Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 3
1.1 Актуальность темы 3
1.2 Цель работы 3
1.3 Методы исследования 4
1.4 Результаты, выносимые на защиту 4
1.5 Практическая ценность 5
1.6 Апробация работы 5
1.7 Публикации С
1.8 Структура и объем диссертации G
1.9 Обзор литературы G
2 Влияние осесимметричных несовершенств формы на точку бифуркации осесимметричного равновесия оболочек вращения при слож ном нагружении 15
2.1 Введение 15
2.2 Постановка задачи 16
2.3 Классификация форм потери устойчивости идеальной оболочки . 18
2.4 Интегрирование уравнений устойчивости 19
2.5 Сравнение с численными результатами 23
3 Сравнение двух видов потери устойчивости оболочек вращения при осевом сжатии. 25
3.1 Введение 25
3.2 Осесиммстричная потеря устойчивости 26
3.3 Бифуркация в неосесимметричное равновесие 28
3.4 Вывод системы уравнений устойчивости 29
3.5 Численное интегрирование 34
3.6 Результаты 34
4 Нелинейное деформирование тонких оболочек с учетом несовершенств формы срединной поверхности . 37
4.1 Введение 37
4.2 Алгоритм решения 38
4.3 Круговая цилиндрическая оболочка при равномерном внешнем давлении 39
4.4 Оболочка вращения при комбинированном нагружении в особом случае 43
4.5 Заключение 45
5 Устойчивость оболочек с упругим заполнителем 46
5.1 Введение 46
5.2 Влияние краев на устойчивость пластины, лежащей на упругом основании 47
5.3 Аналитическое решение 47
5.4 Численное решение 49
6 Математическая модель колебаний колокола . 50
G.1 Определяющие уравнения 51
6.2 Граничные условия 54
G.3 Метод прогонки 55
G.4 Алгоритм вычисления частот и ([юрм собственных колебаний 57
7 Подбор геометрической формы колокола по заданному звучанию . 58
7.1 Введение 58
7.2 Алгоритм расчета частот. 59
7.3 Сравнение с экспериментом GO
7.4 Алгоритм подбора формы G1
7.5 Пример применении алгоритма G2
7.G Обсуждение
- Результаты, выносимые на защиту
- Классификация форм потери устойчивости идеальной оболочки
- Вывод системы уравнений устойчивости
- Оболочка вращения при комбинированном нагружении в особом случае
Введение к работе
Оболочечные конструкции сочетают в себе легкость с высокой прочностью и поэтому находят широкое применение во многих отраслях промышленности, например в судо- и авиастроении, ракетной технике, строительстве, машиностроении, офтальмологии. При проектировании тонкостенных оболочечных конструкций одним из основных шагов является расчет на устойчивость. Однако в большинстве случаев простой расчет на устойчивость дает значительно большие величины критических нагрузок, чем способна вынести конструкция на самом деле. Причины данного явления кроются в несовершенствах формы, материала или закрепления оболочки или самой нагрузки. В настоящее время расчет на устойчивость произвольной системы одним из численных методов не представляет принципиальных трудностей. Однако аналитические результаты дают качественное понимание вопроса и помогают корректно формулировать задачи при численном моделировании, а также контролировать результаты. С другой стороны, учет неправильностей при численном моделировании представляет значительные трудности из-за их непредсказуемого характера в реальной конструкции.
1.2 Цель работы
Оценка влияния несовершенств формы и наличия упругого заполнителя на устойчивость оболочек, сравнение разных видов потери устойчивости, построение модели свободных колебаний колокола на основе теории тонких оболочек, разработка алгоритма подбора частот колокола по заданному набору частот.
1.3 Методы исследования
Во всех главах настоящей работы используются те или иные асимптотические методы, основанные на использовании малости относительной толщины оболочки. Для проверки асимптотических результатов применяются различные численные методы, в том числе метод конечных элементов.
Во второй главе обобщены формулы Койтера, Амазиго, Будянски и Товстика для оценки чувствительности критической нагрузки к несовершенствам формы. Использованы результы Григолюка, Кабанова и Ширшова, касающиеся локальной устойчивости оболочек.
Для решения задачи об устойчивости оболочек вращения вблизи края использованы уравнения Валишвили, Товстика осесимметричной деформации оболочек вращения при больших поворотах нормали.
В четвертой главе, следуя Амазиго и Будянски, при исследовании чувствительности оболочек к циклическим неосесимметричным неправильностям рассматриваются неправильности, по форме совпадающие с формой потери устойчивости идеальной оболочки. Полученные результаты продолжают работы Лоренца, Тимошенко, Арбоша (Arbocz), Бушпелла (Bushnell), Ten га (Teng), Товстика.
Для решения задач устойчивости используется система уравнений Муш-тари—Доннела—Власова (во 2 и 4 главах).
При исследовании влияния краев на устойчивость оболочек используется обобщение модели Винклера упругого основания, разработанное в книге Гулина, Ильгамова и Иванова.
Для построения математической модели колебания колоколов использованы фундаментальные результаты по динамике тонких упругих оболочек, представленные в работах Лява, Гольденвейзера, Лидского, Новожилова, Товстика, Поверуса, Нигула, Алумяэ, Срубщика, Болотина и Асланяна.
1.4 Результаты, выносимые на защиту
• Получены асимптотические формулы, описывающие влияние осесим-метричных несовершенств формы на точку бифуркации осесимметрич-ного равновесия оболочек вращения при сложном нагружении.
• Проведено сравнение двух видов потери устойчивости оболочек вращения при осевом сжатии и найдены условия, при которых имеет место тот или иной вид потери устойчивости.
• Исследована задача о нелинейном деформировании тонких оболочек с учетом несовершенств формы. Получены асимптотические формулы, описывающие чувствительность критической нагрузки к циклическим неосесимметричным несовершенствам.
• Изучен вопрос о влиянии краев на устойчивости оболочек с упругим наполнителем.
• На основе двумерной теории оболочек построена математическая модель колебаний колокола. Проведено сравнение с экспериментальными данными.
• Построен алгоритм подбора формы колокола по заданному набору частот.
1.5 Практическая ценность
Полученные результаты могут быть использованы при расчетах на устойчивость широкого класса оболочечных конструкций. Особую ценность представляют результаты, связанные с оценкой влияния несовершенств формы оболочек, из-за трудностей численного моделирования таких задач.
Построенная математическая модель колебаний колокола может быть использована для частотного анализа колокольного звона. Алгоритм подбора формы колокола по заданному звучанию напрямую отвечает актуальной сейчас проблеме воссоздания звучания старых русских колоколов.
1.6 Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на XX международной конференции по теории оболочек и иластин(Н. Новгород, 2002), XXXII International Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics" (Репино, 2004), Третьей конференции молодых ученых научной школы академика В.В. Новожилова (Санкт-Петербург, 2004), объединенном семинаре СПбГУ и ПГУПС "Компьютерные методы в механике сплошной среды"(Computer Methods in Continuum Mechanics).
1.7 Публикации.
По теме диссертации опубликовано восемь работ [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8].
1.8 Структура и объем диссертации
Работа состоит из введения (глава 1) и двух частей, посвященных устойчивости (главы 2-5) и колебаниям (главы 0,7) упругих оболочек вращения. Все рассмотренные вопросы объединены использованием асимптотических методов.
Общий объем диссертации составляет 60 страниц, включая 15 рисунков, 4 таблицы и 8 страниц библиографии, содержащей 104 наименований.
1.9 Обзор литературы
Расчет напряжений и деформаций тонких упругих оболочек является достаточно сложной задачей. Соответствующая система уравнений может быть получена из трехмерных уравнений теории упругости при помощи введения тех или иных допущений. Обычно используется относительная малость толщины оболочки по сравнению с ее размерами в плане, что позволяет свести задачу к двухмерной. Среди последних работ по теория оболочек заслуживает внимания [9]. Современное состояние нелинейной теории упругости представлено в монографии Черныха [10].
В общем случае система уравнений равновесия оболочки является нелинейной системой уравнений высокого порядка в частных производных с переменными коэффициентами и не поддастся качественному анализу. В более узких классах задач можно ввести различные упрощения, например разделить переменные или считать коэффициенты постоянными, и получить приближенное аналитическое решение. Однако оказывается, что это еще только пол дела. В самом деле, если не рассматривать проблемы устойчивости, несущая способность, например, цилиндрической оболочки или стержня при осевом сжатии ограничивается только прочностью материала и намного превосходит реальную несущую способность. Но, точно так же как неустойчиво положение шарика на острие конуса, неустойчивым является равновесие точек стержня или оболочки при достаточно большой нагрузке. Для описания устойчивости стержней в большинстве случаев достаточно формулы Эйлера. Формы же потери устойчивости оболочек бесконечно многообразны.
Вмятина при потере устойчивости может захватывать всю поверхность оболочки или большую ее часть (например выпуклая пологая оболочка под действием нормальной нагрузки, при этом форма оболочки после потери устойчивости близка к зеркальному отражению недефор-мировашюй оболочки) или потеря устойчивости может происходить с образованием множества мелких вмятин. Вмятины в этом случае могут покрывать всю поверхность оболочки (цилиндрическая оболочка при осевом сжатии, оболочки отрицательной гауссовой кривизны) или локализоваться в окрестностях некоторых линий или точек на поверхности оболочки, вдали или вблизи краев (коническая оболочка со слабо закрепленным краем при осевом сжатии).
Первые результаты по устойчивости оболочек были получены в начале ХХ-го века в работах Тимошенко [11] и Лоренца [12]. Были рассмотрены идеальные цилиндрические оболочки с шарпирпо закрепленными краями при осевом сжатии. Форма потери устойчивости предполагалась осесимметричной, а за критическую нагрузку принималась наименьшая нагрузка, при которой кроме исходного положения равновесия появляются смежные положения равновесия, близкие к исходному. Полученная формула зависимости критической нагрузки от параметров оболочки применима только для оболочек средней длины, у которых длина и радиус являются величинами одного порядка. Для коротких оболочек можно считать что они составлены из полосок, для каждой из которых применима формула Эйлера устойчивости стержня при осевом сжатии. Устойчивость длинных оболочек описывается формулой Саутуэлла-Тимошенко, подробно описанной в работах Григолюка и Кабанова [13] и Флюгге [14].
Осевым нагружением отнюдь не исчерпывается множество практически значимых видов нагружения. Устойчивость цилиндрических оболочек средней длины под действием равномерного внешнего давления исследована в работах Саутуэлла [15] и Папковича [16]. Устойчивость длинных цилиндрических оболочек описывается формулой Грасгофа-Бресса (см., например, [13] или работу Вгауап [17]). Цилиндрические оболочки иод действием комбинированной нагрузки — внешнего давления и осевого сжатия одновременно — рассмотрел Тимошенко в работе [18]. Этот вопрос рассмотрен также в [13, 14]. Оказалось, что устойчивость существенно зависит от соотношения между кольцевым и осевым усилиями в оболочке.
Исследования этого вопроса продолжил ряд работ, касающихся устойчивости цилиндрических оболочек под действием осевого сжатия и вну трепнего давления. Здесь уместно назвать статьи Лу, Крейта и Шварца [19]. Моссаковского, Маневича и Прокопало [20], Незванова [21] и Маневича, Красовского и Кучеренко [22]. В книге Вольмира [23], а также в [13] отмечено, что если предположить исходное докритическое напряженное состояние безмоментным, то критическая нагрузка при осевом сжатии не зависит от внутреннего давления. Если же исходное состояние считать моментным, то внутреннее давление производит упрочняющий эффект. С ростом внутреннего давления критическая нагрузка растет вплоть до своего классического значения. Это явление подтверждено экспериментальными данными в [19], [20] и [22].
Цилиндрическая оболочка является практически наиболее важным и одновременно наиболее простым объектом для исследований, поскольку позволяет максимально упростить громоздкую систему уравнений равновесия тонких оболочек. Кроме цилиндрической оболочки существенные упрощения позволяет сделать сферическая оболочка. Исследованию устойчивости сферических оболочек также посвящена обширная литература. Упомянем работу Zoelly [24], в которой решена задача об устойчивости сферической оболочки под действием равномерного внешнего давления.
Более общие результаты по устойчивости произвольных выпуклых пологих оболочек были получены в статьях Работнова [25] и Ширшова [26]. Докритическое состояние оболочки авторы предполагали безмоментным, а влиянием краев пренебрегали.
Принципиально новый геометрический подход, основанный на теории изгибания поверхностей, применил Погорелов в [27, 28]. Он получил близкое к [25, 26] решение для ряда частных случаев.
Как видим, круг задач, имеющих точное аналитическое решение, ограничен несколькими простейшими случаями. Дальнейшее развитие теории оболочек стало возможным благодаря использованию приближенных асимптотических методов, основанных на сравнении порядков величин. Несмотря на свою приближенность, эти методы во многих случаях позволяют оценить погрешность результата. В сочетании с численными и экспериментальными данными асимптотические формулы позволяют описать множество принципиально важных явлений и помочь их качественному пониманию. Безотносительно задач механики, основные понятия асимптотических рядов, вопросы асимитотичекой оценки интегралов и разложений решений дифференциальных уравнений можно найти в книгах Де Брейна ]29] и Эрдейи [30]. В книге Федорюка содер жится изложение асимптотических методов решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Кроме задач механики эти методы находят применение в множестве физических приложений, например в задачах квантовой механики, распространения волн и др. Вопросы асимптотического моделирования в механике изложены в книге Аргато-ва [31]. Рассмотрены асимптотические модели нелинейных колебаний, теории теплопроводности и деформаций упругих мембран и пластинок. Чрезвычайно важный в механике случай регулярного вырождения линейных дифференциальных уравнений с малым параметром изучен в работе Вишика и Люстерника [32].
В монографии Товстика [33] рассматривается ряд задач устойчивости тонких упругих оболочек, сводящихся к решению линейных краевых задач, в которых применение асимптотических методов позволяет получить приближенное решение или существенно упростить последующее числовое решение. Исследована зависимость форм потери устойчивости от характера начального напряженного состояния, геометрии оболочки, ее закрепления и других факторов. Строятся формы потери устойчивости, локализованные в окрестностях линий или точек на срединной поверхности.
Для изучения форм потери устойчивости оболочек вращения, локализованных в окрестностях параллелей в [33] использован алгоритм Масло-ва [34]. Такие параллели называются наиболее слабыми. В задачах устойчивости оболочек метод Маслова использован также в статьях Товстика [35] и [36]. Формы потери выпуклых оболочек в некоторых случаях могут локализоваться вблизи отдельных наиболее слабых точек на срединной поверхности оболочки. Этим случаям посвящены работы Михасева [37] и Товстика [35, 36].
Локализация формы потери устойчивости в окрестности наиболее слабой образующей возможна при неоднородном осевом сжатии цилиндрических оболочек. Эта задача рассмотрена в работах Кабанова [38], Тимофеевой [39], а также в совместной статье Товстика и Тимофеевой [40].
Устойчивость оболочек нулевой гауссовой кривизны была исследована в работах Михасева [41, 42, 43], Тимофеевой [44] и Товстика [45, 46]. Этот случай характерен тем, что вмятины при потере устойчивости вытянуты вдоль асимптотических линий и могут локализоваться вблизи одной (наиболее слабой) из них.
Формы потери устойчивости оболочек отрицательной гауссовой кривизны существенно отличаются от форм для оболочек положительной и нулевой гауссовой кривизны. Для оболочек положительной гауссовой кривизны характерна локализация вмятин в окрестности наиболее слабой линии или точки. Для оболочек нулевой кривизны характерны формы выпучивания, вытянутые вдоль образующих. Это связано с тем, что вмятины имеют тенденцию распространяться вдоль асимптотических линий. Оболочки вращения отрицательной гауссовой кривизны имеет две системы асимптотических линий, поэтому форма потери устойчивости такой оболочки при осесимметричном нагружении охватывает всю срединную поверхность оболочки. Эти случаи рассмотрены в книге Вали-швили [47] и в совместных работах Лийвы и Товстика [48, 49].
Среди факторов, существенно влияющих на величину критической нагрузки, одним из важнейших является слабое закрепление краев. В случае осевого сжатия цилиндрической оболочки, у которой края могут свободно перемещаться в радиальном направлении, критическая нагрузка падает примерно вдвое по сравнению с оболочкой с жестко закрепленными краями, см., например, книгу Григолюка и Кабанова [50] или статью Хатчинсона и Койтера[51].
Устойчивость слабо закрепленных оболочек вращения рассмотрена в [33]. Формы потери устойчивости оболочек вращения, локализованные в окрестности края исследованы в работах Майбороды [52], Nachbar,Hoff [53] и Товстика [54, 55].
Сравнению осесимметричной потери устойчивости и бифуркации в неосесимметричную форму слабо закрепленных оболочек вращения посвящена третья глава настоящей работы.
Давно известно, что теоретические значения критических нагрузок для оболочечиых конструкций могут превышать экспериментальные в несколько раз. Оказалось, что устойчивость оболочек весьма сильно зависит от всевозможных несовершенств формы, материала оболочки или закрепления. По-видимому, первой работой, где были рассмотрены малые несовершенства формы, является статья Доннелла [56]. Фундаментальный труд Койтера [57] послужил основой дальнейшим исследованиям влияния несовершенств формы на устойчивость оболочек. За последние 50 лет влияние несовершенств на устойчивость цилиндрических оболочек постоянной толщины было широко изучено. В работах Хатчинсона и Койтера [51], Будянски и Хатчинсона [58], Арбока [59] были изучены регулярные несовершенства формы, покрывающие всю поверхность оболочки.
Нерегулярные (локализованные) несовершенства формы были иссле доваиы в работах Кузнецова, Лииовцева и Шварца [60], Булыгина [61J, Копоха и Красовских [62].
В книге [63], написанной большим коллективом специалистов, изложены методика и результаты теоретических и экспериментальных исследований оболочек при действии статических и динамических нагрузок и связь этих исследований с практикой проектирования летательных аппаратов.
Исследованию влияния несовершенств формы на устойчивость цилиндрической оболочки посвящены работы [64, 65, 66, 67], влиянию несовершенств закреплений — работы [64, 68]. Существует большое; количество работ, рассматривающих геометрически несовершенные цилиндрические оболочки. Теория нослекритического выпучивания Койтера заложила основу дальнейшим исследованиям влияния несовершенств на устойчивость оболочек. Будянски и Амазиго [66] брали геометрические несовершенства формы, похожие на формы потери устойчивости цилиндрической оболочки иод действием внешнего давления, и нашли простую зависимость, объясняющую столь значительное снижение критической нагрузки при таком виде неправильностей. В работе [69] рассмотрено влияние циклически симметричного изменения толщины в окружном направления на устойчивость оболочки под действием внешнего давления. Авторы использовали конечно-элементный анализ.
Это направление развито во второй и четвертой главах настоящей работы. Во второй главе рассматривается влияние осесимметричных несовершенств формы на точку бифуркации осесимметричного равновесия оболочек вращения при сложном иагружении. Четвертая глава настоящей работы посвящена исследованию влияния регулярных циклически симметричных несовершенств формы срединной поверхности (вмятин) на устойчивость осесимметричного безмоментного равновесия тонкой упругой оболочки вращения. С использованием метода возмущений рассмотрен ряд частных задач, в которых форма вмятины совпадает (или связана) с формой потери устойчивости идеальной оболочки. Получены приближенные формулы для параметра чувствительности к несовершенствам.
Цилиндрические оболочки широко используются во многих отраслях производства. В последнее время все шире используются многослойные композитные оболочки. Такие оболочки зачастую превосходят по характеристикам традиционные металлические конструкции. Однако в силу их малой жесткости и тонкостенности на первый план выходит пробле ма устойчивости таких конструкций. Устойчивость многослойной цилиндрической оболочки при осевом сжатии была исследована в работе Тов-стика [70].
Как оказалось, для изучения влияния несовершенств формы на устойчивость оболочек важно точно моделировать геометрическую форму несовершенств. В работе [71] основное внимание уделено разработке нового метода конечно-элементного представления для моделирования геометрически несовершенных многослойных оболочек. Рассмотрена задача об устойчивости многослойной цилиндрической оболочки под действием внешнего гидростатического давления. Построено несколько геометрических моделей несовершенств разной степени сложности. Численные результаты сравниваются с экспериментальными.
В конце 50-х годов в теории устойчивости начал развиваться вероятностный подход к учету неправильностей [72]. В работах [73, 74, 75, 7G] этот подход получил свое дальнейшее развитие. Однако вследствие недостатка точных сведений о том, какие типы несовершенств имеют место в действительности, эти работы имели дело с некими идеализированными типами неправильностей. В работе [77] предложен новый вероятностный подход к исследованию влияния случайных несовершенств на устойчивость цилиндрических оболочек.
В основах теории оболочек и пластин наряду с традиционным лагран-жевым подходом в настоящее время развивается эйлеров подход. В работе [78] этот подход использован для получения уравнений, применимых при больших перемещениях. Кроме того, построена модель следящих нагрузок, которые меняют свое направление при больших перемещениях. Это позволяет отказаться от предположения о неизменности направления действия нагрузок, обычно принимаемого в лаграижевом подходе.
Множество прикладных задач, связанных с применением тонкостенных конструкций, решается в той или иной степени общности. В работе [79] исследована прочность двух сопряженных иод прямым углом цилиндров с соизмеримыми радиусами под действием внутреннего давления. Этот класс задач охватывает всевозможные соединения труб, используемые в промышленности, для которых важна их прочность относительно внутреннего давления. Авторы моделировали задачу при помощи метода конечных элементов и сравнивали с экспериментальными данными.
В ряде случаев, например, для конической оболочки со свободно опертыми краями иод действием осевого сжатия, для исследования устойчивости требуется решение задачи о равновесии оболочки при больших перемещениях и углах поворота нормали. Этому вопросу посвящена работа [80]. Здесь исследуются произвольные оболочки вращения, у которых геометрические параметры и свойства материала могут изменяться в меридианалыюм направлении. Авторы применили метод сингулярного возмущения к уравнениям Рейснера, описыващим равновесие оболочек вращения при больших прогибах, взятых в самом общем виде. При этом деформации оболочки предполагались осесимметричными. Полученная асимптотическая нелинейная краевая задача существенно проще исходной. Для замкнутых оболочек, кроме того, удалось получить явные асимптотические формулы, описывающие напряженно-деформированное состояние оболочки в зависимости от величины нагрузки.
В [81] подробно рассмотрены частные случаи сферической оболочки с различными видами граничных условий и замкнутого эллипсоида вращения под действием равномерного внешнего давления. Полученные численные результаты сравниваются с решением уравнений Рейснера.
Эта работа является продолжением ряда исследований, в которых асимптотические или геометрические методы применяются для построения нелинейных уравнений для оболочек при больших перемещениях, см. [82], [83], [84].
В работе [85] авторы обратились к классической задаче о напряженно-деформированном состоянии конической оболочки. Проанализировав порядки величин, входящих в уравнения равновесия, и пренебрегая членами порядка толщины оболочки, отнесенной к характерному радиусу, авторы свели уравнения равновесия конической оболочки к уравнению второго порядка с комплексными постоянными коэффициентами. Решение этого уравнения дало простое и точное решение для конических оболочек.
Главы 2—4 посвящены проблемам устойчивости тонких оболочек. Во второй главе рассматривается влияние локальных несовершенств формы на точку бифуркации оболочек вращения. В четвертой главе рассмотрены периодические вмятины. Третья глава посвящена потере устойчивости вблизи слабо закрепленных краев.
В пятой главе затронут вопрос о влиянии упругого заполнителя на устойчивость оболочек. Тонкие упругие оболочки с заполнителем из другого материала являются конструктивными элементами во многих машинах, аппаратах и сооружениях. Одной из важнейших областей применения таких оболочек являются ракеты на твердом топливе. Существует два подхода к решению задачи о влиянии упругого заполнителя. Пер вый подход заключается в том, что заполнитель моделируется основанием типа Винклера или Пастернака. Коэффициент пропорциональности, связывающий перемещения точек оболочки с силой реакции основания, в таких моделях считается постоянным и не зависит от физических и геометрических характеристик конструкции. Анализ состояния вопросов устойчивости при этом подходе можно найти в работах Иванова [86], Ильгамова, Иванова и Гулина [87], Немировского [88]. Этот наиболее простой для расчетов подход позволяет в ряде случаев уловить качественное сторону поведения оболочек. Для количественной оценки он оказывается малоприменим.
Более точный подход состоит в том, чтобы рассматривать заполнитель как трехмерное деформируемое тело. Связь между перемещениями точек поверхности заполнителя и его реакцией в этом случае получается из решения уравнений теории упругости (см. работы Иванова [89, 90]).
Устойчивости пластин на упругом основании посвящены работы Бож-ко [91], Гусева [92], Аримана [93]. В пятой главе также рассматривается вопрос об устойчивости тонкой пластины, лежащей на упругом основании. Исследовано влияние краев на устойчивость пластины. Показано, что формы потери устойчивости локализуются вблизи края пластины, поскольку жесткость основания вблизи края ниже, чем вдали от них.
В последних двух главах рассмотрена задача о свободных колебаниях колоколов. Спектр свободных колебаний тонких упругих оболочек изучен в книге Гольденвейзера, Лидского и Товстика [94]. Изучению колебаний тонких оболочек посвящены также работы Алумяэ [95], Болотина [96], Нигула [97], Асланяна и Лидского [98]. В работах голландских авторов [99, 100] с использованием метода конечных элементов выполнен расчет свободных колебаний колоколов, а также спроектирован колокол с заданным соотношением частот, отличающимся от традиционного. Вопросу об оценке новой мажорной настройки колокола с точки зрения музыкального восприятия посвящена работа [101].
В шестой главе построена математическая модель свободных колебаний колокола. В седьмой главе предложен алгоритм решения обратной задачи выбора геометрической формы колокола по заданному набору первых собственных частот колебаний. Рассмотрен пример использования алгоритма для построения формы колокола с заданным соотношением первых шести частот. Кроме того проведено сравнение численных результатов, полученных с использованием построенной в шестой главе математической модели, с экспериментально данными.
Результаты, выносимые на защиту
Расчет напряжений и деформаций тонких упругих оболочек является достаточно сложной задачей. Соответствующая система уравнений может быть получена из трехмерных уравнений теории упругости при помощи введения тех или иных допущений. Обычно используется относительная малость толщины оболочки по сравнению с ее размерами в плане, что позволяет свести задачу к двухмерной. Среди последних работ по теория оболочек заслуживает внимания [9]. Современное состояние нелинейной теории упругости представлено в монографии Черныха [10].
В общем случае система уравнений равновесия оболочки является нелинейной системой уравнений высокого порядка в частных производных с переменными коэффициентами и не поддастся качественному анализу. В более узких классах задач можно ввести различные упрощения, например разделить переменные или считать коэффициенты постоянными, и получить приближенное аналитическое решение. Однако оказывается, что это еще только пол дела. В самом деле, если не рассматривать проблемы устойчивости, несущая способность, например, цилиндрической оболочки или стержня при осевом сжатии ограничивается только прочностью материала и намного превосходит реальную несущую способность. Но, точно так же как неустойчиво положение шарика на острие конуса, неустойчивым является равновесие точек стержня или оболочки при достаточно большой нагрузке. Для описания устойчивости стержней в большинстве случаев достаточно формулы Эйлера. Формы же потери устойчивости оболочек бесконечно многообразны.
Вмятина при потере устойчивости может захватывать всю поверхность оболочки или большую ее часть (например выпуклая пологая оболочка под действием нормальной нагрузки, при этом форма оболочки после потери устойчивости близка к зеркальному отражению недефор-мировашюй оболочки) или потеря устойчивости может происходить с образованием множества мелких вмятин. Вмятины в этом случае могут покрывать всю поверхность оболочки (цилиндрическая оболочка при осевом сжатии, оболочки отрицательной гауссовой кривизны) или локализоваться в окрестностях некоторых линий или точек на поверхности оболочки, вдали или вблизи краев (коническая оболочка со слабо закрепленным краем при осевом сжатии).
Первые результаты по устойчивости оболочек были получены в начале ХХ-го века в работах Тимошенко [11] и Лоренца [12]. Были рассмотрены идеальные цилиндрические оболочки с шарпирпо закрепленными краями при осевом сжатии. Форма потери устойчивости предполагалась осесимметричной, а за критическую нагрузку принималась наименьшая нагрузка, при которой кроме исходного положения равновесия появляются смежные положения равновесия, близкие к исходному. Полученная формула зависимости критической нагрузки от параметров оболочки применима только для оболочек средней длины, у которых длина и радиус являются величинами одного порядка. Для коротких оболочек можно считать что они составлены из полосок, для каждой из которых применима формула Эйлера устойчивости стержня при осевом сжатии. Устойчивость длинных оболочек описывается формулой Саутуэлла-Тимошенко, подробно описанной в работах Григолюка и Кабанова [13] и Флюгге [14].
Осевым нагружением отнюдь не исчерпывается множество практически значимых видов нагружения. Устойчивость цилиндрических оболочек средней длины под действием равномерного внешнего давления исследована в работах Саутуэлла [15] и Папковича [16]. Устойчивость длинных цилиндрических оболочек описывается формулой Грасгофа-Бресса (см., например, [13] или работу Вгауап [17]). Цилиндрические оболочки иод действием комбинированной нагрузки — внешнего давления и осевого сжатия одновременно — рассмотрел Тимошенко в работе [18]. Этот вопрос рассмотрен также в [13, 14]. Оказалось, что устойчивость существенно зависит от соотношения между кольцевым и осевым усилиями в оболочке.
Исследования этого вопроса продолжил ряд работ, касающихся устойчивости цилиндрических оболочек под действием осевого сжатия и вну трепнего давления. Здесь уместно назвать статьи Лу, Крейта и Шварца [19]. Моссаковского, Маневича и Прокопало [20], Незванова [21] и Маневича, Красовского и Кучеренко [22]. В книге Вольмира [23], а также в [13] отмечено, что если предположить исходное докритическое напряженное состояние безмоментным, то критическая нагрузка при осевом сжатии не зависит от внутреннего давления. Если же исходное состояние считать моментным, то внутреннее давление производит упрочняющий эффект. С ростом внутреннего давления критическая нагрузка растет вплоть до своего классического значения. Это явление подтверждено экспериментальными данными в [19], [20] и [22].
Цилиндрическая оболочка является практически наиболее важным и одновременно наиболее простым объектом для исследований, поскольку позволяет максимально упростить громоздкую систему уравнений равновесия тонких оболочек. Кроме цилиндрической оболочки существенные упрощения позволяет сделать сферическая оболочка. Исследованию устойчивости сферических оболочек также посвящена обширная литература. Упомянем работу Zoelly [24], в которой решена задача об устойчивости сферической оболочки под действием равномерного внешнего давления.
Более общие результаты по устойчивости произвольных выпуклых пологих оболочек были получены в статьях Работнова [25] и Ширшова [26]. Докритическое состояние оболочки авторы предполагали безмоментным, а влиянием краев пренебрегали.
Принципиально новый геометрический подход, основанный на теории изгибания поверхностей, применил Погорелов в [27, 28]. Он получил близкое к [25, 26] решение для ряда частных случаев.
Классификация форм потери устойчивости идеальной оболочки
Рассмотрим тонкую упругую оболочку вращения малой постоянной толщины h с осесимметричной вмятиной под действием осесимметричиой нагрузки. Пусть форма вмятины описывается функцией (s1), \sl\ Iх, где s1 — длина дуги образующей, а 2І1 — ширина вмятины. Предположим, что вмятина расположена вдали от краев оболочки, а ее глубина и ширина удовлетворяют соотношениям
Будем искать критическую нагрузку, при которой имеет место бифуркация в неосесимметричную форму с т волнами в окружном направлении. При этом будем считать, что форма потери устойчивости локализована в окрестности вмятины. Введем характерный размер срединной поверхности R = i?2(0), малый параметр тонкостеппости /І и показатель изменяемости т(/) функции f(sl), служащий мерой сравнения порядка функции и ее производной: 2 = А с2 = 12(1-и2) 4№1 UU)L ti cR, Щ1 v ), dgl /І R, где и — коэффициент Пуассона. Будем считать, что т( ) = 1, что согласуется с формулами (2).
Для решения задачи бифуркации воспользуемся системой уравнений Муштари—Доннела—Власова. При сделанных относительно вмятины предположениях при переходе от идеальной оболочки к оболочке с вмятиной можно пренебречь изменением функций і?, R2. Можно также пренебречь изменением функций В, R\, R2, обусловленным докритическими деформациями. Совершаемая при этом погрешность имеет относительный порядок /І.
После разделения переменных wl(sl,cp) = wl(sl) cos(mcp) и перехода к безразмерным переменным получим [33] В систему (3) входят безразмерные величины, связанные с соответствующими размерными величинами (они обозначены индексом 1 вверху), следующими соотношениями:
Здесь w — бесконечно малый дополнительный неосесимметричный прогиб, описывающий возможное смежное положение равновесия, Ф — функция усилий. В связи с локальным характером ожидаемой формы потери устойчивости коэффициенты в левых частях системы (3) приближенно считаем постоянными. Правые части содержат существенно переменные коэффициенты: ko(s) — изменение кривизны образующей при докрити-ческой осесимметричной деформации и to(s) — дополнительное окружное усилие, причем k = d? + d 1 t0{s) = -w0(s), (5) где WQ(S) — дополнительный осесимметричный прогиб, возникающий вследствие докритической деформации оболочки и удовлетворяющий линейному уравнению краевого эффекта причем краевая задача (6) разрешима лишь при Л 1.
Не умаляя общности, можно считать, что нагружение является од-понараметрическим, зависящим от параметра нагружения Л 0. Знак минус в формулах (4) для Ті и Тг введен для того, чтобы безразмерные сжимающие усилия Xt\ и А были положительными. Задача сводится к нахождению наименьшего значения Л 0 (при всевозможных т или р), при котором существует ненулевое затухающее при удалении от вмятины решение системы (3).
При слабом закреплении краев оболочки потеря устойчивости может произойти при гораздо более низкой нагрузке [33]. Если же края хорошо закреплены, то потеря устойчивости может иметь место как вблизи краев, так и вдали от них. При этом, если вмятина расположена достаточно далеко от краев оболочки, задачи о потере устойчивости вблизи края и вблизи вмятины независимы и критической является меньшая из нагрузок, найденных при решении этих задач.
Дальнейшие результаты верны только тогда, когда влияние краевого эффекта меньше, чем влияние вмятины. Вопрос о влиянии краевого эффекта на критическую нагрузку рассмотрен в [33], а случай, когда вмятина расположена у края, не рассматривается.
Классификация форм потери устойчивости идеальной оболочки Для идеальной оболочки ( = 0) характеристическое уравнение системы (3) имеет вид Л(Р) = (Р2 - Р2)2 {(Р2 - Р2? - 2А {hp2 - Р2)) + (Р2 - Aif = 0. (7) Потеря устойчивости вдали от краев возможна лишь при наличии чисто мнимых корней уравнения (7), которым соответствуют осцилли-рующие решения. Положим р = — ш , тогда А = А(Ш,р)= 2(о + p»)V + ta ) (8) Критической нагрузке соответствует минимум Ло функции Л(а;,р) но двум ее аргументам. В зависимости от параметров и к\, входящих в (8), возможны три случая (см. [33, 105]):
Через wo и ро обозначены значения параметров, дающие минимум Ло функции Л(а;,р). Отсюда видно, что в первом случае форма потери устойчивости осесимметрична и оболочка деформируется по схеме предельной точки. Во втором случае критическая нагрузка та же, что и в первом, но форма потери устойчивости неоднозначна. Сюда относятся цилиндрическая оболочка при осевом сжатии ( 2 = к\ = 0) и сферическая оболочка при всестороннем внешнем давлении ( = к\ = 1). В третьем случае вмятины вытянуты в направлении меридиана. При этом для более точного решения задачи необходимо учитывать переменность коэффициентов в левых частях уравнений (3).
Равенство а = 0 или — &1 соответствует особому случаю, в котором влияние вмятины на снижение критической нагрузки максимально. Дело в том, что в этом случае одной и той же критической нагрузке Ло = 1 соответствует как осесимметричная форма потери устойчивости, так и неосесимметричные. При наличии вмятины бифуркации предшествуют значительные осесимметричиыс деформации, что и приводит к снижению критической нагрузки.
Формулы (9) не охватывают оболочек отрицательной гауссовой кривизны (к\ 0) и оболочек нулевой кривизны при наличии окружных сжимающих усилий (А; і =0, ti 0). В обоих указанных случаях минимизация функции Л(и?,р) (8) дает Ло = 0 (см. [33]). Ниже эти случаи не рассматриваются. В дальнейшем будем считать, что Ї2 лежит в некоторой окрестности к\. Будет показано, как критическая нагрузка убывает при удалении величины а от нуля в обе стороны.
Вывод системы уравнений устойчивости
Для решения задачи о бифуркации осесимметричного напряженного состояния в неосесимметричное можно было бы воспользоваться системой уравнений устойчивости Муштари—Доннела—Власова (см., например, [33]). Но эта система получена в предположении, что ожидаемая форма потери устойчивости имеет большое число волн по окружности. Если по ней рассчитывать критические нагрузки для различного числа волн, то окажется, что раньше всего происходит бифуркация в форму с одной - двумя волнами, что противоречит допущению. Кроме того, при рассмотрении осесимметричной потери устойчивости приходится исследовать деформированные состояния, у которых угол поворота нормали в направлении образующей не является асимптотически малым. При выводе же упомянутой системы это допущение было сделано. Поэтому для решения поставленной задачи необходимо иметь универсальную систему уравнений устойчивости, позволяющую рассчитывать формы потери устойчивости с малым числом волн но окружности и пригодную при ко печных углах поворота.
Введем па недеформированной поверхности криволинейные координаты а,/3, жестко связанные с точками срединной поверхности оболочки (в и. 1 координата а была обозначена через ао). Будем рассматривать три состояния оболочки: исходное (педеформированное), осесимметрич-но деформированное и состояние после бифуркации (неосесимметрично деформированное, покрытое волнами). Обозначим их для краткости I, II и III. Состояние I описывается следующими величинами: Го — радиус-вектор точек поверхности, А[), BQ — коэффициенты Ламе, е е п0 — орты местной системы координат. Имеют место обычные соотношения:
Состояние II описывается соответственно величинами г, Л, В, еі,Є2,п, R\, R2, которые связаны формулами, аналогичными (27). А состояние III — величинами г , А , В , е,Є2,п , Щ, Щ. Пусть ио — конечное по величине поле осесимметричных перемещений, и — поле дополнительных перемещений (бесконечно малое по величине).
Величина е известна из решения осесимметричпой задачи. Для того чтобы найти єц, спроектируем вектор пеосесимметричпого перемещения и на орты системы координат, связанной с состоянием II, ио формуле u = ие\ + ve2 + гоп и воспользуемся формулами дифференцирования ортов, имея в виду, что Л и В не зависят от (3
Система (29) существенно отличается от уравнений неосесимметрич-ного деформирования оболочек вращения, приведенных в [47]. Она не содержит некоторых нелинейных членов, сохраненных для общности в [47] и являющихся пренебрежимо малыми в данной задаче. С другой стороны, при ее выводе не было сделано никаких предположений о величине угла поворота нормали 7ь которая, наравне с углом 72 и изменениями кривизн, считалась малой в [47].
При удалении от слабого края дополнительные перемещения экспоненциально уменьшаются, поэтому на противоположном краю следует поставить условия затухания решения. Величины Ti,T2, Q\, М\, M% являются суммами осесимметричных и дополнительных членов. Их осе-симметричные составляющие должны удовлетворять системе уравнений осесимметричного деформированного состояния:
Опустим для простоты тильду над бесконечно малыми составляющими усилий и моментов. Полученную систему дополним геометрическими соотношениями, приведем к безразмерному виду и разрешим относительно основных неизвестных. С учетом всего этого, искомая система устойчивости примет вид
Система (ЗО) линейна и вместе с уравнениями (28) и соотношениями упругости является замкнутой относительно основных неизвестных. Все величины, не отмеченные ноликом, являются бесконечно малыми. Дополнительные неизвестные, входящие в систему, выражаются через основные. Тем самым получена система уравнений устойчивости, учитывающая конечность углов поворота нормали докритического состояния и пригодная при любом количестве волн.
Численное интегрирование систем (24) и (30) проводилось для конических оболочек различной толщины и угла наклона образующей. Краевая задача (24) и (26) решалась методом пристрелки начальных параметров см. ([47]). Для расчета закритического напряженно-деформированного состояния использовался метод смены ведущего параметра. Необходимым условием, при котором бифуркация в неосесимметричное равновесие может иметь место, является наличие ненулевого решения системы (30), удовлетворяющего краевым условиям. Для этого строились четыре линейно независимых решения, затухающих при удалении от слабого края, и составлялась их линейная комбинация. Краевые условия на слабом краю дают систему из четырех однородных уравнений относительно неизвестных коэффициентов линейной комбинации. Таким образом, задача о нахождении ненулевого решения свелась к отысканию нагрузки, при которой определитель системы обращается в ноль.
Результаты, представленные на рис. 3, показывают, при каких значениях параметров тот или иной вид потери устойчивости имеет место раньше другого. По оси абсцисс отложен угол наклона образующей (угол конусности). По оси ординат — безразмерная толщина, отнесенная к характерному размеру оболочки. Кривая 1 соответствует случаю контакта двух сопряженных конических оболочек, кривая 2 — случаю свободно скользящего края. Оказалось, что при обоих видах опирания область параметров делится почти прямой линией на две части: при большой толщине и малом угле конусности имеет место осесимметричная потеря устойчивости, а при малой толщине и для оболочек, близким к цилиндрическим, бифуркация в неосесимметричное положение равновесия предшествует осесимметричной потере устойчивости. Кроме того, оболочка со свободно опертым краем менее расположена к бифуркации по сравнению с двумя сопряженными оболочками.
Оболочка вращения при комбинированном нагружении в особом случае
Как видно, бифуркация предшествует выворачиванию лишь для достаточно тонких оболочек или для оболочек, близких к цилиндрическим. Для пологих толстых оболочек более характерна осесимметричиая форма потери устойчивости. Количество волн растет с увеличением угла и с уменьшением толщины. Точки, соответствующие наборам параметров, при которых обе формы потери устойчивости происходят одновременно, лежат примерно на одной прямой и характеризуются наименьшим числом волн (5 - 6). Левее и выше этой прямой в плоскости параметров точек бифуркации вообще не наблюдается. При осесимметричной потере устойчивости с ростом полного вертикального прогиба нагрузка достигает своего максимума, а затем стремительно падает. Возможно, в этой зоне закритической деформации нагрузка оказывается недостаточной для возникновения бифуркации.
При угле конусности большем, чем 90 градусов (то есть когда слабо закреплен верхний край на рис. 3), точек бифуркации также отыскать не удалось. Такие оболочки теряют устойчивость только по осесимметричной форме. Приведенные результаты опубликованы в статьях [2] и [3]. В первых работах по устойчивости тонких оболочек критическая нагрузка Рс определялась из линейной теории оболочек как точка бифуркации осесимметричного равновесия. Были найдены критические нагрузки в таких классических задачах, как устойчивость цилиндрической оболочки при осевом сжатии [12, И], устойчивость цилиндрической [15] и сферической [24] оболочек при внешнем давлении. Многочисленные эксперименты показали, что в действительности потеря устойчивости имеет место при нагрузках, в несколько раз меньших классического значения Рс. Это различие было объяснено в работе [102] путем введения в рассмотрение малых несовершенств формы срединной поверхности. С тех пор теоретические, численные и экспериментальные исследования систематически ведутся в этом направлении (см обзоры [59, 107, 108]). В 2001 году в Дельфте этому вопросу была посвящена специальная конференция "Предсказание выпучивания оболочек, чувствительных к несовершенствам "(Euromech-424) [109].
Будем описывать чувствительность оболочки к несовершенствам параметром 5, входящим в формулу где Рс и Р — критические нагрузки для идеальной оболочки и для оболочки с несовершенствами. Рассмотрим осесимметрично нагруженные оболочки вращения. В случае осесимметричных несовершенств критическая нагрузка может быть найдена как точка бифуркации осесимметричного равновесия. Зависимость параметра чувствительности 5 от формы оболочки, характера ее нагружения и от формы и амплитуды несовершенства исследовалась во многих работах [109, 110, 1](?). В работах [НО, 1] рассмотрено влияние осесимметричных неправильностей, как локализованных в окрестности некоторой параллели, так и покрывающих всю поверхность оболочки.
Аналитичское решение рассматриваемой ниже задачи устойчивости осесимметричного безмоментного напряженного состояния в случае неосе-симметричных неправильностей существенно сложнее. Приходится ре шать нелинейные краевые задачи, причем критической нагрузкой является предельная точка на кривой "нагрузка-прогиб". С использованием метода возмущений рассмотрен ряд частных задач, в которых форма вмятины совпадает (или связана) с формой потери устойчивости идеальной оболочки.
Здесь w(x,(p) и Ф(аг,(/?) — дополнительный прогиб и функция усилий, гио(#, /?) — начальный прогиб, описывающий несовершенство, L\ и L2 — линейные дифференциальные операторы, L — нелинейный дифференциальный оператор, t\ w t2 — начальные усилия, к\ и к2 — главные кривизны срединной поверхности, Л — искомый параметр нагружения, /І — малый параметр тонкостенное. Все величины в (32)-(34) безразмерные, связанные с соответствующими размерными величинами соотношениями На рис. 6 представлены зависимости критических нагрузок для идеальных и неидеальных оболочек различной длины. По оси ординат откладывается параметр нагружения Л умноженный на длину и отнесенный к величине малого параметра с тем, чтобы величина AQ- из (39) была одинаковой для оболочек произвольной длины. По оси абсцисс откладывается относительная толщина оболочки. Кривая 1 соответствует критической нагрузке идеальной оболочки Ао. Остальные кривые соответствуют неидеальным оболочкам различной длины. Амплитуда неправильности ao — h.
Похожие диссертации на Задачи динамики и устойчивости оболочек вращения
