Содержание к диссертации
Введение
1. Оптимальное проектирование элементов деформируемых конструкций с учетом ограничений по усталостной долговечности 10
1.1. Задачи параметрической оптимизации деформируемых конструкций с учетом процессов накопления повреждений 12
1.2. Задачи параметрической оптимизации деформируемых конструкций с учетом ограничений по усталостной долговечности 15
1.3. Выводы 20
II. Постановки задач параметрической оптимизации с учетом процесса накопления повреждений при многоцикловой усталости 22
2.1. Общая постановка задачи параметрической оптимизации 22
2.2. Оценка усталостной долговечности элементов деформируемых конструкций при многоцикловой усталости 23
2.3. Постановки задач параметрической оптимизации с учетом ограничений по усталостной долговечности 36
2.3.1. Оптимизация по массе деформируемых конструкций с учетом ограничения по усталостной долговечности (постановка 1) 36
2.3.2. Оптимизация усталостной долговечности деформируемой конструкции (постановка 2) 37
2.3.3. Оптимизация поврежденности деформируемой конструкции (постановка 3) 39
2.4. Постановки задач параметрической оптимизации с учетом конечно-элементной идеализации конструкции 40
III. Имитационный подход к оптимизации элементов деформируемых конструкций с учетом усталостной долговечности 47
3.1. Введение. Подходы к оптимизации деформируемых конструкций47
3.2. Решение задачи оптимального проектирования с учетом ограничений по усталостной долговечности 53
3.2.1. Анализ проектируемой конструкции 55
3.2.2. Имитационный подход. Алгоритм 56
3,2.3 Построение имитационной модели 59
3.2.4. Решение задачи математического нелинейного программирования 65
3.3. Алгоритм оптимизации 68
IV. Численные исследования 71
4.1 Тестовый пример 71
4.2 Оптимальное проектирование тонкостенных конструкций 79
4.2.1. Проектирование кронштейна 79
4.2.2. Проектирование торсионной штанги 86
Заключение 93
Список литературы 94
- Задачи параметрической оптимизации деформируемых конструкций с учетом ограничений по усталостной долговечности
- Оценка усталостной долговечности элементов деформируемых конструкций при многоцикловой усталости
- Решение задачи оптимального проектирования с учетом ограничений по усталостной долговечности
- Оптимальное проектирование тонкостенных конструкций
Введение к работе
Актуальность темы.
Одной из основных проблем современных отраслей промышленности является проблема повышения долговечности машин, деталей, узлов, элементов конструкций с учетом выполнения требований по прочности при одновременном снижении их материалоемкости. Непрерывное увеличение мощностей, скоростей, грузоподъемности и других параметров разрабатываемых машин и конструкций и связанный с этим рост напряженности их элементов приводит к тому, что указанную проблему можно решить лишь при использовании в процессе конструирования и расчета современных достижений науки о прочности.
В настоящее время большое значение при проектировании машин и конструкций имеет правильная оценка предельных состояний по критериям вязкого, хрупкого, малоциклового и многоциклового разрушения на стадии образования и развития трещин. Развитие механики разрушения дает возможность оценить работоспособность конструкции с учетом процессов накопления повреждений различной физической природы. При оценке долговечности конструкции одним из основных факторов является процесс накопления повреждений при многоцикловой усталости.
Выбор материала, определение формы, размеров элементов машин и конструкций, основанные на оценке предельных состояний и критериев прочности, - это лишь один из аспектов проблемы, стоящей перед проектировщиком. Из всех возможных вариантов проекта необходимо выбрать рациональный вариант, который обладал бы возможно большими достоинствами при сведении к минимуму недостатков.
В связи с этим представляется актуальной проблема разработки
эффективных (в смысле точности и экономичности) методик, алгоритмов и программ, ориентированных на оптимизацию элементов деформируемых конструкций при условии удовлетворения требованиям по долговечности, прочности, жесткости, а также требованиям, предъявляемым к геометрическим характеристикам.
Объект исследования.
Рассматриваются формулировки, методы решения и решаются задачи оптимального проектирования для рассматриваемого класса конструкций, воздействий, функций цели, управляемых параметров, видов ограничений.
1. Класс конструкций.
Элементы тонкостенных пространственных конструкций произвольного вида, состоящие из набора конструктивных элементов -пластин и оболочек, стержней и балок, описываемые линейно-упругой конечно-элементной моделью. Рассматриваемые элементы конструкций характеризуются заданной формой.
Материал элементов конструкции однородный и изотропный.
Характеристики сопротивления усталости, нагруженности и прочности рассматриваются как детерминированные величины, их случайные вариации при расчете во внимание не принимаются.
2. Внешние воздействия.
Многоцикловое блочное нагружение, при котором деформация во времени каждого цикла упруга. Действие нагрузок описывается в кв аз и статическом приближении, т. е. деформации конструкции успевают отслеживать изменение нагрузки, инерционные эффекты не учитываются.
Действие высоких температур, агрессивных и коррозионных сред не исследуется.
3 Функции цели.
Рассматриваются различные постановки оптимального проектирования элементов конструкций. Оценка конструкции проводится по целевой функции массы либо по целевой функции усталостной долговечности в зависимости от конкретной постановки задачи.
4 Управляемые параметры
В работе в качестве управляемых параметров, подлежащих выбору при проектировании, рассматриваются геометрические характеристики конструкции.
5 Ограничения.
В качестве ограничений рассматриваются ограничения по массе конструкции, усталостной долговечности, прочности, жесткости и ограничения на значения управляемых параметров.
Цели диссертационной работы формулируются следующим образом:
Разработка постановок задач оптимального проектирования элементов деформируемых конструкций с учетом ограничений по усталостной долговечности.
Создание эффективной методики решения формулируемых оптимизационных задач с использованием имитационного подхода.
Разработка алгоритмов и программ, реализующих указанную методику.
Проведение численных исследований и решение новых прикладных оптимизационных задач из практики реального проектирования.
Научная новизна.
Разработаны детерминированные постановки задач оптимального
проектирования элементов деформируемых конструкций с учетом ограничений по усталостной долговечности, а также ограничений по прочности и жесткости.
Разработана эффективная методика численного решения задач оптимального проектирования с учетом ограничений по усталостной долговечности на основе метода конечных элементов, теории накопления усталостных повреждений и имитационного подхода.
Впервые проведена адаптация имитационного подхода к решению задач оптимального проектирования с учетом ограничений по усталостной долговечности и интеграция программ, реализующих указанный метод, с программами анализа и оценки долговечности проектируемых конструкций.
Достоверность.
Достоверность и эффективность разработанной методики и программ подтверждается сравнением полученных результатов с результатами решения задач, полученными различными методами другими авторами. Для оценки качества методик и программ были рассмотрены задачи аналитические, численные и графические решения которых были найдены автором.
Практическая ценность.
Разработанные постановки задач оптимального проектирования и методика решения указанных задач позволяют существенно расширить класс решаемых оптимизационных задач.
Предлагаемая методика и пакет программ может использоваться в расчетной практике отраслевых НИИ, КБ предприятий для проектирования оптимальных по массе и долговечности конструкций.
Получены решения новых задач оптимального проектирования
изделий машиностроения {кронштейн подвески, торсионная штанга), в которых наряду с требованиями по прочности рассматриваются требования, предъявляемые к долговечности элементов конструкции.
Апробация работы.
Основные результаты работы докладывались на:
- XX международной конференции «Механика оболочек и пластин»,
Нижний Новгород, 2002 г.;
VIII Нижегородской сессии молодых ученых «Математика и математическое моделирование», Сэров, 2003 г.;
II научно технической конференции «Молодежь в науке», Сэров, 2003 г.;
IX Нижегородской сессии молодых ученых «Технические науки», Дзержинск, 2004 г.;
Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 2004 г.;
- IX Нижегородской сессии молодых ученых «Математика и
математическое моделирование», Сэров, 2004 г.;
Ill Всероссийской молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки», Нижний Новгород, 2004 г.;
XXXII Summer School - Conference «Advanced Problems in Mechanics», St. Petersburg (Repino), Russia, 2004.;
VI International Congress on Mathematical Modeling, Nizhni Novgorod, 2004.;
6th World Congress on Structural and Multidisciplinary Optimization Rio de Janeiro, 30 May - 03 June 2005, Brazil.;
- XI Нижегородской сессии молодых ученых «Математика и
мэтематическое моделирование», Сэров, 2006 г.
Публикации.
Основное содержание диссертационной работы опубликовано в статьях [23, 25, 29, 30] и тезисах докладов на конференциях [24, 26-28,31,32,168-170].
Структура и объем работы.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Основной печатный текст занимает 94 страницы, 15 рисунков, 18 страниц - список цитируемой литературы (172
наименования).
Задачи параметрической оптимизации деформируемых конструкций с учетом ограничений по усталостной долговечности
Многоцикловая усталость является наиболее частой причиной отказов и предельных состояний элементов конструкций и деталей машин. Поэтому рассмотрение оптимизационных задач с учетом процессов накопления повреждений при многоцикловой усталости представляет особый интерес.
Под усталостной долговечностью понимают число циклов нагружения элемента конструкции или детали машины до видимого повреждения или полного разрушения объекта. Для проведения расчетов на усталостную долговечность используется информация о закономерностях накопления усталостных повреждений по мере увеличения числа циклов нагружения. Поэтому при формулировке задач оптимизации с учетом явления многоцикловой усталости применяется либо функция усталостной долговечности, либо функция поврежденности.
В работе [120] авторы попытались разработать инженерную методику выбора оптимальных параметров двутаврового сечения сварных подкрановых балок с учетом ограничений по усталостной долговечности. Путем простого перебора основных параметров сечений в определенных пределах авторами получены результаты, которые, по их мнению, лучше, чем в проектах типовых балок. Сравнение проектов производится по критерию весового совершенства.
Авторами работ [97, 98] рассматривается математическая модель задачи оптимального проектирования подкрановых балок с учетом ограничений по прочности, жесткости и ограничений по усталостной долговечности. В качестве целевой функции рассматривается масса конструкции. Задача оптимизации формулируется как задача нелинейного математического программирования, для решения которой используется алгоритм метода случайного поиска.
В работе [142] рассмотрена постановка задачи оптимального проектирования бюгельного протеза в случае концевого дефекта зубного ряда. В качестве критерия оптимальности выбрана величина главного момента сил, действующих со стороны протеза на наиболее нагруженный зуб. Одним из ограничений оптимизационной задачи является ограничение по усталостной долговечности. Анализ системы производится с использованием метода конечных элементов. Задача оптимального проектирования решается методом перебора основных параметров.
В статье [145] с целью повышения усталостной долговечности башни ветротурбинной установки автор формулирует задачу оптимизации. Цель оптимизационной задачи - уменьшить динамические реакции с целью предупреждения чрезмерных амплитуд нестационарных колебаний.
В работе [166] предложен метод определения формы конструкции на основе минимизации объема с учетом усталостных повреждений вследствие многократных нагрузок. Ограничения, учитывающие усталостные повреждения, выражаются суммой в л-ой степени значений напряжений для соответствующих условий нагружения, где п меняется в зависимости от применяемого материала и типа нагружения.
Исследования [140] описывают возможности комбинирования современных методов определения прочности конструкций с методами параметрической оптимизации. С помощью метода конечных элементов определяются критические напряжения. Производится оптимизация формы конструкции с целью уменьшения максимума напряжения, благодаря чему повышается усталостная долговечность рассматриваемого элемента конструкции.
В [143, 144] изложена методика оптимального проектирования конструкций с ограничением по усталостной долговечности. В расчете долговечности используются номинальные напряжения, известная история нагружения, механические характеристики материала. Для перехода от номинальных напряжений к местным напряжениям и деформациям применяется формула Нейбера. Долговечность определяется с помощью формулы Мзнсона - Коффина. Накопление повреждений при переменных амплитудах учитывается гипотезой Пальмгрена - Майнера. Формулируемая задача нелинейного математического программирования решается градиентным методом.
В работах [63, 64] приводится методика оптимизации конструкций механического оборудования ГЭС, элементы которых подвергаются воздействию высокоскоростного турбулентного потока жидкости, с учетом усталостной долговечности. На примере металлических облицовок водосбросов проведена оптимизация геометрических размеров конструкций.
Работы [50, 73, 74] посвящены анализу чувствительности и оптимизации динамически нагруженных пространственных рам с учетом усталостной долговечности. Разрабатывается метод для определения размеров поперечных сечений и положений мест соединения балок, соответствующих минимальной массе пространственной рамы. Принимаются в расчет ограничения на уровень усталостной долговечности. Предлагается методика определения экстремальной усталостной долговечности в объеме элемента и развивается полуаналитический подход к анализу чувствительности экстремальной усталостной долговечности.
Оценка усталостной долговечности элементов деформируемых конструкций при многоцикловой усталости
Расчет конструкций, работающих в условиях переменных нагрузок, на долговечность требует создания математических моделей, отражающих характер процессов, происходящих в конструкции. Обычно предполагается, что в процессе эксплуатации конструкции происходит накопление необратимых повреждений, которые и приводят, при достижении некоторой предельной величины, к недопустимости дальнейшей эксплуатации. Разработке и обоснованию методов расчета конструкций на долговечность при переменных нагрузках посвятили работы В.В. Болотин [15, 16], В,П. Когаев [51-53], ПА Павлов [91], В.Т.Трощенко [116], Дж. Коллинз [54], J.A. Bannantine и др. [138,139], Н.О. Fuchs, R.I. Stephens [147] и др.
Для разработки моделей, описывающих процесс накопления усталостных повреждений при многоцикловой усталости, весьма результативным оказался феноменологический подход, при котором устанавливается связь между скоростью накопления повреждений и внешними воздействиями, вызывающими эти повреждения. С этой целью вводится скалярная мера повреждений [51], которая описывается с помощью неубывающей функции \(/(t), область изменения которой находится на отрезке [0, 1].
Значение меры повреждения, равное нулю ( = 0), соответствует отсутствию повреждений, а значение і// 1 - наступлению предельного состояния, при котором дальнейшая эксплуатация конструкции не допускается. Возможна запись y/(o)=t//0, где у/0є[о,і), что означает допущение о наличии усталостных повреждений в конструкции перед началом эксплуатации. Зачастую мера повреждения не имеет механического истолкования. Введение меры повреждения ц/ позволяет разрабатывать математические модели по оценке усталостной долговечности конструкций в зависимости от различных условий нагружения, делать выводы о поведении сложной конструкции на основании анализа более простых.
С целью описания поведения величины у/(/) во времени вводится дифференциальное уравнение вида здесь q(t) - вектор внешних нагрузок, А - вектор параметров. Вследствие того, что процесс накопления повреждений обычно является необратимым, у/(/2) у/(/г) при t2 tx, функция / должна быть неотрицательна. Конкретное выражение для функции выбирается с учетом феноменологического описания изучаемого процесса. Обычно предполагается, что решение уравнения (2.4) существует и является единственным.
Внешние нагрузки, описываемые вектором q(t), могут включать в себя силовые, температурные и другие виды воздействия и являться как детерминированными, так и случайными. Вектор параметров А включает в себя механические и другие характеристики конструкции, часть его компонент в общем случае может являться случайной
Уравнение (2.4) носит название кинетического уравнения накопления повреждений.
С учетом вышесказанного задача оценки усталостной долговечности, т. е. нахождения времени, в течение которого величина повреждений у/ увеличит свое значение от начального до предельного, сводится к обратной задаче для дифференциального уравнения (2.4) с граничными условиями у/(о) = 0 (или г//0 при наличии повреждений), у/(г)=1.
В ряде случаев целесообразно вместо непрерывного времени ввести дискретное время. В задачах о накоплении усталостных повреждений под действием переменных нагрузок ни длина цикла, ни его форма не играют роли, имеет значение только число циклов нагружения. В этом случае вместо дифференциального уравнения (2.4) используется его конечно-разностный аналог с условиями (//(0)=0, y(N)=\. Обычно предполагают, что и достаточно велико, a q и ці - медленно изменяющиеся функции переменной п, тогда можно заменить уравнение (2.5) его непрерывной аппроксимацией = /( ,q(t), А). (2.6) an
При формулировке моделей накопления повреждений при многоцикловой усталости в той или иной форме используется понятие усталостной кривой (кривой Веллера), т. е. кривой, связывающей амплитудное значение напряжения с числом циклов до разрушения при данной амплитуде. Для получения усталостной кривой проводятся испытания при циклическом нагружении с синусоидальной формой цикла ?(}) = Jm+aasma)t, где сга- амплитудное, а ит - среднее значение цикла. Под циклом напряжения понимается совокупность последовательных значений переменных напряжений за один период процесса их изменений. Используются также величины гтм и гтт - максимальное и минимальное значения напряжений в цикле, а также коэффициент асимметрии цикла R: Цикл, для которого R = -1 (т. е. тти = -ата), называется симметричным, а цикл, для которого Д = 0 (атт =0)-пульсирующим.
Решение задачи оптимального проектирования с учетом ограничений по усталостной долговечности
Задачи оптимального проектирования (2.15) - (2.17) и (2.19) - (2.21) предлагается решать на основе имитационного подхода, как хорошо себя зарекомендовавшего при решении широкого круга задач оптимизации. Основная идея имитационного подхода к оптимизации конструкций [76] состоит в поэтапной замене детализированной модели конструкции (т.е. исходных неявных функций С(х) и gk(\), к = \,т) имитационной моделью (т. е. явными функциями С(х) и gk(x), к = \,т), адекватной в некоторой подобласти исходной области поиска А„ Bt, i-\,n. Имитационная модель может быть использована в частной задаче параметрической оптимизации отдельного этапа, поскольку ее использование не требует больших вычислительных затрат.
На каждом р-гл этапе этого процесса ставится и решается частная оптимизационная задача, по форме аналогичная задаче (2.1) - (2.3): найти вектор управляемых параметров \[р\ доставляющий минимальное значение целевой функции С(г)(х): Cw(x )=minCw(x) (3.1) в области допустимых решений Dw = {x:gW(x)0,Jt = i ,x6nw}, (3.2) Пір) = {х: Л\р) х, в\р\ А\р) Л„ в\р) В„ і - їД (3.3) где Cw(x) и g (x), к = \,т, - функции, аппроксимирующие соответственно целевую функцию и функции ограничений исходной задачи (2.1) - (2.3) на р-м этапе. Так как на отдельных этапах вместо исходной (детализированной) модели используется упрощенная модель проектируемого объекта, описываемая функциями С(х) и &(х), k-\,m, для полученных точек \{р) необходимо оценить значения параметров рассогласования моделей двух уровней: rW= c(xW)-Cw(ii ) c(xW), (3.4)
Для этого необходимо обратится к детализированной модели объекта, т. е. осуществить поверочный расчет конструкции, определенной вектором параметров х[р). Значения параметров г и rj:p\ к = \,т, определяют степень адекватности имитационной модели в сравнении с детализированной моделью.
Анализируя значения г0{р) и i{p\ к = \,т, можно сделать выводы о качестве построенных упрощенных моделей. Следует подчеркнуть, что решение частной оптимизационной задачи (3.1) - (3.3) отыскивается в подобласти поиска, определенной текущими геометрическими ограничениями на управляемые параметры л\р) и В{(р\ / = 1,и. Это позволяет обеспечить использование упрощенной модели в пределах ее адекватности.
Полученная в результате решения задачи (3.1) - (3.3) точка \{р) принимается за начальную точку следующей (/? + і)-й итерации. Размеры и расположение следующей подобласти поиска зависят от значений параметров рассогласования моделей г и {р\ к-\,т.
Для решения полученных задач математического программирования (3.1) - (3.3) могут быть использованы различные достаточно надежные методы, поскольку вычисление значений С(р)(х) и gp)(x), к = \,т, не требует значительных вычислительных затрат.
Метод конечных элементов при расчетах и оптимальном проектировании деформируемых конструкций является на сегодняшний день наиболее эффективным среди других численных методов анализа. Его применение сдерживается большой трудоемкостью вычислений, что существенно сказывается на времени счета при оптимизации конструкций Поэтому актуальной является проблема разработки программ реализующих метод конечных элементов, адаптированных к задачам оптимизации, с целью снижения вычислительных затрат и повышения гибкости процесса проектирования.
Элементами адаптации программы анализа к процессу оптимизации являются: иерархическая структура выходной информации, состоящая в выделении из полного объема информации о состоянии объекта отдельных характеристик, непосредственно используемых при оптимизации, что позволяет формализовать процедуру анализа получаемых в процессе поиска проектов; возможность повторных вызовов программы прямого расчета без ввода дополнительной информации; наличие алгоритмической связи между управляемыми параметрами оптимизационной процедуры и характеристиками конечно-элементной модели проектируемой конструкции; контроль за точностью решений; возможность решения задач большой размерности; возможность развития программы для решения новых классов задач путем добавления новых модулей; модульность, дающая возможность с минимальными изменениями использовать программу прямого расчета при решении оптимизационных задач в различных постановках.
Перечисленным требованиям удовлетворяют многие программы конечно-элементного анализа. Одна из таких программ - это широко используемая в настоящее время в расчетной практике многих КБ и НИИ программа ANSYS [136]. В данной работе методика оптимального проектирования строится на интеграции программы анализа конструкции ANSYS с имитационной системой [92], реализующей подход [76].
Оптимальное проектирование тонкостенных конструкций
Необходимым условием минимума является равенство нулю первых частных производных выражения (3.15) по компонентам вектора а. Полученные уравнения образуют систему так называемых нормальных уравнений [35]: M[w}[0]{a} = M[w]{F}. (3.16)
Решением этой системы алгебраических уравнений является вектор искомых регрессионных коэффициентов а. Отметим, что структура аппроксимирующего выражения (3.12) является достаточно общей, поскольку вид отдельных регрессоров (р, может быть произвольным.
Далее описанная выше методика может быть обобщена на случай использования так называемых внутренне линейных моделей [37]. Эти модели не являются линейными, однако они могут быть сведены к линейным путем простых преобразований. Отметим среди них следующие функции: - мультипликативная функция сводится к линейной путем логарифмирования In F(a) = ln о0 + о; In щ ; I 1 - степенная функция сводится к линейной преобразованием /-L ((а))1и=а0 + зд; -экспоненциальная функция (3.18) (а) = ехр U0+o , v /-1 сводится к линейной логарифмированием (3.19) ІП ) = 0,,+ 0 / 1
Имитационные модели, выраженные в виде (3.17) - (3.19), были использованы при решении различных задач оптимального проектирования конструкций [113, 114, 118, 128]. Полученные результаты позволяют рекомендовать мультипликативную модель (3 17) как наиболее универсальную в задачах весовой оптимизации с учетом ограничений по прочности, жесткости и значениям собственных частот.
Для решения задач математического нелинейного программирования (3.1) - (3.3) на сегодняшний день предложено довольно много алгоритмов [1, 17, 21, 117, 121, 127], однако лишь немногие из них оказались эффективными для задач большой размерности. Ни один из этих алгоритмов не имеет по отношению к другим таких преимуществ, чтобы его можно было считать универсальным средством решения любых задач нелинейного программирования.
Поэтому для эффективного решения поставленной задачи необходимо иметь библиотеку программ математического нелинейного программирования, реализующих методы разных классов и позволяющих решать задачи различного вида и эффективно применять имеющиеся методы в случаях, когда они пригодны.
При сравнении численных алгоритмов нелинейного программирования используются следующие критерии: надежность, скорость решения, время подготовки задачи для решения, точность решения, степень выполнения ограничивающих условий. Существует стандартная схема классификации оптимизационных задач по типам их функций: линейная целевая функция, линейные функции ограничений; линейная целевая функция, нелинейные функции ограничений; нелинейная целевая функция, линейные функции ограничений; нелинейная целевая функция, нелинейные функции ограничений.
Для рассматриваемых задач оптимального проектирования тип соответствующих задач оптимизации на р-и этапе (3.1) - (3.3) зависит от выбора соответствующих имитационных моделей. При выборе модели, аппроксимирующей функцию усталостной долговечности, естественно следует отдать предпочтение одной из нелинейных функций (3.17) - (3.19).
Для решения оптимизационных задач с нелинейными целевыми функциями и нелинейными ограничениями в настоящее время широко используется метод последовательного квадратичного программирования.
Данный метод разработали M.J.D. Powell [160], S.P. Han [153] и модифицировали К. Madsen и О. Tingleff [156]. Данный метод описывает решение следующей задачи квадратичного программирования для определения направления поиска минимума:
Минимизировать srVC(/,)(x)+-sr[/j(x,A)]s при условии g\x)+sVglp\x)*0, k = \^i, где s - вектор, определяющий направление поиска; VC(r)(x) - градиент целевой функции; Vglp)(\) - градиент функций ограничений; [л(х,А)] - положительно определенная аппроксимация матрицы Гессе для функции Лагранжа.
Для построения [л(х,А)] применяется квазиньютоновский метод Бройдена - Флетчера - Гольдфабра - Шенно, использующий информацию только о первых частных производных функции Лагранжа. Определение шага вдоль направления s осуществляется при помощи метода внешних штрафных функций. Начальная точка оптимизационного поиска при использовании метода последовательного квадратичного программирования [21] может быть недопустимой.
