Содержание к диссертации
Введение
2. Разработка методики исследования нелинейных механических систем с односторонними связями на основе методов нелинейного программирования 22
2.1. Постановка задачи 22
2.2. Поиск равновесных состояний механических систем с ограничениями проективным методом нелинейного программирования 26
2.3. Построение траекторий нагружения нелинейных механических систем с ограничениями (общий случай) 33
2.4. Критические и инвариантные состояния механических систем с конечным числом степеней свободы 40
2.5. Нелинейный анализ устойчивости конструкций, односторонне контактирующих с жесткими телами 52
3. Численное исследование нелинейного деформирования оболочек, односторонне взаимодействующих с упругой средой 63
3.1. Метод вторых производных минимизации целевой функции 63
3.2. Основные соотношения геометрически нелинейной теории оболочек 65
3.3. Построение линеаризованных уравнений теории оболочек.70
3.4. Учет влияния упругой среды 73
3.5. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.75
3.6. Упругое равновесие и устойчивость цилиндрической панели при внешнем давлении 3.7. Устойчивость удлиненной цилиндрической панели (круговой арки) при внешнем давлении 97
3.8. Устойчивость конической панели при внешнем давлении.. 104
3.9. Исследование неосесимметричных форм потери устойчивости круглых в плане сферических панелей при внешнем давлении 112
3.10.Упругое равновесие замкнутых цилиндрических оболочек, односторонне взаимодействующих с упругой средой, в условиях плоской деформации. Приложение к исследованию нелинейного деформирования оболочек подземных трубопроводов 121
3.11.Исследование нелинейного деформирования круглых пластин (днищ круглых электродуговых печей), лежа щих на упругом массиве при действии температурных и силовых полей 132
3.12.Нелинейное деформирование оболочек спиральных камер гидротурбин в упругой среде 144
4. Численное исследование устойчивости оболочек, односторонне взаимодействующих с упругой средой, в линейной постановке 164
4.1. Устойчивость бесконечно длинной замкнутой цилиндрической оболочки (кругового кольца) в упругой среде при внешнем давлении 164
4.2. Устойчивость замкнутой цилиндрической оболочки при внешнем давлении 169
4.3. Устойчивость подкрепленной шпангоутом цилиндрической оболочки при внешнем давлении 187
4.4. Оценка влияния параметров оболочки и жесткости основания на точность полученных результатов 193
5. Численное исследование упруго-пластического равновесия деформируемых систем 216
5.1. Особенности постановки и решения задач об устойчивости упруго-пластического равновесия деформи руемых систем 216
5.2. Вдавливание жесткого штампа в упруго-пластическую полуплоскость 222
5.3. Постановка задачи об упруго-пластическом равновесии тонких оболочек вращения 229
5.4. Упруго-пластическое деформирование сферических и эллипсоидальных оболочек при действии внутреннего давления 233
5.5. Закритическое поведение цилиндрических оболочек переменной толщины 236
5.6. Закритическое равновесие тороидальных оболочек переменной толщины 239
6. Исследование периодических процессов в элементах конструкций с односторонними связями 243
6.1. Нелинейные динамические системы с переменной структурой 243
6.2. Построение периодических траекторий движения механических систем и анализ их устойчивости 252
6.3. Постановка нелинейных многоточечных краевых задач
для механических систем с односторонними связями.. 259
6.4. Нелинейные колебания фермы Мизеса с упругими ограничителями 267
6.5. Построение периодических решений задачи о нелинейных колебаниях одномассовой виброударной системы 276
6.6. Виброударные колебания нелинейной трехмассовой механической системы 288
6.7. Постановка нелинейных многоточечных краевых задач колебаний механических систем с сухим трением. Вынужденные колебания нелинейного осциллятора с сухим трением 297
6.8. Вынужденные колебания нелинейного осциллятора
при наличии сил вязкого и сухого трения 308
7. Численное исследование вынужденных колебаний тонкостенных пространственных систем, односторонне взаимодействующих с упругой средой 320
7.1. Метод редукции дифференциальных уравнений с частными производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений 320
7.2. Колебания прямоугольной пластинки, односторонне взаимодействующей с упругими опорами 322
7.3. Колебания удлиненной пластинки, односторонне взаимодействующей с упругим основанием 347
7.4. Вынужденные колебания прямоугольной пластинки на упругом основании 356
7.5. Колебания оболочки на упругом основании 367
7.6. Нелинейные колебания и устойчивость удлиненной панели на упругом основании 382
7.7. Постановка задачи о действии периодической подвижной нагрузки на цилиндрическую оболочку, взаимодействующую с упругой средой 399
7.8. Исследование колебаний цилиндрической оболочки в упругой среде при действии периодической подвижной нагрузки 413
Заключение 426
Литература
- Поиск равновесных состояний механических систем с ограничениями проективным методом нелинейного программирования
- Основные соотношения геометрически нелинейной теории оболочек
- Устойчивость замкнутой цилиндрической оболочки при внешнем давлении
- Вдавливание жесткого штампа в упруго-пластическую полуплоскость
Введение к работе
Ускорение научно-технического прогресса в машиностроении, авиа- и судостроении, в строительной индустрии, энергетике и других отраслях, предусмотренное Основными направлениями экономического и социального развития СССР на І98І-І985 годы и на период до 1990 года, характеризуется все более широким применением эффективных конструкций со сложными расчетными схемами, эксплуатируемых в экстремальных режимах работы. Поэтому важнейшими направлениями механики, тесно связанными с запросами инженерной практики, являются такие проблемы, как расширение круга изучаемых объектов, исследование новых воздействий и новых условий работы конструкций. Эти проблемы возникают и при исследовании нелинейного деформирования элементов конструкций с односторонними связями, усилия которых могут принимать значения из некоторой ограниченной области либо иметь только один знак. Односторонний характер связи между деформируемыми телами проявляется при их контактном взаимодействии, при наличии гибких элементов и сил сухого трения, а также при виброударных колебаниях. К этому же типу деформируемых систем можно отнести и твердые тела в состоянии упруго-пластического нагружения.
Отличительное свойство систем с односторонними связями заключается в том, что их математические модели описываются соотношениями, содержащими как равенства, так и неравенства. В процессе нагружения таких систем некоторые их параметры терпят разрывы, что приводит к изменению структуры разрешающих соотношений. Поэтому задачи исследования равновесия, устойчивости иголебаний систем с односторонними связями можно отнести к классу сильно нелинейных задач, решение которых сопряжено со следующими особенностями:
1. Как и во всяких нелинейных системах, в системах с односторонними связями с увеличением интенсивности возмущения происходит перестройка форм статического или стационарного динамического состояний.
2. Процесс нагружения системы может моделироваться в энергетическом пространстве движением не по гладкому дну "оврага", соответствующему минимуму энергии, а по криволинейным ребрам многогранника. Такие режимы движения называются скользящими.
3. В пространстве состояний равновесие и колебания систем с односторонними связями определяются сложными пространственно-временными конфигурациями, имеющими участки плавного и резкого изменения кривизны, которые при решении задачи трудно аппроксимировать простыми функциями.
4. Разрешающие функции могут оказаться ломаными. Для их описания требуется вводить дополнительные параметры, характеризующие место и величины изломов.
5. При включении и выключении связей может изменяться структура разрешающих уравнений и размерность задачи.
Отмеченные особенности делают задачи теоретического исследования деформируемых систем с односторонними связями весьма трудными. Или объясняются и значительные пробелы в исследовании статического и динамического поведения таких систем.
Первые работы по аналитической механике систем с односторонними связями, восходящие к Гауссу, Курно, Лагранжу и фурье [229], звязаны с формулировкой для этих систем принципа возможных перемещений и применением этого обобщенного принципа для решения некоторых простейших задач. Дальнейшее развитие эта проблема полу - 8 чила в трудах Остроградского, Майера и Цермело.
Исследования по механике конструкций с односторонними связями начаты Д.И.Журавским. Они были продолжены в трудах А.Мюл-лера-Бреслау, М.Геллера, М.Грюнинга, О.Нильсона, обзор которых дан в работах И.М.Рабиновича [242] и М.С.Бернштейна [ 81 ], рассмотревших простейшие деформируемые системы.
Изучение вопросов геометрической изменяемости и неизменяемости, определения числа степеней свободы, единственности решения, развития и обобщения статических и кинематических методов анализа, а также формулировка и доказательство ряда теорем о линейно-деформируемых системах с односторонними связями начаты работами И.М.Рабиновича [241,242 ]. Исследования по статико-кинематическому анализу таких систем были продолжены в работах А.В.Перельмутера [223-225] , Л.Г.Дмитриева и А.В.Касилова [141], Э.Н.Вузнецова [186] , Ю.Б.Шулькина [297].
Результаты решения отдельных задач механики систем с односторонними связями приведены в работах А.Я.Александрова [3], В.В.Болотина, З.Х.Зебельяна и А.А.Курзина [87] , А.Н.Еремичева [144], Е.В.Ивченко [154], Г.Н.Киреева [168], В.А.Пальмова [22l], А.П.Синицына [258,259], В.И.Сливкера [260], Е.И.Черниговской [289], А.Гиметири [ЗОЗ], Р.Тоскано и А.Макери [332] и др.
Задачи теории упругости при наличии односторонних связей с позиций вариационного исчисления рассматривались в работах А.В.Вовкушевского и Б.А.Шойхета [юз], А.С.Кравчука [183], Г.Я.Попова и М.В.Радиолло [235], Л.А.Розина [249,250], Г.Дгово [305], Р.Гловинского, ЖлЛ.Лионса, Р.Тремольера [Пб], Ж.-Л.Лион-са [193,194], А.Синьорини [329,330], Г.Фикеры [310,ЗП], Ф.Фишера [309], М.Фремоны [312] и др. При вариационном подходе статические задачи теории упругости с односторонними связями сведены к эллиптическим вариационным неравенствам, а в эволюционном случае - к гиперболическим вариационным неравенствам [116].
Важное место в теории расчета систем, содержащих односторонние связи, занимают задачи о системах со связями, непрерывно распределенными по линии или по поверхности. К ним относятся задачи о расчете конструкций, односторонне взаимодействующих с упругим основанием. Одно из первых решений такой задачи принадлежит А.П.Синицыну [258,259]. Явление отрыва деформируемых элементов учитывалось А.Я.Александровым [з]при расчете заполнителя трехслойных пластин, Е.й.Черниговской [289]- при расчете балок и плит, лежащих на упругом основании, В.А.Пальмовым [221] - при исследовании устойчивости сжато-изогнутого стержня. Задача изгиба балки при односторонней связи с основанием рассматривалась в работах [187,260] и многих других. В работе Е.В.Ивченко [154] методом последовательных приближений выполнен расчет кругового кольца на одностороннем упругом основании.
Весьма перспективным для исследования статически неопределимых систем с односторонними связями оказался предложенный В.Н.Гордеевым и А.В.Перельмутером подход [l2l], основанный на использовании достаточно обоснованных и отработанных методов выпуклого программирования. В качестве целевой функции ими принята обладающая минимальными свойствами потенциальная энергия системы, роль ограничений играют соотношения, описывающие характер работы связей (в том числе односторонних).
Эффективность применения методов выпуклого программирования заключается в возможности использования хорошо разработанных алгоритмов и исключении необходимости проведения большого числа попыток, связанных с перебором при поиске так называемой "рабочей" системы, т.е. фактической расчетной схемы конструкции в деформированном состоянии.
Число работ, в которых изучалась устойчивость тонкостенных элементов конструкций, односторонне взаимодействующих с деформируемыми телами либо с упругой средой, невелико [242 ] . Это объясняется сложностью задачи, связанной с необходимостью поиска фактической расчетной схемы конструкции в деформированном состоянии и формы потери устойчивости.
В книге В.И.Феодосьева [275] разобраны интересные примеры по устойчивости упругого кольца в жесткой обойме. В работе А.П. Варвака [96] рассмотрена осесимметричная устойчивость длинной цилиндрической оболочки, односторонне взаимодействующей с упругим заполнителем, который моделируется основанием Винклера. Подобная задача рассмотрена Л.В.Андреевым, В.Е.Дьяченко и Е.Ф.Прокопало [8] для оболочки произвольной длины при произвольных граничных условиях. Полученные результаты в предельных случаях совпали с решением А.П.Варвака [96 ] . Работа Л.В.Андреева и В.Е.Дьяченко [7] посвящена исследованию устойчивости при внешнем давлении шар-нирно опертой цилиндрической оболочки, односторонне контактирующей внешней боковой поверхностью с винклеровским основанием. Ряд исследований посвящен изучению устойчивости бесконечно длинной цилиндрической оболочки, находящейся в условиях плоской деформации, т.е. кольца в упругой среде,с учетом отрыва [79,101,307 и др.].И.А.Баславским [79] дано приближенное решение задачи об устойчивости кольца в упругой среде с односторонним отпором, находящегося под действием нормального давления. С.В.Виноградов [iOl], решая эту задачу энергетическим методом и учитывая условие, что сопротивление среды встречают только полуволны изгиба оси кольца, направленные в сторону основания, установил, что значения критической нагрузки, найденные им с учетом отрыва, в У 2 раза меньше значений критической нагрузки, полученных без его учета. Б.Фалте-ром [307] получены зависимости между нагрузками и перемещениями
- II для относительно тонких цилиндрических оболочек трубопроводов и выполнен анализ этих зависимостей для широкого интервала параметров жесткости упругого основания и конструкции. Определены значения предельных нагрузок, при которых происходит потеря устойчивости оболочек.
Значительное число публикаций посвящено вопросам исследования устойчивости оболочек, двусторонне взаимодействующих с упругой средой или с заполнителем. Их анализ приведен в книге М.А. Ильгамова, В.А.Иванова,Б.В.іулина [і5б]:и в обзоре В.А.Иванова [l52J. К ним относятся, в частности, исследования Б.Г.Газизова и А.М.Зайнашева [ПО], М.З.Гатауллина и В.А.Иванова [ИЗ], Г.И. Гребенюка и И.А.Чаплинского [і2б], Л.М.Емельянова [і 42], А.М.Зайнашева [I49J, С.Н.Кана, В.А.Ингульцова и А.Н.Кириченко [159], Б.А.Корбута [175,176], Б.А.Корбута и Л.Г.Однорала [177], И.С.Малютина и А.В.Карасева [203], А.В.Саченкова [254], Т.Аримана [ЗОО], Ф.Вейнгартена [333], Германа и М.Форресталя [31б], П.Сей-де [328], К.Федергофера [308], А.Эрингера [ЗОб], Дж.Яо [299] и др. Наибольшее внимание в этих работах уделено устойчивости замкнутых цилиндрических оболочек, подкрепленных с внутренней [96,113,156,159,203,254,299,306,333] или внешней [142,308,316, 331 ] поверхности упругой средой. Устойчивости панелей цилиндрических оболочек посвящены работы [ 110,175,177]. Результаты экспериментальных исследований приведены в[ 8,238,302,306,328]. Ряд исследований посвящен устойчивости сферических [126,176], конических [149], эллипсоидальных [l53] оболочек и оболочек вращения [l53] с заполнителем.
В этих работах используются методыиэследования нелинейного деформирования и устойчивости механических систем, развитые в трудах Н.А.Алумяэ, Н.А.Алфутова, И.Я.Амиро, В.В.Болотина, Н.В. Валишвили, А.С.Вольмира, И.И.Воровича, К.З.Климова, Э.И.Григо - 12 люка, А.Н.іузя, Х.М.Муштари, В.В.Новожилова, А .В. Погоре лова, СП. Тимошенко, В.И.Феодосьева, Б.ЕЇудянского.Д.Бушнела, В.Койтера, Э.Рейсснера и др.
Вопросы динамического поведения механических систем с односторонними ограничениями в связи с их более высокой размерностью оказываются еще более сложными, поэтому в настоящее время они мало изучены.
Характерной особенностью динамических систем с односторонними связями является функциональная зависимость между нагрузкой и рабочей схемой конструкции [241]. При расчете таких систем невозможна реализация принципа независимости действия сил,поэтому в большинстве случаев при учете односторонней работы связей приходится производить самостоятельный расчет для каждой расчетной схемы,что оказывается весьма трудоемким.Среди решенных задач динамики для такого типа систем более подробно исследованы одномерные задачи с дискретныгли связями.Они рассмотрены в работах Л.Н. Абрамсона,Б.А.Деревянкина и Т.С.Кима [і], В.И.Бабицкого [14], В.И.Бабицкого и М.З.Коловского [15], В.П.Блажко и Л.П.Портаева [83], П.И.Лиховида [195], Е.И.Цгтеева [240] , Л.Н.Семишева[257]и др.
Основы методов нелинейного анализа разработаны в трудах А. Пуанкаре и А.М.Ляпунова.Дальнейшие развития онигодучили в исследованиях А.А.Андронова, Н.Н.Боголюбова,Ван-дер Поля, Л.И.Мандельштама, Ю.А.Митропольского и др. Для исследования динамических процессов, происходящих в нелинейных системах с односторонними связями, применялись различные модификации аналитических методов - асимптотический метод Крылова-Боголюбова.метод гармонического баланса.гармонической линеаризации,метод Галеркина, припасовыва-ния и др., которые изложены в работах Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского [84], В.Ф.Журавлева [145-147], В.Каннингхэма [ібі], А.А.Кобринского и А.Е.Кобринекого [l72], М.З.Коловского [г?4],
П.И.Лиховида [195] , А.И.Лурье и А.И.Чекмарева [199] , Ю.А.Митро-польского [205] и др. В работах [226-228 ] освещены оригинальные фундаментальные исследования Г.С.Писаренко и его учеников по нелинейным колебаниям механических систем с учетом рассеивания энергии.
Большое число работ посвящено различным приемам приведения нелинейных уравнений движения простейших дискретных систем к линейному виду. К ним относятся, например, работы В.А.Ивовича [155], Й.Л.Ланцевицкого [190] , А.И.Лурье и А.И.Чекмарева [199 ], Я.Г. Пановко [222] и др. В этих работах отмечено, что приемы замены кусочно-линейных разрывных функций линейными функциями допустимы, как правило, если нелинейность мала, то есть колебания нелинейной системы близки к колебаниям соответствующей линейной системы.
В.Ф.Іуравлев [145-147 ] предлагает на основе специального приема исключать односторонние связи и составлять уравнения типа Рауса, которые описывают движение системы с односторонними связями на бесконечном интервале времени. Эти уравнения находят применение при исследовании существенно нелинейных виброударных систем.
Применению метода гармонической линеаризации посвящены работы В.И.Бабицкого [14 ] , Е.П.Попова и И.П.Пальтова [234 ] и др. Этот метод является приближенным и позволяет исследовать периодические движения несложных систем, имеющих ограниченное количество односторонних связей. Решение предполагается гармоническим, число гармоник ограничено, т.к. связано с проблемой вычисления точек переключения билинейной функции. При увеличении числа обобщенных координат разрешающие уравнения значительно усложняются.
Более общим является метод Галеркина, использованный в работах В.Каннингхэма [ібі] , М.З.Коловского [174] , М.Урабе [271 ] и др. Для реализации этого метода необходимо задавать форму колебаний. Формально можно принять большое число членов ряда, аппрокси - 14 мирующего решение, с тем, чтобы получить приемлемые результаты. При этом для вычисления коэффициентов алгебраической системы уравнений методом Галеркина необходимо знать моменты переключения связей в течение одного периода колебаний.
Как отмечено в работе М. З.Коловского [ 174 ] , из существования периодических решений, найденных по методу гармонического баланса, гармонической линеаризации или Галеркина, не следует существование близкого к нему точного решения той же частоты. Предположение о существовании периодических решений должно быть обосновано, хотя бы экспериментально. Этот недостаток присущ рассмотренным выше методам.
Общим методом решения линейных дифференциальных уравнений с разрывными функциями, описывающими динамическое поведение механических систем с односторонними связями и виброударных систем, является метод "припасовывания движения - Л.Н.Айзерман и А.И.Лурье [2] , Б.И.Бабицкий [14] , Н.В.Григорьев [131 ] , П.И.Лиховид [195], А.И.Лурье и А.И.Чекмарев [199] , Е.Н.Розенвассер [249] , А.П.Си-ницын [259] и др. Несмотря на то, что метод является универсальным, при решении многомерных задач трудно получить аналитическое выражение для законов движения масс, так как приходится решать в общем виде системы дифференциальных уравнении с учетом переходных явлений. К трудностям в получении решения методом припасовывания относится процедура вычисления точек переключения. Моменты переключения системы на новую рабочую схему могут быть получены в • большинстве случаев только численно из решения целого ряда трансцендентных уравнений, которые описывают законы движения точек системы на исследуемом интервале времени. Методом припасовывания 5ыл решен ряд задач о вынужденных колебаниях одномассовой системы і характеристикой жесткости, составленной из двух прямолинейных трезков (А.И.Лурье, А.И.Чекмарев [199]), а также с изменяющейся массой ( А.П.Сишщын [259]) . В работах Н.В.Григорьева [131 ] были рассмотрены задачи о движении одномассовой и двухмассовой систем с соударениями. Условия соударения определялись из теории импульсов. Удар считался абсолютно неупругим. П.И.Лиховид [195 ] рассмотрел переходный процесс в трехмассовой кусочно-линейной системе, который вызван действием внешней силы. С помощью введенных двух параметров составлены единые системы дифференциальных уравнений на каждом из участков. Решения построены по участкам с использованием условий сопряжения на границах.
Алгоритм и результаты исследований многомассовых систем, состоящих из набора абсолютно упругих шариков, изложены в работе А.А.Кобринского, А.Е.КОбринского [172 ] .
В работе Л.П.Смольникова и Ю.А.Бычкова [262 ] с привлечением аппарата теории обобщенных функций выполнен расчет кусочно-линейных систем. Авторы отметили, что при использовании обобщенных функций процедура расчетов формализуется и проблема граничных условий снимается. Изменения граничных условий вводятся в уравнения через посредство дельта-функций и единичных функций, которые принимают значения 0 или І в зависимости от ориентации системы относительно момента переключения.
Вопросы, связанные с динамическими расчетами строительных конструкций, имеющих односторонние связи, рассмотрены в работах Л.Н.Абрамсона, Б.Л.Деревянкина , Т.С.Ким-, [і ] , В.П.Бяажко и Л.П. Портаева [83] , Н.Г.Бондаря [88] , Б.Г.Коренева, Л.А.Зевина и Л.М.Резникова [180] , Л.С.Ляховича [200] , Е.И.Путеева [240] , Л.Н.Семишева [257] и др.
В работе [ I ] рассмотрены свободные колебания балки из линейно-упругого материала с одной сосредоточенной массой и конечным числом односторонних связей. Методом линейного программирования определена величина восстанавливающей силы и построен график за - 16 висимости восстанавливающей силы от перемещения массы. Определение закона движения выполнено методом припасовывания. В статье отмечены общие свойства систем с жесткими односторонними связями при свободных колебаниях: частота свободных колебаний зависит от амплитуды, имеется целый набор периодических движений с непрерывно изменяющимися частотами, зависящими от начальных условий.
Приближенный численный метод исследований колебаний дискретных стержневых систем с односторонними связями изложен в работе [83 ] . Взаимодействие системы с односторонней связью представлено в виде неупругого удара. Рассмотрен пример о вынужденных колебаниях системы с двумя степенями свободы. Анализ решения показал, что колебания системы могут носить субгармонический характер.
Н.Г.Бондарем [88] рассмотрены колебания билинейных систем. Автор использует разложение выражения нелинейной восстанавливающей силы в степенной ряд, в котором нелинейные члены отбрасываются. Таким образ ом, нелинейные системы уравнений приводятся к линейным.
В работе Е.И.Путеева [240 ] объектом исследования являлась геометрически неизменяемая упругая система, несущая распределенную массу и содержащая п односторонних связей, препятствующих угловым и линейным перемещениям. На основании исследования вариации энергетического функционала с подвижной областью интегрирования были получены уравнения движения и условия "склеивания" движений при смене рабочих схем. Метод расчета, основанный на условиях "склеивания", практически реализует идею метода припасовывания движения.
Л.Н.Семишевым [257] рассмотрены колебания балки, загруженной одной сосредоточенной массой, с ограничителями в виде односторонне работающих опор. Рассмотрен случай существования в односторонних связях начальных реакций, вызванных предварительным
- 17 напряжением системы.
Системы с односторонними связями рассматриваются в теории виброгашения. Так, в работе [180] рассмотрено поведение механических систем с ударными гасителями колебаний. При описании движения системы эффект соударения рассмотрен как результат приложения мгновенного импульса к движущейся массе со стороны демпфера. В промежутках между соударениями состояния системы описаны линейными дифференциальными уравнениями. Полное движение представлено в виде суммы движений линейной системы под действием заданных нагрузок и колебаний под действием импульсов, которые описывают соударения масс. Моменты соударения задавались заранее. Это позволило использовать принцип суперпозиции при записи результирующего движения.
Анализ приведенных в обзоре работ, посвященных исследованиям равновесия, устойчивости и колебаний деформируемых систем с односторонними связями, позволяет заключить, что к настоящему времени еще не разработано достаточно универсального и эффективного подхода для решения такого типа задач. В связи с этим удалось подробно исследовать лишь простейшие дискретные механические системы с односторонними связями. Практически не изучены деформируемые континуальные системы с непрерывными, распределенными по линиям или по поверхностям связями. Не рассмотрены вопросы устойчивости равновесия и колебаний таких систем. Как правило, проведенные исследования базируются на геометрически и физически линейных постановках, в то время как в реальных системах обусловленная наличием односторонних связей конструктивная нелинейность часто сопровождается наличием и этих двух нелинейностей, присутствие которых резко усложняет как постановку задач, так и реализацию их решения. На основе энергетических принципов они также могут быть приведены к экстремальным задачам, но на более широком множестве функций, чем традиционные, причем необходимые функционалы могут не обладать гладкостью.
Для решения таких задач целесообразно использовать методы нелинейного программирования.
Нелинейное программирование является одним из основных разделов в теории оптимальных решений. Вместе с тем оно содержит также эффективные схемы для формализации постановки и реализации решения нелинейных задач математической физики. Используя, например, в качестве целевой функции потенциальную энергию механической системы, а в качестве ограничений - различные дополнительные соотношения связей, можно строить траектории деформирования системы в многообразии состояний и исследовать устойчивость их равновесия.
Такой подход, несмотря на его эффективность и универсальность, в настоящее время разработан недостаточно. В ряд наиболее важных задач этого научного направления входят такие вопросы, как развитие методов построения кривых нагружения нелинейных механических систем с односторонними связями, исследование особых точек на этих кривых и точек ветвления решения, установление их соответствия точкам потери устойчивости равновесия или состояниягл инвариантности. Решение этих задач достигается совместным применением метода продолжения решения по параметру, метода Ньютона-Канторовича и метода проекции градиента на ограничения с восстановлением связей. Считается, что критические состояния системы возникают при вырождении проектирующих матриц или линеаризованных операторов соответствующих уравнений состояния. Эффективвхть такого подхода обусловлена тем, что его можно поставить в соответствие реальному процессу деформирования механической системы и контролировать моменты включения и выключения связей.
Цель настоящей диссертационной работы - разработать и peaлизовать методику и эффективные алгоритмы исследования нелинейного деформирования систем с односторонними связями, позволяющие с высоким уровнем автоматизации всех этапов вычислений на ЭВМ решать широко распространенные в различных отраслях современной техники сложные нелинейные задачи деформирования стержневых, пластинчатых и оболочечных элементов конструкций с односторонними связями при статическом и динамическом нагруже-ниях.
Научная новизна работы заключается в разработке новых численных методов механики твердого деформируемого тела для решения задач нелинейного деформирования элементов конструкций с односторонними связями при статическом и динамическом нагруже-ниях.
На основе разработанного подхода решен ряд новых задач механики:
- исследован характер перестройки равновесных форм тонких оболочек, контактирующих с упругой средой;
- построены решения задач о нелинейных колебаниях виброударных дискретных механических систем и систем с сухим трением;
- исследованы пространственно-временные конфигурации колеблющихся стержней, пластин и оболочек, контактирующих с упругой средой.
Достоверность полученных результатов подтверждается выбором достаточно обоснованных методов численного анализа и нелинейного программирования, решением тестовых задач, сопоставлением решений рассматриваемых задач с имеющимися данными других авторов при предельных значениях определяющих параметров (случаи двусторонних связей, отсутствия связей и др.).
На защиту выносятся:
- постановка задач о напряженно-деформированном состоянии
- и колебаниях нелинейных деформируемых систем с односторонними связями как задачи нелинейного программирования с анализом критических состояний;
- методы и алгоритмы численного построения траекторий нагру-жения и кривых периодических состояний движения рассматриваемых систем, идентификации на них особых точек и точек ветвления, анализа закритических состояний;
- результаты численного исследования нелинейного деформирования и колебаний стержневых, пластинчатых и оболочечных элементов конструкций, односторонне взаимодействующих с дискретными и распределенными по линии и по поверхности контакта связями.
Диссертация состоит из семи разделов, заключения и списка литературы (335 наименований), изложена на 296 страницах машинописного текста, содержит 34 таблиц и 185 рисунков.
В первом разделе дано введение в диссертационную работу, представлен краткий обзор состояния проблемы исследований нелинейного деформирования элементов конструкций с односторонними связями, обоснована актуальность рассматриваемых задач, поставлена цель и сформулированы основные научные положения, выносимые на защиту.
Во втором разделе дана постановка задачи о равновесии нелинейных деформируемых систем с односторонними связями, описана предложенная методика построения траекторий их нагружения, базирующаяся на методах нелинейного программирования, рассмотрены особые точки траекторий, соответствующие критическим и инвариантным состояниям системы.
В третьем разделе изложена методика численного исследования нелинейного деформирования тонких оболочек, односторонне взаимодействующих с упругой средой, получены решения задач для цилиндрических, конических и сферических панелей.
В четвертом разделе приведены результаты исследования в линейной постановке устойчивости гладких и подкрепленных замкнутых цилиндрических оболочек, односторонне взаимодействующих с упругой средой, дана оценка влияния параметров оболочки и жесткости основания на точность полученных результатов.
В пятом разделе на основе предложенной методики рассмотрены вопросы упруго-пластического равновесия деформируемых систем.
В шестом разделе дана постановка нелинейных многоточечных краевых задач для дискретных механических систем с односторонними связями, изучены виброударные системы и системы с сухим трением.
В седьмом разделе приведены результаты численного исследования вынужденных колебаний пластинчатых и оболочечных элементов конструкций, односторонне взаимодействующих с винклеровским основанием, исследованы колебания цилиндрической оболочки в упругой среде при действии периодической подвижной нагрузки.
Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом научных исследований Проблемной научно-исследовательской лаборатории тонкостенных пространственных конструкций Киевского ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительного института, включающим исследования по государственным научным программам.
Автор выражает благодарность заведующему кафедрой теоретической механики Киевского ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительного института доктору технических наук
В.И.Гуляеву за научную консультацию при выполнении работы.
Поиск равновесных состояний механических систем с ограничениями проективным методом нелинейного программирования
Нелинейное программирование, охватывая весьма широкий круг задач, является одним из основных разделов в теории оптимальных решений. Оно сводится к проблеме движения из точки, которая не является решением, в точку, представляющую собой экстремум некоторой целевой функции при некоторых ограничениях, формулируемых в виде равенств или неравенств. Вместе с тем нелинейное программирование содержит также эффективную схему для формализованной постановки задач решения систем нелинейных уравнений в математике, механике, физике и в других областях естествознания. Например, в задачах механики целевой функцией может быть потенциальная энергия, обладающая свойствами экстремальности, а ограничениями - различные соотношения (равенства или неравенства) связей или совместности перемещений и деформаций. Тогда точки экстремальных значений потенциальной энергии при условиях удовлетворения дополнительных ограничений будут определять состояния равновесия механической системы.
После того, как подлежащая оптимизации задача таким образом сформулировала,дш.еёрешзния можно использовать аналитические либо численные метода. Первые базируются на классических методах дифференциального и вариационного исчисления. Они заключаются в определении экстремума функции ta) путем нахождения тех значений компонент XL(L=i,2,...,n)BeKTopa X , которые обращают в нуль производные Ux) по х .В случае поиска экстремума Ux) при наличии ограничений Q-(x)= 0 (j=J,2,...,E) применяются такие методы, как метод множителей Лагранжа и метод ограниченных вариаций. В связи с большой громоздкостью для решения существенно нелинейных задач аналитические методы, как правило, оказываются непригодными.
Численные методы оптимального поиска, как правило, основаны на использовании предшествующей информации для построения улучшенных решений задачи при помощи итерационных или шаговых процедур. Одним из наиболее эффективных численных методов решения задач оптимизации является метод проекции градиента целевой функции на линеаризованные ограничения (рис .2.1.). Проективные метода, вытекающие из такого подхода, составляют целое семейство. Их сущность заключается в следующем [285] : линейные или линеаризованные ограничения образуют линейное многообразие (определяемое пересечением ограничений), на которое можно спроектировать выбранное направление поиска S в пространстве решений. Для реализации этой процедуры используется многомерное обобщение операции проектирования вектора на плоскость в трехмерном пространстве.
Все проективные методы предполагают реализацию на каждом К -м этапе следующей последовательности шагов: 1. Алгоритм начинает работу в допустимой точке X . 2. Определяется допустимое направление S . (к) 3. В допустимом направлении выбирается шаг длиной Л , мини мизирующий (х), но в то же время сохраняющий вектор X + =
Алгоритмы рассматриваемого семейства отличаются друг от друга способом определения направления S , однако все они характеризуются тем, что поиск начинается с допустимого решения и развивается (при линеаризованных ограничениях) в направлении, обеспечивающем уменьшение целевой функции при сохранении текущей точки X внутри допустимой области. При этом проективные методы на каждом шаге вычислительного процесса вовлекают по возможности минимальное количество ограничений в виде неравенств из числа активных ограничений. Для пояснения основных положений проективных методов, расоютрим подробнее понятие проекции [285], ассоциирующееся с понятием проекции вектора, описывающего локальное приращение функции при перемещении в заданном направлении.
Пусть А - [о.4,0.г,...,0.п] - прямоугольная матрица с линейно независимыми вектор-столбцами, определяющими некоторое пространство R . Допустим, что А допускает разбиение на две матрицы At = [ 0.,,..., CLJ и Ап.а [й+0... OLJ. Любой вектор в R. может быть однозначно представлен в виде линейной комбинации векторов aj » т-е ЗС=Т.Си UAU Х=АТТ, (2.7) где коэффициенты т. представляют собой координаты вектора х относительно базиса А . В то же время векторы, образующие матрицу /\Tt, задают пространство [ -й размерности, поэтому соотношение Х Х.И,а, , или x=ATtT, (2.8) справедливо только для некоторого подмножества векторов в R .
Основные соотношения геометрически нелинейной теории оболочек
Если точка X удовлетворяет неравенствам (2.56), то она является допустимой и неравенства на этом этапе исключаются из рассмотрения. Превращение некоторых m m m) неравенств (2.56) в равенства выводит точку X на границу допустимой области. В этом случае дополнительные П\ равенств присоединяются к группе уравнений (2.47) и число касательных гиперплоскостей (2.53) возрастает до К+ГПІ.
В процессе продолжения решения по параметру точка ос может выйти за пределы допустимой области, а некоторые из неравенств (2.56) измениться на обратные. Такие неравенства также заменяют-ся равенствами типа (2.20) и при построении направления Scn) учитываются их соответствующие невязки rL .
При решении поставленной таким образом задачи могут встретиться два затруднения, типичных для оптимизационного поиска и связанных с качественным изменением состояния механической системы:
1. Некоторые из ограничений или определяющих параметров могут принимать в области оптимизационного поиска неограниченные значения. В этих состояниях механическая система теряет устойчивость равновесия.
2. Оптимизируемый критерий (потенциальная энергия) может быть нечувствительным (инвариантным) к изменениям независимых переменных. В этих состояниях механическая система становится абсолютно жесткой.
Рассмотрим особые точки на траектории нагружения и проследим их связь с неустойчивостью равновесия механической системы либо с ее инвариантностью.
I. Пусть в каком-либо состоянии Со),\0). системы определитель матрицы Н , определяемый выражением (2.46), обратился в нуль. В этом случае вырождение матрицы Н свидетельствует о достижении потенциальной энергией максимального значения или седловой точки. Для анализа устойчивости равновесия механической системы с ограничениями в виде неравенств необходимо в этом состоянии на основе исходных нелинейных уравнений (2.41) построить уравнения ветвления решений, определить их число, найти ответвляющиеся направления и установить их устойчивость [50 ] . Затем необходимо проверить препятствует ли какая-либо из односторонних связей уходу системы по одному из неустойчивых направлений.
Если в силу односторонних связей все неустойчивые ветви оказываются вне области допустимых решений, то состояние равновесия устойчиво. Если какая-либо из неустойчивых ветвей совместна с ограничивающими неравенствами, исследуемое состояние неустойчиво.
2. Может оказаться, что устойчивость деформируемой системы реализуется только благодаря наличию включенных односторонних связей, и в некотором состоянии градиент потенциальной энергии оказывается параллельным гиперплоскостям линеаризованных ограничений. В этом случае система может потерять устойчивость скользя по границе допустимой области. Необходимым условием такой потери устойчивости является вырождение матрицы, построенной в результате произведения матриц РкиН: det (Рк-Н) = 0. (2.57)
3.Потеря устойчивости равновесия деформируемой системы может наступить в состояниях, в которых две или более гиперплоскостей ограничений (2.53) совмещаются, что равносильно утрате связей. Тогда строки матрицы А оказываются линейно зависимыми, а матрица АКАК необратимой.
4. Самый общий случай потери устойчивости равновесия системы с ограничениями в форме неравенств связан с вырождением матрицы левой части системы линеаризованных уравнений, вытекающих из соотношений (2.55).
Устойчивость замкнутой цилиндрической оболочки при внешнем давлении
Критическое давление Р для кругового кольца, находящегося в упругой среде, соответствует такому решению системы алгебраических уравнений (4.8), удовлетворяющему условию (4.6), при котором ее определитель равен нулю.
Для решения используется метод продолжения решения по параметру k . Решение задачи начинается с нахождения критического давления р" при выбранной форме (заданном числе п волн по окружности) потери устойчивости свободного кольца. Затем величине к дается малое приращение ьк и определяется критическое давле-вже Р р » Форма потери устойчивости и зоны отлипания при достаточно малом значении коэффициента постели к = Д к . Построение последующего решения использует информацию о решении предыдущего шага. При формировании системы алгебраических уравнений (4.8) на участках кольца, смещенных в отрицательном радиальном направлении, учитывается влияние упругой среды, в остальных зонах в соответствии с условием (4.6) принимается k = 0. Полученная при этом форма потери устойчивости сравнивается с формой решения предыдущего шага. Величина дк выбирается из условия, чтобы изменение зоны отлипания на данном шаге не превысило заданного значения. Последующим многократным варьированием к строится зависимость Р р - к для каждого выбранного k . Наименьшее из значений Р" , найденных для каждого k , и соответствующая ему форма потери устойчивости выбираются в качестве расчетных.
Приведем результаты решения задач об устойчивости круговых колец с соотношением h/fc равным 1/50 и 1/200.
На рис.4.1,а представлены зависимости Р р_к, соответствующие различным числам волн n , образующихся при потере устойчивости кольца с параметром h/R= 1/50. Огибающая их снизу кривая отражает зависимость между критическим значением параметра нагрузки Р ( Р - наименьшее из значений Р р) и параметром k . На рисунке показана также последовательность форм потери устойчивости для различных значений k .
Аналогичные результаты для кольца с параметром h/R = 1/200 представлены на рис.4.1,6. Отметим, что для этого отношения в области рассмотренных значений коэффициента к реализуется потеря устойчивости по формам с п = 2 и 3.
Анализ приведенных результатов позволяет сделать следующие выводы:
1. Учет однозначности взаимодействия кольца с упругой средой существенно уменьшает величину критической нагрузки на кольцо и влияет на форму его потери устойчивости.
2. Увеличение жесткости основания, характеризуемой коэффициентом k , приводит к качественному изменению форм потери устойчивости, заклинающемуся в сужении зон отлипания и расширении участков контакта кольца со средой. Порядок форм потери устойчивости (число волн в окружном направлении) увеличивается с увеличением k .
3. Для рассмотренных случаев порядок формы потери устойчивости при одних и тех же значениях жесткости основания возрастает с увеличением параметра R/h . Такие кольца характеризуются формами потери устойчивости с быстрым изменением кривизны на участках отлипания и плавным очертанием в зонах контакта со средой, нетонкие кольца - более гладкими формами с большим числом волн в окружном направлении.
Задача устойчивости замкнутой цилиндрической оболочки при действии равномерно распределенного внешнего давления, взаимодействующей с упругой средой, широко распространена в современной технике и возникает, в частности, при проверке на устойчивость первого рода элементов подземных сооружений - трубопроводов, емкостей и др. Обзор исследований, посвященных этой задаче, приведенный в [152], показывает, что в большинстве работ предполагается наличие сплошного контакта между оболочкой и средой (заполнителем)[156,159,331 и др.].
Исследуем влияние отрыва на величину критической нагрузки и форму потери устойчивости. Для решения задачи воспользуемся уравнениями устойчивости круговой оболочки с заполнителем при безмоментном докритическом состоянии, полученными из соотношений 3.2:
Вдавливание жесткого штампа в упруго-пластическую полуплоскость
Расчет проводился для участка оболочки, ограниченного контурной линией и плоскостями симметрии формы волнообразования (4.20). Выделенный таким образом фрагмент оболочки разбивался на 17 разностных делений в окружном направлении и 15 - в направлении образующей. Такое количество делений позволило получать критические нагрузки с погрешностью в 3$. Время подсчета определителя системы разностных уравнений на ЭВМ EG-I050 составило 16 минут. Число шагов для подсчета критической нагрузки с заданной точностью вычислений (2%) не превышало восьми.
Основные результаты расчета представлены на рис.4.14-4Л6. На рис.4.14 изображены графики зависимости относительного критического давления Р/Р от безразмерной жесткости шпангоута 2. для случая шарнирного опирання торцов оболочки ( Р - критическая нагрузка при отсутствии подкрепления и среды; Т)ш - изгибная жесткость шпангоута). Кривая I описывает зависимость критического давления от жесткости шпангоута при учете отрыва оболочки от среда, кривая 2 - без учета отрыва. Штриховой линией на рисунке показаны результаты расчета для оболочки без учета контакта со средой. С расхождением до 0 они совпали с решением Н.А.Алфутова [4 ] .
Как и следовало ожидать, при жесткости шпангоута Еш]ш ЕШ3Э происходит общая потеря устойчивости подкрепленной оболочки, т.е. обшивка теряет устойчивость вместе с подкреплением. Увеличение жесткости шпангоута при этом приводит к повыше нию критического давления. При Е.щ31ц ЕшЗЭ(р возникает местная потеря устойчивости, т.е. обшивка теряет устойчивость, а шпангоут сохраняет круговую форму. Дальнейшее увеличение жесткости шпангоута не влияет на критическое давление.
Следует отметить, что при Еа1Зш=ЕшЗЭр для защемленной по торцам оболочки критическая нагрузка практически совпала с результатами, приведенными в предыдущем параграфе для оболочки с меньшей в два раза длиной при прочих равных условиях. В случае одностороннего контакта оболочки со средой смена форм ПОТерИ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОИСХОДИТ Примерно При 2. Е ш Л эср = = 1ДЕ.Ї)Ш Для оболочки, двусторонне связанной со средой, значе-ние эффективной жесткости 2ЕшЗэф в случае шарнирного опира-ния и жесткого защемления торцов равно соответственно 1,іЕ.Вш и I.OLD . Смена форм потери устойчивости для оболочек без учета влияния среды и подкрепленных одним симметрично расположенным шпангоутом происходит при 2.ELUJ3tp=i,5tl3UJ [4] .
Применение модели упругой среды с односторонними связями, как и в случае неподкрепленных оболочек, внесло существенные поправки (30 40%) в значения критических нагрузок. Например, при 2ЕшЗэ(р=0Д1)ш соотношение РКр/РКр равно 1.38, а область отрыва составляет примерно половину площади поверхности оболочки.
При шарнирном опираний торцов оболочки порядок формы потери устойчивости (число волн в окружном направлении) и значение критической нагрузки ниже, чем в случае жесткого защемления.
Оценка влияния параметров оболочки и жесткости основания на точность полученных результатов
Особенность задачи о деформировании оболочки, находящейся в упругой среде, заключается в возможности возникновения в ней существенно, г трехмерного поля напряжений при определенных геометрических параметрах оболочки, а также соотношениях жесткости ее материала и жесткости среды. Поэтому уравнения классической теории оболочек, базирующиеся на упрощающих гипотезах, игнорирующих нормальные к срединной поверхности напряжения, в общем случае не могут быть использованы для исследования контакта оболочки с упругой средой.
Для исследования напряженно-деформированного состояния оболочек, контактирующих с упругой средой, воспользуемся уравнениями теории оболочек, основанной на применении к уравнениям теории упругости проекционного метода [100, 136] . Уравнения равновесия элемента упругой среды в произвольной системе координат х1 имеют вид f И -РН 0 а = 1,2,3), (4.23) где и - вектор упругого смещения; D - контравариантяые составляющие силы напряжения; F - вектор объемной силы; р -плотность среды; 0,- определитель метрической формы [К.; t- время. Здесь и далее в этом параграфе все обозначения приняты такими же,как в [136 ] .
