Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Обзор численных методов решения задачи динамики оболочечных конструкций 18
1.1. Обзор численных методов 18
1.2. Цель и задачи исследования 36
Глава 2. Основные соотношения нелинейной теории тонкостенных оболочечных конструкций (осесиммегризная деформация) 40
2.1. Расчетная схема конструкции. Основные гипотезы 40
2.2. Геометрические и физические соотношения для оболочечных элементов и колец 42
2.3. Условия неразрывности перемещений оболочечных и кольцевых элементов 47
2.4. Уравнения движения оболочечной конструкции 48
2.5. Канонические системы уравнений, описывающие поведение оболочечных элементов 51
Глава 3. Построение алгоритмов расчета предварительно напряженных оболочечных конструкций при осе-сшметричном статическом нагружении, гармоническом возбуждении и собственных колебаниях 54
3.1. Линеаризация геометрически нелинейных соотношений 54
3.2. Алгоритм решения одномерной краевой задачи теории оболочек 56
3.3. Анализ особенностей численного интегрирования системы уравнений, описывающих поведение предварительно сжатой цилиндрической оболочки. Оценка погрешности численного решения краевой задачи 63
3.3.1. Аналитическое решение 64
3.3.2. Апроксимация решения при интегрировании по Кутту-Мерсону. Погрешности апроксимации и округления 69
3.4. Односвязные оболочечные конструкции. Алгоритмы, основанные на методу ортогональной прогонки 75
3.5. Многосвязные конструкции. Алгоритмы, основанные на методе перемещений 76
3.5.1. Получение матрицы жесткости оболочечного элемента 78
3.6. Определение напряженно-деформированного состояния предварительно напряженной оболочечной конструкции при статическом нагружении и гармоническом возбуждении 80
3.7. Определение частот и форм собственных колебаний:! оболочечной конструкции 81
3.7.1. Процедура определения корней детерминантной функции 83
3.7.2. Об устойчивости процесса ортонормирования 89
Глава 4.. Построение алгоритма расчета предварительно напряженных конструкций на действие динамического напруження 92
4.1. Разложение решения в ряд Фурье по формам собственных колебаний 93
4.2. Решение консервативной задачи динамики ІС -ой формы собственных колебаний 94
4.3. Решение задачи динамики, учитывающее пропорциональное демпфирование 95
4.4. Определение динамического напряженно-деформированного состояния конструкции 99
4.5. Оценка погрешностей численной реализации алгоритма, основанного на методе Фурье 99
Глава 5. Решенение метода фурье для решения задач динамики оболочечных конструкций 103
5.1. Исследование динамики цилиндрической оболочки при действии осевых и поперечных ударных импульсов 103
5.2. Реакция защемленного в основании тонкостенного сферического купола большого подъема на действие импульса внутреннего давления и "набегающего" давления 130
5.3. Реакция замкнутой сферической оболочки с различными массами, сосредоточенными в ее полюсе, на действие импульса внутреннего давления 147
5.4. Поведение тонкостенного сферического сосуда, подвешенного на упругих экваториальных связях и имеющего оболочечные патрубки в полюсах, при действии импульса внутреннего давления 177
5.5. Сравнительная оценка областей применения двух алгоритмов динамического расчета оболочечных конструкций. О некоторых достоинствах алгоритма, основанного на методе Фурье 188
Основные результаты, выводы и ржшендации 195
Литература 197
- Геометрические и физические соотношения для оболочечных элементов и колец
- Апроксимация решения при интегрировании по Кутту-Мерсону. Погрешности апроксимации и округления
- Решение задачи динамики, учитывающее пропорциональное демпфирование
- Реакция замкнутой сферической оболочки с различными массами, сосредоточенными в ее полюсе, на действие импульса внутреннего давления
Введение к работе
Тонкостенные оболочечные конструкции, выгодно сочетающие в себе легкость и высокую общую жесткость, широко применяются в строительстве сооружений, машиностроении, авиастроении, ракетостроении и других отраслях техники(рис.ОЛ).Наиболее ответственным режимом работы таких конструкций во многих случаях является режим динамического нагружения. Эксплуатация сооружений при взрывных воздействиях технологического или аварийного характера, в условиях геологической и производственной сейсмики, а также эксплуатация изделий в условиях роста скоростей, энерговооруженности и постоянного изменения их конструктивных схем, обусловливают возможность разрушения конструкций от кратковременных интенсивных нагрузок. В связи с этим все большее значение в решении проблемы их прочности приобретают вопросы исследования нестационарных, нередко продолжительных по времени процессов.
Исследование динамической прочности тонкостенной конструкции сильно усложнено из-за густоты и нерегулярности спектра частот ее собственных колебаний, высокой чувствительности к изменению общей кривизны и небольшим локальным отклонениям ее параметров от их средних значений. Незначительное отклонение от расчетной схемы нередко приводит к труднопредсказуемым качественным изменениям характера работы конструкции. Одним из примеров тому является катастрофа, которая произошла в Англии в связи с разрушением трех градирен гшіерболоидной формы от воздействия ветра [42] , когда малое отклонение от заданной геометрии оболочек привело к качественному перераспределению усилий в них. Влияние малых отклонений наглядно иллюстрируется также сравнением результатов определения частот и форм собственных колебаний оболочек отрицательной кривизны, близких к цилиндрической, полученных в работе [107] . Можно привести
еще и множество других примеров, подтверждающих сказанное.
Большая техническая сложность и высокая стоимость динамических экспериментов, невозможность непосредственного измерения многих величин приводят к тому, что данные опытных измерений носят весьма ограниченный характер. С другой стороны, объем информации, который получается при расчете правильно смоделированной задачи, значительно полнее и существенно дещевле соответствующих экспериментальных исследований. Проведение численных экспериментов позволяет понять качественную картину влияния различных параметров и дать обоснованные рекомендации для проведения модельного или натурного эксперимента.
Динамический расчет составной тонкостенной конструкции, вследствие ее сравнительно низкой местной изгибной жесткости, должен производиться, как правило, с учетом взаимодействия всех ее элементов, при точном удовлетворении условий их сопряжения. Решение такой задачи для конструкций общего вида до появления электронно-вычислительных машин (ЭВД) было связано с непреодолимыми трудностями. Применение современных численных методов, рассчитанных на использование ЭВМ, дает возможность определять динамические характеристики и напряженно-деформированное состояние сложной составной конструкции в достаточно общей постановке, без введения дополнительных упрощающих предположений или гипотез.
В то же время, ввиду того, что круг практически важных задач динамики оболочечных конструкций чрезвычайно широк, а создание универсального численного метода расчета невозможно, целесообразно разрабатывать методы, учитывающие особенности того или иного класса задач. К настоящему времени уже накоплен достаточный опыт, позволяющий в ряде случаев дать общие рекомендации относительно выбора численного метода в зависимости от особенностей поставленной задачи.
Трудоемкость процесса численного решения задачи динамики континуальной системы зависит от степени изменяемости компонент вектора ее состояния по координатам и по времени, а возможность получить это решение с требуемой точностью - от наличия предварительной информации о его характере, необходимой для построения соответствующей дискретной модели системы. Ввиду того, что получение этой информации - задача в общем случае практически столь же сложная, как и получение самого решения, предпочтение следует отдавать таким методам, которые позволяют естественным образом получать ее в самом процессе решения. Достоинство такого рода принято называть адаптируемостью метода к искомому решению. Отметим также другие его качества, необходимые: надежность, универсальность, и желательные: достаточно высокая информативность, предполагающая хорошие аналитические возможности. Они, в данном случае, оцениваются тем, насколько метод гарантирует точность в определении напряженно-деформированного состояния протяженных составных конструкций весьма общего вида при расчете продолжительных по времени процессов и насколько он позволяет расчленить сложный процесс, понять происхождение тех или иных явлений, выявить их зависимость от параметров системы. При предположении, что собственные частоты и соответствующие формы колебаний конструкции могут быть определены с необходимой точностью, наиболее общим и во всех этих отношениях эффективным для решения линейной задачи динамики является классический метод разложения динамической нагрузки по формам собственных колебаний (метод Фурье).
Из литературы, опубликованной по динамике оболочек, автору известны всего несколько оригинальных алгоритмов динамического расчета осесимметричных оболочечных конструкций [37,70,95,113] ,
основанных на прямых методах. Каждый из них обладает достаточной общностью и позволяет решать широкий круг задач динамики конструкций, расчетная схема которых может быть представлена в виде произвольной композиции оболочек и шпангоутов. Эти алгоритмы имеют целый ряд серьезных достоинств и в то же время каждому из них присущи недостатки, характерные для положенных в их основу прямых методов решения. Наиболее существенными из этих недостатков являются слабое обоснование вопросов сходимости, и ,как следствие этого, невозможность организации формализованного построения расчетной схемы, необходимой для адекватного (в рамках требуемой точности) численного представления математической модели динамического процесса, а также их низкая информативность. Оценить степень достоверности результатов, полученных реализацией этих алгоритмов на ЭШ, можно лишь путем пересчета задачи на более частой сетке, косвенным путем, либо сравнением с экспериментом. Получение такой оценки во многих расчетных случаях связано с большими трудностями и составляет предмет специального исследования.
Принимая во внимание вышеизложенное и учитывая последние достижения в области численных методов определения частот и форм собственных колебаний осесимметричных оболочечных конструкций общего вида [42] можно заключить, что создание эффективного алгоритма динамического расчета таких конструкций, основанного на методе Фурье, является актуальной и до сих пор нерешенной задачей. Реализующая такой алгоритм программа, ориентированная на использование серийных ЭВЛ, может найти широкое практическое применение в различных отраслях техники.
Настоящая диссертация посвящена развитию численных методов определения динамических характеристик и решения линейной задачи динамики осесимметричных предварительно напряженных оболочечных конструкций, разработке алгоритмов и стандартных программ (язык
ПЛ/І) для ОС ЕС ЭШ, а также численному исследованию динамики отдельных оболочек и составных конструкций.
Работа состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы и приложения.
Программная реализация всякого достаточно общего алгоритма приводит к непроизводительным расходам ресурсов ЭШ при решении большинства частных задач. Учитывая ограниченную мощность серийных ЭВЛ, сложность многих практически интересных задач, требующих большого расхода времени и оперативной памяти машины, а так*-же возможности, предоставляемые операционной системой ЭШ ЕС, алгоритм и программу динамического расчета осесимметричных оболо-чечных конструкций общего вида целесообразно организовать в виде комплекса алгоритмов и подпрограмм, имеющих узкоспециальное назначение. Организация такого вычислительного комплекса, включающая автоматическую классификацию задач, позволяет, не уменьшая общности программы, существенно увеличить ее возможности при решении многих частных задач.
Разработанный в диссертации вычислительный комплекс состоит из четырех основных алгоритмов, соответственно ориентированных на определение компонент состояния оболочечной конструкции при следующих воздействиях: I) статическом нагружении; 2) гармоническом возбуждении; 3)собственных колебаниях; 4) произвольном динамическом нагружении. Во всех этих случаях рассматриваются деформации или собственные колебания конструкции, напряженной заданным осесимметричным статическим нагружением, или имеющей начальные осесимметричные напряжения и неправильности.
В первой главе дается обзор численных методов решения задачи динамики оболочечных конструкций. На основании анализа существующих методов и алгоритмов расчета и учета потребностей практики сформулированы цель и задачи
-II-
проводимого в диссертации исследования.
Во второй главе с использованием известных физических и нелинейных геометрических соотношений для тонкостенных оболочек вращения и колец, полученных на основе двух различных гипотез деформирования: Кирхгоффа-Лява и Тимошенко, а также условий совместности перемещений, из вариационного уравнения Даламбера-Лагранжа выводятся системы уравнений движения осесим-метричных оболочечных конструкций. Замкнутые системы, двенадцати (гипотеза Кирхгоффа-Лява) или четырнадцати (гипотеза Тимошенко) уравнений, описывающих осесимметричное напряженно-деформированное состояние оболочечного элемента, сводятся к разрешающим системам шести нелинейных дифференциальных уравнений в частных производаых.
В третьей главе диссертационной работы с единых позиций излагаются первые три алгоритма комплекса. В их основу положены ранее разработанные другими авторами алгоритмы [60, 92] . Оригинальными здесь являются лишь алгоритмы расчета многосвязной конструкции, основанные на гипотезах Тимошенко.
Геометрически нелинейная осесимметричная задача статики решается итерационным методом Ньютона-Канторовича для линеаризованной разрешающей системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Для расчета составных односвязных конструкций используется метод ортогональной прогонки, для многосвязных конструкций общего вида - метод перемещений в сочетании с численным формированием матриц жесткости оболочечных элементов. При этом решение краевой задачи производится путем сведения ее к ряду задач с начальными условиями, а решение последних - методом численного интегрирования с дискретной ортогонализациеи по С.К.Годунову.
При определении гармонических колебаний используется линеаризованная система дифференциальных уравнений в частных произвол-
ных, описывающая состояние предварительно напряженной конструкции при малых осесимметричных ее колебаниях относительно положения статического равновесия. При этом переменные разделяются и двумерный дифференциально-алгебраический оператор системы сводится к одномерному, зависящему от параметра частоты и двух функций, характеризующих статическое состояние. Таким образом, задача определения вынужденных установившихся колебаний при гармоническом возбуждении конструкции решается как линейная задача статики.
При определении собственных колебаний каноническая система алгебраических уравнении метода перемещений является однородной. Для существования нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы детерминант матрицы ее коэффициентов был равен нулю. Отделение корня частотного уравнения производится шаговым методом путем последовательного формирования канонических систем уравнений, соответствующих варьируемому параметру частоты, по смене знака детерминантной функции. Для уточнения корня используется сочетание методов хорд, касательных и половинного деления. Смена знака детерминантной функции является достаточным;.признаком; отделения корня только при расчете односвязных конструкций методом прогонки. При расчете по методу перемещений смена знака может происходить как через ноль, так и через бесконечность. Полюса детерминантной функции здесь соответствуют частотам собственных колебаний оболочечных элементов конструкции, взятых в основной системе метода перемещений. Эти частоты не являются характеристиками конструкции. В главе описан метод распознавания полюсов детерминантной функции, производимого на этапе отделения корня. В главе также исследована особенность численного интегрирования системы уравнений, описывающих поведение оболочечного элемента. Для цилиндрической оболочки получена форлула, оценивающая погрешность решения в зависимости от принятых параметров интегрирования и
длины разрядной сетки ЭШ.
В четвертой главе дано построение алгоритма расчета оболочечных конструкций на действие динамического на-гружения, основанное на методе Фурье. Рассматривается система с "пропорциональным" демпфированием - "внешним" и "внутренним"(случаи, когда нормальные координаты диссипативнои и соответствующей ей консервативной системы совпадают). Разделение переменных проведено путем разложения нагрузки и компонент состояния конструкции в обобщенные ряды Фурье по последовательности собственных для оператора.системы функций ("1с - разложение", где 1с = 1,2, З,..., Ті ). В общем случае динамического нагружения 1с -ни коэффициент Фурье для нагрузки на каждом шаге по времени определяется как отношение работы, совершаемой текущей нагрузкой на обобщенных перемещениях 1с-ой формы собственных колебаний конструкции, к работе обобщенных инерционных сил на этих перемещениях. При этом работа, совершаемая на оболочечных элементах определяется путем численного интегрирования по длине образующей элементов с применением квадратичной интерполяции. Ввиду ортогональности собственных функций переменные разделяются и задача динамики континуальной системы на каждом шаге по времени сводится к ряду задач динамики систем с одной степенью свободы. Последние решаются как задача Коши для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка. В частном случае, когда нагрузка, приложенная в начальный момент, в дальнейшем изменяется пропорционально параметру, который является произвольной кусочно-линейной функцией времени, решение задачи упрощено: коэффициент Фурье для нагрузки определяется только в начале процесса, а решение К. -ой задачи динамики, выраженное через интеграл Дюамеля, сведено к точным рекуррентным формулам.
В пятой главе представлены результаты числен-
ного исследования, иллюстрирующие некоторые возможности разработанных в диссертации алгоритмов и программ.
Потребности развития энергетики, а также экспериментальной динамики стимулируют разработки нового вида сооружений типа взрывных камер. Наибольшее распространение получила конструктивная реализация таких сооружений в виде металлической тонкостенной сферической оболочки, снабженной люками, патрубками и элементами системы опирання. Особенности поведения такой оболочки при подрыве заряда БВ, расположенного в ее центре, описаны в экспериментальных работах [3, 57, 102] . Инициируемый при этом динамический процесс является достаточно сложным и продолжительным. Наличие присоединенных масс и закреплений на сферической оболочке приводит по истечении времени пробега звуком расстояния, равного нескольким десяткам длин ее образующей, к трансформации мембранных колебаний в существенно изгибные и возникновению биений или раскачке колебаний в полюсе. Последние сопровождаются существенным (в несколько раз) увеличением максимальных перемещений и напряжений в оболочке, поэтому при исследовании ее работы возникает необходимость в моделировании динамического процесса большой продолжительности. Большинство численных исследований, проведенных в настоящей работе, посвящено этой тематике.
В пятой главе проведены гармонический анализ и исследование динамических процессов для следующего ряда конструкций:
трехслойной цилиндрической оболочки (эквивалентная модель Тимошенко) при действии осевого и поперечных импульсов сосредоточенной силы и давления;
защемленного в основании тонкостенного сферического купола большого подъема при действии импульса внутреннего давления и "набегающего" фронта давления;
опертой по экватору, замкнутой сферической оболочки с мае-
сой, сосредоточенной в полюсе, при действии импульса внутреннего давления;
- сферической емкости с оболочечными патрубками в полюсах, опертой по экватору на цилиндрическую оболочку при действии импульса внутреннего давления.
В этой главе на примерах динамического расчета стержня, цилиндрической и сферической оболочек проведена также сравнительная оценка эффективности и областей применения алгоритма, основанного на методе сквозного счета С.К.Годунова и разработанного в диссертации алгоритма, основанного на методе Фурье. Указано на ряд достоинств, присущих этим алгоритмам.
Полученные в пятой главе результаты имеют научную новизну и практическое значение.
В приложении даны описания программ и стандартный комплект документации, выдаваемой на АЦПУ ЭШ.
В работе защищается подход к решению с заранее заданной точностью линейной одномерной задачи динамики тонкостенных предварительно напряженных конструкций вращения при весьма общих предпосылках относительно геометрии, механических свойств и характера внешних воздействий, состоящий из:
вывода на основе деформационной модели С.П.Тимошенко, с использованием вариационного уравнения Даламбера-Лагранжа и нелинейных геометрических соотношений, замкнутой системы линеаризованных дифференциально-алгебраических уравнений, описывающих динамическое поведение осесимметричных,напряженных действием статического нагружения конструкций, произвольным образом составленных из оболочек вращения и колец;
разработки алгоритма динамического расчета таких конструкций, эффективного по точности, а также по своим аналитическим возможностям и ориентированного на использование ЭШ средней мощ-
ности;
проведения аналитических и численных исследований с выдачей рекомендаций по назначению методических параметров, необходимых для адекватного (в пределах заданной точности) численного моделирования исходной математической модели динамического процесса;
реализации разработанного алгоритма динамического расчета оболочечных конструкций путем создания комплекса вычислительных программ на языке ПЛ/І, рассчитанного на использование серийных ЭНу! ЕС;
апробации предлагаемых алгоритма и программ на решении тестовых и прикладных задач механики деформируемого твердого тела;
проведения для ряда сферических оболочек и оболочечных конструкций исследования обширных участков спектра частот и соответствующих форм собственных колебаний, а также проведения гармонического анализа ряда продолжительных динамических процессов, иллюстрирующего экспериментально установленные и выявляющего некоторые новые, важные в практическом отношении особенности работы оболочек корпуса взрывных камер.
Предлагаемые к защите алгоритм и комплекс вычислительных программ могут быть использованы для определения динамических характеристик, а также для проведения гармонического анализа и исследования линейных одномерных динамических процессов в оболочечных конструкциях, применяемых в строительстве специальных сооружений, авиа-, судо-, ракетостроении, космической технике и химической промышленности. Разработанный комплекс программ используется для проведения проектно-конструкторских разработок в организациях: КБ ПО "Полет", ЦНИИПСК и др., что подтверждено соответствующими актами о внедрении.
Результаты настоящей работы докладывались на семинарах в ЦНИИпроектслальконстрзгкция игл.Мельникова (1979,1984), в Московском станкоинструментальном институте,(1984), в Московском институте электронного машиностроения (1984), в НИИ Механики ГГУ (г.Горький, 1984).
Основные результаты диссертации изложены в работах Q76,92j.
Геометрические и физические соотношения для оболочечных элементов и колец
Потребности развития экспериментальной техники, некоторых видов технологических процессов и энергетики привели к возникновению нового своеобразного класса металлических конструкций - сосудов высокого давления, работающих при импульсных нагрузках. Наибольшее распространение, как наиболее эффективная, получила конструктивная форма таких сосудов в виде сферической оболочки, снабженной люками, патрубками и элементами системы опирання. Последние, как правило, обладают относительно небольшой массой и тем не менее подобные неоднородности обычно приводят к радикальному изменению характера динамического поведения конструкции. Колебания сферической оболочки, имеющие в начале процесса преимущественно мембранный характер, по истечении определенного промежутка времени переходят в существенно изгибные, и при этом их амплитуда возрастает в несколько раз. Подобное влияние малых неодно-родностей на характер динамического процесса, возбуждаемого в сферических оболочках, отмечено в ряде экспериментальных работ.
В работе [20 J обнаружено повышение амплитуд деформаций в процессе колебаний (явление "раскачки") и отмечено, что это явление, по-видимому, связано со "сложным колебательным процессом всей конструкции, т.к. оно не может быть объяснено повторным ударом отраженной волны". Здесь также указано, что появление "раскачки" и образование колебаний высоких гармоник могут привести к разрушению конструкции. В другой экспериментальной работе [122] зафиксировано возникновение биений и отмечено следующее :"... наиболее высокие деформации возникают вблизи полюсов. Сильные биения здесь можно объяснить сложением нескольких равноправных форм колебаний с близкими частотами и реализацией "эффекта бича".
Обзор работ, посвященных теоретическому и экспериментальному исследованию поведения оболочек взрывных камер, дан в [3] . В результате обзора отмечено, в частности, следующее:"Работ, содержащих решение задач, которые позволили бы сделать какие-либо оценки влияния различных неоднородностеи в оболочке камеры на ее поведение, ... обнаружить не удалось".
Несколько более подробный обзор исследований, посвященных этой тематике, проведен в [71] , где также отмечено неудовлетворительное состояние теоретической проработки этого вопроса. Основная цель работы [71]- проведение аналитических исследований, ориентированных на получение инженерной методики расчета и выдачу рекомендаций по уменьшению раскачки колебаний, а также предотвращению нелинейных явлений, связанных с параметрическим резонансом. При разработке этой методики были использованы ІЇЛ/І -программа расчета динамических характеристик оболочечных конструкций [75,85] , а также некоторые материалы численных исследований, позднее частично опубликованные в работе [76] .
Практический интерес представляет также оценка влияния краевых закреплений на колебательный процесс подъемистого сферического купола. Методика определения частот собственных колебаний сферического купола с защемленным краем описана в [78] . Численное моделирование линейного динамического процесса, возбуждаемого в такой оболочке действием импульса внутреннего давления, проведена в t49,I24] . Для расчета собственных и вынужденных колебаний сферической оболочки в этих работах используется приближенный аналитический метод разложения решения по функциям Лежандра. Вынужденные колебания здесь рассматриваются на сравнительно малом отрезке времени.
Численное исследование продолжительных нестационарных колебаний заделанной в основании сферической оболочки большого подъема (3/4 диаметра), имитирующей взрывную камеру, а также гармонический анализ этих колебаний, проведены в работе [92J . При этом выявлены некоторые характерные особенности динамического процесса, аналогичные отмеченным в указанных выше экспериментальных работах.
Новые алгоритмы, ориентированные на моделирование нелинейного процесса, возбуждаемого по толщине многослойного (с разделяющимися слоями) сферического сосуда высокого давления при импульсном выделении энергии в его полости, а также примеры численной реализации этих алгоритмов, приведены в работах [59,60,96J .
Апроксимация решения при интегрировании по Кутту-Мерсону. Погрешности апроксимации и округления
Поскольку известно,24] , что значение динамической реакции в связи при кинематическом ее возбуждении с частотой, предшествующей некоторой резонансной частоте СО? , всегда совпадает по направлению с соответствующим статическим ее значением, то amm(C0jO 0 ( j = I,2,...oo) , (3.136) и достаточным признаком отделения корня детерминантной функции при увеличении параметра СО является смена знака Clmrn с + на -.
Происходящая при дальнейшем возрастании параметра частоты (в пределах СОj ССК COj ) однократная 24] смена знака Q.mrn происходит через бесконечность (-оо , + оо) на частоте, соответствующей частоте антирезонанса. Таким образом, кривые зависимости Qmm(CO) имеют вид, показанный на рис.3.4 пунктиром.
На том же рисунке сплошной линией показан типичный характер зависимости ВССО). Смена знака функции D (СО) в методе перемещений обычно происходит не только через ноль, но и через бесконечность. При этом всякий полюс детерминантной функции соответствует собственной частоте колебаний одного из элементов конструкции жестко закрепленного от краевых обобщенных перемещений:
IICK(to №=Q ( І =I,2,...,ns) (3.137) Описанные свойства (3.132)-(3.137) матрицы реакций составной конструкции позволяют несколько упростить процедуру отделения корней частотного уравнения системы. Однако, для получения надежных решений при этом все же требуется достаточно мелкий шаг по аргументу и, соответственно,- большой объем вычислительной работы. Этот недостаток усугубляется еще и тем, что в таком процессе практически не удается получить никакой полезной информации о динамических свойствах исследуемой системы.
Другой, более рациональный в этом отношении способ отделения корней состоит в использовании для этой цели изложенного выше алгоритма расчета установившихся гармонических колебаний обо-лочечной системы и построении ее амплитудно-частотных характеристик (АЧХ). Пример построения АЧХ для линзового компенсатора приведен на рис.3.5. Если ограничиться построением АЧХ только для узловых обобщенных перемещений системы (этого вполне достаточно для. выделения собственных частот), то такой способ отделения не приводит к дополнительным затратам времени ЭШ, является физически наглядным и, главное обладает тем преимуществом, что в результате его применения дополнительно может быть получена важная динамическая характеристика исследуемой оболо-чечной системы. В рамках упомянутого алгоритма не исключается возможность проведения параллельного исследования свойств (3.132)-(3.137).
Из опыта применения алгоритма расчета оболочечных систем на собственные колебания следует, что для обеспечения надежности в определении собственных форм необходимо предусматривать алгоритмический контроль их погрешности. Полагаем, что
Проведенный в разделе 3.3 анализ численного решения краевой задачи для частного случая колебаний цилиндрической оболочки с коэффициентом Пуассона, равным нулю, сделан в предположении, что процедура ортонормирования (3.36) абсолютно устойчива к ошибкам округления и не вносит дополнительной погрешности в решение. При соблюдении определенных условий такая устойчивость действительно имеет место. С.К.Годунов (IS62), используя ортогональную прогонку для двучленных неявных разностных схем, показал, что предложенный им метод устойчив в отношении ошибок округления при условиях, что элементы матрицы ортогонализации ограничены сверху, а диагональные ее элементы - еще и снизу. Ортогональная прогонка .для поиска собственных значений (критических параметров) краевой задачи впервые также была применена С.К.Годуновым (1964).
Практика решения задач с использованием этого метода выявляет следующие случаи аварийной остановки ЭЕМ (см.3.36): 1) переполнение разрядной сетки при делении на Одул; 2) блокировка вычисления корня из отрицательного числа; 3) переполнение разрядной сетки при вычислении скалярных произведений, сопровождающие крайние проявления неустойчивости процесса ортонормирования. Очевидно, что 1-й и 2-й случаи связаны с чрезмерной косоугольностью системы векторов, участвующих в ортогонализации, а последний - с большими нормами этих векторов. Поскольку речь идет об определении частот и форм собственных колебаний оболочечной конструкции, то рассматриваемая система векторов состояния, по мере приближения параметра частоты к собственному значению, приближается к линейно зависимой и процесс ее ортонормирования по (3.36), проводимый на ограниченной разрядной сетке, может оказаться . неэффективным. Дело в том, что формулы (3.36), описывающие ортогонализа-цию некоторого вектора Yi+1 по отношению к системе векторов Z,,, Z ,...» Zj , получены в предположении, что эта система ор-тонормирована, т.е при условиях.
Решение задачи динамики, учитывающее пропорциональное демпфирование
При моделировании динамического процесса, продолжительность которого равна величина погрешности, допускаемой в определении частоты колебаний СО? , должна удовлетворять условию где Ь задается в пределах С 2; oot в зависимости от требуемой точности. В связи с этим, из соотношений (3.96),(5.42) и (5.46) следует, что шаг интегрирования по координате при определении частоты собственных колебаний молено определить по формуле Таким образом, при числе шагов интегрирования на полуволне выпучивания "основных" собственных форм колебаний оболочки: П./ПЛ = 5, величина а. Ь 5У2 ; т.е. если при -fc=-fc допустимо смещение по фазе на Ж /$ , то может быть рассчитано около 40 циклов колебаний.
Используя выявленный выше спектр 34-х частот и форм собственных колебаний оболочки, проведем условный (не учитывающий возможности динамической потери устойчивости) ее расчет на действие зоны повышенного давления, осесимметрично набегающей со стороны полюса с постоянной скоростью 900м/сек.
Для моделирования динамического поведения конструкции используем алгоритм (4.14-4.18). Шаг интегрирования по времени процесса для каждой из форм собственных колебаний системы выбираем в соответствии с (4.44). На рисунках 5.24а,б для отдельных моментов времени ij ( J = 1»5) приведены эпюры заданной и расчетной (результат свертки ряда Фурье) нагрузок, эпюра формообразования и соответствующие величины коэффициентов разложения нагрузки CfcCljVcoj2 (ic = f ,34). По мере "накрытия" давлением поверхности оболочки наибольшие по величине коэффициенты Фурье переходят от низших частот к высшим, расположенным в зоне цент-ральносимметричных колебаний замкнутой сферической оболочки.
Результаты проведенного выше численного анализа и результаты сравнения полученного решения с аналитическим р4] позволяют сделать следующие выводы: 1. Динамическая реакция рассмотренного сферического купола большого подъема на действие импульса равномерного давления качественно определяется взаимодействием двух-четырех (Jfc 25, JS 26, № 24, & 27) "основных" гармоник оболочки купола, частоты колебаний которых наиболее близки к частоте центральносимметричных колебаний соответствующей замкнутой сферической оболочки; 2. Динамическое поведение оболочки при вышеуказанном нагру-жении существенно зависит от величин разностей между "основными" частотами ее собственных колебаний; в то же время эти частоты определяются сравнительно большими и близкими по величине числами, а в их зоне имеет место значительное нарушение регулярности спектра оболочки; 3. "Основные" гармоники оболочки J 25 и J 26 имеют более близкие по величине, по сравнению с соседними гармониками ее спектра, волновые числа, поскольку число полуволн на эпюрах их формообразования совпадает (см.рис.5.17,в); 4. Принимая во внимание содержание пунктов 1 3, отметим, что аналитическая зависимость (5.46), не улавливает указанных в них важных особенностей решения и вследствие этого непригодна для количественного анализа работы оболочки; оценка динамического поведения конструкции такого типа и его анализ могут быть обеспечены путем расчета, проведенного в каждом конкретном случае с использованием алгоритмов, предлагаемых в настоящей работе. Рассматривается замкнутая сферическая оболочка, жестко закрепленная на экваторе от осевых перемещений. Расчетная схема конструкции дана на рис.5.25,а. Круговые вырезы в полюсах (оЦ= 0.1) скомпенсированы кольцами, эквивалентными по жесткости, круговым пластинкам. Из этого условия принято Заданная в полюсе масса М = 22»1СГ4 Мо распределена в кольце узла I. Оболочка имеет следующие параметры: R /h =801,8/3,6; Ё /р= 21-Ю5/8.ПГ6; V = 0,3. В результате расчета получены первые 40 частот и форм собственных колебаний оболочки (см.табл.5.3) и рис.5.25а-и. Функция распределения частот \(СО) представлена на рис.5.27. Собственные колебания оболочки для I 4-х и 23 -І- 26-Х гармоник спектра являются мембранно-изгибными, а для остальных гармоник - преимущественно изгибными. Также как в примере, описанном в разделе 5.2, "основными" частотами колебаний, инициируемыми в сферической оболочке действием импульса равномерно-распределенного давления, являются частоты колебаний спектра, наиболее близко расположенные к частоте радиальных, центральносимметричных колебаний оболочки COR (5.42).
Реакция замкнутой сферической оболочки с различными массами, сосредоточенными в ее полюсе, на действие импульса внутреннего давления
Результат сложения амплитуд колебания по двум "основным" формам (32-й и 31-й, см.табл.5.4 и рис.5.34) приведен на рис. 5.31 б. Суммарная эпюра формоизменения, приведенная на этом рисунке, мало отличается (практически совпадает) с подобной эпюрой, полученной для примера с десятикратной массой в полюсе. Результат сложения гармоник В 32 и В 31 на момент их колебания в про-тивофазе представлен на рис.5.31 в. Число циклов колебаний, совершаемых при переходе к этому состоянию,(определяется по формуле (5.57)): & = 1082/(2 2,39) = 226, а максимальное значение реакции в связи примерно вдвое меньше, чем в рассмотренном выше случае с десятикратной массой в полюсе. На рис.5.34 приведены эпюры осевых сил, соответствующие 32-й и 31-й гармоникам.
В достоверности приведенных в данном разделе результатов можно было убедиться в ходе проделанного анализа. Дополнительным подтверждением их надежности является чисто безмоментное решение, получаемое при суммировании собственных форм колебаний с коэффициентами Фурье S CO =S st= C /cdj , соответствующими статически приложенному давлению. Это решение по прогибам и напряжениям совпадает с известным аналитическим, полученным для центральносимметричной замкнутой сферической оболочки:
Результаты проведенного в этом разделе исследования позволяют сделать следующие выводы: 1. Динамическое поведение рассмотренной выше опертой по экватору замкнутой сферической оболочки с различными массами, сосредоточенными в ее полюсе, при действии импульса внутреннего давления по всей оболочке, за исключением зоны ее полюса с массой, качественно определяется взаимодействием двух-четырех "основных" собственных гармоник, частоты которых наиболее близки к частоте ее центральносимметричных колебаний; 2. При достаточно большой массе, сосредоточенной в полюсе оболочки, колебания его почти полностью определяются низкочастотными колебаниями по первой собственной форме, частота которой является добавочной к частотному спектру оболочки и характеризует колебания массы на упругой связи; при введении такой массы собственно оболочечные частоты колебаний возрастают; 3. При уменьшении массы таком, что частота ее колебаний на упругой оболочечной связи оказывается выше первой частоты однородной оболочки, "добавочная" гармоника исчезает и низкочастотные колебания в полюсе с массой не возбуждаются; при исчезновении "добавочной" гармоники соответствующие друг другу собственно оболочечные частоты колебаний снижаются; 4. Собственные формы колебаний сферической оболочки, закрепленной по экватору от осевых перемещений, при изменении величины массы в ее полюсе сильно трансформируются; 5. Введение осевых экваториальных связей оказывает сильное влияние на динамические характеристики осесимметричных колебаний сферической оболочки с массой, сосредоточенной в ее полюсе, и принципиально изменяет характер динамического поведения такой оболочки при действии импульса внутреннего давления; 6. В зоне трех "основных" частот собственных колебаний оболочки имеет место значительное нарушение регулярности ее спектра. 7. Формы собственных колебаний трех "основных" гармоник имеют существенно более близкие по величине, по сравнению с соседними по спектру формами волновые числа (число полуволн на эпюрах формоизменения у этих гармоник совпадает); 8. Введение и изменение массы, сосредоточенной в полюсе, приводит к радикальному изменению формы собственных колебаний и области спектра оболочки, расположенных в зоне ее "основных" частот; 9. Принимая во внимание содержание пунктов I и 4 8, отметим, также как и в разделе 5.2, что аналитическая зависимость (5.46) не улавливает важных особенностей решения и поэтому непригодна для количественного анализа работы оболочки; оценка динамического поведения конструкции такого типа и его анализ могут быть обеспечены путем расчета, проведенного с использованием алгоритмов, предлагаемых в настоящей диссертации.
Расчетная схема оболочечной конструкции приведена на рис. 5.37. Упругие экваториальные связи заданы в виде большого числа пластинок переменной толщины S(x , ориентированных в осевом направлении и установленных с соблюдением осевой циклической симметрии. Без ущерба для точности расчета эти связи можно заменить ортотропной цилиндрической оболочкой, имеющей эквивалентное распределение жесткости и массы. Исходя из этого условия принятQ: где Ь,5(Х) - ширина и толщина опорной пластинки, П. - число пластинок. В зонах полюсов оболочки расположены патрубки, заданные в виде конических оболочек переменной толщины, близких, по величине угла наклона их образующей, к кольцевым пластинам. На узловых линиях 1,3,8 распределены дополнительные массы МС1= = 2-1СГ3.М06, М(3)= 5-10-06. МС8)= к 2 I0 3 M . На узловой окружности патрубка 8 наложены связи, запрещающие радиальные перемещения в ее плоскости.
К сосуду приложена динамическая нагрузка: {cfi qCdL,) 0 5] где СҐ:1 = 0 irtyH (1= 1,8), a I Ot) - полилинейная функция, характеризующая форму заданного импульса (приведена на рис.5.41). Формы собственных колебаний конструкции для первых 30 гармоник ее спектра представлен на рисунках 5.38 а-в. Первая гармоника по форме приближенно соответствует колебанию сосуда, как жесткого тела, подвешенного в зоне экватора на упругой связи. Однако, частота, соответствующая этой гармонике, примерно на 50$ ниже частоты такого рода колебаний. Снижение частоты, а также некоторое несоответствие формы колебаний (например, отношение осевых перемещений на экваторе оболочки к поперечным перемещениям в ее полюсе равно 0,79, а не единице, как при жестком смещении), объясняется влиянием масс патрубков, а также дополнительных масс, сосредоточенных в зонах полюсов, и, главное,
