Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Общие соотношения 9
1.1 Основные уравнения теории осесимметричного течения 11
1.2 Геометрические и кинематические условия совместности 19
1.3 Определение поля деформаций на поверхности разрыва скоростей
1.4. Критерий выбора предпочтительного решения 30
1.5 Полное решение 31
1.6 Критерий разрушения 32
1.7 Вывод системы дифференциальных уравнений, описывающей процесс накопления пластических деформаций
Глава 2. Деформация полого цилиндра при одноосном растяжении
2.1 Одноосное растяжение полого цилиндра при разрывном поле скоростей перемещений
2.2 Неединственность решения задачи об одноосном растяжении полого цилиндра
Глава 3. Деформация сплошного цилиндра при одноосном растяжении
3.1 Одноосное растяжение сплошного цилиндра из жесткопластического материала при однородном поле скоростей перемещений
3.2 Накопление пластических деформаций в однородном поле скоростей перемещений при одноосном растяжении цилиндра
3.3 Одноосное растяжение сплошного цилиндра при непрерывном неоднородном поле скоростей перемещений
3.4 Одноосное растяжение сплошного цилиндра из жесткопластического материала с разрывным полем скоростей перемещений
3.5 Решение Шилда 67
Глава 4. Разрушение цилиндрического образца при одноосном растяжении. Определение констант разрушения
4.1 Одноосное растяжение жесткопластического сплошного цилиндра с разрушением
4.2 Процесс накопления деформаций в задаче о растяжении цилиндра с разрушением
4.3 Определение основных констант разрушения для различных материалов
Заключение 85
Список литературы
- Геометрические и кинематические условия совместности
- Неединственность решения задачи об одноосном растяжении полого цилиндра
- Накопление пластических деформаций в однородном поле скоростей перемещений при одноосном растяжении цилиндра
- Процесс накопления деформаций в задаче о растяжении цилиндра с разрушением
Введение к работе
Модель идеального жесткопластического тела представляет большой интерес для исследования, так как допускает корректную постановку задач с учетом изменения геометрии и их аналитическое решение.
Исследование по вопросам пластического деформирования и разрушения в рамках идеального жесткопластического тела проводилось многими учеными, такими как Дж. Бишоп, Г. И. Быковцев, X. Гейрингер, Г. Генки, Б. А. Друянов, Д. Д. Ивлев, А. Ю. Ишлинский, К. Каратеодори, Л. М. Качанов, Е. Ли, Г. Липпман, Ф. А. Макклинток, С. Г. Михлин, В. П. Мясников, В. Прагер, Л. Прандтль, Дж. Р. Райе, Б. Сен-Венан, В. В. Соколовский, Р. Хилл, С. А. Христианович, Р. Т. Шилд, и др.
Исследование осесимметричного состояния в первую очередь связано с именами А. Ю. Ишлинского, Г. Липмана, Р. Т. Шилда.
Теория идеального жесткопластического тела до недавнего времени рассматривалась в первую очередь как теория предельного равновесия. Не смотря на успешное решение задач, их исследование проводилось, как правило, без учета изменения геометрии свободной поверхности. Построение решений с учетом изменения геометрии необходимо во многих задачах пластического формоизменения тел. Влияние подвижных границ имеет особое значение в задачах об исследовании деформирования материала на поверхностях разрыва скоростей перемещений и разрушении. В связи с этим при расчете и проектировании большинства технологических процессов необходимо учитывать изменение геометрии тел в процессе деформирования.
Так как деформирование частиц материала в пластической области неоднородно и эксперименты показывают существование крайне тонких слоев локализации деформаций (порядка 20-50 мк), примыкающих к жесткопластическим границам с большим градиентом скоростей перемещений. Это в теории жесткопластических тел соответствует
5 разрыву скоростей перемещений. Поэтому значительный интерес представляет исследование деформаций на этих поверхностях. Они могут определять процесс разрушения материала, так как значительно превышают деформации внутри пластической области с непрерывным полем скоростей деформаций. В связи с этим ставится задача о расчете распределения деформаций в окрестности поверхностей разрыва скоростей перемещений.
Другой особенностью жесткопластических тел является то, что на базе этой модели не построена теория' разрушения, вместе с тем в жесткопластическом теле деформации и напряжения конечны, поэтому формулировка критерия разрушения может вестись более корректно, по сравнению с другими моделями, по одному из этих параметров. В данной работе принимается деформационный критерий разрушения. В связи с таким выбором критерия разрушения встает вопрос о единственности поля скоростей перемещений в пластической области, который решается введением деформационного критерия выбора . предпочтительного решения. -
Так как жесткопластическая модель является предельной моделью, то решение для нее неединственное. Например, модель упрочняющегося жесткопластического тела в рамках этой теории имеет единственное решение, при стремлении параметров упрочнения к нулю можно получить определенное решение соответствующее идеальному жесткопластическому телу. Указанный предельный переход можно осуществить только численно, т.к. аналитических решений в рамках упрочняющегося жесткопластического тела не получено. Поэтому критерий выбора предпочтительного решения должен быть сформулирован на основе общих термодинамических и экспериментальных закономерностях. Такой подход был сформулирован в работе [48] в которой отмечено, на основе экспериментальных данных, что упрочнение материала вызывает осреднение деформаций по объему испытываемого образца, другими словами, в деформирование вовлекается максимально возможный объем деформируемого образца, что уменьшает максимальные деформации материала в процессе деформирования. На основе этого в работе принимается критерий выбора предпочтительного решения сформулированный в работе [54].
Полное разрушение твердых тел обычно определяется как разделение тела на части под действием механических нагрузок или напряжений. По сравнению с упругой, пластической и вязкой, а также и высокоэластической деформацией разрушение является гораздо более локальным и потому более структурно чувствительным процессом. Это обусловлено тем, что развитие трещины определяется, прежде всего, явлениями впереди и вблизи ее вершины, т.е. в объемах, которые очень малы (тысячные доли миллиметра) по сравнению с размерами макроскопических тел (десятки миллиметров). Таким образом, характеристики макроразрушения тела обусловлено локальными процессами. Поэтому недостаточная локальность методов по сравнению с локальностью изучаемого процесса особенно резко проявляется при изучении разрушения [61]. Разрушение является заключительной стадией почти всякой развивающейся деформации. Поэтому научное значение закономерностей разрушения очень велико.
Решение задач с учетом разрушения материала при пластическом течении является актуальным, т.к. позволяет предсказывать критические режимы технологических процессов обработки материалов давлением, описать поведение конструкции в экстремальных условиях, проводить полный расчет конструкций одноразового действия. В настоящее время существует множество подходов к описанию аспектов пластического разрушения. Принимается следующий критерий разрушения: разрушение жесткопластического материала в вершине трещины происходит, если
7 первое алгебраически наибольшее главное значение тензора Альманси Е\ достигает предельной величины Е*.
Целью данной работы является описание процессов деформирования и разрушения идеальных жесткопластических тел в условиях осесимметричной деформации. Формулировка подхода к определению констант разрушения на основе стандартных экспериментальных данных по одноосному растяжению цилиндрических образцов.
Содержание работы по главам распределяется следующим образом.
В первой главе рассматриваются общие вопросы теории идеального жесткопластического тела, приводятся основные уравнения теории осесимметричного течения. В качестве условия текучести принимается условие текучести Треска-Сен-Венана. Показано, что вдоль поверхности разрыва скоростей перемещений реализуется плоская деформация. Описан критерий выбора предпочтительного решения. В качестве критерия разрушения принимается деформационный критерий разрушения. Приводится вывод системы дифференциальных уравнений, описывающей процесс накопления пластических деформаций.
Во второй главе рассматривается одноосное растяжение полого цилиндра при разрывном поле скоростей перемещений, задача решена с учетом изменения геометрии свободной поверхности цилиндра. Исследуется неединственность решения задачи об одноосном растяжении полого цилиндра.
В третьей главе описана деформация сплошного цилиндра при одноосном растяжении как предельное решение задачи о растяжении полого цилиндра при стремлении радиуса внутреннего отверстия к нулю. Получено решение при однородном поле скоростей перемещений, при непрерывном неоднородном поле скоростей перемещений, а также с разрывным полем скоростей перемещений. Исследуется процесс накопления пластических деформаций при осесимметричном
8 пластическом течении в однородном поле скоростей перемещений для задачи о растяжении цилиндра. Делается выбор предпочтительного решения из бесчисленного множества решений. Предпочтительным оказывается решение для однородного поля скоростей перемещений.
Четвертая глава посвящена разрушению цилиндрического образца при одноосном растяжении. Исследован процесс накопления деформаций в задаче о растяжении цилиндра с разрудіением. Предложен подход к определению констант разрушения. Определены основные константы разрушения для различных материалов. Установлена связь между традиционными характеристиками разрушения материалов (6 -относительное удлинение образца, гр— относительное сужение образца) и инвариантными тензорными характеристиками: Е„ - первым инвариантом тензора Альманси, характеризующим момент зарождения макротрещины, Е* — первым инвариантом тензора Альманси, характеризующим процесс разрушения в вершине трещины.
Геометрические и кинематические условия совместности
Целью данной работы является описание процессов деформирования и разрушения идеальных жесткопластических тел в условиях осесимметричной деформации. Формулировка подхода к определению констант разрушения на основе стандартных экспериментальных данных по одноосному растяжению цилиндрических образцов.
Содержание работы по главам распределяется следующим образом.
В первой главе рассматриваются общие вопросы теории идеального жесткопластического тела, приводятся основные уравнения теории осесимметричного течения. В качестве условия текучести принимается условие текучести Треска-Сен-Венана. Показано, что вдоль поверхности разрыва скоростей перемещений реализуется плоская деформация. Описан критерий выбора предпочтительного решения. В качестве критерия разрушения принимается деформационный критерий разрушения. Приводится вывод системы дифференциальных уравнений, описывающей процесс накопления пластических деформаций.
Во второй главе рассматривается одноосное растяжение полого цилиндра при разрывном поле скоростей перемещений, задача решена с учетом изменения геометрии свободной поверхности цилиндра. Исследуется неединственность решения задачи об одноосном растяжении полого цилиндра.
В третьей главе описана деформация сплошного цилиндра при одноосном растяжении как предельное решение задачи о растяжении полого цилиндра при стремлении радиуса внутреннего отверстия к нулю. Получено решение при однородном поле скоростей перемещений, при непрерывном неоднородном поле скоростей перемещений, а также с разрывным полем скоростей перемещений. Исследуется процесс накопления пластических деформаций при осесимметричном пластическом течении в однородном поле скоростей перемещений для задачи о растяжении цилиндра. Делается выбор предпочтительного решения из бесчисленного множества решений. Предпочтительным оказывается решение для однородного поля скоростей перемещений.
Четвертая глава посвящена разрушению цилиндрического образца при одноосном растяжении. Исследован процесс накопления деформаций в задаче о растяжении цилиндра с разрудіением. Предложен подход к определению констант разрушения. Определены основные константы разрушения для различных материалов. Установлена связь между традиционными характеристиками разрушения материалов (6 -относительное удлинение образца, гр— относительное сужение образца) и инвариантными тензорными характеристиками: Е„ - первым инвариантом тензора Альманси, характеризующим момент зарождения макротрещины, Е — первым инвариантом тензора Альманси, характеризующим процесс разрушения в вершине трещины.
Жестко пластическое тело можно рассматривать как предельный случай упруго-пластического. Однако модель жесткопластического тела, построенная непосредственно, обладает большим многообразием свойств по сравнению с жесткопластическим телом, рассматриваемым как предельный случай модели упругопластического тела.
Подобное обстоятельство следует из того, что модель идеального изотропного, " однородного жесткопластического тела можно рассматривать, как предельный случай не только для упругопластического тела, но и для упрочняющегося жесткопластического тела, вязкопластического тела и т.д., причем полученные таким образом предельные модели жесткопластического тела могут обладать, вообще говоря, различными свойствами. Модель жесткопластического тела, построенная непосредственно, обнаруживает многообразие свойств, соответствующих различным жесткопластическим телам [4].
В классической теории идеального жесткопластического тела связь между компонентами напряжений ац и компонентами тензора скоростей деформаций Єу определяется ассоциированным законом пластического течения:
Неединственность решения задачи об одноосном растяжении полого цилиндра
Модель идеального жесткопластического тела является предельной по отношению к другим более сложным моделям деформируемых сред (упрочняющему жесткопластическому телу, упругопластическому телу и т.п.) в рамках которых решение является, как правило, единственным. И этим моделям среди множества решений должно соответствовать некоторое предельное решение для модели идеального жесткопластического тела. Прямой предельный переход затруднен отсутствием точных решений для сложных моделей. Критерий выбора предпочтительного пластического течения должен быть сформулирован из общих термодинамических и экспериментальных закономерностей.
Одной из экспериментально замеченных закономерностей является осреднение деформаций в процессе пластического течения упрочняющегося материала [48], другими словами, в деформирование вовлекается максимально возможный объем деформируемого образца, что уменьшает максимальные деформации материала в процессе деформирования.
На основании этого формулируется критерий выбора ф предпочтительного решения и его развития: пластическое течение развивается таким образом, что максимальная деформация (Ei) минимальна infsupE,, (1.39) где Q - возможные пластические области для полных решений задачи, \Т dQ - возможные изменения пластической области при пластическом течении в данный момент времени.
Удельная диссипация энергии на поверхности разрыва скоростей перемещений взаимно однозначно связана с инвариантами тензора конечных деформаций Альманси, в частности, с первым главным значением: W2 4 Е -—IKF-1- (1-40) поэтому критерий (1.39) можно переформулировать: пластическое течение развивается таким образом, что максимальная удельная диссипация щ энергии в пластической области минимальна Возможны другие критерии выбора., 1.5 Полное решение
Построение полного решения задач в рамках теории жесткопластических тел связано с построением статически допустимого продолжения поля напряжений в жесткие области [70]. Общий метод построения был предложен в работе [62]. Основная идея этого метода основана на том, что, согласно первой теореме предельного равновесия [45], достаточно найти хотя бы одно статически допустимое продолжение поля напряжения в жесткую область. Для построения этого продолжения предлагается записать уравнения равновесия: аг dz г (142)
Уравнения (1.42) - (1.43) образуют замкнутую систему уравнений для определения поля напряжений в жесткой области.
Далее статистически допустимое продолжение предлагается строить так, чтобы оно было ограничено некоторой поверхностью 2, свободной от напряжений, целиком лежащей внутри жесткой области. Эта область считается условно находящейся в пластическом состоянии. Если такое построение возможно, то решение будет полным [62].
Важность полных решений определяется тем, что этим решениям соответствует физически приемлемое решение поставленной задачи, а мощность заданных поверхностных сил, вычисленная по полному решению, обладает свойством единственности [11].
Критерий разрушения В определяющие соотношения идеального жесткопластического тела (ассоциированный закон течения) входят две физические величины: тензор \J напряжений и тензор скоростей деформаций, определяющий изменение расстояния между частицами материала. Для построения теории разрушения на основе теории идеального жесткопластического тела в критериях разрушения должны быть включены именно эти величины, их производные по времени и по пространственным координатам, а также некоторые геометрические параметры, характеризующие размеры и геометрию трещины и тела. Данный подход был сформулирован в работе [53].
Предположим, что в теле существует трещина конечных размеров (рис.5), свободная поверхность трещины 2 представляет собой кусочно-гладкую поверхность, отдельные гладкие части 2,-(t) которой, пересекаясь, образуют вершину трещины (точка А). Как правило, разрушение материала происходит в окрестности вершины трещины; свободная поверхность 2,(t) изменяет свое
У положение в процессе деформирования тела, и вершина трещины описывает некоторую Рис-5 траекторию. Изменение границ трещины может быть связано с двумя процессами: течением материала, описываемого в рамках теории жесткопластического тела с учетом изменения геометрии свободной поверхности без нарушения сплошности среды, и течением материала с разрушением в некотором направлении m. Для разделения этих двух процессов необходим критерий разрушения, кроме того, необходимо определить направление нарушения сплошности. Условие разрушения и направление разрушения, вообще говоря, определяются многими параметрами: истррией деформирования, полями скоростей, ускорений, напряжений, деформаций и т.д.
Накопление пластических деформаций в однородном поле скоростей перемещений при одноосном растяжении цилиндра
Рассмотрим одноосное растяжение сплошного цилиндра из идеального жесткопластического материала в условиях осесимметричной деформации. Растяжение происходит при кинематических граничных условиях, когда верхний и нижний концы цилиндра движутся вдоль оси z со скоростью V=l, соответственно, вверх и вниз (рис. 14).
Будем предполагать, что пластическая область сосредоточена в треугольнике ВОС, область выше линии ОВ и ниже линии ОС движется как жесткое целое, свободная поверхности ВС, образующая которой была в начальный момент времени прямой линией, искривляется и приобретает форму «шейки». Жесткопластические границы ОВ и ОС являются при этом поверхностями разрыва скоростей перемещений.
Уравнения (1.12) и (1.14) в точке г = 0 неопределенны, поэтому решение задачи о Рис.14 растяжении сплошного цилиндра рассматривается как предельное решение задачи о растяжении полого цилиндра при стремлении радиуса внутреннего отверстия к нулю. ,
Особый интерес представляет процесс накопления деформаций для частиц материала расположенных на оси г. Частицы, находящиеся на оси г, накапливают наибольшие деформации, поэтому этот процесс накопления деформаций может влиять на последующее разрушение материала. Поверхности скольжения пересекают ось г, при осесимметричной деформации, под углом 7г/4. Тензор скоростей деформаций для частиц, расположенных на оси г (рис. 12а) имеет вид:
Скорости перемещений: Vz=0, Vr — определяется численно, и частицы расположенные на оси г в начальный момент времени всегда остаются на этой оси. Первое главное направление тензора скоростей деформаций е всегда направлено вдоль оси z и поэтому будет совпадать с первым главным направлением тензора Альманси Еу в течение всего времени деформирования цилиндра.
Наибольшие деформации получает материал, находящийся на оси г, поэтому в дальнейшем рассматривается накопление деформаций только для частиц на оси г. Деформация этих частиц складывается из двух частей: деформаций накопленных в непрерывном поле скоростей перемещений и деформаций, получаемых частицей при переходе частицы через поверхность разрыва скоростей перемещений.
Деформации частиц накопленных в непрерывном поле скоростей перемещений могут быть рассчитаны численно путем интегрирования компонент тензора скоростей деформаций вдоль траектории движения частицы (по оси г), т.к. эти частицы находятся в условиях простого нагружения:
Для вычисления накопления деформаций, получаемых частицей на двух этапах деформирования, используется связь между тензором конечных деформаций Альманси и тензором дисторсии:
Учитывая, что тензор дисторсии для частиц находящихся на оси г имеет вид: Значения С, отличные от нуля, соответствуют значениям w, равным бесконечности. в начале координат О, если двигаться к этой точке в направлении ВО. Поэтому постоянную С нужно принять равной нулю. Далее, u = w = 0 на OB, а и и w непрерывны при переходе через ОВ.
Уравнение несжимаемости и уравнение изотропии не содержат характерного размера, и, учитывая граничные условия на ОА и ОВ, заключаем, что скорость в точке Р зависит только от угла между ОР и осью г. Обозначив этот угол через ці, имеем
Подстановка в систему равнений Q.1) показывает, что функции f и g удовлетворяют уравнениям где штрих означает дифференцирование по \\f. Решение этих уравнений, удовлетворяющее граничным условиям f = g = 0 при \у = 7г/4 и g = 1 при ці = 0, будет 2 д/cos где значения функции arctg лежат между 0 и тс/2. Кривые зависимости f и g от угла VJ/ показаны на рис.14. При \J/- TC/4 значения f и g стремятся к функции А укІА — \j7/тс. При переходе через ОВ скорость непрерывна, а при подходе к ОВ снизу скорость деформации сдвига стремиться к бесконечности.
Перемена знаков составляющих описываемого поля скорости дает поля скорости, относящиеся к течению растянутого цилиндра. Следовательно, согласно решению Шилда, для растянутого цилиндра поле скоростей перемещений имеет вид:
Процесс накопления деформаций в задаче о растяжении цилиндра с разрушением
Экспериментально известно, что большинство металлов и сплавов удлиняются равномерно только в первой стадии пластического растяжения. Начиная с некоторого момента, пластическая деформация локализуется на некотором участке рабочей длины образца и дальше, пластическая деформация продолжается уже только на этом участке, образуя шейку, в то время как остальные, сечения остаются практически неизменными [49]. Естественно предположить, что образование шейки связано с появлением макротрещины; т.е. деформация цилиндра на первом этапе происходит при однородном поле скоростей перемещений, а на втором этапе, при возникновении на оси цилиндра макротрещины, решение для непрерывного поля скоростей деформаций не возможно и развитие пластического течения описывается разрывным полем скоростей перемещений.
Рассмотрим сплошной цилиндр из идеального жесткопластического материала подвергнутый одноосному растяжению в условиях осесимметричной деформации. Растяжение происходит при кинематических граничных условиях, когда верхний и нижний концы цилиндра движутся вдоль оси z со скоростью V, соответственно вверх и вниз (рис.17).
Будем предполагать, согласно [53], что разрушение материала происходит при достижении деформаций определенной величины, характеризуемой первым главным значением тензора Альманси (1.31).
Предположим, что трещина начинает развиваться с оси цилиндра, при осесимметричной деформации направление развития трещины будет совпадать с осью симметрии (рис.17).
Расчеты деформирования цилиндра с учетом разрушения и изменения геометрии показывают, что деформации частицы при пересечении поверхности разрыва скоростей перемещений значительно превышают деформации частицы во внутренних точках пластической области (например, частица проходя путь вдоль оси г до т. О накапливает деформации Е 1=0.086, а частица проходя поверхность разрывов скоростей перемещений сразу достигает деформаций Е,= V2-1). В связи с этим замечанием рассмотрим упрощенный процесс разрушения цилиндра при предположении, что материал до попадания в вершину трещины практически не деформировался (Ец=0).
Рассмотрим деформацию цилиндра с разрушением, предполагая, что разрушение определяют только деформации на поверхности разрыва скоростей перемещений.
В этом случае интегрирование уравнений (2.3) при граничных условиях (2.4), например, вдоль поверхности ОВ приводит к соотношению: [vtHu]=vj, где p — координата положения вершины трещины на оси г. На поверхности ОВ:
Главные значения тензора конечных деформаций Альманси взаимно однозначно связаны с удельной диссипацией энергии следующим соотношением: p=-w Из (4.1)- (4.2) и (1.39) следует, что наибольшее значение Ej и наибольшая диссипация энергии происходит в частицах пересекающих линии разрыва скоростей перемещений ближе к оси цилиндра и достигает максимального значения в вершине трещины. Скорость движения вершины трещины связана с величинами G и W соотношениями:
Величины (4.5) не зависят от р. При р—»0 значения (4.5) будут соответствовать сплошному цилиндру, т.е. наибольшие деформации (и удельная диссипация энергии W) будут испытывать частицы находящиеся на оси цилиндра, поэтому предположение о том, что разрушению будут подвергаться частицы расположенные в окрестности оси цилиндра, является обоснованным.
Из соотношений (4.3) - (4.5) критериев (1.39), (1.40) следует, если материал не разрушается при W =2 или Е, = V2 -1, то разделение цилиндра на две части будет описывать процесс «вязкого» разрушения цилиндра. Конечная площадь поперечного сечения цилиндра будет равна нулю (F=0).
Похожие диссертации на Деформация и разрушение жесткопластических тел в условиях осесимметричной деформации
