Содержание к диссертации
Введение
2 Методические вопросы идентификации определяющих урав нений наследственной термовязкоупругости при малых де формациях 28
2.1 Модель вязкоупругого тела в изотермическом приближении 28
2.1.1 Изотропные материалы 32
2.1.2 Аналитические представления функций влияния в операторах наследственной вязкоупругости 34
2.2 Идентификация моделей изотермического вязкоупругого поведения матери алов 38
2.2.1 Простейшие краевые задачи для образцов изотропного вязкоупругого материала 38
2.2.2 Обзор процедур идентификации интегральных операторов 42
2.2.3 Процедура идентификации интегрального оператора при произвольной истории деформирования 47
2.2.4 Тестирование процедуры идентификации 54
2.2.5 Примеры идентификации интегральных операторов вязкоупругости для реальных экспериментальных данных 59
2.2.6 Статистическая интерпретация результатов решения математически некорректной задачи идентификации 64
2.2.7 Практическое использование идентифицированных операторов . 70
2.3 Моделирование неизотермического поведения вязкоупругих материалов . 73
2.3.1 Учет температурного расширения 74
2.3.2 Зависимость вязкоупругих свойств от температуры 75
2.3.3 Температурно-временная аналогия (ТВА) 77
2.3.4 Построение обобщенных кривых и определение функций температурно-временного сдвига 80
3 Анализ упругих моделей для изотропных эластомеров 90
3.1 Сравнительный анализ двухконстантных обобщений закона Гука для изо тропных упругих материалов при конечных деформациях 90
3.1.1 Анализируемые модели 91
3.1.2 Анализируемые виды НДС 94
3.1.3 Выводы по анализу обобщений закона Гука 106
3.2 Формы определяющих соотношений для несжимаемых изотропных гипер пругих материалов, пригодные для обобщения на случай вязкоупругого поведения 107
4 Построение тензорно линейных моделей вязкоупругого поведения ненаполненных и слабонаполненных изотропных эластомеров 111
4.1 Общие концепции построения уравнений состояния для изотропных вязко-упругих несжимаемых и слабосжимаемых материалов 111
4.2 Обобщение двух моделей для изотропных гиперупругих материалов на случай вязкоупругого поведения 112
4.3 Модификации модели вязкоупругого слабосжимаемого материала для учетанестационарного температурного влияния 114
4.4 Решения краевых задач вязкоупругости для предложенных моделей при экс периментально реализуемых видах НДС 118
4.4.1 Гидростатическое напряжённое состояние 118
4.4.2 Одноосное деформированное состояние 119
4.4.3 Одноосное напряжённое состояние 119
4.4.4 Симметричное двухосное напряжённое состояние 120
4.4.5 Несимметричное двухосное деформированное состояние 121
4.4.6 Кручение, растяжение-сжатие длинного цилиндра из несжимаемого вязкоупругого материала 122
4.4.7 Нагружение внутренним давлением, растяжение замкнутого полого тонкостенного длинного цилиндра 129
4.5 Процедуры идентификации моделей вязкоупругого поведения материалов при конечных деформациях 131
4.6 Разработка экспериментального обеспечения для реализации некоторых видов НДС 133
4.6.1 Информационно - измерительная система в стандарте КАМАК 133
4.6.2 Релаксометры осевого растяжения 136
4.6.3 Установка для кручения и растяжения-сжатия образцов СН-3 138
4.6.4 Приспособление для реализации одноосного деформированного состояния 142
4.7 Примеры использования моделей для описания поведения конкретных вязкоупругих материалов 144
4.7.1 Резина ИРП - 1226 144
4.7.2 Полиуретан ГУП-26 152
4.7.3 Материал "В" 156
5 Построение нелинейных моделей термовязкоупругого поведения высоконаполненных эластомеров (ВНЭ) 169
5.1 Особенности строения и термомеханического поведения ВНЭ 169
5.2 Обзор и анализ моделей термовязкоупругого поведения ВНЭ с учетом структурных изменений 174
5.3 О реализованных подходах к экспериментальной оценке изменений структуры наполненных эластомеров 180
5.3.1 Оптическая микроскопия поверхности деформируемого образца 180
5.3.2 Метод рентгеновской реконструктивной томографии 189
5.3.3 Деформационная микрокалориметрия 194
5.3.4 Оценка деформационной анизотропии по данным кручения в разных направлениях 207
5.4 Выбор феноменологической модели термомеханического поведения ВНЭ с учетом структурных изменений 211
5.4.1 Формальный термодинамический подход 212
5.4.2 Подбор уравнения эволюции для структурного параметра 214
5.4.3 Конкретизация нелинейной модели термовязкоупругого поведения ВНЭ 218
5.4.4 Программа экспериментального обеспечения 219
5.4.5 Методики идентификации 222
5.5 К построению нелинейной модели вязкоупругого поведения наполненных резин при конечных деформациях 227
5.6 Обобщенная нелинейная модель термовязкоупругого поведения наполненных эластомеров при конечных деформациях 234
6 Разработка алгоритмов и программ для численного анализа элементов конструкций из ВНЭ при нестационарных термо силовых режимах нагружения 237
6.1 Вариационная постановка краевых задач с использованием разработанных моделей термомеханического поведения ВНЭ 237
6.2 Конечноэлементная реализация двумерных краевых задач для случаев осе-симметричной и обобщенно плоской конечной деформации 240
6.2.1 Используемые кинематические соотношения 241
6.2.2 Пошаговая реализация конечноэлементной процедуры 244
6.2.3 Выбор переменного шага по времени 253
6.2.4 Сжатие хранимой информации о истории процесса 255
6.3 Примеры анализа неизотермического нагружения цилиндрических тел 257
Основные результаты и выводы 267
Литература 270
Приложение 301
- Аналитические представления функций влияния в операторах наследственной вязкоупругости
- Практическое использование идентифицированных операторов
- Обобщение двух моделей для изотропных гиперупругих материалов на случай вязкоупругого поведения
- Установка для кручения и растяжения-сжатия образцов СН-3
Введение к работе
Научно-технический прогресс требует широкого применения новых полимерных и
композиционных материалов с разнообразными физико-механическими свойствами. Раци
ональное и полное использование свойств конкретного материала при современном про
ектировании конструкций опирается на результаты математического моделирования его
характеристик в рамках механики деформируемого твёрдого тела.
ч В качестве основного объекта, рассмотренного в данной работе, являются эластоме-
ры или резиноподобные материалы, представляющие относительно новый класс конструк
ционных материалов. К ним относят каучуки, резины, герметики, термоэластопласты, по
лиуретаны, аморфные полимеры в температурной области высокоэластичного состояния.
Представления об их молекулярной структуре, термодинамике поведения, о деформаци
онных, релаксационных и прочностных свойствах изложены в многочисленных литера-
w турных источниках, в частности, в книгах [34, 39, 54, 80, 104, 114, 210, 211, 218).
Эластомеры получили широкое распространение благодаря потребностям инженерной практики и успехам химии высокомолекулярных соединений. Шины, приводные ремни, уплотнительные устройства, гибкие шланги, демпферы и виброизоляторы, упругие звенья машин, транспортерные ленты и многие другие изделия эффективно работают только благодаря специфическим особенностям термомеханического поведения эластомеров. Главной их чертой является способность к большим обратимым деформациям формы при низкой сдвиговой жёсткости. Моделирование в рамках статистической физики [211] объясняет такое поведение на основе представлений об энтропийном характере деформаций длинноцепочных молекул, объединенных в молекулярные сетки за счет относительно редких взаимных связей различной химической и физической природы.
Наполнение каучуков и других основ эластомерных материалов вулканизующими агентами, сажей, армирующими волокнами и материалами, пластификаторами, противо-старителями и другими ингредиентами позволяет создавать спектр композитных эластомерных материалов с разнообразными свойствами и структурой. В литературе имеется большое число публикаций, посвященных исследованию и описанию термомеханического поведения отдельных материалов в конкретных областях их применения. Но в настоящее
время существующее число рецептур только для резин оценивается пятизначными числами, поэтому большое значение имеют проблемы систематизации и классификации самих эластомеров и моделей их поведения.
Экспериментальные данные по механическому нагружению реальных резиноподоб-ных материалов часто свидетельствуют о проявлении вязкоупругих свойств, тиксотроп-ных свойств (эффект Маллинза-Патрикеева, остаточные деформации), старения и других реологических эффектов. Во многих практических случаях этими эффектами можно пренебречь и в первом приближении использовать уравнения состояния упругого тела. Известно большое количество моделей упругого поведения эластомеров в рамках теории конечных деформаций, обзоры этих моделей приведены в [76,141,142,163, 224-227, 282, 283]. Их разнообразие по сравнению с классической (инфинитезимальной) теорией упругости обусловлено существованием различных мер напряжённого и деформированного состояния, а также более общими функциональными зависимостями между ними.
Во многих технических приложениях сплошные (монолитные) эластомеры по соотношению сдвиговой и объёмной податливостей можно считать материалами, не изменяющими объём. Это обстоятельство породило для эластомеров специфический класс моделей упругого несжимаемого тела, их обзоры и конкретные формы можно найти в [42, 43, 76, 141, 142, 226, 245, 323, 356, 357]. Но реальная сопротивляемость эластомеров к объёмным изменениям соизмерима со сдвиговой жёсткостью конструкционных полимеров и существенно ниже сдвиговой жёсткости конструкционных металлов и сплавов. Поэтому появились модели, учитывающие слабую объёмную сжимаемость эластомеров [93, 192, 227, 303, 327, 328, 341]. В результате были открыты возможности адекватного анализа поведения эластомерных элементов конструкций типа уплотнительных шнуров и прокладок, тонкослойных резинометаллических шарниров и подобных им изделий, работающих в нестационарных температурных полях и/или при стесненных условиях [64, 67, 69].
Проблемы учета вязкоупругих свойств эластомеров важны в практических задачах, связанных с оценкой динамической жёсткости и диссипативных потерь при циклических режимах работы, с оценкой релаксации напряжений и ползучести эластомерных элементов конструкций, с анализом нестационарных термосиловых режимов нагружения. Дис-сипативные свойства эластомеров определяют работоспособность большой номенклатуры изделий. Но с другой стороны, диссипативный разогрев в совокупности с низкой теплопроводностью эластомеров приводят к существенным ограничениям при выборе материалов, параметров и форм конструкций при проектировании изделий с заданной надежностью и
долговечностью. Многие практические задачи в этой сфере приложений рассматриваются в постановке наложения малых динамических деформаций на конечные квазистатические деформации [6, 92, 110, 207, 272, 296].
Трёхмерным моделям вязкоупругости эластомеров при конечных деформациях посвящено огромное количество работ, часть из них представлена в [2-4, 10, 78, 90, 91, 108-111, 116, 117, 123, 129, 163, 169, 193, 196, 207, 243, 246, 247, 251, 252, 254-258, 261, 264-266, 269, 273, 274, 276-278, 287-293, 297, 298, 301, 302, 311, 318, 330, 331, 333, 334, 336, 342-345, 351, 354, 355,358]. Бурное развитие исследований этого направления наблюдается в течении последних 15-20 лет. Выполним краткий обзор некоторых аспектов построения определяющих уравнений для вязкоупругих материалов при конечных деформациях.
Начиная с классических статей [254, 264-266], посвященных теоретическим вопросам моделирования изотермического поведения изотропного вязкоупругого тела с точки зрения гипотезы о "затухающей памяти" и общего аксиоматического подхода, развитие определяющих уравнений шло по различным направлениям. В первую очередь для практического использования стремились сократить число "материальных" функций, определяемых из эксперимента (согласно [254], функционально полная линейная модель содержит 15 таких функций - три функции инвариантов меры деформации и двенадцать функций релаксации в интегральных операторах, воздействующих на различные истории инвариантов деформации). Использование нелинейного представления функционала напряжения в виде полиномиального ряда с интегральными операторами возрастающего порядка [264] существенно усложняет проблему идентификации моделей. Было предложено значительное число частных моделей, содержащих различные упрощающие гипотезы и различное число интегральных операторов, обзор их дан в диссертации [92]. Учёт объёмной сжимаемости вязкоупругих эластомеров имеет то же значение, что и для моделей их упругого поведения [354].
Следующая важнейшая проблема заключается в корректном учете теплового влияния на свойства и поведение эластомеров в достаточно широком температурном интервале их эксплуатации. В более широком понимании эта проблема сводится к построению связанной теории термовязкоупругости при конечных деформациях. Основные достижения теоретического характера здесь связаны с последовательным применением функционального и термодинамического анализа. Изложим эту последовательность, опираясь на [110, 207].
В соответствии с общим термодинамическим подходом [213, 235] прежде всего из физических концепций выбираются независимые и зависимые переменные состояния. Для
изотропного вязкоупругого тела (простой материал с затухающей памятью), не испытывающего структурных изменений, в качестве независимых переменных можно взять абсолютную температуру Т > 0 и меру деформаций (или тензор деформаций) Коши-Грина (текущие и прошлые значения этих переменных).
Затем задают систему определяющих функционалов, для указанного выше случая ими могут быть свободная энергия и тепловой поток. После этого определяются зависимые
А.
переменные состояния: тензор напряжений Коши Т и энтропия г) как частные производные от свободной энергии по тензору деформаций и температуре соответственно. Дисси-пативные потери вычисляются дифференцированием по Фреше функционала свободной энергии, они в, общем случае, содержат тепловую, "структурную" и др. составляющие.
Несмотря на почти двухвековую историю с опубликования Гофом в 1805 г. наблюдений о разогреве резинового образца при его быстром растяжении, последующего осознания энтропийной природы деформации эластомеров в высокоэластичном состоянии, выявления энергетического вклада объёмных изменений [211], проблема учёта энтропийной составляющей на практическом уровне далека от полного решения из-за трудностей корректного микрокалориметрического исследования процессов деформирования материалов.
Если в теоретическом плане при построении модели часто считается достаточным формальное удовлетворение второму закону термодинамики при априори выбранных термодинамических переменных, то практическая идентификация термовязкоупругой модели и проверка её адекватности для широкого круга термодинамических процессов должны опираться на микрокалориметрические измерения в процессе деформирования и их трактовку с позиций первого закона - уравнения балансов для энергетических потоков.
После этого этапа микрокалориметрического исследования можно окончательно определиться с выбором термодинамических переменных состояния, а для экспериментального анализа второго закона необходимо разделить также диссипированную механическую энергию на тепловую составляющую и "скрытую" энергию деформации, равную энергетическим затратам на структурные изменения в материале [238].
Общие функциональные зависимости для энтропийной теории термоупругости и термовязкоупругости эластомеров развивались, например, в [78, 79, 90, 109, 110, 207, 241, 242, 249, 279, 316]. Микрокалориметрические исследования по выявлению вклада энтропийной составляющей сил восстановления представлены в [65, 66, 280, 295, 312, 317, 335].
*
Энтропийная природа деформации эластомеров с физической точки зрения позволила Г.Л.Слонимскому [200] выдвинуть гипотезу о существовании особого, самостоятельного типа упругой обратимой деформации - высокоэластичной. Её отличие от классической упругой деформации кристаллических решеток состоит в замедленном характере реагирования на изменение силовых факторов [34]. Для описания высокоэластичной деформации сегмента полимерной молекулы был предложен оригинальный математический аппарат - дробные производные [34, 308]. Они при переходе к интегральной форме определяющих уравнений напрямую приводят к слабосингулярным ядрам наследственной теории вязкоупругости, что подчеркивает тесную взаимосвязь этих теорий.
Но введение самостоятельного типа высокоэластичной обратимой деформации имеет более глубокие термодинамические корни, так как она сопровождается тепловым эффектом разогрева за счёт сдвиговых компонент деформации, наложенным на охлаждение-разогрев образцов при их объёмном растяжении-сжатии (соответственно). Именно суперпозицией этих двух противоположно направленных тепловых эффектов объясняется точка термоупругой инверсии растягиваемого резинового образца [211].
Разнообразие каучуков и добавляемых к ним ингредиентов вызвало проблемы адекватного описания нелинейных свойств эластомерных композитов. В частности, для резин с высоким содержанием активного наполнителя - техуглерода, актуальной является проблема описания частотно- и амплитуднозависимого внутреннего трения. Причем оно существенно зависит не только от амплитуд циклического воздействия [319, 320, 333], но и от величины статической деформации [61, 272, 275, 326, 349]. К этой же проблеме примыкают задачи построения моделей механического поведения резин вплоть до их разрушения. Большой интерес среди исследователей резин сохраняется к описанию их "размягчения" за счёт предварительного значительного деформирования (эффект Маллинза-Патрикеева) [262, 263, 285, 286, 309, 321], достаточно полный обзор этой нелинейной проблемы до 1978 г. изложен в последней главе монографии [39]. Общепринятой точкой зрения на природу этих нелинейных эффектов является их объяснение разнообразными структурными изменениями материала (разрушение слабых межмолекулярных связей, разрушения углерод-углеродных пространственных структур, сползанием сорбированных поверхностью наполнителя участков макромолекул и т.д.) при действии механических напряжений.
Для другого класса высоконаполненных эластомерных композитов, содержащих более крупные по сравнению с сажей частицы неактивных наполнителей различных фракций размерами от нескольких до сотен микрон, нелинейные проблемы обусловлены в
основном другим типом структурных изменений - отслоением частиц наполнителей от эластомерной матрицы в ходе термомеханического нагружения.
Можно выделить следующие основные направления моделирования этого класса эластомерных композитов: построение упругопластических моделей [347], использование нелинейных функций напряжений и деформаций в операторно линейных уравнениях связи [55, 157, 195, 338, 339, 352], применение в этих уравнениях норм Лебега высокого порядка для описания "незатухающей памяти" [99-101, 212, 259, 313], введение дополнительных независимых термодинамических переменных скалярного или тензорного типа ("скрытых" или "внутренних" переменных [253, 350]) со своими уравнениями эволюции для описания структурных изменений материала [56, 111, 248, 252, 267, 269, 281, 290, 291, 324, 325, 332, 342, 353]. Многочисленные исследования механики наполненных полимеров, ряд из которых рассмотрен далее, свидетельствуют, что особенности поведения дисперсно наполненных композитов для рабочего диапазона нагрузок во многом определяются степенью накопления рассеянных структурных изменений материала, трактуемых зачастую как поврежденность.
Работы последних лет по построению определяющих уравнений вязкоупругости при конечных деформациях в основном используют мультипликативное разложение полного градиента места [300] для выделения составляющих упругой деформации и деформации, обратимой в течение времени [261, 292, 305-310, 322].
При этом для представления физического смысла определяющих уравнений и их термодинамического обоснования зачастую используются "механически детерминированные" структурные одномерные модели линейной теории вязкоупругости [110] (диссипа-тивные свойства полностью определяются типом модели и её механическими параметрами), модифицированные введением нелинейных мер деформации, нелинейных форм связи для структурных элементов модели. Примеры построенных таким образом моделей приведены в [123, 169, 193, 196, 276, 345]. Используемый подход за счёт априорного выбора структуры модели, как правило, неявно содержит гипотезы термодинамического и механического плана, требующие экспериментального обоснования.
Приведённый краткий обзор и анализ литературных источников свидетельствуют о больших теоретических достижениях при построении моделей термомеханического поведения эластомеров при конечных деформациях и о дальнейшем прогрессе в этой области.
Более актуальным сейчас является достижение практических успехов в комплексном решении проблемы: построение модели термовязкоупругости для конкретного ма-
териала, экспериментальное обеспечение её идентификации, использование при анализе нестационарного поведения реальных конструкций.
Такому комплексному подходу посвящена данная работа.
Практическое построение определяющих уравнений термовязкоупругого поведения эластомеров может быть осуществлено лишь на основе широкомасштабного экспериментального исследования конкретных материалов.
Большинство государственных стандартов РФ (СССР), регламентирующих механические испытания материалов, носит либо характер технологических проб, либо дает информацию лишь для простейших моделей механики деформируемого твердого тела, типа теории сопротивления материалов. Это обстоятельство препятствует реализации экспериментального обеспечения современных моделей механики деформируемого твёрдого тела, необходимых для эффективного использования современных численных методов оптимизации конструкций, оценки их прочности, долговечности и ресурса на стадии проектирования.
Стоявшие перед ИМСС УрО РАН актуальные задачи построения и идентификации сложных трехмерных моделей термовязкоупругого поведения наполненных эластомеров вызвали необходимость создания и совершенствования экспериментальной техники, разработки соответствующего методического и программного обеспечения. Некоторые результаты этих работ, полученные с участием автора, изложены в отчётах [124, 151, 177, 183, 184, 186, 187, 233, 234].
Экспериментальная и методическая часть данной работы базируется на следующих общих положениях, вытекающих из классической идеи [200] учета полной истории деформирования полимерного материала:
Из-за практической невозможности реализовать идеальные заданные режимы на-гружения и деформирования типа "мгновенное нагружение", "нагружение с постоянной скоростью", используются реализуемые на практике режимы нагружения при условии регистрации полных историй изменения измеряемых параметров.
По возможности используется регистрация линейных и угловых перемещений на участках однородного деформирования образцов, регистрация нагрузок - передаваемых непосредственно на образец.
Во всех испытаниях с образца нужно стремиться получать максимально возможную информацию, характеризующую его напряжённо-деформированное состояние (НДС) как трехмерного пространственного объекта.
4. Все затруднения, связанные с отклонениями в опытах историй нагружения от идеальных, с нелинейными характеристиками первичных преобразователей регистрируемых величин, связанные с усреднением данных по образцам с близкими, но не идентичными историями нагружения, переносятся на "плечи" математического и программного обеспечения по регистрации данных, по идентификации моделей и проверке их адекватности.
Следование этой идеологии позволило достичь минимально необходимого уровня развития экспериментальной базы для исследования резиноподобных материалов, достаточной для идентификации и независимой проверки феноменологических моделей термо-вязкоупругого поведения при различных видах НДС и сложных историях нагружения.
В данной работе рассмотрены модели термомеханического поведения изотропных эластомерных материалов в эксплуатационном диапазоне умеренно больших деформаций (не превышающих по относительным удлинениям величин порядка -0.25-т-О.б и далёких от предразрывных состояний), что соответствует условиям работы большинства эластомеров. Сознательное ограничение диапазона рассматриваемых деформаций позволяет существенно упростить проблему построения и идентификации моделей [330].
Если ограничиться рассмотрением изотермических и близких к изотермическим процессов, то для замыкания системы уравнений движения и деформации вязкоупруго-го тела достаточно [95, 107] задать функционал связи тензоров напряжений и деформаций. Из общего термодинамического анализа [213] следует, что требование изотермичности неравновесного процесса в вязкоупругих материалах приводит к сильным ограничениям на историю процесса, зависящим от свойств материала, геометрии тела, условий теплообмена и пр. Но для анализа этих ограничений необходима конкретизация упомянутых выше более общих функционалов состояния.
Поэтому ниже рассмотрены термомеханически несвязанные модели и задачи вязко-упругости при допущении, что тепловые потоки, возникающие за счет диссипации энергии деформирования, пренебрежимо малы и не оказывают влияния на связь тензоров напряжений и деформаций.
К разрабатываемым вариантам определяющих соотношений автором предъявлены дополнительные требования:
- все неизвестные параметры определяются по экспериментальным данным из доступных и реализуемых на практике опытов;
- модель поведения естественным образом (без определения новых материальных
функций и параметров) сводится к более простым уравнениям состояния - вплоть
до классического закона Гука для упругого тела при бесконечно малых деформа-
ф циях;
- для упрощения реализации численных алгоритмов решения краевых задач при
формулировке моделей используются главные инварианты мер и тензоров дефор
маций, а не главные удлинения.
Последнее требование является одним из проявлений "обратной" связи разрабаты-
^ ваемых моделей поведения со стороны их потребителей - разработчиков программного
обеспечения для анализа поведения конструкций. Более плодотворным проявлением этой
связи для упрощения и совершенствования модели, для внедрения её в практику, является
совмещенный анализ важности учитываемых факторов на стадии описания однородных
видов НДС в образцах и на стадии расчёта неоднородных, статически неопределённых,
видов НДС в реальных конструкциях.
, Поэтому значительная часть данной работы посвящена разработке программного
обеспечения для численного конечноэлементного анализа нестационарных термосиловых процессов с использованием разрабатываемых моделей.
Работа имеет следующую структуру и содержание.
Во введении выполнен обзор проблемы построения и идентификации определяю-
^ щих уравнений применительно к вязкоупругим резиноподобным материалам, рассмотре-
ны методы решения нестационарных термовязкоупругих задач расчета изделий. Рассмот
рено текущее состояние проблем, связанных с описанием сложного поведения материалов
при конечных деформациях и определяются необходимые и возможные на сегодня на
правления дальнейшего исследования. Приведены используемые сокращения, основные
обозначения и соотношения теории конечных деформаций.
^ Вторая глава посвящена методическим вопросам идентификации определяющих
уравнений термовязкоупругости наследственного типа при малых деформациях. Приведены решения задач вязкоупругости для испытываемых образцов, связывающие измеряемые в опытах величины. Реализованы численные методики определения функции релаксации . для произвольного операторного модуля при использовании её аналитических аппроксимаций и сведения задачи идентификации к задаче нелинейного программирования относительно вектора неизвестных параметров на основе совокупности опытов с произвольными
различными историями измеряемых экспериментальных величин в изотермических условиях.
На примерах определения операторного модуля сдвига для трёх материалов пред-
Ш. ложено построение усредненной функции релаксации, её доверительного интервала и вре-
менного интервала достоверной идентификации на базе статистического анализа выборок найденных реализаций искомой случайной функции релаксации, получаемых при решении математически некорректной задачи идентификации.
При моделировании термовязкоупругого поведения с использованием гипотезы о
справедливости температурно-временной аналогии (ТВА) разработаны методики опреде-
^ ления обобщённой функции релаксации и функции температурно-временного сдвига по
совокупности опытов с произвольными историями измеряемых экспериментальных величин для различных уровней температуры. Приведен пример реализации этой методики при описании термомеханического поведения материала "Д".
I*
В третьей главе проведено обоснование выбора наиболее подходящего по допустимому диапазону сжимаемости упругого определяющего уравнения при конечных деформациях для обобщения его на случай вязкоупругого поведения. Выполнен анализ десяти двухконстантных моделей упругого и гиперупругого поведения изотропных материалов, являющихся обобщением закона Гука на область конечных деформаций в изотермических условиях. Получены решения краевых задач при пяти однородных видах НДС, реализуемых в экспериментальной практике, проведён их численный сравнительный анализ с целью выявления области применимости моделей по диапазону соотношения констант [J./B, имеющих при малых деформациях смысл модулей сдвига и объёмного сжатия.
Основным результатом этого анализа является выявление преимуществ рассмотренного варианта модели Пенга-Ландела, обращающегося при предельном переходе в потенциал "неогукова тела".
Второй параграф этой главы также имеет вспомогательный характер для реализации процедуры обобщения на случай вязкоупругого поведения известных моделей несжимаемых материалов, он посвящен приведению общей формы связи "энергетического" тензора напряжений и деформаций для гиперупругих несжимаемых материалов к новому виду, содержащему в качестве множителя Лагранжа среднее "физическое" напряжение.
В четвёртой главе изложены результаты по описанию термовязкоупругого поведения ненаполненных и малонаполненных эластомеров с помощью тензорно линейных моделей несжимаемого и слабосжимаемого изотропного тела.
В данной работе рассмотрен один из возможных подходов к построению моделей
вязкоупругого поведения первоначально изотропных материалов при конечных дефор
мациях - обобщение известных и широко апробированных упругих моделей путем заме-
М ны упругих постоянных интегральными операторами наследственной теории вязкоупру-
гости [36-38, 92, 243, 246]. Этот прием широко практикуется в моделях, использующих математический аппарат инфинитезимальных деформаций и был, по утверждению авторов [53, 181], предложен ещё самим Вольтерра.
Обобщение упругих моделей несжимаемого "неогукова тела" и слабосжимаемого
материала Пенга-Ландела на случай вязкоупругого поведения выполнено путем замены
^ упругих модулей /х, В указанными операторами в представлении связи "энергетического"
тензора напряжений с тензором меры деформаций Коши-Грина, определенными в базисе недеформированной конфигурации, что позволило получить модели, удовлетворяющие принципу независимости материала от системы отсчета.
Использование такого подхода даёт первое приближение общей гипотетической модели, предназначенное для области умеренных конечных деформаций.
I*
Предложена модификация модели слабосжимаемого тела для учета нестационарного температурного влияния с использованием гипотезы ТВА и допущения о малости температурных объёмных деформаций.
Для построенных моделей приведены решения краевых задач вязкоупругости при
тех же однородных видах НДС для обработки результатов экспериментального иссле-
> дования, что рассмотрены во второй главе в упругом приближении. Кроме этого, для
несжимаемого вязкоупругого материала получены решения экспериментально реализуемых краевых задач при кручении, растяжении-сжатии длинного цилиндра и при нагру-жении внутренним давлением, растяжении замкнутого полого тонкостенного длинного цилиндра.
Представлено методическое обеспечение по идентификации операторов наслед-
ф ственной термовязкоупругости, модифицированное для обработки экспериментальных
данных при конечных деформациях.
Далее в главе представлены результаты разработки экспериментального обеспечения для реализации некоторых видов НДС с регистрацией полных историй нагружения образцов: информационно - измерительная система в стандарте КАМАК, релаксометры осевого растяжения с комбинированной системой регистрации, установка для кручения и растяжения-сжатия образцов СН-3, приспособление для реализации одноосного деформированного состояния.
t*
Для трёх материалов выполнена идентификация моделей, осуществлена экспериментальная проверка их работоспособности при сложных историях нагружения трубчатых образцов внутренним давлением и осевой силой, а также при кручении и растяжении-сжатии сплошного цилиндрического образца. В последнем случае продемонстрированы возможности модели для описания эффекта Пойнтинга в вязкоупругом приближении.
Пятая глава посвящена описанию термовязкоупругого поведения высоконаполнен-ных эластомеров (ВНЭ), имеющих близкое к предельному наполнение дисперсными частицами неактивных наполнителей с размерами частиц порядка 1-300 мкм. Для этих материалов, помимо ярко выраженного термовязкоупругого поведения, определяющим нелинейным фактором является накопление дисперсного рассеянного повреждения в виде отслоений высокоэластичного связующего от частиц наполнителя, что проявляется через эффекты дилатансии - возникновения объёмных деформаций за счет сдвигового деформирования. В работе поставлена задача описания существенных нелинейных особенностей поведения ВНЭ с помощью простых моделей, ограничивая их сложность возможностями экспериментального обеспечения.
Дан обзор и критический анализ известных моделей для высоконаполненых эластомеров, описывающих вязкоупругое поведение, объемные изменения, эффект Маллин-за, накопление повреждений. Наиболее подробно рассмотрена модель Фарриса-Фитцдже-ральда.
Для выбора и обоснования феноменологической модели термомеханического поведения ВНЭ с учетом структурных изменений реализованы следующие подходы к экспериментальной оценке изменений структуры наполненных эластомеров: оптическая микроскопия, метод рентгеновской реконструктивной томографии, деформационная микрокалориметрия, оценка деформационной анизотропии по данным кручения в разных направлениях. Выполнен анализ экспериментальных результатов, полученные в каждом подходе.
Рассмотрен термодинамический подход к построению системы определяющих уравнений с внутренними переменными состояния. Попытки количественного экспериментального разделения диссипируемой при механическом деформировании энергии на тепловую и скрытую составляющие не привели к успеху из-за отсутствия высокоточного деформационного микрокалориметра. Необходимость идентификации полной системы функционалов в этом подходе на порядок усложняет задачу конкретизации определяющих уравнений по сравнению с частной проблемой установления связи напряжений с независимыми переменными состояния.
Поэтому, несмотря на всю привлекательность термодинамического подхода, обеспе
чивающего согласованность системы определяющих уравнений и удовлетворение началам
термодинамики, далее развивается на эмпирическом уровне нелинейная модель с одним
ф скалярным структурным параметром Zc(t) > 0, имеющим своё уравнение эволюции и
учитывающим изменение жесткости материала за счет отслоения частиц наполнителя от связующего, разрыва других связей, разрушения частиц наполнителя. За основу модификации взята представленная в предыдущей главе модель слабосжимаемого термовязко-упругого материала.
Приведена программа экспериментов для идентификации различных вариантов построенной нелинейной модели термовязкоупругого поведения ВНЭ при конечных деформациях.
Методики численной идентификации этой модели имеют три этапа - на первом определяются параметры и "материальные" функции в диапазоне линейного поведения по методикам, изложенным в гл. 2,4, на втором - параметры нелинейных функций с использованием экспериментальная информация в диапазоне существенного проявления нелинейных эффектов, на третьем - выявляются температурные зависимости параметров нелинейных функций с их последующей аппроксимацией.
В пятом параграфе главы приведены варианты определяющих соотношений для резин с относительно высоким содержанием активного наполнителя - техуглерода. Этот тип материалов обнаруживает существенно нелинейное поведение при одноосном напряжённом состоянии в области малых относительных удлинений до (5 -т-15)% и амплитудно-зависимое внутреннее трение. Модели идентифицированы по результатам квазистатического исследования двух марок резины. Продемонстрированы их возможности при описании периодического деформирования в рабочем диапазоне деформаций с учетом амплитудных и частотных зависимостей.
В шестой главе приведены алгоритмы программ для численного анализа элементов конструкций из ВНЭ при нестационарных термосиловых режимах нагружения. Вариационное уравнение в смешанной постановке записано на основе подхода Б.Г.Галеркина.
Реализация пошаговой по времени процедуры конечноэлементного анализа проведена для случаев осесимметричной и обобщенно плоской деформации (осевая деформация постоянна, не равна нулю) при решении на каждом шаге задач теплопроводности, расчета НДС и скалярного структурного параметра в рамках теорий малых и конечных деформаций.
І4*
В задаче теплопроводности для дискретизации по времени используется конечно-разностная неявная схема первого порядка, не учитываются распределенные по объему диссипативные источники тепла, но принимается во внимание конечное формоизменение расчетной области. Связанность задач НДС и скалярного структурного параметра, зависимость термомеханических свойств от температуры учитывается простейшим способом с отставанием на один шаг с последующим итерационным уточнением.
При выводе системы разрешающих уравнений для конечного элемента использована линейная аппроксимация неизвестных величин по времени на каждом временном шаге, четырехугольные изопараметрические элементы с квадратичной аппроксимацией температуры, приращений перемещений и полилинейной аппроксимацией приращений среднего напряжения. Использование МКЭ-процедуры и линеаризация всех выражений относительно приращений узловых неизвестных приводят задачу на текущем шаге при известных в прошлом историях полей температуры, скалярного параметра и НДС к решению несимметричной ленточной системы линейных алгебраических уравнений.
При численной реализации алгоритма для повышения точности и снижения затрат машинного времени использованы нерегулярные сетки конечных элементов, разрывные по границам элементов аппроксимации скорости изменения среднего напряжения, процедуры автоматического выбора шага по времени и приближенного учета удаленных прошлых отрезков истории деформирования, различные процедуры вычисления интегралов по времени в зависимости от истории температуры.
Для двух изделий в виде цилиндра из ВНЭ со стальной упругой оболочкой проведен расчет реальных режимов нагружения при действии внутреннего давления, нестационарного теплового воздействия с граничными условиями первого и третьего рода, при совместном воздействии давления и температуры. В рассмотренных примерах с приближёнными приёмами учёта истории изменения температуры подчёрнута необходимость её полного учёта. Дан анализ вклада различных нелинейных факторов в уточнение НДС. Показано, что наиболее мощным фактором является нелинейность, обусловленная объёмными изменениями за счёт порообразования по границам частиц наполнителей.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы по представленной работе.
Приложение содержит два акта внедрения (использования) результатов работы.
Общая структура работы. Работа содержит 303 страницы текста, 99 рисунков, 29 таблиц и 358 библиографических ссылок.
ф Публикации. Содержание диссертационной работы изложено в 1-3, 9, 10 главах мо-
нографии:
Адамов А.А., Матвеенко В.П., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Методы прикладной вязкоупругости. - Екатеринбург: УрО РАН, 2003. - 411 с.
Публикации в журналах
** 1. Адамов А.А. К построению нелинейной модели вязкоупругого поведения наполнен-
ных резин при конечных деформациях // Каучук и резина, - 1996, № 5. - С. 27-30.
2. Адамов А.А. Неизотермическое деформирование элементов конструкций из нелинейного дисперсно наполненного эластомера // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1999. - Т. 5. - № 2. - С. 101-107.
(фї 3. Адамов А.А. Сравнительный анализ двухконстантных обобщений закона Гука для
изотропных упругих материалов при конечных деформациях // Прикл. мех. и техн. физика. - 2001. - Т. 42, № 5. - С. 183-192.
*
Адамов А.А. Статистический подход к идентификации функций влияния в теории линейной вязкоупругости // Высокомолек. соед. - Сер. А. - 2002. - Т. 44, № б. -С. 1-6.
Курозаев В.П., Пименов Л.А., Адамов А.А., Селиванов Е.И. Применение метода рентгеновской вычислительной томографии для исследования повреждаемости наполненного эластомера // Дефектоскопия. - 1986. - №7. - С. 39-43.
Депонированная статья
Дырда В.И., Адамов А.А., Мазнецова А.В., Селиванов Е.И. Описание вязкоупругого поведения резиновых элементов при конечных деформациях. Ин-т геотехн. мех. АН УССР. Днепропетровск, 1984. 14 с. Рук. деп. в ВИНИТИ 25 янв. 1985, №746-85 Деп.
Статьи в сборниках и трудах конференций
Адамов А.А. О неединственности определения параметров в интегральных уравнениях вязкоупругости по данным квазистатических испытаний // Исследования по механике полимеров и систем. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1978. - С. 16-20.
Адамов А.А. К выбору функционала для описания поведения вязкоупругого материала при конечных деформациях // Науч. тр. Краснодар, политехи, ин-та, 1980. - Вып. 101. / Механика эластомеров. - Т. 3. - С. 56-59.
Адамов А.А. Об идентификации модели наследственной вязкоупругости при конечных деформациях // Структурная механика неоднородных сред. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. - С. 8-11.
Адамов А.А. Кручение вязкоупругого цилиндра из несжимаемого материала при конечных деформациях // Напряженно-деформированное состояние и прочность конструкций. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. - С. 61-65.
Адамов А.А. Анализ малых вынужденных поперечных колебаний вязкоупругого стержня, предварительно растянутого до конечных деформаций // Статические и динамические задачи упругости и вязкоупругости. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. - С. 27-32.
Адамов А.А. О построении образа процесса нагружения при конечных деформациях // Прочность, пластичность и вязкоупругость материалов и конструкций. -Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. - С. 3-5.
Адамов А.А., К построению модели вязкоупругого поведения наполненных эластомеров с учетом структурных изменений // Исследования по механике материалов и конструкций. - Свердловск: УрО АН СССР, 1988. - С. 4-6.
Адамов А.А. Моделирование нелинейного вязкоупругого поведения наполненных резин при циклическом нагружении и при различных видах напряжённо-деформированного состояния // Междунар. конф. по каучуку и резине IRC 94: Труды. - Москва, 1994. - Т. 4. - С. 349-355.
Адамов А.А. Об одном преобразовании соотношений напряжение -деформация для изотропных гиперупругих несжимаемых материалов при конечных деформациях // Математическое моделирование систем и процессов: Науч. тр. Пермского гос. техн. ун-та. - Пермь. - 2001. - № 9. - С. 6-9.
'#
Адамов А.А., Дегтярёв А.И. Построение математической модели термореологиче-ски простого материала при конечных деформациях // Динамика и прочность механических систем: Тр. Пермского политехи, ин-та, 1983. - С. 61-66.
Адамов А.А., Кароид Е.И. К оценке микронеоднородности температурного поля при виборазогреве полимерных материалов с жесткими наполнителями // Механика микронеоднородных структур. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1988. - С. 38-42.
Адамов А.А., Кожевникова Л.Л., Кузнецов Г.Б., Матвеенко В.П. Метод конечных элементов в задачах линейной термовязкоупругости // Напряженно-деформирован-
^ ное состояние конструкций из упругих и вязкоупругих материалов. - Свердловск:
УНЦ АН СССР, 1977. - С. 25-30.
і*
Адамов А.А., Кузнецов Г.Б. К методике описания реологических процессов при конечных деформациях теорией наследственности // Прикладные задачи механики полимеров и систем. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1977. - С. 11-20.
Адамов А.А., Леонтьев В.А. Установка для микрокалориметрического исследования тепловых эффектов при квазистатическом деформировании высоконаполнен-ных эластомеров // Статические и динамические краевые задачи механики деформируемых тел. - Свердловск: УрО АН СССР, 1990. - С. 126-130.
Адамов А.А., Санников Л.С, Селиванов Е.И. Вязкоупругая реакция цилиндра из резины при сложном многопараметрическом нагружении // Краевые задачи упругих и неупругих систем. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. - С. 32-36.
Адамов А.А., Соловьев Г.П. К решению вязкоупругой задачи для осесимметричной конструкции с учетом структурных изменений материала // Статические и динамические краевые задачи механики деформируемых тел. - Свердловск: УрО АН СССР, 1990. - С. 30-35.
Адамов А.А., Соловьев Г.П. Об одном алгоритме вычисления интегралов от реологических функций влияния // Численное моделирование статического и динамического деформирования конструкций. - Свердловск: УрО АН СССР, 1990. - С. 60-64.
Автор искренне благодарен своим учителям А.А. Поздееву , Г.Б. Кузнецову
И.Е. Трояновскому , стоявшим у истоков данной работы. Автор выражает глубокую
Н.В. Писцову , Л.С. Санникову, Е.И. Селиванову, А.И. Судакову за их участие в
благодарность А.А. Роговому за всестороннюю поддержку и постоянное внимание к данной работе, Г.П. Соловьёву за участие в разработке программного обеспечения и решении краевых задач, Г.П. Богатырёву, А.И. Дегтярёву, Е.И. Кароиду, В.А. Леонтьеву, С.Н. Лысенко,
реализации различных программ экспериментальных работ.
Аналитические представления функций влияния в операторах наследственной вязкоупругости
Последнее предположение для сплошных (непористых) материалов имеет достаточно ясный смысл, подтверждаемый экспериментально для многих материалов - физические механизмы сопротивления материалов к изменениям объёма существенно отличаются от механизмов сопротивления формоизменению. Этот вариант модели линейной вязкоупругости является основным для применения метода аппроксимаций (см. [18, 22, 106, 107]) при аналитическом или численном решении начальных краевых задач. В приложениях линейной теории вязкоупругости используется большое число различных функций для аналитической аппроксимации ядер приведённых выше интегральных уравнений. В отечественной литературе предпочтение отдаётся использованию слабосингулярных функций скорости релаксации и ползучести, причем за исходное и соответствующее ему резольвентное ядро можно выбрать как ядро релаксации, так и ядро ползучести. Но нужно отметить, что от этого выбора зависит не только качество аппроксимации, но и выражение для резольвентного ядра, а также допустимая область изменения параметров, определяемая указанными выше требованиями. Ниже приведены некоторые выражения, применяемые в качестве функций скорости релаксации и функции релаксации для оператора произвольного модуля а) Ядро в виде суммы экспонент [28, 122, 145, 157, 216] область допустимых значений параметров при этом параметры (2.22) и (2.23) связаны соотношениями [157] равновесный модуль б) Трехпараметрическое ядро в виде дробно-экспоненциальной Эа-функции Ю.Н. Работ нова х [180] область допустимых значений параметров его резольвента также выражается через дробно-экспоненциальную функцию с таким же показателем дробности а, но с другим показателем (5 = А — (5 равновесный модуль при а = 0 частным случаем (2.24) является экспоненциальное ядро. в)
Четырехпараметрическое ядро, рассмотренное М.А. Колтуновым [120, 121]: его резольвента во многих литературных источниках, начиная с работы [120], приведена с ошибкой, которую в [77] указал В.Г. Громов, приведя новое очень сложное выражение, содержащее опечатку; х далее под Г (х), где по смыслу х- безразмерный аргумент, понимается гамма-функция [237] в отличие от Г (t) - функции скорости релаксации. Дробно-экспоненциальные функции и интегралы от них протабулированы в [182]. Ядро А.Р. Ржаницына (2.27), его резольвента (2.28) и связанные с ними функции и интегралы протабулированы в [122], но для некоторых рассмотренных там комбинаций параметров не выполняется условие положительности соответствующего равновесного модуля. Многими авторами проводился сравнительный анализ использования различных ядер. В [149, 150] проведено сравнение восьми различных аппроксимаций ядер (не являющихся суммами более простых, как в [84]) по степени их гибкости для описания релаксационных эффектов в реальных материалах. Наилучшими признаны Э - операторы Ю.Н. Работнова (2.24) и четырехпараметрическое ядро (2.25), которое мы в дальнейшем будем называть ядром М.А. Колтунова. Принятая персонолизация для названий ядер отражает в основном заслуги упомянутых авторов во внедрении этих аппроксимаций в практику. По аналогичным основаниям в ряде работ ядрами М.А. Колтунова называют выражения (2.27-2.28). Э— операторы представлены в виде бесконечных, плохо сходящихся степенных знакопеременных рядов, что затрудняет их практическое использование, несмотря на наличие таблиц и обширность выполненных теоретических исследований по алгебре Э— операторов. Поэтому с вычислительной точки зрения предпочтительнее использовать ядро М.А. Колтунова (2.26), реализуя при необходимости численное вычисление соответствующего ему резольвентного ядра. Аналитическое представление функций релаксации в достаточно широком интервале времени дают: а) эмпирическая зависимость в виде [202] где i?oo) -Ro, то P положительные параметры, первые два - равновесный и мгновенный модули (Лоо Ro); б) незначительно отличающееся от (2.29) по аппроксимационным возможностям выра жение, позволяющее в аналитическом виде перейти к соответствующему непрерывному спектру времен релаксации [202] в) функция релаксации Кольрауша г) функция релаксации обобщенной модели Максвелла с ядром (2.22) и дискретным спек тром обратных времен релаксации / остальные параметры, согласно (2.8), выражаются через параметры функции скорости релаксации (2.22) соотношениями
Переход от одной функции к другой выполняется соответствующей аппроксимацией в пространстве времени или в пространстве параметра преобразования Лапласа, Лапласа-Карсона [97]. Выбор конкретной модели вязкоупругости на всех этапах, начиная с выбора представлений (2.4) и (2.10) до выбора аппроксимаций "материальных" функций, определяется рядом объективных и субъективных факторов: цели исследования, доступное экспериментальное и программное обеспечение, вкусы авторов. Желательно этот первоначальный выбор уточнять в ходе предварительного экспериментального исследования, направленного на выяснение особенностей механического поведения материала и на проверку справедливости основных гипотез модели - отсутствие необратимых деформаций и необратимых структурных изменений, линейность поведения согласно (2.14), отсутствие значимых эффектов старения.
Практическое использование идентифицированных операторов
При реализации численных методов решения краевых задач вязкоупругости зачастую кроме тензора функций релаксации необходимо знать соответствующий тензор функций ползучести. Для решения этой проблемы на примере перехода от идентифицированного оператора ц в (2.37) к соответствующему обратному оператору JM в (2.38) можно предложить следующие возможности: 1. Численно решить интегральное уравнение (2.19) относительно функции ползучести Пм (t). Практическая реализация такого перехода осложнена изложенными выше обстоятельствами. Нужно снова решать математически некорректную обратную задачу для приближённо заданной на конечном интервале времени функции релаксации В.ц (t). 2. Ещё раз аппроксимировать Яи (t) и аналитическими методами найти П (t) как решение интегральных уравнений (2.19). В практических приложениях необходимо иметь в виду, что временной диапазон найденной таким образом функции ползучести соответствует отрезку времени, на котором определена усредненная функция релаксации. 3. Напрямую определить усредненную функцию ползучести П (), ее доверительный интервал и временной отрезок идентификации, использовав представленную методику, модифицированную очевидным образом для оператора JM в (2.38). При этом можно использовать тот же набор экспериментальных данных, который использовался при идентификации Лм (і). Аналитические аппроксимации функции ползучести П () и функции скорости ползучести Кц (t), используемые в модифицированной методике, должны обладать той же степенью гибкости, что (2.26, 2.29). 4. Использовать свойство квазиконстантности [147] идентифицируемых операторов. Например, для всех комбинаций параметров табл. 2.4 подсчитанный Н.А. Труфано-вым [22] показатель квазиконстантности варьировался от 0.072 до 0.078, что позволяет найти приближенные значения функции податливости с погрешностью менее б % просто в виде обратной величины к соответствующим значениям функции релаксации (ранее этот приём также использовался, он соответствовал эмпирической гипотезе А.П. Вронского). Метод квазиконстантных операторов, предложенный В.И. Малым , развит и обоснован для широкого круга вязкоупругих сред [148], он позволяет получать приближенные численные решения различные начальные краевые задачи вязкоупругости на основе решения соответствующих задач теории упругости. В частности, для К (t) также возможна аппроксимация ядром М.А. Колтунова (2.26) с областью допустимых значений параметров (2.64) (не совпадающих, конечно, по величине с параметрами (2.26)) Оценку допустимой области изменения параметра
А можно сузить, если задать из эмпирических соображений или из результатов идентификации оператора /І предельно При решении краевых задач важным для практического использования R (і) и Tip (), определённых на конечных интервалах времени t Є (іі, іг)» является вопрос о задании этих функций на бесконечном интервале времени. Если все возможности расширения указанного интервала исчерпаны, то в качестве простейшего рецепта можно рекомендовать задание постоянных значений функций R (t\) и П (ti) на интервале t Є [0, іі], а также RM (2) и П ( ) на интервале t Є [іг, оо). Заданные таким образом материальные функции аналогичны по характеру поведения дискретным спектрам (1.23-1.24) с наименьшим и наибольшим временами релаксации (1//) или временами ползучести (1/7»)) соответствующими (с точностью до десятичного порядка) границам интервала t Є (і,г)- При указанной экстраполяции автоматически исчезает возможность неадекватного вязкоупругого анализа процессов, характерные времена которых лежат вне интервала корректной идентификации модели. Наряду с указанной выше возможностью прямого расширения временного отрезка идентификации t Є ( ь г) за счет привлечения данных по измерению комплексного модуля, существует часто используемая процедура косвенного расширения на базе гипотезы о температурно-временной аналогии, изложенной в следующем разделе. Проведенный анализ проблемы идентификации и опыт ее решения показывают, что результаты во многом определяются полнотой и качеством реальных опытных данных, степенью соответствия им модели линейного вязкоупругого тела. Поэтому нужно уделять пристальное внимание выявлению области линейного вязкоупругого поведения, анализу погрешностей эксперимента, начиная от соответствия реализованного и расчетного видов НДС образца, технологии его изготовления, хранения, и т.п. Важное значение имеют способы фильтрации, сглаживания и усреднения измеряемых величин. При планировании экспериментов с точки зрения математической некорректности решаемой обратной задачи желательно стремиться к максимально представительным диапазонам времен наблюдения и скоростей деформации при минимальных дисперсиях измеряемых величин. Предложенная методика идентификации функций релаксации и ползучести позволяет наиболее полно использовать экспериментальную информацию, получаемую на современных испытательных установках с компьютерными системами управления и регистрации данных. Влияние температуры на поведение вязкоупругих тел проявляется двумя путями: Щ за счет температурного расширения и за счет зависимости от температуры и истории ее изменения материальных параметров и функций в определяющих уравнениях. Деформирование вязкоупругих материалов, в свою очередь, сопровождается рассеянием механической энергии, что приводит к повышению температуры. Отсюда следует необходимость рассмотрения связанных процессов механического деформирования и процессов теплопереноса с учетом перекрестных эффектов - теплового Щ расширения при изменении температуры и превращения части диссипированной механи ческой энергии в тепло. Наиболее общее рассмотрение этих проблем для определяющих уравнений линейной термовязкоупругости выполняется при их термодинамическом выводе, см. например, [95, 109, 129, 213, 235].
Полная теория связанной термовязкоупругости для простых материалов с затуха ющей памятью включает в себя корректное задание и идентификацию сложных объектов А, - функционала теплового потока и функционала свободной энергии, дифференцирование которого по тензору деформаций дает связь напряжений с деформациями и температу рой, а производная по температуре определяет производство энтропии. При этом нужно решить частные задачи - выполнить микрокалориметрическое разделение диссипируемой механической энергии на тепловую и "структурную" ("скрытая" энергия деформации, Oik затраченная на образование новых поверхностей и т.п. структурных изменений) состав ляющие, описать зависимости термомеханических свойств материала от температуры. В [110] приведен интересный пример нетривиальности задания функционала свободной энер гии - два разных функционала, существенно отличающиеся диссипативными свойствами, дают одинаковую связь напряжений с деформациями. Приведённые в литературе вари анты определяющих уравнений для связанной термовязкоупругости содержат различные (% явные или скрытые допущения о природе восстанавливающих сил, о диссипативных ме ханизмах. Их обоснование возможно лишь при рассмотрении структурных аспектов деформирования конкретных материалов и при соответствующем микрокалориметрическом обеспечении термомеханических испытаний. В данной работе не рассматриваются полностью связанные краевые задачи термовязкоупругости, температурные поля для анализируемых элементов конструкций предполагаются известными из решения соответствующих задач теплопроводности. Поэтому ниже рассмотрены только частные определяющие уравнения - связь напряжений с деформациями в точке вязкопругого тела при известной, нестационарной в общем случае, истории изменения температуры в этой точке. А Температурным расширением называют физический эффект изменения размеров тела с изменением температуры при постоянном давлении [219]. В [129] изложен термодинамический вывод определяющих уравнений термовязкоупругости с учетом этого физического явления через функционал свободной энергии при бесконечно малых изменениях температуры Q(t) = T(t) — То (6 /Т0\ « 1). Уравнения (2.4) (без учета начальных напряжений) принимают вид
Обобщение двух моделей для изотропных гиперупругих материалов на случай вязкоупругого поведения
В качестве основного объекта и первого приближения для обобщения на случай вязкоупругого поведения несжимаемого материала рассмотрен потенциал "неогукова тела" (потенциал Трелоара) (3.2), имеющий большую популярность среди специалистов, теоретическое обоснование в статистической теории высокоэластичности и удовлетворительную точность описания поведения ряда ненаполненных и малонаполненных эластомеров в начальном диапазоне деформирования. Используя (3.28), выражение для "энергетического" тензора напряжений можно представить в виде: Численный анализ в разделе 3.1 выявил, что из семи рассмотренных двухкон-стантных моделей сжимаемых и слабосжимаемых упругих изотропных материалов в широком интервале соотношений ц/В потенциал Пенга-Ландела (3.9) является лучшим "кандидатом" для обобщения на случай вязкоупругого поведения. Применив (3.19), имеем для (3.9) выражение "энергетического" тензора напряжений, подобное (4.1) и имеющее его своим пределом при /3- 1и ц/В — 0: Вязкоупругие модели несжимаемого и слабосжимаемого материалов при умеренных конечных деформациях получены автором [2] путем простого формального обобщения упругих моделей (4.1, 4.2) — заменой лишь упругой постоянной ц интегральным оператором наследственной теории вязкоупругости, что широко практикуется в моделях, использующих математических аппарат инфинитезимальных деформаций. В результате имеем вязкоупругий аналог "неогукова тела": и модель слабосжимаемого вязкоупругого материала: Проявление реологических эффектов в условиях испытаний сплошных (монолитных) эластомеров при ГНС и ОДС очень мало (при испытаниях автором на ОДС многих эластомерных материалов, ненаполненных и наполненных различными минеральными и органическими наполнителями, наблюдаемая релаксация напряжений не превышала 1%), поэтому упругая постоянная В в (4.4) сохраняет свой смысл.
В случаях значимого проявления реологических свойств в условиях испытаний сплошных эластомеров при ГНС и ОДС можно, аналогично модели линейной вязкоупругости изотропного тела при малых деформациях [181], обе константы в (4.2) заменить соответствующими интегральными операторами Определяющие уравнения (4.3, 4.4, 4.5) обладают инвариантностью к геометрическому преобразованию системы координат во времени благодаря использованию тензорных величин, определённых в базисе конфигурации Со, а используемые операторы наследственной теории вязкоупругости инвариантны к изменениям масштаба времени и начала его отсчета. Область применения этих моделей изотропного вязкоупругого тела при конечных деформациях примыкает к области использования классической теории вязкоупругости в рамках математического аппарата теории малых (инфинитезимальных) деформаций. Для оценки верхнего предела работоспособности моделей по допустимым деформациям сдвига нужно исходить из следующих соображений: 1. он не превосходит предела применимости равновесного упругого аналога этих моделей — потенциала Трелоара (для последнего он даже по оптимистичным оценкам не превышает нескольких десятков процентов удлинения); 2. использование только одной функции памяти и одной (для (4.3)) или двух (для (4.4)) простейших функций инвариантов деформации не охватывает всего полного функционального разнообразия общей линейной интегральной модели изотропного вязкоупругого тела [254], содержащей три функции инвариантов и 12 функций релаксации; 3. он существенно различается для конкретных материалов (даже одного подкласса) и должен определяться при идентификации модели на основе критериев, оценивающих согласования теоретических и экспериментальных данных. В работе [108] вязкоупругая модель несжимаемого тела при конечных деформациях получена аналогичным путем, но без приведения упругого закона к виду (3.28), что порождает проблему интерпретации модели в естественной ненапряжённой конфигурации. Модель вязкоупругого "неогукова" тела (4.3) получила распространение и использована в ряде работ других авторов, например, в [32, 33, 135, 136]. Резиноподобные вязкоупругие материалы также обладают существенной зависимостью свойств от температуры, которая проявляется и в объемных температурных изменениях и в зависимости реологических свойств от температуры. Всё сказанное в разд. 2.3
Установка для кручения и растяжения-сжатия образцов СН-3
Уинстона (измерение нагрузки в течение первых 5-10 мин.) и индикатора часового типа (ф (4) с ценой деления от 1 до 10 мкм для измерения нагрузки через измерение перемещения концевой зоны балки (регистрация нагрузки при временах наблюдения от 5-10 мин. до нескольких месяцев - максимальное время наблюдения за релаксацией нескольких образцов равнялось 3 месяцам). Последовательность процедур при испытаниях: 1. Образец материала с нанесенными на нем рисками и с закрепленными на его концах захватными пластинками (крепление штифтами) подвешивается на тензометриче-скую балку, затем фиксируется на подвижном тяжелом захвате, находящемся в верхнем положении. 2. С помощью малого эксцентрикового механизма, совмещенного с устройством крепления образца на балке выбираются зазоры в соединениях, контроль предваритель ной малой нагрузки - по индикатору часового типа. 3. Катетометром КМ-8 по рискам на базе однородного деформирования измеряется начальный размер между рисками (начальная база) и расстояние между захватами. 4. Под подвижный нижний захват устанавливается ограничитель хода варьируемой -ж длины, задающий деформацию на образце. 5. Запускается система регистрации истории нагрузки с тензометрической балки и истории перемещения нижнего захвата (для регистрации использовлась тензомет рическая скобка малой жесткости или потенциометрический датчик). 6. Нижний захват с помощью нагружающего механизма вручную быстро (время на , гружения to 1 сек) опускается до упора на ограничитель хода. 7. После 5-10 мин. тензометрическая система регистрации нагрузки и перемещения захвата выключается и дальнейшая регистрация осевой силы осуществляется по показаниям индикатора часового типа. 8. Измерение удлинений образца с помощью катетометра КМ-8 по рискам на базе однородного деформирования через 15-20 мин. после нагружения.
На основании 138 выполненных оптических измерений, записанной истории перемещения подвижного захвата и истории прогиба силоизмерительной балки рассчитывается история деформации на базе однородного деформирования. Для исключения влияния суточных колебаний температуры и влажности окружающей среды, для поддержания этих параметров на постоянном уровне релаксометр помещался в термостатированном стенде с системой влагопоглощения (использовался си-ликагель) для длительных испытаний, позволяющем без нарушения температурного и влажностного режима через тубусные рукава менять образцы, наблюдать за образцом через прозрачные стенки стенда, проводить оптические измерения на базе однородного деформирования. Несмотря на описанную трудоёмкость испытания каждого образца, эта методика позволяет с минимальными финансовыми затратами получать надёжные экспериментальные данные в широком интервале времен наблюдения при контролируемых условиях по температуре и влажности окружающей среды (фактор влажности наиболее важен для высоконаполненных эластомеров (см. разд. 4.7.3)). Использование податливой балки в качестве датчика силы даёт малое увеличение осевого удлинения в начале процесса релаксации (см., например, рис. 4.9), но использование методики идентификации с учётом полной измеренной истории деформирования образца даёт корректные результаты при обработке таких экспериментальных данных. Успешное применение описанного выше релаксометра послужило поводом для создания аналогичного шестипозиционного релаксометра [187] с двумя идентичными электромеханическими нагружающими устройствами (использованы исполнительные авиационные механизмы МВР-2А), каждое из которых задаёт одинаковую деформацию на серии из трёх образцов, что позволяет провести операцию усреднения измеренных историй на-пряжения.
Внешний вид этого релаксометра, установленного на стенде для длительных испытаний, показан на рис. 4.3. Испытываемые образцы, системы измерения нагрузки и перемещения этого релаксометра находятся внутри термостатированного бокса стенда с системой влагопоглощения, нагружающие устройства находятся вне этого бокса. В ИМСС УрО РАН существует нестандартная машина сложного нагружения МСН-1, позволяющая испытывать сплошные и полые цилиндрические образцы резиноподобных Рис. 4.3. Шестипозиционный релаксометр: 1 - подвижные траверсы, 2 - станина, 3 - исполнительные механизмы, 4 - силоизмерительные балки, 5 - индикаторы часового типа, 6 - система выбора зазора, 7 - стенд для длительных испытаний. материалов при сложном напряженном состоянии, реализуемом за счёт осевого растяжения, кручения, внутреннего давления (для полых образцов). Её устройство и возможности описаны в отчёте (126]. Автором выполнен ряд экспериментов на этой установке, описанных в подразд. 4.7.1. В ходе этих работ были отмечены следующие недостатки МСН-1, приводящие к неконтролируемым ошибкам эксперимента и послужившие побудительными мотивами для создания экспериментальной установки СН-3: Измеренные величины осевой силы и крутящего момента не соответствуют приложенным к образцу, так как включают в себя составляющие трения, зависящие от величин силы и момента, от положения захватов. Крепление образцов в захватах установки имеет несколько степеней свободы за счет зазоров в соединениях, что, в частности, не позволяет из-за потери устойчивости подвергать образцы действию осевой сжимающей силы. Существенная жесткость на изгиб троса нагружающего устройства для задания момента приводит к большим погрешностям измерения угла закрутки на участке разгрузки. Эта тросовая система не позволяет также реализовать закрутку образца в противоположном направлении. Отсутствие синхронной записи регистрируемых величин, которые после усиления тензостанцией ТА-5 записывались на четырёх различных самопишущих приборах типа потенциометров КСПП4-007, КСП-4, ENDIM с различными характеристиками динамической ошибки. Эти недостатки были устранены при создании установки СН-3, предназначенной для испытания цилиндрических образцов эластомеров при комнатной температуре в режимах с кинематическим нагружением по двум независимым параметрам: осевому перемещению в обоих направлениях и закрутке в двух направлениях вращения.
С целью исключения влияния трения в опорах нагружающих устройств на измеряемые величины осевой силы и момента, а также для устранения степеней свободы в соединениях захватов с исполнительными механизмами, образец вклеивается в металлические захваты, жестко фиксируемые в цанговых зажимах, установленных непосредственно на датчиках осевой силы и крутящего момента. При обработке результатов автоматически вводятся поправки на взаимную податливость датчиков силы и момента. Установка является оригинальной разработкой, созданной при активном участии студентов-дипломников кафедры "Динамика и прочность машин" ПГТУ А.В. Пермякова, С.Н. Козлова при участии и под руководством автора. В рамках технических возможностей установки могут задаваться любые комбинации историй изменения независимых параметров, включающие в себя периоды нагруже-ния и разгрузки с различными постоянными скоростями линейного и углового перемещения захватов, периоды выдержки при заданных уровнях параметров. Технические характеристики СН-3: Предельная абсолютная величина осевого перемещения - 50 мм. Предельная абсолютная величина углового перемещения - 15 рад (с использованием ограничителей угла поворота - б рад). Скорость осевого перемещения 3-і- 10 мм/сек. Скорость углового перемещения 0.09- 0.36 рад/сек. Предельная измеряемая осевая сила ± 250 Н. Предельный измеряемый крутящий момент ± 20 Н м. Электропитание - однофазная сеть переменного тока 220 В. Габариты 1470x930x700 мм. Установка показана на рис. 4.4. На основании (2) закреплены: исполнительный авиационный механизм МВР-2А (1) для задания осевого перемещения; переставляемая стойка (4) с направляющей, в которой скользит без проворачивания вал (3) с датчиком осевого перемещения (12), датчиком осевой силы (5) и цанговым зажимом (б) для крепления захвата образца (7); стойка (9), в которой вращается без осевого смещения вал, на котором закреплены датчик угла поворота (14) и датчик крутящего момента (8) с цанговым зажимом (13), соединительная муфта (10) с настраиваемыми ограничительными кулачками; исполнительный авиационный механизм МПК-13И-5 (11) для задания углового перемещения. Чувствительные элементы всех четырех датчиков (линейного перемещения , углового перемещения , осевой силы и крутящего момента ) выполнены с использованием тензорезисторных датчиков сопротивления, их мостовые схемы подключены к тензорези-сторным усилителям Ш-74/1. Усиленные аналоговые сигналы регистрируются с помощью описанной выше ИИС. Для исследования объёмной сжимаемости резиноподобных материалов классическим является использование методики гидростатического сжатия, но реализация ГНС при использовании жидкости в качестве рабочего тела осложнена двумя проблемами: 1. измерение малых объёмных деформаций испытываемого образца в камере высокого давления; 2. защита образца от проникновения в него рабочей жидкости (особенно актуальна для наполненных эластомеров). При этом сжимаемость рабочих жидкостей близка к сжимаемости исследуемых материалов. Более простым средством изучения слабой объёмной сжимаемости этого класса материалов является использование опытов в условиях ОДС, рассмотренного в подразд. 4.4.2. Схема специально разработанного и изготовленного по чертежам автора последнего варианта приспособления к серийной испытательной машине УМЭ-10ТМ (возможно прямое использование на Zwick Z100/SN5A) приведена на рис. 4.5
