Содержание к диссертации
Введение
2. Влияние неоднородного нестационарного температурного поля на характер деформированного состояния пластически сжимаемой среды 15
2.1. Одномерная задача уплотнения материала в условиях нестационарного температурного поля 15
2.2. Качественное исследование одномерной задачи процесса ГИП 26
2.3. Аналитическое решение задачи уплотнения в нестационарном неоднородном температурном поле 35
2.4. Численное решение задач прессования порошковых материалов в условиях нестационарного неоднородного температурного поля 40
2.5. Некоторые особенности процесса деформации порошковых материалов в условиях неоднородного нестационарного температурного поля 44
3. О характере напряженно-деформированного состояния порошковых материалов в плоской осесимметричной задаче при наличии неподвижных границ 53
3.1.0 характере напряженно-деформированного состояния в плоской осесимметричной задаче при наружном прессовании в окрестности неподвижной границы 53
3.2. Особенности деформированного состояния при неподвижной внешней границе 60
3.3. Характер напряженно-деформированного состояния вдали от неподвижных границ... 62
4. Влияние закладных элементов на характер процесса деформации в пластически сжимаемой среде 67
4.1. Влияние свойств закладного элемента на характер процесса деформации в плоской осесимметричной задаче прессования пластически сжимаемых сред 67
4.2. О влиянии закладного элемента на процесс деформации в осесимметричной задаче процесса ГИП 75
4.3. Деформация вала при нанесении порошкового покрытия 96
Выводы 112
Список литературы 113
- Качественное исследование одномерной задачи процесса ГИП
- Аналитическое решение задачи уплотнения в нестационарном неоднородном температурном поле
- Особенности деформированного состояния при неподвижной внешней границе
- О влиянии закладного элемента на процесс деформации в осесимметричной задаче процесса ГИП
Введение к работе
В настоящее время все большее значение приобретают изделия, обладающие высокими эксплуатационными характеристиками. Это обусловлено существенным прогрессом в развитии техники, когда материалы традиционного качества перестали удовлетворять все более возрастающим требованиям конструкторов. Существенно расширились области применения техники, возросли требования к ее качеству, надежности, рентабельности, экологичности и многим другим параметрам. Использование при изготовлении техники принципиально новых материалов зачастую не оправдано экономическими и техническими соображениями. В то же время использование современных методов обработки тех же материалов, что использовались раньше, может дать прирост необходимых характеристик без приложения колоссальных финансовых затрат.
Одним из современных методов обработки материалов является порошковая металлургия. Она позволяет получать изделия, обладающие высокими эксплуатационными характеристиками и, в то же время, получать существенную экономию исходного материала. Но, как и везде, здесь тоже есть свои недостатки. Основным из них является трудность последующей обработки изделия, а иногда и невозможность таковой в силу специфики изделия. Поэтому основной задачей порошковой металлургии является достижение как можно более высокой точности геометрии изделия. Эта задача обуславливается еще и высокой стоимостью исходного материала, что с учетом больших габаритов современных изделий образует весьма значительные суммы. Высокой стоимостью обуславливается и невозможность проведения большого количества предварительных экспериментов по подгонке геометрии изделия к требуемым рамкам.
Традиционным методом получения изделий в порошковой металлургии является горячее изостатическое прессование (ГИП) порошковых материалов. Процесс ГИП представляет собой высокотемпературное (порядка 1000 С)
4 уплотнение порошковых материалов под действием внешнего давления (порядка 1000 атмосфер). Заготовка для процесса ГИЛ представляет собой капсулу, заполненную порошковым материалом и, в случае необходимости, расположенными в определенных местах закладными элементами, которые в дальнейшем удаляются из готового изделия, оставляя пустоты необходимой формы. В ходе процесса ГИП заготовка искажается, принимая форму изделия. Именно сложность моделирования процесса искажение заготовки создает трудности получения изделия требуемой геометрии.
В связи с перечисленными выше трудностями возникает необходимость предварительного расчета геометрии полученного изделия, которое можно осуществить методами математического моделирования. В самом общем виде постановку задачи математического моделирования процесса ГИП можно сформулировать следующим образом: требуется спроектировать капсулу таким образом, чтобы конечная форма порошкового монолита, полученного после удаления капсулы, удовлетворяла требуемой геометрии. Отметим, что в силу специфики использования таких изделий, эти требования бывают достаточно жесткими.
Проблема математического моделирования процесса ГИП характерна для проблемы описания поведения материалов за пределом упругости. Она связана с точностью самих определяющих соотношений. Их точность, как правило, не позволяет достичь необходимой точности в реальном изделии. Особенность моделирования процесса ГИП состоит в том, что очень точно известен конечный объем изделия. Поэтому ошибка в одном размере влечет ошибку в других размерах.
В этих условиях реальный процесс налаживания производства изделий порошковой металлургии состоит в экспериментальных итерациях, когда после каждой попытки вносятся уточнения в форму капсулы или саму модель. При этом нормальным считаются две-три предварительные попытки. Очень важно уже на первой итерации получить близкое значение конечной формы.
В связи с выше сказанным, необходимо отдельно отметить роль аналитического исследования подобных задач, поскольку с точки зрения практической применимости аналитическое исследование само является приближенным из-за тех погрешностей, которые присутствуют в самих определяющих соотношениях. Роль аналитического исследования состоит в выяснении характера влияния тех или иных параметров на процесс деформации и конечную форму. Это важно на стадии подготовки первой экспериментальной итерации и особенно важно на стадии уточнения параметров после первой экспериментальной итерации.
Работа посвящена аналитическому исследованию двух моментов:
Первый из них связан с тем, что неуплотненный порошок имеет малый коэффициент теплопроводности. Поэтому на начальном этапе процесса прессования деформируется только небольшой слой, непосредственно прилегающий к капсуле. Это вносит свои особенности в конечный результат процесса.
Второй момент связан с исследованием некоторых аспектов влияния закладных элементов на общий характер процесса. Влияние закладных элементов может проявляться, как показано в работе, в образовании недеформируемых зон в порошке на начальном этапе процесса. Некоторые особенности поведения порошка проявляются у границ закладных элементов с большой радиальной жесткостью.
Все эти особенности необходимо учитывать в процессе построения математической модели и в процессе ее уточнения на основании изготовления опытных образцов.
1. Обзор литературы
Как сказано, во введении, в идеале задачей математического моделирования процесса ГИП является следующая: требуется спроектировать такую капсулу и закладные элементы, чтобы по завершению процесса монолитное порошковое изделие приняло необходимую геометрическую форму.
Отметим, что под капсулой понимается некоторый металлический контейнер, в который помещается порошковый материал. В процессе ГИП капсула деформируется вместе с порошковым материалом. После окончания процесса капсула удаляется химическим или механическим путем. Фактически, капсулу можно рассматривать как инструмент одноразового использования.
Под закладным элементом понимается некоторый сплошной (как правило металлический или керамический) образец, помещенный в порошковый материал. Он также деформируется вместе с порошковой средой. После ГИП он удаляется тем или иным путем. Его назначение состоит в том, чтобы после удаления в монолите образовалась полость нужной формы.
Проблемы, возникающие при математическом моделировании процесса ГИП, подробно, например, изложены в [1], перечислим эти проблемы.
Первая: для процесса ГИП характерны большие деформации (начальная плотность порошка примерно 65% от плотности монолита), математически это означает, что определяющие соотношения будут нелинейными, а граничные условия ставятся на переменной во времени границе. Эти требования порождают известные трудности математического моделирования процесса.
Вторая проблема более принципиальная: это трудность построения определяющих соотношений (под определяющими соотношениями мы понимаем соотношения, определяющие связь тензора напряжений в среде с параметрами, характеризующими состояние среды).
Эта проблема характерна для всех задач механики деформируемого твердого тела, исследующих его поведение за пределом упругости [2-5].
7 Поскольку любые определяющие соотношения будут приближенными, тогда даже если исключить математические проблемы, любой расчет будет носить приближенный характер. Поэтому реальный процесс изготовления порошковых изделий на практике является итерационным процессом, схема которого изложена в [6]. Его суть состоит в следующем: строится математическая модель, на основании этой модели проектируется капсула, изготавливается изделие. Его параметры сравниваются с требуемыми, на основании этого сопоставления проводится уточнение математической модели. Этот метод является некоторым аналогом метода СН-ЭВМ, предложенного А.А. Ильюшиным в [2]. Поэтому приемлемой математической моделью процесса ГИП считается модель удовлетворяющая следующим требованиям:
Она дает близкое первое приближение;
Правильно учитывает влияние параметров;
Позволяет вносить изменения в параметры модели на основании результатов эксперимента, и в случае необходимости вводить дополнительные параметры.
Обычно для запуска изделия в производство требуется 2-3 экспериментальные итерации [6].
Существуют различные подходы по описанию поведения порошковой среды, некоторые из них (см., например, [12]) рассматривают среду как дискретную. При таких подходах, рассматривая взаимодействие отдельных частиц, необходимо учитывать эффекты, возникающие на поверхности их взаимодействия [13-15]. Чаще порошковый материал рассматривается как единый континуум, поскольку в процессе ГИП нас интересуют кинематические аспекты поведения, а как показано в [16-19], кинематические аспекты поведения порошковых материалов не отличаются существенно от поведения сплошных сред.
Используемые определяющие соотношения для порошковых материалов обладают одним существенным отличием от используемых в классических теориях пластичности [2-5] или используемых в работах по обработке металлов
8 давлением [7], поскольку эти работы исходят, как правило, из малых объемных деформаций или равенства их нулю. Для порошковых материалов объемная деформация (или эквивалентные параметры: относительная плотность, пористость) является важным параметром, характеризующим состояние среды. Вместе с тем, необходимо отметить, что реальный интерес при описании процесса ГИП представляет как раз сдвиговая часть тензора деформаций. Поскольку целью ГИП является получение монолитного изделия, а начальную плотность можно определить с высокой степенью точности, то объемную составляющую тензора деформации можно считать известной. Время процесса уплотнения достаточно точно (при известной температуре и давлении) может быть определено по диаграммам уплотнения [8-11] (диаграмма Эшби).
Различные модели, описывающие поведение пластически сжимаемых сред представлены в работах Друянова Б.А. [20], Грина Р. Дж [21], Штерна МБ. [22-23], Перельмана В.Е. [24], Александрова СЕ. [25] и других.
В большинстве моделей для построения определяющих соотношений используется ассоциированный закон течения. Для описания уравнения поверхности текучести обычно используется уравнение вида: f(a,s2,Mk) = 0,
здесь а - это первый инвариант тензора напряжений <т = -сг„., as2- обычно
второй инвариант девиатора тензора напряжений: s2 =-5^, (S0 = сг. -otiv}, Мк
- некоторые другие параметры.
Различные уравнения поверхности текучести для порошковых материалов представлены в [20], [22-23], [24], [26-31].
Для учета возникающей в процессе ГИП анизотропии свойств используются уравнения поверхности текучести, приведенные в [32-33]. Отметим, что анизотропию процесса деформации на начальном этапе определяет форма капсулы. Для изотропных пористых тел, при отсутствии влияния деформационной анизотропии, используется условие текучести Грина или эллиптическое условие текучести [20-22], которое записывается в виде:
2 2 с 2
a +as = 5
где <т - первый инвариант тензора напряжений, s2 - второй инвариант девиатора тензора напряжений, а, 8 - экспериментальные или теоретические функции относительной плотности р, as - предел текучести монолита.
Фактически, <у\
' - ' \ \os = a's (р) можно интерпретировать как текущее а(р)
значение предела текучести пористой среды как функцию плотности. Подобное разделение вызвано тем, что функции 5(р) и а(р) являются функциями
геометрии гранул и для одних и тех же типов гранул их с достаточной степенью точности можно считать универсальными функциями.
Отметим, что исторически первым это условие было предложено в работах В.Р. Скорохода [34-35].
Во многих работах [36-44] это уравнение записывается в эквивалентном
виде:
a2 s2 2 /2 /1
где а - первый инвариант тензора напряжений, s2 - интенсивность девиатора тензора напряжений, fv f2 - функции относительной плотности р. Характерный вид функций fx (р) и /2 (р) представлен на рисунке. Введением функций f{ (р) и f2 (р) некоторым образом разделяются объемные и сдвиговые свойства порошковой среды.
Мр) ф і
Mp)
A\
>
Рис. 1.
Функция /j(p) возрастает с ростом относительной плотности р и стремится к 1 при р стремящемся к единице. Функция f2(p) также возрастающая функция. Она стремится к бесконечности при р, стремящейся к единице.
Эксперименты и методики для определения вида функций fx (р) и /2 (р)
или им эквивалентных приведены в работах [45-50]. Влияние капсулы на результаты эксперимента исследовано в [51].
Анализ литературных источников показывает, что единой точной зависимости Для всех типов порошков, которая точно описывала бы их поведение, не существует. Используемые единые зависимости соответствующих функций от относительной плотности позволяют анализировать качественные аспекты поведения и в ряде случаев могут быть использованы для построения первых приближений модели.
В работах [38-44] уравнение поверхности текучести используется в виде:
где /, - первый инвариант тензора напряжений,
J2 - интенсивность девиатора тензора напряжений,
v - аналог коэффициента Пуассона, (v считается известной функцией р).
Ф(р) - называется «Фактор интенсификации напряжений».
На основании экспериментальных данных в этих работах показано, что с
некоторой степенью точности v{p) может быть представлена в виде v(p)=-p2.
Относительно Ф(р) существуют теоретические представления, которые
приведены в работах [59-60].
Анализ, проведенный в работах [38-44], показывает, что истинное значение
функции Ф(/э) лежит между теоретическими кривыми.
В некоторых из указанных работ исследуется анизотропия свойств материала, возникающая в процессе деформации. Авторы этих работ вводят понятие «areal density». Формально оно вводится следующим образом: на срезе берется отношение площади пор к общему размеру сечения, разница между единицей и полученной величиной называется «areal density». Авторы на основании экспериментальных данных делают вывод о существовании универсальной зависимости Ф(р), если в качестве р принимать значение «areal
density». Хотя такое определение вызывает ряд вопросов, здесь важен скорее вывод о том, что существует некоторая интегральная характеристика деформации каждого сечения, с помощью которой может быть описана картина анизотропии свойств.
Отметим, что для описания процесса ГИП в неоднородном температурном поле существенную роль играет зависимость предела текучести от температуры, а также сильная зависимость коэффициента теплопроводности от плотности. В таких условиях в порошковой среде возникает своеобразный фронт уплотнения, отмеченный в работах Самарова В.Н. и Друянова Б.А. [61].
В настоящей работе для построения определяющих соотношений принято эллиптическое условие текучести без учета влияния реологических свойств.
Причины возможности такого подхода изложены в работах [1, 6]. Суть состоит в следующем. В большинстве задач исследования процесса ГИП целью является получение конечного монолитного изделия нужной геометрической формы. Промежуточные этапы процесса представляют меньший интерес. Как
12 показывает практический опыт (об этом указано в [1, 62]), основные неоднородности поля деформаций и трудноустранимые дефекты конечной формы закладываются на начальной стадии процесса, то есть при относительно низких температурах, когда влияние эффектов диффузии и ползучести проявляется слабо.
Общие подходы к математическому моделированию процесса ГИП изложены в [63-67,1].
Фактически ключевыми в математическом моделировании являются две задачи. Условно их можно назвать первая и вторая обратные задачи ГИП.
Первая задача - это по заданной форме конечного изделия спроектировать капсулу.
Вторая - на основании экспериментальной итерации и известных погрешностей конечной формы внести такие изменения в форму капсулы, которые приведут к более точной конечной форме изделия.
Ввиду трудностей аналитического решения задач подобного рода задач для их решения используются численные методы. Основными численными методами решения подобных задач являются разностные методы, метод конечных элементов, метод крупных частиц [68 - 76].
Большинство численных методов построены по схеме, аналогичной методу упругих решений [77]. Суть применяемых методов состоит в следующем. Весь процесс разбивается на шаги, напряженно -деформированное состояние на каждом шаге определяется путем некоторого итерационного процесса. При этом на каждом шаге итерации решается некоторая упругая задача. После ее решения уточняются некоторые упругие параметры. Решение повторяется до сходимости. Примеры решения задач подобного рода и схемы алгоритма приведены в [76-83], [83-85], [86-87].
Отметим, что интересный способ «размазывания» закланных элементов и рассмотрения среды в целом с другой плотностью предложен в [88, 1,6].
Некоторые вопросы устойчивости поведения пластически сжимаемых сред рассмотрены в работах [92], [95].
Существенной особенностью порошковых материалов является тот факт, что неуплотненный порошок обладает низким коэффициентом теплопроводности. В процессе уплотнения он меняется на два порядка. С другой стороны предел текучести монолита в интервале температур, характерных для процесса ГИЛ меняется в десятки раз.
В итоге это приводит к тому, что на начальной стадии процесса прессования деформируется только слой, прилегающий к границам капсулы. Это накладывает свой отпечаток на итоговую картину деформации. Этот вопрос является предметом исследования работы.
Второй существенный вопрос - характер влияния закладных элементов на общую картину деформации. Первоочередного исследования для осесимметричных задач требуют следующие два аспекта влияния закладных элементов с большой радиальной жесткостью.
Первый - это тот факт, что на начальном этапе процесса ГИП закладные элементы такого плана могут "экранировать" поле напряжений в среде, что приводит к тому, что часть среды остается до определенного момента не деформированной.
Второй - это характер самого процесса деформации среды в окрестности границ таких элементов.
Особенность деформированного состояния на начальном этапе была показана в работе [90, 94]. Результаты этой работы требуют детального исследования качественного характера процесса деформации и характера неоднородного напряженного состояния, создаваемого закладными элементами.
Во второй главе представленной работы исследуется влияние неоднородного нестационарного температурного поля на характер деформирования порошковой среды. Показано, что существенная зависимость предела текучести от температуры и коэффициента теплопроводности от плотности приводит к образованию фронта уплотнения, который характеризуется значительными градиентами плотности.
В третьей главе исследован аналитически характер процесса деформации порошкового материала в окрестности неподвижного закладного элемента. Полученные результаты свидетельствуют о том, что процесс деформации в этой области близок к одномерному сжатию.
В четвертой главе работы аналитическими методами исследован вопрос о зависимости характера деформированного состояния от свойств закладного элемента. Показано, что при определенных условиях на начальном этапе процесса закладной элемент может экранировать поле напряжений, оставляя внутреннюю область недеформированной. Выявлена принципиальная возможность при определенных свойствах закладного элемента создавать деформированное состояние, близкое к плоской деформации. Последнее важно в плане исследования возможности создания капсулы направленного действия для радиальной усадки.
Качественное исследование одномерной задачи процесса ГИП
Общая постановка задачи определяется соотношениями (2.1.6-2.1.8) Из уравнения равновесия для одномерной постановки имеем: где Р - внешнее давление; crs(T) - предел текучести монолита, который является известной функцией температуры; А и В - известные функции относительной плотности р и выражаются с помощью функций fx{p) и /2(р) Данное уравнение позволяет определить, как функцию координат плотность при известных значениях внешнего давления Р и закона распределения температуры Т. Функции fx(p) и /2(р) определяются экспериментально.
Они также представляются в виде: 9 З Прежде, чем перейти к дальнейшему исследованию, отметим некоторые характерные свойства функций fx{p) и /2(р), используемых для описания свойств порошкового материала [38]: где У(Р) - аналог коэффициента Пуассона, который, как показано в [40] для широкого класса материалов неплохо аппроксимируется соотношением: v = — 2 у/{р) - функция, определяемая экспериментально, в литературе [40] называется "фактор интенсификации напряжений" Про нее известно, что данная функция монотонно возрастает с ростом относительной плотности и (1) = 1.
Довольно часто для исследования применяется аппроксимация вида у/ (р) = рт. Выражение для Л(р) обычно принимается в виде: где Хт - коэффициент теплопроводности монолита, Я0 - коэффициент теплопроводности порошка при начальной плотности засыпки р0 « 0,6 Отметим, что Я0 «: Ят, поэтому выражение для Я(р)— может быть для Ро качественного анализа представлено в виде: где р » 1, g,(p) - функция, имеющая производную, порядка единицы и (Л И-В Лагранжевои системе координат уравнение теплопроводности запишется в виде: - теплоемкость единицы массы монолита, Я(р) - коэффициент теплопроводности, зависящий от плотности. Начальные и граничные условия для уравнения (2.2.3) в данной постановке имеют вид: Рассмотрим наиболее интересный случай, когда внешнее давление мало для деформации порошка при начальной температуре, но достаточно для его деформации при температуре Тх. Это соответствует неравенствам: Температуру, при которой начинается процесс уплотнения порошка обозначим Ти. Данная температура определяется уравнением: Т — Т Введем безразмерную температуру в = , тогда Г = 7 + 0(7]-Го). Т -Т Обозначим ви = ——-. Тх-Т0 Для в уравнение (2.2.3) примет вид: с условиями: 0 = 0 при / = 0, х 0 в = 1 при х = 0 Функцию сгДГ) будем рассматривать как функцию вида: где к{в) - монотонно убывающая функция, /z(0)=l и h{\) & 1. Через р1 обозначим решение уравнения: Jbii Cvpvp0 Тогда система уравнений для определения вир примет вид: с условиями
Аналитическое решение задачи уплотнения в нестационарном неоднородном температурном поле
Цель исследование состоит в получении аналитических решений задач уплотнения при некоторых специальных видах представления экспериментальных функций, которые качественно верно отражают характер их поведения. Входящая в соотношения (2.2.1) функция у2{р) фактор интенсификации напряжений, определяется экспериментально. Про нее известно, что данная функция монотонно возрастает с ростом плотности и Представим ее в виде: Подобное представление верно учитывает все качественные особенности поведения данной функции. Относительно зависимости JS от температуры известно, что эта функция убывает. Поэтому примем для качественного анализа зависимость вида: При использовании безразмерной температуры в эта зависимость определяется соотношением: Тогда, поскольку при принятой аппроксимации функции у/(р) имеем: то уравнение для определения плотности как функции температуры и давления имеет вид: Температура начала уплотнения 0U определяется соотношением: Тогда выражение для зависимости плотности от безразмерной температуры представляется соотношением вида: Используя (2.2.2, 2.3.1), получаем следующую зависимость для коэффициента теплопроводности: Тогда, используя автомодельный характер решения, уравнение для определения 0(Z) (2.2.6) примет вид: с условиями: 0 = 1 при Z = 0 Для дальнейшего исследования удобнее ввести величину вх=0-ви. Обозначим 0 = 1-0. Вместо неизвестной функции 0, (Z,) будем искать обратную функцию Zfo). Согласно (2.2.12) имеем: Полученные соотношения сходятся достаточно медленно, но являются приемлемыми для качественного анализа. Заметим, что если ограничиться тремя первыми членами разложения и пренебречь малыми, то: Поставим вопрос несколько иначе. Каков должен быть характер зависимости коэффициента Я от температуры, который бы обеспечивал решение вида (2.3.5). Используя (2.3.4) и учитывая, что /? »1, получаем: Для такого вида зависимости полученное решение будет практически точным в предположении Р » 1. Сжатие холодного слоя постоянным давлением с нагревом на концах. Будем считать, что толщина слоя равна 2h, а нагрев и сжатие происходят с обоих концов. Поведение слоя будем исследовать в Лагранжевой системе координат [106]. Пусть Z - начальное положение соответствующей точки. Для определения температуры имеем уравнение теплопроводности: С начальными условиями / = 0: И граничными условиями: Предполагаем, что на торцах приложены напряжения JX =-F(Z). Тогда плотность определяется уравнением (2.1.6). Рассмотрим наиболее интересный случай, когда: Это означает, что приложенных напряжений достаточно для деформации нагретой части слоя, холодная же часть останется недеформированной Обозначим Ти, температуру, при которой начинается процесс деформации, определяемую соотношением: Это соответствует плотности р = 0,9 при 0 = 1 и начальной плотности р0 = 0,6 при 0 = 0,6. Ниже показано распределение плотности для различных значений безразмерного г.
Особенности деформированного состояния при неподвижной внешней границе
Рассматривается плоская осесимметричная задача прессования при неподвижной внешней границе. Как и в случае внешнего прессования в окрестности неподвижной границы: Существенным является, в отличие от задачи наружного прессования, тот факт, что плотность возрастает при удалении от границы. Это означает, что на начальном этапе процесса деформация локализуется на внутренней границе, и, только последовательно развиваясь, зона деформации достигает неподвижной внешней границы. Соответственно скорость перемещений определяется соотношением (3.1.15): То есть скорость положительна. Отметим, что до того момента, пока деформация не достигла наружного контура, приведенные соотношения (3.2.1, 3.2.2) не верны, поскольку зона деформации еще не достигла контура г = R. Предположим, что начальный внутренний радиус порошкового слоя r = RQ, который изменяется в процессе деформации. Пусть Rc - глубина проникания процесса деформации. Тогда в соотношениях (3.2.1, 3.2.2) можно положить pg= р0. Следовательно: Получаем: Полученное соотношение определяет Я, как функцию глубины проникания деформации. Отметим, что на начальном этапе процесса Rl«Rc R0. Обозначим: То есть глубина проникания деформации А/?с имеет порядок jR0ARl ПО сравнению с перемещением внутренней границы. А это означает, что перемещения внутренней границы являются бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с глубиной проникновения деформации. Сильная неоднородность деформации сосредоточена в окрестности неподвижной границы.
Вдали от границы следует ожидать, что — достаточно Проведем оценку характера изменения плотности с учетом (3.3.2). Уравнение неразрывности (3.1.4) с учетом (3.3.2) запишется в виде: 64 Поскольку начальная плотность /?»0,6, то 8 изменяется в интервале О 8 0,8. Соответственно у/0 є (0; 0,675). Рассмотрим выражение: sin и/ g(QW) = J1±e 5{е5 -е5) smy/ при изменении ц/ в интервале 0 у/ у/0. Значение g(y/0 ,y/) при этом изменяется в интервале (g(y/o ,0) ,g(y/0 ,y o)). При этом: о о) = 0 82пРи = 0,8 Поскольку нашей основной целью является исследование качественного характера зависимости, то приближенно можно принять: r2-v2 fR2 где/?2 = 0,76. Следовательно: V=. JR2 Из условия: Для определения закона распределения плотности, как функции координат, имеем: Следовательно: Введем характерную плотность р - плотность на бесконечности р = /?0е2 . Тогда закон распределения плотности можно представить в виде: Поскольку, пренебрегая изменением плотности в уравнениях равновесия, мы фактически пренебрегали значением — по сравнению с ——-, то полученные соотношения показывают обоснованность этого предположения при больших г (z «: 1). Выводы по результатам главы 3. 1. Показано, что в окрестности неподвижного закладного элемента возникает деформированное состояние, близкое к одноосному сжатию. Получено аналитическое соотношение, характеризующее распределение плотности в окрестности неподвижной границы. 2. Решение задачи о внутреннем прессовании цилиндрического порошкового слоя показывает, что на начальном этапе процесса деформация локализуется в окрестности внутренней границы.
О влиянии закладного элемента на процесс деформации в осесимметричной задаче процесса ГИП
Поэтому реальный процесс изготовления порошковых изделий на практике является итерационным процессом, схема которого изложена в [6]. Его суть состоит в следующем: строится математическая модель, на основании этой модели проектируется капсула, изготавливается изделие. Его параметры сравниваются с требуемыми, на основании этого сопоставления проводится уточнение математической модели. Этот метод является некоторым аналогом метода СН-ЭВМ, предложенного А.А. Ильюшиным в [2]. Поэтому приемлемой математической моделью процесса ГИП считается модель удовлетворяющая следующим требованиям: 1. Она дает близкое первое приближение; 2. Правильно учитывает влияние параметров; 3. Позволяет вносить изменения в параметры модели на основании результатов эксперимента, и в случае необходимости вводить дополнительные параметры. Обычно для запуска изделия в производство требуется 2-3 экспериментальные итерации [6]. Существуют различные подходы по описанию поведения порошковой среды, некоторые из них (см., например, [12]) рассматривают среду как дискретную. При таких подходах, рассматривая взаимодействие отдельных частиц, необходимо учитывать эффекты, возникающие на поверхности их взаимодействия [13-15]. Чаще порошковый материал рассматривается как единый континуум, поскольку в процессе ГИП нас интересуют кинематические аспекты поведения, а как показано в [16-19], кинематические аспекты поведения порошковых материалов не отличаются существенно от поведения сплошных сред. Используемые определяющие соотношения для порошковых материалов обладают одним существенным отличием от используемых в классических теориях пластичности [2-5] или используемых в работах по обработке металлов давлением [7], поскольку эти работы исходят, как правило, из малых объемных деформаций или равенства их нулю. Для порошковых материалов объемная деформация (или эквивалентные параметры: относительная плотность, пористость) является важным параметром, характеризующим состояние среды. Вместе с тем, необходимо отметить, что реальный интерес при описании процесса ГИП представляет как раз сдвиговая часть тензора деформаций. Поскольку целью ГИП является получение монолитного изделия, а начальную плотность можно определить с высокой степенью точности, то объемную составляющую тензора деформации можно считать известной. Время процесса уплотнения достаточно точно (при известной температуре и давлении) может быть определено по диаграммам уплотнения [8-11] (диаграмма Эшби). Различные модели, описывающие поведение пластически сжимаемых сред представлены в работах Друянова Б.А. [20], Грина Р. Дж [21], Штерна МБ. [22-23], Перельмана В.Е. [24], Александрова СЕ. [25] и других. В большинстве моделей для построения определяющих соотношений используется ассоциированный закон течения. Для описания уравнения поверхности текучести обычно используется уравнение вида: f(a,s2,Mk) = 0, здесь а - это первый инвариант тензора напряжений т = -сг„., as2- обычно второй инвариант девиатора тензора напряжений: s2 =-5 , (S0 = сг. -otiv}, Мк - некоторые другие параметры. Различные уравнения поверхности текучести для порошковых материалов представлены в [20], [22-23], [24], [26-31]. Для учета возникающей в процессе ГИП анизотропии свойств используются уравнения поверхности текучести, приведенные в [32-33]. Отметим, что анизотропию процесса деформации на начальном этапе определяет форма капсулы. Для изотропных пористых тел, при отсутствии влияния деформационной анизотропии, используется условие текучести Грина или эллиптическое условие текучести [20-22], которое записывается в виде: где т - первый инвариант тензора напряжений, s2 - второй инвариант девиатора тензора напряжений, а, 8 - экспериментальные или теоретические функции относительной плотности р, as - предел текучести монолита. Фактически, у\ - \ \os = a s (р) можно интерпретировать как текущее а(р) значение предела текучести пористой среды как функцию плотности. Подобное разделение вызвано тем, что функции 5(р) и а(р) являются функциями геометрии гранул и для одних и тех же типов гранул их с достаточной степенью точности можно считать универсальными функциями. Отметим, что исторически первым это условие было предложено в работах В.Р. Скорохода [34-35].
