того, хранящиеся в складских условиях технические резины, как правило, тоже изменяют свойства. Как правило, при старении технических резин их физические константы изменяются в сторону большей жесткости. При этом заме-
на амортизирующего элемента аналогичным новым амортизатором в ряде случаев оказывается невозможной или по ряду причин нецелесообразной. В этих случаях возникает необходимость восстановления проектных характеристик амортизатора путем той или иной обработки.
Два возможных метода восстановления характеристик технических резин - химический и механический. Задача химического метода - изменение микроструктуры материала с целью изменения его физических констант в сторону снижения жесткости. Применение механического метода предполагает уменьшение рабочих сечений амортизирующего элемента и, следовательно, снижение его жесткости на растяжение-сжатие при неизменных физических константах, соответствующих состаренному состоянию материала. В ряде случаев механический метод восстановления может оказаться более доступным или единственно возможным.
Цель работы.
Целью данной работы является исследование деформированного состояния массивных резинометаллических амортизационных элементов конструкций при изменении их геометрических параметров и физических свойств материала для выработки рекомендаций по восстановлению проектных механических характеристик путем механической обработки снятием слоя материала.
Для реализации сформулированной цели поставлены следующие задачи:
Выбор модели технической резины как гиперупругого материала с различной степенью сжимаемости;
Построение трехмерных конечно-элементных модели резинометаллических амортизационных элементов конструкций различных типов;
Выбор и обоснование схемы нагружения конечно-элементной модели, наиболее точно соответствующей физическому эксперименту;
Проведение решений трехмерных задач теории упругости в геометрически и физически нелинейной постановке при различных геометрических параметрах объекта, моделирующих механическую обработку;
Выработка рекомендаций по модификации амортизаторов, прошедших полный срок эксплуатации, на основе полученных решений. Научная новизна работы.
Научная новизна работы заключается в рекомендациях по выбору метода и параметров механической обработки резинометаллических амортизаторов, прошедших полный срок эксплуатации, при изменении физических параметров материала в результате старения резин при внешних воздействиях.
Достоверность результатов работы.
Достоверность результатов работы обосновывается:
применением апробированного аппарата математического моделирования гиперупругих конструкционных материалов:
применением апробированного математического аппарата численного решения нелинейных краевых задач теории упругости и программного обеспечения;
опорой на экспериментальные результаты, полученные при испытании эксплуатируемых амортизаторов.
Практическая ценность работы.
Практическая ценность работы заключается в выработке рекомендаций по восстановлению проектных механических характеристик резинометаллических амортизаторов, изменяющихся в процессе эксплуатации за счет старения резиновых конструкционных материалов в процессе эксплуатации или длительного хранения. Обосновывается возможность дальнейшего применения амортизационных конструктивных элементов, прошедших полный срок эксплуатации или хранившихся в течение длительного времени, тем самым обеспечивается возможность эксплуатации машиностроительных конструк-
ций при невозможности или нецелесообразности замены отработавших ресурс амортизаторов аналогичными новыми элементами.
Апробация работы.
Результаты работы апробированы на научно-практической конференции "Прогрессивные технологии для интенсивного развития отраслей социально-экономического комплекса" (Подольск, Институт экономики, 2004), XII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва, 2006) и
Публикации по теме работы.
По теме работы в 2004-2006 г. опубликовано 3 печатные работы в журнале «Инженерная физика», сборнике «Материалы XII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» и материалах Научно-практической конференции "Прогрессивные технологии для интенсивного развития отраслей социально-экономического комплекса".
Структура и объем работы.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, основных результатов и выводов и библиографического списка. Общий объем работы 145 страниц, в том числе 125 страниц машинописного текста, 20 страниц иллюстраций и 15 страниц списка литературы из 107 наименований.
Первая глава диссертационной работы посвященная обзору публикаций, содержащих теоретические основы и основные результаты в области данного исследования.
Вторая глава содержит основные теоретические выкладки, необходимые для построения решения поставленной задачи. Глава состоит из трех параграфов.
- в первом параграфе главы приводятся основные соотношения геометрически нелинейной теории упругости, на основании которых строится решение задачи нелинейного деформирования трехмерного гиперупругого
тела;
во втором параграфе излагаются основные математические модели несжимаемых, слабосжимаемых и пористых сильносжимаемых гиперупругих сред, на основе которых моделируются резинотехнические материалы, обосновывается выбор моделей, применяемых далее в практических расчетах, а также основных моделей старения резин;
в третьем параграфе приводится полная постановка трехмерной краевой задачи теории упругости для гиперупругого материала, системы разрешающих уравнений, формулировка краевых условий, на основе которой ставится задача расчета нелинейного деформированного состояния гиперупругого тела в соответствии с экспериментальной реализацией аналогичной задачи.
Третья глава посвящена построению решения модельной задачи об одноосном сжатии цилиндрического резинового. Глава состоит из трех параграфов:
в первом параграфе излагаются основные подходы к аналитическому решению нелинейной задачи теории упругости, описан метод пошагового нагружения и на его основе строится решение задачи об однородной деформации гиперупругого цилиндра, а также аналитическая зависимость геометрических параметров цилиндра от физических постоянных нео-гукова материала, обеспечивающая постоянство сжимающей силы;
во втором параграфе описывается конечно-элементная модель, на основе которой строится численное решение поставленной задачи, и обосновывается выбор метода решения нелинейной задачи.
в третьем параграфе описывается конечно-элементная модель цилиндрического амортизатора и сравнительный анализ численного и аналитического решений. В четвертой главе приводится описание основных результатов, полученных для трех типов амортизаторов. Глава состоит из трех параграфов, каждый из которых содержит основные исходные данные, в том числе геометрические размеры и диаграммы деформирования в проектном и подверженном эксплуатационным изменениям состоянии, пара-
метры конечно-элементной модели и результаты решения задачи при проектной и модифицированной геометрии амортизатора первого, второго и третьего типа соответственно. На защиту выносятся:
Предложения по модификации геометрических параметров резиноме-таллических амортизаторов, прошедших полный цикл эксплуатации, для восстановления проектных механических характеристик;
Моделирование нелинейного деформированного состояния амортизационных конструктивных элементов при изменении геометрии амортизатора.
Модели Синьорини и Мурнагана сжимаемого нелинейно-упругого тела
Как правило, в нелинейной теории упругости строятся определяющие соотношения нескольких уровней сложности [1, 2]. Первому, простейшему уровню, отвечает модель, формулируемая на основе закона Гука с известными физическими константами X, и. путем замены линейного тензора деформаций є тензором деформации Альманси гл или мерой деформации Аль-манси А, при этом существование потенциальной энергия не постулируется.. Полученная таким образом модель называется упругим материалом Сетха. Физические соотношения Сетха ([], 1935) в форме Альманси имеют вид [1]
Здесь Е - единичный тензор второго ранга. Коэффициенты (2.75) физических соотношений Альманси (2.74) для модели (2.82) имеют вид Модель Сетха при малых деформациях, описываемых линейным тензором є, очевидно, совпадает с моделью Гука, однако условия существования потенциальной энергии (2.81) не удовлетворяются. Материал Сетха, следовательно, не является гиперупругим. Модели Синьорини и Мурнагана сжимаемого нелинейно-упругого тела. Более сложные модели упругих материалов при больших деформациях, отвечающие условиям Грина, можно подразделить на три основные группы -слабосжимаемые материалы, несжимаемые материалы и сильносжимаемые (пористые, или пенистые) материалы. Для слабосжимаемых упругих по Грину материалов простейшими являются модели Синьорини и Мурнагана. Модель Синьорини описывается следующим физическим соотношением в форме Альманси: Уравнения существования потенциальной энергии (2.81) выполняются при следующих условиях: С учетом (2.85) закон состояния принимает вид Потенциальная энергия деформации материала Синьорини (2.86) существует и записывается в виде В отсчетной конфигурации: Условие натуральности отсчетной конфигурации позволяет исключить одну константу, доведя число независимых постоянных до трех: и окончательно уравнения состояния Синьорини приводятся к виду: Здесь , д - постоянные Ламе. Условия положительности потенциальной энергии деформирования имеют вид в отличие от линейно-упругого материала, для которого выполняется Материал Синьорини, таким образом, является расширением линейной модели упругого материала, сохраняющим понятие потенциальной энергии и описываемой тремя независимыми константами. Следующим за моделью Синьорини приближением является материал Мурнагана ([], 1954). Согласно Мурнагану, потенциальная энергия записывается в виде ряда по степеням компонентов тензора деформации Коши: Коэффициенты ряда постоянны, Х,ц - постоянные Ламе 2 порядка упругого материала. Вторая форма записи закона Мурнагана содержит, кроме постоянных Ламе А.,ц, три постоянные Мурнагана 1,т,п и величину гидростатического давления р: Очевидным преимуществом моделей Синьорини и Мурнагана является использование в определяющих соотношениях параметров Ламе. С теоретической точки зрения это обеспечивает простой предельный переход к линейному закону состояния.
С другой стороны, применение параметров Ламе позволяет при практическом задании закона состояния реального нелинейно-упругого материала опираться на известные физические константы, определяемые при малых деформациях. Модели резиноподбных материалов Блейтца-Ко и Ноулса-Стернберга. Модель материала Блейтца и Ко определяется тремя константами. Потенциальная энергия упругой деформации материала Блейтца-Ко записывается в следующем виде: где константа материала а задается следующим образом: Модель Блейтца-Ко разработана для резиноподобных слабосжимаемых материалов. Упрощенная модель получена Ноулсом и Стернбергом и следует и следует из модели Блейтца-Ко при следующих допущениях: Потенциальная энергия упругой деформации материала Ноулса-Стернберга имеет вид Тензор напряжений Пиола с учетом (2.95) записывается в виде тензор напряжений Коши имеет вид Модель Ноулса-Стернберга, несмотря на большую простоту по сравнению с моделью Блейтца-Ко при произвольных а, тем не менее, достаточно сложна в практическом применении и для расчета резиноподобных материалов малоприменима. Формулировка моделей несжимаемого нелинейно-упругого тела. Резиноподобные конструкционные материалы подразделяют, как правило, на две группы: несжимаемые, к которым относится подавляющее большинство сплошных резин, и сильносжимаемые пористые или пенистые материалы. Материалы первой группы отличаются с точки зрения математической формулировки уравнений состояния дополнительной связью в виде условия несжимаемости среды, записываемого относительно третьего инварианта меры деформации Коши: Энергия упругой деформации, составляемая в общем случае двумя слагаемыми - энергией изменения формы э+ и энергией изменения объема э -для несжимаемого материала ограничивается одним слагаемым: Уравнение состояния в форме Фингера для несжикмааемого упругого материала имеет вид где введена функция р, имеющая смысл гидростатического давления: Коэффициенты уравнения состояния Фингера имеют вид
Вариационный принцип Лагранжа в нелинейной теории упругости
Модель несжимаемого материала Трелоара является наипростейшей и наиболее распространенной в практическом применении моделью технических резин. Потенциальная энергия упругой деформации согласно Трелоару зависит только от первого инварианта меры Коши: где С, - константа Трелоара. Условие неотрицательности потенциальной энергии имеет вид С, 0. Константа С, имеет смысл модуля упругости второго рода ц, т.е. закон состояния может быть записан в форме известной под названием нео-гукова упругого потенциала. Тензор напряжений Коши в нео-гуковом материале записываетя в виде тензор напряжений Пиола - Таким образом, модель материал
Трелоара является линейным приближением закона состояния гиперупругого материала, что, в частности, предоставляет возможность построения ряда аналитических решений задач о деформации гиперупругой среды. Так, одноконстантная модель Трелоара используется в [] для построения решения задач о сжатии куба и цилиндра методом последовательных приближений. Область применимости нео-гуковой модели при одноосном сжатии ограничивается деформацией 5, -1 = 0.3...0.35. Модели Муни и Ривлина. Моделью следующего уровня является двухконстантная модель гиперупругого материала Муни []. Упругий потенциал Муни записывается в общем виде следующим образом: или в технических константах как где JU - модуль упругости второго рода, р - константа Муни, удовлетворяющая условию неотрицательности энергии -1 р 1. При р = 1 материал Муни вырождается в одноконстантный материал Трелоара, не учитывающий влияния второго инварианта меры деформации. Тензор напряжений Коши в материале Муни имеет вид тензор напряжений Пиола - Модель Муни реализует квадратичное приближение закона состояния гиперупругой среды и используется в основном при численном решении задач механики несжимаемого упругого тела. В частности, модель Муни реализована в коммерческих конечно-элементных программных комплексах MSC/Nastran, MSC/Marc, Ansys и ABAQUS и поддерживается препроцессорами типа Femap, MSC/Patran и др. Следующей по сложности моделью является модель Муни-Ривлина. В отличие от материала Муни, по Ривлину зависимость потенциальной энергии от второго инварианта меры Коши задается некоторой положительной функцией: В большинстве практических приложений применяется следующая форма записи закона состояния Муни-Ривлина: где С]0,С01 -константы. Модель Муни-Ривлина высшего порядка также записывается в форме Синьорини: реализующей квадратичный относительно первого инварианта закон состояния материала, или в форме Ео: где принята гипотеза о независимости потенциальной энергии от второго инварианта меры Коши, а зависимость от первого инварианта является степенной. Более общий случай - модель Джеймса-Грина-Симпсона третьего порядка учитывает влияние второго инварианта меры Коши:
Моделирование корректировки жесткости амортизатора путем изменения геометрии
Далее рассмотрим основную проблему - изменение жесткости амортизатора в форме сплошного цилиндра, работающего в условиях одноосного сжатия, при нарастании жесткости гиперупругого материала вследствие старения. Снижение интегральной жесткости планируется путем уменьшения площади поперечного сечения амортизатора. Пусть изменение жесткости материала задано коэффициентом К: G = KG. При этом увеличение сжимающей силы (3.26), очевидно, будет прямо пропорциональным К. Введем аналогичный коэффициент пропорциональности для радиуса цилиндра R: R = MR. В этом случае соотношение (3.26) запишется в виде: Следовательно, увеличение жесткости материала в К раз требует для сохранения значения сжимающей силы уменьшения радиуса в 4к раз, т.е. корректировка жесткости описывается следующей зависимостью: Аналогичный результат может быть получен и для другой формы тела. Например, для призматического тела квадратного поперечного сечения с размером стороны а и высотой Ь решение (3.26) имеет вид В этом случае зависимость коэффициентов изменения геометрического размера сечения и коэффициента изменения жесткости также будет иметь вид (3.28). Как следует из (3.26), (3.28), (3.29), существует обратная пропорция между коэффициентом изменения площади поперечного сечения тела в натуральной отсчетной конфигурации и коэффициентом изменения жесткости. Соответственно, можно утверждать, что при однородной деформации гиперупругого амортизатора, не превышающей 50%, в первом приближении можно принять закон изменения геометрии сечения в зависимости от изменения модуля упругости второго рода в виде Данное решение далее используется в качестве начального приближения при проектировочном расчете амортизатора. Аналитическое решение нелинейной задачи теории упругости для тела произвольной геометрии при больших деформациях и для случая нелинейного закона состояния гиперупругой среды в замкнутом виде в элементарных или специальных функциях может быть построено только в нескольких частных случаях.
В общем случае неканонической геометрии необходимо применение численных методов решения трехмерной нелинейной краевой задачи -метода конечных разностей или метода конечных элементов. Конечно-разностные модели трехмерных тел строятся путем дискретизации исходной модели в форме дифференциальных уравнений в частных производных на основе того или иного разностного шаблона [Бахвалов]. При ряде преимуществ разностных методов основная сложность при конечно-разностной дискретизации возникает на этапе формулировки граничных условий на поверхности, не совпадающей с канонической в выбранной системе координат, и при необходимости обеспечения сохранения консервативности модели. Конечно-элементное моделирование имеет существенные преимущества при моделировании трехмерных тел сложной геометрии в первую очередь за счет возможности построения нерегулярных сеток при достаточно простом задании краевого условия на любой поверхности. В связи с названными преимуществами метод конечных элементов эффективнее применяется к решению практических задач и реализован в ряде коммерческих пакетов прикладных программ в различных вариантах. В общем случае конечно-элементное моделирование трехмерных задач теории упругости опирается на разбиение области со, занимаемой упругой средой, на систему непересекающихся подобластей - конечных элементов, имеющих форму призм или тетраэдров, в общем случае криволинейных: В пределах конечного элемента строится система базисных функций, называемых функциями формы: где и - вектор перемещения, ик - вектор узловых перемещений конечного элемента, фДг) - функции формы конечного элемента, определяемые для каждого типа элементов; k = \...N, N - число конечных элементов модели.
Постановка задачи нелинейной теории упругости имеет следующий вид: уравнения равновесия записываются относительно тензора напряжений Коши Т в форме (2.124) или относительно второго тензора Пиола-Кирхгофа Тв форме (2.127) с соответствующими статическими краевыми условиями (2.129) или (2.130) с учетом условия совместности Синьорини в форме (2.135) или (2.136). Кинематические соотношения задачи состоят из уравнений связи отсчетной и актуальной конфигураций (2.28) и уравнений, определяющих меру деформации Коши через вектор перемещения в форме (2.31) с учетом выражения для линейного тензора деформации (2.35) и тензора деформации Коши (2.36). Модель замыкается определяющими соотношениями, в случае гиперупругого несжимаемого материала имеющими вид (2.109) или (2.110) (линейный материал Трелоара), (2.113) или (2.114) (материал Муни), или в случае слабосжимаемого материала - (2.86) (материал Синьорини), (2.96), (2.97) (материал Ноулса-Стернберга) либо заданными через энергию, определенную в рамках моделей Мурнагана (2.93), Блейтца и Ко (2.94). Более сложные модели гиперупругого материала определяются формулировкой энергии по Джеймсу-Грину-Симпсону (2.119), Бартеневу-Хазановичу (2.120) или Черных-Шубиной (2.121). Сильносжимаемые материалы задаются моделью Огдена (2.122) или (2.123). Системе уравнений задачи теории упругости в перемещениях эквивалентна вариационная формулировка на основе принципа Лагранжа (2.150) или принципа виртуальных перемещений, позволяющая записать интегральное условие равновесия. Воспользуемся вариационным принципом в форме возможных перемещений:
Моделирование конического амортизатора при умеренных деформациях
Исследуется амортизатор в форме полого усеченного конуса, представляющий собой трехмерное тело, ограниченное двумя соосными коническими поверхностями С0, С, и двумя соосными цилиндрическими поверхностями Геометрия конических поверхностей задана диаметрами нормальных оси сечений, задающих максимальный габаритный размер тела Я (высоту) по оси я. Больший и меньший диаметры сечений конуса С,, являющегося внешней поверхностью, равны соответственно , и D2, диаметры конуса С0 - внутренней поверхности - равны с/, ud2. Цилиндрические поверхности S0, S,, нормальные оси конусов, имеют диаметры R0 и /?, соответственно, при этом Я, R0 [Мир-2]. Задача решается при следующих исходных данных: Максимальное перемещение поверхности Sl при осевом сжатии амортизатора составляет W = 45MM. Сближение торцов порядка 45 мм приводит к наибольшим деформациям порядка 30%, что, как следует из результатов, приведенных в главе 2, является границей применимости одноконстантной модели несжимаемого материала. Соответственно, закон состояния материала принят в форме линейной модели гиперупругой среды Трелоара (2.109) или (2.110). Константа материала С, =G (модуль упругости второго рода) равна 1 10Э Па. реализуются однородные кинематические краевые условия в глобальной цилиндрической системе координат: К)іч,={»,)і%"("»)к"- (4- Конечно-элементная модель. Конечно-элементная модель образована тетраэдрическими изопарамет-рическими девятиузловыми квадратичными конечными элементами типа CTETRA, имеющими 27 поступательных степеней свободы. Конечно-элементная сетка имеет следующие параметры: - число элементов вдоль образующей конических поверхностей: пс = 15; - число элементов вдоль кривой, образованной пересечением поверхностей - число элементов вдоль кривой, образованной пересечением поверхностей - число элементов вдоль кривой, образованной пересечением поверхностей S0 и С,: т2 - число элементов вдоль кривой, образованной пересечением поверхностей S, и С,я2=20. Закрепление реализовано на поверхности S0 в виде поверхностного граничного условия в соответствии с (4.1). Задано перемещение поверхности S1, с помощью жесткого конечного элемента кинематической связи с ведущим узлом, расположенным на оси конуса с координатой z = 2//. Ведущий узел подчиняется краевым условиям
Конечно-элементная модель исследуемого упругого тела показана на рис. 4.2, жесткий элемент кинематической связи условно не показан. Нелинейная алгебраическая задача решается методом Ньютона-Рафсона с выводом решения на 20 промежуточных шагах, максимальное число итераций на шаге равно 25. Деформированное состояние амортизатора в исходном состоянии при максимальном обжатии приведено на рис. 4.3. Диаграмма деформирования Р-А приведена на рис. 4.4. Исходному состоянию материала амортизатора соответствует сплошная линия. Данную диаграмму будем считать основной рабочей характеристикой амортизатора, подлежащей восстановлению при старении материала. В предположении о равномерном по всему объему материала изменении его свойств в результате старения, соответствующем увеличению жесткости на 20% (G = 1,2-105Па), был проведен расчет на основе исходной конечно-элементной модели, приведенной на рис. 4.2, в результате чего построена диаграмма деформирования Р-Ь «состаренного» амортизатора. Данная диаграмма показана на рис. 4.4 маркерами «х». Восстанавливать исходную характеристику амортизатора при увеличении жесткости материала предлагается путем уменьшения площади сечений конуса, нормальных оси, за счет снятия слоя материала с поверхности С0. Расчеты проводились при пошаговом уменьшении толщины конуса по 2 мм.
В результате каждого изменения толщины стенки конуса строилась новая конечно-элементная модель, аналогичная исходной по количеству и типу конечных элементов, закреплению и величине перемещения торца. Для полученной модели проводился расчет, по результатам которого строилась диаграмма N-ro приближенияPv -5V. По мере приближения к исходной диаграмме шаг изменения толщины уменьшался до 1 мм. В результате при снижении толщины равномерно по всей внутренней поверхности S0 на 13 мм (8 шагов) была получена диаграмма деформирования видоизмененного объекта, показанная на рис.4.6 в сравнении с диаграммой деформирования исходного состояния материала. Деформированное состояние амортизатора при увеличенной жесткости материала и измененной геометрии показано на рис. 4.5.
