Оптимизация термонапряженного состояния оболочек вращения методом конечных элементов Боженко Богдан Любомирович

Содержание к диссертации

Введение

2. Математическая постановка и схема численного решения задачи оптимизации 11

2.1. Исходные соотношения температурной задачи теории тонких оболочек 11

2.2. Обобщенный вариационный принцип Лагранжа 20

2.3. Математическая постановка экстремальной задачи в перемещениях 26

2.4. Схема численной реализации решения задачи 30

2.5. Итерационный алгоритм уточненного метода конечных элементов определения температурных напряжений 40

3. Оптимизация напряженного состояния неосесимметрично нагретых оболочек вращения 47

3.1. Постановка и схема решения экстремальной задачи... 47

3.2. Локальный нагрев цилиндрической оболочки 58

3.3. О точности численной схемы 76

3.4. Локальный нагрев конической оболочки 87

3.5. Локальный нагрев оболочки с образующей в виде дуги окружности 102

3.6. Нагрев зоны сопряжения пересекающихся цилиндрических оболочек 116

4. Оптимальный локальный подогрев свариваемой цилиндрической оболочки 129

4.1. Математическая постановка задачи 129

4.2. Схема численной реализации решения 137

4.3. Исследование температурных полей и напряжений 155

5. Заключение 164

Литература 166

Приложение 178

• Математическая постановка экстремальной задачи в перемещениях
• Итерационный алгоритм уточненного метода конечных элементов определения температурных напряжений
• Локальный нагрев оболочки с образующей в виде дуги окружности
• Исследование температурных полей и напряжений

Введение к работе

Тонкостенные элементы конструкций типа оболочек вращения в процессе изготовления, эксплуатации и ремонта подвергаются локальному нагреву. При этом возникают температурные напряжения, которые могут достигать значительной величины, превышать допустимые и приводим к возникновению трещин, значительных термопластических деформаций, к потере устойчивости конструкции. Поэтому весьма важными и актуальными являются исследования задач оптимизации по напряжениям условий нагрева тонких оболочек с целью понижения уровня температурных напряжений.

Развитию теоретических основ оптимизации напряженного состояния тонких оболочек за счет выбора градиентности температурных полей в зоне локального нагрева при достаточно общего вида ограничениях на допустимые функции посвящены работы Э.Й.Григолюка, Я.С.Подстригача, Я.И.Бурака /27,31,45-48/4 Решение задач проводилось методами вариационного исчисления на основании минимизации функционала энергии упругой деформации оболочки. Предложенная методика определения оптимальных температурных полей совместно с Л.П.Бесединой, С.Ф.Будзом, А.Р.Гачкевичом, Б.В.Герой, Ю.Д.Зозуляком, Й.В.Огирком, Я.П.Романчуком, Н.Н.Тимошенко, Б.И.Чорным была развита и распространена на широкий класс задач оптимизации напряженного состояния термоупругих оболочек. Так, постановка и решение задач оптимизации при силовом и температурном нагружении содержится в работах/28,61,62,91/ , где определяется оптимальная силовая нагрузка, обеспечивающая низкий уровень напряжений в зоне высоких температур. Исследование зависимости оптимальных локальных температурных полей от условий закрепления краевых сечений оболочки выполнено в/8,94 /. В работе/ 6 J исследуются температурные поля в неоднородных оболочках с целью аналитического определения оптимальных условий их локального нагрева.

Определению оптимальных режимов нагрева тонких оболочек вращения в условиях теплообмена с боковых поверхностей при заданных пределах допустимого изменения температурного поля и температурных напряжений посвящены работы /їв,І9,23,24/ . Исследования по определению оптимальных по напряжениям полей нагрева оболочек вращения с учетом температурной зависимости характеристик материала проведен в /29,30J . Решение задачи оптимального управления нагревом внутренними источниками тепла, когда распределение температуры с достаточной точностью может быть аппроксимировано линейным законом, получено в /25 у » а решение соответствующей задачи без априорного предположения о распределении температуры по толщине - в работе / 96 j . Оптимизация режимов индукционного нагрева цилиндрической оболочки при ограничениях на напряжения посвящена работа /125J . В работах / 9,207 определены режимы низкотемпературной обработки пластин и пологих оболочек с целью понижения остаточных напряжений. Развитию методики оптимизации напряженного состояния тонких оболочек при нестационарном силовом и температурном нагружении посвящены работы /"26,42 У . Более полный обзор работ в этом направлении имеется в работах/7,47,957 .

Оптимальные температурные поля в околошовной зоне в предположении, что температура вне этой зоны задана, а также применительно к локальному нагреву окрестности винтового сварного шва цилиндрической оболочки построены и исследованы Г.В.Пляцко и В.Н.Максимовичем /79,927 •

Разработка аналитических методов решения оптимальных по быстродействию задач управления нагревом и охлаждением элементов конструкций при ограничениях на управление, температурные напряжения, перепады и градиенты температурного поля, скорость нагре - 4 ва посвящена монография В.М.Вигака/38/ .

В работах/32-34,107,108у построена методика определения и исследованы оптимальные температурные поля локального сопутствующего подогрева свариваемых в стык тонких оболочек и пластин с целью обеспечения низких уровней остаточных напряжений.

Вопросы теории и методы оптимального управления в системах с распределенными параметрами применительно к задачам термоупругости, систематизированы в монографиях/ 5,36,57,75,77,114,126/ Н.В.Баничука, А.Г.Бутковского, А.И.Егорова, В.Г.Литвинова, К.А.Лурье, Т.К.Сиразетдинова, Е.П.Чубарова и др.

Фундаментальные результаты по разработке и применению численных и численно-аналитических методов к решению задач термомеханики тонкостенных элементов конструкций содержатся в работах В.В.Болотина, А.Т.Василенко, Я.М.Григоренко, А.В.Кармишина, Ю.Н.Новичкова, Б.Е.Победри, В.А.Постнова, Л.Г.Савулы, Н.П.Флейш-мана, К.Ф.Черных, Ю.Н.Шевченко и др.

Существует целый ряд подходов и численных алгоритмов решения задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. Здесь, прежде всего, следует упомянуть прямые методы /83,131 У. Ряд исследований связан с непрямыми методами, в которых с помощью принципа максимума А.С.Понтрягина исходная вариационная задача редуцировалась к краевой/36,104,114 / . Широкое развитие получили методы решения вариационных задач, базирующиеся на идеях нелинейного программирования /56,58, ЮЗу . В работах /84,122 был разработан подход, основанный на вариациях в пространстве состояний.

Этот метод был применен для решения задач оптимизации термоупругого состояния тонких оболочек с учетом температурной зависимости характеристик материала в работах/29,30,88у .

В известных в литературе работах по оптимизации локального нагрева тонких оболочек, в основном, рассматривались задачи осесимметричного нагрева оболочек вращения. В то же время, в связи с многочисленными приложениями (зональный отпуск, предварительный и сопутствующий подогрев в процессе сварки и др.), возникает необходимость решения неосесимметричных задач локального нагрева тонких оболочек. Учет неосесимметрии температурных полей, а также неосесимметрии геометрии оболочек приводит к довольно громоздким исходным соотношениям экстремальных задач. Получение их решения по известным в литературе методикам, основанным на аналитических методах, связано со значительными математическими трудностями.

Поэтому весьма важными представляются исследования по дальнейшей разработке эффективных методик численного решения рассматриваемого класса экстремальных задач.

Целью работы является разработка методики численной оптимизации термонапряженного состояния тонких оболочек вращения при локальном неосесимметричном нагреве ; решение на этой основе новых экстремальных задач об определении неосесимметричных температурных полей, обеспечивающих низкий уровень напряжений в оболочке ; исследование оптимальных температурных полей и соответствующих им температурных напряжений в зависимости от конкретных условий локального нагрева.

Научная новизна. В работе сформулирована математическая постановка и предложена чисельная методика решения задачи оптимизации термонапряженного состояния тонких оболочек вращения, при неосесимметричном нагреве ; разработанная методика, основанная на методе конечных элементов (МКЭ), позволила свести рассматриваемую экстремальную задачу к системе линейных алгебраических уравнений ; построены вычислительные алгоритмы и получены решения новых экстремальных задач оптимизации напряженного состояния оболо - б чек вращения сложной конструкции при локальном неосесимметричном нагреве ; исследованы оптимальные неосесимметричные температурные поля и напряжения при локальном нагреве цилиндрической и конической оболочек, конкретного вида оболочек вращения, а также цилиндрической оболочки, сопряженной с круглой кольцевой пластинкой в зависимости от ширины зоны нагрева и геометрических параметров оболочки ; найдены и исследованы температурные поля локального подогрева цилиндрической оболочки с криволинейным отверстием, применительно к условиям ее неодновременной сварки меридиональным швом.

Диссертационная работа состоит из введения (первая глава), трех глав основного материала, заключения, списка цитируемой литературы и приложения.

Во второй главе сформулирована математическая постановка и предложена методика численной оптимизации термонапряженного состояния тонких оболочек вращения при локальном неосесимметричном нагреве. В качестве исходных принимаются основные соотношения температурной задачи термоупругости тонких оболочек вращения, основанные на гипотезе Кирхгофа-Лява, записан их вариационный эквивалент, обобщенный функционал Лагранжа и сформулирован соответствующий вариационный принцип. Представлен в матричной форме, используемый в работе, функциональный критерий оптимизации -функционал энергии упругой деформации - скалярная мера напряженного состояния оболочки. Сформулированная задача оптимизации решается при ограничениях на искомое температурное поле, заданных в виде равенств. Методика решения задачи, основанная на МКЭ включает в себя:

- триангуляцию области срединной поверхности оболочки с конечноэлементным представлением искомых величин ;

- последовательное решение двух задач скалярной оптимизации:

- минимизации обобщенного функционала Лагранжа, задачи В - минимизации функционала энергии упругой деформации на экстремалях задачи А ;

- сведения полученных в результате решения задач А и В систем уравнений к системе линейных алгебраических уравнений, матрица которой имеет ленточную структуру.

Построена схема численной реализации решения задачи оптимизации МКЭ. Температурные напряжения, соответствующие оптимальному локальному нагреву, определяются по згточняющей итерационной процедуре.

Третья глава посвящена решению задач оптимизации напряженного состояния оболочек вращения, граничные контуры срединных поверхностей которых совпадают с координатными линиями, а дополнительные условия на функции управления заданы в области осе-симметричной относительно оси вращения. На основании методики главы 2 построен вычислительный алгоритм определения на ЭВМ оптимальных по напряжениям неосесимметричных температурных полей локального подогрева оболочек вращения.

С использованием построенного вычислительного алгоритма, решены задачи определения оптимальных по напряжениям неосесимметричных постоянных по толщине температурных полей в цилиндрической оболочке сопряженной с круглой кольцевой пластинкой при конкретных условиях локального нагрева. Получено также решение задачи для оболочки, срединная поверхность которой образована вращением дуги окружности вокруг неподвижной оси. 

Исследования выполнены для цилиндрической оболочки, в которой зона локального нагрева симметрична относительно центрального сечения. На краях зоны локального нагрева температура принимается равной нулю, а в центральном сечении - заданной функцией. Исследовано влияние ширины зоны нагрева на профили экстремаль - 8 ных полей и соответствующие температурные напряжения.

С целью исследования влияния геометрии оболочек на профили оптимальных температурных полей решены аналогичные задачи для конической оболочки и оболочки вращения, для которой образующая -дуга окружности.

Определены оптимальные температурные поля в составной оболочке вращения, образованной цилиндрической оболочкой и сопряженной с ней круглой кольцевой пластинкой. Такая оболочка принималась в качестве расчетной модели в задаче о нахождении температурных полей локального нагрева зоны тройникового соединения трубопроводов применительно к условиям их упрочняющей термообработки. Исследованы возможности управления уровнями температурных напряжений за счет соответствующего выбора ширины зон нагрева цилиндрической оболочки и пластин.

В четвертой главе рассмотрена задача об определении темпе-.ратурных полей при локальном сопутствующем подогреве цилиндрической оболочки в процессе неодновременной ее сварки меридиональным швом. При этом использованы известные из литературы допущения и гипотезы, позволяющие свести данную задачу к задаче оптимизации напряженного состояния упругой цилиндрической оболочки, ослабленной криволинейным отверстием, при локальном неосе-симметричном нагреве.

Вычислительный алгоритм решения экстремальной задачи построен на основании методики второй главы. В качестве конечных элементов выбраны криволинейные изопараметрические треугольники Эрмита с апроксимацией перемещений и температуры кубическими полиномами.

Для определения температурного поля сварки использовались известные схемы, предложенные Н.Н.Рыкалиным/НОу . Получены составляющие температурного поля соответствующие сопутствующему подогреву при различных скоростях движения источника сварочного нагрева. Исследованы температурные напряжения на граничном контуре отверстия в зависимости от размеров и формы зоны нагрева.

В заключении приведены основные результаты работы и выводы.

Предложенная методика численного решения задач оптимизации напряженного состояния оболочек вращения позволяет определять оптимальные неосесимметричные температурные поля в оболочках вращения применительно к условиям их упрочняющей термообработки. Прикладные результаты выполненных исследований по оптимизации локального нагрева конкретной составной оболочки вращения переданы для использования при разработке технологий упрочняющей термообработки тройниковых соединений нефтепроводов. Соответствующий акт о передаче прилагается к диссертации.

Полученные результаты исследований оптимальных температурных полей и напряжений в цилиндрической оболочке с криволинейным отверстием могут быть положены в основу построения инженерной методики определения режимов и схем сопутствующего подогрева при неодновременной сварке цилиндрической оболочки меридиональным швом.

На защиту выносятся: математическая постановка и методика численного решения задачи оптимизации термонапряженного состояния тонких оболочек вращения при неосесимметричном локальном нагреве ; схема численной реализации решения МКЭ задач определения неосесимметричных температурных полей, обеспечивающих низкие уровни напряжений при локальном нагреве оболочек вращения; полученные результаты выполненных исследований для конкретных оболочек вращения при неосесимметричном нагреве и цилиндрической оболочки при сварке в условиях дополнительного подогрева.

Основные результаты исследований, изложенные в диссертационной работе, докладывались на УШ и IX конференциях молодых ученых Института прикладных проблем механики и математики АН УССР (г.Львов, I98I-I982 г.), Ш Республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" (г.Канев, 1982 г.), Всесоюзных конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (г.Ужгород, 1983 г.) и численной реализации физико-механических задач прочности (г.Горький, 1983 г.), Всесоюзных школах молодых ученых и специалистов по численным методам решения задач математической физики (г.Львов, 1983 г.) и проблемам оптимизации в машиностроении (г.Харьков, 1983 г.).

В целом работа докладывалась на семинаре отдела теории физико-механических полей и специализированном семинаре по механике деформируемого твердого тела Института ггрикладных проблем механики и математики АН УССР (г.Львов, 1984 г.).

Результаты выполненных исследований опубликованы в работах /[3-16,21,22 .

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Я.И.Бураку за постоянный интерес и руководство при выполнении настоящей работы. 

Математическая постановка экстремальной задачи в перемещениях

Исследования температурных задач теории тонких оболочек показывают, что характер температурных полей (локальность, градиент-ность) при заданном уровне максимальной температуры значительно влияет на напряженно-деформированное состояние оболочек. Так,при увеличении локализации источников тепла в цилиндрической оболочке 100 температурные напряжения в центральной части зоны нагрева увеличивается в 2 раза по сравнению с исходными. Все это указывает на необходимость постановки и решения задачи об определении температурных полей, которые в пределах условий локального нагрева обеспечивают максимально низкий уровень температурных напряжений. Решение таких задач можно эффективно использовать для определения температурных полей зонального отпуска сварных швов обеспечивающих оптимальные условия релаксации остаточных напряжений / 97 / , а также при определении полей супутствующего подогрева в процессе сварки с целью понижения уровней остаточных напряжений /90,117,1197- В работах /"25,45,47,487 дана математическая постановка и предложены аналитические методы решения задач определения оптимальных по напряжениям температурных полей в тонких оболочках. По методике предложенной в работах /"б,9,19,30,32,34,35,61/ приведены результаты решения конкретных задач для оболочек вращения, причем в основном решены задачи о нахождении оптимальных осесимметричных температурных полей, а также неосессимметрии геометрии оболочек (например, наличие отверстий в оболочках вращения) приводит к довольно громоздким исходным соотношениям и получение решения таких задач аналитическими методами связано с значительными математическими трудностями. Сформулируем математическую постановку экстремальных задач, которые возникают в связи с оптимизацией напряженного состояния тонких оболочек вращения соответствующим выбором неосесимметрично-го температурного поля, в виде пригодном для решения их численными методами. Следуя 47_/, в качестве критерия оптимизации выберем скалярную меру напряженного состояния оболочки функционал энергии упругой деформации.

Используя матричную форму записи, функционал энергии упругой деформации для оболочек вращения, находящихся под действием температурного поля, запишем в виде Сконкретизуєм множество допустимых функций ( ) на котором определен минимизируемый функционал (2.41). В качестве связей на функции выберем соотношения вариационной задачи (2.38),(2.39), решение которой, как было показано в 2.2, эквивалентно соотношениям (2.6)-(2.8),(2.12),(2.14),(2.16) температурной задачи теории термоупругости тонких оболочек вращения в перемещениях . В качестве дополнительных условий на функции управления выберем условия вида где f L (f / ) -ft -заданные на ( функцій, (GO)=U(GOI) \Goi { -множество не пересекающихся подобластей срединной поверхности оболочки (G J. Таким образом экстремальную задачу в перемещениях сформулируем в виде задачи на условный экстремум функционала Х[Ы, Т] на множестве функций [, / » которые удовлетворяют условиям(2.42) и экстремальной задаче (2.38),(2.39) . Другими словами для определения оптимальных по напрядениям температурных полей нужно решить следующую вариационную задачу: Сформулированная задача является двухкритериальной экстре мальной задачей с заданным отношением порядка, что позволяет ре шать ее как последовательность двух задач скалярной оптимизации / 120 / : задачи /\ -задачи минимизации функционала J[ [ц, /ук задачи О -задачи минимизации функционала J\ іиі(Г J, IJ, Решение задачи л существует и единственно Функцио- нал Jl [U, /./квадратичный и выпуклый / 47/ и можно показать, что задача его минимизации имеет единственное решение / 74у. Решение сформулированной задачи оптимизации будем проводить чисельными методами.

Существует большое количество подходов и чисельных алгоритмов решения вариационных задач. Можно выделить несколько различных направлений, отличающихся друг от друга. Прежде всего следует упомянуть прямые методы, основанные на спуске в пространстве состояний /вз,ізі7. Ряд исследований связан с непрямыми методами, в которых с помощью принципа максимума А.С.Понтрягина исходная вариационная задача редуцировалась к краевой /36,104,114/. В работах/84,122/по численным методам оптимального управления был разработан подход основанный на вариациях в пространстве состояний. Этот метод был применен для решения задач оптимизации термонапряжений в гибких оболочках /88/. Широкое развитие получили методы решения вариационньк задач, базирующихся на идеях нелинейного программирования / 56,58,103 / . Учитывая специфику вариационной задачи (2.43), для ее решения выберем метод конечных элементов. Рассмотрим принципиальную схему чисельной реализации решения задачи в перемещениях. Осуществим триангуляцию J1 на области ( G ). Область (G ) разобьем на конечное число [0 подобластей (G/), называемых ко нечными элементами, таким образом, чтобы имели место следующие свойства

Итерационный алгоритм уточненного метода конечных элементов определения температурных напряжений

В результате применения предложенной схемы численного решения экстремальной задачи в перемещениях получаем узловые значения оптимального температурного поля и соответствующие значения узловых перемещений. Согласно (2.7),(2.8),(2.44), имеем следующие формулы для вычисления усилий и моментов на каждом элементе Сравним полученные формулы для вычисления усилий и моментов с формулами (2.44) для перемещений. В (2.67) входит матрица /5/ с элементами oi ,являющимися операторами дифференцирования первого и второго порядков. Из этого следует, что порядок апроксима-ции для значений усилий и моментов на две единицы меньше, чем для перемещений. Поэтому, точность вычисления усилий и моментов ниже, чем перемещений. Для удовлетворения критериев сходимости МКЭ / 59у элементы матрицы /\4 f н& границах между конечными элементами ( Ge ) должны быть функциями непрерывными со своими первыми производньми. Поэтому значения усилий и моментов на всей оболочке получаются в виде кусочно-непрерывных функций. Простейшим и довольно часто применяемым способом определения непрерывных значений усилий и моментов является метод простого усреднения / 59у . В работах/89,113,130 / для этой же цели предложен метод сопряженной апроксимации напряжений. Но он сопряжен с необходимостью построения и решения дополнительной системы алгебраических уравнений. Улучшение точности результатов конечно-элементного расчета удается добиться интерполяцией усилий и моментов на конечном элементе по точкам сверхсходимости / 60,II5,127У. Основной трудностью при этом является отыскание точек сверхсходимости, что не для всех типов элементов удается осуществить. Построим уточняющую итерационную процедуру определения точных и непрерывных по области (G ) значений усилий и моментов МКЭ. Будем искать такие матрицы функций формы /Уие » используя которые в аналогичных (2.67) формулах получим непрерывное по всей области (Cry значения усилий и моментов. В случае использования матрицы Nue имеем следующие формулы для вычисления узловых значений усилий и моментов на С -ом где (k- f) - множество координат узлов -го элемента.

Для усилий и моментов в -ом узле, вычисленных по формулам (2.69), получаем в общем случае столько значений, сколько конечных элементов граничат между собой этим узлом. Для определения единственного значения вектора усилий и моментов в L -ои узле используем метод простого усреднения / 59у . Теперь, для определения усредненных узловых значений усилий и моментов на элементе ( Gf) получим формулы где в -матрица, элементы которой определяются из формул (2.69), учитывая процедуру простого усреднения, (? -узловые значения перемещений, по которым вычисляются усредненные узловые значения усилий и моментов К-р (в вектор Q в качестве компонент входят узловые перемещения і -го и всех граничащих с ним элементов). На каждом элементе ( & е) представим усилия и моменты через их узловые значения в виде Полученное равенство (2.72) можно рассматривать как дифференциальное уравнение для определения матрицы Миє .Разрешить (2.72) относительно /Vце и получить явное выражение для искомой матрицы довольно сложно, поэтому поступим следующим образом. Рассмотрим вариационное уравнение (2.29). Подставляя в него вместо перемещений их дискретное представление (2.44), а вместо действительных усилий и моментов их дискретное представление(2.69), получим Поскольку уравнение (2.73) справедливо для любого о Q , то для определения Q. придем к следующей системе линейных алгебраических уравнений: Вычисленные значения усилий и моментов по узловым перемеще-ниям Q с использованием формул (2.68) будут удовлетворять вариационному уравнению Лагранжа (2.29) и условию непрерывности по всей области ( G- ). Однако непосредственное использование матриц Мце приводит к некоторым трудностям численной реализации: -полная матрица системы уравнений (2.74) имеет, по сравнению с матрицей системы (2.51), большую ширину ленты, что приводит к увеличению числа необходимых арифметических операций при ее решении; -при построении системы (2.74) используется более сложная матрица связей между номерами конечных элементов и их узлов; -для построения системы (2.74) необходимо разработать новые вычислительные программы для вычисления соответствующих матриц в то время, как все матрицы системы (2.51) вычисляются при решении экстремальной задачи.

Локальный нагрев оболочки с образующей в виде дуги окружности

Рассмотрим тонкую оболочку вращения толщины -Zk , срединная поверхность которой образуется в результате вращения дуги %, ?г окружности радиуса К. і вокруг неподвижной оси U& , которая в общем случае не проходит через центр кривизны этой дуги (рис.3.II). Уравнение меридиана - Z (cLJ запишется в виде где Us - угол между касательной к меридиану в начальном сечении oL-0 и осью вращения UE- ; d - расстояние от центра кривизны меридиана 1 Яг к оси вращения О? Подставляя выражения (3.64),(3,65) для функций Z(oCjw (oJ в (2.4), для вычисления коэффициентов Л , О первой квадратичной формы и главных кривизн Кі , Кг в произвольной точке срединной поверхности рассматриваемой оболочки имеем формулы Отметим, что при й. = , рассматриваемая оболочка представляет собой незамкнутую сферическую оболочку. Пусть на краях оболочки задаются граничные условия вида (2.12),(2.14) или (2.16). Ставится задача об определении такого неосесимметричного температурного поля Г0 ( -, Ф /у 7 (A Ту "7 / ( -, f) локального нагрева оболочки, которое при ограничениях вида (2.32) на усредненные характеристики т , обеспечивало бы максимально низкие уровни температурных напряжений.

Метемати-ческая постановка такой задачи сформулирована в главе 2 в виде вариационной задачи (2.33). Решение поставленной экстремальной задачи проведем по численной схеме главы 2, с применением полуаналитического МКЭ. Для непосредственной реализации решения задачи на ЭВМ будем пользоваться аналогичным, построенным в 3.4 для случая конической оболочки, алгоритмом. В этом алгоритме для вычисления эле- ментов ttne матрицы Qi вместо (3.46) имеем фор- мулы Вычисление усилий и моментов, возникающих в рассматриваемой оболочке находящейся под действием найденного температурного поля, как и ранее проведем по уточняющей итерационной процедуре. С применением полуаналитического МКЭ, эта процедура состоит из алгоритмов вычисления для каждой гармоники узловых значений коэффициентов разложения вектора усилий и моментов в ряды Фурье. В качестве таких алгоритмов выбираем построенный в 3.3 алгоритм для случая конической оболочки. Для данной оболочки элементы &Ъ1 матрицы (у вычисляются по формулам Для решения экстремальной задачи составлена вычислительная программа определения оптимальных по напряжениям температурных полей, усилий и моментов и соответствующих температурных напряжений в рассматриваемой оболочке вращения. Программа написана на языке Фортран для трансляторов операционной системы ОС ЕС. Рассмотрим решение экстремальной задачи определения оптимального неосесимметричного, постоянного по толщине температурного поля в оболочке для конкретных условий локального нагрева. Ограничимся случаем, когда оболочка и условия нагрева симметричны относительно сечения = /2 (центрального сечения), при этом зона нагрева ограничена сечениями рс - /Я - В качестве дополнительных ограничений на характеристики температурного поля выбираем условия (3.62), при которых в центральном сечении оболочки задана функция -ft (Чу усредненной температуры.

На краях оболочки задаем граничные условия "скользящего закрепления" (З.Зб). В виду симметрии задачи относительно центрального сечения решение проведем только для части оболочки /Р О ПРИ этом на краю оС= Я/р имеем условия симметрии Профили гармоник искомого температурного поля в зависимости от координаты «/ (&С -/%)/о0 показаны на рис.3.12. Кривые 1-5 соответствуют значениям Ш =0; 5; 10; 15; 30. На рис.3.13 показаны профили гармоники =10 в зависимости от координаты оС для разных значений параметра Остальные параметры при этом выбирались следующими /L = Л /.= 5 ; / = /о ; V =0.3 . При увеличении параметра / ширина зоны охлаждения гармоники hz =10 и максимальная амплитуда температуры в этой зоне возрастают. Перейдем к определению и анализу температурных напряжений в рассматриваемой оболочке при локальном нагреве найденным экстремальным температурным полем, удовлетворяющем условиям (3.62). Функцию /у(ту выбираем в виде В этом случае оптимальное неосесимметричное поле определяется суммой двух первых гармоник 0n=O, Z=v Численные исследования температурных напряжений проводились при следующих значениях параметров оболочки А- /пп\ Л — Я ; На рис.3.14 показаны графики оптимального температурного поля (3.74) и соответствующих температурных напряжений и11 , Vzz $ 0іг на поверхности оболочки в зависимости от координаты о при -О . Из приведенных результатов видно, что температурные напря жения достигают наибольшего значения в центральном сечении обо лочки А - /g . Уровень Ojf намного больше уровня других напряжений. Поэтому напряжения О являются рас четными.

Исследование температурных полей и напряжений

Перейдем к определению и исследованию оптимальных температурных полей и соответствующих напряжений в рассматриваемой задаче о неодновременной сварке цилиндрической оболочки меридиональным швом в условиях сопутствующего подогрева. Математическая постановка и схема численного решения экс тремальной задачи определения дополнительной к температурному полю сварки LQ (с/-, Ч ) составляющей г (ot, у J суммарного температурного поля i0 (с, =f) , соответствующей дополнитель ному сопутствующему подогреву и отличной от нуля в области сре динной поверхности цилиндрической оболочки, ограниченной конту рами (/1Jj[/?J , с целью обеспечения ее упругого (или близ кого к нему) деформирования и низкого уровня суммарных напряже ний, приведена в 4.1, 4.2.

Для построения решения такой задачи необходимо задаться температурным полем сварки без подогрева. Температурное поле сварки моделируем температурным полем предельного состояния распространения тепла при длительном действии, движущегося в осевом направлении с постоянной скоростью V , сосредоточенного источника с постоянной мощностью 7# . Такое температурное поле 4:( / / , согласно [НОJ , можно представить в виде где = уrJZI-PZCJ Z » X " коэффициент теплопроводности; йу.= pr - коэффициент температуропроводности; Ь - коэф-фициент температуроотдачи; Ср - объемная теплоемкость; 1{0(к) - функция Бесселя второго рода нулевого порядка. На рис.4.6-4.8 показаны изотермы температурного поля ьс [ ,")/ ік предельного состояния процесса распространения тепла от подвгокного источника тепла, в зависимости от скорости перемещения источника / . Рис.4.б соответствует ]/ =1--- рис.4.7- 1/ =2- ; рис.4.8 - [/=5 -- . При численных сек сек / 0 расчетах температурного поля сварки принималось, что Гк =600 С; Контур ( /7 / , ограничивающий область i i) , находим как соответствующую изотерму гс (U., ) Lк температурного поля сварки с (ott zp) , определяемого по (4.27). На рис.4.6-4.8 область fQt ) , ограниченная контуром (П) » заштрихована. Из рисунков видно, что с увеличением скорости движения источника нагрева, при прочих равных условиях, уменьшаются характерные размеры области ( w J при увеличении отношения длины к ширине. В качестве контура ( Гг ) срединной поверхности, ограничивающего зону сопутствующего подогрева, выберем контур При переходе на дискретный аналог задачи оптимизации длинную цилиндрическую оболочку заменяем на оболочку конечной длины 1? . Длина 5 выбиралась таким образом, чтобы влиянием краевых эффектов можно было пренебречь.

При этом считаем, что в сечении оболочки Х- - /2. выполняются условия свободного края, а в сечении J. = v/? оболочка жестко закреплена,т.е. суммаррого температурного поля г / , соответствующей оптимальному дополнительному сопутствующему подогреву, выполнены в зависимости от параметров CL, , 0.г , определяющих размеры и форму контура [Гг.) , и скорости . V движения источника нагрева. Вычисления проводились на ЭВМ ЕС-І060 по вычислительной программе,реализующей алгоритм решения экстремальной задачи, предложенный в 4.2. При численных расчетах принималось /р= /АО /Р- $ V =0,3. Значения параметров к , О % » # » & » Л брались аналогичными, как и при рассмотрении поля сварки ис ( -, ) . На рис.4.9 приведены изотермы составляющей wtr / //zV для источника нагрева, движущегося со скоростью \/ =1--- . сек Анализ графиков изотерм показывает, что составляющие температурного поля, соответствующие оптимальному дополнительному надогреву, характеризуются значительными градиентами в зоне, близкой к области [GJ , в направлении движения источника сварочного нагрева. При расширении области подогрева их градиентноеть в направлении движения источника изменяется мало, а в противоположном направлении уменьшается. На рис.4.10 приведены изотермы составляющей 4-( , )/ температурного поля, соответствующей подогреву, при сварке движущимся источником нагрева со скоростью ]/ =2 --— . При этом сек Из рисунков 4.9 и 4.10 видно, что при увеличении скорости V грациентность составляющей tn. ( іЧ ) в зоне близкой к области ( Gt) в направлении движения источника нагрева изменяется мало. При этом уровень максимальной температуры подогрева падает. Так, На рис.4.II показано распределение кольцевых напряжений 6L по контуру ( 1 ) , соответствующих суммарному температурному полю to (/ f ) , где о = ё" ; $ - координата, соответствующая длине дуги контура [Г/J ; о о - длина дуги всего контура [ /w . Кривые 1-3 соответствуют значениям параметров #7 = 2 = / ; 0,5; 0,25. Кривая 4 получена при температурном поле сварки без сопутствующего подогрева, т.е.для Из рисунка видно, что при сварке с дополнительным подогревом уровни напряжений 0 ниже, чем при сварке без подо-грева. Так при сварке без подогрева — т - О, У 3 . При сварке с подогревом, в случае a, = Q. z = OyZg; — = 0,№? , Из приведенных выше результатов числовых исследований сос тавляющих суммаррого температурного поля -(;{«( f) и суммарных напряжений следует, что для эффективного понижения уровня температурных напряжений при сварке не доста точно указывать максимальный уровень температуры подогрева, как это принимается в работах j_ 133,1347 , но и необходимо рациональ но выбирать градиентность температурного поля в зоне дополни тельного подогрева.