Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор моделей и методов расчета оболочек вращения переменной жесткости
1.1. Математические модели тонких упругих оболочек. Методы сведения трехмерных задач теории упругости к двумерным
1.2. Методы решения краевых задач для одномерных дифференциальных и интегральных уравнений оболочек вращения переменной жесткости 13
1.3. Метод конечных элементов в теории оболочек вращения переменной жесткости 17
1.4. Стержневые модели оболочек вращения 21
2. Кинематическая модель произвольной тонкой оболочки 25
2.1. Деформации произвольной оболочки 25
2.2. Приложение первого начала термодинамики к процессу деформации упругого тела. Энергия деформации 38
2.3. Уравнение движения тонкой упругой оболочки в приращениях. Конечноэлементная формулировка 43
2.4. Тестовые задачи 53
2.5. Итерационное уточнение решения нелинейных уравнений при пошаговых методах 55
2.5. О причинах эффекта "машинного запирания" в конечноэлементных моделях 58
3. Конечноэлементный анализ динамики, устойчивости и жесткости оболочек вращения 64
3.1. Деформации оболочек вращения 64
3.2. Тонкие оболочки вращения 68
3.3. Уравнение движения тонкой упругой оболочки вращения 74
3.4. Предварительно напряженные оболочки вращения. Конечпоэлементная формулировка с шестью степенями свободы узлов 79
3.5. Конечноэлементная формулировка с пятью степенями свободы 85
3.6. Расчет собственных частот и форм колебаний оболочек вращения. Диагональная формулировка матрицы масс 96
3.7. Решение тестовых задач 100
3.8. Трехмерная задача об антисимметричной деформации вращающихся дисков 105
4. Обоснование стержневых моделей оболочек вращения с разветвляющейся образующей (линейная задача статики) 115
4.1. Локальные уравнения равновесия 115
4.2. Метод взвешенных невязок 119
4.3. Обоснование стержневой модели оболочки вращения 122
4.4. Интегродифференциальные уравнения стержневых моделей составных оболочек вращения (формулировка в функциях влияния перемещений) 147
4.5. Интегральные уравнения стержневой модели оболочки вращения 154
4.6. Численное решение интегральных уравнений стержневой модели оболочки вращения 159
4.7. Выбор основной системы 167
4.8. Тестовые задачи 170
5. Динамика и жесткость нагруженных оболочек 174
5.1. Локальные уравнения движения элемента деформированной оболочки 175
5.2. Формулировка основных уравнений кинематики и динамики оболочки в приращениях 183
5.3. Уравнения состояния 186
5.4. Стержневые модели в задачах динамики и жесткости оболочек вращения 189
5.5. Тестовые задачи 198
6. Экспериментальное и теоретическое исследование несущей способности жаровой трубы газотурбинного двигателя 202
6.1. Конструкция стенда для натурных испытаний жаровой трубы в условиях комнатной температуры 204
6.2. Проведение испытаний 209
6.3. Анализ результатов испытаний 211
6.4. Теоретическое исследование устойчивости оболочек вращения сложной конфигурации 217
6.5. Расчет жаровой трубы ГТД на устойчивость 223
Общие выводы 233
Список литературы 236
- Методы решения краевых задач для одномерных дифференциальных и интегральных уравнений оболочек вращения переменной жесткости
- Приложение первого начала термодинамики к процессу деформации упругого тела. Энергия деформации
- Предварительно напряженные оболочки вращения. Конечпоэлементная формулировка с шестью степенями свободы узлов
- Интегродифференциальные уравнения стержневых моделей составных оболочек вращения (формулировка в функциях влияния перемещений)
Введение к работе
Распространено мнение, что с появлением мощных программных комплексов типа ANSYS, NASTRAN, MARC, UNIGRAPHICS и других, отпала необходимость как в совершенствовании известных, так и в создании новых методов расчета конструкций, включая и теорию пластин и оболочек. Известные специалисты в вычислительной механике проф. С. Атлури и А. Кобаяси предупреждают, что как всякое другое средство, метод конечных элементов следует применять с известной осторожностью: некритическое использование этого метода для решения задач на современных ЭВМ с их огромными возможностями переработки числовой информации приводит к широко распространенному мнению, что все задачи разрешимы, если в распоряжении исследователя имеется достаточно мощный компьютер и длительное время. В общем случае это неверно: перед тем как начать вычисления, часто оказывается необходимым глубоко попять механику, лежащую в основе рассматриваемой задачи. Кроме того, вопросы, связанные с повышением эффективности программных комплексов с точки зрения экономии времени и привлекаемых ресурсов ЭВМ всегда останутся актуальными. Тем более блоки ANSYS, может быть за исключением блока вывода, на сегодняшний день следует признать еще далекими от совершенства. Достаточно лишь отметить такие проблемы, как сходимость и оценка точности численного решения, зависимость решения не только от числа степеней свободы, но и от формы и соотношения размеров конечных элементов. В этом смысле метод конечных элементов скорее следует отнести к классу итерационных. С целью оценки точности получаемых результатов приходится производить повторные расчеты с "адаптивной" перестройкой сетки элементов (иначе соответствующим выбором сетки можно получить любой, наперед заданный, результат).
Любая конструкторская задача является задачей оптимального проектирования. На ранних этапах развития науки о прочности такая задача решалась простым перебором вариантов. Следует признать, что и современные методы оптимизации остаются много затратными. Так что сроки проектирования и доводки новых изделий по-прежнему главным образом зависят от эффективности решающего блока используемого программного комплекса.
Очень редко расчетные схемы обол очечных конструкций могут быть сведены к какой-либо регулярной поверхности. Реальные конструкции, как правило, представляют собой составные оболочки, в том числе и с элементами, содержащими линии и точки излома, разветвления, содержат замкнутые полости (на рис. 1 показано продольное сечение одного из роторов двух вального газотурбинного двигателя (заимствована из юбилейного двухтомника ЦИАМ им. Баранова, Москва, 2000 г.)).
Рисунок 0.1. Продольное сечение ротора ГТД
Эвристический алгоритм расчета такого рода конструкций представление сложной поверхности совокупностью регулярных, определение напряженно-деформированного состояния (НДС) последних (анализ) и их последующая стыковка (синтез) существенно усложняют алгоритм расчета и приводит к неоправданным затратам ресурсов и времени численного решения задачи на ЭВМ. К настоящему времени известна лишь одна вычислительная система - "Жесткость", разработанная ЦИАМ им. Баранова и предназначенная для решения задач статики оболочек такого \ класса. Основной недостаток системы заключается в том, что она ориентирована на решение достаточно узкого круга задач. Система "Жесткость" для определения НДС примитивов - цилиндрических и конических оболочек постоянной и линейно-переменной толщины использует известные решения дифференциальных уравнений осе симметричных оболочек вращения постоянной и линейно-переменной толщины. Кроме того, необходимость последующей стыковки различного числа примитивов снижает универсальность системы, требуя доработки для каждой конкретной конструкции.
К настоящему времени нет общей теории расчета такого рода конструкций (не является исключением и система "Жесткость" ЦИАМ им. Баранова). В этом отношении ситуация аналогична той, что была в строительной механике стержневых систем перед появлением известных формул Мора. Именно последние явились мощным толчком для создания универсальных методов расчета сложных статически определимых и неопределимых стержневых систем.
Классические математические модели оболочек вращения — уравнения линейной теории пластин и оболочек основаны на использовании принципа "неизменных размеров" и не позволяют учитывать влияние предварительных напряжений и деформаций (например, вызываемых центробежными силами) на компоненты напряженно деформированного состояния при их дополнительном - неосесимметричном нагружении. Их учет может быть осуществлен только переходом к деформированной расчетной схеме, а это возможно лишь в рамках нелинейной теории пластин и оболочек — в ее геометрически нелинейном варианте.
Цель работы заключается в разработке универсальной теории, алгоритмов и комплекса программ для решения задач динамики, устойчивости и жесткости оболочек вращения с разветвляющейся образующей применительно к проблемам проектирования авиадвигателей.
Направления исследований:
- анализ основных кинематических соотношений нелинейной механики деформируемого тела, вывод формул для деформаций тонких оболочек, позволяющих снизить до минимума порядок производных компонент векторов перемещения, поворота нормали и геометрических параметров поверхности вращения с целью предотвращения введения начальных "несовершенств" в геометрию оболочки на этапе дискретизации объекта и появления нулевых строк в матрице жесткости;
- доказательство правомерности применения двумерных расчетных схем - оболочек для исследования напряженно-деформированного состояния реальных конструкций дисков газотурбинных двигателей (на уровне численных экспериментов);
- обоснование стержневых моделей оболочек вращения; построение разрешающих уравнений модели; исследование поведения уравнений модели при стягивании к нулю размеров конечных элементов - полос; исследование сходимости численных методов их решения, оценка точности; выработка рекомендаций по выбору сеток элементов для достижения требуемой точности результатов численного решения;
- универсализация алгоритмов с применением методов теории графов для описания геометрии образующей для произвольного числа веток и замкнутых контуров;
- разработка стержневой модели для "деформированной" расчетной схемы тонкостенной конструкции применительно к задачам жесткости и динамики вращающихся оболочек, устойчивости оболочек с произвольным очертанием образующей.
Методы решения краевых задач для одномерных дифференциальных и интегральных уравнений оболочек вращения переменной жесткости
Отличительной особенностью общих зависимостей, относящихся к тонким оболочкам, является сведение уравнений трехмерной задачи теории упругости к уравнениям для двух измерений. Существует два метода решения этой проблемы: Коши-Пуассона и Кирхгоффа. —Лява [1,2].
Метод Коши Пуассона основывается на разложении перемещений и напряжений в ряды по степеням нормальной координаты (расстояния точек от срединной поверхности оболочки). Основные уравнения теории тонких оболочек в этом случае получают при сохранении в этих рядах минимально возможного числа членов. Удерживая большее число членов, можно получить более точные варианты теории. Применительно к оболочкам метод Коши-Пуассона был использован Н.А. Кильчевским, Нахди, Рейсснером [3 7].
В основу метода Кирхгоффа-Лява положены упрощения, имеющие вполне определенный смысл и очевидную приемственность от хорошо проверенной опытами теории балок: 1) о нормали к срединной поверхности оболочки, остающейся нормалью и к деформированной поверхности оболочки; 2) нормальными напряжениями в направлении нормали к срединной поверхности можно пренебречь по сравнению с основными [8]. Под основными напряжениями в теории оболочек понимают нормальные и касательные напряжения в самой срединной поверхности и в слоях оболочки, ей параллельных [9]. Следует отметить и ограниченность метода: в отличие от метода Коши-Пуассона, позволяющего неограниченно уточнять решение, метод Кирхгоффа-Лява не может быть развит в точную теорию.
Оценке погрешности гипотез Кирхгоффа-Лява посвящены статьи А.Л. Гольденвейзера [10], Х.М. Муштари [11], В.В. Новожилова и Р.М.Финкельштейна [12]. Обсуждение научных результатов Г. Кирхгоффа по теории изгиба пластин и стержней приводится в работе [13].
Теорию тонких оболочек, основанную на гипотезах Кирхгоффа-Лява, считают моделью первого приближения. Она оказалась удобной при решении многих статических и динамических задач; полученные при этом результаты в ряде случаев достаточно точны для практических приложений [9].
СП. Тимошенко предложил учитывать влияние инерции вращения и поперечных сдвигов на частоты собственных колебаний призматических стержней [14]. Применительно к оболочкам этот прием был использован в работах [15-22]. Несмотря на то, что СП. Тимошенко рассматривал в такой постановке только балку, уточненные теории такого типа для пластин и оболочек сейчас называют теориями типа Тгаюшеїіко, а соответствующие гипотезы — гипотезами ломаных линий (пряных отрезков) [ 15].
Теории типа Тимошенко использовались для оценки погрешности гипотез Кирхгоффа-Лява в работах [23,24]. В статье [23] установлено, что теория Кирхгоффа дает погрешность в оценке высших частот собственных колебаний круговых пластин, а в [24] - определена область параметров оболочки, где нельзя пренебрегать поперечным обжатием. Недостаток теорий Кирхгоффа-Лява и Тимошенко состоит в том, что они построены на гипотезах, которые носят интуитивный характер.
Эти и другие кинематические модели теорий пластин и оболочек подробно обсуждаются в уже упомянутых выше работах [4-6] и монографии Ш.К. Галимова [25], в том числе и вариант теории И.Н. Векуа [26-28], свободный от предположения о тождественности метрик срединной и эквидистантных ей поверхностей. Теория тонких и нетонких оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига, изменения метрики по толщине изложена также в монографии [29] и в статье [30].
Варианты теории оболочек, основанные на методе Коши-Пуассона обсуждаются в работах [31-34]. Такой же подход был использован В.З. Власовым [35] - перемещения по толщине представлены рядами Тейлора. В работе [36] компоненты вектора перемещения по нормальной координате разложены в ряды по полиномам Лежандра. Согласно методу Коши-Пуассона вектор перемещения любой точки оболочки определяется двумя независимыми функциями: вектором перемещения точки срединной поверхности, компоненты которого определяют мембранные составляющие деформаций, и векторной функцией, ответственной за их изгибно-крутильную часть и деформацию нормального элемента. Если считать, что нормаль не меняет своей длины, то это допущение входит и в систему гипотез Кирхгоф фа-Ля ва.
Основные уравнения и соотношения теории тонких пластин и оболочек приводятся в известных монографиях Л.И. Балабуха [37,38], В.З. Власова [35], А.Л. Гольденвейзера [39,40], Э.И. Григолюка [41-44], А.И. Лурье [45], В.В. Новожилова [1,46], П.М. Огибалова [47], Л.Г. Доннелля [48], Х.М. Муштари [49,50], К.З. Галимова [51,52], М.А. Ильгамова [53,54], СП. Тимошенко [55], К.Ф. Черныха [56], В.И. Феодосьева [57], И.И. Воровича [58], Н.А. Кильчевского [59], М.С. Корнишина [60], Е. Рейсснера [61], В. Флюгге [62] и многих других авторов. Только в обзоре [63] приведено 500 наименований книг и монографий по пластинам и оболочкам.
Хотя основные уравнения и соотношения теории оболочек были получены сравнительно давно, до настоящего времени аналитические решения найдены лишь для некоторых относительно простых типа цилиндрических, конических и сферических оболочек вращения.
Множество задач динамики и устойчивости оболочек решены приближенными методами - Ритца-Тимошенко, Бубнова-Галеркина, Власова-Канторовича, Муштари и другими (о вариационных методах см. также книгу П.М. Огибалова и М.А. Колтуиова [64]). Однако погрешность получаемых этими методами результатов в значительной степени зависит от субъективных факторов — интуиции и опыта исследователя; предсказать и математически адекватно описать возможные формы деформирования оболочки удается далеко не всегда.
Дальнейшее упрощение задачи можно произвести сведением двумерной проблемы к одномерной. Наиболее просто это осуществляется методом разделения переменных [64].
Приложение первого начала термодинамики к процессу деформации упругого тела. Энергия деформации
Подробный анализ стержневой концепции теории оболочек выполнен Л.Л. Розиным [194-196]. Метод, получивший развитие в этих работах и названный впоследствии "методом расчленения", состоит в переходе от системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно функций двух переменных к двум системам обыкновенных дифференциальных уравнений, которые можно трактовать как системы уравнений, описывающих деформацию некоторых гипотетических стержней с осями, совпадающими с координатными линиями на срединной поверхности оболочки.
Наибольший теоретический интерес в работах Л.Л. Розина, как отмечает А.П. Филин в [192], представляет формулирование условий "сращивания" (условий совместности перемещений в местах пересечения стержней), что позволило выяснить, в каком смысле стержневая система может быть эквивалентна оболочке.
При численной реализации метода расчленения дискретная модель мыслима, но не используется, а выполненная дискретизация может быть истолкована как чисто математическая [192]. Непосредственный переход к дискретной стержневой модели оболочки (не обязательно вращения) осуществлен в методе конечных полос А.П. Филина [192,193]. Этот метод оперирует двумя подвижными основными системами оболочки, образованными близкими к ортогональным сечениями с малым шагом. За "лишние" неизвестные задачи принимаются внутренние силы и моменты в разрезах, для определения которых составляются уравнения совместности перемещений пересекающихся элементов подвижных основных систем и уравнения равновесия их общих частей.
При использовании схем с полосами конечной ширины отпадает необходимость составлять дифференциальные уравнения, что особенно важно при расчетах сложных объектов, для которых дифференциальные уравнения трудносоставимы, сложны и громоздки. Кроме того, этот подход непосредственно смыкается с МКЭ и обладает рядом достоинств последнего. И еще, в отличие от МКЭ с двумерными элементами, метод полос позволяет физически обоснованно выбирать минимальную ширину элементов подвижных основных систем, снимая тем самым, весьма щекотливые для МКЭ вопросы сходимости и оценки точности приближенного решения. В работах [197,198] метод конечных полос применяется для задач осесимметричного изгиба с растяжением анизотропных оболочек вращения переменной жесткости. В отличие от [192] уравнения совместности перемещений ортогональных друг другу элементов (брусьев и колец) подвижных основных систем справедливы для непрерывной стержневой модели оболочки и получены в виде системы двух интегральных уравнений Фредгольма второго рода относительно окружных силовых факторов. Их дискретный аналог - система алгебраических уравнений относительно приближенных значений неизвестных в узловых точках получена методом механических квадратур. Такой подход позволил улучшить обусловленность разрешающих алгебраических уравнений и значительно снизить порядок системы.
Заслугой А.П. Филина следует считать то, что его метод конечных полос для исследования напряженно-деформированного состояния оболочек использует богатый арсенал методов строительной механики стержневых систем, не прибегая при этом к интегрированию каких-либо дифференциальных уравнений.
При рассмотрении метода конечных полос Л.П. Филина естественно напрашивается его обобщение на случай оболочек вращения многосвязного продольного сечения. Дело в том, что многосвязный характер образующей для этого метода не является ограничением и не вызывает затруднений при составлении разрешающих уравнений. В этом случае изменится только природа конечного элемента — вместо элементарной полоски приходится рассматривать элемент в виде плоской стержневой рамы, а раскрытие статической неопределимости для оболочки производится прежним образом.
Расчет конечных элементов - рам, как статически определимых, так и неопределимых, при современном уровне методов строительной механики стержневых систем и вычислительных средств не представляет большой сложности, что позволяет построить общие уравнения метода конечных полос для оболочек вращения многосвязного продольного сечения, аналогичные каноническим уравнениям метода сил строительной механики. В кандидатской диссертации автора [199] метод конечных полос был распространен для решения задач статики оболочек вращения переменной жесткости с разветвляющейся образующей. Было показано, что при стремлении ширины полос к нулю, уравнения метода А.П. Филина сводятся к уравнениям метода "расчленения" Л.Л. Розина. Также установлено [199-203], что при уменьшении ширины полос, как и в методе "расчленеЕіия", ухудшается обусловленность матрицы системы уравнений (по сути - тот же эффект "машинного" запирания) и выявлены причины этого явления. Разработан программный комплекс для расчетов на прочность и жесткость таких оболочек при осесимметричной и антисимметричной нагрузках. Однако и здесь, как и в работах А.П. Филина и Л.А. Розина, обоснование модели осталось за рамками диссертационной работы: осуществлено только на уровне аналогий основных дифференциальных уравнений теории тонких оболочек и технической теории криволинейных стержней.
Отсутствие четкого обоснования стержневых моделей тонких оболочек, кажущаяся невозможность распространения для решения задач динамики и устойчивости оболочек, уровень развития вычислительной техники в 60-70 гг. 20-го столетия не позволили методу конечных полос занять такое же достойное место в расчетной практике, как метод конечных элементов, в ряду известных методов теории оболочек.
Как видно из представленного обзора, к настоящему времени не существует теории и методов, позволяющих построить универсальный алгоритм решения задач динамики, жесткости и устойчивости составных оболочек вращения ветвистого продольного сечения (под универсальностью здесь понимается нечувствительность алгоритма к изменениям "связности" формы продольного сечения и жесткостных характеристик стенки). Применение современных программных комплексов, основанных на суперэлементном варианте МКЭ и других методов, требует значительных вычислительных затрат, что делает расчеты подобных конструкций дорогостоящими и для сложных задач — и не выполнимыми.
Предварительно напряженные оболочки вращения. Конечпоэлементная формулировка с шестью степенями свободы узлов
Зависимость численного решения, полученного с обычной точностью (длина машинного слова - 4 байта) для относительного прогиба от числа пролетов (элементов) для трех значений высоты балки прямоугольного поперечного сечения приведена в таблице 2.1.
Если бы матрица канонических уравнений метода перемещений, формированная из (2.124) была хорошо обусловлена, то независимо от числа пролетов (конечных элементов) результат для относительного прогиба W был бы один и тот же. Как видно из таблицы 2.1, при сгущении сетки ухудшается обусловленность глобальной (всей конструкции) матрицы жесткости: при числе элементов более чем 100 начинает проявляться эффект "машинного запирания". Такое поведение численного решения указывает на то, что при увеличении элементов определитель глобальной матрицы жесткости уменьшается и как только он станет величиной того же порядка, что и ошибки округления, наступает "запирание" решения. Следует отметить также, что с уменьшением высоты поперечного сечения "запирание" решения происходит быстрее (при меньшем числе конечных элементов).
Очевидно, момент наступления "запирания" можно отодвинуть в область более высоких значений числа элементов, если вычисления производить с большей точностью. Действительно, при переходе к вычислениям с удвоенной точностью (слово длиной 8 байтов) во всем промежутке изменения числа элементов, приведенном в таблице 2.1, для максимального прогиба был получен один и тот же результат, с высокой степенью (свыше 6-й значащих цифр) совпавший с аналитическим решением (2.126).
Факт, что эффект "запирания" не связан с деформациями поперечного сдвига, следуют из таблицы 2.2, где приведены результаты расчетов для относительного прогиба w и определителя матрицы жесткости Л той же балки при к -0. Аналогичная ситуация имеет место и при конечноэлементном решении. Матрица жесткости конечного элемента балки первого порядка (с линейной аппроксимацией перемещений и поворотов в пределах элемента) совпадает, с точностью до постоянного множителя, с точным выражением (2.124): Как видно из таблицы 2.3, если вычисления производятся с обычной точностью с использованием линейных элементов, "машинное запирание" наступает быстрее, чем достигается сходимость конечноэлементного решения. Конечно, применяя элементы высоких порядков, можно добиться сходимости решения и до наступления "запирания", но это приводит к значительному росту „вычислительных затрат, практически такого же порядка, что и для решения задачи с удвоенной -точностью. Кроме того, при вычислении элементов матрицы жесткости порядка выше первого ее элементы, как правило, приходится определять численным интегрированием (формула (2.127) получена аналитическим интегрированием по длине балочного элемента), что вносит дополнительную погрешность в результаты расчетов. В задачах об определении напряженно-деформированного состояния тонких оболочек в областях, где имеют место краевые и локальные эффекты, для достижения необходимой точности приходится сгущать сетку конечных элементов. И здесь, как и в случае одномерных элементов, имеет место феномен "запирания" численного решения при сгущении сетки, присущий, надо полагать, моделям типа Тимошенко с независимой аппроксимацией линейных перемещений и поворотов. Можно сделать вывод и о том, что "запирание" численного решения не связано с локальными и краевыми эффектами, имеющими место в тонких оболочек вращения - в стержневых системах их нет, а запирание, тем не менее, имеет место. Уменьшение порогового значения числа элементов, при котором наступает "запирание" численного решения, с уменьшением толщины оболочки связано очевидно с тем, что чем меньше толщина, тем ближе состояние оболочки к "безмоментиому", в котором доля изгибно-крутильных составляющих деформаций становится ничтожной. При решении множества задач по определению интегральных характеристик, например, при расчетах на жесткость, устойчивость и определение собственных частот колебаний, расчетах на вынужденные колебания расчетную схему можно свести к нагруженной оболочке вращения с переменными параметрами вдоль образующей. Например, возникающие при вращении оболочки вокруг собственной оси силы инерции самоуравновешены, а при действии возмущающих сил неосесимметричного характера - совершают работу на вызываемых ими перемещениях. Таким образом, жесткость и динамические характеристики вращающихся деталей существенно зависят от их угловой скорости. Оставаясь в рамках линейной теории оболочек, основанной на известном принципе неизменных размеров, невозможно ни качественно, ни тем более количественно установить степень влияния осесимметричных инерционных сил и вызываемых ими напряжений на жесткостные характеристики вращающихся деталей. Это можно осуществить лишь с позиций нелинейной теории оболочек — переходя к деформированной расчетной схеме. Здесь изложенная выше кинематическая модель применяется для решения задач теории тонких оболочек вращения.
Интегродифференциальные уравнения стержневых моделей составных оболочек вращения (формулировка в функциях влияния перемещений)
Легко убедиться, что полученная матрица правильно воспроизводит массу элемента: условие (3.118) при подстановке (3.121) с учетом (2.81) тождественно выполняется.
При использовании изо параметрических элементов выражение (3.121) для оболочек постоянной толщины дает те же результаты, что и при численном интегрировании методом Маркова ([164], табл. 5.2), а в случае конечных элементов первого порядка (линейных) гарантирует и положительность элементов диагональной матрицы. При использовании конечных элементов порядка выше первого некоторые элементы диагональной матрицы будут отрицательными, и во избежание необходимости оперировать матрицами с комплексными элементами приходится решать полную задачу (ЗЛІЇ). В этих случаях выигрыш во времени на решении задачи заметен, но уже не выглядит столь впечатляющим.
Исследованию колебаний цилиндрических оболочек постоянной толщины посвящено много теоретических и экспериментальных работ, поэтому в качестве тестовой задачи рассматривается этот наиболее простой, в том числе и аналитического решения, случай.
Численные эксперименты проводились на цилиндрических оболочках постоянной толщины h радиуса R и длиной L при следующих данных: R/h = 100, для двух значений относительной длины LjR=\ и L/R=6 (оболочки «средней» длины). Коэффициент Пуассона материала оболочки был принят v = 0,3. закрепления краев оболочки: а) условия Навье S-S (шарнир — шарнир) и б) С-С (заделка — заделка) - сравниваются с решением Форсберга, приведенным в [224] (в скобках - число узловых образующих).
В обоих случаях оболочка по длине представлялась изопараметрическими одномерными конечными элементами второго порядка (с тремя узлами) [164]. Численное интегрирование проводилось по трехточечным квадратурным формулам Гаусса [171].
В табл. 3.1 в числителе приведены результаты, полученные на основе конечных элементов (КЭ) с шестью, а в знаменателе - пятью степенями свободы узлов, практически при одинаковых числах степеней свободы конечноэлементных моделей. Как видно из таблицы, модель с пятью степенями свободы дает несколько заниженные, но вполне приемлемые для практических приложений результаты: отклонение от данных [224] не превышает 3,5%. В табл. 3.2 расчетные значения частоты свободных колебаний f = p\2n (Гц) для стальной цилиндрической оболочки с шарнирно опертыми краями и размерами: Л = 200лш, L = 540 млі и їі = 0,8мм -сравниваются с экспериментальными и теоретическими данными Бреславского /э ,/Б приведенными в статье [235] и с найденными там же приближенным методом значениями fA} при различных значениях окружных волн п. Расчеты проводились для двух вариантов матрицы масс: с согласованной и диагональной (приведены в скобках). Как видно из таблицы, для обоих вариантов матриц масс результаты расчетов практически совпадают. Наибольшее отличие составило 0,6 Гц при п = 6 (результат с диагональной формулировкой приведен в скобках). Как видно из табл. 3.2, расчетные частоты по обоим вариантам теории (5-ю степенями свободы - заниженные значения, 6-ю — завышенные значения) хорошо согласуются с экспериментальными данными — максимальная погрешность не превышает 7,2%. В табл. 3.3 результаты конечноэлементного решения для той же оболочки, но уже с другими граничными условиями — консольной сравниваются с решением [235]. Таблица 3.3 Собственные частоты консольной цилиндрической оболочки, (Гц) Число окружныхволн 5 6 7 10 12 14 Решение [235] 143 176 304 485 702 980 Численное решение 143 184 307 499 720 982 3.7.2. Определение частот собственных колебаний цилиндрической оболочки при наличии нормального давления На рис. 3.2 результаты расчета собственных частот шарнирно опертой по концам цилиндрической оболочки, нагруженной внутренним давлением, полученные по двум вариантам теории сравниваются с экспериментальными и теоретическими данными Никулина М.В. [236]. Материал оболочки -сталь, размеры таковы: длина L- 357 мм, радиус срединной поверхЕюсти R -117,25 мм, толщина h - 0,5 мм. На рисунке показана зависимость частот в Гц для чисел волн по окружности п =6,8,10,12 от окружного напряжения \22= ?Я//г ( 22 если Давление внутреннее, при внешнем давлении 722)0).
Похожие диссертации на Разработка теории и методов расчета динамики, жесткости и устойчивости составных оболочек вращения
