Содержание к диссертации
Введение
1 Основные соотношения теории наложения больших деформаций 15
1.1 Основные термины и обозначения теории наложения больших деформаций 15
1.2 Кинематика деформаций 17
1.3 Определяющие соотношения 22
1.4 Уравнения равновесия и граничные условия 25
1.5 О постановке граничных задач теории наложения больших деформаций 27
1.6 Плоская деформация и плоское напряженное состояние 32
2 Постановка задачи и метод решения 34
2.1 Постановка задачи 34
2.2 Применение метода Синьорини к решению задачи 38
2.3 Алгоритм решения задачи об образовании полости 44
2.4 Решение задачи с помощью метода Колосова-Мусхелишвили... 53
3 Результаты расчетов и их анализ 60
3.1 Сжимаемые материалы 60
3.2 Несжимаемые материалы 72
3.3 Сравнение результатов решения задачи с частным случаем точного решения и конечно-элементным решением 98
Заключение 100
Приложение 101
Литература 125
- О постановке граничных задач теории наложения больших деформаций
- Плоская деформация и плоское напряженное состояние
- Решение задачи с помощью метода Колосова-Мусхелишвили...
- Сравнение результатов решения задачи с частным случаем точного решения и конечно-элементным решением
Введение к работе
В диссертационной работе средствами компьютерной алгебры впервые получено приближенное аналитическое решение плоской задачи об образовании круговой полости в предварительно нагруженном теле из нелинейно-упругого материала. Свойства материала описываются различными моделями сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих материалов. Форма полости задается в момент образования. Рассматривается как вариант решения задачи, когда образованная граничная поверхность свободна от нагрузки, так и вариант, когда по границе полости распределено давление. Учитывается, что возникновение в теле полости приводит (по крайней мере, в окрестности образованной граничной поверхности) к появлению в теле больших дополнительных деформаций, которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие. Постановка задачи осуществляется на основе теории многократного наложения больших деформаций [35, 36].
Следует отметить, что вклад в развитие как нелинейной теории упругости, так и эксперимента для нее внесли многие отечественные и зарубежные специалисты, в частности, Г.М.Бартенев, В.Л.Бидерман, В.Д.Бондарь, И.И.Блох, М.Ф.Бухина, И.И.Ворович, И.И.Гольденблат, А.Н.Гузь, Н.В.Зволинский, Л.М.Зубов, Ю.И.Койфман, Ю.А.Крутков, Л.И.Кутилин, А.И.Лурье, Н.Ф.Морозов, В.В.Новожилов, В.А.Пальмов, П.М.Риз, Г.Н.Савин, Л.И.Седов, Л.А.Толоконников, Т.Н.Хазанович, И.А.Цурпал, К.Ф.Черных, P.J.Blats, A.E.Green, W.L.Ko, M.A.Moony, F.D.Murnaghan, W.Noll, R.S.Rivlin, L.R.G.Treloar, C.Truesdell, O.Watanabe, W.Zerna и многие другие. История развития нелинейной теории упругости достаточно подробно описана, например, в монографии А.И.Лурье «Нелинейная теория упругости» [51]. Подробные исторические обзоры становления линейной теории упругости приведены в монофафиях А.Лява [52] и Е.Треффтца [87], а также обзоры в книгах С.П.Тимошенко, например [79], ориентированных на инженеров, связанных с конкретными практическими расчетами. Ссылки на вы-
шеперечисленные работы показывают, что решения для задач линейной теории упругости существуют давно, и математический аппарат в этой области хорошо проработан. Начало и бурный рост нелинейной теории упругости пришелся на середину и вторую половину XX века. На сегодняшний день общее число публикаций в данном направлении огромно. Поэтому понятно, что модели и методы решения задач в данной области тоже достаточно подробно проработаны. Однако небольшое число (по сравнению с количеством экспериментов для линейной теории упругости) корректно выполненных работ и обработанных экспериментальных данных по определению механических характеристик для различных групп материалов является одной из преград развития и применения теории моделей, связанных с учетом конечности деформаций.
Внимание к теории конечных деформаций обусловлено применением в современной технике изделий из высокоэластичных материалов, испытывающих в процессе эксплуатации большие упругие деформации [67], а также развитием механики разрушения, связанного с зарождением и ростом микродефектов при нагружении [59, 66]. Положения этой теории применительно к высокоэластичным материалам сформулированы в работах Р.Ривлина [99], М.Муни [97], Л.Трелоара [85, 86], подробно проработаны в монографиях В.В.Новожилова [64, 65], Л.И.Седова [72], А.И.Лурье [51], А.Грина и Дж.Адкинса [1, 15], К.Трусделла [88], Д.И.Кутилина [31]. Многие важные частные задачи рассмотрены в работах [8, 25, 26, 28, 102]. Большой вклад в развитие нелинейной теории упругости, вязкоупругости, пластичности внесла тульская школа механики, основанная Л.А.Толоконниковым [80, 81, 82, 83]. Это, например, работы Г.С.Тарасьева [74, 75, 77, 78], Н.М.Матченко [53, 54, 55], А.А.Маркина [57, 58], В.А.Левина [33, 35] и их учеников.
Исследование эффектов наложения деформаций является одним из важных направлений теории больших деформаций. Создание и развитие теории многократного наложения больших деформаций было осуществлено Г.С.Тарасьевым [74, 75] и В.А.Левиным [34, 35, 48, 49, 84]. В работах
В.А.Левина рассмотрены также вопросы зарождения и развития дефектов в рамках механики деформируемого твердого тела при конечных деформациях. В.А.Левиным (совместно с Е.М.Морозовым) предложены нелокальные критерии прочности и модели, учитывающие возникновение и развитие зон предразрушения [41, 42]. В.А.Левиным (совместно с В.В.Лохиным и К.М.Зингерманом) разработаны методы оценки эффективных характеристик пористых материалов при конечных деформациях и их наложении [36, 94, 96]. Задача наложения деформаций для двухконстантного потенциала (с учетом ряда упрощающих допущений) была рассмотрена Л.М. Нечаевым [62]. Развитие теории наложения малых деформаций на большие началось с середины 60-х годов прошлого века. Наиболее подробно вопросы теории были исследованы в работах киевской школы механиков под руководством А.Н.Гузя [17-21]. Многократное наложение малых деформаций на большие рассмотрено в [11]. Свойствами высокоэластичных материалов занималась школа известного исследователя Г.М.Бартенева [3, 4]. Существенны также работы [9,10].
В теории многократного наложения больших деформаций рассматривается нагружение тел в несколько этапов, когда дискретно изменяются границы и граничные условия, причем деформации, вызванные переходом в новое состояние (конфигурацию), конечны. Такой подход позволяет в рамках статических и квазистатических постановок задачи учесть влияние последовательности, в которой к телу прикладываются внешние воздействия. Под внешним воздействием понимается не только приложение к телу внешних поверхностных или массовых сил, но и изменение связности области, занимаемой телом (т.е. добавление или удаление в процессе нагружения частей тела).
Подчеркнем, что используемый термин «наложение больших деформаций» не следует понимать как математическую суперпозицию деформаций. Это означает, что мы не можем определять параметры напряженно-деформированного состояния тела от суммарного внешнего воздействия на
него как сложение параметров напряженно-деформированного состояния тела от каждого воздействия на него, как в случае малых деформаций. Кроме того, связь между тензором напряжений и соответствующим ему тензором деформаций, входящих в определяющие соотношения, является нелинейной. Представления тензоров деформаций через градиенты векторов перемещений также нелинейны. Решение такой задачи крайне сложно, так как в этом случае необходимо решить систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с нелинейными граничными условиями.
Именно поэтому постановка и решение задачи, в которой в процессе нагружения дискретно изменяются граница и граничные условия (задача о поэтапном нагружении тела), достаточно сложна.
Используется следующая механическая модель образования полости [35]. В начальном состоянии (в начальной конфигурации) в теле отсутствуют напряжения и деформации. Затем под действием внешних сил тело приобретает большие начальные деформации. Тело переходит в первое промежуточное состояние. В этом состоянии в теле намечается некоторый замкнутый контур (будущая граница отверстия). Часть тела, ограниченная этим контуром, удаляется, а ее действие на оставшуюся часть тела заменяется (по принципу освобождаемости от связей) силами, распределенными по этому контуру. Далее эти силы, перешедшие в разряд внешних, «мгновенно» (без динамических эффектов) изменяются на большую величину. В результате тело приобретает (теряет) большие дополнительные деформации и напряжения (по крайней мере, в окрестности вновь образованной граничной поверхности), которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие начальные. Изменяется форма граничной поверхности. Тело переходит во второе промежуточное состояние. Такое образование отверстий может быть продолжено и дальше. Понятно, что предложенная модель образования отверстий является упрощенной, т.к. не учитывает способа их образования. Но в ряде случаев применение такой модели представляется целесообразным,
например, когда механизм образования отверстия не известен или очень сложен для описания.
Представленная модель образования отверстий может быть применена при исследовании следующих явлений, связанных с образованием отверстий (пор, полостей): кавитация (образование полостей) в изделиях из резины [92, 93]; возникновение субмикротрещин при нагружении полимерных материалов [68]; вязкое разрушение - поглощение основной трещиной вторичных трещин, в том числе и возникающих в теле в процессе нагружения, и микро-пор, раскрывающихся при нагружении; вязкий рост трещины [6], когда микроповреждения моделируются концентраторами напряжений, длина которых намного меньше длины трещины.
Все вышеописанное обуславливает интерес к задачам теории многократного наложения больших упругих деформаций.
Приближенное аналитическое решение исследуемой задачи позволяет найти метод Синьорини с использованием средств компьютерной алгебры. Метод Синьорини применительно к механике деформируемого твердого тела рассмотрен первоначально в работах Ф.Стопели и А.Синьорини [100, 101]. Применение метода Синьорини к решению задач нелинейной упругости при конечных деформациях рассмотрено, например, Л.А.Толоконниковым [78, 84], Г.С.Тарасьевым [75], Г.Н.Савиным [71], В.А.Левиным [32]. Отметим, что этим методом решены, например, Л.А.Толоконниковым [16], Г.Н.Савиным [71], Г.С.Тарасьевым [77], некоторые конкретные задачи о концентрации напряжений около отверстий различной формы в нелинейно-упругих телах при конечных деформациях (при отсутствии их наложения). Физически нелинейные задачи при малых деформациях для упругих тел рассмотрены, в частности, И.И.Воровичем [12], И.А.Цурпалом [89]. Применение метода Синьорини к решению задач теории многократного наложения больших деформаций рассмотрено в работах [23, 24, 34, 35, 36, 43, 45, 62, 63, 69, 76].
Использование метода Синьорини и системы компьютерной алгебры позволяет найти приближенное аналитическое решение задачи. При этом
решение исходной нелинейной задачи сводится к решению бесконечной последовательности линеаризованных задач. Преимущество такого подхода состоит в том, что плоская задача линеаризованной упругости для однородного тела с отверстием может быть решена аналитически методом Колосова— Мусхелишвили [29, 30, 61]. При расчетах в данной работе ограничились вычислением двух первых членов последовательности линеаризованных задач.
Недостатком метода Синьорини является нерешенность (в общем случае) вопроса о его сходимости. Поэтому очень важным является сравнение результатов, полученных с использованием этого метода, с результатами численных расчетов и с известными точными решениями. Точные решения известны для ряда плоских задач нелинейной упругости при больших деформациях [7, 51, 90, 91]. Однако следует отметить, что точные решения могут быть получены либо для областей частного вида при специальным образом заданных нагрузках, либо для определяющих соотношений, которые заданы специальным образом, что не всегда пригодно для описания механических свойств реального материала.
Следует отметить, что для решения конкретных задач о концентрации напряжений при конечных деформациях метод Синьорини (и подобные ему) до последнего времени использовался нечасто. Это было связано с большими вычислительными сложностями при проведении аналитических выкладок для каждого приближения. С появлением и последующим развитием вычислительных машин и в том числе систем компьютерной алгебры стало возможно получение приближенного аналитического решения нелинейных задач этим методом. Развитие систем компьютерной математики началось с середины 80-х годов прошлого века. Наиболее известные из них в настоящее время - это интегрированные системы символьной математики для персональных компьютеров: Derive, MathCad, Mathematica, Maple V, MathLab. Отметим, что в нашей стране значительный вклад в развитие систем символьной математики внесла школа академика В.М.Глушкова. В конце 70-х годов были созданы малые инженерные ЭВМ класса «Мир», способные выполнять
аналитические вычисления даже на аппаратном уровне. Был разработан и успешно применялся язык символьных вычислений «Аналитик». Следует отметить, что еще в середине 50-х годов аналогичные идеи высказывались и развивались школой академика Л.В.Канторовича (например, в работах Л.Т.Петровой). Система символьных вычислений «Mathematica» разработана компанией Wolfram Research Inc., основанной известным математиком и физиком Стефаном Вольфрамом, одним из создателей теории сложных систем. Первая версия программы появилась в 1988 г. Возможность применения современной системы компьютерной алгебры «Mathematica» к решению конкретных задач нелинейной теории упругости рассмотрена в работах [38, 70].
Очевидно, что наличие аналитического решения (пусть и приближенного) обладает неоспоримыми преимуществами. Например, в расчетной практике существование приближенных аналитических решений для данного элемента конструкции при данном типе нагружения дает проектировщику возможность в момент числового задания параметров нагружения сразу получить значения параметров напряженно-деформированного состояния элемента конструкции. Также конструктор (проектировщик) может воспользоваться промышленными расчетными пакетами, основанными на использовании метода конечных элементов (ANSYS, ABAQUS и др.). Но в этом случае желательно до применения для расчета проектируемого элемента конструкции осуществить тестирование решений, предоставляемых этими пакетами, на упрощенной модели элемента, например, путем сравнения с результатами, полученными на основе приближенного аналитического решения. Такое тестирование для случая конечности деформаций, по мнению автора, полезно из-за идеологии универсальности таких пакетов. Таким образом, проектировщик, использующий в качестве расчетной модели модель нелинейной теории упругости, может для элемента конструкции при любом виде внешних воздействий, приложенных к этому элементу, получать значения параметров напряженно-деформированного состояния элемента конструкции
практически в момент их задания. Естественно это возможно, когда определены экспериментально механические свойства материала.
Повторим, из-за того, что полость образуется в процессе нагружения, следует учитывать изменение границы и граничных условий. Например, изменение связности занимаемой телом области. Такое изменение приводит к «физическому» наложению дополнительных больших (по крайней мере, в окрестности полости) деформаций на уже имеющиеся в теле большие деформации. Для инженера это означает, в частности, необходимость решения системы из нескольких уравнений равновесия для нескольких векторов перемещений. Промышленные расчетные пакеты на базе МКЭ (метода конечных элементов) пока не могут быть использованы для таких расчетов, так как, в частности, не предполагают решения вышеуказанных систем уравнений. Поэтому возникла необходимость в разработке, создании и использовании специализированных программных комплексов, основанных на теории многократного наложения больших деформаций и реализованных на современных математических пакетах для персональных компьютеров. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ
Актуальность темы. Развитие техники инициирует создание новых материалов, способных испытывать большие деформации, что в свою очередь требует совершенствовать методы мониторинга, особенно для случая возникновения и развития дефектов в процессе эксплуатации элементов конструкций из таких материалов. Учитывая, что дефект (повреждение) возникает в теле с конечными деформациями, то его возникновение приводит к перераспределению в теле конечных деформаций, последнее определяет актуальность рассмотрения задач теории многократного наложения больших деформаций. Применение средств компьютерной алгебры в ряде случаев позволяет получать приближенное аналитическое решение плоских задач данной теории. Использование таких решений полезно и эффективно как при анализе результатов мониторинга, так и на стадии эскизного проектирования,
что позволяет, в частности, получать предварительную оценку прочности в формульной форме.
Основными целями диссертационной работы являются:
— математическая формулировка плоской задачи теории наложения
больших деформаций, а именно задачи о круговой в момент образования по
лости в предварительно нагруженном теле для различных моделей нелиней
но-упругих материалов;
- получение приближенного аналитического решения поставленной за
дачи с использованием системы компьютерной алгебры «Mathematica 5.0».
Научная новизна.
Впервые получены приближенные аналитические решения плоской задачи о круговой в момент образования полости в предварительно нагруженном теле при конечных деформациях. Решения найдены для разных типов сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих материалов, в том числе и для случая приложения давления по вновь образованной границе.
Достоверность результатов базируется на использовании соотношений теории многократного наложения больших деформаций, корректной математической постановке задачи, применении определяющих соотношений, апробированных ранее другими авторами, использовании для решения задачи метода Синьорини и средств компьютерной алгебры (пакет «Mathematica 5.0»). Полученные в работе результаты согласуются с точным решением (полученным для частного случая) для материала Трелоара и результатами решения задачи для материала Мурнагана с помощью метода конечных элементов.
Практическая значимость. Получены аналитические выражения (для различных моделей сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих материалов) основных характеристик напряженно-деформированного состояния тела после образования в нем полости. Эти результаты можно применять для анализа прочности при конечных деформациях с использованием нелокальных критериев, проводить предварительную оценку результатов мониторин-
га, учитывать приложение давления к границе, образованной в нагруженном теле полости. Результаты работы использовались при выполнении работ по грантам РФФИ (№№ 98-01-00458, 03-01-00233), по программе «Университеты России» (№ 990858), по договору с ОАО «Тверьнефтьгеофизика». Результаты работы использовались в учебном процессе и будут использоваться в дальнейшем (результаты работы применялись для написания двух учебных пособий1, рекомендованных УМО для использования в учебном процессе, и при чтении спецкурсов для магистрантов и аспирантов). На защиту выносятся:
математическая формулировка плоской задачи о круговой в момент образования полости в предварительно нагруженном теле из различных типов нелинейно-упругих сжимаемых и несжимаемых материалов;
приближенные аналитические решения, полученные средствами компьютерной алгебры, задачи об образовании круговой полости в предварительно нагруженном теле, включая случай приложения давления по вновь образованной поверхности (для различных моделей нелинейно-упругих сжимаемых и несжимаемых материалов).
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы.
В первой главе кратко изложена теория наложения больших деформаций в упругих телах, приведены кинематические соотношения этой теории, рассмотрены определяющие соотношения нелинейной упругости, используемые далее в работе при решении задачи. В качестве сжимаемых материалов используются материалы Мурнагана и Л.А.Толоконникова. В качестве несжимаемых материалов применяются материалы Муни, Черныха (их частные случаи - материалы Трелоара и Бартенева-Хазановича соответственно),
1 1. В.А. Левин, В.В.Калинин, Е.В. Рыбалка. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии на базе пакета «Mathematica»: учебное пособие. Москва, ФИЗМАТЛИТ. - 2006. - 208 с. (в печати) 2. В.А. Левин, Е.В. Рыбалка. Решение нелинейных задач прочности средствами компьютерной алгебры. На базе пакета «Mathematica»: учебное пособие. Москва, ФГУП. Изд-во «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина. -2006. -288с. (в печати)
Л.А.Толоконникова, Валаниса-Ландела, Исихары-Хашицумы-Татибамы, а также неогуковский материал (по терминологии [13]) и материал Муни-Ривлина (по терминологии [13]). Записаны уравнения равновесия и граничные условия. Далее сформулированы математические постановки граничных задач теории многократного наложения больших деформаций об образовании концентраторов напряжений в предварительно нагруженных телах. Так как рассматриваются только плоские задачи, то обращается внимание на особенности постановки задач для случая плоской деформации и плоского напряженного состояния.
Во второй главе диссертации рассматривается постановка (механическая и математическая) плоской задачи теории наложения больших деформаций — задачи о круговой в момент образования полости в предварительно нагруженном бесконечно протяженном теле из нелинейно-упругого материала. Рассматривается применение метода Синьорини к решению поставленной задачи. Отметим, что, используя этот метод, можно получить бесконечную последовательность систем линеаризованных краевых задач для расчета напряжений и деформаций в теле в конечном состоянии, при последовательном решении которых можно найти сначала нулевое приближение, затем первое приближение и т.д. Приводится в приближениях запись определяющих и геометрических соотношений, и записывается в общем виде постановка краевой задачи в перемещениях для / -го приближения. Приводится общий и подробный алгоритмы решения поставленной задачи. Рассматривается применение метода Колосова-Мусхелишвили к решению линеаризованных задач. Приводится постановка линеаризованной краевой задачи для упругих сжимаемых и несжимаемых материалов в комплексной форме при плоской деформации и для плоского напряженного состояния. Рассматривается подход к решению линеаризованной краевой задачи для однородной системы уравнений с использованием комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили.
В третьей главе рассматриваются результаты решения задачи, постановка и метод решения которой приведены во второй главе. Приводятся в аналитической форме полученные результаты - характеристики напряженно-деформированного состояния тела для различных типов материалов (Мурна-гана, Л.А.Толоконникова, Муни, Черныха, Валаниса-Ландела, Исихары-Хашицумы-Татибамы и др.). Они представлены элементарными функциями координат, параметров материала и нагружения. На графиках приведено распределение напряжений, отнесенных к нагрузке на бесконечности, от координаты, а также контуры полостей до и после деформирования тела для различных типов материалов при различных видах нагружения. Из представленных графиков виден качественный результат учета нелинейных эффектов в точках контура.
Далее приводится сравнение полученных результатов с известным точным решением для случая предварительного всестороннего нагружения при плоской деформации для материала Трелоара (представлены зависимости контурных напряжений и радиальных перемещений от нагрузки на бесконечности). Также приводится сравнение полученных результатов решения задачи с результатами, найденными с использованием метода конечных элементов, для случая одноосного растяжения материала Мурнагана (дана зависимость максимального истинного тангенциального напряжения на контуре отверстия от нагрузки на бесконечности).
В диссертации имеется приложение, в котором в качестве иллюстрации приведен вариант авторской программы и комментарии к нему для решения рассмотренной в диссертационной работе задачи для случая плоской деформации и использования материала Мурнагана.
О постановке граничных задач теории наложения больших деформаций
Постановку граничных задач теории многократного наложения больших деформаций рассмотрим на примере задач об образовании концентраторов напряжений в предварительно напряженном бесконечно протяженном нелинейно-упругом теле. При решении задач данного типа уравнение границы может быть задано в пространствах различных состояний; может быть задано и изменение (в том числе и дискретное) формы границы или граничных условий при нагружении. Кроме того, изменение формы границы может быть задано как многократное изменение при нагружении тела связности области, им занимаемой, что особенно интересно в задачах прочности, например, в задаче о вязком росте трещины [39, 42, 95]. Механическая постановка задачи следующая.
Пусть некоторое тело, находящееся в ненапряженном состоянии, перешло из начального в первое промежуточное состояние и приобрело большие начальные деформации. Затем в теле мысленно намечается некоторая замкнутая поверхность, и удаляется часть тела, ограниченная этой поверхностью. Действие удаленной части тела на оставшуюся заменяется (по принципу освобождаемости от связей) силами, распределенными по этой поверхности. Далее эти силы, перешедшие в разряд внешних, «мгновенно» изменяются на большую величину, например, уменьшаются до нуля (под термином «мгновенно изменяются» не следует понимать, что данное приложение (снятие) нагрузок приводит к деформированию тела в динамическом режиме [35]). Тело, приобретая (теряя) большие дополнительные деформации и напряжения (по крайней мере, в окрестности вновь образованной граничной поверхности), переходит во второе промежуточное состояние. Такое нагружение можно продолжить и дальше. При решении конкретных задач о концентрации напряжений, которые рассматриваются в гл. 3, будет предполагаться, что напряженно-деформированное состояние, вызванное действием начальных нагрузок, является однородным. Отметим, что в задачах представленного типа форма границы образуемых концентраторов напряжений и граничные условия могут быть заданы (известны) либо в одном и том же состоянии, либо в различных состояниях. И это, естественно, обуславливает математическую постановку задачи. Пусть известны напряжения и деформации в теле в к-м состоянии и в этом состоянии в теле образуется полость, вследствие чего тело переходит в n-Q состояние. Задача решается в координатах текущего {п-го) состояния, если граница полости задана после деформирования, или в координатах промежуточного (А:-го) состояния, предшествующего текущему, если граница полости задана до деформирования, вызванного ее образованием. Рассмотрим сначала постановку задачи в координатах к-то состояния.
Уравнения равновесия и граничные условия краевой задачи для случая отсутствия массовых сил и заданного давления на границе примут вид [36]: - уравнение равновесия (1.45): - уравнение несжимаемости (для несжимаемых материалов): - граничные условия (1.47): где (Тцп - тензор истинных напряжений на бесконечности, определенный в постановке задачи. Зависимость между тензором истинных напряжений а0п и тензором обобщенных напряжений в базисе к-го состояния 2о,л имеет вид (1.29): В постановку задачи также входят уравнения, связывающие тензор истинных напряжений т0 п с аффинором деформаций 4 . Для различных материалов они имеют вид (1.32)-(1.42). Завершают постановку задачи геометрические соотношения (1.24), (1.5),(1.22): При решении задачи (1.49)-(1.56) аффинор деформаций yV0k считается уже известным, например, из предыдущих вычислений. Решение этой задачи позволяет найти, в частности, суммарный вектор ut перемещений из к -го состояния в п -е как функцию радиус-вектора R, т.е. в координатах к -го состояния. Отметим следующую особенность при решении задач теории наложения больших деформаций [42]. Если задана форма границы в начальном состоянии, то после приложения начальных усилий определяем поле начальных деформаций и форму границы в первом промежуточном состоянии. Далее, прикладывая дополнительные внешние усилия, определяем поля больших дополнительных деформаций и форму границы в конечном состоянии. При задании формы границы в первом промежуточном состоянии ранее рассмотренный алгоритм решения сохранится. То есть: после приложения начальных усилий определяем поле начальных деформаций и форму границы в начальном состоянии (если это требуется). Далее, прикладывая дополнительные внешние усилия, определяем поля больших дополнительных деформаций и форму границы в конечном состоянии.
Плоская деформация и плоское напряженное состояние
Далее рассмотрение конкретных задач будет проводиться для плоского случая. Поэтому остановимся на этом подробнее. Как известно, задача механики деформируемого твердого тела является плоской, если в некоторой декартовой системе координат (xi,x2,x3) деформации и напряжения в теле не зависят от координаты х,. К плоским задачам относятся задачи о плоской деформации и плоском напряженном состоянии [14,71,73]. В случае плоской деформации перемещения в направлении, перпендикулярном к плоскости xtOx2, отсутствуют, т.е. и3=0. Можно показать, что если материал изотропен и компоненты и, и и2 вектора перемещений не зависят от х3, а щ = О, то деформации и напряжения в теле не будут зависеть от х3. При этом компоненты т3, сг23, cr31, &32 тензора истинных напряжений будут равны нулю, а компонента т33 - отлична от нуля. Состояние плоской деформации реализуется, например, в теле, имеющем форму цилиндра, образующие боковой поверхности которого нормальны к основаниям, если вектор перемещений каждой частицы параллелен основаниям [71]. При этом к образующим цилиндра должны быть приложены нормальные напряжения, необходимые для поддержания деформации плоской. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям, может быть произвольным. Если тело содержит отверстия, то это сечение будет многосвязной областью. Рассматривают также обобщенную плоскую деформацию, когда щ = м,(х,, х2), u2 = u2(x{, х2), иъ = (Я -1) х3, где Я - заданная константа, не зависящая от координат. Случай Я = 1 соответствует плоской деформации. В случае плоского напряженного состояния т13 =сг23 =сг33 = 0. Обычно для плоского напряженного состояния полагают также, что компоненты тензора напряжений с не зависят от х3. Задачи о плоском напряженном состоянии возникают, например, при расчете тонких пластин при определенных видах нагружения [71, 73]. Под тонкой пластиной подразумевают цилиндр, высота которого мала по сравнению с размерами основания. Плоскость, параллельную основаниям и находящуюся посередине между ними, называют средней (или срединной) плоскостью пластины.
Систему координат выбирают так, чтобы оси х1 и х2 лежали в этой плоскости. Плоское напряженное состояние приближенно реализуется в тонкой пластине, если основания пластины свободны от нагрузок, а поверхностные силы, приложенные к боковой поверхности, параллельны средней плоскости пластины и распределены симметрично относительно этой плоскости. В этом случае в постановку задачи входят осредненные по толщине пластины величины. Обоснование допустимости такого осреднения при больших деформациях подробно рассмотрено в [71]. Рассмотрим механическую постановку задачи об образовании круговой полости в предварительно нагруженном бесконечно протяженном нелинейно-упругом теле. Постановка задачи осуществляется на основе теории многократного наложения больших деформаций [35]. Укрупненная постановка задачи аналогична (для случая отсутствия давления по вновь образованной граничной поверхности) постановке, изложенной в [35, 36]. Пусть в нелинейно-упругом бесконечно протяженном теле, находящемся в начальном (ненапряженном) состоянии, под воздействием внешних нагрузок возникли большие плоские статические деформации (рис. 2.1).
Тело перешло в первое (промежуточное) состояние. Далее в этом теле намечается замкнутый круговой контур (будущая граница полости). Затем область, ограниченная данным контуром, удаляется. Под удалением, например, можно понимать «откол» одной части от другой или изменение свойств «удаляемой» части тела таким образом, что она не взаимодействует с оставшейся частью тела. Действие удаленной части тела на оставшуюся заменяется по принципу освобождаемости от связей силами, распределенными по данному контуру. Это не приводит к изменению напряженно-деформированного состояния в оставшейся части тела. Далее предполагается, что эти силы, перешедшие в разряд внешних, квазистатически (например, изотермически) значительно изменяются (при этом учитывается возможность приложения к образованному граничному контуру давления), что вызывает появление в оставшейся части тела дополнительных больших (по крайней мере, в окрестности вновь образованной граничной поверхности) деформаций, которые накладываются на уже имеющиеся большие начальные. Естественно, меняется и форма граничного контура полости. Тело переходит в конечное состояние. Рассмотрим теперь математическую постановку задачи. Задача решается в координатах первого (промежуточного) состояния, т.к. в этом состоянии известна форма полости, а также напряжения и деформации. Запишем уравнения и граничные условия краевой задачи для случая отсутствия массовых сил и заданного давления на граничной поверхности. Уравнение равновесия (1.49): Зависимость между тензором истинных напряжений сг02 и тензором і обобщенных напряжений в базисе первого состояния Ео,2 имеет вид (1.53): Ниже приведены уравнения, которые входят в постановку задачи и связывают тензор истинных напряжений аол с аффинором деформаций 02, для различных типов материалов (1.32)-(1.42).
Решение задачи с помощью метода Колосова-Мусхелишвили...
Краевая задача (2.80)-(2.83) для нулевого и первого приближения соответственно представляет собой линеаризованную задачу плоской теории упругости. Для решения этой задачи используется метод Колосова-Мусхелишвили [61]. Приведем основные соотношения этого метода, используемые в данной работе для случая плоской деформации и плоского напряженного состояния. В соответствии с [61, 91] выбирается декартова система координат (хх,х2,х3) таким образом, чтобы плоскость ххх2 была параллельна плоскости деформирования (в случае плоской деформации) или совпадала со средней плоскостью пластины (для обобщенного плоского напряженного состояния), а оси хх и х2 совпадали с главными осями начальной деформации. Пусть е], е2 и е2 - единичные векторы, направленные вдоль соответствующих осей; S — тензор, соответствующий тензору напряжений линейной упругости и определенный следующим образом: для сжимаемого материала S = L,[w], ДЛЯ несжимаемого S = L2[u, р]. Тогда векторы и, f, Q, N и тензор S могут быть представлены в координатной форме следующим образом: причем, как известно, при плоской деформации щ = О, а при плоском напряженном состоянии «зз = 33 ( 2) 3 Согласно [61] в рассмотрение также вводятся: - комплексные переменные z = xx+ix2, z=xx-ix2 , - функции этих переменных: - комбинации компонент некоторого тензора Т второго ранга (в де картовой системе координат): С учетом приведенных обозначений уравнения равновесия и граничные условия линеаризованной задачи могут быть записаны в комплексной форме [47]. Далее для каждого из рассмотренных типов материалов приведены уравнения равновесия и граничные условия. Функции F, Q, H, 7з3 и константы сг", сг;7 в соотношениях (2.158)- (2.172) известны перед решением соответствующей линеаризованной задачи. Согласно [61] решение линеаризованной краевой задачи ищется в виде: где wH, SH, рн, є33 н - некоторое частное решение линеаризованной задачи, одн Som Рот» ззодн решение линеаризованной задачи для однородной системы уравнений, причем функции рн, pojm определяются только для несжимаемого материала, а функции є23 н, г33 одн - только для плоского напряженного состояния.
Подход к нахождению частного решения линеаризованной задачи подробно изложен в [47], при этом считается, что функции F(z, z), H(z, z), 7 3(z, z) являются аналитическими функциями аргументов z и z в области, занимаемой телом. Приведем соотношения для отыскания частного решения [36, 47, 62]. Для некоторых материалов следует заменить р и/или Р на другие константы, в частности: для материала Л.А. Толоконникова (несжимаемого) Р = 1; для материала Валаниса-Ландела р = С, Р = \; для неогуковского материала [13] р = 2С1+С2/2, Р = \\ для материала Исихары-Хашицумы- Татибамы / = 2(С,+С2), Р = — - -; для материала Муни-Ривлина C -AC +C [13] ц = 2C, +2C2 + C3/2, P = —! . При вычислении двукратных интегралов в формулах (2.174), (2.176) и (2.179) переменные z и z рассматриваются как независимые. Рассмотрим далее решение линеаризованной краевой задачи для однородной системы уравнений. В данной работе это решение найдено с помощью комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили Ф(г) и Ч (г) [61], которые являются аналитическими функциями комплексной переменной z в области, занимаемой телом, и определяются из граничного условия соответствующей краевой задачи. Выражения для напряжений через комплексные потенциалы имеют вид [47,61]: Отметим, что эти выражения справедливы как для плоской деформации, так и для плоского напряженного состояния, как для сжимаемых, так и для несжимаемых материалов. Комплексный вектор перемещений wogtl выражается через комплексные потенциалы следующим образом [47]
Сравнение результатов решения задачи с частным случаем точного решения и конечно-элементным решением
На рис. 3.29 приводится сравнение полученных результатов с известным точным решением задачи для случая предварительного всестороннего нагружения при плоской деформации материала Трелоара [36, 51]. Представлены зависимости контурных напряжений и радиальных перемещений от нагрузки на бесконечности. Через R обозначен начальный радиус полости. Отметим, что при q 11/л 0.6 погрешность решения задачи методом Синьорини не превышает 9% для напряжений, при этом для перемещений получаются более точные результаты, чем для напряжений. На рис. 3.30 приведено сравнение полученных результатов решения задачи с результатами, найденными с использованием метода конечных элементов [36, 42], для случая одноосного растяжения по оси у материала Мур- нагана (A = 2.\G, C3=-0.07G, C4=-0.38G, C5=0.34G). Дана зависимость максимального истинного тангенциального напряжения на контуре полости от нагрузки q на бесконечности. Для рассматриваемого случая при q/G 0.4 разница между конечно-элементным решением и решением, полученным методом Синьорини, не превышает 5%. Таким образом, получено приближенное аналитическое решение плоской задачи об образовании в нагруженном теле из нелинейно-упругого материала (для различных типов материалов) кругового отверстия. Данные результаты получены с использованием средств компьютерной алгебры.
Полученные результаты позволяют без дополнительных численных расчетов получить предварительную оценку параметров напряженно-деформированного состояния вблизи образованного концентратора напряжений; непосредственно применять их при анализе прочности с использованием различных критериев прочности. При использовании нелокальных критериев1 данные результаты позволяют как непосредственно оценить уровень нагрузок, при которых может произойти разрушение, так и указать форму начальной зоны предразрушения или зоны разрушения. 1. Дана математическая постановка плоской задачи теории наложения больших упругих деформаций, а именно задачи о круговой в момент образования полости в предварительно нагруженном теле для различных моделей сжимаемых и несжимаемых материалов. 2. Получены приближенные аналитические решения плоской задачи о круговой в момент образования полости для разных типов нелинейно-упругих материалов. Разработан алгоритм и программное обеспечение для решения этой задачи на базе системы компьютерной алгебры «Mathematica 5.0» с использованием метода Синьорини. 3. Показано, что учет нелинейных эффектов в задачах такого типа является существенным. Разница между решениями задачи, полученными для разных моделей сжимаемых нелинейно-упругих материалов, составляет около 10-15%.
Выявлено, что для несжимаемого материала (брекерная резина 2э-2560), разница между решениями, полученными для различных видов определяющих соотношений, составляет порядка 15%. Для решения поставленной во второй главе задачи была разработана специализированная программа для аналитических вычислений на ЭВМ «Наложение». Программа создана в системе компьютерной алгебры «Mathe-matica 5.0». Эта система ориентирована на символьные вычисления, обладает мощным инструментарием и позволяет аналитически (в данном случае полуаналитически) решать сложные задачи нелинейной механики. Рис. I. Схема погружения. Ниже приведена авторская программа и комментарии к ней для решения задачи в случае плоской деформации материала Мурнагана. Особенностью программы является то, что ее легко модифицировать для решения задачи при использовании материалов других авторов. Поэтому поставленную задачу можно решить практически для любого материала, конечно, если известны его определяющие соотношения.
