Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Основные соотношения и методика решения осесимметричных геометрически и физически нелинейных задач для составных оболочек вращения 28
1.1. Основные соотношения для элементов составной оболочки вращения '. 28
1.2. Алгоритм расчета напряженно - деформированного состояния составной оболочки вращения 33
1.3. Результаты тестирования алгоритма и решение некоторых задач расчета напряженно-деформированного состояния составных оболочек вращения .37
1.4. Большие осесимметричные прогибы и устойчивость оболочек вращения 44
Глава II. Весовая оптимизация оболочек вращения при учете геометрической и физической нелинейностей 56
2.1. Равнопрочные оболочки вращения 56
2.2. Оболочки вращения, близкие к равнопрочным '. 67
2.3. Оптимальное проектирование составных оболочек вращения методом комплексного поиска 75
Глава III. Задача рационального распределения материала в оболочках 85
3.1. Оптимизация оболочек вращения по жесткости при учете геометрической нелинейности 85
3.2. Оптимальное распределение материала в нетонкой оболочке вращения при неосесимметричном нагружении 99
Глава IV. Применение анализа чувствительности в задачах оптимизации тонких оболочек 107
4.1. Оптимизация составных оболочек вращения при интеграль ных критериях качества 107
4.2.0 дифференцировании функционалов качества в задачах оп
тимизации жесткостей тонких упругих оболочек 120
Основные результаты и выводы 128
Литература
- Алгоритм расчета напряженно - деформированного состояния составной оболочки вращения
- Оболочки вращения, близкие к равнопрочным
- Оптимальное проектирование составных оболочек вращения методом комплексного поиска
- Оптимальное распределение материала в нетонкой оболочке вращения при неосесимметричном нагружении
Введение к работе
Естественной составляющей процесса создания новой конструкции является оптимизация ее формы и проектных параметров. Развитие эффективных методов расчета конструкций, а также математических методов оптимизации, привели к выделению вопросов оптимизации конструкций в отдельную ветвь механики деформируемого твердого тела - теорию оптимального проектирования конструкций (ОПК). Задачей ОПК является создание конструкции, обладающей наилучшими показателями качества (минимальным весом, максимальной жесткостью, минимальной стоимостью и т.д.) среди множества допустимых конструкций, удовлетворяющих заданной системе ограничений ( прочностных, конструктивных и др.) [34, 101] . Круг задач и методик, рассматриваемых в ОПК, весьма широк. Поэтому не представляется возможным дать достаточно полный обзор публикаций даже по ограниченному числу тем, входящим в ОПК. Ряду проблем посвящены обзоры [14, 15, 32, 33, 80, 85, 118, 125, 137, 144, 154, 178, 213] и др., монографии [9, 12, 13, 119, 145, 152, 160, 179, 180, 184, 194, 199, 214] и др. Списки литературы более раннего периода (до 1975г.) приведены в указателе [29]. Универсальные алгоритмы оптимизации конструкций включены в состав "тяжелых" комплексов программ ANSYS, MSC.NASTRAN, Pro/ENGINEER и др.
Потребности техники в создании легких прочных экономичных конструкций обуславливают развитие ОПК в настоящее время. В последние годы появились ряд новых направлений, среди которых можно выделить топологическую оптимизацию конструкций [194, 196, 201, 208, 210, 213] , использование генетических алгоритмов [197, 200, 211, 218], нейронных сетей [192, 204] и др. Получили развитие методы многокритериальной оптимизации [2, 151, 161, 178].
Широкое применение тонкостенных конструкций стимулирует развитие методов их расчета и оптимизации. Значительное число исследо- ваний посвящено статическим и динамическим задачам оптимизации пластин и оболочек, выполненных из слоистых и композиционных материалов [3, 25, 27, 64, 71,130,161, 216] и др. В отличие от конструкций из традиционных материалов здесь необходимо одновременно оптимизировать геометрию конструкции и свойства материала, определяемые углами армирования, толщинами слоев пакета и др.
Задачи оптимизации пластин и оболочек, подкрепленных регулярной сеткой ребер жесткости, представлены в работах [81, 86, 87, 143, 170, 172] и др. В большинстве случаев оптимальные проекты ищутся в классе конструктивно - ортотропных оболочек, что позволяет использовать существующие аналитические решения прямой задачи (например, для цилиндрической оболочки) для исключения переменных, характеризующих напряженно - деформированное состояния (НДС) конструкции, из математической постановки задачи оптимизации.
Наиболее разработанными являются вопросы весовой оптимизации пластин и оболочек из идеально - пластического материала [75, 76, 79, 126, 135, 136, 139, 176] и др. Применяемые здесь методы жестко -пластического анализа оказываются весьма эффективными для оценки несущей способности конструкций, т.к. не требуют решения сложных краевых задач, возникающих в случае использования модели упругопластического тела. Фундаментальные результаты в оптимизации конструкций из идеально - пластического материала были получены в 50-60х годах XX века [152, 163, 186, 188] и др. Вопросам оптимизации пластин и оболочек из упругопластического материала с учетом приспособляемости посвящена монография [150].
Отметим далее некоторые работы, близкие к настоящей либо по постановке задачи, либо по объектам исследований и применяемой методике решения.
Постановка задачи оптимизации включает выбор модели (используемые уравнения и граничные условия), функционалов качества и ограни- чений на переменные проектирования и состояния. Кроме того, задачи ОПК можно классифицировать [12] по их размерности, способу вхождения переменных проектирования в основные соотношения (управление коэффициентами уравнений или границами областей), характера экстремума (одноэкстремальные или многоэкстремальные задачи), числом оптимизируемых функционалов (однокритериальные и многокритериальные задачи)и др.
Настоящая работа посвящена оптимальному проектированию составной оболочки вращения, находящейся под действием статической нагрузки. Торцы и узлы разрыва геометрических характеристик меридиана (узлы сопряжения) могут быть подкреплены плоскими упругими кольцами. Изотропные оболочки, входящие в состав конструкции, имеют постоянную или переменную толщину, допускается несимметричное распределение материала относительно поверхности приведения, учитывается геометрическая и физическая нелинейности. Искомыми переменными проектирования являются толщины рболочечных элементов и размеры поперечных сечений колец. Рассматриваются задачи минимизации веса оболочки при ограничениях по прочности и задачи оптимального распределения материала. Для последних в качестве функции цели выбрана дополнительная работа деформации или функционал общего вида. Поверхность приведения во всех случаях считается заданной. Согласно вышеприведенной классификации указанные задачи являются однокритериальными задачами управления коэффициентами уравнений.
Наибольшее количество работ по оптимальному проектированию оболочек посвящено задачам весовой оптимизации изотропных оболочек переменной толщины. В случае, когда в качестве ограничений используются только ограничения по прочности, одним из эффективных подходов является поиск проектов равнопрочных оболочек [4, 44, 45, 63, 65, 72, 189] и др. Следует отметить, что определение равнопрочного проекта вводится авторами по-разному [82, 117, 126]. Для всех определений общим является выполнение некоторого условия равнопрочности, записываемого в виде равенства и служащего для нахождения толщины оболочки. В настоящей работе и ряде других работ таким условием является равенство максимальной в сечениях оболочки интенсивности напряжений заданному (допускаемому) значению.
Выполнение такого равенства в каждом сечении оболочки во многих случаях оказывается невозможным из-за наличия "неработающих" фрагментов оболочки. Эти фрагменты определяются в процессе поиска проекта равнопрочной оболочки при введении ограничения на минимальную толщину оболочки в сечении. Получающиеся в результате расчетов проекты оказываются лишь близкими к равнопрочным, Это обстоятельство привело к введению интегрального критерия равнопрочности [б], а также к понятию дискретно-равнопрочной оболочки [117,119]. Последнее понятие, применяющееся, в основном, к составным оболочкам, предполагает разбиение исходной конструкции на подкон-струкции, в каждой из которых максимальная интенсивность напряжений равна заданному значению. В работе [109] проект равнопрочной оболочки находится как решение задачи весовой оптимизации при использовании предположений о характере НДС оболочки.
Интерес к равнопрочным конструкциям объясняется двумя причинами. Во-первых, равнопрочный проект во многих случаях имеет меньший вес по сравнению с другим проектом, для которого выполнено ограничение по прочности. Во-вторых, итерационные алгоритмы, использующиеся при поиске равнопрочных проектов, значительно проще алгоритмов нелинейного программирования, использующихся в задачах весовой оптимизации конструкции. Итерационные процессы обладают хорошей сходимостью для конструкций "нормального действия" [119, 155], в которых локальное увеличение толщины влечет локальное уменьшение максимальной интенсивности напряжений. Последнее свойство может не иметь места в случае существования нескольких равнопрочных проектов[21].
Значительное снижение веса в равнопрочных конструкциях привело многих авторов к исследованию вопроса о соотношении равнопрочных проектов конструкций и проектов наименьшего веса. Примеры оптимизации цилиндрической оболочки с пластинами - заглушками [69, 122] показывают, что эти проекты могут существенно различаться. В работе [126] для оболочки из идеально - пластического материала при использовании в качестве ограничения осредненного по толщине (т.е записанного через усилия и моменты) условия пластичности доказано, что равнопрочная оболочка является оболочкой минимального веса. Для условия равнопрочности, принятого в настоящей работе, такое доказательство проведено только для статически определимых конструкций [119, 155].
Уменьшение объема материала в равнопрочных оболочках приводит к увеличению уровня перемещений. Поэтому при достаточно большой нагрузке существенное влияние на проект равнопрочной оболочки оказывает учет геометрической нелинейности [6, 52]. Учету физической нелинейности в задачах о равнопрочных оболочках посвящены работы [26, 49, 50, 116]. Задача о составной оболочке с равнопрочными оболо-чечными элементами при учете физической и геометрической нелиней-ностей рассмотрена в работе [48].
В работах [45, 48, 50, 116, 138] рассмотрены задачи поиска проектов равнопрочных оболочек при несимметричном распределении материала относительно поверхности приведения оболочки. В [45] приведен пример равнопрочного проекта пологой эллипсоидальной оболочки для случая, когда за поверхность приведения взята внешняя ограничивающая поверхность оболочки; вес равнопрочной оболочки оказался больше веса оболочки постоянной толщины при том же ограничении по прочности. В работе [138] предлагается выполнять условие равнопрочности -'-'! на каждой из ограничивающих поверхностей оболочки. При этом толщина представляется в виде двух искомых величин, равных расстоянию от поверхности приведения до ограничивающих поверхностей оболочки.
Задачи поиска проектов равнонапряженных оболочек, а также композитных оболочек с равнонапряженной арматурой, рассмотрены в [140, 141, 142] и др. По постановке эти задачи близки к задачам о равнопрочных оболочках, т.к. содержат условия равнонапряженности, использующиеся для поиска толщины или параметров армирования. Близкими к задачам о равнопрочных оболочках можно считать задачи из работ [129, 131]: оптимальный по весу и удовлетворяющий ограничениям по прочности профиль изотропной пластины находится среди решений обратных задач при заданном выражении прогиба, зависящего от нескольких варьируемых параметров. Обратные задачи поиска начальной формы поверхности приведения оболочки, при которой конечной поверхностью является плоскость, рассмотрены в [53, 54]. В работе [38] приведено решение обратной задачи поиска параметра, входящего в выражение закона изменения толщины пологой сферической оболочки, при котором заданная нагрузка является критической нагрузкой потери устойчивости.
Большое число работ посвящено задачам весовой оптимизации оболочек, формулируемых как задачи нелинейного программирования или оптимального управления [1, 5, 7, 23, 37, 73, 74, 77, 105, 108, 112, 123, 169, 182, 187, 206, 212] и др. Постановки задач различаются системой ограничений и используемыми моделями теории оболочек.
В качестве ограничений чаще других используются ограничения по прочности [5, 77, 96, 108, 181, 182, 202], ограничения на собственную частоту колебаний [9, 78, 119, 180] или на величину критической нагрузки потери устойчивости [7,169,177, 211]. Последние два вида ограничений записываются как ограничения на собственные значения дифференциальных уравнений, определяющих формы колебаний или поте- ри устойчивости. При учете ограничений по устойчивости в оптимальных проектах могут появляться кратные собственные значения, что делает оптимальный проект более чувствительным к несовершенствам формы [12, 124, 169].
Задачи весовой оптимизации оболочек при учете геометрической и (или) физической нелинейностей рассмотрены в работах [5, 23, 73, 74, 77, 96, 97, 108, 171, 195, 206]. В работах [123, 180, 187] используются соотношения уточненных теорий оболочек. В ряде задач искомой величиной является также форма срединной поверхности [74, 169, 212]. Весовой оптимизации пластин и оболочек с несимметричным распределением материала посвящены работы [37, 108].
Задачи оптимального распределения материала в случае, когда един= ственным ограничением является постоянство объема материала конструкции, можно рассматривать в качестве взаимных задачам весовой оптимизации: их решения при определенных условиях [12] можно найти по решению последних. Примером такой задачи является поиск оптимальной толщины оболочки, максимизирующей критическую нагрузку потери устойчивости [124]. Задача поиска толщины и формы срединной поверхности, максимизирующих критическую нагрузку при заданных объеме материала и объеме занимаемого оболочкой пространства, рассмотрена в [205].
Наиболее часто в литературе встречаются задачи поиска законов изменения жесткостных параметров в конструкции с заданным объемом материала, доставляющих стационарное значение энергии деформации или податливости конструкции [13, 18, 62, 92, 97, 104, 110, 115, 145, 153,198, 203] и др. Использование этих критериев качества обусловлено двумя причинами. Во-первых, выбор таких величин обеспечивает снижение уровней перемещений и напряжений; во-вторых, при вычислении их производных по проектным (жесткостным) переменным можно исключить сопряженные переменные путем использования вариационных принципов [13]. Этот подход, используемый, в основном, в случае линейных задач расчета НДС пластин и оболочек, в работах [98,110] распространен на случай геометрически нелинейных задач. При этом критерием качества выбрано соответствующее выражение дополнительной работы. Еще одним видом оптимизируемого функционала, приводящим к исключению сопряженных переменных, является величина обобщенного перемещения [61, 111].
В ряде других работ для упрощения дифференцирования энергетического критерия качества используются предположения о характере НДС конструкции [97, 99].
В работах [90, 111, 166, 167, 207] рассмотрены задачи минимизации функционалов податливости и энергии деформации при учете физической нелинейности. Использованию этих критериев в термоупругих задачах посвящены работы [99, 100].
Поиску оптимальных параметров стержневых элементов, подкрепляющих края вырезов в пластинках и оболочках или узлы сопряжения оболочек, посвящены работы [11, 110, 111, 119,120, 127, 128, 146, 156, 158] и др. В работе [120] рассмотрена задача эквивалентного подкрепления края выреза в оболочке, при котором создается такое же НДС, как в оболочке без выреза. Отмечено, что такое подкрепление не всегда существует, и поэтому задачу подкрепления следует ставить как задачу минимизации отклонения некоторой величины, характеризующей НДС рассматриваемой оболочки, от той же величины, вычисленной для оболочки без выреза. В качестве меры такого отклонения в работе [127] выбирается потенциальная энергия дополнительного (обусловленного вырезом) напряженного состояния. Критерий минимума энергии деформации конструкции при ограничениях на объем материала используется в работах [156,157,158] для поиска оптимальных параметров подкреплений и толщины пластины с отверстием. Задача определения параметров подкреплений узлов сопряжения и толщин оболочечных элементов в составной оболочке вращения по критерию минимума дополнительной работы рассмотрена в работе [110].
Следует отметить ряд работ по оптимальному проектированию оболочек переменной толщины, содержащих важные теоретические результаты. В работе [107] доказано, что в двумерной задаче оптимального проектирования пластины Кирхгофа минимального веса при заданной основной частоте колебаний решения в виде гладкого закона изменения толщины не существует, существует лишь обобщенное решение в виде множества бесконечно тонких ребер. Явление образования ребер отмечено также в работе [145], в которой приведено численное решение задачи оптимизации пластины заданного объема с минимальной величиной функционала податливости, Поэтому при поиске оптимальных проектов приходится вводить ограничения на закон изменения толщины, например, в виде предположения об ее осесимметричном распределении в оболочках вращения или в виде ограничения на величины градиентов искомого закона [16, 17, 209]. В работе [209] на примере оптимизации упругой круглой пластины заданного объема с минимальным значением величины податливости показано, что даже при осесимметричном распределении материала и несимметричной поперечной нагрузке ограничения на величину градиента толщины могут быть всюду активны и оптимальной является пластина, разделенная на кольцеобразные области с постоянными (допускаемыми) значениями градиента.
Ряд работ посвящен задачам управления НДС пластин и оболочек путем поиска оптимальных параметров термосилового нагружения [66, 106, 162] или рационального расположения опор [10, 76, 102].
Для решения задач ОПК применяются, в основном, две группы методов.
К первой группе можно отнести методы, использующие условия оптимальности проекта. Эти условия, получаемыми приемами дифференциального и вариационного исчислений, представляют собой нелиней- ные уравнения, использующиеся совместно с уравнениями прямой задачи для поиска проектных переменных. Поиск организуется как итерационный процесс, аналогичный процессу расчета равнопрочных конструкций. Методы условий оптимальности (или критериев оптимальности [12, 184]) пригодны для решения задач ОПК большой размерности, однако их использование ограничено отсутствием единой методики организации итерационных процессов [13, 215]. Поэтому при оптимизации пластин и оболочек методы этой группы применялись, в основном, в работах, где критерием качества выбраны выше упомянутые энергетические характеристики [13, 61, 62, 98, 110, 111]. В этом случае для линейных соотношений прямой задачи доказана сходимость итерационного процесса [92].
К второй группе методов относятся методы математического программирования, широко представленные в известных монографиях [2, 101, 119, 148, 183, 184]. Применению методов линейного и нелинейного программирования к задачам оптимизации оболочек и пластин посвящены работы [6, 55, 74, 96, 108, 109, 179, 182] и др. Наряду с методами, использующими вычисление градиентов функций по параметрам проектирования, широкое применение получили методы прямого поиска [37, 108, 147, 172].
Кроме уже упомянутых методов, в одномерных задачах оптимизации оболочек и пластин находит применение принцип максимума Л.С.Понт-рягина [7, 23, 77, 103, 160].
Алгоритмы оптимизации конструкций в большинстве случаев представляют собой рациональный перебор параметров проектирования, при котором для каждого набора искомых параметров решается прямая задача расчета конструкции. Время решения прямой задачи обычно существенно превышает время, затрачиваемое на коррекцию параметров проектирования, поэтому главным требованием, предъявляемым к алгоритму оптимизации, является минимальное число обращений к ре- шению прямой задачи. Такому требованию отвечают методы, в которых используется один из способов анализа чувствительности проекта ( [12, 13, 91,145,168, 184,185, 193] и др. Под анализом чувствительности понимают способы вычисления производных от функционалов качества и ограничений по переменным проектирования. Выражения этих производных используются затем при записи условий оптимальности проекта или в градиентных методах нелинейного программирования. Кроме того, анализ чувствительности позволяет оценить степень влияния & на оптимизируемый функционал того или иного искомого параметра.
Широкое распространение методы анализа чувствительности получили в задачах оптимизации пластин и оболочек [13, 12, 111, 113, 180]. Упрощенные приемы анализа чувствительности, использующие предположения о слабой изменяемости усилий и моментов по сравнению с напряжениями, применены в рабоїах [63, 82, 96, 109]. В монографии ь [180] приведено выражение первой вариации функционала общего вида через вариации проектных переменных для соотношений линейной теории оболочек Рейснера. Аналогичное выражение получено в [113] при учете геометрической нелинейности. В работе [149] предложен способ анализа чувствительности для задач оптимизации тонкостенных конструкций, не требующий дифференцирования матрицы жесткости ко- 1# нечных элементов.
Эффективность процессов решения задач оптимизации зависит также от используемых методов прямого расчета конструкций. Наиболее часто используемыми в ОПК методами являются методы конечных разностей (МКР) [57, 70, 95, 164] и конечных элементов (МКЭ) [60, 134, 165, 173]. Для задач оптимизации формы тел в ряде случаев весьма эф- t фективным оказывается метод граничных элементов (МГЭ) [12, 19,
217], но в параметрических задачах оптимизации пластин и оболочек этот метод используется мало. Широкое применение в задачах ОПК находят и другие методы расчета конструкций [51, 68, 133], а так- же теоретико-экспериментальные методы [121]. При оценке несущей способности конструкций находят применение методы линейного программирования [174, 175] и вариационного исчисления [89].
При решении нелинейных задач применяются различные формы методов последовательных приближений и продолжения решения по параметру. Разработке и применению этих методов посвящены монографии [8, 30, 40, 67, 95] и статьи [31, 35, 36, 58, 84, 114, 190, 191] и др. Метод продолжения решения по параметру в настоящее время наиболее часто используется в следующих двух формах. В первой в качестве параметра продолжения на текущем шаге процесса выбирается компонента решения, получившая максимальное приращение на предыдущем шаге [30, 36], во второй- параметром продолжения является длина дуги кривой равновесных состояний [35, 36, 67, 114]. Преимущество таких параметров продолжения состоит в том, что решение нелинейной задачи является при достаточно малых шагах по параметру и отсутствии точек ветвления однозначной функцией этих параметров, а это позволяет находить решения в предельных точках гладкой кривой деформирования.
Анализ литературы, посвященной расчету и оптимальному проектированию пластин и оболочек, показывает, что ежегодное число публикаций по оптимальному проектированию конструкций, несмотря на некоторое уменьшение по сравнению с 70-80 годами XX века, в последние годы остается весьма большим, что указывает на устойчивый интерес исследователей к задачам ОПК. Значительный интерес вызывает и разработка методик решения задач нелинейного деформирования конструкций. В области оптимизации пластин и оболочек сравнительно мало работ, выполненных для нетонких оболочек, а также для случаев, когда в основных соотношениях учитывается геометрическая и физическая нелинейности, несимметричное распределение материала оболочки. Автору известно лишь небольшое число работ по параметри- ческой оптимизации составных оболочек, в которых разыскиваются не только толпщны оболочечных элементов, но и жесткостные параметры подкрепляющих элементов. Слабо разработаны методики поиска проектов минимального веса в случае, когда этот поиск ведется в области изменения переменных проектирования^ для которых верхняя критическая нагрузка близка к заданной.
Все вышеизложенное и определяет актуальность исследований, выполненных в диссертации.
Диссертационная работа состоит из четырех глав.
В главе I приведены основные соотношения и методики расчета нелинейного осесимметричного НДС составной оболочки вращения.
В разделе 1.І приведены основные уравнения для элементов состав= ной оболочки вращения при учете геометрической и физической нели-нейностей.
В разделе 1.2 описан алгоритм расчета НДС составной оболочки вращения. Задача определения НДС оболочки сводится к краевой задаче для канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с заданными условиями на торцах и условиями сопряжения оболочечных элементов. Изложена методика решения этой задачи, основанная на методах последовательных приближений и ортогональной прогонки.
В разделе 1.3 представлены результаты решений тестовых задач для сравнения с известными из литературы аналитическими и численными решениями. Влияние геометрической и физической нелинейностей, а также температурного воздействия, иллюстрируется решением задачи расчета НДС составной оболочки.
В разделе 1.4 приведены результаты решения задачи о больших прогибах нелинейно-упругой эллипсоидальной оболочки переменной толщины. На оболочку действует вертикальная погонная нагрузка, приложенная к кольцу, подкрепляющему центральное отверстие. Применен метод продолжения решения по параметру интегрального прогиба. Исследовано влияние на критическую нагрузку параметров тонкостеннос-ти, предела текучести материала.
Предложен вариант метода продолжения решения по параметру, в котором в качестве параметра продолжения используется длина дуги четырехмерной кривой равновесных состояний. С помощью описанного алгоритма решены задачи о больших прогибах замкнутых в полюсе упругой и неупругой эллипсоидальных оболочек вращения под внешним давлением. Получено семейство кривых "нагрузка-прогиб" для малых осесимметричных возмущений закона изменения давления, анализ этих кривых позволил сделать вывод о наличии точки ветвления решения как для линейно-упругой, так и для нелинейно-упругой оболочки.
Алгоритм расчета напряженно - деформированного состояния составной оболочки вращения
В данном разделе приведены результаты расчетов оболочек вращения, полученные с использованием вышеприведенного алгоритма. Приводятся данные сравнения с результатами других авторов. При решении физически нелинейных задач в дальнейшем использовался закон линейного упрочнения [83]:
Цилиндрическая оболочка со сферическими днищами (рис.1.3), под действием равномерного внутреннего давления [22, 159]. Радиус цилиндра R , длина образующей 2,5Л , радиус днища 2R. Толщины оболочек и днища одинаковы и равны h = 0,01Я. Материал оболочки линейно-упругий, геометрическая нелинейность не учитывается, взято z/ = 0,3, 7 = 0.
В работе [22] дано аналитическое решение этой задачи, полученное с использованием соотношений безмоментной теории оболочек с учетом краевого эффекта. Сравнение результатов вычисления по формулам из [22] и полученных с помощью алгоритма из раздела 1,2 приведено в табл. 1.1, где значком " " отмечены результаты настоящей работы.
Вследствие симметрии рассматривается только дуга AF. Проведен расчет двух вариантов задачи: а) оболочки соединены между собой непосредственно; б) оболочки соединены через кольцо прямоугольного сечения со сторонами О, \R и 0,05Я ( сторона длиной 0,1R перпендикулярна оси вращения ) и модулем Е = Е . Эксцентриситет положения кольца относительно поверхности приведения Q не учитывается. Расчет проведен для равномерного разбиения меридианов днища и цилиндрической оболочки на 25 и 30 частей. pRVRh pRjEJh Точки B,C,D,E имеют, соответственно, координаты s = — 0,168Л, s = 0, s = 0,125Я, 5 = 0,25Л, где s - координата дуги, отсчитываемая от точки С. Приведенные значения усилий и моментов в точке С относятся к цилиндрической оболочке. Расчет был повторен на разбиении с шагом вдвое меньшим. Отличия в значениях разрешающих функций не превышают 1% . Некоторое различие решений из [22] и настоящей работы объясняется тем, что аналитическое решение для сферической оболочки не является точным решением задачи (1.2.1) - (1.2.4).
Нормализованный компенсатор ДДОО, под действием осевого растяжения за пределом упругости [20]. Компенсатор представляет собой конструкцию из четырех оболочек постоянной толщины (рис Д ,4а): цилиндрической оболочки 1 радиуса R = 35,75см и длиной образующей L = 1,1см, тороидальной оболочки кругового сечения 2 с параметрами г = 3,2см, во = 7г/2, $н = —0,096, конической оболочки 3 с длиной образующей L = 4,956см и тороидальной оболочки 4 с параметрами г = 3,2см, #о = —0,096, $н = 7г/2 . Толщины всех оболочек одинаковы и равны h = 0,4см. На торце А заданы условия жесткой заделки; торец Е подвергается действию осевой силы, для него выполнено условие ш\ = 0. Конструкция изготовлена из стали ЭИ-612, диаграмма деформирования которой в [20] задана на четырех участках кусками парабол
Результаты расчетов даны на рис 1.46, где представлено распределение деформаций Єі,Є2 на внешней поверхности оболочки (е е ) при нагрузко , соответствующей осевому растяжению на 0,6см. Штриховыми и сплошными линиями показаны решения, соответственно, линейной и физически нелинейной задач, полученные в работе [20]. Решения, полученные по методике, описанной в разделе 1.2, отмечены значками "+" (линейная задача) и "о" (физически нелинейная задача). Диаграмма деформирования аппроксимировалась законом линейного упрочне
Оболочки вращения, близкие к равнопрочным
Данные об объеме материала в проектах и об уровне перемещений даны в табл.2.2. Следует отметить существенное влияние геометрической нелинейности на начальный проект нелинейно-упругой оболочки. Учет геометрической нелинейности приводит к облегчению начального проекта на 24,2%, уменьшение веса еще на 13,8% возможно в равнопрочном проекте.
Составная оболочечная конструкция из шести элементов (рис.2.4): сферической оболочки (АВ) радиуса а, 0 в 7г/3; цилиндрической оболочки (ВС) с длиной образующей 1вс — 1,25а; конической оболочки (CD): 9 = 1,2036, IQD = 1,741а; цилиндрической оболочки (DE): lDE — 2,25а; конической оболочки (EF): 6 = 2,0344, lEF = 1,1181а и цилиндрической оболочки (FG): IFG = 1,5а. В сечениях А и G ставятся условия симметрии (1.1.11). Расчеты проведены при P/(2G) = 0,325 10"4, Л = 0,95, е3 = 0,005. Разыскивается дискретно - равнопрочный проект конструкции, в котором каждый оболочечный элемент проектируется с постоянной толщиной.
Результаты решения приведены в табл.2.2 и табл.2.3. Последние две строки табл.2.2 содержат результаты решения задачи, в которой взято X == 0, ег / гв=з1,! . Эти данные приведены для анализа влияния величин а и Л (каждой в отдельности) на проекты конструкции и характеристики НДС.
Как видно из табл.2.2, снижение веса в дискретно - равнопрочных проектах меньше, чем в равнопрочных проектах ранее рассмотренных задач, и составляет 9-14%. Следует отметить значительное влияние физической нелинейности на начальные проекты: нелинейно-упругие проекты легче линейно-упругих более чем на 30 %.
В табл.2.3 приводятся значения величин Oj — maxcr, а также найденное решение hj для линейно-упругого и нелинейно- упругого проектов. Значки "-" и "-Ь" при значениях jj означают, что это значение достигается, соответственно, в начале или в конце рассматриваемого элемента.
Рассматривается задача поиска переменной толщины оболочки наименьшего веса при заданной нагрузке и ограничении по прочности. При решении задачи нелинейного программирования применен алгоритм, использующий при вычислении градиентов функций , входящих в ограничения по прочности, аппроксимацию этих функций аналитическими выражениями. Предположения о характере напряженного состояния, на которых основана эта аппроксимация, фактически сводят задачу об оболочке наименьшего веса к задаче о равнопрочной оболочке. Приведены результаты оптимального проектирования тонких непологих линейно -упругих и нелинейно-упругих оболочек вращения под действием осе-симметричных нормальных нагрузок [109].
Искомую толщину оболочки определим как решение задачи (2.1.1), дополненную конструктивным ограничением h /i#. Для поиска решения используем сведение этой исходной задачи к задаче нелинейного программирования. Как в разделе 2.1, введем на дуге меридиана разбиение s j = 1,2, ,,,п, и положим h = (p(s,J3) ; (р - некоторая известная функция, /3 - вектор с компонентами / ,/) "@т Задача нелинейного программирования для неизвестных /3;- запишется следующим образом:
Процесс (2.2.2), (2.2.3) можно рассматривать как вариант метода возможных направлений без процедуры одномерного поиска минимума. Функция о является, в общем случае, алгоритмически заданной функцией. Ее градиент вычисляется по разностным формулам, что требует решения (га + 1)-ой задачи расчета НДС на каждой итерации [5]. Значительно снизить объем вычислений можно, если аппроксимировать функцию а некоторой аналитически заданной функцией a = cr(h).
Выбрать такую функцию можно, используя предположение о том, что усилия и моменты мало меняются при изменении толщины по сравнению с напряжениями [45, 63, 96]. В случае линейно-упругого материала получим функцию а для задачи (2.2.3) из выражения а = (г(/г,Г»,М ) полагая Т{ = Т?\ М{ = м\к\ т.е. а = а(к,т}к\м$к)).
В приводимых ниже задачах для отыскания проектов нелинейно-упругих оболочек, находящихся под внутренним давлением, при выборе функции а предполагалось, что оболочка безмоментная, т.к. рассматриваемые оболочки имели значительную безмоментную область. При таком предположении функция а имеет вид
Оптимальное проектирование составных оболочек вращения методом комплексного поиска
Согласно [183], вычисления заканчиваются, если комплекс окажется стянутым в центр тяжести в пределах заданной точности. Практика расчетов показывает, что такая ситуация может возникать задолго до достижения приемлемого решения. Поэтому в этом случае поиск проекта не прекращается, а определяется новый комплекс по формуле (2.3.5), в котором /3 будет точкой с наилучшим достигнутым значением целевой функции, а параметр 51 уменьшен вдвое. Счет заканчивается при выполнении ограничений по времени или числу эталов, определенных путем численного эксперимента,
Приведенный алгоритм положен в основу программы для ЭВМ. Закон изменения толщины в рассматриваемых ниже задачах аппроксимируется кусочно-линейной функцией h = Qm(s), Для которой /3{ -значения Qm{s) в узлах ломаной. Эти узлы (ej) разбивают меридиан оболочки на I дуг одинаковой длины (в случае сопряжения оболочек такое разбиение имеет место для каждой оболочки). Исходный комплекс строится при /Зр = /го Результаты приведены в виде графиков на рис.2.9-2.13 и в табл.2.5. На рисунках показано распределение вдоль меридиана оболочки величин h и сг, а для геометрически нелинейных задач приведены также зависимости "нагрузка - прогиб (при s = SQ) ", полученные рассмотренными в разделе 1.4 алгоритмами продолжения по параметру для оптимальных проектов оболочек. Штриховые линии на рисунках соответствуют начальным проектам оболочек постоянной толщины, сплошные - оптимальным проектам переменной толщины. Кривые, отмеченные цифрой 1, получены при учете геометрической нелинейности (ГН-проекты), цифрой 2 - без ее учета (ГЛ-проекты). Для всех задач положено v = 0,3; в случае a /as 1 взято А = 0,9, е3 = 0,005.
В табл.2.5 обозначено: V" , V k\ Vj. - величины объемов материала в начальных проектах оболочек и в проектах оболочек, толщины которых соответствуют центрам тяжести J3k на «-ом и конечном этапах поиска (V" = V/а3); к{ - число проведенных этапов поиска, к/ - число обращений к решению задачи прочности, «д - номер этапа поиска, на котором вводится новый комплекс.
Рассмотрены следующие задачи.
1) Пологое сплюснутое эллипсоидальное упругое днище с центральным отверстием, характеризуемое соотношениями Ь/с = 0,5 ( 6, с -полуоси эллипсоида, с - полуось, перпендикулярная оси вращения), 0,092 в 0,354, 7 = —h/2 (за поверхность приведения принята внешняя ограничивающая поверхность), находится под действием равномерного внутреннего давления Р/(2С?) = 0,15 10=4. У отверстия и основания днища выполнены условия шарнирного закрепления. При расчетах принято п — 43, / = 5, q = 8, 8Q = 0,005, 8\ — 0,5, h = Qe(s). Результаты приведены на рис.2.9. Для данного примера в работе [45] приведен проект равнопрочной оболочки с объемом материала большим, чем объем материала оболочки оптимальной постоянной толщины. Закон изменения толщины для этого проекта показан пунктиром на рис.2.9.
2) Сплюснутая эллипсоидальная упругая оболочка ( Ь/с = 0,5 , 0 в 7Г, 7 = —h/ty находится под равномерным внешним давлением P/(2G) = —0,5 10 4. Результаты представлены на рис.2.10. Вследствие симметрии рассмотрена только дуга А С. Для расчетов положено: п = 41,/ = 5,q = 8,#о = 0,003, 1 = 0,3,h = Qb(s)] принимается, что h(si) = h(s2) = Pi- В данном примере ограничения по прочности оказались неактивными для ГН-проектов оболочек как постоянной, так и переменной толщины. Для обоих проектов критическая нагрузка оказалась примерно равна заданной нагрузке. Экономия материала составляет 15% для ГН-проекта и 30% для ГЛ-проекта. Объем материала в ГН-проектах оказался в 1,3-1,5 раза больше объема материала в ГЛ-проектах, т.к. в последнем случае ограничение по устойчивости
На рис.2.10 в,г изображены кривые "нагрузка-прогиб" для, соответственно, начального и оптимального проекта оболочки Характер особых точек выяснялся с помощью численных экспериментов, аналогичных рассмотренным в разделе 1.4. В закон изменения нагрузки вносилось возмущение согласно формуле (1.4.8). Для начального и оптимального проектов приведены кривые для є = 0 (штрих-пунктирная линия), є = ±0,05 (сплошная линия) и є = ±0,07 (пунктирная линия). Из рисунков видно, что если для начального проекта заданному значению нагрузки соответствует точка ветвления, то для оптимального проекта можно говорить лишь о том, что заданной нагрузке соответствует предельная точка.
Оптимальное распределение материала в нетонкой оболочке вращения при неосесимметричном нагружении
Рассмотрены следующие задачи оптимизации.
1) Кольцевая изотропная пластина с отверстием радиуса р = 0, 2.Я, где R - радиус контура, находится под действием распределенной нормальной нагрузки P(r, ip) = PQ COS 4(р ( PQ - постоянная ) [145]. На контуре пластины и у отверстия выполнены условия жесткой заделки. Для расчетов взято 1/12 = 21 = 0, 25,/IQ/- = 0,05,/i# = 0,6/го, в = 3/ о Решение прямых задач проводилось при разбиении радиуса пластины на 100, 200 и 400 отрезков. Разница в значениях функции h и величинах Sn, SV Sa, полученных при различных разбиениях, не превышает 1%. Сходимость описанного процесса слабо зависит от числа разбиений радиуса пластины, п « 4 -f- 8. Решение h = h изображено на рис.3.6 сплошной линией, штриховой линией показан уровень fi = ho . Как видно из рис 3,6, для оптимального распределения материала характерно образование кольцевых утолщений , препятствующих изгибу в окру ахнем направлений. Получены следующие значения характеристик проекта: Sn =-0,74, Sw = 0,80, Sa = 0,58. Для h = h0 имеем Пс/Пи = 0,08, для h = h Пс/Пи = 0,20.
В работе [145] эта задача решалась с использованием гипотез Кирхгофа -Лява и метода конечных элементов в сочетании с разложением в тригонометрические ряды по окружной координате. Увеличение числа конечных элементов приводило к, разным оптимальным проектам h с характерным образованием большого числа тонких кольцевых ребер и уменьшению величины Sn- При 100 конечных элементах наблюдалось одно ребро, его положение изображено пунктиром на рис.3.6.
2) Изотропная круговая цилиндрическая оболочка радиуса R с длиной образующей L = 4R находится под нормальным давлением P(r, p) = PQ(1 + Acosmip), где PQ,A - постоянные, га = 1,2,... . Торцы оболочки жестко заделаны. При расчетах полагалось /г# = 0,75/, /їв = 1, 25/io 12 — 2i — 0 3, h(sjR = 0, 05. Цель расчетов - исследование влияния возмущений осесимметричной нагрузки (А = 0) на оптимальный проект и его характеристики. Результаты вычислений приведены на рис.3.7 и в табл.3.2.
В последнем столбце табл,3.2 даны номера кривых на рис.3.7 для данного варианта, первая её строка содержит результаты расчета осе-симметричной задачи, основанной на соотношениях для тонких оболочек и гипотезах Кирхгофа - Лява. Кривые h , соответствующие первым трем строкам таблицы, в пределах точности графика совпадают. При т = 4, А 0, 8 наблюдается образование кольцевого ребра по направляющей цилиндра s = 5 ; в случае т = 1, А = 0,1 форма h существенно отличается от полученной при осесимметричной нагрузке. Как видно из табл.3.2, оптимальное распределение материала уменьшает величину энергии деформации П на 4-6% .
Ранее рассмотрена задача об определении жесткостных характеристик проекта оболочки, в котором величина дополнительной работы деформации была наименьшей среди проектов оболочек с заданным объемом материала. Выражение для первой вариации функционала через, вариации оптимизируемых геометрических параметров оболочки получалось путем использования вариационного принципа стационарности дополнительной работы, При более общих критериях качества, когда использование вариационных принципов для исключения вариаций функций, характеризующих НДС оболочки (переменных состояния), не представляется возможным, для дифференцирования функционалов (анализа чувствительности [13, 184]) используются следующие два подхода.
Первый подход, упомянутый в разделе 2.2, состоит в дискретизации задачи и вычислении производных функционалов по жесткостным параметрам с использованием разностных формул. Такой подход оказывается эффективным при небольшом числе оптимизируемых параметров и произвольном числе ограничений задачи оптимизации.
Второй подход, используемый как в случае, когда критерий качества и ограничения записываются через интегралы, так и в случае дискретной задачи оптимизации, заключается в использовании сопряженных уравнений для исключения вариаций переменных состояния. В этом случае для получения градиента функционала требуется решение только двух задач (прямой и сопряженной), однако сопряженную задачу нужно решать для каждого функционала, входящего в задачу оптимизации и содержащего переменные состояния. Таким образом, выбор наиболее эффективного подхода зависит от конкретной постановки за - 108 дачи оптимизации.
Ниже получено выражение первой вариации функционала, характеризующего качество составной нелинейно-упругой оболочки вращения, через вариации жесткостных параметров. Этими параметрами являются толщины оболочечных элементов и параметры колец, связывающих эти элементы. Рассмотрена задача определения жесткостных параметров, доставляющих стационарное значение обобщенному перемещению в упругой составной оболочке с заданным объемом материала. Получены условия стационарности, приведены алгоритм и примеры расчетов
