Содержание к диссертации
Введение
2 Осесимметричная деформация оболочки вращения 14
2.1 Основные уравнения 14
2.2 Виды потери устойчивости при осевом сжатии 20
3 Осесимметричная потеря устойчивости 21
3.1 Постановка задачи 21
3.2 Построение системы нулевого приближения 22
3.3 Определение предельной нагрузки 23
3.4 Вычисление поправки 25
3.5 Оболочка с изломом 30
3.6 Оболочка, подкрепленная упругим кольцом 33
3.7 Слоистая оболочка 36
3.8 Обсуждение результатов 37
4 Бифуркация осесимметричной формы 42
4.1 Вывод системы уравнений устойчивости 42
4.2 Интегрирование системы уравнений устойчивости 51
4.3 Обсуждение результатов 56
Заключение 59
- Виды потери устойчивости при осевом сжатии
- Построение системы нулевого приближения
- Оболочка, подкрепленная упругим кольцом
- Интегрирование системы уравнений устойчивости
Введение к работе
Актуальность темы. Оболочечные конструкции сочетают в себе легкость с высокой прочностью и поэтому находят широкое применение во многих отраслях промышленности, например в судо- и авиастроении, ракетной технике, строительстве, машиностроении, медицине. При проектировании тонкостенных оболочечных конструкций одним из основных шагов является расчет на устойчивость. Однако, в большинстве случаев простой расчет на устойчивость дает значительно большие величины критических нагрузок, чем способна вынести конструкция на самом деле. Причины данного явления кроются в неоднородности материала, несовершенствах формы, закрепления оболочки или самой нагрузки и т.п. В настоящее время расчет на устойчивость произвольной системы одним из численных методов не представляет принципиальных трудностей. Однако, аналитические результаты дают качественное понимание вопроса и помогают корректно формулировать задачи при численном моделировании, а также контролировать результаты. С другой стороны, учет неправильностей и неоднородности при численном моделировании представляет значительные трудности из-за их непредсказуемого характера в реальной конструкции.
Обзор литературы. Нелинейное упругое деформирование тонкостенных конструкций давно привлекает внимание исследователей. Однако, проблема изучена далеко недостаточно. Интерес к ней связан прежде всего с применением в строительстве и машиностроении тонкостенных легких конструкций из новых материалов, особенно в таких областях, как кораблестроение, авиация и ракетно-космическая техника. Интересно также отметить, что механика тонкостенных конструкций находит свое применение и при исследовании живых организмов. Например, кровеносные сосуды (артерии и вены) и человеческий глаз, с механической точки зрения, представляют собой многослойные тонкостенные оболочки (см., например, [12]).
Расчет напряжений и деформаций тонких упругих оболочек является достаточно сложной задачей. Соответствующая система уравнений может быть
3,
получена из трехмерных уравнений теории упругости при помощи введения тех или иных допущений. Обычно используется относительная малость толщины оболочки по сравнению с ее размерами в плане, что позволяет свести задачу к двухмерной. Среди последних работ, в которых дается систематическое изложение общей нелинейной теории оболочек, следует отметить [43].
В настоящее время полная картина деформирования тонкой оболочки при больших прогибах не построена даже для оболочек простейшей геометрической формы. Многочисленные теоретические и экспериментальные исследо-вания показывают, что характер поведения оболочек при потере устойчивости чрезвычайно сложен и определяется многими факторами: геометрией, видом нагружения, условиями закрепления и т.п. Изначально симметричные оболочки вращения, как правило, теряют устойчивость несимметричным образом, т.е. имеет место бифуркация осесимметричной формы равновесия. Отметим, что исследованию вопроса о бифуркации осесимметричного равновесия посвящено большое число работ (см., например, [38, 67, 54, 14]).
При этом на докритической стадии могут наблюдаться осесимметричные прогибы порядка толщины оболочки. Поэтому осесимметричные решения имеют смысл прежде всего для сравнительно толстостенных или тонкостенных на начальной стадии деформирования, или специально изготовленных оболочек. Например, Погорелов [54] провел эксперимент с медными сферическими оболочками, изготовленными путем напыления на специальную сферическую подложку. Результаты показали, что критические нагрузки близки к теоретическим для осесимметричной потери устойчивости. Черняев в работе [72] рассмотрел деформацию сжатой по оси слабо закрепленной изотропной оболочки вращения. В результате им была построена численная зависимость, которая показывает, что оболочка тем более склонна к потере устойчивости по осесимметричной форме, чем больше ее относительная толщина и меньше угол конусности, и, наоборот, относительно толстые близкие к цилиндрическим оболочки должны терять устойчивость несимметричным образом.
Существует значительное количество публикаций об осесимметричной устойчивости оболочек и, прежде всего, оболочек вращения. Нелинейность уравнений теории оболочек и, как следствие, многозначность решений приводят к тому, что указанная задача до сих пор не решена в общем виде. Среди работ, посвященных различным ее аспектам следует отметить работы Феодосьева [69], Воровичаи Зипаловой [22], Мескола [88], Валишвили, Стегния [15], Гри-голюка, Мамая, Фролова [32], Бауэра и др. [80], Срубщика [58]. Состояние проблемы, трудности численного решения отражены в статьях Григолюка, Мамая [36, 33], Арбокза [79], Бушнела [82], Фэмили и Арчера [83]. Решению нелинейных задач на ЭВМ посвящены работы Валишвили [14], Григоренко и Мукоеда [30]. Сравнение теоретических и экспериментальных данных про-
водится в обзоре Григолюка и Мамая [31] и статье Сейши и др. [91], в работе Погорелова [54].
Первой работой, в которой содержится вывод уравнений для пологих сферических куполов, является работа Маргерра [89]. Уравнения Маргерра состоят из двух связанных дифференциальных уравнений, неизвестными в которых являются перемещения и внутренние усилия. Считается, что уравнения Маргерра хорошо описывают конечные прогибы тонких пологих оболочек, т. е. прогибы, сравнимые с толщиной оболочек. Вычисления в рамках уравнений Маргера показывают, что незамкнутая оболочка может считаться пологой в случае, если отношение высоты подъема оболочки к ее наименьшему размеру в плане не превышает 1/5.
В теории конечных перемещений непологих оболочек не удается получить столь же удобных для приложений соотношений, как уравнения Маргерра. При исследовании симметричного и несимметричного деформирования цилиндрических оболочек чаще используют уравнения, полученные С. П. Тимошенко [62]. В случае осесимметричного деформирования непологих оболочек вращения хорошие результаты дают уравнения Рейсснера [95, 94, 92]. В качестве переменных в них приняты функция напряжений и угол поворота касательной к меридиану оболочки. Широкое распространение также получил варианты уравнений Шаповалова [73] и Валишвили [14]. Многочисленные работы были посвящены разработке аналитических и численных методов решения этих систем.
Сейчас одним из самых популярных методов является метод продолжения по параметру. Одним из первых к исследованию устойчивости сферической оболочки его применил Терстон [97]. Затем различные модификации этого, метода использовались многими авторами. Григолюк и Мамай [36] рассмотрели основные трудности численной реализации и возможности методов начальных параметров при исследовании нелинейного поведения тонких упругих оболочек. Эти методы существенно используют продолжение решения по параметру. В работе подробно рассматривается история развития этого направления и основные достижения. Обращено внимание на расходимость итерационных процессов при грубом начальном приближении или достижении особых точек на кривой "нагрузка-прогиб". Для получения решения рекомендуется смена параметра продолжения.
Шилькрут [75], а затем он же совместно с Вырланом [76] использовали для решения задач устойчивости метод "стрельбы по параметрам". При использовании данного метода возникают вычислительные проблемы, связанные с решением задачи Коши для плохо обусловленных систем. Поэтому его применение для тонких и непологих оболочек затруднительно, в особенности на больших интервалах интегрирования.
Келлер [85] предложил метод интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, который сводится к заданию неизвестных начальных параметров, интегрированию задачи Коши и применению итерационного метода Ньютона для уточнения начальных параметров. Однако, с увеличением геометрического параметра и интервала интегрирования возникают трудности с применением этого метода. Для получения решения часто используют прием Вейничке [101], когда интервал интегрирования разбивают на подинтервалы. В частности, этот прием широко использовался Валишвили [14] для расчета оболочек вращения.
Уравнения Рейсснера для случая действия сосредоточенных сил в вершине были проинтегрированы Месколлом [88] модифицированным конечно-разностным методом. Исследованию устойчивости сферических куполов посвящена работа Воровича и Минаковой [19]. На основе полученных ими уравнений теории конечных перемещений оболочек и метода Бубнова в высоких приближениях им удалось получить вместо краевой задачу Коши.
Феодосьев [70] методом начальных параметров рассмотрел выворачивание упругой замкнутой сферической оболочки.
Методом начальных параметров Бауэр и др.[80] рассмотрели устойчивость нагруженных равномерным давлением, защемленных по контуру полусферических оболочек различной степени тонкостенности. Связь "нагрузка-про-гиб"имела сложный петлеобразный характер.
Григолюк, Мамай и Фролов [32] исследовали осесимметричное поведение непологих сферических оболочек при различных видах нагружения и закрепления. Они сравнили три варианта уравнений теории конечных осесиммет-ричных перемещений непологих тонких оболочек: Рейсснера, модифицированный более точный вариант этих уравнений и уравнения Маргера для пологих оболочек, проанализировали результаты решения по различным теориям. По мнению авторов, наиболее приемлемым методом решения нелинейных краевых задач является сочетание шагового метода и ортогональной прогонки.
Осесимметричное деформирование шарнирно закрепленных по экватору полусфер под действием равномерного давления рассмотрел Коровайцев [45]. Корнейчук исследовал устойчивость равномерно нагруженных полусферических оболочек при пластических деформациях [44].
Метод, основанный на применении метода Ньютона в сочетании с методом матричной прогонки и процедурой продолжения по параметру нагрузки, был применен Срубщиком [58] для определения верхних критических нагрузок при осесимметричном прощелкивании сферических оболочек.
Для аналитического решения задач о больших деформациях оболочек вращения используются два основных метода: метод, основанный на решении
нелинейных уравнений равновесия оболочки и вариационный метод Погоре-лова [54, 55]. Этот метод основан на построении поля перемещений срединной поверхности, близкого к ее изгибаниям. Вариационным методом решены [54, 55] задачи осесимметричной деформации выпуклых оболочек вращения при внешнем давлении, под действием сосредоточенной в вершине купола силы и др. Непосредственное применение вариационного метода затруднено в случае, когда ребро приближается к краю оболочки. Этот случай рассмотрен в [59, 11, 10] и основан на сочетании вариационного метода с методом асимптотического интегрирования уравнений равновесия в окрестности края. Вариационный метод используется в [54, 55] также для исследования потери устойчивости безмоментного осесимметричного состояния оболочки, связанной с бифуркацией в неосесимметричную форму.
Ведущее место среди аналитических методов исследования устойчивости оболочек принадлежит методу асимптотического интегрирования, использующему малость относительной толщины, оболочки. Во многих случаях они приводят к удовлетворительному по точности приближенному решению или позволяют существенно упростить численное решение. Несмотря на приближенность метода, во многих случаях можно оценить погрешность результата. В сочетании с численными и экспериментальными данными асимптотические' формулы позволяют описать множество принципиально важных явлений и помочь их качественному пониманию. Обстоятельный обзор исследований по развитию и применению асимптотических методов содержится в работах і [20, 29].
Безотносительно задач механики, основные понятия асимптотических рядов, вопросы асимптотической оценки интегралов и разложений решений, дифференциальных уравнений можно найти в книгах [41, 78]. Кроме задач механики эти методы находят применение во множестве физических приложений, например в задачах квантовой механики, распространения волн и др. Вопросы* асимптотического моделирования в механике изложены в [9]*. Чрезвычайно важный в механике случай регулярного вырождения линейных дифференциальных уравнений с малым параметром изучен в работе Вишика и Люстерника [18].
В монографии [67] Товстик рассматривает ряд задач устойчивости тонких упругих оболочек, сводящихся к решению линейных краевых задач, в которых применение асимптотических методов позволяет получить приближенное решение или существенно упростить последующее численное решение. Исследована зависимость форм потери устойчивости от характера начального напряженного состояния, геометрии оболочки, ее закрепления и других факторов. Строятся формы потери устойчивости, локализованные в окрестности линий или точек на срединной поверхности.
Метод асимптотического интегрирования уравнений больших осесиммет-ричных деформаций оболочек вращения использован в работах, содержащих аналитическое исследование задачи (см. [68, 65, 66, 48, 87, 11, 10, 42, 46, 99, 59, 77] и др.). Схема метода во всех работах одна и та же. После перехода к безразмерным переменным получается сингулярно возмущенная система обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром /і при производных. При /і = 0 такая система дает безмоментное решение, которое может быть найдено в явном виде.
В работе [66] метод асимптотического интегрирования был использован Товстиком для получения уточненных соотношений упругости. Погрешность линейной теории оболочек имеет порядок малой безразмерной толщины оболочки. В нелинейных задачах погрешность теории оболочек возрастает с увеличением деформаций, причем основную неточность вносят соотношения упругости, связывающие усилия и моменты с деформациями. В работе [66] из трехмерных уравнений теории упругости выведены уточненные соотношения упругости, при использовании которых погрешность нелинейной теории оболочек имеет порядок безразмерной толщины оболочки в достаточно широком диапазоне изменения деформаций. Это позволяет, в частности, исследовать большие осесимметричные деформации оболочки вращения.
Внедрение в инженерную практику композиционных материалов привело к развитию уточненных теорий, учитывающих специфические особенности поведения оболочек, в частности низкую трансверсальную (сдвиговую), жесткость. Уточненными называют теории, которые отличаются от обычных классических наличием в дифференциальных уравнениях дополнительных членов, расширяющих, в некотором смысле, области применения классических теорий. Классические теории стержней основаны на гипотезе плоских сечений, пластин — на гипотезах Кирхгофа и оболочек — на гипотезах Кирхгофа-Лява. По существу, в этих теориях применяются простейшие — линейные по поперечной координате аппроксимации и не учитывающие упругие поперечные взаимодействия. Появление уточненных теорий обусловлено тем, что классические теории при решении ряда задач современной техники приводили к заметным погрешностям.
Система дифференциальных уравнений классической теории упругих оболочек несовместна с естественными краевыми условиями: она обеспечивает выполнение четырех независимых граничных условий вместо пяти. Устранение этого противоречия посредством сокращения числа граничных условий усложняет классическую теорию. Уточненные теории оболочек типа Тимошенко свободны от этого недостатка. Под теорией оболочек типа Тимошенко принято понимать теории, которые приводят в общем случае (без учета обжатия по толщине) к решению гиперболических дифференциальных уравнений
в частных производных десятого порядка. В основу этих теорий положена высказанная СП. Тимошенко в 1921 году идея о необходимости учета влияния поперечного сдвига на частоту поперечных колебаний в задаче о колебаниях призматического стержня [98, 61, 60]. В настоящее время теории оболочек типа Тимошенко стали основными при решении ряда прикладных задач прочности и динамики оболочечных конструкций. Число публикаций по данной проблеме чрезвычайно велико и достаточно полные сведения можно почерпнуть из работ обзорного характера [8, 21, 27, 39].
Геометрически линейная теория однородных оболочек типа Тимошенко построена в работах [53, 74, 90, 96, 93]. Линейные теории многослойных оболочек в рамках гипотез Тимошенко развиты в работах [16, 47, 49] и др. Геометрически нелинейная теория является менее исследованной. Общим вопросам нелинейной теории однородных оболочек с учетом поперечных сдвигов посвящены фундаментальные работы [7, 25, 23].
Айнола [7] построил теорию упругих анизотропных оболочек типа Тимошенко на основе обобщенного вариационного принципа Гамильтона - Остроградского. Галимовым выведены уравнения движения при конечных перемещениях, а также получены уравнения неразрывности деформаций. Применение нелинейной теории оболочек типа Тимошенко при решении прочности, устойчивости и динамики однородных оболочек можно найти в монографиях [24, 23]. Многослойные изотропные и ортотропные оболочки по сдвиговой модели типа Тимошенко обсуждались в работах [13, 26, 56, 57, 84] и др. Варианты геометрически нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек конечной сдвиговой жесткости рассмотрены в работах [34, 35, 50, 102, 1].
Оболочки вращения широко используются во многих отраслях современного производства. Причем, все шире используются многослойные композитные оболочки. Такие оболочки зачастую превосходят по характеристикам традиционные металлические конструкции. Однако, в силу их малой жесткости и тонкостенности на первый план выходит проблема устойчивости таких конструкций. "Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек при осевом сжатии была исследована в работах [63, 86, 17].
Среди факторов, существенно влияющих на величину критической нагрузки, одним из важнейших является слабое закрепление краев. В случае осевого сжатия цилиндрической оболочки, у которой края могут свободно перемещаться в радиальном направлении, критическая нагрузка падает примерно вдвое по сравнению с оболочкой с жестко закрепленными краями, см., например, [40].
Устойчивость слабо закрепленных оболочек вращения рассмотрена в [67]. Формы потери устойчивости оболочек вращения, локализованные в окрестности края, исследованы в [51, 64]. Определению предельной нагрузки при осе-
вом сжатии нелинейно упругой оболочки вращения, посвящена работа [48]. К задаче об устойчивости оболочки вращения со свободным краем тесно примыкает задача об осесимметричном сжатии оболочки вращения с изломом. Этот класс задач охватывает всевозможные соединения тонкостенных конструкций, используемых в промышленности. Применительно к нелинейно упругим оболочкам вращения, этот случай был рассмотрен в работе [65]. Осесиммет-ричная устойчивость нелинейно упругой оболочки вращения с учетом сдвига при различных условиях закрепления исследуется в главе 3 настоящей работы. Сравнение осесимметричной потери устойчивости и бифуркации в осесимметричную форму слабо закрепленных оболочек вращения было проведено в работе [72] и, с учетом сдвига, в главе 4 настоящей работы.
В настоящей работе рассмотрено несколько задач устойчивости трансвер-сально - изотропных оболочек вращения при осевом сжатии с учетом поперечного сдвига.
Вводная глава — Осесимметричная деформация оболочки вращения,— содержит в себе вывод основных соотношений, используемых в дальнейшем: вводятся соотношения, описывающие геометрию оболочки вращения, двухмерные уравнения равновесия и соотношения упругости. При написании последних для модели оболочки типа Тимошенко, учитывающей поперечный сдвиг, принимается, что нормальные до деформации волокна остаются прямолинейными, однако они уже не перпендикулярны к деформированной срединной поверхности. Вводится угол сдвига 5 и принимается, что перерезывающее усилие Qi пропорционально этому углу
Qi = kGh5,
где G — модуль сдвига, h — толщина оболочки, к — поправочный коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по толщине и обычно принимаемый равным к — 5/6. Угол сдвига также вводится и в выражения для моментов. Далее показано, что уравнения равновесия, геометрические соотношения и соотношения упругости образуют вместе замкнутую систему пятого порядка, которая и используется в дальнейшем при исследовании осесимметричной деформации оболочки вращения.
В следующей главе исследуется осесимметричная потеря устойчивости транс-версально-изотропных оболочек вращения при различных условиях закрепления. Осесимметричная потеря устойчивости происходит, когда сжимающая нагрузка достигает предельной точки на кривой нагрузка - прогиб, в которой
после чего нагрузка падает. Сначала исследуется оболочка, один край которой закреплен в радиальном направлении, а другой может свободно сколь-
зить по опорной плоскости. При определении величины предельной нагрузки используется метод асимптотического интегрирования, который позволяет существенно упростить нелинейную систему, подлежащую численному решению, а безразмерную предельную нагрузку Р искать в виде
Р = Р + /х(/о+ ./> + /**), (1.1),
где v - коэффициент Пуассона, А; - кривизна оболочки, а Р, /о, fu, fk~~ величины, зависящие только от угла конусности оболочки и сдвигового параметра, характеризующего мягкость на сдвиг в поперечном направлении. Величина fi, входящая в (1.1), пропорциональна корню квадратному от относительной толщины оболочки. Следующей рассматривается задача об осе-симметричном сжатии оболочки вращения с изломом срединной поверхности, которую также можно трактовать как задачу о сопряжении двух оболочек. Для ее решения также применен метод асимптотического интегрирования и выведена формула аналогичная (1.1). Дополнительно рассмотрены случаи устойчивости слоистой оболочки и оболочки, подкрепленной упругим кольцом. Все полученные аналитические результаты сопровождаются результатами численных расчетов. В конце главы сравниваются результаты, рассчитанные при разных значениях сдвигового параметра, оценивается величина поправки, вносимая в величину критической нагрузки моделью оболочки типа Тимошенко, по сравнению с величиной, полученной для классической оболочки типа Кирхгофа-Лява.
В последней главе выводится система уравнений устойчивости оболочки типа Тимошенко для случая, когда состояние, предшествующее бифуркации оболочки, является осесимметрично деформированным и описывается нелинейной системой уравнений пятого порядка. С использованием полученной системы рассматриваются две краевые задачи для оболочки, которая находится под действием осевой сжимающей силы Р, приложенной к ее торцам. В первой задаче один край оболочки закреплен в радиальном направлении, а другой край может свободно скользить по опорной плоскости. Во второй задаче оболочка жестко закреплена по обоим краям, но имеет излом образующей срединной поверхности. В обеих задачах численно ищется критическая величина осевого сжимающего услилия Р, при которой оболочка потеряет устойчивость вследствие бифуркации, если выполнится условие существования ненулевого решения системы уравнений устойчивости, или осесиммет-ричным образом, при достижении предельной точки на кривой нагрузка-прогиб. На. основании полученных численных результатов устанавливаются условия, при которых имеет место тот или иной вид потери устойчивости.
Цель работы. В представленной работе оценивается влияние сдвига на , устойчивость оболочек вращения при различных условиях закрепления, а также сравниваются разные виды потери устойчивости.
Методы исследования. В работе активно применяются асимптотические методы, основанные на использовании малости относительной толщины оболочки и получившие широкое развитие в работах Гольденвейзера, Ворови-ча, Товстика и т.д. Для проверки асимптотических результатов применяются различные численные методы: метод начальных параметров, метод ортогональной прогонки, метод пристрелки, метод продолжения по параметру. При исследовании осесимметричной деформации оболочек вращения при больших поворотах нормали использованы уравнения Валишвили-Шилькрута. Для учета сдвига-используется модель Тимошенко-Рейсснера, получившая развитие в работах Рейсснера, Айнолы, Галимова, Григолюка и т.д.
Результаты, выносимые на защиту.
Получены асимптотические формулы, описывающие зависимость критической нагрузки оболочки от различных параметров: сдвигового параметра, угла конусности, кривизны. Для нескольких видов закрепления оболочек вращения рассчитана критическая нагрузка, имеющая место при различных значениях сдвигового параметра, угла конусности и кривизны.
Для оболочки, имеющей излом и подкрепленной упругим кольцом, приведены графики зависимостей, рассчитанные для разных сдвиговых параметров. Точки графиков показывают какая относительная толщина кольца обеспечивает при заданных значениях сдвигового параметра и угла конусности подкрепление, исключающее осесимметричную потерю устойчивости оболочки.
Проведено сравнение двух видов потери устойчивости трансверсально-изотропной оболочки вращения при осевом сжатии и найдены условия, при которых имеет место тот или иной вид потери устойчивости. Исследовано влияние сдвига на вид, по которому оболочка теряет устойчивость.
Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при расчетах на устойчивость широкого класса оболочечных конструкций. Особую ценность представляют результаты, связанные с оценкой влияния поперечного сдвига, из-за трудностей численного моделирования таких задач.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы [3, 4, 5, 6]. Основные результаты диссертации докладывались на международной научной конференции по механике "Четвертые поляховские чтения"( Санкт-Петербург, 2006) и на научно-практической конференции "Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития"(Одесса, 2005).
Структура и объем диссертации. Работа состоит из четырех глав и заключения. Глава 1 — введение. Глава 2 носит вспомогательный характер и содержит в себе обзор основных соотношений осесимметричной деформации оболочек вращения, используемых в дальнейшем. В главе 3 для нескольких видов закрепления оболочек вращения с учетом сдвига исследуется осесим-метричная потеря устойчивости оболочек вращения неотрицательной гауссовой кривизны. Глава 4 дополняет предыдущую главу и посвящена определению условий, при которых имеет место тот или иной вид потери устойчивости, т.е. осесимметричная потеря устойчивости или бифуркация осесимметричной формы. Заключение содержит основные выводы. Общий объем диссертации составляет 68 страниц, включая 10 рисунков, 10 таблиц и библиографию, содержащую 102 наименования.
Виды потери устойчивости при осевом сжатии
Оболочечные конструкции сочетают в себе легкость с высокой прочностью и поэтому находят широкое применение во многих отраслях промышленности, например в судо- и авиастроении, ракетной технике, строительстве, машиностроении, медицине. При проектировании тонкостенных оболочечных конструкций одним из основных шагов является расчет на устойчивость. Однако, в большинстве случаев простой расчет на устойчивость дает значительно большие величины критических нагрузок, чем способна вынести конструкция на самом деле. Причины данного явления кроются в неоднородности материала, несовершенствах формы, закрепления оболочки или самой нагрузки и т.п. В настоящее время расчет на устойчивость произвольной системы одним из численных методов не представляет принципиальных трудностей. Однако, аналитические результаты дают качественное понимание вопроса и помогают корректно формулировать задачи при численном моделировании, а также контролировать результаты. С другой стороны, учет неправильностей и неоднородности при численном моделировании представляет значительные трудности из-за их непредсказуемого характера в реальной конструкции.
Нелинейное упругое деформирование тонкостенных конструкций давно привлекает внимание исследователей. Однако, проблема изучена далеко недостаточно. Интерес к ней связан прежде всего с применением в строительстве и машиностроении тонкостенных легких конструкций из новых материалов, особенно в таких областях, как кораблестроение, авиация и ракетно-космическая техника. Интересно также отметить, что механика тонкостенных конструкций находит свое применение и при исследовании живых организмов. Например, кровеносные сосуды (артерии и вены) и человеческий глаз, с механической точки зрения, представляют собой многослойные тонкостенные оболочки (см., например, [12]).
Расчет напряжений и деформаций тонких упругих оболочек является достаточно сложной задачей. Соответствующая система уравнений может быть получена из трехмерных уравнений теории упругости при помощи введения тех или иных допущений. Обычно используется относительная малость толщины оболочки по сравнению с ее размерами в плане, что позволяет свести задачу к двухмерной. Среди последних работ, в которых дается систематическое изложение общей нелинейной теории оболочек, следует отметить [43].
В настоящее время полная картина деформирования тонкой оболочки при больших прогибах не построена даже для оболочек простейшей геометрической формы. Многочисленные теоретические и экспериментальные исследо-вания показывают, что характер поведения оболочек при потере устойчивости чрезвычайно сложен и определяется многими факторами: геометрией, видом нагружения, условиями закрепления и т.п. Изначально симметричные оболочки вращения, как правило, теряют устойчивость несимметричным образом, т.е. имеет место бифуркация осесимметричной формы равновесия. Отметим, что исследованию вопроса о бифуркации осесимметричного равновесия посвящено большое число работ (см., например, [38, 67, 54, 14]).
При этом на докритической стадии могут наблюдаться осесимметричные прогибы порядка толщины оболочки. Поэтому осесимметричные решения имеют смысл прежде всего для сравнительно толстостенных или тонкостенных на начальной стадии деформирования, или специально изготовленных оболочек. Например, Погорелов [54] провел эксперимент с медными сферическими оболочками, изготовленными путем напыления на специальную сферическую подложку. Результаты показали, что критические нагрузки близки к теоретическим для осесимметричной потери устойчивости. Черняев в работе [72] рассмотрел деформацию сжатой по оси слабо закрепленной изотропной оболочки вращения. В результате им была построена численная зависимость, которая показывает, что оболочка тем более склонна к потере устойчивости по осесимметричной форме, чем больше ее относительная толщина и меньше угол конусности, и, наоборот, относительно толстые близкие к цилиндрическим оболочки должны терять устойчивость несимметричным образом.
Построение системы нулевого приближения
Существует значительное количество публикаций об осесимметричной устойчивости оболочек и, прежде всего, оболочек вращения. Нелинейность уравнений теории оболочек и, как следствие, многозначность решений приводят к тому, что указанная задача до сих пор не решена в общем виде. Среди работ, посвященных различным ее аспектам следует отметить работы Феодосьева [69], Воровичаи Зипаловой [22], Мескола [88], Валишвили, Стегния [15], Гри-голюка, Мамая, Фролова [32], Бауэра и др. [80], Срубщика [58]. Состояние проблемы, трудности численного решения отражены в статьях Григолюка, Мамая [36, 33], Арбокза [79], Бушнела [82], Фэмили и Арчера [83]. Решению нелинейных задач на ЭВМ посвящены работы Валишвили [14], Григоренко и Мукоеда [30]. Сравнение теоретических и экспериментальных данных про водится в обзоре Григолюка и Мамая [31] и статье Сейши и др. [91], в работе Погорелова [54].
Первой работой, в которой содержится вывод уравнений для пологих сферических куполов, является работа Маргерра [89]. Уравнения Маргерра состоят из двух связанных дифференциальных уравнений, неизвестными в которых являются перемещения и внутренние усилия. Считается, что уравнения Маргерра хорошо описывают конечные прогибы тонких пологих оболочек, т. е. прогибы, сравнимые с толщиной оболочек. Вычисления в рамках уравнений Маргера показывают, что незамкнутая оболочка может считаться пологой в случае, если отношение высоты подъема оболочки к ее наименьшему размеру в плане не превышает 1/5.
В теории конечных перемещений непологих оболочек не удается получить столь же удобных для приложений соотношений, как уравнения Маргерра. При исследовании симметричного и несимметричного деформирования цилиндрических оболочек чаще используют уравнения, полученные С. П. Тимошенко [62]. В случае осесимметричного деформирования непологих оболочек вращения хорошие результаты дают уравнения Рейсснера [95, 94, 92]. В качестве переменных в них приняты функция напряжений и угол поворота касательной к меридиану оболочки. Широкое распространение также получил варианты уравнений Шаповалова [73] и Валишвили [14]. Многочисленные работы были посвящены разработке аналитических и численных методов решения этих систем.
Сейчас одним из самых популярных методов является метод продолжения по параметру. Одним из первых к исследованию устойчивости сферической оболочки его применил Терстон [97]. Затем различные модификации этого, метода использовались многими авторами. Григолюк и Мамай [36] рассмотрели основные трудности численной реализации и возможности методов начальных параметров при исследовании нелинейного поведения тонких упругих оболочек. Эти методы существенно используют продолжение решения по параметру. В работе подробно рассматривается история развития этого направления и основные достижения. Обращено внимание на расходимость итерационных процессов при грубом начальном приближении или достижении особых точек на кривой "нагрузка-прогиб". Для получения решения рекомендуется смена параметра продолжения.
Шилькрут [75], а затем он же совместно с Вырланом [76] использовали для решения задач устойчивости метод "стрельбы по параметрам". При использовании данного метода возникают вычислительные проблемы, связанные с решением задачи Коши для плохо обусловленных систем. Поэтому его применение для тонких и непологих оболочек затруднительно, в особенности на больших интервалах интегрирования. Келлер [85] предложил метод интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, который сводится к заданию неизвестных начальных параметров, интегрированию задачи Коши и применению итерационного метода Ньютона для уточнения начальных параметров. Однако, с увеличением геометрического параметра и интервала интегрирования возникают трудности с применением этого метода. Для получения решения часто используют прием Вейничке [101], когда интервал интегрирования разбивают на подинтервалы. В частности, этот прием широко использовался Валишвили [14] для расчета оболочек вращения.
Оболочка, подкрепленная упругим кольцом
Уравнения Рейсснера для случая действия сосредоточенных сил в вершине были проинтегрированы Месколлом [88] модифицированным конечно-разностным методом. Исследованию устойчивости сферических куполов посвящена работа Воровича и Минаковой [19]. На основе полученных ими уравнений теории конечных перемещений оболочек и метода Бубнова в высоких приближениях им удалось получить вместо краевой задачу Коши. Феодосьев [70] методом начальных параметров рассмотрел выворачивание упругой замкнутой сферической оболочки. Методом начальных параметров Бауэр и др.[80] рассмотрели устойчивость нагруженных равномерным давлением, защемленных по контуру полусферических оболочек различной степени тонкостенности. Связь "нагрузка-про-гиб"имела сложный петлеобразный характер. Григолюк, Мамай и Фролов [32] исследовали осесимметричное поведение непологих сферических оболочек при различных видах нагружения и закрепления. Они сравнили три варианта уравнений теории конечных осесиммет-ричных перемещений непологих тонких оболочек: Рейсснера, модифицированный более точный вариант этих уравнений и уравнения Маргера для пологих оболочек, проанализировали результаты решения по различным теориям. По мнению авторов, наиболее приемлемым методом решения нелинейных краевых задач является сочетание шагового метода и ортогональной прогонки. Осесимметричное деформирование шарнирно закрепленных по экватору полусфер под действием равномерного давления рассмотрел Коровайцев [45]. Корнейчук исследовал устойчивость равномерно нагруженных полусферических оболочек при пластических деформациях [44]. Метод, основанный на применении метода Ньютона в сочетании с методом матричной прогонки и процедурой продолжения по параметру нагрузки, был применен Срубщиком [58] для определения верхних критических нагрузок при осесимметричном прощелкивании сферических оболочек.
Для аналитического решения задач о больших деформациях оболочек вращения используются два основных метода: метод, основанный на решении нелинейных уравнений равновесия оболочки и вариационный метод Погоре-лова [54, 55]. Этот метод основан на построении поля перемещений срединной поверхности, близкого к ее изгибаниям. Вариационным методом решены [54, 55] задачи осесимметричной деформации выпуклых оболочек вращения при внешнем давлении, под действием сосредоточенной в вершине купола силы и др. Непосредственное применение вариационного метода затруднено в случае, когда ребро приближается к краю оболочки. Этот случай рассмотрен в [59, 11, 10] и основан на сочетании вариационного метода с методом асимптотического интегрирования уравнений равновесия в окрестности края. Вариационный метод используется в [54, 55] также для исследования потери устойчивости безмоментного осесимметричного состояния оболочки, связанной с бифуркацией в неосесимметричную форму.
Ведущее место среди аналитических методов исследования устойчивости оболочек принадлежит методу асимптотического интегрирования, использующему малость относительной толщины, оболочки. Во многих случаях они приводят к удовлетворительному по точности приближенному решению или позволяют существенно упростить численное решение. Несмотря на приближенность метода, во многих случаях можно оценить погрешность результата. В сочетании с численными и экспериментальными данными асимптотические формулы позволяют описать множество принципиально важных явлений и помочь их качественному пониманию. Обстоятельный обзор исследований по развитию и применению асимптотических методов содержится в работах і [20, 29].
Интегрирование системы уравнений устойчивости
Безотносительно задач механики, основные понятия асимптотических рядов, вопросы асимптотической оценки интегралов и разложений решений, дифференциальных уравнений можно найти в книгах [41, 78]. Кроме задач механики эти методы находят применение во множестве физических приложений, например в задачах квантовой механики, распространения волн и др. Вопросы асимптотического моделирования в механике изложены в [9] . Чрезвычайно важный в механике случай регулярного вырождения линейных дифференциальных уравнений с малым параметром изучен в работе Вишика и Люстерника [18].
В монографии [67] Товстик рассматривает ряд задач устойчивости тонких упругих оболочек, сводящихся к решению линейных краевых задач, в которых применение асимптотических методов позволяет получить приближенное решение или существенно упростить последующее численное решение. Исследована зависимость форм потери устойчивости от характера начального напряженного состояния, геометрии оболочки, ее закрепления и других факторов. Строятся формы потери устойчивости, локализованные в окрестности линий или точек на срединной поверхности. Метод асимптотического интегрирования уравнений больших осесиммет-ричных деформаций оболочек вращения использован в работах, содержащих аналитическое исследование задачи (см. [68, 65, 66, 48, 87, 11, 10, 42, 46, 99, 59, 77] и др.). Схема метода во всех работах одна и та же. После перехода к безразмерным переменным получается сингулярно возмущенная система обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром /і при производных. При /І = 0 такая система дает безмоментное решение, которое может быть найдено в явном виде.
В работе [66] метод асимптотического интегрирования был использован Товстиком для получения уточненных соотношений упругости. Погрешность линейной теории оболочек имеет порядок малой безразмерной толщины оболочки. В нелинейных задачах погрешность теории оболочек возрастает с увеличением деформаций, причем основную неточность вносят соотношения упругости, связывающие усилия и моменты с деформациями. В работе [66] из трехмерных уравнений теории упругости выведены уточненные соотношения упругости, при использовании которых погрешность нелинейной теории оболочек имеет порядок безразмерной толщины оболочки в достаточно широком диапазоне изменения деформаций. Это позволяет, в частности, исследовать большие осесимметричные деформации оболочки вращения.
Внедрение в инженерную практику композиционных материалов привело к развитию уточненных теорий, учитывающих специфические особенности поведения оболочек, в частности низкую трансверсальную (сдвиговую), жесткость. Уточненными называют теории, которые отличаются от обычных классических наличием в дифференциальных уравнениях дополнительных членов, расширяющих, в некотором смысле, области применения классических теорий. Классические теории стержней основаны на гипотезе плоских сечений, пластин — на гипотезах Кирхгофа и оболочек — на гипотезах Кирхгофа-Лява. По существу, в этих теориях применяются простейшие — линейные по поперечной координате аппроксимации и не учитывающие упругие поперечные взаимодействия. Появление уточненных теорий обусловлено тем, что классические теории при решении ряда задач современной техники приводили к заметным погрешностям.
Система дифференциальных уравнений классической теории упругих оболочек несовместна с естественными краевыми условиями: она обеспечивает выполнение четырех независимых граничных условий вместо пяти. Устранение этого противоречия посредством сокращения числа граничных условий усложняет классическую теорию. Уточненные теории оболочек типа Тимошенко свободны от этого недостатка. Под теорией оболочек типа Тимошенко принято понимать теории, которые приводят в общем случае (без учета обжатия по толщине) к решению гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных десятого порядка. В основу этих теорий положена высказанная СП. Тимошенко в 1921 году идея о необходимости учета влияния поперечного сдвига на частоту поперечных колебаний в задаче о колебаниях призматического стержня [98, 61, 60]. В настоящее время теории оболочек типа Тимошенко стали основными при решении ряда прикладных задач прочности и динамики оболочечных конструкций. Число публикаций по данной проблеме чрезвычайно велико и достаточно полные сведения можно почерпнуть из работ обзорного характера [8, 21, 27, 39].
Геометрически линейная теория однородных оболочек типа Тимошенко построена в работах [53, 74, 90, 96, 93]. Линейные теории многослойных оболочек в рамках гипотез Тимошенко развиты в работах [16, 47, 49] и др. Геометрически нелинейная теория является менее исследованной. Общим вопросам нелинейной теории однородных оболочек с учетом поперечных сдвигов посвящены фундаментальные работы [7, 25, 23].
Айнола [7] построил теорию упругих анизотропных оболочек типа Тимошенко на основе обобщенного вариационного принципа Гамильтона - Остроградского. Галимовым выведены уравнения движения при конечных перемещениях, а также получены уравнения неразрывности деформаций. Применение нелинейной теории оболочек типа Тимошенко при решении прочности, устойчивости и динамики однородных оболочек можно найти в монографиях [24, 23]. Многослойные изотропные и ортотропные оболочки по сдвиговой модели типа Тимошенко обсуждались в работах [13, 26, 56, 57, 84] и др. Варианты геометрически нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек конечной сдвиговой жесткости рассмотрены в работах [34, 35, 50, 102, 1].
Оболочки вращения широко используются во многих отраслях современного производства. Причем, все шире используются многослойные композитные оболочки. Такие оболочки зачастую превосходят по характеристикам традиционные металлические конструкции. Однако, в силу их малой жесткости и тонкостенности на первый план выходит проблема устойчивости таких конструкций. "Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек при осевом сжатии была исследована в работах [63, 86, 17].
Среди факторов, существенно влияющих на величину критической нагрузки, одним из важнейших является слабое закрепление краев. В случае осевого сжатия цилиндрической оболочки, у которой края могут свободно перемещаться в радиальном направлении, критическая нагрузка падает примерно вдвое по сравнению с оболочкой с жестко закрепленными краями, см., например, [40].
Похожие диссертации на Влияние сдвига на устойчивость оболочек вращения при осевом сжатии
