Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Интегро-диференциальная формулировка начально-краевых задач о нелинейном деформировании оболочечных элементов строительных конструкций при статических и динамических воздействиях 16
1.1. Деформированное состояние. Геометрически нелинейные соотношения для двумерных краевых задач 23
1.1.1. Уравнения теории пластин и оболочек Тимошенко 24
1.1.2. Пологие оболочки 25
1.1.3. Геометрические параметры для оболочек вращения и пластин 27
1.2. Напряженное состояние. Физические соотношения для оболочечных элементов строительных конструкций из многослойных композиционных материалов и железобетона 29
1.2.1. Физические соотношения для однослойных и многослойных элементов конструкций из композиционных материалов 31
1.2.2. Особенности деформирования конструкций из железобетона 35
1.2.3. Физические соотношения для железобетонных оболочечных конструкций при различных вариантах армирования 41
1.2.4. Определение главных напряжений при оценке трещиностой-кости тонкостенных элементов строительных конструкций 44
1.3. Статическое и динамическое деформирование оболочечных конструкций 47
1.3.1. Вариационный принцип Лагранжа и уравнения равновесия... 47
1.3.2. Вариационный принцип Остроградского-Гамильтона и уравнения движения 50
1.3.3. Граничные и начальные условия для оболочечных элементов строительных конструкций 51
1.4. Деформирование оболочечных конструкций с вырезами 53
1.5. Формулировка начально-краевой задачи для обо л очечных кон
струкций на амортизированном фундаменте 55
Глава II. Вариационно-разностная формулировка исходной интегро-дифференциальной нелинейной начально-краевой задачи 60
2.1. Математическое моделирование в прикладных задачах механики деформируемого твердого тела 60
2.2. Построение разностной схемы 64
2.2.1. Конечно-разностная аппроксимация параметров деформированного состояния оболочечных конструкций 66
2.2.2. Конечно-разностная аппроксимация параметров напряженного состояния многослойных и железобетонных конструкций 69
2.3. Построение конечно-разностных аналогов уравнений равновесия 69
2.4. Построение конечно-разностных аналогов уравнений движения 78
2.5. Конечно-разностная аппроксимация граничных и начальных условий 80
2.5.1. Особенности конечно-разностной аппроксимаци граничных условий на внешнем и внутреннем контуре оболочки 81
2.5.2. Конечно-разностная аппроксимация начальных условий 84
2.6. Аппроксимация параметров сейсмических волн 86
2.7. Конечно-разностная аппроксимация начально-краевой задачи
для оболочечных конструкций на амортизированном фундаменте 90
Глава III. Численные методы в задачах статического и динамического нагружения оболочечных конструкций 91
3.1. Численное решение статических задач нелинейной теории оболочек 91
3.1.1. Адаптация квазидинамической формы метода установления к решению статических задач нелинейной теории оболочек 91
3.1.2. Определение оптимальных значений параметров итерационного процесса для ортотропных и железобетонных конструкций 97
3.1.3. Ускорение сходимости метода установления в задачах статики теории пластин и оболочек 100
3.2. Численное решение конечно-разностных аналогов уравнений движения оболочечных элементов строительных конструкций 102
3.3. Особенности построения численных решений статических и динамических задач для оболочек вращения с жестким шпангоутом 105
Глава IV. Исследование нелинейных процессов деформирования неоднородных оболочечных элементов строительных конструкций при статических и динамических воздействиях 107
4.1. Исследование влияния параметров вязко-упругих амортизирующих элементов на особенности деформирования железобетонного сферического купола с вырезами при сейсмических воздействиях 107
4.2. Исследование особенностей деформирования амортизированного железобетонного сферического купола с вырезами при сейсмических воздействиях с учетом снеговой нагрузки 133
Выводы 139
Литература 142
Приложение 154
- Физические соотношения для однослойных и многослойных элементов конструкций из композиционных материалов
- Конечно-разностная аппроксимация параметров деформированного состояния оболочечных конструкций
- Определение оптимальных значений параметров итерационного процесса для ортотропных и железобетонных конструкций
- Исследование особенностей деформирования амортизированного железобетонного сферического купола с вырезами при сейсмических воздействиях с учетом снеговой нагрузки
Введение к работе
Актуальность темы. В современном строительстве широко используются оболочечные конструкции различного вида и формы, выполняющие несущие функции: своды, купола, резервуары, дымовые трубы, телевизионные и водонапорные башни, тоннели метрополитенов, железных и автомобильных дорог и т.д. Пространственные оболочечные конструкции наиболее эффективны при строительстве большепролетных (до 100 м и более) зданий и сооружений различного назначения. В настоящее время в России и странах СНГ железобетонными пространственными конструкциями перекрыто более 10 млн. м2. Основными материалами, из которых выполняются несущие и ограждающие оболочечные элементы строительных конструкций, являются железобетон и металл. Наряду с традиционным железобетоном все более широкое применение находят тонкостенные конструкции покрытий из различных композитов, из которых изготовляются своды, купола, многослойные «сэндвичевы» конструкции и т.д. В качестве основного материала при изготовлении однослойных и многослойных сводов и куполов различного назначения используются стеклопластики, обладающие свето- и радиопрозрачностью.
В процессе эксплуатации оболочечные конструкции испытывают воздействие целого комплекса статических и динамических нагрузок различного характера и природы: гравитационные нагрузки (вес несущих и ограждающих конструкций); атмосферные нагрузки (снеговые, гололедные, ветровые, волновые, температурные и др.); нагрузки, обусловленные смещением земной поверхности, в первую очередь - сейсмические; технологические нагрузки; нагрузки, вызываемые чрезвычайными обстоятельствами и др. В последние годы увеличилась интенсивность сейсмических воздействий в различных регионах РФ (Северный Кавказ, Прибайкалье, Дальневосточная зона и др.), в связи с чем оценка сейсмостойкости и связанная с ней проблема определения параметров прочностной надежности существующих и проектируемых несущих конструкций при действии сейсмических волн является актуальной и представляет научный и практический интерес.
Среди всего многообразия форм тонкостенных конструкций наибольшее распространение в строительстве получили несущие элементы в виде пластин, панелей и оболочек вращения. В большинстве случаев конструкции обладают особенностями и неоднородностями: локальным или общим изменением толщины, наличием вырезов (световые или аэрационные проемы, люки, дверные и оконные проемы), анизотропией используемых конструкционных материалов и т.д. Характерной особенностью поведения большепролетных оболочек под действием приложенных нагрузок является появление максимальных полей перемещений, сопоставимых с толщиной оболочки h и превышающих ее. Особенности деформирования конструкций с рассматриваемыми конструктивными и физико-механическими неоднородностями могут быть описаны только с позиций нелинейной теории пластин и оболочек. Как в действующих, так и в разрабатываемых нормативных документах по расчету на прочность железобетонных строительных конструкций как в нашей стране, так и за рубежом (СНиП 2.03.01.84, СНиП 10-01-93, Еврокоды 0,1,2,8) отмечается необходимость учета нелинейных эффектов в расчетных моделях.
В настоящее время для исследования процессов нелинейного статического и динамического деформирования оболочечных конструкций широко используется вычислительный эксперимент, позволяющий методами математического моделирования оптимизировать конструкцию по широкому спектру конструкционных, технологических, эксплуатационных и экономических требований. В связи с этим разработка и развитие адекватных математических моделей, описывающих процессы нелинейного деформирования оболочечных элементов строительных конструкций при статических и динамических воздействиях различного вида с учетом конструктивных и физико-механических особенностей и неоднородностей, а также эффективных и экономичных дискретных моделей и численных методов решения нелинейных двумерных начально-краевых задач для многосвязных областей представляет собой актуальную проблему, имеющую прикладной и теоретический интерес.
Целью работы является:
разработка адекватных математических моделей для исследования процессов нелинейного деформирования неоднородных пространственных элементов строительных конструкций в виде оболочек вращения при различных видах статического и динамического нагружения;
разработка и развитие эффективных и экономичных численных методов решения нелинейных двумерных начально-краевых задач;
решение ряда новых, актуальных прикладных задач деформирования оболочечных элементов строительных конструкций при статическом и динамическом нагружении различного вида с учетом нелинейных эффектов, а также конструктивных и физико-механических особенностей.
Научная новизна результатов работы:
в рамках геометрически нелинейных соотношений теории оболочек Тимошенко разработаны и развиты корректные математические модели и эффективные численные методы решения соответствующих конечно-разностных уравнений, позволяющие исследовать НДС неоднородных оболочечных элементов строительных конструкций при совместном действии статических и динамических нагрузок различного вида, включая сейсмические;
разработана новая математическая модель, позволяющая исследовать влияние вязкоупругих амортизирующих элементов на прочностные характеристики и трещиностойкость железобетонных оболочек купольного типа при действии вертикальной компоненты сейсмической волны;
предложен практический критерий для определения оптимальных значений параметров вязкоупругих амортизирующих элементов;
квазидинамическая форма метода установления адаптирована к решению нелинейных стационарных и нестационарных начально-краевых задач на основе единой разностной схемы;
исследовано влияние упругой и вязкой компонент амортизирующих элементов на особенности НДС и трещиностойкость железобетонного сферического купола с вырезами различной формы при действии собственного веса, снеговой нагрузки и сейсмической волны.
Достоверность результатов и адекватность разработанных математических моделей и численных методов основывается на использовании фундаментальных законов механики деформируемого твердого тела, вариационно-разностной формулировке исходных дифференциальных уравнений и подтверждается практической сходимостью численных решений тестовых задач.
Практическая ценность и внедрение результатов. Разработанные математические модели и численные методы решения нелинейных начально-краевых задач практически реализованы в виде прикладных программ для персональных ЭВМ, позволяющих методами вычислительного эксперимента исследовать особенности деформирования неоднородных оболочек вращения при различных видах статического и динамического нагружения.
Полученные на их основе результаты решения сложных задач внедрены в расчетную практику заинтересованных организаций, что подтверждено двумя актами внедрения с предприятий: 1. Фирма ООО «Фирма «Трансгидрострой»», г. Москва. 2. Комплексный научно-исследовательский институт РАН, г. Грозный.
На защиту выносятся следующие основные результаты работы:
разработанные математические модели и их конечно-разностные аналоги, позволяющие исследовать статическое и динамическое напряженно-деформированное состояние неоднородных оболочечных элементов строительных конструкций с учетом геометрической нелинейности;
разработанные численные методы решения нелинейных двумерных начально-краевых задач теории пластин и оболочек Тимошенко;
результаты решения ряд новых, актуальных прикладных задач механики неоднородных многосвязных оболочечных элементов строительных конструкций при действии статических и динамических нагрузок различного вида.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах. 1. XIII Межд. симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Яро-
полец, 2007. 2. XIV Межд. семинар «Технологические проблемы прочности». Подольск, 2007 г. 3. Межд. науч. конф. «Гидродинамика. Механика. Энергетические установки» (к 145-летию акад. А.Н. Крылова). Чебоксары, 2008. 4. XVI Межд. семинар «Технологические проблемы прочности». Подольск, 2009 г. 5. Общеуниверситетский научный семинар "Механика неоднородных структур и систем" при МГОУ. Москва, 2009 г.
Публикации. По теме диссертации опубликована 6 работ, включая две статьи в журналах, входящем в перечень издательств, рекомендованных ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов (заключения), списка литературы из 144 наименований и приложения, в котором представлены результаты практического внедрения проведенных исследований. Общий объем диссертации 157 страниц, включая 71 рисунок и 18 таблиц.
Физические соотношения для однослойных и многослойных элементов конструкций из композиционных материалов
Оболочечные элементы строительных конструкций зачастую содержат вырезы различной формы, вносимые по конструктивным, технологическим или эксплуатационным соображениям: световые или аэрационные проемы, люки, дверные и оконные проемы и т.д. В связи с преимущественно изгибным характером НДС в окрестности выреза при значительном формоизменении поверхности даже для относительно невысоких уровней нагружения, расчет многосвязных оболочечных конструкций необходимо проводить с учетом геометрически нелинейных эффектов, что обеспечивает, в отличие от линейного подхода, хорошую корреляцию с экспериментальными данными [7,25,38,40].
Характерной особенностью поведения большепролетных оболочек под действием приложенных нагрузок является появление максимальных полей перемещений, сопоставимых с толщиной оболочки h и превышающих ее, что также вызывает необходимость использовать при исследовании особенностей деформирования таких строительных конструкций соотношения геометрически нелинейной теории оболочек - т.е., производить расчет по деформированной схеме.
В процессе эксплуатации тонкостенные железобетонные строительные конструкции в зависимости от их назначения испытывают воздействие целого комплекса статических и динамических нагрузок различного характера и природы: гравитационные нагрузки - вес несущих и ограждающих конструкций; атмосферные нагрузки - снеговые, гололедные, ветровые, волновые, температурные и др.; нагрузки, обусловленные смещением земной поверхности, в первую очередь - сейсмические; технологические нагрузки; нагрузки, вызываемые чрезвычайными обстоятельствами (взрывы, пожары, различные аварийные ситуации) и др. [18,74]. Сейсмические нагрузки представляют собой один из наиболее опасных видов динамических воздействий на строительные конструкции, в связи с чем оценка сейсмостойкости и связанная с ней проблема определения параметров прочностной надежности при действии сейсмических волн существующих и проектируемых тонкостенных несущих конструкций является актуальной и представляет научный и практический интерес. Интенсивность сейсмических воздействий в баллах принимается на основе комплекта карт общего сейсмического районирования территории Российской Федерации ОСР-97, утвержденных Российской Академией Наук. В последние годы увеличилась интенсивность сейсмических воздействий в различных регионах РФ, особенно в густонаселенных районах (Северный Кавказ, Прибайкалье, Дальневосточная зона и др.), в связи с чем возникает необходимость исследования прочностных характеристик построенных и проектируемых зданий и сооружений в соответствии с уровнем ожидаемого сейсмического воздействия.
Расчет конструкций и сооружений на сейсмические воздействия должен выполняться на основные и особые сочетания нагрузок с учетом сейсмических воздействий в предположении линейно-упругой работы, при этом допускается выполнение прямого динамического расчета на основе инструментальных записей ускорений основания при землетрясении, наиболее опасных для данного сооружения, а также синтезированных акселерограмм, учитывая нелинейность системы и возможность развития неупругих деформаций или локальных повреждений в элементах конструкции. Синтезированная акселерограмма - это набор инструментальных записей ускорений. Обычно такой набор заменяется осредненной реальной акселерограммой, а под синтезированной акселерограммой понимается не реальная запись, а результат некоторого пересчета [57,74]. Для зданий и сооружений простой геометрической формы расчетные сейсмические нагрузки принимаются действующими горизонтально. Вертикальную сейсмическую нагрузку необходимо учитывать при расчете, в частности, рам, арок, ферм, пространственных покрытий зданий и сооружений пролетом 24 и более метров [57,74,113].
В настоящее время при исследовании прочностной надежности конструкций при сейсмических воздействиях в основном используется спектральный метод расчета и прямые динамические методы, как численные, так и численно-аналитические [60,76,113]. В расчетных схемах спектрального метода реальные элементы конструкций заменяются сосредоточенными массами, тогда как в ма -8 тематических моделях прямых динамических расчетов вводится континуальное распределение массы и, соответственно, массовых инерционных сил и моментов по всей расчетной области. Отмечается, что по мере разработки и развития адекватных математических моделей и методов, описывающих особенности нелинейного деформирования сложных, неоднородных тонкостенных элементов строительных конструкций при сейсмических воздействиях, допускающих их практическую реализацию в виде пакетов программ для современных ЭВМ, роль прямых динамических расчетов будет возрастать [29,57,85,116]. По новой редакции СНиП II-7-81 вводятся расчетные динамические модели согласно так называемому «методу трех моделей» [112,113]: РДМ-1 - линейно-упругая модель с характеристиками сооружения в состоянии «до землетрясения»; РДМ-2 - модель, соответствующая упруго-пластической стадии деформирования конструкции; РДМ-3 - линейно-упругая модель поврежденного сооружения в состоянии «в конце землетрясения». Роль нелинейных динамических расчетов в новых нормах должна существенно возрасти, также как и роль методов расчета сооружений на акселерограммы землетрясений, т.к. современные вычислительные комплексы, основанные в основном на спектральном методе расчета, в расчетных схемах с большим числом степеней свободы не позволяют определить реальное НДС элементов конструкции, поскольку при определении среднеквадратичного усилия теряется знак в силу отсутствия корректного подхода по определению знака усилия при анализе его вклада по каждой из форм колебаний [13,74,76,86].
Конечно-разностная аппроксимация параметров деформированного состояния оболочечных конструкций
Арматурные стали условно подразделяются на «мягкие», для которых основной характеристикой является предел текучести ут=ау, и «твердые», для которых в качестве основной гарантированной характеристики используется временное сопротивление разрыву аи.
Различают рабочую арматуру, площадь поперечного сечения которой определяется из расчета на заданные эксплуатационные нагрузки, и монтажную (распределительную) арматуру, устанавливаемую по конструктивным или технологическим соображениям. По своим характеристикам арматура делится на следующие основные классы: - стержневая горячекатаная арматура: A-I; А-П; А-Ш; - проволочная: Вр-1 (арматурная проволока). Арматура класса A-I изготавливается из стали марки СтЗ с характеристиками: стт=230 МПа, а„=380 МПа, б 25%, здесь 8 - полное относительное удлинение образца при разрыве. Она применяется в основном в качестве монтажной и имеет гладкую цилиндрическую поверхность. Стержневая арматура других классов представляет собой стальные стержни с профилированной поверхностью, которая повышает сцепление арматуры с бетоном и уменьшает ширину раскрытия трещин в растянутой зоне бетона (рис. 1.20). Арматура класса А-П изготавливается из сталей Ст5, 10ГТ, 18Г2С с основными характеристиками: ат=300 МПа, а„=500 МПа, б 19%. Для изготовления арматуры класса А-Ш используются низколегированные стали 18Г2С, 35ГС, 25Г2С с характеристиками: ат=400 МПа, а„=600 МПа, 5 14%[51]. Для сечений несущих элементов железобетонных конструкций строительными нормами установлены минимальные проценты армирования pmin, значения которых в зависимости от характера работы и их гибкости лежат в пределах от 0,05% до 0,25%. Существенным недостатком железобетона является быстрое образование трещин, обусловленное малой растяжимостью бетона, предельное значение которой в среднем составляет єМ,=15-10 5. Поскольку до появления трещин деформации бетона sbt и арматуры є в зоне их контакта равны, то трещины в бетоне возникают при напряжениях в арматуре т.е. трещины в растянутой зоне бетона возникают при напряжениях в арматуре js 30 МПа. Таким образом, условие обеспечения трещиностойкости конструкции ограничивает возможность эффективного использования арматуры из высокопрочных сталей, т.к. допускаемые для таких сталей высокие эксплуатационные растягивающие напряжения сопровождаются значительными деформациями и, как следствие, образованием недопустимых по ширине раскрытия трещин [51,59,115].
При выводе физических соотношений для тонкостенных элементов железобетонных конструкций при различных вариантах армирования рассмотрим элемент конструкции в сечении ai=const для общего случая двустороннего армирования (рис. 1.21). Армирующие элементы моделируются эквивалентными по жесткости слоями соответствующей толщины hi и h2, работающими на растяжение-сжатие и поперечный сдвиг в направлении армирования (рис. 1.21).
При заданных коэффициентах армирования p,!=Ais/h и \i2=A2s/h, имеющих различные значения для координатных направлений щ и а2, толщины слоев hi и Ьг определяются через геометрические параметры конструкции как где h - толщина оболочки, p-i,Ais - коэффициент армирования и площадь арматуры в слое z 0, a2,A2s - коэффициент армирования и площадь арматуры в слое z 0, AhbAh2 - толщина защитного слоя [46,47,51]. Формулы для тонкостенных железобетонных элементов как при двустороннем, так и одностороннем армировании при заданных коэффициентах армирования щ и \х2 могут быть получены из соотношений (1.31)-(1.35) как частный случай. Таким образом, армирующие элементы моделируются эквивалентным по жесткости слоем соответствующей толщины hi и h2, работающим на растяжение-сжатие и поперечный сдвиг в направлении армирования: G y=0, v = v =0. Направления армирования могут в общем случае не совпадать с координатными линиями, что позволяет исследовать особенности НДС в окрестности вырезов сложной формы, а также при использовании косой арматуры.
Для общего случая двустороннего армирования в координатных направлениях cti и ос2 усилия и моменты в сечении oci=const - растягивающая (сжимающая) сила Тц3 сдвигающая сила S, перерезывающая сила Qi3, изгибающий Мц и крутящий Н моменты, приведенные к координатной поверхности z=0, после соответствующих преобразований в (1.31)-(1.35) могут быть выражены через компоненты деформации следующим образом
Определение оптимальных значений параметров итерационного процесса для ортотропных и железобетонных конструкций
Тонкостенные несущие элементы строительных конструкций зачастую содержат вырезы различной формы, вносимые по эксплуатационным, конструктивным или технологическим соображениям: люки, световые или аэраци-онные отверстия в купольных конструкциях, дверные и оконные проемы и т.д. Вырезы (отверстия) могут возникнуть и в результате аварийных ситуаций. Коэффициент концентрации напряжений ка на контуре выреза может достигать значений кс 5 по сравнению с напряжениями в сплошной (без вырезов) оболочке, существенно снижая ее несущую способность [8,25,33,38-40,71,92,107, 122,133].
Как показывают результаты теоретических и экспериментальных исследований, для расчета процессов статического и динамического деформирования пластин и оболочек с вырезами необходимо использовать геометрически нелинейные соотношения, т.к. результаты, полученные по теории слабого изгиба, обычно плохо коррелируют с экспериментальными данными [7,25,39,40, 40,92,135]. Это связано, в частности, сложным характером деформирования оболочек с вырезами, преимущественно моментным напряженным состоянием вблизи его контура и существенным изгибанием поверхности оболочки. Перемещения в окрестности выреза даже при относительно невысоких уровнях нагрузок могут достигать нескольких и более толщин: wmax/h l.
Поскольку расчетная область для пластин и оболочек с вырезами является многосвязной, то граничные условия должны быть сформулированы как на внешнем, так и на внутренних контурах (контурах вырезов). На внутреннем контуре, как и на внешнем, граничные условия могут быть заданы в кинематической, статической или смешанной форме. С точки зрения практических приложений наибольший интерес представляют неоднородные граничные условия типа свободного края. Ограничимся случаем, когда контур выреза (или его части Г;) совпадает с координатной линией cti const или a2=const (рис. 1.26). В таком случае естественные граничные условия формулируются в форме (1.60).
Из граничных условий (1.60) вытекает ряд зависимостей между компонентами деформации Ец,Е22 и Кц,К22, которые должны выполняться на контурах выреза Г}. В частности, на контуре выреза Tj (a,i=const) сила Т22 и изгибающий момент М22 могут быть выражены только через компоненты деформации Е22 и К22 в координатном направлении а2. Не нарушая общности, ограничимся случаем однослойной ортотропной оболочки, для которой справедливы физические соотношения (1.29),(1.30). На контуре выреза ai=const имеем следующую совокупность соотношений между заданными краевыми нагрузками T jMjj И параметрами НДС оболочки
Определив Еп и Кп из первых двух соотношений (1.72), можно получить формулы для Т22,М22, выраженные только через компоненты деформации Е22Д22 вдоль контура в координатном направлении сс Соотношения (1.73),(1.74) путем исключения компонент деформации в направлении, нормальном к контуру выреза, позволяют избежать ряда трудностей математического характера при численной реализации граничных условий (1.60) как на самом контуре выреза, так и в окрестности угловых точек [25,40,42].
Тонкостенные оболочечные строительные конструкции, как правило, устанавливаются на соответствующем фундаменте - фундаментной плите. В зависимости от эксплуатационных требований фундаментные плиты могут быть либо жестко связаны с грунтом, либо через некоторую систему амортизирующих элементов (АЭ) [3,18,29,60,85].
Амортизированные строительные конструкции широко применяются в сейсмоопасных районах для снижения перегрузок, вызванных действием сейсмических волн. На рис. 1.27-1.29 показаны варианты конструктивных исполнений некоторых АЭ [86].
При расчете строительных оболочечных конструкций, установленных на амортизированном фундаменте (рис. 1.30), система «сооружение - фундаментная плита» рассматривается как составная конструкция с учетом их совместной работы. Математическая модель для оболочки на фундаментной плите формулируется аналогично [43,44]. Предполагается, что движение фундаментной плиты характеризуется только перемещением xf как жесткого целого вдоль вертикальной оси, совпадающей с осью вращения оболочки (рис. 1.30).
Анализ типовых конструкций АЭ показывает, что характеристики достаточно широкого класса современных АЭ могут быть описаны в рамках вязко-упругих моделей [3,85,86].
Исследование особенностей деформирования амортизированного железобетонного сферического купола с вырезами при сейсмических воздействиях с учетом снеговой нагрузки
Недостатки явных схем связаны, в основном, с зависимость числа итераций п(5) от числа неизвестных К, т.к. при сгущении сетки ограничения, налагаемые критерием устойчивости, приводят к уменьшению шага по времени. Численным методам, построенным на неявных схемах, указанные недостатки не характерны, и сходимость достигается за относительно небольшое число итераций. Однако значительные трудности практической реализации вычислительных алгоритмов для сложных задач с разрывами полей параметров НДС в рамках общих соотношений нелинейной теории оболочек существенно ограничивают область применения неявных схем [10,11,23,42,110].
Практическая реализация вычислительных алгоритмов, построенных на явных схемах, не вызывает таких затруднений даже для сложных, нелинейных многосвязных задач, что является определяющим фактором при исследовании широкого класса прикладных задач. В связи с этим для решения сеточных аналогов исходных дифференциальных уравнений, описывающих нелинейное деформирование неоднородных оболочечных элементов строительных конструкций при различных вариантах статического и динамического нагружения, в диссертации разрабатываются эффективные и экономичные численные методы, построенные на основе явных разностных схем.
При построении разностной схемы (PC) на плоскости главных координат оболочки в области непрерывного изменения аргументов ai,ot2 вводятся две ортогональные равномерные сетки с шагами A.i=const, A,2=const. Узлы основной сетки имеют целочисленные индексы i,j по координатным направлениям аьа2, а узлы вспомогательной сетки лежат посередине между соответствующими узлами основной и имеют дробные индексы (i±l/2,j±l/2);(i±l/2,j);(i,j± 1/2) (рис.2.1). Как основная, так и вспомогательная сетка полагаются совпадающими с сеткой, образованной линиями главных кривизн оболочки.
В узлах основной сетки исходным функциям обобщенных перемещений Uk(ai,a2) и скоростей йк(аьа2) сопоставляются сеточные функции u OJ) и uk(i,j). Сеточные функции физико-механических характеристик оболочки, краевых и поверхностных нагрузок вводятся в соответствующих точках основной и вспомогательной сеток.
При использовании МКР исходные интегро-дифференциальные уравнения и граничные условия аппроксимируются разностными уравнениями, решение которых зависит от шагов Х\,Х2 как от параметров. Точность аппроксимации может быть повышена либо увеличением числа точек дискретизации N,M, либо аппроксимацией разностными операторами более высокого порядка точности. Однако, использование аппроксимаций высокого порядка приводит к увеличению числа узлов при составлении разностного шаблона и усложнению структуры PC. Кроме того, если решение исходной дифференциальной задачи имеет производные не выше k-го порядка, то не имеет смысла использовать аппроксимации более высокого (k+l,k+2,...,)-ro порядка.
В настоящей работе дифференциальные операторы аппроксимируются разностными второго порядка аппроксимации 0(ХХ +Я,2), что позволяет получать численные решения статических и динамических задач теории оболочек достаточной точности при сравнительно простых структурах разностных уравнений [ 11,23,42,110].
При численном решении сложных нелинейных многосвязных задач теории оболочек Тимошенко наиболее эффективной является разностная схема, в которой при дискретизации функционала Лагранжа все параметры тангенциальной Еп,Е22,Еі2, изгибной Кц,К22 К.і2 и трансверсальной деформации Еп,Е2з координатной поверхности оболочки аппроксимируются в точках вспомогательной сетки (i ± l/2,j),(ij ± 1/2) [40,42]. При конечно-разностной аппроксимации параметров деформированного состояния и далее используется следующее эмпирическое правило: при построении PC не следует зря раскрывать скобки и пользоваться формулой дифференцирования произведения [11]. Использование этого правила позволяет избежать ненужного усложнения структуры конечно-разностных аналогов уравнений равновесия (1.59) и движения (1.64) [11,42].
Искомые функции обобщенных перемещений аппроксимируются кусочно-линейными с интерполяцией функций внутри ячейки через значения uk(i,j) в узлах основной сетки.
